i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satı¸s hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni olmadan Elektronik, optik, mekanik ya da di˘ger yollarla basılamaz, ço˘galtılamaz ve da˘gıtılamaz. Copyright 2014 All rights reserved No parts of this book may be printed, Reproduced or distributed by any electronical, optical, mechanical or other means without the written permission of MAHMUT KOÇAK. Kapak Düzeni: Mahmut KOÇAK Tasarım-Dizgi: Mahmut KOÇAK ISBN 000-0000-0000-0-0 2. Baskı ———–, Eski¸sehir, 2014 Mahmut Koçak tarafından LATEX kullanılarak hazırlanmı¸stır. Typesed by Mahmut Koçak using LATEX. ˙Içindekiler iii ˙I ç i n d e k i l e r Ö n sö z 1 viii Bölüm 1 Sayı Kümeleri 1.1 Real Sayılar 2 1.2 1.3 Aralıklar 5 Üstlü ˙Ifadeler 6 1.4 ˘ Bir Reel Sayının Mutlak Degeri 10 1.5. Alı¸stırmalar 11 13 Bölüm 2 Denklemler ve E¸sitsizlikler 2.1 Denklemler 14 2.2 ˘ skenli Lineer Denklemler 15 Tek Degi¸ 2.3 ˘ skenli Lineer E¸sitsizlikler 18 Tek Degi¸ 2.4 ˘ skenli Denklemler 20 2. Dereceden Tek Degi¸ 2.5 ˘ skenli E¸sitsizlikler 27 2. Dereceden Tek Degi¸ 2.6. Alı¸stırmalar 29 33 Bölüm 3 ˘ Düzlem ve Dogrular 3.1 Dik (Kartezyen) Koordinat Sistemi 34 3.2 Düzlemde Uzaklık 34 3.3 ˘ Düzlemde Dogrular 36 ˙Iki Degi¸ ˘ skenli Lineer Denklemler 44 ˙Iki Degi¸ ˘ skenli Lineer E¸sitsizlikler 46 3.4 3.5 3.6. Alı¸stırmalar 48 49 Bölüm 4 Fonksiyonlar 4.1 Fonksiyon 50 4.2 Fonksiyon Grafikleri 54 4.3 Parçalı Fonksiyonlar 58 4.4 ˘ Fonksiyonu 61 Mutlak Deger 4.5 ˘ Fonksiyonları 64 Tam Deger Fonksiyonlarda Cebirsel ˙Is¸ lemler 67 4.6 4.7. Alı¸stırmalar 73 77 Bölüm 5 Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar 5.1 ˙Ikinci Dereceden Polinomlar-Kuadratik Fonksiyonlar 78 ˙Içindekiler iv 5.2 Kuadratik Fonksiyonların Grafikleri: Paraboller 79 5.3 Polinomlar 84 5.4 Rasyonel Fonksiyonlar 92 5.5. Alı¸stırmalar 94 97 Bölüm 6 Fonksiyonların ˙Incelenmesi 6.1 Bire-Bir Fonksiyonlar ve Örten Fonksiyonlar 98 6.2 Monoton Fonksiyonlar 101 6.3 Ters Fonksiyonlar 103 6.4 Tek ve Çift Fonksiyonlar 107 6.5. Alı¸stırmalar 109 111 Bölüm 7 Fonksiyonların Ekonomideki Bazı Uygulamaları 7.1 Arz ve Talep Fonksiyonları 112 7.2 Maliyet Fonksiyonu 114 7.3 Gelir ve Kar Fonksiyonları 115 7.4 Kar-Zarar Analizi 117 7.5 Pazar Dengesi 124 7.6. Alı¸stırmalar 128 131 Bölüm 8 Limit Kavramı 8.1 Bir Noktada Sonlu Limitler 132 8.2 Bir Noktada Sonsuz Limitler 139 8.3 Sonsuzlukda Sonlu Limitler 141 8.4 Sonsuzlukda Sonsuz Limitler 143 8.5. Alı¸stırmalar 146 149 Bölüm 9 Süreklilik Kavramı 9.1 ˘ 150 Bir Fonksiyonun Sürekliligi 9.2 Sürekli Fonksiyonlar Üzerinde Aritmetik ˙Is¸ lemler 156 9.3 ˘ 157 Bile¸ske Fonksiyonların Sürekliligi 9.4 Süreksizlik Noktaları 157 9.5 [a, b] Üzerinde Tanımlı Sürekli Fonksiyonların Özellikleri 159 9.6 ˘ Teoremi 160 Aradeger 9.7. Alı¸stırmalar 162 165 Bölüm 10 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 10.1 Genel Üstler 166 10.2 Üstel Fonksiyonlar 167 10.3 Üstel Fonksiyonların Temel Özellikleri ve Grafikleri 167 ˙Içindekiler v 10.4 Logaritmik Fonksiyonlar 169 10.5 Logaritmik Fonksiyonların Temel Özellikleri ve Grafikleri 170 10.6 Kuvvet Fonksiyonu 174 10.7 Elemanter Fonksiyonlar 174 10.8 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Limitleri 175 10.9 ˘ 178 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Sürekliligi 10.10. Alı¸stırmalar 179 183 Bölüm 11 Türev Kavramı 11.1 ˘ sim 184 Ortalama Degi¸ 11.2 Türev Tanımı 186 11.3 Temel Türev Alma Kuralları 189 11.4 Ters Fonksiyonların Türevi 191 11.5 Bile¸ske Fonksiyonların Türevi-Zincir Kuralı 193 11.6 Üstel Fonksiyonların Türevi 195 11.7 Logaritmik Fonksiyonların Türevi 197 11.8 Yüksek Mertebeden Türevler 199 11.9. Alı¸stırmalar 201 203 Bölüm 12 Yerel Maksimum ve Minimum Noktaları 12.1 Tanım ve Temel Teoremler 204 12.2 Birinci Türev Testi 209 12.3 ˙Ikinci Türev Testi 211 12.4 Konveks ve Konkav Fonksiyonlar 218 12.5. Alı¸stırmalar 222 225 Bölüm 13 Fonksiyon Grafiklerinin Daha Detaylı Çizimi 13.1 Asimtotlar 226 13.2 Fonksiyon Grafiklerinin Çizimi 227 13.3. Alı¸stırmalar 235 237 Bölüm 14 Ekonomi ve ˙Is¸ Hayatında Marjinal Analiz 14.1 Ortalama Maliyet ve Marjinal Maliyet Fonksiyonları 238 14.2 Ortalama Gelir ve Marjinal Gelir Fonksiyonları 241 14.3 Ortalama Kar ve Marjinal Kar Fonksiyonları 242 14.4 ˘ 244 Talep ve Arzın Fiyat Esnekligi 14.5 Optimizasyon (En ˙Iyileme) Problemleri 247 14.6. Alı¸stırmalar 253 ˙Içindekiler vi 259 Bölüm 15 Üstel ve Logaritmik Modeller 15.1 Faiz Hesabı 260 15.2 Üstel Büyüme ve Yok Olma 269 ˙Ikiye Katlama Süresi ve Yarılama Süresi 276 15.3 15.4. Alı¸stırmalar 279 281 Bölüm 16 Belirsiz ˙Integral 16.1 16.2 Belirsiz ˙Integral-Ters Türev 282 Temel ˙Integral Alma Teknikleri 295 16.3. Alı¸stırmalar 319 323 Bölüm 17 Belirli ˙Integral 17.1 Giri¸s 324 17.2 Riemann Toplamları 326 Bir Fonksiyonun Belirli ˙Integrali 331 Belirli (Riemann) ˙Integralinin Hesaplanması 333 Belirli ˙Integralin Temel Özellikleri 334 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 Alan Hesabı 339 Belirli ˙Integralin Bazı Uygulamaları 346 ˘ Bir Fonksiyonun Ortalama Degeri 357 Has olmayan ˙Integraller 360 17.10. Alı¸stırmalar 365 371 Bölüm 18 Matrisler ve Matrisler Üzerinde Cebirsel ˙Is¸ lemler 18.1 Tanım ve Örnekler 372 18.2 18.3 Matrisler Üzerinde Cebirsel ˙Is¸ lemler 376 Matris ˙Is¸ lemlerinin Özellikleri 386 18.4 Bir Matrisin E¸selon Formu 395 18.5 Ters Matrisler 400 18.6 Determinant 402 18.7. Alı¸stırmalar 408 411 Bölüm 19 Lineer Denklem Sistemleri 19.1 Lineer Denklem Sistemleri 412 19.2 Yerine Koyma Metodu 19.3 Yoketme Metodu 19.4 Gauss Yoketme Metodu 19.5 Ters Matris Metodu 429 19.6 Leontief Giridi-Çıktı Analizi 431 413 415 422 ˙Içindekiler vii 19.7. Alı¸stırmalar 438 441 Bölüm 20 Lineer Programlama: Geometrik Yakla¸sım 20.1 20.2 ˙Iki Bilinmeyenli Lineer E¸sitsizlik Sistemleri 442 ˙Iki Karar Degi¸ ˘ skenli LP Problemlerinin Geometrik Çözümleri 445 20.3. Alı¸stırmalar 469 Kaynaklar Dizin 473 477 viii Önsöz Önsöz Bu kitap üniversitelerin ˙Iktisadi ve ˙Idari Bilimler Fakültesi, Ziraat Fakültesi, Sa˘glık Bilimleri Fakültesi gibi de˘gi¸sik fakültelerinin birçok bölümlerinde de˘gi¸sik isimlerle okutulan Genel Matematik derslerinin kapsamındaki konuları içerecek s¸ekilde hazırlanmı¸stır. Bu kitap hazırlanırken mümkün oldu˘gunca teoriden kaçınılarak konulara sezgisel olarak yakla¸sılmı¸s, konuların anla¸sılması için kavramlar çok sayıda örnekle desteklenmi¸stir. Bu kitap yirmi bölümden olu¸smu¸stur. Bu bölümlerin içeri˘gi a¸sa˘gıdaki gibidir. Birinci bölümde, reel sayı kümeleri kısaca tanıtılarak, bir reel sayının (25 , 32 gibi) tam üstleri ve reel sayların mutlak de˘gerleri verilmi¸stir. ˙Ikinci bölümde, tek de˘gi¸skenli liner denklem ve lineer e¸sitsizliklerle iki de˘gi¸skenli lineer denklem ve lineer e¸sitsizlikler verilmi¸stir. Üçüncü bölümde, düzlemde do˘gru çe¸stleri ve do˘gru denklemleri ile iki de˘gi¸skenli lineer denklem ve iki de˘gi¸skenli lineer b e¸sitsizlikler verilmi¸stir. Dördüncü bölümde, fonksiyon kavramı ve basit fonksiyonların grafikleri verilerek sıkça kullanılan bazı temel fonksiyonlar ile fonksiyonlar üzerinde cebirsel i¸slemler verilmi¸stir. Be¸sinci bölümde, polinom ve rasyonel fonksiyonlar verilmi¸s ve ikinci dereceden polinom (kuadratik) fonksiyonları ve bunların de˘gi¸sik yazılımları ile kuadratik fonksiyonların grafiklerinin (parabollerin) basitçe nasıl çizilece˘gi verilmi¸stir. Altıncı bölümde, be¸sinci bölümde verilen fonksiyonların incelenmesi verilecektir. Bu bölümde bir fonksiyonun bire-bir, örten, artan, azalan olması verilerek bu kavramlar arasındaki ili¸skiler verilmi¸stir. Yedinci bölümde, fonksiyonların özellikle ekonomiye bazı uygulamaları verilecektir. Bu bölümde arz, talep, maliyet, gelir ve kar fonksiyonları verilecektir. Sekizinci bölümde, matemeti˘gin önemli konularından biri olan ve daha sonraki konulara temel te¸skil edecek olan limit kavramı ve limitlerle ilgili kurallar verilecektir. Dokuzuncu bölümde, limit kavramıyla yakından ili¸skili olan süreklilik kavramı ve süreklilikle ilgili aritmetik i¸slemler verilecektir. Onuncu bölümde, limit kavramı yardımıyla tam üsler kullanılarak (20 .5, 3π gibi) genel üsler tanıtılacaktır. Bu bölümde genel üstler yardımıyla bilimin herdalında sıkça kullanılan genel üstel fonksiyonlar ve bu fonksiyonların ters fonksiyonları olan logaritmik fonksiyonlarla bu fonksiyonların grafikleri ile temel özellikleri verilecektir. On birinci bölümde, bir fonksiyonun ortalama de˘geri ve daha sonraki bölümlerde önemli uygulamaları bulunan bir fonksiyonun türevi ve yüksek mertebeden türev kavramları tanımlanacaktır. On ikinci bölümde, bir fonksiyonun yerel maksimumu ve yerel minimumu ile kapalı ve sınrlı aralıklar üzerinde tanımlı olan fonksiyonların global maksimum ve minimumlarının türev yardımıyla nasıl bulunaca˘gı verilecektir. On üçüncü bölümde, verilen bir fonksiyonun grafi˘ginin türev yardımıyla daha detaylı nasıl çizilece˘gini verece˘giz. On dördüncü bölümde, türev kavramının bazı bilimdallarında özellikle ekonomideki uygulamaları ile türev kavramı kullanılarak optimizasyon (eniyileme) problemlerinin çözümlerinin nasıl bulunaca˘gını görece˘giz. On be¸sinci bölümde, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla olu¸sturulan modeller incelenecektir. Bu bölümde basit faiz, birle¸sik faiz, sürekli birle¸sik faiz hesaplanaması verildikten sonra daha genel olarak üstel büyüme ve üstel yok olma kavramları verilerek bunların uygulamaları verilecektir. On altıncı bölümde türev kavramının tersi sayılabilecek belirsiz integral kavramı verilerek, telem integral alma teknikleri verilecektir. On yedinci bölümde, belirli integral kavramı verilerek belirli integralin belirsiz integral yardımıyla kolayca nasıl bulunaca˘gını görece˘giz. Ay rıca bu bölümde bir fonksiyonun ortalama de˘geri ile belirli integralin bir genellemesi ix Önsöz olan has olmayan integraller verilecektir. On sekizinci bölümde, daha sonraki bölümde verilecek olan lineer denklem sistemlerin çözümünde kullanılacak olan matris kavramı tanıtılacak, matrisler üzerinde cebirsel i¸slemler verilerek bir matrisin rankı ve determinantı gibi kavramlar verilecektir. On dokuzuncu bölümde, lineer denklem sistemleri ve bu sistemlerin çözüm metodları verilecektir. Daha sonra denklem sistemlerinin bazı uygulamaları verilecektir. Yirminci bölümde, iki bilinmeyenli lineer e¸sitsizlik sistemleri ve iki karar de˘gi¸skenli lineer programlama problemlerinin geometrik çözümleri ile bunların bazı uygulamaları verilecektir. Eskisehir, ¸ 2014 Prof. Dr. Mahmut KOÇAK Email: mkocak@ogu.edu.tr http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/