145

URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Tekil Potansiyel İntegralleri için Özdeşlikler
Sevda Özdemir, Alper Ünal, Sema Nur Koç*, Adnan Köksal
Hacettepe Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Beytepe, Ankara
koksal@ee.hacettepe.edu.tr, sevda@ee.hacettepe.edu.tr, alperunal@hacettepe.edu.tr
*Başkent Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Ankara
semanur@gmail.com
Özet: Bu çalışmada, serbest uzay Green fonksiyonları için üç özdeşlik gösterilmiştir. Bu özdeşliklerle, iki ve üç
boyutlu elektromanyetik problemlerde açığa çıkan tekillik sorunu çözülebilmektedir. Diğer çözümlerde tekil
kısım problemden çıkarılarak, farklı tekniklerle hesaplanırken, bu özdeşlikler ile integraller nümerik olarak
hesaplanabilen ve tekil olmayan bir duruma indirgenmektedir. Böylece, potansiyel integrali sadece Gauss
toplamları gibi bir nümerik yöntemle çözümlenebilmektedir..
Abstract: In this study, three identities are presented which involve free space Green’s functions. Singularity
occuring in 2- or 3-D electromagnetic problems can be handled with these identities. The singular part is
extracted and calculated with different techniques in other solutions however, using these identities, singular
integrals can be reduced to nonsingular integrals and calculated numerically. So, the potential integral can be
solved numerically, using Gaussian quadratures for example.
1. Giriş
Kaynak bölgesindeki tekillik sorunu Moment Yöntemi’nde ortaya çıkan önemli sorunlardandır [1]. Tekil
potansiyel integrallerinin çözümü için değişik yöntemler kullanılmaktadır [2]-[6]. Tekillik çıkarımı bu
yöntemlerden biridir. Bu yöntemde, tekil olan 1/R kısmı potansiyel integral kısmından çıkarılır ve nümerik
olarak ayrı hesaplanır. Tekil olmayan kısım ise nümerik Gauss yöntemleriyle hesaplanabilir.
Bu çalışmada, tekillik çıkarımı veya tekillik yok etme yöntemleri kullanılmadan boş uzay potansiyel
integrallerinin çözümü için geliştirilmiş etkili bir yöntem anlatılacaktır. İki ve üç boyutlu elektromanyetik
saçılım problemlerindeki tekil integralleri, tekil olmayan integrallere çeviren üç özdeşlik gösterilecektir.
2. Özdeşlikler ve Uygulamaları
Elektromanyetik saçılım problemlerinde kullanılan Eş.1’ deki integralin çözümü için özel yöntemler
kullanılmalıdır.
∫
Burada,
boş uzay skaler Green fonksiyonudur. Paydadaki
kısaltma amacıyla kullanılmamıştır.
Kaynak ve alan noktaları aynı olduğunda tekil olan Eş.1’ deki integralin çözümü için aşağıdaki özdeşlik
kullanılabilir:
| ⃗ ⃗ | ise kaynak ve gözlem noktası arasındaki uzaklıktır.
Burada,
ve
Eş.1’ de kullanılırsa, I1 integrali şu şekilde hesaplanabilir:
∫
∮
∫
⃗⃗⃗⃗⃗
[
]
∫
∫
Eş.3’ te yer alan integraller tekil değildir ve nümerik yöntemlerle hesaplanabilir.
ile Eş.2,
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Eş.2’ nin statik durumda geçerli olan aşağıdaki özdeşliğe benzediğine dikkat edilmelidir:
İkinci özdeşlik ise üç boyutlu düzlemsel yapılar için yani gözlem ve alan noktaları aynı düzlemde olduğunda
geçerlidir ve şu şekildedir:
Burada,
ise yüzey ıraksamasıdır. Eş.4’teki özdeşlik
olarak ifade edilir.
∫
integralinde kullanıldığında
∫
[
]
∫
∮ ̂
∫
⃗
elde edilir. Burada ∫
yüzey ıraksama teoremi [7] kullanılmıştır. ̂ , C kontürüne dik olan
∮ ̂ ⃗
birim vektördür. Eş.5’in de statik durumuna benzediğine dikkat edilmelidir:
Üçüncü özdeşlik ise
| ⃗ ⃗ | , silindirik koordinatlardaki boş uzay Green fonksiyonu,
olarak verilebilir. Burada,
ve ise
’nin argümana göre türevidir. Aşağıda verilen,
∫
|⃗
∫
⃗|
ve iki boyutlu TM saçılımında ortaya çıkan Eş.8, Eş.7 kullanılarak
∫
∮ ̂
∫
halinde yeniden yazılabilir. Burada, ̂ yine C kontürüne dik olan birim vektördür. Eş.9’da sağ tarafta yer alan
|⃗ ⃗ |
çizgi ve yüzey integrallerin
iken tekil olmadıkları görülebilir. Bu özdeşlik, tekillik çıkarımı
ya da yok etme gibi yöntemler kullanmadan iki boyutlu problemlere uygulanabilir.
3. Sonuç
Bu çalışmada, tekil potansiyel integraller için kullanılabilecek üç özdeşlik gösterilmiştir.Tekil olmayan
integraller veren bu özdeşliklerle potansiyel integralleri kolaylıkla hesaplanabilir. Yapılan nümerik çalışmalarda,
[2]-[6]’ da yapılan tekillik çıkarımı çalışmalarına oldukça yakın sonuçlar elde edilmiştir. Bu özdeşlikler, nümerik
integral yöntemleriyle çözülebildiğinden hesaplamayı oldukça kolaylaştırmıştır. Bu özdeşlikler ayrıca kaynak
bölgesinde alan hesabı gerektiren çalışmalarda da kullanılabilir [8]-[9].
4. Kaynaklar
[1] R. F. Harrington, ”Field Computation by Moment Methods”, IEEE Press, New York, 1982.
[2] R. D. Graglia, ”On the Numerical Integration of the Linear Shape Functions Times the 3-D Green’s Function
or its Gradient on a Plane Triangle”, IEEE Trans. on Antennas and Prop., 41(10), s: 1448-1455, Ekim 1993.
[3] R. D. Graglia, ”Static and Dynamic Potential Integrals for Linearly Varying Source Distributions in Twoand Three Dimensional Problems”, IEEE Trans. on Antennas and Prop., AP-35(6), s: 662-669, Haziran 1987.
[4] M. A. Khayat ve D. R. Wilton, ”Numerical Evaluation of Singular and Near-Singular Potential Integrals”,
IEEE Trans. on Antennas and Prop., 53(10), s: 3180-3190, Ekim 2005.
[5] M. G. Duffy, ”Quadrature over a Pyramid or Cube of Integrands with a Singularity at a Vertex”, SIAM
Journal onNumerical Analysis, 19, s: 1260-1262, Aralık 1982.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
[6] D. R. Wilton, S.M. Rao ve A. W. Glisson, D. H. Schaubert, O. M. Al-Bundak, and C. M. Butler, ”Potential
Integrals for Uniform and Linear Source Distributions on Polygonal and Polyhedral Domains”, IEEE Trans. on
Antennas and Prop., AP-32(3), s: 276-281, Mart 1984.
[7] L. Knockaert, F. Olyslager, ve D. V. Ginste, ”On the Evaluation of Self-Patch Integrals in the Method of
Moments”, Microw Opt. Technol. Lett., 47(1), s: 22-26, Kasım 2005.
[8] D. H. Schaubert, D. R. Wilton, ve A. W. Glisson, ”A Tetrahedral Modeling Method for Electromagnetic
Scattering by Arbitrarily Shaped Inhomogeneous Dielectric Objects”, IEEE Trans. Antennas Prop., AP-32(1), s:
77-85, Ocak 1984.
[9] D. E. Livesay ve K. Chen, ”Electromagnetic Fields Induced Inside Arbitrarily Shaped Biological Bodies”,
IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT-22(12), s: 1273-1280, Aralık 1974

Download Report