‫سلسلة تمارين حول العداد المركبة‬
‫ثانوية الشيخ عبد الحميد بن باديس‬
‫العين الصفراء‬
‫التمرين الول‪:‬‬
‫ليكن العددان المركبان‬
‫‪z =3i  3‬‬
‫و‬
‫أحسب العداد‪:‬‬
‫‪z '=12i‬‬
‫‪,‬‬
‫'‪z 1= z− z‬‬
‫'‪z 2 =z z‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫=‪z 4‬‬
‫'‪z‬‬
‫‪,‬‬
‫‪z 3= z‬‬
‫التمرين الثاني‪:‬‬
‫حل في‬
‫‪(5‬‬
‫‪z −i‬‬
‫المجموعة ‪ ℂ‬المعادلت التية‪=4i (2 5z2i=1i z3 (1:‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪3 z 1z2 =1−7i‬‬
‫‪ z 22 z 2−4z4=0 (6 −2z 26z−5=0‬‬
‫‪iz12 z2 = 11 i (7‬‬
‫{‬
‫التمرين الثالث‪:‬‬
‫ليكن العدد المركب‬
‫‪(3‬‬
‫‪2zi z =3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪z 2 z z =0‬‬
‫‪z =xiy‬‬
‫‪z−i‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪z1‬‬
‫نعتبر العدد المركب‬
‫نسمي‬
‫‪M‬‬
‫صورة العدد‬
‫‪L‬‬
‫في المستوي المركب‬
‫‪(1‬أكتب ‪ L‬على الشكل الجبري‬
‫‪(2‬عين مجموعة النقط ‪ M‬من المستوي المركب بحيث يكون العدد ‪ L‬حقيقيا‬
‫‪(3‬عين مجموعة النقط ‪ M‬من المستوي المركب بحيث يكون العدد ‪ L‬تخيليا صرفا‬
‫التمرين الرابع‪:‬‬
‫نعتبر كثيرالحدود )‪P ( z )=z +9iz +(12i−22) z−3(4i+12‬‬
‫‪(1‬بين أن المعادلة ‪ P  z =0‬تقبل حل حقيقيا ‪z 0‬‬
‫‪(2‬حل في ‪ ℂ‬المعادلة‪ P  z =0 :‬نسمي الحلين الخرين ‪ z 1‬و‬
‫‪(3‬لتكن النقط ‪ C , B , A‬صورالعداد ‪ z 2 z 1 z 0‬على التوالي‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪z2‬‬
‫بين أنها على استقامة واحدة‬
‫التمرين الخامس‪:‬‬
‫أكتب العداد التية على الشكل السي‪:‬‬
‫‪z 1= 6−i  2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−1 1‬‬
‫‪− i‬‬
‫‪2 2‬‬
‫= ‪z2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−1  3‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪z 3‬‬
‫‪z 4=z 1 z 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪z1‬‬
‫=‪, z 5‬‬
‫‪z3‬‬
‫‪z 6= z 210‬‬
‫التمرين السادس‪ z :‬عدد مركب صورته في المستوي المركب النقطة‬
‫‪(1‬عين مجموعة النقط ‪ M‬بحيث‪∣z −3∣=∣z −3i∣ :‬‬
‫‪(2‬عين مجموعة النقط ‪ M‬بحيث‪∣z −4i∣=1 :‬‬
‫‪M‬‬
‫التمرين السابع‪:‬‬
‫نعتبركثيرالحدود ‪P  z =z −6z 24z −18z63‬‬
‫‪(1‬أحسب ‪ P i  3‬و ‪P −i 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(2‬عين كثيرالحدود ‪ Q z ‬حيث‪P  z = z 3Q  z  :‬‬
‫‪(3‬حل في ‪ ℂ‬المعادلة‪P  z =0 :‬‬
‫‪(4‬أنشئ في المستوي المركب صور العداد المركبة‪z A=i  3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(5‬نسمي ‪ E‬نظير النقطة ‪ D‬بالنسبة ل ‪. O‬بين أن‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪z B=−i  3 ,‬‬
‫‪z C − z B −i 3‬‬
‫‪ z − z =e‬و استنتج‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪z C =32i  3‬‬
‫‪,‬‬
‫طبيعة المثلث‬
‫‪z D= zC‬‬
‫‪BEC‬‬
‫التمرين الثامن‪:‬‬
‫‪(1‬أوجد الجذور التربيعية للعدد‬
‫‪(2‬أوجد الجذور التكعيبية للعدد‬
‫‪34i‬‬
‫‪i‬‬
‫التمرين التاسع‪:‬‬
‫نعتبرفي المستوي المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس ‪ O , u , v ‬النقط ‪ A , B , C‬التي لواحقها على الترتيب ‪, z A=−i‬‬
‫‪. z C =−4i , z B=23i‬‬
‫‪z C −z A‬‬
‫‪(1‬أكتب على الشكل الجبري العدد‪:‬‬
‫‪z B −z A‬‬
‫‪(2‬عين طويلة العدد المركب ‪ L‬و عمدة له ثم استنتج طبيعة المثلث ‪ABC‬‬
‫‪(3‬نعتبر التحويل النقطي ‪ T‬الذي يرفق بكل نقطة ‪ M‬من المستوي ذات اللحقة‬
‫=‪L‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ z‬النقطة ' ‪ M‬ذات اللحقة‬
‫'‪z‬‬
‫‪z ' =iz−1−i‬‬
‫‪---‬عين طبيعة التحويل ‪ T‬محددا عناصره الساسية‬‫‪---‬ما هي صورة النقطة ‪ B‬بالتحويل ‪ T‬؟‬‫‪(4‬لتكن ‪ D‬النقطة ذات اللحقة ‪z D=−62i‬‬
‫‪--‬بين أن النقط ‪ A , D , C‬في استقامية‬‫‪--‬عين نسبة التحاكي ‪ h‬الذي و مركزه ‪ A‬و يحول ‪ C‬إلى ‪D‬‬‫‪--‬عين العناصرالمميزة للتشابه ‪ S‬الذي مركزه ‪ A‬و يحول ‪ B‬إلى ‪D‬‬‫)دورة ‪ 2011‬الجزائر(‬
‫التمرين العاشر‪:‬‬
‫نعتبرفي المستوي المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس ‪ O , u , v ‬النقط ‪ A , B , C‬التي لواحقها على الترتيب‬
‫‪. z C =4i , z B=32i , z A=3−2i‬‬
‫‪(1‬علم النقط ‪A , B , C‬‬
‫‪(2‬ما هي طبيعة الرباعي ‪ OABC‬علل إجابتك‪.‬‬
‫‪(3‬عين لحقة النقطة ‪ ‬مركز الرباعي ‪OABC‬‬
‫‪ MA‬‬
‫‪ MB‬‬
‫‪ MC∥=12‬‬
‫‪‬‬
‫‪∥MO‬‬
‫‪(4‬عين ثم أنشئ مجموعة النقط ‪  E‬من المستوي التي تحقق‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(5‬حل في مجموعة العداد المركبة ‪ ℂ‬المعادلة ذات المجهول ‪ z‬التالية‪ z −6z13=0 :‬نسمي ‪ z 0, z 1‬حلي هذه‬
‫المعادلة ‪.‬‬
‫‪(6‬لتكن ‪ M‬نقطة من المستوي لحقتها العدد المركب ‪ z‬عين مجموعة النقط ‪ M‬التي تحقق‪∣z −z 0∣=∣z−z 1∣ :‬‬
‫)دورة ‪ 2011‬الجزائر(‬
‫التمرين الحادي عشر‪:‬‬
‫⃗‬
‫⃗‬
‫‪(1‬في المستوي المركب المزود بمعلم متعامد و متجانس )‪ (O ; i , j‬نعتبر النقطتين ‪ A‬و ‪ B‬ذات اللحقتين‪:‬‬
‫‪ Z A=− 3i‬و ‪. Z B=−1i  3‬‬
‫أكتب ‪ Z A‬و ‪ Z B‬على الشكل المثلثي‪.‬‬
‫‪ZA‬‬
‫‪(2‬أحسب الطويلة و عمدة للعدد المركب ‪. Z‬‬
‫‪B‬‬
‫⃗‬
‫⃗‬
‫استنتج طبيعة المثلث ‪ ABO‬و قيسا للزاوية ) ‪. ( OA , OB‬‬‫أحسب مساحة المثلث ‪. ABC‬‬
‫‪(3‬أوجد لحقة النقطة ‪ C‬حتى يكون ‪ ACBO‬معينا‪.‬‬
‫‪−i π‬‬
‫‪(4‬ليكن ‪ f‬التحويل النقطي المعرف بعبارته المركبة ‪. z '=e 6 z :‬‬
‫‪ (1-4‬عرف التحويل ‪ f‬و اذكر عناصره الساسية‪.‬‬
‫‪ . f‬ما‬
‫‪ (2-4‬أكتب على الشكل السي لحقتي النقطتين ' ‪ A ' , B‬صورتي النقطتين ‪ A , B‬على التوالي بالتحويل‬
‫هي مساحة المثلث ' ‪ A ' B' C‬حيث ' ‪ C‬هي صورة ‪ C‬بالتحويل ‪ f‬؟‪.‬‬
‫التمرين الثاني عشر‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1‬حل في مجموعة العداد المركبة ‪ ℂ‬المعادلة ‪ z −2z+4=0 :‬نسمي ' ‪ z‬و ' ' ‪ z‬حلي هذه المعادلة حيث ' ‪z‬‬
‫هو الحل الذي جزؤه التخيلي سالب‪.‬‬
‫‪(2‬أكتب الحلين على الشكل السي‪.‬‬
‫‪(3‬أحسب العدد ‪ ( z ' ) 2011‬و اكتبه على الشكل الجبري‪.‬‬
‫‪(4‬نزود المستوي المركب بمعلم متعامد و متجانس )‪(O ; ⃗i , ⃗j‬‬
‫بين ان النقطتين ‪ A‬و ‪ B‬اللتين لحقتاهما ‪ 1+i √ 3‬و ‪ 1−i √ 3‬على التوالي تنتميان إلى نفس الدائرة‬
‫ذات المركز ‪ O‬و التي يطلب تعيين نصف قطرها‪.‬‬
‫‪(5‬أنشئ هذه الدائرة ثم النقطتين ‪ A‬و ‪. B‬‬
‫‪(6‬نسمي ' ‪ O‬صورة النقطة ‪ O‬بواسطة الدوران الذي مركزه ‪ A‬و زاويته‬
‫‪+π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫و ' ‪ B‬صورة النقطة‬
‫‪B‬‬
‫بواسطة الدوران الذي مركزه ‪ A‬و زاويته ‪ 2‬أحسب لحقتي النقطتين ' ‪ O‬و ' ‪ B‬ثم أنشئهما‪.‬‬
‫‪(7‬ليكن ‪ I‬منتصف القطعة المستقيمة ] ‪. [OB‬ماذا يمكن تخمينه من أجل المستقيم ) ‪ ( AI‬في المثلث ' ‪ A O ' B‬؟‬
‫‪(8‬أحسب لحقة الشعاع ⃗‬
‫‪ AI‬و بين أن لحقة الشعاع '‪ O '⃗B‬تساوي ‪ 3 √ 3−i‬هل التخمين السابق كان صحيحا؟‬
‫التمرين الثالث عشر‪:‬‬
‫‪(1‬نعتبر في مجموعة العداد المركبة ‪ ℂ‬المعادلة ذات المجهول‬
‫)‪3i (z +2i‬‬
‫‪ z‬التالية‪:‬‬
‫‪z −2+3i‬‬
‫=‪ z‬مع ‪z≠2−3i‬‬
‫حل في ‪ ℂ‬هذه المعادلة‪.‬‬‫‪(2‬ينسب المستوي المركب إلى المعلم ‪ A . O , u , v ‬و ‪ B‬نقطتان لحقتاهما على التوالي‬
‫‪ Z A=1+i √5‬و ‪. Z B=1−i √ 5‬تحقق أن ‪ A‬و ‪ B‬تنتميان إلى دائرة مركزها ‪ o‬يطلب تعيين نصف قطرها‬
‫‪ ZA‬و‬
‫‪ Z B‬حيث‪:‬‬
‫)‪3i(z+2i‬‬
‫‪(3‬نرفق بكل نقطة من المستوي ‪ M‬لحقتها ‪ z‬حيث ‪ z≠2−3i‬النقطة ' ‪ M‬لحقنها ' ‪ z‬حيث‪:‬‬
‫‪z−2+3i‬‬
‫النقط ‪ E , D , C‬لواحقها على الترتيب‪ z E =3i , z D=2−3i , z C =−2i :‬و )‪ (Δ‬محور القطعة ] ‪[CD‬‬
‫إ‪-‬عبر عن المسافة ' ‪ OM‬بدللة المسافتين ‪ CM‬و ‪. DM‬‬
‫ب‪-‬استنتج أنه من إجل كل نقطة ‪ M‬من )‪ (Δ‬فإن النقطة ' ‪ M‬تنتمي إلى دائرة )‪ ( γ‬يطلب تعيين مركزها و نصف‬
‫دورة الجزائر ‪2012‬‬
‫قطرها‪.‬تحقق أن ‪ E‬تنتمي إلى )‪. ( γ‬‬
‫=' ‪z‬‬
‫التمرين الرابع عشر‪:‬‬
‫‪(1‬نعتبركثيرالحدود ‪P (z )=z −12z +48z−72‬‬
‫أ(تحقق أن ‪ 6‬هو جذر لكثير الحدود ) ‪P (z‬‬
‫‪2‬‬
‫ب( جد العددين الحقيقيين ‪ α‬و ‪ β‬بحيث من أجل كل عدد مركب ‪P ( z )=( z−6)(z +α z +β) : z‬‬
‫ج(حل في ‪ ℂ‬المعادلة‪P  z =0 :‬‬
‫‪((2‬ينسب المستوي المركب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ‪ A , B , C . O , u , v ‬نقط لواحقها على التوالي‬
‫‪ Z B‬و ‪ Z C‬حيث‪ Z B=3+i √ 3 , Z A=6 :‬و ‪Z C =3−i √ 3‬‬
‫أ(أكتب كل من ‪ Z B , Z A‬و ‪ Z C‬على الشكل السي‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ب(أكتب العدد المركب‬
‫‪3‬‬
‫‪z A−z B‬‬
‫‪ z −z‬على الشكل السي‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫ج(استنتج طبيعة المثلث ‪ABC‬‬
‫‪(3‬ليكن ‪ S‬التشابه المباشر الذيمركزه ‪C‬‬
‫و نسبته ‪√ 3‬‬
‫أ(جد الكتابة المركبة للتشابه ‪S‬‬
‫ب(عين ' ‪ z A‬لحقة النقطة ' ‪ A‬صورة النقطة ‪A‬‬
‫ج(بين أن النقط ‪ A ' , B , A‬في استقامية‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫و زاويته ‪2‬‬
‫بالتحويل ‪S‬‬
‫انتهى‬
‫موقع الستاذ الشامي‪http://mathsefra.asrun.eu:‬‬
‫‪, ZA‬‬

Document 3082243