İLERİ ZEMİN MEKANİĞİ ZEMİN DAVRANIŞI VE BÜNYE MODELLERİ Doç. Dr. Havvanur KILIÇ İnşaat Mühendisliği Bölümü Geoteknik Anabilim Dalı ZEMİN DAVRANIŞI VE MODELLEME 1. 2. 3. 4. Genel bilgiler Zemin davranışı ve bünye modelleri Plaxis tanıtımı Plaxis ile örnek çözümler Genel Gerilme Hali Genel Gerilme Hali-notasyonlar • • • • • • • • • • • • efektif normal gerilmeler s'xx, s'yy, s'zz kayma gerilmeleri tyz, tzx, txy normal şekil değiştirme artımları dexx, deyy, dezz, kayma şekil değiştirme artımı dgyz, dgzx, dgxy zemin elemanına etkiyen efektif asal gerilmeler, s'1, s'2, s'3 , asal şekil değiştirme artımları de1, de2, de3 Düzlem gerilme • Düzlem gerilme şartı bir yönde - genellikle yatay yönde - bir asal gerilmenin sıfır olmasına dayanır. • Bu nedenle uzun bir duvar veya toprak dolgunun temelinde duvarın veya toprak dolgunun uzun yönü doğrultusundaki birim deformasyonlar sıfıra yaklaşır. Düzlem gerilme • • • • Dayanma yapıları, sürekli temeller, baraj dolguları bu gerilme durumu için tipik örnekler olarak gösterilebilir. • Bu durumda, yapının uzunluğu boyunca (y ekseninde) yer değiştirme ve şekil değiştirme sıfırdır (eyy=0), yani deyy=0 • ve simetriden dolayı tyz=txy=0, dgyz=dgxy =0 olacaktır. Eksenel simetri Eksenel simetri şartı, genellikle dikey olan bütün gerilme ve birim deformasyonların simetri ekseninin etrafında sabit kalması demektir. Üç eksenli deneylerde silindirik zemin numunesi s’2 = s’3 de2 = de3 Geoteknik mühendisliğindeki birçok problem önemli bir yanlışlığa neden olmaksızın düzlem gerilme veya eksenel simetri şartlarını sağlayacak hale dönüştürülebilir. Eksenel gerilme-şekil değiştirme Kayma gerilmesi-kayma şekil değiştirmesi Normal ve kayma gerilmeleri etkisi altındaki küp bir zemin elemanı üzerindeki gerilme ve birim deformasyonlar dFn ds = dA dl de = dz dFs dt = dA dh dg = dz Gerilmeler Düzlem şekil değiştirme durumunda zemin elemanına etkiyen gerilme ve şekil değiştirmeler q açısıyla döndürülmüş bir elemanda tn, sn ve tm, sm gerilmeleri N ve M noktaları olarak gösterilmektedir. Mohr- Gerilme Daireleri Eksenel simetrinin özel durumunda (s’2 = s’3 ) q¢ = (s 1¢ - s 3¢ ) , p¢ = q¢ M = p¢ 1 (s 1¢ + 2s 3¢ ) 3 t n¢ = t n t¢ = t q¢ = q Mohr’s daireleri- toplam ve efektif gerilmeler s n¢ = s n - u s¢ = s - u p¢ = p - u Deformasyonların analizi Deformasyon modelleri (a) Düzlem eleman üzerine etkiyen gerilmeler (b) Sürekli deformasyon. (c) Süreksiz kayma. Buradaki sürekli kelimesi birim deformasyonların malzeme boyunca yumuşak bir değişime uğradığı ve birim deformasyonlarda dg xz süreksizlik olmadığı anlamına gelmektedir. ¶ (dh ) de x = ¶x ¶ (dv ) de z = ¶z 1 é ¶ (dv ) ¶ (dh )ù + de xz = - ê ¶z úû 2 ë ¶x é ¶ (dv ) ¶ (dh ) ù = 2de xz = - ê + ¶z úû ë ¶x 2 de q = (de 1 - de 3 ) 3 dv de p = (de 1 + 2de 3 ) = v ep hacımsal birim deformasyon, eq kayma birim deformasyonu n özgül hacım Efektif gerilme-özgül hacim efektif gerilme prensibi sıkışma, şekil değiştirme ve kayma direncindeki değişme gibi zemin davranışındaki değişimin ölçülebilir etkilerinin tek nedenidir. s =s -u ' V = toplam hacim Vs=mineral danelerin hacmi v= n= özgül hacım V v= Vs 1+ w æ g ö 1 + w - wç ÷ èg w ø Zemin Davranışı • Kohezyonsuz zeminler (kumlar, çakıllar...) • Çevre basıncı ve sıkılık • Kohezyonlu zeminler (killer, siltler.....) • Gerilme tarihçesi, çevre basıncı, drenaj koşulları Deneysel yöntemler En yaygın olarak • Kesme kutusu deneyi • Üç eksenli basınç deneyi Kesme kutusu deneyi P Basınç plakası Poroz taşlar S Kayma kuvveti ölçülür Adım 1: Düşey yük uygulanır ve numunenin konsolide olması beklenir Adım 2: Alt yarı sabit bir kesme hızı ile itilerek zemin kesilir Üç eksenli basınç deneyi Piston Göçme düzlemi O-ring Geçirimsiz membran zemin numunesi Göçme anında zemin numunesi hücre Poroz taşlar su Hücre basıncı Geri basınç Boşluk suyu basıncı veya hacim değişimi Üç eksenli basınç deneyi türleri sc Adım 2 Adım 1 sc sc Deviatorik gerilme (Ds = q) sc sc sc+ q sc İzotropik konsolidasyon Eksenel Yükleme) Drenaj vanası açık mı ? evet Numune konsolide edilir (C) Drenaj vanası açık mı ? hayır evet Numune konsolide edilmez (U) hayır Drenajlı Drenajsız yükleme yükleme (D) (U) Üç eksenli basınç deneyi türleri Adım 2 Adım 1 İzotropik konsolidasyon Eksenel Yükleme) Drenaj vanası açık mı ? evet C Drenaj vanası açık mı ? hayır evet U D CD deneyi UU deneyi CU deneyi hayır U Standart diyagramlar • Mukavemet = kayma mukavemeti • Kayma gerilmesi – normal gerilme – Deviator gerilme – ortalama gerilme (mean stress) • Deformasyon – Kayma deformasyonu à hacimsel deformasyon – Eksenel şekil değiştirme à hacimsel şekil değiştirme • Gerilme-şekil değiştirme ilişkileri – ortalama gerilme ve hacimsel şekil değiştirme (dilatation), à p´ - εv – deviatorik gerilme ve deviatorik şekil değiştirme, à q - εq Direkt Kesme Deneyi aynı zemin, fakat oldukça gevşek Kritik durum t = T/A Kayma gerilmesi pik Nihai durum akma = rezidüel İki önemli durum: Nihai durum Kritik Durum Göçme durumları Sıkı kumda kritik durum Gevşek kumda nihai durum Bu iki farklı durum için son (kritik) boşluk oranı hemen hemen aynıdır. Kayma şekil değiştirmesi g = d/L Yük deplasman ilişkisi : sabit normal gerilmede Kesme sırasında ölçülen düşey zemin yer değiştirmesi oturma = (-) Vertical Displacement (mm) genleşme = (+) 0.8 genleşme 0.6 Normal stress 0.4 51 kPa 0.2 ¯ oturma 100 kPa 0.0 199 kPa -0.2 -0.4 0 2 4 6 Shear Displacement (mm) 8 Kayma gerilmesi, t Kum zeminde direkt kesme deneyi Normal gerilme = s3 Normal gerilme = s2 tf3 tf2 tf1 Normal gerilme = s1 Göçme anında kayma gerilmesi, tf Kayma şekil değiştirmesi Mohr – Coulomb göçme zarfı f Normal gerilme, s Kum zeminlerde standart diyagramlar Direkt kesme kutusu deneyinden belirlenen grafikler 123456- 100 kPa 400 kPa 980 kPa 1470 kPa 3000 kPa 4000 kPa Kum zeminde drenajlı kesme deneyi sonuçları Zeminin sıkılığının içsel sürtünme açısı üzerindeki etkisi Kum zeminlerde tipik üç eksenli basınç deney eğrileri (s1 - s3) sıkı t, kayma gerilmesi (f¢p) f¢p (f¢cv) gevşek NOT: s3 = sabit p = pik cv = sabit hacim ea, eksenel şekil değiştirme f¢cv s¢n, normal gerilme Influence of Density of Sand + ev (hacim değişimi) (s1 - s3) sıkı eğim = genleşme gevşek oturma ea, eksenel şekil değiştirme - ev ea, eksenel şekil değiştirme Kum zeminde üç eksenli CD deneyi sonuçları Standart diyagramlar • Gevşek kum – (q,ε1) eğrisi Üç eksenli basınç deneyinden belirlenen grafikler 123456- 100 kPa 400 kPa 980 kPa 1470 kPa 3000 kPa 4000 kPa Standart diyagramlar • Gevşek kum – (εv,ε1) eğrisi 123456- 100 kPa 400 kPa 980 kPa 1470 kPa 3000 kPa 4000 kPa Standart diyagramlar • Sıkı kum – (σ1´/σ3´,ε1) eğrisi 1234567- 100 kPa 300 kPa 1050 kPa 2000 kPa 2990 kPa 4000 kPa 14000 kPa Standart diyagramlar • Sıkı kum – (εv,ε1) eğrisi 1234567- 100 kPa 300 kPa 1050 kPa 2000 kPa 2990 kPa 4000 kPa 14000 kPa Standart diyagramlar – Mohr-Coulomb göçme zarfı Kohezyonsuz Zemin • Sıkı zemin + düşük çevre basıncı à yumuşama Kohezyonsuz Zemin • Sıkı zemin + düşük çevre basıncı à genleşme Kohezyonsuz Zemin • Gevşek zemin + yüksek çevre basıncı àartan gerilme-şekil değiştirme 1234567- 100 kPa 300 kPa 1050 kPa 2000 kPa 2990 kPa 4000 kPa 14000 kPa Kohezyonsuz Zemin • Gevşek zemin + yüksek çevre basıncı à sıkışma 1234567- 100 kPa 300 kPa 1050 kPa 2000 kPa 2990 kPa 4000 kPa 14000 kPa SIKIŞMA ve GENLEŞME oturma gevşek, kötü derecelenmiş daneler genleşme Sıkı iyi derecelenmiş daneler Düşey yer değiştirme y (hacımsal şekil değiştirme) Gerilme oranı (t/s'n) Gerilme-Oranı Genleşme İlişkisi (Taylor 1948) Pik gerilme oranı (tan f'peak) SIKI “Sabit hacim" gerilme oranı (tan f'cv) GEVŞEK SIKI dx dy/dx = 0 ¢ + tan f ¢ = tan f cv dy Eğimin max. olduğu nokta (n max) dy/dx = 0 GEVŞEK dy/dx negatif, sıfıra doğru artıyor dy dx æ dy ö tan f peak = tan f cv ¢ ¢ +ç ÷ è dx ø max æ dy ö æ dy ö tan n = ç ÷ ; tan n = ç ÷ è dx ø è dx ø max Sıkılık ve gerilme seviyesine bağlı olarak genleşme Boşluk oranı e Kritik durum çizgisi (KDÇ) Düşük gerilme seviyesinde,gevşek numunede genleşebilir GEVŞEK Yüksek gerilme seviyesinde, sıkı numunede sıkışabilir SIKI Normal efektif gerilme s'n (veya ort. efektif gerilme p') Kohezyonsuz Zemin • Sıkı zemin + düşük çevre basıncı à – yumuşama – genleşme • Gevşek zemin + yüksek çevre basıncı à – Artan gerilme –şekil değiştirme – sıkışma • Kritik Durum (= Characteristic State) – Boşluk oranı/hacim veya efektif gerilmelerde değişim olmadan plastik kayma deformasyonlarında artış devam eder. Kohezyonsuz zeminde dane biçimi • Köşeli daneler, yuvarlak daneler kadar kolay kompakte edilemezler – Köşeli daneler, yuvarlak danelere göre daha kolay kırılırlar Kohezyonsuz zeminde dane çapı etkisi • Büyük daneler malzemenin sürtünme açısına yakın sürtünme açısı verir. – Küçük daneler genleşme nedeniyle daha büyük mukavemet değeri verirler Kohezyonsuz zeminde anizotropinin etkisi àÜç eksenli basınç deneylerinde, aynı boşluk oranında fakat farklı yerleşimde zemin daneleri düşey olarak yerleştiğinde en yüksek mukavemet elde edilmiştir. à Tabiatta genellikle kumlar yatay tabakalar halinde düşey olarak yerleşir. Kohezyonsuz zeminde suyun etkisi Yuvarlak daneli zeminlerde etkisi yok Köşeli danelerde etkili -Mukavemeti azaltır -Rijitliği azaltır -Genleşmeden çok sıkışma gözlenir (CLEAN) SANDS Kumlarda • c = 0 = c′ - “kohezyonsuz” • Deney Yöntemi “Drenajlı” üç eksenli veya direkt kesme İçsel sürtünme açısı fıslak » fkuru f¢ » f Kumlarda f¢p » 35 - 50° f¢cv » 27 - 35° TEMİZ KUMLAR Zemin Sıkılığı, Dr (%) gevşek = 15 – 35 sıkı = 65 – 85 Kil zeminde üç eksenli CD ve CU deneyi sonuçları Killerde – Drenajsız Mukavemet Üç eksenli (Konsolidasyonsuz Drenajsız) (UU) Numune arazideki koşullarına geri getirilmez - gerilme boşalması Kesme sırasında drenaj vanası kapalı ve hacim değişimine izin verilmez DV = 0 cu = drenajsız kohezyon, NC suya doygun kil t, kayma gerilmesi f»0 cu s3 = 50 100 2cu 200 s, Normal gerilme İzotropik Konsolidasyonlu Drenajsız (CIU) • Numune arazideki gerilmelere göre konsolide edilir. • Kesme aşamasında drenaja izin verilmez • Boşluk suyu basıncı ölçülür Kayma mukavemeti tpik = c¢ + (s¢N)tanf¢ Toplam gerilmelere göre tpik = c + (sN)tanf Suya doygun NC killer f » 0 tpik = cu OCR Etkisi - CIU (s1 - s3) veya u CIU (s1 - s3) veya u CIU sd sd OC, Aşırı konsolide u NC, Normal Konsolide ea, Eksenel şekil değiştirme u ea İzotropik Konsolidasyonlu Drenajlı Deney, CID • İzotropik konsolidasyondan sonra numune drenaj açık olarak yavaş bir hızla kesilir. • Kesme sırasında oluşan boşluk suyu basınçları sönümlenmelidir. – s = s′ – Hacim değişimi meydana gelir OCR Etkisi -CID (s1 - s3) veya DV (s1 - s3) veya DV CID CID OCR Etkisi - CID sd NC, Normal konsolide DV ea, Eksenel şekil değiştirme sd OC, aşırı konsolide DV genleşme ea İzotropik Konsolidasyonlu Drenajsız (CIU) Efektif parametreler belirlenir c¢ , f¢ Killer için tipik değerler f¢ » 20 - 35° c¢ = 0 kPa NC killer c¢ £ 30 kPa OC killer Drenajlı ve drenajsız killer Killerin mukavemeti plastisite indeksinin artmasıyla azalır Üç eksenli deneyler ve gerilme izleri • Üç Eksenli Basınç Deneyinin sınırlamaları s'v (=s'1) s'h (=s'2) s'h (=s'3) Üç eksenli s'v s'1 s'2 thv s'h s'h s'3 “Gerçek üç eksenli” (s'1¹s'2 ¹s'3) “Basit Kesme” Üç eksenli kesme sırasıda farklı gerilme izleri 1. Hücre basıncı sabit tutulursa (Dsh = 0) ve düşey gerilme arttırılırsa (Dsv +) 2. Düşey gerilme sabit tutulursa (Dsv = 0) ve hücre basıncı azaltılırsa (Dsh -) 3. Düşey gerilme sabit tutulursa (Dsv = 0) ve hücre basıncı arttırılırsa (Dsh +) 4. Hücre basıncı sabit tutulursa (Dsh = 0) ve düşey gerilme azaltılırsa (Dsv -) q-p düzleminde gerilme izleri: Dq = Dsv - Dsh Dp = (Dsv + 2Dsh)/3 1. Dsh = 0 ve Dsv = + Þ Dq = +½Dsv½ ve Dp = +½Dsv/3½ Þ Dq/Dp =3 Kesme aşaması q Gerilme izi: deney sırasında gerilmelerin nasıl değiştirğini gösterir. (TSP) Toplam gerilme izi (ESP) Efektif gerilme izi 3 1 p Kesme izotropik konsolidasyondan sonra başlamıştır. izotropik konsolidasyon aşaması Kesme aşaması q 3 1 Anizotropik konsolidasyon aşaması p Toplam ve Efektif Gerilme İzleri (TSP, ESP) q Gerilme parameleri : Deviator gerilme : q = s v¢ - s h¢ TSP ESP 3 q = q' Du (+) B 1 (ESP) Ortalama efekif gerime : s ¢ + 2s h¢ p'= v 3 (b') B' Du negatif olacaktır "Standart" gerlme izi: sh sabit sv göçmeye kadar artırılıyor sv artıyor p, p' p' A p' = p - Du p sh sabit Dq = Dsv Dp = D sv/3 Dq/ Dp = 3 q – p’ –v uzayında Kritik Durum Kavramı Kritik Durum Modelinde: Drenajlı davranış q Drenajlı deneyde boşluk suyu basıncı oluşmasına izin verilmezse ESP=TSP q yalnızca başlangıç ve bitiş özgül hacim değerleri biliniyorsa, hacim değişimi izi kesikli çizgilerle Gösterilebilir. q Hacim değişimi numunenin başlangıç koşullarına ve aynı zamanda TSP’ye de bağlıdır. qA1 numunesi A1C1 gerilme izinde A1B1’e göre daha daha fazla genleşir qA2 numunesi A2C2 gerilme izinde A2B2’ye göre daha az sıkışır. qCSL’nin üstündeki numuneler ıslak taraf qCSL’nin altındaki numuneler ıslak taraf Kritik Durum Modelinde: Drenajsız davranış Drenajsız deneyde hacim değişimine izin verilmez v-p’ gerilme izi yataydır A2 numunesi normal konsolide A1 numunesi aşırı konsolide İzotropik -Tek boyutlu sıkışma ve Kritik Durum Çizgisi Normal Konsolide Killerin Drenajsız Kayma Mukavemeti Aşırı Konsolide Killerin Drenajsız Kayma Mukavemeti Killerin Drenajlı ve Drenajsız Mukavemeti Başlangıç ve Nihai Drenajsız Mukavemet Drenajsız koşullarda kademeli yükleme Zemin mekaniği problemlerinin çözümü Geoteknik mühendisliği problemlerinin çözümü iki aşamada gerçekleşebilir. Dış yüklemeler sırasında yapı malzemesi üzerinde etkili olan kuvvetlere karar vererek, 1) yapı elemanları içerisinde oluşan gerilmelerin durumunu incelemek 2) malzemenin tepkilerini dış etkilere karşı koruyabilme gücünü göz önüne alarak tariflemek gerekmektedir. Zemin Mekaniği Süreklilik Teorisi Süreklilik teorisi, elastisitenin, plastisitenin ve vizkozitenin matematiksel eşitliklerini içermektedir. 1) Denge ve hareket eşitlikleri 2) Geometri şartları veya deformasyonlar ile deplasmanların uygunluğu 3) Geçerli olan malzeme kanunları veya gerilme deformasyon ilişkileri Denge ve uygunluk bir zeminde gerilme ve yer değiştirmelerin çözümü için ← denge ve uygunluk koşullarının sağlanması gereklidir. Düzlem şekil değiştirme için ¶s z ¶t xz + =g ¶z ¶x ¶s x ¶t xz + =0 ¶x ¶z x:z düzlemi g : zeminin birim hacim ağırlığı Virtüel iş prensibi • Virtüel iş prensibine göre, dış yükler ve deplasmanlar nedeniyle yapılan iş, içsel gerilmeler ve deformasyonlar nedeniyle yapılan işe eşittir. F=dış yük w=deplasmanları Malzeme Modelleri • Elastik – Lineer – Non-lineer • Plastisite – Non-lineer • Cam-Clay Ailesi – Elasto-plastik BÜNYE EŞİTLİKLERİ Gerilmelerle şekil değiştirmeler arasındaki ilişkileri gösterir Non-lineeriteyi etkileyen faktörler • Başlangıç gerilme durumu • Gerilme durumu • Malzemenin fiziksel durumu - yoğunluk, su muhtevası, boşluk oranı…………….. • Yükleme tipi • Ortam özellikleri - süreksizlikler, çataklar, su………….. Non-lineerite • Non-lineeriteyi etkileyen faktörler malzeme davranışını tanımlarken göz önüne alınır –Basit Modeller –İleri (Advanced) Modeller ELASTİK MODELLER Elastik malzemeler: • Mevcut gerilme durumuna göre gerilme-şekil değiştirme ilişkisi; • gerilme tarihçesi dikkate alınmaz g zx = 2 (1 + n ) E tzx tzx = G E G= 2 (1 + n ) G kayma modülü. Lineer elastik problemlerin çözümünde yalnızca G veya E ve u gereklidir. Gerilme invariantlarını kullanarak Hook kanunu 1 p ortalama gerilme, K zeminin bulk modulü e = p¢ K¢ p¢ E¢ K¢ = e = e p 3(1 - 2n ¢) e p Özel durum: u’=0.5; K=0 1 e = q 3G e q E¢ G = G¢ = 2(1 + v ¢) E ¢ = 3K ' (1 - 2n ¢ ) E ¢ = 2G (1 + n ¢) 3K ¢(1 - 2n ¢) =1 \ 2G (1 + n ¢) 3K ¢ - 2G n¢ = 2G + 6K ¢ Zeminlerde Elastisite • Elastik zemin davranışı tipik bir drenajlı üç eksenli basınç deneyi sonuçları yorumlanarak açıklanabilir, • deneyde eksenel gerilme veya deviator gerilme (sa'-sr') artarken • yanal gerilme sr' (hücre basıncı) sabit tutulmuştur. Üç eksenli basınç deneyi-drenajlı K' zeminin kütle (bulk) modülü, G' kayma modülü E Elastisite modülü (a)'da deviator gerilme q ile üç eksenli kayma şekil değiştirmesi eq arasındaki ilişki, (b)'de hacımsal şekil değiştirme ep ile üç eksenli kayma şekil değiştirmesi eq arasındaki ilişk (c)'de deviator gerilme q ile eksenel şekil değiştirme ea arasındaki ilişki gösterilmiştir. Elastisite ve Kayma Modülü Drenajlı malzeme parametreleri • En genel elastik malzeme parametresi Young modülü E' ve Poisson oranı n' dır. • Elastik parametrelerle, izotrop malzemelerde malzemenin mukavemeti hakkında basit eşitlikler yazılabilir, E' K' = 3(1 - 2n ' ) Burada, K' zeminin kütle (bulk) modülü, G' kayma modülüdür. E' G' = 2(1 + n ' ) Üç eksenli basınç deneyi-drenajsız • Eğer üç eksenli deneyde drenaja izin verilmezse, drenajsız durumda hacım değişimi meydana gelmez. • Zemin örneğinin başlangıç davranışı yine elastik olacak • drenajsız yükleme aşamasında hacım değişimi engellendiği için boşluk suyu basıncı gelişecektir. Elastik hacımsal şekil değiştirmeler • Belirli bir gerilme durumunda elastik bölgenin sınırı akma yüzeyini verir • Akma yüzeyi içindeki gerilme değişimleri sonucu tam elastik veya geri gelebilen deformasyonlar oluşur. • Zeminin elastik özellikleri biliniyorsa gerilme artışları ile şekil değiştirme artışları arasındaki ilişki yazılabilir. • Akma yüzeyi içinde elastik ve izotrop davranış görüldüğünden, hacimdeki bu geri gelebilir değişimler sadece ortalama efektif gerilmedeki (p') değişimlerden meydana gelmektedir. Zeminlerde akma yüzeyi ve hacımsal elastik şekil değiştirmeler Normal sıkışma çizgisi ve yükleme-boşaltma çizgisinin ln p'-v sıkışma düzleminde gösterilmesi. v = vl-l ln p‘ v =vk-k ln p' l normal sıkışma çizgisinin, k yükleme-boşaltma çizgisinin eğimidir. vl (N) ve vk p'=1' in normal sıkışma ve yükleme-boşaltma çizgilerini kestiği noktalardır. Ödometre deneyi Sıkışma ve şişme çizgilerinin eğimi Cc'@2.3l Cs'@2.3k dep elastik ve plastik hacımsal şekil değiştirme artımı • özgül hacımdaki artış dv 'de hacımsal şekil değiştirmede artış meydana getirir. • dep elastik ve plastik hacımsal şekil değiştirme artımı æ dp ' ö e dv = k çç ÷÷ è p' ø dv de p = v • izotropik elastik zeminler için akma yüzeyi içinde deviator gerilme q 'deki değişim sonucu hacımda değişim meydan gelmez PLASTİK DAVRANIŞLAR gerilme gerilme Şekil değiştirme Rijit – mükemmel plastik gerilme Şekil değiştirme Elastikmükemmel plastik Şekil değiştirme Elastik- plastik şekil değiştirme pekleşmeli Plastik davranış Plastik davranışın modellenebilmesi için 1. Malzemenin plastik davranışa başlayıp başlamadığını yani akma gösterip göstermediği durumu bildiren akma fonksiyonu, 2. Plastik şekil değiştirmelerden dolayı akma fonksiyonundaki değişiklikleri dikkate alan pekleşme fonksiyonu 3. Plastik şekil değiştirmelerin yönünü belirleyen akma kuralı Killerde Akma 3 aynı özellikteki (1), (2) ve (3) zemin örnekleri üç eksenli hücrede aynı efektif gerilme durumunda (A noktası) olsun, Üç eksenli hücrede izotropik olarak yüklenmiş Ödometrede tek boyutlu sıkışmaya drenajsız üç eksenli basınç deneyi • (1) numunesi hücre basıncı arttırılarak izotropik olarak sıkışmıştır. Akma noktası Y1' de numunenin rijitliği değişmiştir, • (2) numunesi ödometrede tek boyutlu sıkışmaya maruz kalmış. Akma noktası Y2' de yine örneğin rijitliği keskin bir biçimde değişmiştir, • (3) numunesi üzerinde boşluk suyu basıncı ölçülerek drenajsız üç eksenli basınç deneyi yapılmıştır. Deviator gerilme q, üç eksenli kayma şekil değiştirmelerine karşılık çizildiğinde, akma noktası Y3' de örneğin rijitliğinin keskin bir biçimde değişmiş • Bu üç deneyden üç farklı yolla aynı bir zemin numunesinde elastik bölgenin sınırı belirlenerek (a) 'da üç deneyden belirlenen bir akma eğrisi çizilmiştir (Wood, 1990). gerilme Akmanın belirlenmesi akma? Tipik gerçek davranış Boşluk oranı Şekil değişitrme Ön konsolidasyon basıncı Düşey gerilme (log scale) Tabii killer için akma çizgileri 0.9 0.8 0.7 q/s vc 0.6 0.5 0.4 Rang de Fleuve Belfast 0.3 Winnipeg 0.2 St Alban Lyndhurst 0.1 Mastemyr 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 p/s vc collected by Graham et al (1988) 0.6 0.7 0.8 0.9 Plastik hacımsal şekil değiştirmeler ve plastik pekleşme Gerilme değişiminden dolayı akma çizgisinin biçiminin aynı kalması ancak pozisyonunun değişmesi olayına plastik pekleşme denir. Plastik hacımsal şekil değiştirmeler ve plastik pekleşme • Şekil (a) da birinci akma eğrisi (yl1) üzerindeki K noktası gerilmedeki değişim sonucunda akma eğrisinin dışındaki bir L noktasına taşınmıştır. • L noktasındaki gerilme durumu yeni bir akma eğrisi (yl2) üzerinde olmak zorundadır ve tahminler bu yeni akma eğrisine göre yapılmalıdır. • K dan L'ye doğru gerilme durumundaki değişimden dolayı toplam hacımda meydana gelen değişim Dv Şekil (b) de sıkışma düzleminde verilmiştir. • Toplam hacım değişiminin elastik ve plastik bileşenlerinin belirlenmesi gerekmektedir. Plastik hacımsal şekil değiştirmeler ve plastik pekleşme • Dv=Dve+Dvp Burada üst indis e ve p elastik ve plastik deformasyonları belirtmektedir. • v : p' ve v : log p' düzleminde sıkışma ve boşaltma-tekrar yükleme çizgileri • Birinci boşaltma-tekrar yükleme çizgisinin (url 1) denklemi, v = vk1 -k ln p' Plastik hacımsal şekil değiştirmeler ve plastik pekleşme • ikinci boşaltma-tekrar yükleme çizgisinin (url 2) denklemi v = vk2 -k ln p' • Buradan hacımda meydana gelen plastik şekil değiştirmeler • Dvp = Dvk = vk2 - vk1 yazılabilir. æ p' 02 ö æ p' 02 ö Dv = - l lnç ÷ ÷ + k lnç è p' 01 ø è p' 01 ø p æ p' 02 ö Dv = -( l - k ) lnç ÷ è p' 01 ø p Plastik hacımsal şekil değiştirmeler ve plastik pekleşme 1. Elastik hacımsal değişimler ortalama efektif gerilmede (p') meydana gelen değişimlerden, 2. plastik hacımsal değişimler ise belirli bir normal sıkışma gerilmesi (ön konsolidasyon basıncı aşıldığı zaman ki gerilme) (po') tarafından akma çizgisinin boyutu değiştiği zaman meydana gelir. Plastik hacımsal şekil değiştirmeler ve plastik pekleşme • Toplam hacımsal şekil değiştirme artımının elastik ve plastik bileşenleri aşağıdaki eşitliklerde verilmiştir. de p = de + de e p p p d p' dp0 ' de p = k + (l - k ) ¢ vp' vp 0 Bünye Modellerinde Pekleşme Non-lineer analizlerde plastik şekil değiştirmelerden dolayı akma fonksiyonundaki değişiklikleri gözönüne alan bir pekleşme fonksiyonuna gereksinim vardır. • Bu fonksiyon malzemenin plastik bölgedeki davranışını tanımlamaktadır yani, yumuşama, pekleşme ve ideal plastik durumları belirler. • Pekleşme, analizlerde iki şekilde gözönüne alınabilir; bunlar sırasıyla izotropik ve kinematik pekleşmedir. Bünye Modellerinde Pekleşme • İzotropik pekleşmede; akma yüzeyi, gerilme uzayında plastik şekil değiştirmeler gelişirken bir başlangıç akma yüzeyine göre paralel bir şekilde genişlemektedir, yani akma yüzeyinin biçimi aynı kalırken, gerilme değişiminden dolayı sadece pozisyonu değişmektedir. • Yumuşak zemin davranışını tanımlamak için geliştirilen Cam-clay modeli, başlık modeli izotropik pekleşmeli modellerdir. • Kinematik pekleşmede ise; akma yüzeyinin sabit boyutlarda olduğu kabul edilmekte fakat gelişen akma ile birlikte bu yüzey gerilme uzayında farklı boyutlara taşınmaktadır (Wood, 1990). Pekleşme • Izotropik pekleşme kinematik pekleşme Pekleşme Plastik Kayma Şekil Değiştirmeleri plastik kayma şekil değiştirmelerinin değeri zeminlerin plastik davranışının tamamen tanımlanması sonucunda hesaplanabilecektir. Plastik potansiyel • p': q düzleminde Y noktasındaki bir gerilme durumunda akma meydana gelir. • Akma plastik hacımsal şekil değiştirmeler depp ve plastik kayma şekil değiştirmelerinin depq meydana gelmesi ile ilişkilidir. Plastik potansiyel • Bu iki şekil değiştirme bileşeninin şiddeti YS vektörü ile gösterilmiştir. • Y noktasında plastik şekil değiştirme artım vektörüne AB gibi bir ortogonal çizilebilir. • Bir zeminin yüklenme tarihçesindeki birçok gerilme kombinasyonu altında akma meydana gelebilir ve her bir gerilme kombinasyonu için plastik şekil değiştirme artım vektörü ve ortogonal bir çizgi çizilerek bu çizgiler birleştirilirse plastik şekil değiştirme artım vektörüne ortogonal bir eğriler demeti elde edilir. • Elde edilen bu eğriler plastik potansiyel olarak adlandırılır. Normalite veya associated (bağımlı) akma • Plastik potansiyeller p': q gerilme düzleminde bir eğriler demeti biçimindedir. • Akma çizgisi de p': q gerilme düzleminde bir eğriler demeti biçimindedir. • Eğer bir malzeme için akma yüzeyleri ile plastik potansiyel yüzeyleri aynı ise malzeme normalite koşulunu sağlıyor denilir, • Yani plastik şekil değiştirme artımı vektörünün yönü akma yüzeyinden dışarıya doğru ve bu yüzeye diktir. Akma, Pekleşme ve Plastik Akma Akma yüzeyi plastik şekil değiştirme Malzemenin gerilme durumu akma yüzeyinin üstünde veya içinde olabilir, fakat dışında olamaz…. Şekil değiştirme pekleşmeli malzeme Akma yüzeyi Şekil değiştirme yumuşamalı malzemeler için ????? Plastisite teorisinin akma kuralı (a) Plastik potensiyel (b) Normalite koşulu Plastik şekil değiştirmelerin artım oranı Plastisite teorisi ⇕ Plastik şekil değiştirmelere neden olan gerilme durumu Plastik şekil değiştirme artım vektörü ⇕ Akma kuralı Gerilme vektörü plastik potansiyel = akma çizgisi ☞ bağımlı akma ☞ normalite koşulu Farklı göçme modelleri göçme kriterleri Mohr-Coulomb göçme kriteri Göçme ve akma kriteri Coulomb kriteri Göçme ve akma kriteri Drucker-Prager kriteri Farklı göçme modelleri (after Chen and Mizuno 1990; Chen and McCarron 1986) Farklı göçme modelleri (after Chen and Mizuno 1990; Chen and McCarron 1986) Göçme ve akma kriteri Elasto-Plastik Davranış genel gerilme-şekil değiştirme eşitlikleri des = de + de p s dev = de + de p v e s e v Toplam şekil değiştirmeler = elastik bileşen + plastik bileşen elastisite akma pekleşme Plastik akma Akma fonksiyonu • Bir analizde plastik davranışın meydana gelip gelmediğini belirleyebilmek için gerilme ve şekil değiştirmelerin bir fonksiyonu olarak bir akma fonksiyonu gereklidir. • Akma fonksiyonu genellikle asal gerilme uzayında bir yüzey olarak tanımlanır ve model parametreleri ile belirtilir. • Akma yüzeyi içinde tanımlanan gerilme durumları için davranış elastiktir. Akma fonksiyonu • f ( p', q, P0')=0 • P0' pekleşme parametresidir ve plastik şekil değiştirme değişimine dep bağlıdır. • Akma fonksiyonu p' : q düzleminde elastik bölgenin sınırlarını tanımlar ve p0' akma çizgisi demetinin herhangi bir üyesinin boyutlarını gösterir. Elasto-plastisite • Akma fonksiyonu: f ( p', q, Po')=0 Elasto-plastisite • Gerilme durumu akma yüzeyine ulaşınca plastik gerilme artımları plastik potansiyel ile tanımlanır. • Plastik potansiyel fonksiyonu, g ( p', q , z )=0 • z parametresi p' : q efektif gerilme durumunda plastik potansiyelin boyutlarını kontrol eder. • Çok eksenli gerilme durumunda, her gerilme seviyesinde plastik şekil değiştirmelerin yönünün belirlenmesi gereklidir. • Bu durum akma kuralı ile gözönüne alınır. de p p ¶g = l ¶p ' de q q ¶g = l ¶q Elasto-plastisite • l skaler bir çarpandır. Pekleşme kanununa göre p0' değişimden dolayı akma çizgisinin boyutlarındaki değişim plastik kayma ve hacımsal değişimlerin her ikisinin değişimi ile ilişkilidir. ¶p 0 ' dp 0 ' = de p ¶e p p p ¶p0 ' de + p ¶e q Akma çizgisinin diferansiyel formu ¶f ¶f ¶f d p '+ dq + dp 0 ' = 0 ¶p ' ¶q ¶p 0 ' ö æ ¶f ¶f d p '+ dq ÷ -ç ø è ¶p ' ¶q l = ¶f æ ¶p 0 ' ¶g ¶p0 ' ¶g çç + ¶ p 0 ' è d e pp ¶ p ' d e qp ¶ q ö ÷÷ ø p q Elasto-plastisite • l skaler çarpanı de pp = l ¶g ¶p' q ve de q = l ¶g eşitliklerinde ¶q yerine yazılırsa genel plastik gerilme-şekil değiştirme ilişkisi belirlenir. é ¶f ¶g ê ¶p' ¶p' éde pp ù -1 ê ê pú = êëde q úû ìï ¶f é ¶p0 ' ¶g ¶p0 ' ¶g ù üï ê ¶f ¶g + p ê p ú ý êë ¶p' ¶q í ïî ¶p0 ' êë ¶e p ¶p' ¶e q ¶q ' úû ïþ ¶f ¶g ù ¶q ¶p' ú édp'ù ú ¶f ¶g ú êëdq úû ¶q ¶q úû Elasto-plastisite • Yukarıdaki eşitlikte plastik potansiyel ve akma çizgisi çakışırsa (f=g) zemin davranışı bağımlı akma kuralına uyar ve uygunluk matrisi simetrik olur. • Bu durumda belirlenen hacımsal deformasyonlar deneylerde bulunanlara oranla fazla tahmin edilir. • Bu nedenle plastik deformasyon artımı vektörünün akma yüzeyi (f) 'ye değil potansiyel yüzey (g)'ye dik olduğu non-associated (bağımlı olmayan) akış kuralı uygulanır. Elasto-plastisite Bağımlı akış (associated flow) (normality) Bağımsız akış (non-associated flow) Gelişmiş Bünye Modelleri Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli • Cam-Clay ve Modifiye Cam-Clay modelleri arasındaki fark akma yüzeylerinin farklı tanımlanmasındandır. • Orjinal Cam-Clay modelinde akma yüzeyi logaritmik spiral iken Modifiye Cam-Clay modelinde akma yüzeyi eliptiktir. • Böylece zeminlerin gerilme-şekil değiştirme davranışı elastisite, plastisite, kritik durum, akma sınırı ve normalite teorileri yardımıyla matematiksel bir modelle ifade edilebilmektedir. Cam clay Elastik-pekleşmeli plastik model Hacımsal pekleşme Birleşik akma – normalite kuralı Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli Cam-Clay modeli normal konsolide ve hafif aşırı konsolide zeminler için geliştirilmiştir. Modifiye Cam-Clay bünye modelinde akma çizgisinin formu Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli • Modifiye Cam-clay bünye modelinde akma çizgisinin formu elips şeklindedir ve p' : q düzleminde elips p' ekseni üzerinde ortalanmıştır. Elipsin denklemi 2 p' M = 2 2 p0 ' M +h Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli • h'=q/p' • Bu denklemin boyutları p0' tarafından kontrol edilen, orijinden geçen, biçimleri p' : q düzleminde kritik durum çizgisinin eğimi M tarafından kontrol edilen bir elips grubunu tanımlar. • Zeminde akma meydana geldiği zaman bu eşitliğin diferansiyel formu boyunca akma çizgisinin pozisyonundaki değişim efektif gerilme p' ve q=h'p' deki değişimle bağlantılıdır. • Böylece bu eşitlik aşağıdaki biçimde yazılabilir ve bu eşitlik akma fonksiyonunu verir. Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli • f = q2-M2 [p'(p0'- p')]=0 • Zemin normalite koşulunu sağlarsa plastik potansiyel fonksiyonu ile akma fonksiyonu aynıdır (f=g) ve plastik şekil değiştirme artım vektörü depp ; deqp akma çizgisinin normalinden dışarıya doğrudur. de 2 ¢ ¶g / ¶p' M (2 p'- p0 ' ) M -h = = = p 2q 2h ¢ de q ¶g / ¶q p p 2 2 Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli p': q gerilme düzleminde plastik potansiyel ve akma kuralı • Bir malzeme için akma yüzeyleri ile plastik potansiyel yüzeyleri aynı ise malzeme normalite koşulunu sağlıyor • Plastik şekil değiştirme artımı vektörünün yönü akma yüzeyinden dışarıya doğru ve diktir. Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli • Akma çizgisinin aynı biçimde genişlediği kabul edilirse ve biçimi p0' tarafından kontrol edildiğinde buna izotropik pekleşme adı verilir. Özgül hacım ile ortalama efektif gerilmenin logaritmik değişimi arasında v= N- l ln p0' ilişkisi yazılıp, plastik hacımsal şekil değiştirmeler, • de = [( l -k ) / v]dp0 ' /p0 ' p p Cam-Clay Yapısal Bünye Modeli • Pekleşme ilişkisi ¶p 0 ' vp 0 ' = p ¶e p l - k • elastik gerilme-şekil değiştirme ilişkisi matris formunda éd e p ù é1 / K ' êde ú = ê ë 0 ë qû • ¶p 0 ' = 0 p ¶e q 0 ù éd p 'ù 1 / 3 G ' úû êë d q úû plastik gerilme şekil değiştirme ilişkisi de matris formunda aşağıdaki eşitlikle ifade edilir. éde ê êëde p p p q ù é M 2 - h '2 (l - k ) ú = ê 2 2 + vp ' ( M ' ) h 2h ' úû ë ù éd p 'ù 2h ' ú 2 2 2 úê 4h ' / M - h ' û ë d q û Örneğin , Cam clay (1963, 1968) plastik – daha az rijit Kayma gerilmesi Kayma gerilmesi elastik - rijit Ortalama gerilme Zeminin elastik-plastik modellenmesi Kayma şekil değişitirmesi Elastik-mükemmel plastik Mohr-Coulomb modeli Elastik-mükemmel plastik Mohr-Coulomb modeli akma yüzeyi Mohr-Coulomb modelinde a) göçme çizgisi b) plastik potansiyel basitlik Keskin rijitlik değişimleri Tanjant rijitliği elastik veya sıfır Sonsuz genleşme Birleşik olmayan plastik akma (plastik potansiyel ile akma yüzeyi üst üste değil) Standard elastik-mükemmek plastik Mohr-Coulomb model Hemen hemen bütün nümerik analizlerde öncelikli olarak kullanılır Malzeme parametrelerinin seçilmesi çok önemli elastik-pekleşmeli plastik Mohr-Coulomb model Birleşik olmayan akış kuralı Sonsuz genleşme eğilimi Zemin Parametreleri & Akma Yüzeyi • Asal gerilme uzayında akma yüzeyi Başlık • Associated plasticity • Volume hardening Coulomb • Non-assoc. plasticity, • Friction hardening Note: φ = 0 ... or Rankine + associated plasticity