n - Selçuk Üniversitesi

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GENELLEŞTİRİLMİŞ k-FİBONACCİ VE
k-LUCAS SAYILARININ YENİ BİR AİLESİ
Ayşe ATALAY
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Matematik Anabilim Dalını
Temmuz-2013
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
ÖZET
YÜKSEK LİSANS TEZİ
GENELLEŞTİRİLMİŞ k-FİBONACCİ VE k-LUCAS SAYILARININ
YENİ BİR AİLESİ
Ayşe ATALAY
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU
2013, 45 Sayfa
Jüri
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Doç. Dr. Buğra SARAÇOĞLU
Bu çalışmada öncelikle, Moawwad El Mikkawy ve Tomohiro Sogabe tarafından Fibonacci
Fn(k ) , k-Fibonacci sayılarının yeni bir ailesi tanımlanıp ve bu tanımdan
(k )
faydalanılarak Lucas sayılarının yeni bir ailesi olan Ln , k-Lucas sayılarının yeni ailesi elde edilmiştir.
(k )
(k )
Bu yeni aileden yararlanılarak k-Fibonacci ve k-Lucas sayıları için Fs,n ve Ls ,n şeklinde gösterilen yeni
sayılarının yeni bir ailesi olan
bir aile tanımlandı. Daha sonra
Fs(,kn)
ve
L(sk,n)
sayıları için çeşitli teoremler ve özdeşlikler elde edildi.
Anahtar Kelimeler: Fibonacci Sayıları, Lucas Sayıları, k-Fibonacci Sayıları, k-Lucas Sayıları, kFibonacci Sayılarının Yeni Bir Ailesi, k-Lucas Sayılarının Yeni Bir Ailesi
iv
ABSTRACT
MS THESIS
A NEW FAMİLY OF THE GENERALİZED k-FİBONACCİ
AND k-LUCAS NUMBERS
Ayşe ATALAY
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF
SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE MATHEMATICS
Advisor: Asst. Prof. Dr. Kemal USLU
2013 , 45 Pages
Jury
Advisor: Asst. Prof. Dr. Kemal USLU
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Assoc. Prof. Dr. Buğra SARAÇOĞLU
In this study, first the A new family of k-Fibonacci numbers
Fn(k )
were defined as a new family
of the Fibonacci numbers by Mowwad El-Mikkawy and Tomohiro Sogabe. Using this definition, A new
family of k-Lucas numbers
L(kn )
were obtained as a new family of Lucas numbers. We have using this
new family, A new family of k-Fibonacci and k-Lucas numbers
Fs(,kn)
and
Finally, for a new family of k-Fibonacci and k-Lucas numbers
L(sk,n)
(k )
s ,n
F
were defined.
and
L(sk,n)
some theorems
and identities were obtained by Binet Formula and some important properties.
Keywords: Fibonacci Numbers, Lucas Numbers, k-Fibonacci Numbers, k-Lucas Numbers, A
New Family of k-Fibonacci Numbers, A New Family of k-Lucas Numbers
v
ÖNSÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Ana Bilim Dalı
Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU danışmanlığında yapılarak, Selçuk
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Çalışmamız üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmamıza yardımcı
olacak ön bilgilerden bahsedilmiştir. Fibonacci ve Lucas sayıları, k-Fibonacci ve kLucas sayıları ve bunların yeni ailesi hakkında kısaca bilgiler verilmiştir.
İkinci bölümde; k-Fibonacci sayılarının yeni ailesi olan Fs(,kn) nın tanımı
yapılmıştır. Ardından tanımlanan bu yeni aile ile alakalı çeşitli teoremler ve özdeşlikler
sunulmuştur.
Üçüncü bölümde k-Lucas sayılarının yeni ailesi olan L(sk,n) , k-Fibonacci sayılarının
yeni ailesi olan Fs(,kn) nın tanımından faydalanılarak elde edilmiş ve bu aile için de çeşitli
teorem ve özdeşlikler bulunmuştur.
Çalışmam süresince en içten yardımlarıyla bana yön veren Yrd. Doç.Dr. Kemal
USLU hocama ve hem maddi hem manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız
bırakmayan çok değerli eşime ve aileme teşekkürlerimi sunarım.
Ayşe ATALAY
KONYA-2013
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT ..................................................................................................................... v
ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ............................................................................................................. vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ viii
1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1
1.1. Fibonacci Sayıları…………………………………………………………… .2
1.2. Fibonacci Sayıları İle İlgili Özdeşlikler……………………………………….6
1.3. Lucas Sayıları…..……………………………….……………………………6
1.4. Lucas Sayıları ile İlgili Özdeşlikler …………………………………………..7
1.5. Fibonacci ve Lucas Sayıları Arasındaki Özdeşlikler …………….…………..7
1.6. k-Fibonacci Sayıları………………………………………...………………....8
1.7. k-Fibonacci Sayıları için Özdeşlikler ….........………………………………..9
1.8. k-Lucas Sayıları……………………………………………………………..10
1.9. k-Lucas Sayıları için Özdeşlikler …...………………………………………11
1.10. k-Fibonacci Sayılarının Yeni Bir Ailesi …………………………………...11
1.11. k-Fibonacci Sayılarının Yeni Ailesine Ait Bazı Özdeşlikler ………………18
1.12. k-Lucas Sayılarının Yeni Bir Ailesi ……………………………………….20
2. k-FİBONACCİ SAYILARININ FARKLI YENİ BİR AİLESİ …………………25
2.1. k-Fibonacci Sayılarının Farklı Yeni Ailesine Ait Bazı Özdeşlikler ………...32
3. k-LUCAS SAYILARININ FARKLI YENİ BİR AİLESİ ……………………….34
3.1. k-Lucas Sayılarının Farklı Yeni Ailesine Ait Bazı Özdeşlikler …………….40
4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ................................................................................. 42
4.1. Sonuçlar ……………………………………………………………………..42
4.2. Öneriler ……………………………………………………………………...42
KAYNAKLAR .............................................................................................................. 43
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. 45
vii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada yer alan bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda verilmiştir.
Simgeler
Açıklama
Fn
Ln
Fk ,n
Lk ,n
n. Fibonacci Sayısı
n. Lucas Sayısı
n. k-Fibonacci Sayısı
n. k-Lucas Sayısı
Fn(k )
L(kn )
Fs(,kn)
k-Fibonacci Sayısının Yeni Ailesinin n. Sayısı
(k )
s ,n
k-Lucas Sayısının Yeni Bir Ailesinin n. Sayısı
k-Lucas Sayısının Yeni Ailesinin n. Sayısı
k-Fibonacci Sayısının Yeni Bir Ailesinin n. Sayısı
L
Fn 
Ln 
Fk,n 
Lk,n 
F
L
F
L




Fibonacci Dizisi
Lucas Dizisi
k-Fibonacci Dizisi
k-Lucas Dizisi
k-Fibonacci Sayılarının Yeni Bir Ailesinin Dizisi
(k )
n
(k )
n
(k )
s ,n
k-Lucas Sayılarının Yeni Bir Ailesinin Dizisi
(k )
n
k-Lucas Sayılarının Yeni Bir Ailesinin Dizisi
k-Fibonacci Sayılarının Yeni Bir Ailesinin Dizisi
viii
1
1. GİRİŞ
Giriş bölümü, çalışmama yardımcı olan kaynakların verildiği bölümdür. Bu
bölümde kaynaklar hakkında kısa bir bilgi verilecektir.
[5]’te Falcon ve Plaza, genelleştirilmiş Fibonacci sayıları olan k-Fibonacci
sayılarını tanımladılar ve Fibonacci dizisi ile Pell dizisinin bu sayı dizisinden elde
edilebileceğinin gösterdiler.
[18]’de K. Uslu, N. Taskara, H. Köse, genelleştirilmiş k-Fibonacci ve k-Lucas
sayılarını tanımladılar. Bu çalışmada Fk ,n ve Lk ,n k-Fibonacci ve k-Lucas sayıları
genelleştirilmiş k-Fibonacci ve k-Lucas sayıları Gk ,n adı altında genelleştirildi. Buna
göre her k pozitif reel sayısı için Gk ,0  a ve Gk ,1  b başlangıç koşulları altında;
Gk ,n1  kGk ,n  Gk ,n1 ,
n 1
olarak tanımlanmıştır.
[4]’de Moawwad El-Mikkawy, Tomohiro Sogabe k-Fibonacci sayılarının yeni bir
ailesini tanımladılar. Bu çalışmaya göre n ve k (k  0) doğal sayılar olsun. Bu
takdirde n  mk  r
(0  r  k ) olacak şekilde m ve r sayıları bulunur. Bu
parametreleri kullanarak Fn(k ) , genelleştirilmiş k-Fibonacci sayıları
Fn( k ) 
1
( m1   m1 ) r ( m   m ) k r , n  mk  r
k
( 5)
(0  r  k )
şeklinde tanımlanmıştır. Dolayısıyla k-Fibonacci sayılarına yeni bir boyut getirilmiştir.
[21]’de Nazmiye Yılmaz, Yasin Yazlık, Necati Taskara, k-Fibonacci sayılarının
yeni ailesini genelleştirdiler. Buna göre n ve k (k  0) doğal sayılar olmak üzere
genelleştirilmiş k-Fibonacci sayılarının yeni ailesini
Gn( k ) 
1
( X m1  Y m1 ) r ( X m  Y m ) k r ,
k
( 5)
şeklinde tanımladılar.
n  mk  r
(0  r  k )
2
Biz ise bu çalışmada k-Fibonacci ve k-Lucas sayılarının yeni ailesini ele alarak
farklı bir aile tanımladık ve bu aile ile ilgili çeşitli teoremler ve özdeşlikler elde ettik.
1.1. Fibonacci Sayıları
Leonardo Fibonacci İtalya’nın Pisa şehrinde doğmuş olan İtalyan bir
matematikçidir. Bu nedenle Pisalı Leonardo olarak da anılmaktadır. Fibonacci bir
problemi araştırırken bu sayıları buluyor ve kendi adını veriyor:
{0,1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377, 610, 987 , ...}
dizisi Fibonacci dizisi olarak geçiyor. Fibonacci dizisinin özelliği kendinden önceki iki
ardışık sayının toplamının kendisinden sonraki sayıya eşit olmasıdır.
İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan
çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme
göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü
aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci'nin arkadaşı bir
çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?
İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu
yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu
tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir
çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay
doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift
tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba.
Düşünsenize 100. aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100.ayda
kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa
onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak
olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda
sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan sayısını
bulmak için 98. aydaki tavşan sayısıyla 99. aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.
Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak
ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız
gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değil de üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve
ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak.
İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.
Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:
3
F1  1, F2  1
Fn = Fn-1 + Fn-2 , n > 2
Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946...
Dizilim içindeki bir sayıyı kendisinden önce gelen sayıya bölerek
ilerlersek
ulaşacağımız sonuç 1,618 rakamına sürekli yaklaşacak şekilde oluşacaktır.
Peki nedir Fibonacci Sayılarını
oran
Altın
2.
Dizinin
3.
Sayıların sayılar teorisinde farklı birçok kullanımının olması Fibonacci sayılarını
küçük
çok
önemli
elemanlarının
doğada
bir
yapan?
1.
daha
sayısının
yüzyıllardır bu kadar önemli
sayı
olması,
karşımıza
çıkması,
oldukça önemli yapmıştır.
Şimdi çoğu insan için karmaşık gelen bu 3 maddeyi biraz daha anlaşılır bir dille
ifade edip açıklayalım;
1. Altın Oran’ı eski Mısırlılar ve Yunanlılar bulmuş ve daha çok mimaride
kullanmışlardı, basit anlamıyla altın oran; bütünün parçaları arasında olan geometrik ve
sayısal bir oran bağlantısıdır.
Bu tanım akıllara şu soruyu getirir; nedir altın oran ve Fibonacci arasındaki bağlantı?
Fibonacci dizisindeki ardışık 2 sayının oranı sayılar büyüdükçe Altın Oran’a
(1,618) yaklaşır. Peki altın oranı günlük yaşamda nerelerde görebiliriz?
 İnsanın İşaret Parmağı;
Bir insanın işaret parmağı (normal standartlardaki parmaklar için geçerli) her bir
bölümü bir önceki bölüme oranı Altın Oranı veriyor.

Akciğerler;
Akciğeri oluşturan bronş ağacının görülen en belirgin özelliği asimetrik
olmasıdır. Soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki
ana bronşa ayrılır. Kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak
1/1,618 değerini verdiği saptanmıştır.
 İnsan Yüzü;
Kulaklar arasındaki mesafe, gözle üst dudak arasındaki, burnun altı ile çene
4
arasındaki mesafe altın oran içermektedir.
 Kollar:
Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı verir.
 Mısır Piramitleri:
Her bir piramitin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı veriyor.
 Çam Kozalağı:
Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın
tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller oluşturarak çıkarlar. Eğrinin
eğrilik açısı altın orandır.
 Tütün Bitkisi:
Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin
tanjantı altın orandır.
 Eğrelti Otu:
Tütün Bitkisindeki eğriliğin tanjantı altın orana eşittir.
Doğada Fibonacci sayılarının nasıl karşımıza çıktığını inceleyelim;
Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının düzeninde her zaman
altın oran kuralı vardır. Yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alındığında, bundan
başlayarak yukarıya doğru (aşağıya doğru da olabilir) sayılırsa (aynı hizada birden fazla
yaprak olabileceği düşünülürse dönme işlemi yapılabilir) farklı bitkiler için farklı
sayılar bulunabilir ancak bunların tek ortak özellikleri Fibonacci sayıları olmalarıdır. Bir
papatyanın yaprak sayılarının da 21,34,55,89 yani Fibonacci sayılarını verdiği bilinir.
Tüm bunların şaşırtıcı sonuçlarını gördükten sonra birkaç ayrıntıya değinmek
gerekirse; Altın Oran’ı sanatta ve mimaride oldukça fazla görmekteyiz. Aynı zamanda
resimde, müzik notlarında, şiir, ekonomi gibi birçok alanda altın oran bulunmaktadır.
[3-25]
Tanım 1.1.1. Fn Fibonacci sayı dizisi;
{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…}
şeklindedir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına “Fibonacci Sayısı” denir. Fn sayılarının
2. mertebeden lineer rekürans bağıntısı;
5
Fn1  Fn  Fn1 , n  1

F0  0
, F1  1

(1.1.1)
şeklinde tanımlanır. Bazı Fibonacci sayıları;
n
0
1
2
3
4
5
6
7
…
Fn
0
1
1
2
3
5
8
13
…
şeklinde verilebilir.
Fn Fibonacci sayıları için Binet Formülü aşağıdaki gibi tanımlanır:
Fn 
1 n1
(   n1 ) , n  0,1,2,...
5
(1.1.2)
Burada

1 5
1 5
ve  
2
2
dir. Fibonacci sayılarının ayrıca
1 1
1 1

Tn  





1

  Rnxn

1 1 1
1 1
özel tridiagonal matris formunun determinantı ile bağlantılı olduğu da bilinmektedir [4].
6
1.2. Fibonacci Sayıları İle İlgili Özdeşlikler
Aşağıda bu çalışma için gerekli olan birtakım özdeşlikler verilmiştir [3].
1) (Cassini’s Formülü)
Fn1.Fn1  Fn 2  (1) n1
2) (Fibonacci Binet Formülü)
Fn 
  0 ve   0 olmak üzere,
n n
 
Fn  Fn2 
3)
n 1
n 1
F2n2
Fn1
4) (d’Ocagne Özdeşliği)
Fm Fn1  Fn Fm1  (1)n Fmn
5) (Honsberger Formülü)
Fnm  Fn1Fm  Fn Fm1
1.3. Lucas Sayıları
Fibonacci rekürans bağıntısı kullanılarak, farklı başlangıç koşulları altında, yeni
sayı dizileri elde edilebilir.
Tanım 1.3.1. Ln , Lucas sayıları;
Ln  Ln1  Ln2
, n  2,3,...

L0  2, L1  1
(1.3.1)
şeklinde tanımlanır. Lucas sayıları için Binet Formülü;
Ln   n   n , n  0,1,...
(1.3.2)
7
şeklinde tanımlanır. Daha sonra Lucas sayıları ile Fibonacci sayılarının
Ln  Fn  Fn2 
F2n1
Fn1
formülü ile bağlantılı olduğunu görürüz [4, 24].
1.4. Lucas Sayıları İle İlgili Özdeşlikler
Bu bölümde yararlanacağımız bazı özdeşlikler aşağıda verilmiştir [3,5].
1)
n  2 için L2n1  L2n  Ln1Ln2
2) (Lucas Binet Formülü)
n  1 için Ln   n   n
3)
L2n  Ln1Ln1  5.(1)n
4)
L2n  L2n  2(1)n
1.5. Fibonacci Sayıları ile Lucas Sayıları Arasındaki Özdeşlikler [3]
1)
n  1 için Fn1  Fn1  Ln
2)
n  2 için
3)
Ln1  Ln1  5Fn
4)
F2n  Fn Ln
5)
5Fn2  L2n  4(1)n
Fn2  Fn2  Ln
(1.3.3)
8
6)
m  n olmak üzere 2Fmn  Fm Ln  Fn Lm
1.6. k-Fibonacci Sayıları
k-Fibonacci sayıları, Fibonacci sayılarının bir genelleştirilmesi olup Falco’n ve
Plaza tarafından
geliştirilmiştir. Bu kısımda
k-Fibonacci sayıları konusunda
yararlandığımız tanım ve özdeşlikleri ele alacağız.
Tanım 1.3.1. (Falco’n ve Plaza, 2007, [9])
Her k  0 reel sayısı için;
Fk ,n1  kFk ,n  Fk ,n1 , n  1

Fk ,0  0
, Fk ,1  1

(1.6.1)
denklemi sabit katsayılı ikinci mertebeden bir fark denklemi olup karakteristik
denklemi;
r 2  kr 1  0
şeklindedir. r1 ve r2 ; r1  r2 olacak şekilde karakteristik denklemin kökleri olmak
üzere;
r1 
k  k2  4
2
ve
olup bu iki kökten hareketle;
r1  r2  k
r1.r2  1
r1  r2  k 2  4
r12  r2 2  k 2  2
eşitlikleri elde edilir.
r2 
k  k2  4
2
9
k-Fibonacci sayıları için Binet Formülü aşağıdaki gibi tanımlanır:
Fk ,n 
F 
k ,n n
r1n  r2 n
,
r1  r2
n  0,1, 2, ...
(1.6.2)
k-Fibonacci dizisinde;
 
 k  1 alınırsa F1,n
n
 
 k  2 alınırsa F2,n
n
 Fn n  0,1,1,2,3,5,8,... Fibonacci dizisi
 Pn n  0,1,2,5,12,29,70,... Pell dizisi
elde edilir.
1.7. k-Fibonacci Sayıları İçin Özdeşlikler [3]
1)
(Falco’n ve Plaza , 2007 , [9])
Fk ,nr Fk ,nr  Fk2,n  (1) nr 1 Fk2,r
2)
(Falcon ve Plaza , 2007 , [9])
Fk ,rs  Fk ,r1Fk ,s  Fk ,r Fk ,s1
3)
(Falcon ve Plaza , 2007 [9]) m  n olmak üzere
Fk ,m Fk ,n1  Fk ,m1Fk ,n  (1) n Fk ,mn
4)
5)
6)
Fk ,n1  Fk ,n1 
Fk ,2n
Fk ,n
(1.7.1)
n
 n
Fk ,2n   k i Fk ,i
i 0  i 
(1.7.2)
(Falco’n ve Plaza , 2007 , [9])
Fk2,n  Fk ,n1Fk ,n1  (1) n1
(1.7.3)
10
1.8. k-Lucas Sayıları
Tanım 1.8.1.
Her k  0 reel sayısı için;
Lk ,n1  kLk ,n  Lk ,n1 , n  1

Lk ,0  2
, Lk ,1  1

(1.8.1)
denklemi sabit katsayılı ikinci mertebeden bir fark denklemi olup karakteristik
denklemi;
r 2  kr 1  0
şeklindedir. r1 ve r2 ; r1  r2 olacak şekilde karakteristik denklemin kökleri olmak
üzere;
r1 
k  k2  4
2
r2 
ve
k  k2  4
2
olup bu iki kökten hareketle;
r1  r2  k
r1.r2  1
r1  r2  k 2  4
r12  r2 2  k 2  2
eşitlikleri elde edilir. k-Lucas sayısı için Binet benzeri formül aşağıdaki gibi
tanımlanmıştır:
Teorem 1.8.1. X 
2  r1
2  r2
, Y
r2
r1
Xr1n  Yr2 n
Lk ,n 
r1  r2
dir.
olmak üzere,
(1.8.2)
11
L 
k ,n n
k-Lucas dizisinde;
k  1 alınırsa L1,n n  Fn n  2,1,3,4,7,11,18,29,... Lucas dizisi elde edilir [3].
1.9. k-Lucas Sayıları İçin Özdeşlikler
Bu bölümde araştırmamızda kullanacağımız k-Lucas sayıları ile alakalı bazı
özdeşliklere yer verilmiştir [3].
1) Lk ,n1Lk ,n1  L2k ,n  (1) n1 (2k  3)
2) Lk ,nr Lk ,nr  L2k ,n  (1) nr (2k  3).Fk2,r
3) Lk ,m Lk ,n1  Lk ,m1Lk ,n  XY (1) n Fk ,mn
1.10. k-Fibonacci Sayılarının Yeni Bir Ailesi
Tanım 1.10.1. (k-Fibonacci Sayılar) [4] n ve k (k  0) doğal sayılar olsun. Bu
takdirde
n  mk  r
( 0 r  k ) olacak şekilde m ve r sayıları bulunur. Bu
parametreleri kullanarak Fn(k ) , genelleştirilmiş k- Fibonacci sayıları
Fn( k ) 
1
( m2   m2 )r .( m1   m1 )k r , n  mk  r
k
( 5)
(1.10.1)
şeklinde tanımlanır.
k  1 durumu göz önüne alındığında 0  r  1 olacağından r  0 ve m  n
bulunur. Bu durumda
F 
(1) 4
n
n0
 0,1,1,2,3
alışılmış Fibonacci sayıları olan Fn elde edilir.
12
Yeni ailenin k  2,3 için sayı farklı sayı dizileri aşağıdaki şekildedir:
F 
F 
( 2) 6
n
n0
 0,0,1,1,1,2,4
(3) 6
n
n0
 0,0,0,1,1,1,1
Tanım 1.10.1 ve (1.10.1) denkleminden genelleştirilmiş k-Fibonacci ve
Fibonacci sayıları arasındaki
Fn(k )  (Fm )k r .(Fm1)r , n  mk  r
(1.10.2)
bağıntısı elde edilir.
Teorem 1.10.1. k , m1,2,3,... olsun. k, m sabit sayıları için genelleştirilmiş kFibonacci sayıları ve alışılmış Fibonacci sayıları arasında;
k 1
i)
 k 1 (k )
1)
Fmk i  (1)k 1.Fm .F((mk1)(
k 1)

i 
(1) 
i
i 0
 k 1 ( k )
1)
( k 1)
Fmk i  Fm .F((mk2)(
k 1)  Fm .( Fm2 )

i 
i 0
k 1
ii)

k 1
iii)
F
i 0
(k )
mk i

Fm
F
(Fm1 )k  (Fm )k   m  F((mk)1)k  Fmk(k ) 
Fm1
Fm1
eşitlikleri bulunur.
İspat: i)
k 1
 k 1
i  k 1 ( k )
( k 1)
(

1)
F

(

1)
(1)k 1i 
( Fm )k i .( Fm1)i


 i  mk i

i 0
i 0


 i 
k 1
k 1
 k 1
k 1i
i
 .( Fm ) .( Fm1 )
i


= (1)k 1.Fm  (1)k 1i 
i 0
 k 1
.(Fm )k 1i .( Fm1 )i

i 0  i 
k 1
= (1)k 1.Fm 
= (1)k 1.Fm.(Fm1  Fm )k 1
13
= (1)k 1.Fm.(Fm1)k 1
1)
= (1)k 1.Fm.F((mk1)(
k 1)
ii)
Benzer yolla,
 k 1 ( k ) k 1  k 1
k i
i

 i Fmk i   i (Fm ) .( Fm1 )
i 0 
i 0 


k 1
= Fmk( k) i  (Fm )k i .( Fm1 )i  (
((1.10.2) denkleminden)
Fm1 i
) .(Fm )k
Fm
= Fm.(Fm1  Fm )k 1
(binomial teoremini kullanarak)
= Fm.(Fm2 )k 1
1)
= Fm .F((mk2)(
k 1)
iii) Fmk( k) i  (Fm )k i .( Fm1 )i  (
(r=0 için (1.10.2) denkleminden)
Fm1 i
) .(Fm )k
Fm
eşitliğinden faydalanarak;
k 1
k 1
k 1
i 0
i 0
i 0
 Fmk(k) i  (Fm )k i .(Fm1)i  (
k 1
Fm1 i
F
) .(Fm )k  (Fm )k ( m1 )i
Fm
Fm
i 0
Fm1 k
) 1
Fm
k
)
= ( Fm ) .(
Fm1
1
Fm
(
(Fm1 )k  (Fm )k 
Fm
= (Fm ) .
.
k
(Fm )
Fm1  Fm
k
=
Fm
[( F )k  ( Fm )k ]
Fm1 m1
=
Fm
( F((mk)1) k  Fmkk )
Fm1
Fibonacci sayılarının özel tridiagonal matrislerin determinantlarından da elde
edildiğini biliyoruz. Benzer şekilde, genelleştrilmiş k-Fibonacci sayıları, özel bir kTridiagonal matrisin determinantından da elde edilebilir. Yani, k-Tridiagonal matrisin
formu,
14
Tn( k )
0
 d1
 0
d2



0
0

bk 1 0

 0 bk 2


0
 0
0
0
a1
0
0
a2
dn  k
0
0
0
0
0
bn
dnk 1
0
dn  k  2
0
0





ank 
0 

0 


dn 
0
0
0
olsun. Bu durumda;
d1  ...  dn  a1  ...  ank  1 ve
bk 1  ....  bn  1
için
1, n  k
Fn( k )  
(k )
det Tn , n  k  1
elde ederiz. Tn( k ) matrisindeki ai elemanının i=1, 2, 3, …, n-k değerlerinin her biri
için sütun sayısının (k+i) olduğuna dikkat etmeliyiz. Ayrıca Tn( k ) matrisinde di ve ai
elemanlarının arasında da (k-1) tane sıfır elemanı olduğuna dikkat etmeliyiz. Sonuç
olarak k=1 için iyi bilinen tridiagonal matris elde edilir.
Teorem 1.10.2. k=2 için yeni aile n  0, s  0 ve n  s  1 olduğunda;
F2((2)ns1)  F(ns) .F(ns2)  (1)ns1
bağıntısı elde edilir.
1 1 
 formunda Fibonacci matrisi olsun. Daha sonra C matrisi ve (1.10.2)
1 0 
İspat: C  
denkleminden
15
F
 Fns Fns1 
F

 F F0 
 C. ns1 ns2   C ns1  1
 C n s
F


 ns1 Fns2 
 Fns2 Fns3 
 F0 F1 
elde edilir. Her iki tarafın determinantı alınırsa;
Fns .Fns2  (Fns1)2  (1)ns
elde edilir.
(Fns1 )2  F2((2)ns1)
olduğunu k=2 ve r=0 için (1.10.2) denkleminden elde ederiz.
F2((2)ns1)  Fns .Fns2  (1)ns1
olup böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 1.10.3. Fn(2) ve Gn(2) üreteç fonksiyonu için
(2)
(2)
i) Fn(2)  Fn(2)
1  Fn3  Fn4 ,
ii) Gn(2) ( x) 
n=4,5,…
1
1 x  x3  x4
eşitlikleri verilebilir.
İspat: i) Öncelikle n sayısının çift sayı olması durumunu inceleyeceğiz.
(2)
(2)
(2)
F2(2)
m  F2m1  F2m3  F2m4
yukarıdaki denklemin doğruluğunu göstermek için;
2
F2(2)
m  (Fm )
(1.10.3)
16
F2(2)
m1  Fm.Fm1
(1.10.4)
eşitliklerinden yararlanacağız. Bu bağıntılar Tanım 1.10.1 den kolaylıkla elde edilir.
2
F2(2)
m  (Fm ) = Fm .( Fm1  Fm2 )
= Fm1.Fm  Fm2 .Fm
= Fm1.Fm  Fm2 .(Fm1  Fm2 )
= Fm1.Fm  Fm2.Fm1  (Fm2 )2
(2)
(2)
= F2(2)
m1  F2m3  F2m4
Benzer şekilde, n sayısının tek sayı olması durumu için inceleyeceğiz. Yani;
(2)
(2)
(2)
F2(2)
m1  F2m  F2m2  F2m3
Yukarıdaki denklemin doğruluğunu göstermek için sol kısmını yazalım:
F2(2)
m1  Fm.Fm1
 Fm.(Fm  Fm1 )
 (Fm )2  Fm .Fm1
 (Fm )2  Fm1 (Fm1  Fm2 )
 (Fm )2  ( Fm1 )2  Fm1.Fm2
(2)
(2)
 F2(2)
m  F2m2  F2m3
olup ispat tamamlanmış olur.

ii)
Gn(2) ( x)   Fn(2) .xn
(1.10.5)
n 0
olsun.

n
x.Gn(2) ( x)   Fn(2)
1 .x
n1
(1.10.6)
17

n
x3.Gn(2) ( x)   Fn(2)
3 .x
(1.10.7)
n3

n
x4 .Gn(2) ( x)   Fn(2)
4 .x
(1.10.8)
n4
(1.10.5)  (1.10.6)  (1.10.7)  (1.10.8) işlemini ve Teorem 1.10.3’ ü kullanarak;
(1 x  x3  x4 ).Gn(2) (x)  (F0(2)  F1(2) x  F2(2) x2  F3(2) x3 )  (F0(2) x  F1(2) x2  F2(2) x3 )  (F0(2) x3 )

(2)
(2)
n
 ( Fn(2)  Fn(2)
1  Fn3  Fn4 ) x
n 4
= (1  x  x2  2x3 )  ( x  x2  x3 )  x3  0
=1
Gn(2) ( x) 
1
1 x  x3  x4
denklemi elde edilip ispat tamamlanmış olur.
(2)
(2)
F2(2)
m1  F2m  F2m1
rekürans bağıntısını kolayca elde edebiliriz. Burada n=2m+1 sayısının tek sayı olduğuna
dikkat etmeliyiz.
Benzer şekilde n=2m durumunda da
(2)
2m
F
(2)
F2(2)
m1  F2 m2  1 , m tek
  (2)
(2)
 F2m1  F2m2 , m çift
elde ederiz.
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(i) Fn(3)  Fn(3)
, n 7
1  Fn2  Fn3  Fn4  Fn5  Fn6  Fn7  Fn8
18
(ii) Gn(3) 
1  x2
1 x  x2  x3  x4  x5  x6  x7  x8
ile verilen Fn(3) ün üreteç fonksiyonu Gn(3) ( x) ve rekürans bağıntısını Teorem 1.10.3.’
ün ispatına benzer bir yolla gösterebiliriz.
Burada F(3)
1  0 olduğuna dikkat etmeliyiz. Daha genel haliyle, k=1,2,… için
F(1k )  0 olması durumuna dikkat etmeliyiz. k=4, 5, … için Fn(k ) yeni ailesinin üreteç
fonksiyonu ve rekürans bağıntılarını ifade edecğiz.
(i, j). elemanları Fi ( j ) olan A matrisi A   Fi ( j ) 
ise
1i , j n
 1 , n tek
det A  
1 , n çift
olur. k  n 1 olduğunda m  r  1 olup Fn(n1)  2 olduğunu kolayca gösteririz.
1.11. k-Fibonacci Sayılarının Yeni Ailesine Ait Bazı Özdeşlikler
Son olarak bu teoremlerin dışında ispatları verilmeden bazı özdeşlikleri sıralayalım[4]:
19
(2)
2F2(2)
n 1  F2 n  F2 n 1
n
(2)
F2(2)
n  F2 n2  F2 n  1   F2i 1
i 1
n
(2)
F2(2)
n 2  F2 n2  F2 n1  1   F2i
i 1
ni 1
 F2(2)
.F2(2)
, i  1, 2,..., n
n  Fni .Fni  (1)
i 2
 Fn1.Fn1 1 , n tek
2
F2(2)
n  ( Fn )  
Fn1.Fn1  1 , n çift
(3)
(3)
F3(3)
n3  F3n  F3n 3  F3n 2
1
2L  ( Ln1 )2 
F2(2)
n 
5  2 n2
F4(2)
n1  Ln1.Fn .F2 n
1
2
F2(2)
n2  Fn .Fn2  ( Ln1.Ln1  ( Ln ) )
5
20
1.12. k-Lucas Sayılarının Yeni Ailesi
Tanım 1.12.1. (k-Lucas Sayılar) [4] n ve k (k  0) doğal sayılar olsun. Bu takdirde
n  mk  r (0  r  k ) olacak şekilde m ve r sayıları bulunur. Bu parametreleri
kullanarak L(kn ) , genelleştirilmiş k- Lucas sayıları
L(nk )  ( m1   m1 )r ( m   m )k r
(1.12.1)
şeklinde tanımlanır.
k  1 durumu göz önüne alındığında 0  r  1 olacağından r  0 ve m  n
bulunur. Bu durumda
L 
(1) 4
n n0
 2,1,3,4,7
olup alışılmış Lucas sayıları olan Ln elde edilir.
Yeni ailenin k=2,3 değerleri için aşağıdaki sayı dizileri elde edilir:
L 
L 
( 2) 7
n n0
 4,2,1,3,9,12,16,28
(3) 7
n n0
 8,4,2,1,3,9,27,36
Tanım 1.6.1 ve (1.6.1) denkleminden genelleştirilmiş k-Lucas ve Lucas sayıları
arasında
L(nk )  (Lm1 )r (Lm )k r , n  mk  r
(1.12.2)
bağıntısı yazılabilir.
Teorem 1.11.1. k , m1,2,3,... olsun. k, m sabit sayıları için genelleştirilmiş k-Lucas
sayıları ve alışılmış Lucas sayıları arasında;
21
k 1
i)
 k  1 ( k )
Lm ki  (1)k 1 Lm L((km11))(k 1)
i 
 (1) 
i
i 0
 k  1 ( k )
Lm ki  Lm L((km12) )(k 1)  Lm (Lm2 ) k 1
i 
i 0
k 1
ii)

k 1
iii)
L
i 0
(k )
m ki

Lm
L
[(Lm1 )k  (Lm )k ]  m [L((km)1)k  L(mk )k ]
Lm1
Lm1
eşitlikleri bulunur.
İspat: i)
k 1
 k 1
i  k 1 ( k )
k


(Lm ) k i (Lm1 )i
(

1
)
L

(

1
)
(1) k 1i 


 i  m ki
i 0
i 0


 i 
k 1
k 1
 k 1
( Lm ) k 1i ( Lm1 )i
 (1) k 1 Lm (1) k 1i 
i
i 0


k 1 k 1


(Lm1 )i (Lm ) k 1i
 (1) k 1 Lm 
i 0  i 
 (1)k 1 Lm (Lm1  Lm )k 1 (Binomial Teoreminden)
 (1)k 1 Lm (Lm1 )k 1
 (1) k 1 Lm L((km11))(k 1)
(r  0 için)
 k 1 ( k ) k 1  k 1

Lm ki 
( Lm ) k i ( Lm1 )i

i 0  i 
i 0  i 
k 1
ii)
k 1 k 1


(Lm ) k 1i (Lm1 )i
 Lm 
i
i 0 

 Lm (Lm  Lm1 )k 1
 Lm (Lm2 )k 1
 Lm L((km12) )(k 1)
iii)
(r  0 için)
Benzer yolla ,
k 1
L
i 0
(k )
m ki
k 1
 ( Lm1 )i ( Lm ) k i
i 0
((1.12.2) denkleminden)
22
i
L 
  m1  ( Lm ) k
i 0  Lm 
k 1
L 
 ( Lm )  m1 
i 0  Lm 
k 1
i
k
  L k 
  m1  1 
 L 

 ( Lm ) k   m 

 Lm1 1 
 Lm



[(Lm1 ) k  ( Lm ) k ]
Lm
 ( Lm )
.
k
Lm1  Lm
( Lm )
k

Lm
[(L ) k  ( Lm ) k ]
Lm1 m1

Lm ( k )
[L
 L(mk k) ]
Lm1 ( m1) k
(r=0 için (1.12.2) denkleminden)
Teorem 1.11.2. k=2 için yeni aile n  0, s  0 ve n  s  1 olduğunda;
L(22()ns1)  L(ns ) L(ns2)  5.(1) ns1
bağıntısı elde edilir.
1 1 
 formunda Lucas matrisi olsun. Daha sonra C matrisi ve (1.12.2)
1 0 
İspat: C  
denkleminden
 Lns Lns1 
L

  C ns1
 Lns1 Lns2 
 Lns2
Lns2 
L
  C ns1  1
Lns3 
 L0
L0 
1 2 
  C ns1 

L1 
 2 1
elde ederiz. Her iki tarafın determinantını alırsak;
Lns Lns2  (Lns1 )2  (5).(1)ns1
Lns Lns2  (Lns1 )2  5.(1)ns
elde ederiz.
23
(Lns1 ) 2  L(22()ns1)
olduğunu k=2 ve r=0 için (1.12.2) denkleminden elde ederiz.
L(22()ns1)  Lns Lns2  5.(1) ns1
olup ispat tamamlanmış olur.
Teorem 1.11.3. L(n2) ve Gn(2) için
i) L(n2)  L(n2)1  L(n2)3  L(n2)4 ,
ii) Gn(2) 
n= 4, 5, …
4  2x  x 2  2x3
1  x  x3  x 4
eşitlikleri verilebilir.
İspat: i) Öncelikle n sayısının çift sayı olması durumunu inceleyeceğiz.
L(22m)  L(22m) 1  L(22m) 3  L(22m) 4
yukarıdaki denklemin doğruluğunu göstermek için;
L(22m)  (Lm )2
(1.11.3)
L(22m) 1  Lm Lm1
(1.11.4)
şeklinde iki bağıntıyı kullanacağız. Bu bağıntılar Tanım 1.11.1 den kolayca elde edilir.
L(22m)  (Lm )2
 Lm (Lm1  Lm2 )
24
 Lm Lm1  Lm Lm2
 Lm Lm1  Lm2 (Lm1  Lm2 )
 Lm Lm1  Lm1Lm2  (Lm2 )2
 L(22m) 1  L(22m) 3  L(22m) 4
((1.12.2) denkleminden)
Benzer şekilde, n sayısının tek sayı olması durumu için inceleyeceğiz. Yani;
L(22m) 1  L(22m)  L(22m) 2  L(22m) 3
Yukarıdaki denklemin doğruluğunu göstermek için sol kısmını yazalım:
L(22m) 1  Lm Lm1
 Lm (Lm  Lm1 )
 (Lm )2  Lm Lm1
 (Lm )2  Lm1 (Lm1  Lm2 )
 (Lm )2  (Lm1 )2  Lm1Lm2
 L(22m)  L(22m) 2  L(22m) 3
olup ispat tamamlanmış olur.

ii)
Gn( 2) ( x)   L(n2) x n
(1.11.5)
n0
olsun. Teorem(1.12.3) ün (i) bağıntısından

xGn( 2) ( x)   L(n2)1 x n
(1.11.6)
n1

x 3Gn( 2) ( x)   L(n2)3 x n
(1.11.7)
n3

x 4Gn( 2) ( x)   L(n2)4 x n
(1.11.8)
n 4
(1.11.5)  (1.11.6)  (1.11.7)  (1.11.8) işlemini ve Teorem 1.12.3’ ü kullanarak;
25
(1 x  x3  x4 )Gn(2) (x)  (L(02)  L1(2) x  L(22) x2  L(32) x3 )  (L(02) x  L1(2) x2  L(22) x3  L(02) x3 )

 ( L(n2)  L(n2)1  L(n2)3  L(n2)4 ) x n
n4
(1 x  x3  x4 )Gn(2) (x)  (4  2x  x2  3x3 )  (4x  2x2  x3  4x3 )
(1 x  x3  x4 )Gn(2) (x)  4  2x  x2  2x3
Gn(2) ( x) 
4  2x  x 2  2x 3
1  x  x3  x 4
olup ispat tamamlanmış olur.

L(22m) 1  L(22m)  L(22m) 1
rekürans bağıntısını kolayca elde edebiliriz. Burada n=2m+1 sayısının tek sayı
olduğuna dikkat etmeliyiz.

Benzer şekilde n=2m durumunda da
L( 2)  L( 2)  5 , m tek ise
L(22m)   (22m) 1 (22m) 2
L2m1  L2m2  5 , m çift ise
bağıntısı elde edilir.
2. k-FİBONACCİ SAYILARININ FARKLI YENİ BİR AİLESİ
Tanım 2.1. n, s
(s  0) ve k (k  0) doğal sayılar olsun. Bu takdirde n  mk  r
(0  r  k ) olacak şekilde m ve r sayıları bulunur. Bu parametreleri kullanarak Fs(,kn)
k-Fibonacci sayıları;
Fs(,kn) 
1
(r1m1  r2m1 ) r (r1m  r2m ) k r , n  mk  r (0  r  k )
k
(r1  r2 )
şeklinde tanımlanır. Yeni ailenin k  1,2,3 için sayılarını aşağıdaki gibi buluruz:
 k  1 durumu göz önüne alındığında n  m  r ve 0  r  1 olup

n  0 için 0  m  r olup m  0 , r  0
(2.1.1)
26
Fs(,10) 

n  1 için 1  m  r olup m  1 , r  0
Fs(,11) 

1
(r13  r2 3 ) 0 (r12  r22 )  s
r1  r2
n  3 için 3  m  r olup m  3 , r  0
Fs(,13) 

1
(r12  r2 2 ) 0 (r1  r2 )  1
r1  r2
n  2 için 2  m r olup m  2 , r  0
Fs(,12) 

1
(r  r ) 0 (r 0  r20 )  0
r1  r2 1 2 1
1
(r14  r2 4 ) 0 (r13  r23 )  s 2  1
r1  r2
n  4 için 4  m r olup m  4 , r  0
Fs(,14) 
1
(r15  r2 5 ) 0 (r14  r24 )  s 3  2s
r1  r2
F 
(1) 4
s,n n0


 0,1, s, s 2 1, s 3  2s
olup alışılmış k-Fibonacci sayıları elde edilir. Yani

s  1 için 0,1,1,2,3,... Fibonacci sayıları
ve

s  2 için 0,1,2,5,12,... Pell dizisi
elde edilir.
 k  2 durumu göz önüne alındığında n  2m  r ve 0  r  2 olup

n  0 için 0  2m  r olup m  0 , r  0
Fs(,20) 

1
(r1  r2 ) 0 (r10  r20 ) 2  0
(r1  r2 ) 2
n  1 için 1  2m  r olup m  1 , r  1
27
Fs(,12) 

n  2 için 2  2m  r olup m  1 , r  0
Fs(,22) 

1
(r 2  r2 2 ) 0 (r1  r2 ) 2  1
2 1
(r1  r2 )
n  3 için 3  2m  r olup m  1 , r  1
Fs(,23) 

1
(r1  r2 )(r10  r2 0 )  0
2
(r1  r2 )
1
(r 2  r2 2 )(r1  r2 )  s
2 1
(r1  r2 )
n  4 için 4  2m  r olup m  2 , r  0
Fs(,24) 
1
(r 3  r2 3 ) 0 (r12  r22 ) 2  s 2
2 1
(r1  r2 )
F 
( 2) 6
s,n n0


 0,0,1, s, s 2 , s3  s, s 4  2s 2 1
 Yeni ailenin k  3 için aşağıdaki sayı dizisi elde edilir:

F 
(3) 4
s,n n0

 0,0,0,1, s, s 2 , s3 , s 4  s 2

(1.6.2) ve (2.1.1) denklemlerinden hareketle;
Fs(,kn)  (Fs,m1 ) r (Fs,m ) k r
, n  mk  r
(0  r  k )
(2.1.2)
bağıntısını elde ederiz.
Teorem 2.1. k, m 1,2,3,... olsun. k, m sabit sayıları için k-Fibonacci sayılarının yeni
ailesi ile alışılmış Fibonacci sayıları arasında;
k 1
i)
(1) s
i
i 0
k 1i
 k 1 ( k )

Fs,m ki  (1) k 1.Fs,m .Fs(,(km1)1)(k 1)
i


28
 k  1 i ( k )
s Fs,m ki  Fs,m .(Fs,m2 ) k 1  Fs,m Fs(,(km1)2)(k 1)
i 
i 0
k 1

ii)
k 1
iii)
s
i 0
İspat: i)
i
Fs(,km)ki  s1k
k 1
(1) s
i
k 1i
i 0



Fs,m
F
(Fs,m1 ) k  (sFs,m ) k  s1k s,m Fs(,(km)1) k  sFs(,km)k
Fs,m1
Fs,m1

k 1
 k  1 ( k )
 k  1

Fs,m ki  (1) k 1 (1) k 1i s k 1i 
(Fs,m1 )i (Fs,m ) k i
i 0
 i 
 i 
k 1 k  1


( Fs,m1 ) i (s) k 1i ( Fs,m ) k 1i
 (1) k 1 Fs,m 
i 0  i 
k 1 k  1


(Fs,m1 )i (sFs,m ) k 1i
 (1) k 1 Fs,m 
i
i 0 

 (1) k 1 Fs,m (Fs,m1  sFs,m ) k 1
(Binomial teo.)
 (1) k 1 Fs,m (Fs,m1 ) k 1
 (1) k 1 Fs,m Fs(,(km1)1)(k 1)
r  0
için
k 1 k  1
 k  1 i ( k )

 i
i
k i


s
F


 i  s,m ki  i s ( Fs,m1 ) ( Fs,m )
i 0 
i 0 


k 1
ii)
k 1 k  1


(sFs,m1 ) i ( Fs,m ) k 1i
 Fs,m 
i 0  i 
 Fs,m (sFS ,m1  Fs,m ) k 1
(Binomial teoreminden)
 Fs,m (Fs,m2 ) k 1
 Fs,m Fs(,(km1)2)(k 1)
k 1
iii)
s
i 0
i
k 1
Fs(,km)ki   s i ( Fs,m1 )i ( Fs,m ) k i
i 0
i
F

  s,m1  ( Fs,m ) k
i 0  sFs ,m 
k 1
F

 ( Fs,m )  s,m1 
i 0  sFs ,m 
k 1
k
i
(r=0 için)
29
k
 F


s
,
m

1

 1
  sFs,m 


k 


 ( Fs,m )
  Fs ,m1 

 1 
 
  sFs,m 




 s1k
Fs,m
(Fs,m1 ) k  (sFs,m ) k
Fs,m1
 s1k
Fs,m (k )
Fs,(m1)k  s k Fs(,km)k
Fs,m1



Teorem 2.2. k  2 için yeni aile n  0 , t  0 , n  t  1 olduğunda;
Fs(,22)(nt 1)  Fs,nt Fs,nt 2  (1) nt
(2.1.3)
dır.
 s 1
 formunda k-Fibonacci matrisi olsun. Daha sonra C matrisi ve
1 0
İspat: C  
tanımdan hareketle
 Fs,nt Fs,nt 1 
F

  C s,nt 1
 Fs,nt 1 Fs,nt 2 
 Fs,nt 2
Fs,nt 2 
F
  C nt 1  s,1
Fs,nt 3 
 Fs,0
Fs,0 

Fs, 1 
olup her iki tarafın determinantını alırsak;
( Fs,nt 1 ) 2  Fs,nt Fs,nt 2  (1) nt
Fs(,22)(nt 1)  Fs,nt Fs,nt 2  (1)nt
eşitlikleri elde edilir.
Teorem 2.3. Fs(,n2) için Gs(,n2) için
i) Fs(,2n)  sFs(,2n)1  sFs(,2n)3  Fs(,2n)4 , n  4,5,...
(r=0 için)
30
ii) Gs(,2n) 
x2
1  sx  sx3  x 4
İspat: i) Öncelikle n sayısının çift sayı olması durumunu inceleyeceğiz:
n  2m için;
Fs(,22)m  sFs(,22)m1  sFs(,22)m3  Fs(,22)m4
olduğunu gösterelim:
Fs(,22)m  ( Fs,m ) 2
 Fs,m (sFs,m1  Fs,m2 )
 sFs,m1Fs,m  Fs,m2 Fs,m
 sFs,m1Fs,m  Fs,m2 (sFs,m1Fs,m2 )
 sFs,m1 Fs,m  sFs,m2 Fs,m1  (Fs,m2 ) 2
 sFs(,22)m1  sFs(,22)m3  Fs(,22)m4
Benzer şekilde n sayısının tek olması durumunu inceleyelim:
n  2m  1 için;
Fs(,22)m1  sFs(,22)m  sFs(,22)m2  Fs(,22)m3
olduğunu gösterelim:
Fs(,22)m1  (Fs,m1 )(Fs,m )
 Fs,m (sFs,m  Fs,m1 )
 s(Fs,m ) 2  Fs,m1 Fs,m
 s(Fs,m ) 2  Fs,m1 (sFs,m1  Fs,m2 )
 s(Fs,m ) 2  s(Fs,m1 ) 2  Fs,m1 Fs,m2
 sFs(,22)m  sFs(,22)m2  Fs(,22)m3
31

Gs(,2n) ( x)   Fs(,2n) x n
ii)
n0

sxGs(,2n) ( x)  s Fs(,2n)1 x n
n1

sx3Gs(,2n) ( x)  s Fs(,2n)3 x n
n3

x 4Gs(,2n) ( x)   Fs(,2n)4 x n
n 4

(1  sx  sx3  x 4 )Gs(,2n) ( x)  (Fs(,2n)  sFs(,2n) 1  sFs(,2n) 3  Fs(,2n) 4 ) x n
n 4
 (0  0x  1x 2  sx3 )  (s0x  s0x 2  sx3  s0x3 )
 x2
Gs(,2n) ( x) 
x2
1  sx  sx3  x 4
olup ispat tamamlanmış olur.

Fs(,22)m1  sFs(,22)m  Fs(,22)m1
olup burada n  2m  1 in tek sayı olduğuna dikkat etmeliyiz.
Fs(,22)m1  Fs,m Fs,m1
 Fs,m (sFs,m  Fs,m1 )
 s(Fs,m ) 2  Fs,m1Fs,m
 sFs(,22)m  Fs(,22)m1
 Benzer şekilde n  2m durumunda da;

sF ( 2)  Fs(,22)m2  1 , m tek
Fs(,22)m   s(,22)m1
( 2)
sFs,2m1  Fs,2m2  1 , m çift
32
bağıntısı elde edilir.
Fs(,22)m  Fs,m1Fs,m1  (1) m1
Fs(,22)m  Fs,m1Fs,m1  (1) m1
Fs(,22)m  Fs,m1 (sFs,m  Fs,m1 )  (1) m1
Fs(,22)m  sFs,m1Fs,m  (Fs,m1 ) 2  (1) m1

m tek sayı ise;
Fs(,22)m  sFs,m1Fs,m  (Fs,m1 )2 1

m çift sayı ise;
Fs(,22)m  sFs,m1Fs,m  (Fs,m1 )2 1
2.1. k-Fibonacci Sayılarının Farklı Yeni Ailesine Ait Bazı Özdeşlikler
1) 2Fs(,22)n1  Fs(,22)n  Fs,n Ls,n
İspat: 2Fs(,22)n1  Fs(,22)n  2Fs,n Fs,n1  Fs,n Fs,n
 Fs,n (2Fs,n1  Fs,n )
 Fs,n Ls,n
(Ls,n  2Fs,n1  Fs,n olduğu Binet Formülünden açıktır.)
2) 2Fs(,22)n1  sFs(,22)n  Fs,2n
İspat: 2Fs(,22)n1  sFs(,22)n  2Fs,n1Fs,n  sFs,n Fs,n
 Fs,n (2Fs,n1  sFs,n )
 Fs,n (Fs,n1  Fs,n1  sFs,n )
 Fs,n (Fs,n1  Fs,n1 )
33
 Fs,n
Fs,2n
Fs,n
 Fs,2n
 n
i 0  i 
n
3) Fs(,22)n2  Fs(,22)n2  sFs, 2n   s i 1 Fs,i
İspat:
Fs(,22)n2  Fs(,22)n2  (Fs,n1 ) 2  (Fs,n1 ) 2
 (Fs,n1  Fs,n1 )(Fs,n1  Fs,n1 )
 sFs,n
Fs, 2n
Fs,n
 sFs,2n
n
 n
  s i1Fs,i
i 0  i 
Fs,n1 Fs,n1  1 , n tek ise
Fs,n1 Fs,n1  1 , n çift ise
4) Fs(,22)n  ( Fs,n ) 2  
İspat: Fs2,n  Fs,n1Fs,n1  (1)n1
(r  0 için)
Fs(,22)n  Fs,n1Fs,n1  (1) n1
Fs(,22)n  Fs,n1Fs,n1  (1) n1
Fs,n1Fs,n1  1 , n tek ise
Fs(,22)n  (Fs,n ) 2  
Fs,n1Fs,n1 1 , n çift ise
5) Fs(,22)n  Fs,nr Fs,nr  (1) nr Fs(,22)r
İspat:
(Fs,n ) 2  Fs,nr Fs,nr  (1) nr Fs2,r
Fs(,22)n  Fs,nr Fs,nr  (1) nr Fs(,22)r
(r=0 için)
34
6) Fs(,22)n  Fs(,22)n2  Fs,2n1
İspat: Fs(,22)n  Fs(,22)n2  (Fs,n ) 2  (Fs,n1 ) 2
(

r1n  r2n 2 r1n1  r2n1 2
) (
) (Binet Formülü’nden)
r1  r2
r1  r2
r12n1  r22n1
r1  r2
 Fs,2n1
3. k-LUCAS SAYILARININ FARKLI YENİ BİR AİLESİ
Tanım 3.1. n, s
(s  0) ve k (k  0) doğal sayılar olsun. Bu takdirde n  mk  r
(0  r  k ) olacak şekilde m ve r sayıları bulunur. Bu parametreleri kullanarak L(sk,n) kLucas sayıları;
L(sk,n) 
1
( Xr1m1  Yr2m1 ) r ( Xr1m  Yr2m ) k r , n  mk  r (0  r  k )
(r1  r2 ) k
şeklinde tanımlanır.
 k  1 durumu göz önüne alındığında n  m  r ve 0  r  1 olup

n  0 için 0  m  r olup m  0 , r  0
L(s1,)0 

n  1 için 1  m  r olup m  1 , r  0
L(s1,1) 

1
( Xr1  Yr2 ) 0 ( Xr10  Yr20 )  2
r1  r2
1
( Xr12  Yr2 2 ) 0 ( Xr1  Yr2 )  1
r1  r2
n  2 için 2  m r olup m  2 , r  0
L(s1,)2 
1
( Xr13  Yr2 3 ) 0 ( Xr12  Yr22 )  s  2
r1  r2
(3.1.1)
35

n  3 için 3  m  r olup m  3 , r  0
L(s1,)3 

1
( Xr14  Yr2 4 ) 0 ( Xr13  Yr23 )  s 2  2s  1
r1  r2
n  4 için 4  m r olup m  4 , r  0
L(s1,)4 
1
( Xr15  Yr2 5 ) 0 ( Xr14  Yr24 )  s 3  2s 2  2s  2
r1  r2
L 
(1) 4
s,n n0


 2,1, s  2, s 2  2s 1, s 3  2s 2  2s  2
 Yeni ailenin k  2 ve k  3 için Lucas sayıları benzer şekilde bulunur:
L 
L 


( 2) 4
s,n n0
 4,2,1, s  2, s 2  4s  4
(3) 4
s,n n0
 8,4,2,1, s  2
(1.4.2) ve (3.1.1) denklemlerinden hareketle
L(sk,n)  (Ls,m1 ) r (Ls,m ) k r , n  mk  r , (0  r  k )
(3.1.2)
bağıntısını elde ederiz.
Teorem 3.1. k, m 1,2,3,... olsun. k, m sabit sayıları için k-Lucas sayılarının yeni
ailesi ile alışılmış Lucas sayıları arasında;
k 1
i)
(1) s
i
k 1i
i 0
 k  1 ( k )

Ls,m ki  (1) k 1.Ls,m .L(sk,(m1)1)(k 1)
 i 
 k  1 i ( k )
s Ls,m ki  Ls,m .(Ls,m2 ) k 1  Ls,m L(sk,(m1)2)(k 1)
i 
i 0
k 1
ii)

k 1
iii)
s
i 0
i ( k )
s ,m ki
L
 s1k



Ls,m
L
(Ls,m1 ) k  (sLs,m ) k  s1k s,m L(sk,()m1) k  sL(sk,m) k
Ls,m1
Ls,m1

36
İspat: i)
k 1
(1) s
i
k 1i
i 0
k 1
 k 1 ( k )
 k 1

Ls,m ki  (1) k 1 (1) k 1i s k 1i 
(Ls,m1 )i (Ls,m ) k i
i 0
 i 
 i 
k 1 k  1


( Ls,m1 )i (s) k 1i ( Ls,m ) k 1i
 (1) k 1 Ls,m 
i 0  i 
k 1 k  1


( Ls,m1 )i (sLs,m ) k 1i
 (1) k 1 Ls,m 
i
i 0 

 (1) k 1 Ls,m (Ls,m1  sLs,m ) k 1
(Binomial teo.)
 (1) k 1 Ls,m (Ls,m1 ) k 1
 (1) k 1 Ls,m L(sk,(m1)1)(k 1)
r  0
k 1 k  1
 k 1 i ( k )

 i
i
k i


s
L


 i  s,m ki  i s (Ls,m1 ) (Ls,m )
i 0 
i 0 


k 1
ii)
k 1 k  1


(sLs,m1 ) i ( Ls,m ) k 1i
 Ls,m 
i
i 0 

 Ls,m (sLS ,m1  Ls,m ) k 1
(Binomial teoreminden)
 Ls,m (Ls,m2 ) k 1
 Ls,m L(sk,(m1)2)(k 1)
k 1
iii)
s
i 0
i ( k )
s ,m ki
L
k 1
  s i (Ls,m1 )i (Ls,m ) k i
i 0
i
L

  s,m1  ( Ls,m ) k
i 0  sLs ,m 
k 1
L

 ( Ls,m )  s,m1 
i 0  sLs ,m 
k 1
i
k
k
 L

  s,m1   1 
  sLs,m 



 ( Ls,m ) k  
  Ls,m1 

 1 
 
  sLs,m 



(r=0 için)
için
37

 s1k
Ls,m
(Ls,m1 ) k  (sLs,m ) k
Ls,m1
 s1k
Ls,m (k )
Ls,(m1)k  s k L(sk,m) k
Ls,m1



Teorem 3.2. k  2 için yeni aile n  0 , t  0 , n  t  1 olduğunda;
L(s2,2) (nt 1)  Ls,nt Ls,nt 2  (1) nt 1 (2s  3)
(3.1.3)
dır.
 s 1
 formunda k-Lucas matrisi olsun. Daha sonra C matrisi ve k-Lucas
1 0
İspat: C  
sayılarının tanımından hareketle
 Ls,nt Ls,nt 1 
L

  C s,nt 1
 Ls,nt 1 Ls,nt 2 
 Ls,nt 2
Ls,nt 2 
L
  C nt 1  s,1
Ls,nt 3 
 Ls,0
olup her iki tarafın determinantını alırsak;
(Ls,nt 1 ) 2  Ls,nt Ls,nt 2  (1) nt 1 (2s  3)
L(s2,2) (nt 1)  Ls,nt Ls,nt 2  (1) nt 1 (2s  3)
eşitlikleri elde edilir.
Teorem 3.2. L(s2,n) ve Gs(,n2) üreteç fonksiyonu için;
i) L(s2,n)  sL(s2,n) 1  sL(s2,n) 3  L(s2,n) 4 , n  4,5,...
ii) Gs(,2n) 
(2  4s) x3  (1  2s) x 2  (2  4s) x  4
1  sx  sx3  x 4
Ls,0 

Ls,1 
38
şeklindedir.
İspat: i) Öncelikle n sayısının çift sayı olması durumunu inceleyeceğiz:
n  2m için;
L(s2,2) m  sL(s2,2) m1  sL(s2,2) m3  L(s2,2) m4
olduğunu gösterelim:
L(s2,2) m  (Ls,m ) 2
 Ls,m (sLs,m1  Ls,m2 )
 sLs,m1Ls,m  Ls,m2 Ls,m
 sLs,m1Ls,m  Ls,m2 (sLs,m1Ls,m2 )
 sLs,m1Ls,m  sLs,m2 Ls,m1  (Ls,m2 ) 2
 sL(s2,2) m1  sL(s2,2) m3  L(s2,2) m4
Benzer şekilde n sayısının tek olması durumunu inceleyelim:
n  2m  1 için;
L(s2,2) m1  sL(s2,2) m  sL(s2,2) m2  L(s2,2) m3
olduğunu gösterelim:
L(s2,2) m1  (Ls,m1 )(Ls,m )
 Ls,m (sLs,m  Ls,m1 )
 s(Ls,m ) 2  Ls,m1 Ls,m
 s(Ls,m ) 2  Ls,m1 (sLs,m1  Ls,m2 )
 s(Ls,m ) 2  s(Ls,m1 ) 2  Ls,m1 Ls,m2
 sL(s2,2) m  sL(s2,2) m2  L(s2,2) m3
39

ii)
Gs(,2n) ( x)   L(s2,n) x n
n0

sxGs(,2n) ( x)  s L(s2,n) 1 x n
n1

sx3Gs(,2n) ( x)  s L(s2,n) 3 x n
n3

x 4Gs(,2n) ( x)   L(s2,n) 4 x n
n 4

(1  sx  sx3  x 4 )Gs(,2n) ( x)  (L(s2,n)  sL(s2,n) 1  sL(s2,n) 3  L(s2,n) 4 ) x n
n4
 (4  2x  x 2  sx3  2x3 )  (4sx  2sx2  sx3  4sx3 )
 (2  4s) x3  (1  2s) x 2  (2  4s) x  4
Gs(,2n) ( x) 
(2  4s) x3  (1  2s) x 2  (2  4s) x  4
1  sx  sx3  x 4
olup ispat tamamlanmış olur.
L(s2,2) m1  sL(s2,2) m  L(s2,2) m1
olup burada n  2m  1 in tek sayı olduğuna dikkat etmeliyiz.
L(s2,2) m1  Ls,m Ls,m1
 Ls,m (sLs,m  Ls,m1 )
 s(Ls,m ) 2  Ls,m Ls,m1
 sL(s2,2) m  L(s2,2) m1
Benzer şekilde n  2m durumunda da;
( 2)
s , 2m
L
sL(s2,2) m1  L(s2,2) m2  (2s  3) , m tek ise
  ( 2)
( 2)
sLs,2m1  Ls,2m2  (2s  3) , m çiftise
bağıntısını elde ederiz.
40

m in tek olması durumunu inceleyelim:
L(s2,2) m  Ls,m1 Ls,m1  (1) m (2s  3)
L(s2,2) m  Ls, m1Ls, m1  (1)m (2s  3)
L(s2,2) m  Ls,m1 (sLs,m  Ls,m1 )  (1) m (2s  3)
L(s2,2) m  sLs,m1 Ls,m  (Ls,m1 ) 2  (1) m (2s  3)
L(s2,2) m  sL(s2,2) m1  L(s2,2) m2  (1) m (2s  3)
olup m tek olduğundan;
L(s2,2) m  sL(s2,2) m1  L(s2,2) m2  (2s  3)

m in çift olması durumunda ise;
L(s2,2) m  sL(s2,2) m1  L(s2,2) m2  (2s  3)
olur.
3.1. k-Lucas Sayılarının Yeni Ailesine Ait Bazı Özdeşlikler
1)
Ls,n1 Ls,n1  (2s  3) , n tek ise
L(s2, 2) n  (Ls,n ) 2  
Ls,n1 Ls,n1  (2s  3) , n çift ise
İspat:
L2s,n  Ls,n1 Ls,n1  (1) n (2s  3)
bağıntısından faydalanarak
L2s,n  Ls,n1 Ls,n1  (1) n (2s  3)
L(s2,2) n  Ls,n1 Ls,n1  (1) n (2s  3)
41
eşitliğinden
Ls,n1 Ls,n1  (2s  3) , n tek ise
L(s2, 2) n  (Ls,n ) 2  
Ls,n1 Ls,n1  (2s  3) , n çift ise
2)
L(s2,2) n  Ls,nr Ls,nr  (2s  3)(1) nr 1 Fs(,22)r
İspat:
L2s,2n  Ls,nr Ls,nr  (2s  3)(1) nr 1 Fs2,2r
bağıntısını kullanarak;
L(s2,2) n  Ls,nr Ls,nr  (2s  3)(1) nr 1 Fs(,22)r
elde ederiz.
(r=0 için)
42
4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
4.1. Sonuçlar
Bu çalışmada k-Fibonacci and k-Lucas sayılarının yeni bir ailesi tanımlandı ve kFibonacci, k-Lucas sayılarından faydalanılarak yeni aile hakkında bazı teorem ve
özdeşlikler elde edildi. Ayrıca bu ailenin tanımından yararlanarak bir takım sonuçlara
varıldı.
4.2. Öneriler
Bulunan bu yeni aile başlangıç değerleri genelleştirilerek genel teorem ve
özdeşlikler elde edilebilir.
43
KAYNAKLAR
Akçağıl Ş., 2005, Fibonacci Sayıları ve Altın Oran, Yüksek Lisans Tezi,
Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Balıkesir.
[2] Akbulak M., Bozkurt D., 2009, On the Order-m Generalized Fibonacci k-Numbers,
Chaos Solitons and Fractals, 42, 1347-1355.
[3] Bolat C., 2008, k-Fibonacci, k-Lucas Sayılarının Özellikleri ve Uygulamaları,
Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
[4] El-Mikkawy M. and Sogabe T., 2010, A new family of k-Fibonacci numbers,
Applied Mathematics and Computation, 215, 4456-4461.
[5] Falcon S., Plaza A., 2007, On the Fibonacci k-Numbers, Chaos, Solitons &
Fractals, 32(2), 1615-1624.
[6] Falcon S. and Plaza A., 2007, the k-Fibonacci sequence and the Pascal
2- triangle, Chaos, Solitons & Fractals , 33, 38-49.
[7] Falcon S. and Plaza A., 2009, On k-Fibonacci numbers of arithmetic indexes,
Applied Mathematics and Computation, 208, 180-185.
[8] Falcon S., 2011, On the k-Lucas Numbers, Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol.
6, no. 21, 1039 – 1050.
[9] Grabowski A., Wojtecki P., 2004, Lucas Numbers and Generalized Fibonacci
Numbers, Form. Math., 12 , 329-334.
[10] Karaduman E., 2005, On determinants of matrices with general Fibonacci
numbers Entries, Appl. Math. Comput, 167, 670-676.
[11] Kilic E., 2008, The Binet Formula, Sums and Representations of Generalized
Fibonacci p-Numbers, Eur. J. Combin, 29, 701-711.
[12] Kilic E., The generalized order k-Fibonacci–Pell sequence by matrix methods,
2007, Journal of Computational and Applied Mathematics, 209, 133-145.
[13] Kilic E., Tasci D., 2008, Generalized order-k Fibonacci and Lucas Numbers,
Rocky Montain J. Math. 38, 1991-2008.
[14] Koshy T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley
and Sons Inc. NY.
[15] Nalli A., Civciv H., 2009, A generalized of Tridiagonal Matrix Determinants,
Fibonacci and Lucas Numbers, Chaos Solitons and Fractals, 40, 355-361.
[16] Öcal A., Tuglu N., Altinişik E., 2005, On the representation of k-generalized
Fibonacci and k-Lucas numbers, Applied Mathematics and Computation, 170,
584-596.
[17] Stanimirovic P. S., Nikolov J., Stanimirovic I., 2008, A generalization of
Fibonacci and Lucas matrices, Discrete Appl. Math., 156, 2606-2619.
[18] Uslu K., Taskara N., Kose H., 2011, The Generalized k-Fibonacci and k-Lucas
Numbers, Ars Combinatoria, 99, 25-32.
[19] Vajda S., 1989, Fibonacci and Lucas Numbers and The Golden Section, Ellis
Horwood Limited, Chicester, England.
[20] Yang S. L., 2008, On the k-generalized Fibonacci Numbers and High-Order
Linear Recurrence Relations, Appl. Math. Comput., 196, 850-857.
[21] Yilmaz N., Yazlik Y., Taskara N., 2012, On the k-Generalized Fibonacci
Numbers.
[22] Yosma Z., 2008, Fibonacci ve Lucas Sayıları, Yüksek Lisans Tezi, Sakarya
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Sakarya.
[23] http:// mathworld.wolfram.com / FibonacciNumber.html.
[24] http:// mathworld.wolfram.com / LucasSequence.html.
[1]
44
[25] http:// www.bilgiustam.com/fibonacci sayilari-ve-altin-oran-nedir.
45
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve Tarihi
Telefon
Faks
e-mail
:
:
:
:
:
:
Ayşe ATALAY
T.C.
ANKARA – 03.02.1988
05078361106
sandy_place@hotmail.com
EĞİTİM
Derece
Lise
:
Üniversite
:
Yüksek Lisans :
Doktora
:
Adı, İlçe, İl
Aydınlıkevler Lisesi, Keçiören, Ankara
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Bitirme Yılı
2005
2010
-
İŞ DENEYİMLERİ
Yıl
2012
Kurum
Gaziantep Mimar Sinan Lisesi
Görevi
Öğretmen
UZMANLIK ALANI: Matematik
YABANCI DİLLER : İngilizce
BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER
YAYINLAR : New families of s-Fibonacci and s-Lucas numbers, Ayse Atalay, Kemal
Uslu, Havva Gökkaya, Selcuk Journal of Applied Mathematics, In press.

Download Report