Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri • Educational Sciences: Theory & Practice • 14(4) • 1-21
©
2014 Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti.
www.edam.com.tr/kuyeb
DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039
Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel
Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar*
Ayhan Kürşat ERBAŞ
a
Mahmut KERTİL
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Marmara Üniversitesi
Bülent ÇETİNKAYA
c
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Cengiz ALACACI
e
İstanbul Medeniyet Üniversitesi
b
d
Erdinç ÇAKIROĞLU
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
f
Sinem BAŞ
İstanbul Aydın Üniversitesi
Öz
Bütün dünyada olduğu gibi son yıllarda ülkemizde de akademik çalışmalara konu olan matematiksel modellemeyle ilgili geniş bir alan yazın bulunmaktadır. Fakat matematiksel modelleme ve ilgili kavramlar üzerine ortak
bir anlayıştan bahsetmek mümkün değildir. Alan yazında öğrenme ve öğretme sürecinde matematiksel modellemenin kullanımı, model ve modellemenin tanımı, kuramsal altyapısı ve kullanılan modelleme sorularının niteliği gibi konularda farklı bakış açıları görülmektedir. Bu çalışmada iki konu üzerine odaklanılmıştır. İlk bölümde
matematik eğitiminde matematiksel modellemeyle ilgili temel konu ve kavramlar incelenmiştir. İkinci bölümde
ise modellemenin matematik eğitiminde kullanımıyla ilgili “matematiği öğretmek için bir araç” ve “matematik
öğretiminin amacı” şeklinde özetlenebilecek iki farklı yaklaşım tartışılmıştır.
Anahtar Kelimeler
Matematik Eğitimi, Matematiksel Model, Matematiksel Modelleme, Problem Çözme.
*
Bu makaleye konu olan çalışma Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) tarafından 110K250
nolu araştırma projesi kapsamında desteklenmiştir. Bu makalede öne sürülen görüşler yazarlara ait olup
TÜBİTAK’ın görüşlerini yansıtmamaktadır. Ayhan Kürşat ERBAŞ, Türkiye Bilimler Akademisi Genç Bilim İnsanlarını Ödüllendirme Programı (TÜBA-GEBİP) tarafından desteklenmektedir (A.K.E./TÜBA-GEBİP/2012-11).
a Sorumlu Yazar: Dr. Ayhan Kürşat ERBAŞ Matematik eğitimi alanında doçenttir. Çalışma alanları arasında cebir
öğretimi ve öğrenimi, matematik öğretmen eğitimi ve öğretmen yeterlilikleri, matematik eğitiminde teknoloji entegrasyonu, problem çözme ve modelleme yer almaktadır. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi,
Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta:
erbas@metu.edu.tr
b Dr. Mahmut KERTİL Matematik Eğitimi alanında araştırma görevlisidir. İletişim: Marmara Üniversitesi,
Atatürk Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 34722 Kadıköy, İstanbul.
Elektronik posta: mkertil@marmara.edu.tr
c Dr. Bülent ÇETİNKAYA Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta:
bcetinka@metu.edu.tr
d Dr. Erdinç ÇAKIROĞLU Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim
Fakültesi, İlköğretim Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: erdinc@metu.edu.tr
e Dr. Cengiz ALACACI Matematik Eğitimi alanında profesördür. İletişim: İstanbul Medeniyet Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Fakültesi, 34700 İstanbul. Elektronik posta: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr
f
Dr. Sinem BAŞ Matematik Eğitimi alanında yardımcı doçenttir. İletişim: İstanbul Aydın Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü, 34295 İstanbul. Elektronik posta: sinembas@aydin.edu.tr
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
Matematiksel modelleme en genel anlamda gerçek
hayattan veya gerçekçi bir durumun matematiksel
yöntemler kullanılarak analiz edilmesi sürecidir.
Matematiksel modellemenin ilköğretimden yükseköğretime kadar bütün kademelerde matematik
derslerinde kullanılması gerektiği fikri son yıllarda
önem kazanmıştır. Öğrencilerin matematiği daha
anlamlı ve gerçek hayatla ilişkili öğrenmelerine yardımcı olacağı düşüncesi ve mevcut problem türlerinin bu hedefi gerçekleştirmede yetersiz kalması,
modellemenin matematik eğitiminde kullanılması
fikrinin temel dayanağıdır. Günümüzde teknolojinin de hızla gelişmesiyle farklı alanlarda çalışacak
olan bireylerden farklı becerilere sahip olmaları
beklenmektedir. Bu bağlamda, bireylere gerçek
hayatta problem çözme becerilerinin kazandırılmasının matematik eğitiminin asıl hedefi olması
gerektiği; matematiksel modellemenin öğretim
sürecinde kullanımının da bu hedefe ulaşmanın bir
yolu olabileceği düşünülmektedir (Gravemeijer ve
Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). Son yıllarda
matematik eğitiminin her seviyesinde matematiksel modelleme uygulamaları üzerine çalışmalar yapılmakta (ör. Çiltaş ve Işık, 2013; Delice ve Kertil,
2014; Kertil, 2008) ve okul matematiğinde modelleme uygulamalarına daha fazla yer verilmesi gerekliliği vurgulanmaktadır (Department for Education
[DFE], 1997; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989; 2000; Talim ve Terbiye
Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013).
Eğitim ortamlarında matematiksel modellemenin
anlamı, amacı, öğrencilere sunuluş biçimi, öğretim
programına entegre edilme biçimleri ve öğretmenlerin sahip olması gereken mesleki donanımlar
gibi konularda kabul görmüş ortak bir anlayıştan
söz etmek mümkün değildir (Kaiser, Blomhoj ve
Sriraman, 2006; Niss, Blum ve Galbraith, 2007).
Modelleme farklı alanlarda kullanılan yaygın bir
terim olup matematik eğitimi alan yazını içinde
bile oldukça farklı anlam, amaç ve yaklaşımlarla ele
alınabilmektedir. Bu alanda çalışma yapmak isteyen
araştırmacıların alan yazındaki farklı yaklaşımların
farkında olması önemlidir. Bu çalışmanın amacı
öncelikle matematik eğitiminde matematiksel modellemeye ilişkin temel konuların ve kavramların
tartışılmasıdır. Ayrıca, öğretim sürecinde kullanılan yöntemler ve hedefler çerçevesinde modellemenin nasıl tanımlandığı, kuramsal altyapısı ve
kullanılan soruların niteliği bakımından “matematik öğretiminde araç” veya “matematik öğretiminin
amacı” olarak matematiksel modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır.
2
Matematiksel Modelleme ve İlgili Temel Kavramlar
Modelleme, birçok alanda gerçek hayattan bir objenin veya bir durumun prototipini oluşturma anlamında kullanılan yaygın bir terimdir. Matematiksel
modelleme ise gerçek hayat durumlarının işleyişi
ve yapısını anlamlandırmak için matematiğin sembolik diline aktarılarak ifade edilmesi sürecidir
(Gravemeijer, 2002). Matematiksel modelleme ve
ilgili bazı temel kavramlar ilerleyen bölümlerde ele
alınmıştır.
Model ve Matematiksel Model: Lesh ve Doerr’a
(2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan
kavramsal yapılar ile bunların dış gösterimlerinin
bütünüdür. Bir başka ifadeyle insanların doğayı
anlayabilmek için keşfedip geliştirdikleri ve kullandıkları fikirler, gösterimler, kanunlar ve birtakım
araç ve gereçler “model” kavramı ile ilişkilidir. Lehrer ve Schauble (2003) ise modeli, basit anlamda hiç
aşina olmadığımız bir sistem ile önceden bildiğimiz
sistemler arasında bağ kuran bir tür analoji olarak
tarif etmektedirler. Bir analoji ve onunla ifade edilmeye çalışılan gerçek durum arasında mutlak bir
uygunluktan söz edilemez. Aynı durum modeller
için de geçerlidir. İnsanlar gerçek hayat durumlarının yorumlayıp anlamlandırmak için modeller ile
düşünürler. Lehrer ve Schauble (2007) bu durumu
model tabanlı düşünme olarak ifade etmekte ve bunun sürekli geliştiğini ve değiştiğini vurgulamaktadırlar.
Model tabanlı düşünmenin ilk seviyesi fiziksel modellerdir. Örneğin, bir dönme dolabın küçük bir
maketinin yapılması fiziksel bir modeldir. İkinci
seviye ise gerçek hayat durumunun farklı gösterim
sistemleri kullanılarak ifade edilmesidir. Örneğin,
bir dönme dolabın genişletilmiş birim çember gibi
düşünülerek koordinat düzlemine yerleştirilmesi,
yarıçap ve merkez açı gibi semboller de kullanılarak
matematiksel gösterim sisteminde ifade edilmesi bu
seviyede bir modeldir. Kullanılan gösterimler basit
olabileceği gibi daha üst düzey de olabilir. Üçüncü
seviye ise sentaktik model olup, gerçek hayat durumunun yapısal özelliklerinin ve işleyişinin daha
soyut ve bilimsel sembollerle ifade edilmesidir. Bu
seviyede gerçek hayat durumu ile modeli arasında
fiziksel bir benzerlik söz konusu değildir. Sabit hızda dönen bir dönme dolap üzerinde bulunan herhangi bir kapsülün zamana bağlı yerden yüksekliğini gösteren matematiksel formülün trigonometrik
fonksiyonlar kullanılarak ifade edilmesi sentaktik
modele örnek olarak verilebilir. Son seviye ise gelişmekte olan (emergent) modellerdir. Bu seviyede ise
incelenen gerçek hayat durumunun yapısal özellik-
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar...
leri sentaktik modellerle matematiksel olarak ifade
edilmesinden sonra başlangıçta hedeflenmeyen
yeni ilişkilerin ve modellerin ortaya çıkarılması söz
konusudur. Netice itibariyle, gerçek hayat durumu
ile modeli arasında birebir aynılıktan bahsetmek
mümkün olmayacağı için, her zaman daha iyi bir
modele ulaşabilme söz konusudur. Bu ise insanların kendi modellerini geliştirme veya yeni modeller
ortaya çıkarma uğraşının sürekli devam etmekte
olduğu anlamına gelmektedir.
Matematiksel modeller gerçek hayattan bir nesnenin veya durumun fiziksel özelliklerinin ötesinde
daha çok yapısal özelliklerini ve çalışma prensiplerini açıklamakla ilgilenir (Lehrer ve Schauble, 2003, 2007; Lesh ve Doerr, 2003a). Örneğin,
E = mc2 formülü kütle, ışık hızı ve enerji arasındaki
ilişkiyi açıklayan bir matematiksel modeldir. Fakat
bir kişinin bu modele sahip olması yalnızca formülü kullanarak işlemler yapabilmesini değil, bu formülün temsil ettiği fiziksel yapıları anlayarak farklı
bağlamlarda yorumlayabilmesini gerektirir. Dolayısıyla Lehrer ve Schauble’ın (2007) farklı model seviyelerinin ikinci seviyesinden sonra matematiksel
modeller söz konusu olur. Ancak, herhangi bir matematiksel gösterimi tek başına bir matematiksel
model olarak kabul etmek doğru değildir. Lehrer
ve Schauble’a (2003) göre, gerçek hayattan bir durumun matematiksel bir modelinin oluşturulması
sürecinde birden fazla matematiksel temsilin kullanılması ve birlikte yorumlanması söz konusudur.
Bu nedenle, oluşturulan matematiksel bir modele
gerçek hayat durumunun içerdiği bütün özellikleri
aktarmak mümkün olmadığı gibi, tek bir matematiksel gösterimin de bir model olarak kabul edilmesi beklenmemelidir. Bir gerçek hayat durumunun
yapısını anlamak için kullanılan farklı matematiksel gösterimler, işlemler ve fonksiyonel ilişkiler bir
bütün olarak matematiksel modeli oluşturmaktadır. Örneğin, deprem ve gün uzunlukları gibi periyodik yapıya sahip durumları açıklamak için trigonometrik fonksiyonlar ve bu fonksiyonların farklı
gösterimleri, maliyet hesaplarında değişim oranını
açıklamak için türevin farklı gösterim ve yorumları
birer matematiksel model olarak düşünülebilir.
Matematiksel Model ve Somut Materyaller: Matematiksel model ve modelleme özellikle ilköğretim
düzeyinde yaygın olarak somut materyal kullanımı
olarak anlaşılmaktadır (Lesh, Cramer, Doerr, Post
ve Zawojewski, 2003). Dienes’e göre öğrencilerde
önemli matematiksel düşünme becerilerinin gelişmesi için somut materyallerin etkili bir şekilde kullanımı somutlaştırma (embodiment) açısından oldukça önemlidir (1960’dan akt., Lesh ve ark., 2003).
Öğrencilerdeki gelişim somuttan soyuta olduğu
için somut materyal kullanımı, soyut matematiksel
düşünme becerilerinin gelişimi için ilk adım olarak
görülür. Bu sebeple, onluk taban blokları, birim
küpler, örüntü blokları, simetri aynası, kesir takımı,
şeffaf kesir kartları ve geometri şeritleri gibi materyallerin matematik eğitiminde kullanımı sıklıkla
vurgulanmaktadır. Öğretim aracı olarak kullanılan
somut materyallerin model olarak adlandırılması, matematiksel modellemenin somut materyal
tasarlama ve kullanımı ile sınırlı olduğu algısına
sebep olmaktadır. Oysa matematik eğitiminde
matematiksel modelleme daha geniş bir anlamda
kullanılmaktadır. Somut materyal kullanımı, model
terimi ile modelleme alan yazınında ele alınmakla
birlikte, bu çalışmada açıklanan dinamik bir süreç
ifade eden matematiksel modelleme genel teriminin kapsamını yansıtmamaktadır. Hatta bu somut
materyaller bazı matematiksel kavramların birileri
tarafından oluşturulmuş, hazır ve statik modelleri
olarak görülmekte ve bu nedenle yapılandırmacı
ve sosyo-kültürel öğrenme teorilerini temel alan
modelleme yaklaşımlarınca bireyin kendi zihinsel
yapılandırma sürecinden geçmediği noktasında
eleştirilmektedir (Gravemeijer, 2002).
Matematiksel Modelleme
Matematiksel modelleme matematik dışında birçok
disiplinin de ilgi alanına giren, eğitimin her seviyesinde gerçek hayatla ilişkili, açık-uçlu ve uygulamalı
problem çözme uygulamalarını kapsayan genel bir
terimdir. Haines ve Crouch (2007) matematiksel
modellemeyi, gerçek hayat problem durumlarının
soyutlanarak matematik diline aktarıldığı, çözümlendiği ve sonra çözümün test edildiği döngüsel bir
süreç olarak tarif etmektedirler. Öte yandan Verschaffel, Greer ve De Corte’ye (2002) göre ise matematiksel modelleme, bir gerçek hayat durumundaki
olayları ve bunlar arasındaki ilişkileri matematiksel
olarak ifade etmeye çalışma ve matematiksel örüntüleri ortaya çıkarma sürecidir. Her iki tanımda da
bir gerçek hayat durumunun fiziksel modelinin
ötesine geçilerek yapısal özelliklerinin matematik
yardımıyla incelenmesine işaret edilmektedir.
Lesh ve Doerr (2003a) matematiksel modellemeyi
mevcut kavramsal sistemlerin ve modellerin kullanıldığı, farklı bağlamlarda anlamlandırılarak geliştirildiği ve yeni modellerin ortaya çıkarıldığı bir
süreç olarak ifade etmektedirler. Bu tanıma göre
matematiksel modelleme, hem önceden bilinen
kavramsal sistemleri ve modelleri kullanma hem
de yenilerini oluşturma ve geliştirme anlamlarını
içermesi bakımından statik ve dinamik yapıları içe-
3
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
ren bir terimdir. Başka bir deyişle, model bir süreç
sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken modelleme ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut
modelini oluşturma sürecini ifade etmektedir (Sriraman, 2006). Benzer şekilde Gravemeijer ve Stephan (2002) da matematiksel modellemenin sadece
gerçek hayat durumlarının hazır modeller kullanılarak matematik diline aktarmakla sınırlı olmadığını, gerçek hayat durumu içerisindeki olguların
yeniden yorumlanıp düzenlenerek matematiksel
kavramlarla ve gösterimlerle ilişkilendirilmesini de
kapsadığını ifade etmektedirler. Matematiksel modellemede, gerçek hayat durumunun matematiğin
sembolik diline başarılı bir şekilde aktarılabilmesi
için öğrencilerin işlemsel ve aritmetik bilgilerin
ötesinde uzamsal düşünme, yorumlama, tahmin
etme gibi daha üst düzey matematiksel donanımlara sahip olmaları gerekmektedir (Lehrer ve Schauble, 2003). Bu anlamda, matematiksel modelleme
bilimsel düşünmenin gereklilikleri olan oluşturma,
keşfetme, uygulama, yorumlama ve değerlendirme
gibi becerileri içerdiği için iki ayrı alan gibi görülen
matematik ile fen bilimleri arasındaki yakın ilişkiyi
de ön plana çıkarmaktadır.
Matematiksel modellemenin öğretim sürecinde
kullanımı bakımından temel iki yaklaşımdan bahsedilebilir (Gravemeijer, 2002; Niss ve ark., 2007).
Birincisi, matematik derslerinde hazır bir şekilde
verilen matematiksel bilgilerin gerçek hayat durumlarını analiz ederken uygulanabilmesi, dönüştürülebilmesi ve uyarlanabilmesidir. Bu yaklaşımda matematiksel modeller ve bu modellerin hangi
gerçek hayat durumlarını yorumlamada kullanılabileceği bilgileri hazır verilmekte, öğrencilerden
bir gerçek hayat durumuna uygun matematiksel
Şekil 1
Matematiksel Modelleme Süreci (NCTM, 1989, s. 138)
4
modeli aramaları veya uyarlamaları beklenmektedir. İkinci yaklaşım ise bir gerçek hayat durumunu
yorumlama sürecinde öğrencilerin kendi sembolik
araçlarını ve modellerini geliştirmesidir (Gravemeijer ve Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a).
Bu yaklaşım öğrencilere kendi matematiksel modellerini oluşturma ve geliştirme fırsatını vermeyi
önemsemektedir.
Matematiksel Modelleme Süreci: Matematiksel
modellemede, verilenleri kullanarak hedefe ulaşma
sürecinde katı bir prosedür uygulaması söz konusu değildir (Blum ve Niss, 1991; Crouch ve Haines,
2004; Lesh ve Doerr, 2003a). Gerçek hayattan bir
olgunun matematiksel modelini oluşturma sürecinde; matematiksel model ile modellenen gerçek
durumu ayırt edebilme, hata payı ve uyumluluk
bakımından değerlendirme, farklı ve daha iyi bir
model ile ifade edebilme ihtimali göz önünde bulundurulması gereken unsurlardır. Matematiksel
modelleme sürecinde verilenleri kullanarak bir
çözüme ulaşma, çözümü gerçek hayat durumuyla
karşılaştırma, eğer yeterli değilse çözümü geliştirme veya daha farklı bir çözüm geliştirme gibi çok
basamaklı bir döngü vardır (Haines ve Crouch,
2007; Lehrer ve Schauble, 2003). Matematiksel modellemenin döngüsel bir süreç olduğu, alan yazında
ortak bir fikir olarak vurgulanmaktadır (Zbiek ve
Conner, 2006).
Alan yazında matematiksel modelleme sürecindeki aşamaları açıklayan farklı model ve gösterimler
mevcuttur. Örneğin, Lingefjärd’a (2002a) göre döngüsel modelleme süreci; verilenleri belirleme ve sadeleştirme, problemi formülleştirme, değişkenleri
belirleme, matematiksel ifadeleri formülleştirme,
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar...
bir matematiksel model seçme, grafik gösterimleri
kullanma ve gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak
kontrol etme gibi yedi aşamadan oluşmaktadır.
Modelleme süreci lineer olmayan, tekrarlı döngüler içeren ve beş temel aşmadan oluşan bir süreçtir (bkz. Şekil 1). Bu süreçler şunlardır: (i) Gerçek
hayat problemini tanımlama ve sadeleştirme, (ii)
bir matematiksel model oluşturma, (iii) modeli dönüştürme, geliştirme ve çözme, (iv) modeli yorumlama, (v) modeli doğrulama ve kullanma. Birinci
aşamada, öğrenciler problem durumunu inceleyip
verilen bilgileri belirleyerek problem durumunu
anlayabilecekleri en sade hâle getirirler. İkinci aşamada, problem durumunu ifade edebilecek matematiksel gösterimlerden (grafik, denklem vs.) yararlanarak problemi matematiksel ifadeye aktarılar.
Üçüncü aşama, probleme matematiksel bir çözüm
bulabilmek için geliştirilen matematiksel gösterimleri dönüştürme ve analiz etmeyi içerir. Dördüncü
aşamada, öğrenciler buldukları çözümün analiz
ettikleri gerçek hayat durumu ile ne kadar tutarlı
olduğunu incelerler. En son aşamada ise öğrenciler geliştirdikleri matematiksel modelin, üzerinde
çalıştıkları gerçek problem durumunu ve benzer
durumları açıklamada ne kadar geçerli ve kullanışlı
olduğuna karar verirler. Oluşturulan matematiksel
modelin asıl problem durumunu ne kadar açıkladığı değerlendirilerek aynı aşamaları tekrarlama ve
alternatifler üretme söz konusu olduğu için modelleme sürecinde tekrarlı bir döngü vardır.
Yukarıda örnek olarak sunulanlar haricinde modelleme sürecinin döngüsel yapısını daha detaylı açıklayan çok sayıda model ve gösterimler mevcuttur
(bkz. Borromeo Ferri, 2006; Hıdıroğlu ve Bukova
Güzel, 2013). Bu tür gösterimler öğrencilerin modelleme sürecinde geçtiği aşamaların idealleştirilmiş tanımlamalarından ibarettir. Fakat yine de, bu
tür gösterim ve modeller, öğretmenler ve araştırmacılar için yol gösterici olabilir. Örneğin, modelleme etkinliklerini sınıfında uygulamak isteyen bir
öğretmen, öğrencilerin hangi aşamalardan geçebileceği ve bu süreçte ne tür problemlerle karşılaşabileceği ile ilgili öngörülerde bulunabilir.
Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme
Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme ile problem çözme arasında bir fark olup
olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle (word problems) karıştırılabilmektedir.
Reusser ve Stebler’e (1997) göre geleneksel sözel
problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğret-
men tarafından sorulan her problemin çözülebilir
ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel
işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha
önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı
didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır.
Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu
gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat
durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve
gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur.
Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla
gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz
önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar (ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann
ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi
durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel modelleme bağlamında inceleyen birçok
çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Corte, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997;
Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini
geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri
aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur.
“228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın
tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada
kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine
çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır?” (Verschaffel ve De Corte, 1997, s. 584)
Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden faklı olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun
öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. Burada öğrencilerin sözel problemlere
verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da
test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır.
Yani 228’in 24’e bölümü sonucu kalan 12 kişi için
asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğrencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece
bu tür sözel problemler matematiksel modelleme
için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve
De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun
bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak
için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun
içerisinde gizlenmiştir.
Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme
olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem
5
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
Tablo 1
Problem Çözme ve Matematiksel Modellemenin bir Karşılaştırması (Lesh ve Doerr [2003a] Lesh ve Zawojewski’den [2007] derlenmiştir.)
Geleneksel Problem Çözme Yaklaşımları
Matematiksel Modelleme
Verilenleri kullanarak belirli bir sonuca ulaşma süreci
Çoklu döngü, farklı yorumlar
Problem bağlamı idealleştirilmiş gerçek veya gerçekçi hayat
durumları
Otantik gerçek hayat bağlamı
Öğrencilerden hazır öğretilmiş formül, algoritma, strateji,
matematiksel fikir vb. yapıları kullanmaları beklenmektedir.
Öğrenciler modelleme sürecinde önemli matematiksel fikir ve
yapıları geliştirme, gözden geçirme ve düzeltme aşamalarını
yaşarlar.
Bireysel çalışma ön planda
Grup çalışması vurgulanıyor (sosyal iletişim, matematiksel
fikirlerin paylaşımı vs.)
Gerçek hayattan soyutlanmış
Gerçek hayatla ilişkili ve disiplinler arası bir doğaya sahip
Öğrencilerden matematiksel sembol ve yapıları
anlamlandırmaları bekleniyor.
Modelleme sürecinde ise öğrenciler anlamlı gerçek hayat
durumların matematiksel tarifini yapmaya çalışıyor.
Belirli problem çözme stratejilerinin (farklı bir yaklaşım
geliştirme, bir şekil üzerine aktarma vb.) öğretilmesi ve benzer
problemlerde kullanılması
Birden fazla ve öğrenciler tarafından bilinçli olarak duruma
özel geliştirilen, belirgin olmayan çözüm stratejileri
Tek doğru bir çözüm
Birden fazla çözüm yaklaşımı ve çözüm (model)
çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı
tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a;
Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman
ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu
çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında matematiksel modelleme problemlerinin
daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları
sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir.
Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam
ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta problem çözme becerilerini geliştirme sorununa bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu
araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında
bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme,
uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların
çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte,
yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin
ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem
durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr
(2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda
hazırlanan matematiksel modelleme ve problem
çözmenin bir karşılaştırması Tablo 1’de verilmiştir.
Matematiksel Modelleme Yaklaşımları
Matematik ile gerçek hayat arasında bağ kurmaya
çalışan her tür uygulama matematiksel modellemeyle ilişkilendirilebilir. Fakat farklı teorik altyapılar çerçevesinde matematik eğitiminde modelleme
kullanımına yönelik farklı yaklaşımlar söz konusu
6
olup uluslararası çalışmalarda da henüz ortak bir
anlayış oluşmamıştır (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri ve Stillman, 2011; Kaiser ve Sriraman, 2006). Bazı
araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde
yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma,
eğitim ve öğretimi yorumlamada yeni bir yaklaşım
olarak benimserken (Lesh ve Doerr, 2003a, 2003b)
bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi
gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların,
modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları olarak görmektedir (Haines ve Crouch,
2007). Matematiksel modelleme alanında yapılan
çalışmalarda tartışılan konuların anlaşılması için
bu farklı yaklaşımların benzer ve farklı yönleri irdelenmelidir. Ancak ne yazık ki, birçok araştırmacı
tarafından dile getirilmekle birlikte henüz matematiksel modellemenin anlaşılmasındaki farklılıklara
yönelik ayrıntılı ve sistematik bir şekilde analiz
eden bilimsel çalışmalar yeterli düzeyde değildir
(Kaiser, 2006; Kaiser ve Sriraman, 2006; Sriraman,
Kaiser ve Blomhoj, 2006). Bu nedenle, matematiksel modellemenin öğrenimi ve öğretimi ile ilgili
tüm dünyada kabul gören bir teoriden bahsetmek
de henüz mümkün değildir (Kaiser ve ark., 2006).
Aşağıda alan yazında karşımıza çıkan farklı matematiksel modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır.
International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) ve the International Community of
Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) tarafından düzenlenen kongrelerde
modellemeyle ilgili sunulan çalışmaların genel hedefleri ve teorik çerçeveleri göz önünde bulundurularak Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006)
tarafından yapılan sınıflandırma bu konuda faydalı
bir bakış açısı sağlamaktadır. Araştırmacılar sınırlı
sayıdaki çalışmaları inceleyerek bunlara yön veren
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar...
modelleme yaklaşımlarını 6 başlık altında sınıflandırmaktadırlar: (i) gerçekçi veya uygulamalı modelleme, (ii) bağlamsal modelleme, (iii) eğitimsel
modelleme, (iv) sosyo-kritik modelleme, (v) epistemolojik veya teorik modelleme ve (vi) bilişsel modelleme. Bu sınıflandırmada her bir yaklaşım matematiksel modellemenin farklı bir yönünü ön plana
çıkarmaktadır. Gerçekçi veya uygulamalı modelleme
yaklaşımı, öğrencilerde problem çözme ve modelleme becerilerini geliştirmeyi hedeflemektedir. Bu
yaklaşımda öğrencilere mühendislik ve diğer bilim
dallarından problem durumları verilerek öğrendikleri matematiksel bilgileri farklı bağlamlarda
uygulamaları önemsenmektedir. Bağlamsal modelleme yaklaşımında öğrencilere yapaylıktan uzak
anlamlı gerçek hayat durumları verilmektedir. Böylece öğrencilerin matematiksel kavramları uygun
bağlamlar içerisinde tecrübe ederek daha anlamlı
öğrenebilecekleri varsayılır. Eğitimsel modelleme ise
gerçekçi modelleme yaklaşımı ile bağlamsal modelleme yaklaşımının bir çeşit karması olarak düşünülebilir. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme ile
uygun öğrenme ortamlarının ve süreçlerinin oluşturularak öğrencilere kavramların öğretilmesini
amaçlamaktadır. Sosyo-kritik modelleme yaklaşımı
ise matematiğin sosyo-kültürel ve etno-matematik
boyutlarına odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre
matematik öğretimi ile öğrencilere kendi yaşadığı
topluma ve kültürel yapıya özgü kullanabileceği eleştirel düşünme becerileri kazandırılmalıdır.
Bunu gerçekleştirmede matematiksel modelleme
etkinliklerinin önemli olduğu düşünülmektedir.
Bu çerçevede modelleme sürecinde öğrencilerin
basitten karmaşığa doğru matematiği kullanarak
tartışmaları onların eleştirel düşünme becerilerinin
gelişmesine katkı sunacağı varsayılır. Epistemolojik
veya teorik modelleme yaklaşımı ise matematiksel
modellemede, matematiksel kavramlar arasındaki
ilişkileri ve öğrencilerin bunlar üzerinde konuşmalarını ön planda tutmaktadır. Bu yaklaşıma
göre modelleme etkinliklerindeki gerçekçi bağlam
ikinci planda olup, içerisinde matematik olan her
uğraş bir modelleme etkinliği olarak kabul edilir.
Son olarak, bilişsel modelleme yaklaşımı ise modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları bilişsel ve
üst bilişsel düşünme süreçlerinin analiz edilmesine
odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinlikleri öğrencilerin düşünme süreçlerini anlama
ve destekleme amacıyla öğretmenlere yol gösterici
bir ortam sunmaktadır. Kaiser (2006) ile Kaiser
ve Sriraman (2006) tarafından öne sürülen sınıflandırma, sistematik bilimsel bir analizden ziyade
araştırmacıların öznel yorumlarını içermektedir.
Bu sınıflandırmadaki modelleme yaklaşımlarını
birbirinden kesin sınırlarla ayırmak pek de mümkün değildir. Nitekim bunun yüzeysel bir sınıflandırma olduğunu bu araştırmacıların kendileri de
belirterek matematiksel modelleme ve ilgili kavramları üzerine ortak anlayışı artırmak ve derinleştirmek için bu konuda daha ayrıntılı çalışmaların
yapılması gerektiğini önermektedirler.
Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma farklı matematiksel modelleme yaklaşımlarını ve anlayışlarını ifade etmekle birlikte aralarındaki farkı net bir şekilde ortaya koymamaktadır.
Matematiksel modellemenin matematik öğretiminde kullanım amacı bakımından daha basit bir
sınıflandırma yapmak mümkündür. Genel olarak
bakıldığında matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanım amacına yönelik iki farklı
yaklaşımdan söz etmek mümkündür: (i) matematik
öğretiminin amacı, (ii) matematiği öğretmek için
kullanılan bir yöntem (araç) (Galbraith, 2012; Gravemeijer, 2002; Julie ve Mudaly, 2007; Niss ve ark.,
2007). Birinci yaklaşımda matematik öğretimi ile
hedeflenen öğrencilerin modellerinin ve bu modelleri kullanarak matematiksel modelleme yapabilme
becerilerinin geliştirilmesi hedeflenir. Matematiksel kavram ve modeller verildikten sonra gerçek
hayat uygulamaları ile desteklenir. Bu yaklaşımda
matematikten gerçek hayata (matematik → gerçek
hayat) doğru bir yönelim vardır. İkinci yaklaşımda
ise matematiksel modelleme matematiksel kavram
ve modellerin öğretilmesinde bir yöntem ve bağlam
olarak kullanılır. Bu yaklaşımda ise gerçek hayattan
matematiğe (gerçek hayat → matematik) doğru bir
yönelim söz konusudur. Birincisinde matematiksel
yapılar, kavramlar ve modeller idealleştirilmiş gerçek hayat durumlarında uygulanacak birer hazır
“obje” olarak ele alınırken ikincisinde ilgili matematiksel yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve
genelleştirilmesini ifade eden “sürece” daha çok
vurgu yapılmaktadır. İlerleyen kısımlarda bu iki
modelleme yaklaşımı kuramsal altyapıları, matematiksel modelleme tanımları ve kullanılan soruların doğası bakımından incelenecektir.
Matematik Öğretiminin Amacı Olarak Matematiksel Modelleme
Bu yaklaşımda matematiksel modellemeye matematik ve matematik dışındaki disiplinler için
öğrencilerde geliştirilmesi gereken temel beceriler
açısından bakılmaktadır (ör. Blomhøj ve Jensen,
2007; Blum, 2002; Crouch ve Haines, 2004; Haines
ve Crouch, 2001; Izard, Haines, Crouch, Houston
ve Neill, 2003; Lingefjard, 2002a; Lingefjard ve
Holmquist, 2005). Diğer bir deyişle, matematik öğ-
7
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
İçecek Kutusu
İçi dolu bir metal içecek kutusu düşünün. Dolu kutuda 0,33 litre içecek bulunmaktadır. Kutunun altından
küçük bir delik açıp üst kısmındaki kapağını açtığımızda kutudaki içecek 0,5 cm3/sn. hızla boşalmaya başlamaktadır. Kutu ve altındaki küçük delik içerisindeki bütün sıvının dökülebileceği şekilde konumlandırılmıştır.
Başlangıçta kutunun kütle merkezinde bulunan sistemin ağırlık merkezi (Kutu ve içindeki içecek), yavaşça
aşağıya doğru kaymakta ve sonra kutu boşalınca da başlangıç konumuna geri dönmektedir.
a) Bu ağırlık merkezinin zamana bağlı hareketini açıklayan bir matematiksel model geliştiriniz. Modeli bir
diyagram ile gösteriniz ve içecek kutusunun boşalma süresince sahip olabileceği en düşük ağırlık merkezi
seviyesinin değerini en yaklaşık değeri ile hesaplayınız.
b) Belli bir miktar içecek için kutu yandaki şekilde görüldüğü gibi konumlandırılabilmektedir. Kutudaki içecek miktarı ne kadar
olduğunda bu işlem mümkündür?
Varsayımlarınızı ve hesaplamalarınızı çözüm sürecinizde detaylandırarak açık bir şekilde gösteriniz.
Şekil 2
İçecek Kutusu Problemi (Lingefjard’dan [2002a] uyarlanmıştır.)
retiminin amacı, öğrencilerin gerçek hayat durumları ile ilgili problemleri çözmek için ihtiyacı olan
modelleme becerileri elde etmesini ve bu becerileri
kullanabilmesini sağlamaktır.
Lingefjard (2002a; 2002b) matematiksel modellemeyi soyut ve uygulamalı matematiğin bir parçası
olarak görmektedir. Diğer bir deyişle sınıf ortamında öğretilen soyut matematik kavram ve konuları
gerçek hayatta kullanılabileceği bağlamlarla birlikte
öğretilmelidir. Lingefjard (2004), matematiksel modellemeyi bir otantik durumu gözlemleme, ilişkileri tahmin etme (saptama), matematiksel analizleri
uygulama (denklemler, sembolik yapılar vs.), matematiksel sonuçları elde etme ve modeli tekrar yorumlamayı içeren bir süreç olarak tanımlamaktadır.
Dolayısıyla Niss ve arkadaşlarının (2007) bahsettiği
gibi önce matematiksel kavramların verildiği daha
sonra bu kavramların uygulanabileceği gerçek hayat durumları üzerine çalışılan (matematik→ gerçek
hayat) bir yaklaşım bulunmaktadır. Gravemeijer
(2002) ise bunu başkaları tarafından oluşturulmuş
ve öğrenci için statik yapıda hazır modeller olarak
ifade etmektedir. Kullanılan modelleme problemlerine bakıldığında genel olarak ağır ve üst düzey matematik uygulamaları söz konusudur (bkz. Şekil 2).
Ayrıca bu yaklaşımı kullanan araştırmacılara göre,
matematiksel modelleme sadece matematik içinde
değil disiplinlerarası düşünülmesi ve ele alınması
gereken bir konudur (ör. Haines ve Crouch, 2001,
2007). Dolayısı ile diğer disiplinlerde de kullanılacak olan matematiksel modelleme becerileri iyi belirlenmeli ve bu becerileri geliştirmenin yöntemleri
aranmalıdır. Bu araştırmacılar çalışmalarında matematik eğitiminin önemli amaçlarından biri olarak
gördükleri matematiksel modelleme becerilerinin
tanımlanması, geliştirilmesi ve ölçülmesi ile ilgili
konulara odaklanmışlardır.
Bunun için modelleme becerilerinin ve yeterliliklerinin neler olduğuna, nasıl geliştirileceğine ve nasıl ölçülebileceğine yönelik farklı görüşler ortaya çıkmaktadır (Henning ve Keune, 2007). Bu konuya bütüncül
bir yaklaşımla bakılabilirken (Blomhøj ve Jensen,
2007), Crouch ve Haines (2004) gibi bazı araştırmacılar ise mikro-düzeyde bakmaktadır. Matematiksel
modelleme becerilerine mikro düzeyde bakan Ross
Crouch, John Davis, Andrew Fitzharris, Chris Haines,
John Izard, Ken Houston ve Neville Neill gibi araştırmacılar, 1991-2005 yılları arasındaki çalışmaları sonucunda matematiksel modelleme becerilerini aşağıdaki
gibi tanımlamışlardır (Lingefjard, 2004):
1. Aşağıdaki seçeneklerden hangisi sabit durumdayken hızlanan bir otomobilin zamana (t) bağlı olarak hızını veren en yakın
matematiksel ifadedir?
2. Aşağıda verilen durum üzerine düşününüz.
Araçların arka arkaya düz bir sıra halinde park edildiği bir caddeye arabanızı geri geri park etmek durumundasınız. Park
edeceğiniz boşluk arabanızın yaklaşık 1,5 katıdır.
Buna göre, manevranın başarılı bir şekilde gerçekleştirilebilmesi için aşağıdaki değişkenlerden hangisi en önemlidir?
A)Arabanın dönme yarıçapı
B) Geri gitmeye başlamadan önce arabanın park boşluğuna olan mesafesi
C)Mevcut hava koşulları
D)Kaldırıma çıkıp çıkmayacağınız
E) Geri gitmeye başlamadan önce arabanızla paralelinizde park edilmiş arabalar arasındaki mesafe
Şekil 3
Modelleme Becerilerini Ölçmeye Yönelik Soru Örnekleri
8
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar...
• Verilenleri belirleme ve sadeleştirme
• Hedefi belirginleştirme
• Problemi formülleştirme
• Değişkenleri, parametreleri ve sabitleri belirleme
• Matematiksel ifadeleri formülleştirme
• Bir matematiksel model seçme
• Grafik gösterimleri kullanma
• Gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol
etme
Aynı grup tarafından mikro-düzeydeki bu modelleme becerilerini ölçmek için geliştirilen bir test,
modelleme sürecinin her bir aşamasında öğrencilerden beklenen becerileri ayrı ayrı, mikro düzeyde
ölçmeyi hedeflemektedir (Haines, Crouch ve Davis,
2000). Şekil 3’teki ilk soru, matematiksel bir model
seçme becerisini ölçmeye yönelik iken ikinci soru,
hedefi belirginleştirme becerisini ölçmeye yöneliktir.
Matematiksel modellemeyi öğretmeyi amaçlayan
yaklaşımlarda modellemenin öğretimi üzerine çalışmalar da ön plana çıkmaktadır (bk. Ärlebäck ve
Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Bu bağlamda,
Fermi problemleri matematiksel modellemenin öğretimi sürecinde kullanılabilecek problem türlerine
örnek olarak verilmiştir (Ärlebäck, 2009; Ärlebäck
ve Bergsten, 2010; Sriraman ve Lesh, 2006). Fermi
problemleri; varsayımlarda bulunarak, sistematik
bir düşünme biçimi ve sınırlı bilgi ile hesaplanması pek mümkün olmayan büyüklüklerle ilgili
tahmin yürütmeyi içermektedir (Ärlebäck, 2009)
(bkz. Şekil 4). Ünlü fizikçi Enrico Fermi’ye atfedilen
“Şikago’da kaç tane piyano akortçusu var?” sorusu
Fermi problemleri olarak isimlendirilen problem
türünün klasik bir örneğidir (Sriraman ve Lesh,
2006). Ärlebäck’a (2009) göre Fermi problemleri,
öğrencilerin basit hesaplamalarla çözüme başlamadan önce varsayımlarda bulunarak sistematik
tahminlerde bulunmalarını gerektiren açık uçlu,
rutin olmayan problemlerdir ve matematiksel modellemenin öğretilmesi için mükemmel araçlardır.
Sriraman ve Lesh’e (2006) göre bu tür problemler bir
matematiksel modelleme problemi olmaktan ziyade,
modelleme problemleri için iyi birer başlangıç problemidir. Fermi problemleri diğer klasik problemlerle
kıyaslandığında yaşadığımız çevre ile daha yakından
ilişkili olup pedagojik olarak daha geniş ve anlamlı
olanaklar sunmaktadır (Ärlebäck ve Bergsten, 2010).
Özet olarak, matematik öğretiminin amacı olarak
matematiksel modelleme yaklaşımında matematiksel modelleme hazır öğretilen soyut matematiksel
kavram ve modellerin gerçek hayat uygulamalarını
yapabilme olarak görülmekte ve matematik öğretiminden bağımsız olarak ayrıca modelleme beceri ve
stratejilerinin öğretilmesi savunulmaktadır. Burada
modelleme becerilerinin geliştirilmesi çok önemsenmekte ve bunun için de matematiksel kavramlar
öğretildikten sonra çok sayıda gerçek hayat bağlamlı
uygulama problemleri çözülmesinin ve hatta matematik dersinden ayrı olarak matematiksel modelleme
dersi olmasının gerekliliği vurgulanmaktadır (Haines
ve Crouch, 2001). Yine de, bu yaklaşım temelinde
uygulanan modelleme problemleri, öğrencilere hem
kendi yaşamları ile ilgili gerçek problemleri çözme deneyimi kazandırmakta hem de modelleme becerilerini geliştirerek öğrencilerde modelleme süreci ile ilgili
zihinsel bir altyapı oluşturmaya yardımcı olmaktadır
(Galbraith, 2012).
Matematiği Öğretmek İçin Bir Araç (Yöntem)
Olarak Matematiksel Modelleme
Matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanımına yönelik ikinci bir yaklaşım ise
matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek
için bir araç olarak ele almaktadır. Bu bakış açısına
göre matematiksel modelleme süreci, öğrencilerin
kendi matematiksel bilgi ve modellerini oluşturup
geliştirmek için kullanılabilecek öğretim aracıdır.
Bunun için önemli matematiksel kavramlar ve fikirler, tarihsel gelişimine de uygun bir şekilde ve
sezgiselden formele doğru, uygun problemler ve
gerçek hayat durumları aracılığıyla öğretilmelidir
(Lesh ve Doerr, 2003a). Geleneksel yöntemlerde
öğrencilere hazır sunulan matematiksel bilgi ve
modeller öğrencilerin zihninde bir süreçten geçmediği için anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesi zordur.
Bunun için, öğrencilere kendi matematiksel bilgi ve
modellerini geliştirebilecekleri ortamlar sunmak
gerekir. Matematik eğitiminde Model ve Modelleme
Perspektifi (MMP) (Lesh ve Doerr, 2003a) ve Gerçekçi Matematik Eğitiminin ortaya koyduğu modelleme yaklaşımı (emergent modeling) (Gravemeijer,
1) Bir yüzme havuzunu doldurmak için kaç bardak suya ihtiyaç vardır?
2) İstanbul’da bulunan ve Türkiye’nin en yüksek binası olan Sapphire Towers’ın girişindeki danışma görevlilerine en sık sorulan
sorular şunlardır:
• Binanın en üst katında bulunan gözlem odasına asansör ne kadar zamanda çıkmaktadır?
• Eğer yürüyerek çıkmak istersek kaç dakika sürer?
Şekil 4
Örnek Fermi Problemleri (Ärlebäck’dan [2009] uyarlanmıştır.)
9
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
2002; Gravemeijer ve Stephan, 2002) bu bakış açısına sahip yaklaşımlara örnektir.
Model ve Modelleme Perspektifi (MMP): Lesh ve
Doerr (2003a) tarafından öne sürülen Matematiksel
Model ve Modelleme Perspektifi (MMP) matematikte
öğrenmeyi, öğretmeyi ve problem çözmeyi açıklayan
kapsamlı bir teorik yaklaşımdır. MMP kuramsal altyapı olarak yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorileri
temel alır. Bu yaklaşıma göre kişiler olayları, deneyimleri ve/veya problem durumlarını zihinlerinde var olan
bilişsel sistemlerini (zihinsel modellerini) kullanarak
yorumlamaya ve böylece anlamlandırmaya çalışmaktadırlar. Bu yorumlama sürecinde zihinsel modeller,
söz konusu olay veya problem durumu ile ilgili bilgiyi
düzenlemek, organize etmek ve anlamlı örüntüler bulmak için kullanılır. Modelleme sürecinde öğrencinin
çözüm bulma, çözümü test etme ve alternatif çözüm
üretme döngüsünde aktif rol alması ve sürecin sonunda bir matematiksel model geliştirmesi yapılandırmacılığın bireyin zihinsel gelişim sürecini merkeze alan
yaklaşımını yansıtmaktadır (Lesh ve Lehrer, 2003).
Ancak bu zihinsel modellerin kullanılabilmesi ve gelişimi bir takım gösterimlerle (dil, semboller, şekiller,
teknolojik araçlar vs.) ifade edilebilmesi ile mümkündür. Modelleme sürecinde grup çalışması yapılması,
grup tartışmaları neticesinde birçok döngüden geçerek
çözüme ulaşılması sosyal bir öğrenme ortamını gerektirir. Bu yönüyle teori, bilişsel gelişimin sosyo-kültürel
boyutunu da içermektedir (Lesh ve Doerr, 2003b; Lesh
ve Lehrer, 2003).
Zawojewski, Lesh ve English’e (2003) göre geleneksel matematik problem çözme etkinliklerinde, elde
edilmesi beklenen bir matematiksel (sayısal) sonuç
olduğu için paylaşılmaya ihtiyaç yoktur ve bu nedenle
sosyal yönü zayıftır. Ancak matematiksel modelleme
etkinliklerinde model oluşturma ve modeli genelleme
ilkeleri, geliştirilen bir modelin paylaşılabilir ve tekrar
kullanılabilir olmasını öngörür. Modelleme etkinliklerinde grup çalışma sürecinde her bir öğrenci kendi
gösterim yöntemleri ile problemi yorumlamakta ve
bu yorumlar grupça tartışılmaktadır. Her bir model
tartışılıp değerlendirildikten sonra da en uygun model oluşturulmaktadır. Oluşturulan model başkaları
tarafından kullanılacağından, öğrenciler her bir süreci,
yöntemi ve stratejiyi açıklamak durumundadır (Zawojewski ve ark., 2003). Burada yine grup çalışmasında
grup üyelerinin birbirlerini değerlendirmesiyle öğretmen tek değerlendirme kaynağı olmaktan da çıkmaktadır. Ayrıca grup tartışması sürecinde grup üyelerinin
iletişim becerilerini geliştirme fırsatı da ortaya çıkmaktadır.
MMP’ye göre matematik eğitiminin en önemli
amacı öğrencilerin karşılaştıkları gerçek problem
10
durumlarını yorumlayıp çözüm üretebilecekleri zihinsel modeller geliştirmelerine yardımcı olmaktır.
MMP yaklaşımı “model” ve “modelleme” terimleri için kapsamlı bir tanım sunmaktadır. Lesh ve
Doerr’a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri
ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan kavramsal yapılar ile bu yapıların dış
temsillerinin bütünüdür. Modelleme ise olayları ve
problemleri yorumlama (tanımlama, açıklama veya
oluşturma) sürecinde problem durumlarını zihinde
düzenleme, koordine etme, sistemleştirme ve organize edip bir örüntü bulma, zihinde farklı şemalar
ve modeller kullanma ve oluşturma sürecidir (s.
11). Bu bağlamda “model” bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken “modelleme” ise bir
durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini
oluşturma sürecini anlatmaktadır.
MMP yaklaşımı modelleme problemleri için “model-oluşturma” (model-eliciting) etkinlikleri ifadesini kullanmakta ve bu etkinliklerin eğitim-öğretim
sürecinde kullanılmasına önem vermektedir. Model-oluşturma etkinlikleriyle genel anlamda öğrencilere kısa bir zaman diliminde belirli matematiksel
kavramların ve modellerin tarihsel gelişimindeki
doğal süreci yaşatarak onlarda bu kavramları ihtiyaç olarak hissettirme ve sezgisel olarak ortaya çıkarma amaçlanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003a).
MMP’ye göre model-oluşturma etkinlikleri çok
farklı bağlamlarda, farklı gruplara farklı amaçlar
için kullanılabilir (Doerr ve Lesh, 2011). Sorunun
içerdiği gerçek hayat bağlamının otantik ve amaca
uygun olabilmesi için, etkinlikler oluşturulurken
modelleme tasarım prensiplerinin sağlanmasına
dikkat edilmelidir. Lesh, Hoover, Hole, Kelly ve
Post (2000) tarafından belirlenen ve modelleme
etkinliklerinde bulunması gereken özellikler Tablo
2’de gösterilmektedir.
Tablo 2’deki prensipler göz önünde bulundurularak
geliştirilen bir modelleme etkinliği Şekil 5’te gösterilmektedir. Şekil 2’deki “İçecek Kutusu” problemi
ile kıyaslandığında bazı farklılıklar görülmektedir.
“İçecek Kutusu” probleminde modellenmesi istenen durumun gerçekçiliği ve neden modellenmesi
gerektiği açık değildir. Soru kalıpları “bu durumu
modelleyiniz” şeklinde olup öğrenciden hazır bazı
modelleri kullanması beklenmektedir. Şekil 5’te
gösterilen “Su Deposu” probleminde ise daha gerçekçi bir senaryo vardır. Soru, hiçbir teknik ve matematiksel ifade kullanılmadan öğrenciyi bir çözüm
bulmaya ve çözümü yazarak ayrıntılı olarak anlatmaya yönlendirmektedir.
MMP’ye göre modelleme etkinlikleri dersin herhangi bir anında bir uygulama problemi gibi tek başına,
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar...
plansız bir şekilde uygulanmamalıdır. Matematikte
belli bir konu ile ilgili temel matematiksel fikirlerin
kazandırılması asıl hedef olmalıdır. Belli bir konu ile
ilgili temel matematiksel fikirler belirlendikten sonra öğrencileri bu fikirlere yönlendirecek, onlarda bu
fikirleri sezgisel olarak ortaya çıkarabilecek uygun
model-oluşturma etkinlikleri tasarlanmalıdır. Bir
modelleme etkinliğinin uygulanması öncesinde, sürecinde ve sonrasında planlanması gereken unsurlar
şunlardır: (i) Etkinlikle hedeflenen kavramlar, matematiksel fikirler önceden belirlenmeli; (ii) Öğrenciler
problemin bağlamına yabancı iseler bağlamın gerçekliğini ve öğrenci için anlamlılığını artırmak için
bir ısındırma etkinliği yapılmalı; (iii) Uygulamanın
hemen sonrasında modelleme esnasında öğrencilerin geliştirdikleri modelleri kullanabilecekleri devam
etkinlikleri (model-keşfetme etkinlikleri) uygulanmalıdır (Lesh ve Doerr, 2003b). MMP’ye göre modelleme
etkinlikleri öncesiyle ve sonrasıyla düşünülerek iyi
planlanmış, matematiksel bir veya birkaç kavramla ilgili model geliştirmeyi sağlayacak şekilde belli bir sıra
ve düzende uygulanmalıdır. MMP, model-oluşturma
ve devam etkinlikleri ile matematiksel konuların içerdiği ana fikirleri bir bağlam içerisinde geliştirmeyi ve
öğretmeyi hedeflemektedir (Lesh ve ark., 2003).
Tablo 2
Model-Oluşturma Etkinliklerine Yön Vermesi Beklenen Prensipler (Lesh ve arkadaşlarından [2000] uyarlanmıştır.)
Prensipler
Açıklama
Bu prensibe uygun düzenlenmiş etkinlik
öğrenciye, sorulan durum için bir çözüm
Model oluşturma olacak model (yapı) oluşturmaya, geliştirprensibi
meye ya da düzenlemeye ihtiyaç olduğunu hissettirebilmeli ve etkinlik sonunda
da öğrenci bir model oluşturabilmelidir.
Modelleme etkinliği öğrencinin sahip
Gerçeklik pren- olduğu bilgi ve deneyimleriyle anlamlı bir
sibi
gerçek hayat problemini çözebilmesine
olanak sağlamalıdır.
Öğrenci, etkinlikte kendi yorumlarının
ve vardığı sonuçların doğruluğunu kendi
Öz değerlendirme kontrol edebileceği gibi, oluşturduğu
prensibi
modelin geliştirilmesine veya düzeltilmesine ihtiyacın olup olmadığı hükmüne de
kendisi karar verebilmelidir.
Bu prensibe uygun şekilde hazırlanmış
modelleme etkinlikleri, öğrencilerin,
Model açığa
etkinlik boyunca problem durumuyla
çıkarma (belgeleilgili kendi düşünceleri ve çözüm yollarını
me) prensibi
açıkça ortaya çıkaracak yazılı bir doküman oluşturmalarını gerektirmelidir.
Modelleme etkinlikleri, öğrencinin genel
Model genelleş- bir model oluşturmasına, dolayısıyla oluştirme prensibi
turduğu modeli benzer başka durumlarda
da kullanabilmesine olanak sağlamalıdır.
Modelleme etkinlikleri, öğrencilerin
yapısal olarak benzer başka durumları da
yorumlamakta kullanabileceği, açıklama
Etkili örnek
gücü yüksek bir örnek model oluşturabilmodel (prototip) mesine olanak sağlamalıdır. Bu özelliklere
prensibi
sahip olmasının yanında problem durumu mümkün olduğunca karmaşıklıktan
uzak olmalı, öğrencinin mantıklı bir
cevap üretebilmesine olanak sağlamalıdır.
Gerçekçi Matematik Eğitiminde Modelleme Yaklaşımı (Ortaya Çıkan Modelleme Yaklaşımı):
Alanda karşımıza çıkan ve ikinci yaklaşım altında
değerlendirdiğimiz bir diğer önemli modelleme
yaklaşımı Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic
Mathematics Education) (Freudental, 1991) teorisinin sunduğu modelleme yaklaşımıdır. Bir önceki
bölümde bahsedilen MMP yaklaşımında olduğu
gibi bu modelleme yaklaşımının kuramsal altyapısı da yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorilere
dayanmaktadır (Freudental, 1991; Gravemeijer,
2002).
Bu yaklaşımda matematiksel kavramları ve matematiksel fikirleri hazır vermek yerine uygun bağlamlarda ve iyi planlanmış yönlendirmeler yaparak
öğrencilerin kendilerinin keşfetmeleri sağlanır.
Bunun amacı, öğrencilerde sezgisel olarak bazı matematiksel fikirleri geliştirmektir. Bu fikirler formel
matematiksel araçlarla desteklendiğinde de daha
anlamlı bir öğrenme olacağı düşünülmektedir. Yani
duruma özel somut düşünme tarzından daha soyut
ve genele (matematiksele) doğru bir gidiş söz konusudur. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme
sadece otantik problem durumlarının matematik
diline aktarılması değil, aynı zamanda bu otantik
durumun içerdiği olguları düzenleyerek yeni ilişkiler ortaya çıkarma olarak görülmektedir (Gravemeijer ve Stephan, 2002). Bu esasında öğrenciler
için bir tür keşfetme sürecidir. Öğrencilerin her şeyi
kendi kendine keşfetmesi beklenemeyeceği için de
rehberlik yaparak keşfettirme (guided discovery/
reinvention) yöntemi kullanılır (Doorman ve Gravemeijer, 2009). Keşfettirme sürecinde öğrencilerin
kendi formel olmayan, bağlama özel modeller geliştirmelerine imkân verdiğinden problem durumları
kilit role sahiptir. Buradaki model sadece gerçek
hayat durumunun fiziksel veya matematik diline
aktarılarak gösterimi değil, onunla birlikte gelen
ve modelin içeriğini oluşturan amaç, düşünme biçimi vb. her şeydir (Cobb, 2002). Bu bakış açısıyla
modelleme, gerçek hayat durumlarını ve bunları
anlamak, analiz etmek için kullanılan matematiksel
bilgiyi ve düşünme biçimini düzenleme ve yeniden
organize etme sürecidir.
Soyut matematiksel düşünmeye geçerken modelleme ve modellerin anlamı değişebilir. İlk aşamada öğrencilere bağlama özel stratejiler ve kişisel
modeller geliştirebilecekleri gerçek hayat problem
durumları inceletilir. Öğrenci önce kendi gösterimlerini kullanarak formel olmayan modeller oluşturacaktır (model of). Devam eden süreçte öğrenciler
bu kişisel modelleri ve model ile ilişkili matematiksel bilgilerini geliştirmeleri için desteklenir. Ki-
11
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
Su Deposu
Bir bilgisayar şirketi eğitim kurumlarına bilgisayar destekli eğitim amaçlı yazılım hazırlamaktadır. Şirkete bağlı bir ekip öğrencilerin grafik çizme ve yorumlama becerilerini geliştirmeye yardımcı olacak
bir su deposu doldurma animasyonu üzerinde çalışmaktadır. Ekibin bu animasyonu oluşturabilmesi
için su deposu doldurulurken depoda biriken suyun hacmine bağlı olarak su yüksekliğini gösteren bir
grafiğe ihtiyacı bulunmaktadır.
Ekibin matematikçi üyesi olarak sizden, yanda verilen depolar için bu grafikleri yaklaşık olarak çizmeniz ve herhangi bir şekle sahip bir su deposu için su miktarına bağlı olarak suyun yüksekliğini gösteren
grafiğin nasıl çizileceğini anlatan bir açıklama hazırlamanız istenmektedir.
Şekil 5
MMP Prensiplerine Göre Oluşturulmuş Bir Model-oluşturma Etkinliği (Carlson, Larsen ve Lesh’ten [2003] uyarlanmıştır.)
şisel gösterimleri ve bu gösterimlerin ifade ettiği
matematiksel anlamın değişmesiyle model gelişir.
Nihai olarak hedeflenen model gerçekte öğrenciler
tarafından oluşturulmasa bile, onların modellerine en yakın formel modeller seçilmelidir. Böylece,
öğrencilere formel model ile onların kişisel modelleri arasındaki yakın ilişki hissettirilmiş olur. En
sonda geliştirilen modeller, bağlamdan bağımsız
olarak matematiksel düşünme için birer formel ve
soyut modellere dönüşmelidir. Bu sürecin sonunda üzerinde çalışılan gerçek hayat bağlamı içerdiği
matematiksel kavramlar ve ilişkiler açısından daha
formel ve anlaşılır bir yapıya kavuşmuş olur. Zihindeki bu iki model (model of ve model for) arasındaki süreç somuttan soyuta doğru bir gelişimi ifade
etmektedir. Daha gelişmiş matematiksel düşünme
becerisi için modelleme sürecinde soyut matematiksel modele (model for) ulaşmak asıl hedeftir. Bu
bakış açısı ortaya çıkan modelleme yaklaşımıdır
(Doorman ve Gravemeijer, 2009).
maktadır: Galileo, serbest düşme yapan bir cismin
her bir birimlik zaman aralığında düşerken kat ettiği mesafenin 1:3:5:7 gibi tek sayılar dizisi ile orantılı
olduğunu belirlemiştir. Bu şekilde, düşen bir cismin
her bir birimlik zaman aralığında aldığı mesafelerin
lineer olarak arttığını tespit ederek zaman ile toplam mesafe arasında ikinci dereceden bir ilişki olduğunu belirleyen Galileo bunu Şekil 6’daki birinci
çizimde olduğu gibi kare alanlarının farklarını alarak göstermiştir. Gravemeijer ve Doorman’a (1999)
göre Şekil 6 üzerindeki kare bölgelerin alanlarının
farkı şeklindeki gösterim formel olmayan modeli
temsil etmektedir. Zaman içinde bu model gelişerek
ikinci şekilde grafik üzerinde görülen ve grafiğin
altında kalan alanın zamana bağlı toplam mesafeyi
verdiği fikrini gösteren formel model ortaya çıkmıştır. Burada model olarak gelişip değişen grafiğin
kendisi değil, her bir aralıkta kat edilen mesafelerin
ayrı ayrı toplanması işleminin, matematikteki “integral” fikrine dönüşmesidir.
Gravemeijer ve Doorman (1999, s. 123) kişisel modelden formel modele geçişi Galileo’nun serbest
düşme hareketini açıklama modelini ve yıllar içinde
bunun nasıl geliştiği örneğini vererek şöyle açıkla-
Ortaya çıkan modelleme yaklaşımına göre bir modelleme etkinliğinin ne gibi özelliklere sahip olması
gerektiği MMP’de olduğu kadar önem verilen bir
konu değildir. Öğrenciler için anlamlı ve matema-
Şekil 6
Serbest Düşme Hareketinin Matematiksel Modelleri (Gravemeijer ve Doorman, 1999, s. 123)
12
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar...
tiksel olarak zengin gerçek hayattan bir durumun
olması yeterlidir. Gerçek hayat problem durumu
üzerine öğrencilerin nasıl çalıştırıldığı ve süreçte
nasıl yönlendirildiği daha ön plandadır (Doorman
ve Gravemeijer, 2002). Ortaya çıkan modelleme
yaklaşımı öğrencilerin öğrenme sürecinin yanında, bu yaklaşıma uygun bir öğrenme ortamının
nasıl olması gerektiğini ve tasarlanma sürecini de
açıklamaktadır. Öğretim ortamı tasarlayıcısına
düşen görev soyut ve formel matematiksel kavramları keşfettirmeye hizmet edebilecek problem durumları oluşturmaktır. Modelleme etkinliklerinin
tek başına dersin faklı kısımlarında bir uygulama
problemi gibi kullanılmasından ziyade, bu yaklaşımda, gerçek hayat durumlarından seçilen uygun
öğrenme ortamlarının tasarlanarak öğrencilerin
deneyimlerine sunulması vurgulanmaktadır. MMP
yaklaşımı matematikte bir kavrama özel model
geliştirme dizisi tasarlama (model development sequence) gerekliliğini vurgularken, ortaya çıkan modelleme yaklaşımı daha geniş bir bakış açısıyla, seçilen problem durumları üzerinden bütün konuyu
kapsayacak şekilde bir öğretim ortamı tasarlamayı
vurgulamaktadır.
Tartışma
Matematiksel modellemenin eğitim-öğretim sürecinde kullanılması son yıllarda daha fazla ön plana
çıkmıştır. Aynı zamanda modellemenin algılanışı
ve kullanımına yönelik farklı bakış açıları ortaya
çıkmıştır (Kaiser ve Sriraman, 2006). Modelleme
matematik öğretiminde “amaç” veya “araç” olmak
üzere iki ana yaklaşım olarak görülmektedir (Blum
ve Niss, 1991; Gabraith, 2012). Matematiksel modellemeyi “amaç” olarak gören birinci yaklaşımda, matematik eğitimi sürecinde öğrencilere hazır
soyut modellerin sunulması ve bunların gerçek
hayat durumlarında uygulamalarının yapılması
ön plandadır. Bunun için matematik derslerinin
dışında modelleme teknik ve becerilerini geliştirmeyi amaçlayan derslerin olması gerektiği vurgulanmakta ve modelleme daha çok lise ve üniversite
düzeyinde ele alınmaktadır. Bu yaklaşımda, soyut
matematiksel kavramları ve onların uygulanabileceği gerçek hayat durumları ile modelleme tekniklerinin ve becerilerinin öğretilmesi söz konusu
olup daha çok sonuç ve beceri odaklıdır (Haines
ve Crouch, 2001, 2007; Izard ve ark., 2003; Lingefjard, 2002b). Öte yandan, modellemeyi matematiği
öğretmek için bir “araç” olarak gören ikinci yaklaşımda ise modelleme öğrencilerin kendi bilgilerini
geliştirmelerini destekleyecek nitelikte bir bağlam
olarak ele alınmakta ve bu çerçevede sürecin önemi
vurgulanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003b; Gravemeijer, 2002). Bireylerin süreç içerisinde kendi modellerini sezgisel olarak açığa çıkarıp geliştirmesi
hedeflenmektedir. Bu çerçevede modelleme kullanımının matematiksel iletişim ve sosyal becerilerin
gelişmesi, kavramlar arası ilişkilerin kurulması,
yeni kavramların da öğrenilmesi gibi ürünler söz
konusudur. Bu yaklaşıma göre matematiksel modelleme lise ve üniversite düzeyinden önce ve erken
dönemlerden itibaren eğitimin her kademesinde
matematik derslerinin içinde yer almalıdır (Lehrer
ve Schauble, 2003).
Her iki yaklaşım matematik eğitimi açısından karşılaştırıldığında, vurgulanması gereken bazı noktalar şunlardır. Öncelikle birinci yaklaşımda teknik
anlamda öğrencilerin matematiksel modelleme
yapabilme beceri ve yeterlilikleri önemsenir. Üst
düzey matematiksel bilgisi ve modelleme yöntem
ve tekniklerinin kullanılması söz konusudur. Bu
anlamda başlangıçta güçlü bir matematik bilgisi
ve beraberinde belirli matematiksel modelleme
teknikleri bilgisi de gereklidir. İkinci yaklaşımda
ise öğrencilerin formel olmayan düşünme şekilleri
ve çözüm yöntemleri daha çok önemsenmektedir.
Formel olmayan düşünme süreçleri öğretilmesi hedeflenen matematiksel kavramı öğrencilere ihtiyaç
olarak hissettirmek veya açığa çıkarmak suretiyle
daha anlamlı bir öğrenme sağlamayı amaçlar. Bu
çerçevede öğrencileri yeni bir kavram veya modeli öğrenmede daha aktif kılan modellemeyi matematiği öğretmek için bir “araç” olarak gören ikinci
yaklaşımın pedagojik açıdan daha güçlü olduğu
savunulabilir. Diğer taraftan modellemeyi “amaç”
olarak gören birinci yaklaşıma uygun matematik
öğretimi, üst düzey matematik bilgisi ve uygulamalarını gerektirdiğinden matematiksel yönden daha
güçlü görünmektedir. Fakat bu yaklaşıma bağlı yapılan bir matematik öğretiminin öğrencilerde başarısızlık hissi oluşturması da mümkündür. Kullanılan modelleme soru türlerinde böyle bir ayrışmayı
görmek mümkün olsa da bu iki yaklaşımı birbirinden kesin çizgilerle ayırmak mümkün değildir.
Matematiksel modelleme uygulamalarının matematik öğretimi sürecinde kullanımı önemli olmakla beraber geleneksel öğretim metotlarının yerini
alması söz konusu değildir. Burada özellikle Lesh
ve Doerr (2003a) tarafından sunulan MMP ve ortaya çıkan modelleme (Gravemeijer, 2002) yaklaşımları matematiğin anlamlı öğretimi için uygun
öğrenme ortamlarının tasarlanmasında matematiksel modelleme etkinliklerinin bir araç olarak
nasıl kullanılabileceği konusunda eğitimcilere yol
göstermektedir. MMP yaklaşımına göre öğretim
13
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ
sürecinde kullanılacak olan modelleme etkinlikleri
gerçekçilik ve etkili örnek olma gibi belirli özellikleri taşımalıdır (Lesh ve ark., 2000). Ortaya çıkan
modelleme yaklaşımında ise kullanılacak bir etkinliğin öğrencilerde hedeflenen kavramları ortaya
çıkartabilecek içeriğe sahip olması ve öğretmenin
rehberliği önemlidir (Gravemeijer ve Stephan,
2002). Matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek için “araç” olarak gören bu yaklaşımların
temel argümanı matematiksel kavramların tarihsel gelişimine benzer sürecin kısa bir süre de olsa
öğrencilere yaşatılmasıdır. Bu sayede öğrencilerin
öğretilmek istenen kavramlara ihtiyaç hissetmeleri
veya kendilerinin ortaya çıkarmaları sağlanabilir.
Sonuç olarak matematiksel modellemeyi “araç” olarak gören yaklaşımlara göre modelleme uygulamaları öğrencileri öğrenme sürecine aktif olarak dâhil
eden öğrenme ortamları sağlamaktadır.
Hangi yaklaşımla olursa olsun matematik eğitim
ve öğretim sürecinde modelleme uygulamalarının
yer alması öğrencilerin gerçek hayat durumlarında problem çözme ve analitik düşünme becerilerini geliştirmesi açısından önemlidir. Bu nedenle
matematiksel modellemenin öğretim sürecinde
kullanılması bir çok ülkede önemsenmektedir (ör.,
14
DfE, 1997; NCTM, 1989, 2000; TTKB, 2011, 2013).
Ülkemizde yenilenen matematik müfredatlarında
da öğrencilere matematiksel modelleme yapabilme
becerisi kazandırmak en önemli hedeflerden birisi olarak ifade edilmektedir (TTKB, 2013). Fakat
ülkemizde matematiksel modellemenin öğretim
sürecinde kullanımına yönelik çalışmaların yeterli
olmadığı görülmektedir. Ayrıca matematiksel modellemeyi öğretim sürecinde kullanmak isteyen
öğretmenler için de kaynak eksikliği söz konusudur. Bu konuda yapılacak çalışmaların sonucunda ortaya çıkacak olan birikimler ve tecrübeler
hizmet öncesi ve hizmet içi öğretmen eğitiminde
kaynak olarak kullanılabileceği gibi öğretmenlerin
derslerde kullanabileceği daha somut kaynakların
ortaya çıkmasına da öncülük edecektir. Fakat bu
konuda çalışma yapmak isteyen araştırmacıların
öncelikle matematiksel modelleme ile ilgili temel
kavramların ve farklı yaklaşımların farkında olmaları gerekmektedir. Bu çalışmada matematiksel modellemenin ne olduğu, modelleme etkinliklerinin
özellikleri, geleneksel problemlerden farklılıkları ve
öğretim sürecinde kullanım amacı bakımından ortaya çıkan yaklaşımlar analiz edilerek tartışılmıştır.
Educational Sciences: Theory & Practice • 14(4) • 15-21
©
2014 Educational Consultancy and Research Center
www.edam.com.tr/estp
DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039
Mathematical Modeling in Mathematics Education:
Basic Concepts and Approaches*
a
Ayhan Kürşat ERBAŞ
Mahmut KERTİL
Middle East Technical University
Marmara University
Bülent ÇETİNKAYA
c
Middle East Technical University
e
Cengiz ALACACI
b
d
Middle East Technical University
b
Erdinç ÇAKIROĞLU
Sinem BAŞ
İstanbul Medeniyet University
İstanbul Aydın University
Abstract
Mathematical modeling and its role in mathematics education have been receiving increasing attention in
Turkey, as in many other countries. The growing body of literature on this topic reveals a variety of approaches
to mathematical modeling and related concepts, along with differing perspectives on the use of mathematical
modeling in teaching and learning mathematics in terms of definitions of models and modeling, the theoretical
backgrounds of modeling, and the nature of questions used in teaching modeling. This study focuses on two
issues. The first section attempts to develop a unified perspective about mathematical modeling. The second
section analyzes and discusses two approaches to the use of modeling in mathematics education, namely
modeling as a means of teaching mathematics and modeling as an aim of teaching mathematics.
Keywords
Mathematics Education, Mathematical Model, Mathematical Modeling, Problem Solving.
* Work reported here is based on a research project supported by the Scientific and Technological Research
Council of Turkey (TUBITAK) under grant number 110K250. Opinions expressed are those of the authors and
do not necessarily represent those of TUBITAK. Ayhan Kursat Erbas is supported by the Turkish Academy of
Sciences through the Young Scientist Award Program (A.K.E./TÜBA-GEBİP/2012-11).
a Ayhan Kürşat ERBAŞ, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. His research
interests include teaching and learning of algebra, mathematics teacher education, teacher competencies,
technology integration in mathematics education, and problem solving and modeling. Correspondence:
Middle East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics
Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: erbas@metu.edu.tr
b Mahmut KERTİL, Ph.D., is currently a research assistant of mathematics education. Contact: Marmara
University, Atatürk Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics Education,
34722 İstanbul, Turkey. Email: mkertil@marmara.edu.tr
c Bülent ÇETİNKAYA, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. Contact: Middle
East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics
Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: bcetinka@metu.edu.tr
d Erdinç ÇAKIROĞLU, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. Contact: Middle
East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics
Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: erdinc@metu.edu.tr
e Cengiz ALACACI, Ph.D., is currently a professor of mathematics education. Contact: İstanbul Medeniyet
University, Faculty of Educational Sciences, 34700 İstanbul, Turkey. Email: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr
f Sinem BAŞ, Ph.D., is currently an assistant professor of mathematics education. Contact: İstanbul Aydın
University, Faculty of Education, Department of Elementary Education, 34295 İstanbul, Turkey. Email:
sinembas@aydin.edu.tr
EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE
In the last two decades, mathematical modeling has
been increasingly viewed as an educational approach
to mathematics education from elementary levels
to higher education. In educational settings,
mathematical modeling has been considered a way
of improving students’ ability to solve problems in
real life (Gravemeijer & Stephan, 2002; Lesh & Doerr,
2003a). In recent years, many studies have been
conducted on modeling at various educational levels
(e.g., Delice & Kertil, 2014; Kertil, 2008), and more
emphasis has been given to mathematical modeling
in school curricula (Department for Education
[DFE], 1997; National Council of Teachers of
Mathematics [NCTM], 1989, 2000; Talim ve Terbiye
Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013).
The term “modeling” takes a variety of meanings
(Kaiser, Blomhoj, & Sriraman, 2006; Niss, Blum,
& Galbraith, 2007). It is important for readers who
want to study modeling to be cognizant of these
differences. Therefore, the purpose of this study is
twofold: (i) Presenting basic concepts and issues
related to mathematical modeling in mathematics
education and (ii) discussing the two main approaches
in modeling, namely “modeling for the learning
of mathematics” and “learning mathematics for
modeling.” The following background information
is crucial for understanding the characterization of
modeling, its theoretical background, and the nature
of modeling problems.
Mathematical Modeling and Basic Concepts
Model and Mathematical Model: According to
Lesh and Doerr (2003a), a model consists of both
conceptual systems in learners’ minds and the
external notation systems of these systems (e.g.,
ideas, representations, rules, and materials). A
model is used to understand and interpret complex
systems in nature. Lehrer and Schauble (2003)
describe a model as an attempt to construct an
analogy between an unfamiliar system and a
previously known or familiar system. Accordingly,
people make sense of real-life situations and
interpret them by using models. Lehrer and
Schauble (2007) describe this process as modelbased thinking and emphasize its developmental
nature. They also characterize the levels of modelbased thinking as hierarchical.
Mathematical models focus on structural features
and functional principles of objects or situations
in real life (Lehrer & Schauble, 2003, 2007;
Lesh & Doerr, 2003a). In Lehrer and Schauble’s
hierarchy, mathematical models do not include
16
all features of real-life situations to be modeled.
Also, mathematical models comprise a range of
representations, operations, and relations, rather
than just one, to help make sense of real-life
situations (Lehrer & Schauble, 2003).
Mathematical Models and Concrete Materials:
In elementary education, the terms mathematical
model and modeling are usually reserved for
concrete materials (Lesh, Cramer, Doerr, Post, &
Zawojewski, 2003). Although the use of concrete
materials is useful for helping children develop
abstract mathematical thinking, according to
Dienes (1960) (as cited in Lesh et al., 2003), in this
study, mathematical modeling is used to refer to
a more comprehensive and dynamic process than
just the use of concrete materials.
Mathematical Modeling: Haines and Crouch
(2007) characterize mathematical modeling as a
cyclical process in which real-life problems are
translated into mathematical language, solved
within a symbolic system, and the solutions
tested back within the real-life system. According
to Verschaffel, Greer, and De Corte (2002),
mathematical modeling is a process in which reallife situations and relations in these situations are
expressed by using mathematics. Both perspectives
emphasize going beyond the physical characteristics
of a real-life situation to examine its structural
features through mathematics.
Lesh and Doerr (2003a) describe mathematical
modeling as a process in which existing conceptual
systems and models are used to create and develop
new models in new contexts. Accordingly, a model
is a product and modeling is a process of creating a
physical, symbolic, or abstract model of a situation
(Sriraman, 2006). Similarly, Gravemeijer and Stephan
(2002) state that mathematical modeling is not limited
to expressing real-life situations in mathematical
language by using predetermined models. It
involves associating phenomena in the situation
with mathematical concepts and representations
by reinterpreting them. To be able to express a reallife situation in mathematical language effectively,
students must have higher-level mathematical
abilities beyond just computational and arithmetical
skills, such as spatial reasoning, interpretation, and
estimation (Lehrer & Schauble, 2003).
The Mathematical Modeling Process: No strict
procedure exists in mathematical modeling for
reaching a solution by using the given information
(Blum & Niss, 1991; Crouch & Haines, 2004; Lesh &
Doerr; 2003a). Researchers agree that modeling is a
cyclical process that includes multiple cycles (Haines
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic...
& Crouch, 2007; Lehrer & Schauble, 2003; Zbiek &
Conner, 2006). In the literature, a variety of visual
references describe the stages of the cyclic nature
of the modeling process (Borromeo Ferri, 2006;
Hıdıroğlu & Bukova Güzel, 2013; Lingefjard, 2002b,
NCTM, 1989). For instance, the modeling process
described in the earlier Standards document by
NCTM (1989, p. 138) emphasizes that mathematical
modeling is a non-linear process that includes five
interrelated steps: (i) Identify and simplify the realworld problem situation, (ii) build a mathematical
model, (iii) transform and solve the model, (iv)
interpret the model, and (v) validate and use the
model. Such types of diagrams can help readers and
teachers understand the probable stages that students
may experience during the modeling processes.
Mathematical Modeling and Problem Solving:
Mathematical modeling is often confused with
traditional word problems. From the view of Reusser
and Stebler (1997), traditional word problems cause
students to develop some didactic assumptions
about problem solving. Moreover, the real-life
contexts in these problems are often not sufficiently
realistic and thus fail to support students’ abilities
to use mathematics in the real world (English,
2003; Lesh & Doerr, 2003; Niss et al., 2007). While
working on such problems, students often simply
focus on figuring out the required operations (e.g.,
Greer, 1997; Nunes, Schliemann & Carraher, 1993).
Some studies focus on reorganizing word problems
to enable students to gain competence in thinking
about real-life contexts while solving them (Greer
1997; Verschaffel & De Corte, 1997; Verschaffel, De
Corte, & Borghart, 1997; Verschaffel et al., 2002).
Such versions of word problems can be used as
warm-up exercises in preparation for modeling
(Verschaffel & De Corte, 1997).
While Lingefjard (2002b) argues that it is
unreasonable to compare problem solving and
modeling, the similarities and differences between
them can be useful (Lesh & Doerr, 2003a; Lesh
& Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman,
& Christou, 2007; Zawojewski & Lesh, 2003).
The following table briefly describes a few of the
important differences between the two concepts.
Mathematical Modeling Approaches
Different approaches have been proposed with
different theoretical perspectives for using
modeling in mathematics education, and no
single view is agreed upon among educators
(Kaiser, Blum, Borromeo Ferri, & Stillman, 2011;
Kaiser & Sriraman, 2006). To clarify the different
perspectives on this issue and reach a consensus,
these similarities and differences should be
elaborated (Kaiser, 2006; Kaiser & Sriraman, 2006;
Sriraman, Kaiser, & Blomhoj, 2006). Kaiser’s (2006)
and Kaiser and Sriraman’s (2006) classification
systems for presenting modeling approaches can
be considered the leading perspective. According
to this scheme, the perspectives are classified as
(i) realistic or applied modeling, (ii) contextual
modeling, (iii) educational modeling, (iv) sociocritical modeling, (v) epistemological or theoretical
modeling, and (vi) cognitive modeling. Generally,
modeling is also classified by its purpose in
mathematics education, such as (i) modeling as the
purpose of teaching mathematics or (ii) modeling
as a means to teach mathematics (Galbraith, 2012;
Gravemeijer, 2002; Julie & Mudaly, 2007; Niss et al.,
2007).
Table 1
A Comparison between Problem Solving and Mathematical Modeling (Adapted from Lesh & Doerr [2003a] and Lesh & Zawojewski [2007])
Traditional Problem Solving
Mathematical Modeling
Process of reaching a conclusion using data
Multiple cycles, different interpretations
Context of the problem is an idealized real-life situation or a
realistic life situation
Authentic real-life context
Students are expected to use taught structures such as
formulas, algorithms, strategies, and mathematical ideas
Students experience the stages of developing, reviewing, and
revising important mathematical ideas and structures during
the modeling process
Individual work emphasized
Group work emphasized (social interaction, exchange of
mathematical ideas, etc.)
Abstracted from real life
Interdisciplinary in nature
Students are expected to make sense of mathematical symbols
and structures
In modeling processes, students try to make mathematical
descriptions of meaningful real-life situations
Teaching of specific problem-solving strategies (e.g.,
developing a unique approach, transferring onto a figure)
transferable to similar problems
Open-ended and numerous solution strategies, developed
consciously by students according to the specifications of the
problem.
A single correct answer
More than one solution approach and solution (model)
possible
17
EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE
Modeling as the Purpose of Teaching Mathematics
In this perspective, mathematical modeling is seen
as a basic competency, and the aim of teaching
mathematics is to equip students with this competency
to solve real-life problems in mathematics and in
other disciplines (Blomhøj & Jensen, 2007; Blum,
2002; Crouch & Haines, 2004; Haines & Crouch,
2001; Izard, Haines, Crouch, Houston, & Neill, 2003;
Lingefjard, 2002a; Lingefjard & Holmquist, 2005).
In this approach, initially, mathematical concepts
and mathematical models are provided and later
these ready-made concepts or models are applied to
real-world situations (i.e., mathematics " reality)
(Lingefjard, 2002a, 2002b, 2006; Niss et al., 2007).
Mathematical models and concepts are considered
as already existing objects (Gravemeijer, 2002).
Researchers adopting this perspective focus on the
issue of conceptualizing, developing, and measuring
the modeling competencies (e.g., Haines & Crouch,
2001, 2007). In the literature, different viewpoints
exist on this issue (Henning & Keune, 2007). While
Blomhøj and Jensen (2007) adopt a holistic approach,
other studies address this issue at the micro level
(Crouch & Haines, 2004; Haines, Crouch, & Davis,
2000; Lingefjard, 2004). Furthermore, some studies
focus on teaching mathematical modeling (Ärlebäck
& Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Fermi problems,
for example, are regarded as appropriate kinds of
problems for teaching of modeling (Ärlebäck, 2009;
Ärlebäck & Bergsten, 2010). Sriraman and Lesh
(2006) contend that Fermi problems can be used as
warm-up and starting exercises in preparation for
modeling.
Modeling as a Means for Teaching Mathematics
In this approach, modeling is considered a vehicle
for supporting students’ endeavors to create and
develop their primitive mathematical knowledge
and models. The Models and Modeling Perspective
(Lesh & Doerr, 2003a) and Realistic Mathematics
Education (Gravemeijer, 2002; Gravemeijer &
Stephan, 2002) are two examples of this approach.
Models and Modeling Perspective (MMP)
The models and modeling perspective is a new
and comprehensive theoretical approach to
characterizing mathematical problem-solving,
learning, and teaching (Lesh & Doerr, 2003a; 2003b)
that takes constructivist and socio-cultural theories
as its theoretical foundation. In this perspective,
individuals organize, interpret, and make sense
18
of events, experiences, or problems by using their
mental models (internal conceptual systems). They
actively create their own models, consistent with
the basic ideas of constructivism (Lesh & Lehrer,
2003). Moreover, for productive use of models for
addressing complex problem-solving situations,
they should be externalized with representational
media (e.g., symbols, figures).
Model-eliciting activities (MEAs) are specially
designed for use within the MMP. In MEAs, students
are challenged to intuitively realize mathematical
ideas embedded in a real-world problem and to
create relevant models in a relatively short period
of time (Carlson, Larsen, & Lesh, 2003; Doerr &
Lesh, 2011). Lesh, Hoover, Hole, Kelly, and Post
(2000) offered six principles to guide the design of
MEAs: (i) the model construction principle, (ii) the
reality principle, (iii) the self-assessment principle,
(iv) the construct-documentation principle, (v) the
construct shareability and reusability principle,
and (vi) the effective prototype principle. In the
implementation of MEAs, students work in teams
of three to four. They are expected to work on
creating shareable and reusable models, which
encourage interaction among students. Therefore,
the social aspect of learning is another component
of the MMP (Zawojewski, Lesh, & English, 2003).
According to Lesh et al. (2003), MEAs should not
be used as isolated problem- solving activities.
They should be used within model development
sequences, where warm-up and follow up activities
are also important.
The Modeling Approach in Realistic Mathematics
Education
Similar to the MMP, the modeling approach
assumed by RME is based on constructivist
and socio-cultural theories (Freudental, 1991;
Gravemeijer, 2002). In this approach, modeling goes
beyond translating real-life problem situations into
mathematics. It involves revealing new relations
among phenomena embedded in the situations by
organizing them (Gravemeijer & Stephan, 2002).
In modeling, students initially work on real-life
situations and create their primitive models, which
are called model of. The term “model” describes not
only the physical or mathematical representations
of the phenomena, but also the components
of students’ conceptual systems, such as their
purpose and ways of thinking about the situation
(Cobb, 2002). With the help of carefully designed
real-life problems and learning environments
that encourage students to discover sophisticated
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic...
mathematical models, students proceed to create
more abstract and formal models, which are
called model for (Doorman & Gravemeijer, 2009).
Accordingly, modeling is characterized as a process
of moving from “model of ” to “model for,” which
is called as emergent modeling (Doorman &
Gravemeijer, 2009; Gravemeijer & Doorman, 1999).
Besides describing students’ learning process, this
perspective also assumes principles about how
a learning environment should be designed to
support students’ emergent modeling processes.
Discussion and Conclusion
In recent years, using modeling in mathematics
education has been increasingly emphasized
(NCTM, 1989, 2000; TTKB, 2011, 2013). A variety
of different perspectives have been proposed for the
conceptualization and usage of modeling (Kaiser
& Sriraman, 2006). These perspectives can be
grouped into two main categories: (i) modeling as a
means for teaching mathematics and (ii) modeling
as the aim of teaching mathematics (Blum & Niss,
1991; Galbraith, 2012). In the first perspective,
students are provided with predetermined models
and are expected to apply these models to real-life
situations. The ultimate goal is to improve students’
modeling competencies (Haines & Crouch, 2001,
2007; Izard et al., 2003; Lingefjard, 2002b). In the
second perspective, the underlying assumption is
that students can learn fundamental mathematical
concepts meaningfully through a modeling
process in which they need and intuitively discover
mathematical concepts while addressing a real-life
problem-solving situation (Lesh & Doerr, 2003a).
In summary, the second approach (i.e., modeling
as a means for teaching mathematics) seems more
developed for pedagogical purposes. However,
whatever approach is preferred and used,
integrating modeling into mathematics education
is important for improving students’ problemsolving and analytical thinking abilities. However,
few studies have been conducted in Turkey
on using modeling in mathematics education.
Furthermore, there are insufficient resources (e.g.,
modeling tasks) for teachers who want to integrate
modeling into their teaching. Thus, there is a need
for more research on using modeling for different
levels of education. This can enable the production
of resources that can be used in pre-service and
in-service teacher education programs. Sources
including good examples of modeling tasks are
needed for teachers.
19
EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE
References/Kaynakça
Ärlebäck, J. B. (2009). On the use of realistic Fermi
problems for introducing mathematical modelling in
school. The Montana Mathematics Enthusiast, 6(3), 331364.
Ärlebäck, J. B., & Bergsten, C. (2010). On the use of
realistic Fermi problems in introducing mathematical
modelling in upper secondary mathematics. In R. Lesh,
P. L. Galbraith, W. Blum, & A. Hurford (Eds.), Modeling
students’ mathematical modeling competencies, ICTMA 13
(pp. 597-609). New York, NY: Springer.
Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). What’s all the fuss
about competencies? In W. Blum, P. L. Galbraith, H.
Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in
mathematics education. The 14th ICMI study (pp. 45-56).
New York, NY: Springer.
Blum, W. (2002). ICMI Study 14: Applications and
modelling
in
mathematics
education-Discussion
document. Educational Studies in Mathematics, 51(1-2),
49-171.
Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical
problem solving, modelling, application, and links to
other subjects-state, trends, and issues in mathematics
instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1),
37-68.
Borromeo Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical
differentiations of phases in the modelling process. ZDM –
The International Journal on Mathematics Education, 38(2),
86-95.
Carlson, M., Larsen, S., & Lesh, R. (2003). Integrating
models and modeling perspective with existing research
and practice. In R. Lesh & H. Doerr (Eds.), Beyond
constructivism: A models and modeling perspective (pp. 465478). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Cobb, P. (2002). Modeling, symbolizing, and tool use
in statistical data analysis. In K. Gravemeijer, R. Lehrer,
B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling
and tool use in mathematics education (pp. 171-196).
Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Crouch, R., & Haines, C. (2004). Mathematical modelling:
transitions between the real world and mathematical
model. International Journal of Mathematical Education in
Science and Technology, 35(2), 197-206.
Delice, A., & Kertil, M. (2014). Investigating the
representational fluency of pre-service mathematics
teachers in a modeling process. International Journal of
Science and Mathematics Education. doi: 10.1007/s10763013-9466-0.
Department for Education. (1997). Mathematics in the
national curriculum. London, UK: DFE Welch Office.
Doerr, H., & Lesh, R. (2011). Models and modelling
perspectives on teaching and learning mathematics
in the twenty-first century. In G. Kaiser, W. Blum, R.
BorromeoFerri, & G. Stillman (Eds.), Trends in teaching
and learning of mathematical modeling: ICTMA 14 (pp.
247–268). Dordrecht, The Netherlands: Springer.
Doorman, L. M., & Gravemeijer, K. (2009). Emerging
modeling: Discrete graphs to support the understanding of
change and velocity. ZDM – The International Journal on
Mathematics Education, 38(3), 302-310.
Freudental, H. (1991). Revisiting mathematics education.
Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Galbraith, P. (2012). Models of modelling: genres, purposes
or perspectives. Journal of Mathematical Modeling and
Application, 1(5), 3-16.
20
Gravemeijer, K. (2002). Preamble: From models to
modeling. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Oers, & L.
Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use
in mathematics education (pp. 7-22). Dordrecht, The
Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Gravemeijer, K., & Doorman, M. (1999). Context problems
in realistic mathematics education: A calculus course as an
example. Educational Studies in Mathematics, 39, 111-129.
Greer, B. (1997). Modelling reality in mathematics
classrooms: The case of word problems. Learning and
Instruction, 7(4), 293-307.
Gravemeijer, K., & Stephan, M. (2002). Emergent models as
an instructional design heuristic. In K. Gravemeijer, R. Lehrer,
B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and
tool use in mathematics education (pp. 145-169). Dordrecht,
The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Haines, C., & Crouch, R. (2001). Recognizing constructs
within mathematical modelling. Teaching Mathematics and
its Applications, 20(3), 129-138.
Haines, C., & Crouch, R. (2007). Mathematical modeling
and applications: Ability and competence frameworks.
In W. Blum, P. L. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.),
Modelling and applications in mathematics education: The
14th ICMI study (pp. 417-424). New York, NY: Springer.
Haines, C., Crouch, R., & Davis, J. (2000). Mathematical
modelling skills: A research instrument (Technical Report
No. 55). Hatfield, UK: University of Hertfordshire,
Department of Mathematics.
Henning, H., & Keune, M. (2007). Levels of modeling
competencies. In W. Blum, P. L. Galbraith, H-W. Henn, &
M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics
education: The 14th ICMI Study (pp. 225-232). New York:
Springer.
Hıdıroğlu, Ç. N. ve Bukova Güzel, E. (2013). Matematiksel
modelleme sürecini açıklayan farklı yaklaşımlar. Bartın
Eğitim Fakültesi Dergisi, 2(1), 127-145.
Izard, J., Haines, C., Crouch, R., Houston, K., & Neill, N.
(2003). Assessing the impact of teachings mathematical
modeling: Some implications. In S. J. Lamon, W. A. Parker,
& S. K. Houston (Eds.), Mathematical modelling: A way of
life ICTMA 11 (pp. 165-177). Chichester, UK: Horwood
Publishing.
Julie, C., & Mudaly, V. (2007). Mathematical modelling
of social issues in school mathematics in South Africa.
In W. Blum, P. Galbraith, M. Niss, & H.-W. Henn (Eds.),
Modelling and applications in mathematics education: The
14th ICMI study (pp. 503-510). New York, NY: Springer.
Kaiser, G. (2006). Introduction to the working group
“Applications and Modelling”. In M. Bosch (Ed.),
Proceedings of the Fourth Congress of the European Society
for Research in Mathematics Education (CERME 4) (pp.
1613-1622). Sant Feliu de Guíxols, Spain: FUNDEMI IQS,
Universitat Ramon Llull.
Kaiser, G., & Sriraman, B. (2006). A global survey of
international perspectives on modelling in mathematics
education. ZDM – The International Journal on
Mathematics Education, 38(3), 302-310.
Kaiser, G., Blomhøj, M., & Sriraman, B. (2006). Towards a
didactical theory for mathematical modelling. ZDM– The
International Journal on Mathematics Education, 38(2), 8285.
Kaiser, G., Blum, W., Borromeo Ferri, R., & Stillman, G.
(2011). Preface. In G. Kaiser, W. Blum, R. BorromeoFerri,
& G. Stillman (Eds.), Trends in teaching and learning of
mathematical modelling: ICTMA14 (pp. 1-5). Dordrecht,
The Nedherlands: Springer.
ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic...
Kertil, M. (2008). Matematik öğretmen adaylarının problem
çözme becerilerinin modelleme sürecinde incelenmesi (Yüksek
lisans tezi, Marmara Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Bölümü,
Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim
Dalı, İstanbul). http://tez.yok.gov.tr adresinden edinilmiştir.
Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Origins and evaluation of
model-based reasoning in mathematics and science. In R.
Lesh, & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models
and modeling perspectives on mathematics problem solving,
learning, and teaching (pp. 59-70). Mahwah, NJ: Lawrence
Erlbaum.
Lehrer, R., & Schauble, L. (2007). A developmental
approach for supporting the epistemology of modeling. In
W. Blum, P. L. Galbraith, H-W. Henn, & M. Niss (Eds.),
Modeling and applications in mathematics education (pp.
153-160). New York, NY: Springer.
Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H. M., Post, T., & Zawojewski,
J. S. (2003). Model development sequences. In R. Lesh, & H.
M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling
perspectives on mathematics problem solving, learning, and
teaching (pp. 3-33). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003a). Foundations of a models
and modeling perspective on mathematics teaching,
learning, and problem solving. In R. Lesh, & H. M. Doerr
(Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling
perspectives on mathematics problem solving, learning, and
teaching (pp. 3-33). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
National Council of Teachers of Mathematics. (1989).
Curriculum and evaluation standards for school
mathematics. Reston, VA: Author.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000).
Principles and standards for school mathematics. Reston,
VA: Author.
Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. L. (2007). Introduction.
In W. Blum, P. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.),
Modelling and applications in mathematics education: The
14th ICMI study (pp. 3-32). New York: Springer.
Nunes, T., Schliemann, A. D., & Carraher, D. W. (1993).
Mathematics in the streets and in schools. Cambridge, UK:
Cambridge University Press.
Reusser K., & Stebler, R. (1997). Every word problem has a
solution-the social rationality of mathematical modeling in
schools. Learning and Instruction, 7(4), 309-327.
Sriraman, B. (2006). Conceptualizing the model-eliciting
perspective of mathematical problem solving. In M. Bosch
(Ed.), Proceedings of the Fourth Congress of the European
Society for Research in Mathematics Education (CERME 4)
(pp. 1686-1695). Sant Feliu de Guíxols, Spain: FUNDEMI
IQS, Universitat Ramon Llull..
Sriraman, B., Kaiser, G., & Blomhøj, M. (2006). A brief
survey of the state of mathematical modeling around the
world. ZDM – The International Journal on Mathematics
Education, 38, 212-213.
Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003b). In what ways does
a models and modeling perspective move beyond
constructivism. In R. Lesh, & H. M. Doerr (Eds.), Beyond
constructivism: Models and modeling perspectives on
mathematics problem solving, learning and teaching (pp.
519-556). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Sriraman, B., & Lesh, R. (2006). Modeling conceptions
revisited. ZDM – The International Journal on Mathematics
Education, 38, 247-253.
Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A., & Post, T. (2000).
Principles for developing thought-revealing activities
for students and teachers. In R. Lesh, & A. Kelly (Eds.),
Handbook of research design in mathematics and science
education (pp. 591-645). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı. (2013). Ortaöğretim
matematik dersi (9, 10, 11 ve 12. sınıflar) öğretim programı.
Ankara: T.C. Milli Eğitim Bakanlığı.
Lesh, R., & Lehrer, R. (2003). Models and modeling
perspectives on the development of students and teachers.
Mathematical Thinking and Learning, 5(2&3), 109-129.
Lesh, R., & Zawojewski, J. S. (2007). Problem solving and
modeling. In F. Lester (Ed.), The handbook of research on
mathematics teaching and learning (2nd ed., pp. 763-804).
Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics;
Charlotte, NC: Information Age Publishing.Lingefjärd, T.
(2002a). Teaching and assessing mathematical modelling.
Teaching Mathematics and its Applications, 21(2), 75-83.
Lingefjärd, T. (2002b). Mathematical modeling for
preservice teachers: A problem from anesthesiology.
International Journal of Computers for Mathematical
Learning, 7, 117-143.
Lingefjard, T. (2004). Assessing engineering student’s
modeling skills. Retrieved from http://www.cdio.org/files/
assess_model_skls.pdf
Lingefjard, T. (2006). Faces of mathematical modeling.
ZDM – The International Journal on Mathematics
Education, 38(2), 96-112.
Lingefjärd, T., & Holmquist, M. (2005). To assess students’
attitudes, skills and competencies in mathematical
modeling. Teaching Mathematics and Its Applications, 24(23), 123-133.
Mousoulides, N., Sriraman, B., & Christou, C. (2007).
From problem solving to modeling– the emergence of
models and modelling perspectives. Nordic Studies in
Mathematics Education, 12(1), 23-47.
Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı. (2011). Ortaöğretim
matematik (9, 10, 11 ve 12. sınıflar) dersi öğretim programı.
Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü.
Verschaffel, L., & De Corte, E. (1997). Teaching realistic
mathematical modeling and problem solving in the
elementary school. A teaching experiment with fifth
graders. Journal for Research in Mathematics Education,
28(5), 577-601.
Verschaffel, L., De Corte, E., & Borghart, I. (1997). Preservice teachers’ conceptions and beliefs about the role of
real-world knowledge in mathematical modeling of school
word problems. Learning and Instruction, 7(4), 339-359.
Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2002). Everyday
knowledge and mathematical modeling of school word
problems. In K. P. Gravemeijer, R. Lehrer,H. J. van Oers,
& L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use
in mathematics education (pp. 171-195). Dordrecht, The
Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Zawojewski, J. S., & Lesh, R. (2003). A models and
modelling perspective on problem solving. In R. A. Lesh,
& H. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and
modeling perspectives on mathematics problem solving,
learning, and teaching (pp. 317-336). Mahwah, NJ:
Lawrence Erlbaum.
Zawojewski, J. S., Lesh, R., & English, L. (2003). A models
and modeling perspective on the role of small group
learning activities. In R. A. Lesh, & H. Doerr (Eds.),
Beyond constructivism: Models and modeling perspectives
on mathematics problem solving, learning, and teaching (pp.
337-358). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Zbiek, R., M., & Conner, A. (2006). Beyond motivation:
Exploring mathematical modeling as a context for deepening
students’ understandings of curricular mathematics.
Educational Studies in Mathematics, 69, 89-112.
21
EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE
22

Kadına Yönelik Aile İçi Şiddetle Baş Etme

2676 Ocak 2014-Ek - Tebliğler Dergisi

Dergi Hakkında Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi Ocak ve

ADAM NASIL OLDU DA İNSANLIĞINI YİTİRİP

ilk sayfalar.indd

buradan

fakültemizde çalışacak kısmi zamanlı öğrenci listesi

P12. Disiplinler Arası Bir Bilim Dalı: Biyoinformatik