Çok de§i³kenli rasyonel fonksiyonlarn
süreklili§i
Ali Sinan Sertöz
Çok de§i³kenli rasyonel bir fonksiyonun tekillik noktas etrafndaki davran³
çok çe³itlilik gösterir. ncelenmesi en kolay olan durumda paydann sadece
orijinde sfr vardr. De§i³ken says iki oldu§u durumda bu rasyonel fonksiyon
z -eksenini ya bir tek noktada
z -eksenine sarlr ki bu ikinci durumda fonksiyonun orijinde limiti
uzayda bir yüzey tanmlar ve bu yüzey orijinde
keser, ya da
yoktur deriz. Ne zaman ne olaca§na karar vermek ço§u zaman srad³ teknikler
kullanmay gerektirir. Bu nedenle ders kitaplarnda bu konuyla ilgili fazla örnek
bulunmaz. Örnek olarak, a³a§daki limitlere bakalm.
x3 y 2 z 2
=?
(x,y,z)→(0,0,0) x4 + y 12 + z 14
x3 y 2 z
=?
(x,y,z)→(0,0,0) x4 + y 12 + z 14
lim
lim
Bu rasyonel fonksiyonlarn paydalar yalnzca orijinde sfrdr. Orijine yakla³rken limitin ne olaca§ kesinlikle de§i³kenlerin kuvvetlerinde kodlanm³ olmal.
Demek ki yaplacak i³ bu kodlar çözmektir. A³a§daki teorem bu sorunun
çözümünü vermektedir.
N > 1 olmak üzere, a1 , . . . , aN ≥ 0 negatif olmayan tamsaylar,
m1 , . . . , mN > 0 pozitif tam saylar, ve c1 , . . . , cN > 0 pozitif reel saylar olsun.
Teorem:
Bu durumda
lim
(x1 ,...,xN )→(0,...,0)
xa11 · · · xaNN
1
N
c1 x2m
+ · · · + cN x2m
1
N
limiti,
ancak ve ancak
Ve e§er bu limit varsa sfrdr.
1
N
X
ai
>1
2mi
i=1
ise vardr.
Not:
Teoremin kantna ba³lamadan önce birkaç noktay açkl§a kavu³tura-
lm..
• Hemen görülebilece§i üzere ci de§erlerini 1 kabul etmekte bir saknca yoktur;
βi > 0 ve βi2mi = ci olacak ³ekilde seçilmi³ βi saylarn kullanarak Xi =
βi xi koordinat dönü³ümünü tanmlayabiliriz. Bu yeni koordinatlarda incelemek
istedi§imiz limit
aN
(β1a1 · · · βN
)
lim
(X1 ,...,XN )→(0,...,0)
X1a1 · · · XNaN
X12m1 + · · · + XN2mN
aN
(β1a1 · · · βN
) 6= 0 oldu§undan, limitin var olup olmad§n anlamak
yine ayn a1 , . . . , aN , m1 , . . . , mN saylarn incelemeyi gerektirir. Yani problem
de§i³mez. Bu nedenle kant içinde tüm ci leri 1 kabul edece§iz.
³eklini alr.
•
Açkca görülece§i gibi
ai
saylarnn tek görevi payn sfra gitme hzn be-
lirlemektir. Bu durumda e§er tüm
xi
leri pozitif seçme ³artn koyarsak
ai
leri
pozitif tamsay yerine pozitif reel saylar olarak almak mümkündür. E§er
tamsay de§ilse ve
xi < 0
ai
de§eri
ise xi
exp(ai ln xi )
ai
³eklinde hesaplanr. Bu-
nun için de negatif saylarn logaritmasnn tanml oldu§u kompleks saylar
teorisine geçmek gerekir ki burada bunu yapmayaca§z. Bu yüzden biz
ai > 0
ve tamsay olarak alaca§z.
•N =1
durumu hem çok kolay hem de biraz farkldr. Bu durumda limitin
a1
≥ 1 ³artdr.
2m1
varsa limit 0 olur.
var olmas için gerek ve yeter ³art, açkça görülece§i üzere,
Bu durumda e§er e³itlik varsa limit
•
1,
mutlak e³itsizlik
Kant sürecinde notasyonda kolaylk olmas bakmndan a³a§daki tanmlar
kullanaca§z:
~x = (x1 , . . . , xN )
QN
f (~x) =
p=
ai
i=1 xi
PN 2mi
i=1 xi
N
Y
mi ,
i=1
pi = p/mi , i = 1, . . . , N.
2
Kantn ana kri: Bu teorem için iki kant verece§iz. Birinci kantta, limitini
anlamak istedi§imiz
f (~x)
fonksiyonunu
x1 -eksenine
paralel bir do§ru üzerine
kstlayp, bu do§ru üzerinde alaca§ uç de§erleri bulaca§z. Bu do§ruyu
x1 -
eksenine do§ru indirdi§imizde bu uç de§erlerin hangi ³artlarda sfra gitti§ini
görece§iz. Bu durumda limit de sfr olacak.
Bir di§er kant da Murad Özaydn'n önerisi üzerine Lagrange çarpanlar tekni§ini kullanacak.
xa11 · · · xaNN
1
N
+ · · · + x2m
x2m
= R > 0 hiper1
N
de§erlerini bulaca§z. R sfra giderken bu uç
fonksiyonunu
yüzeyi üzerine kstlayp yine uç
de§erlerin hangi ³artlarda sfra gitti§ini ara³traca§z.
Teoremin Kant:
lk olarak limitin var oldu§unu kabul edelim. Bu durumda orijine gider
her yol boyunca limitin var olaca§ ve ayn de§eri verece§i a³ikardr. Her bir
λi > 0
olacak ³ekilde bir
λ = (λ1 , . . . , λN )
sabit vektörü seçelim.
f
fonksiyo-
nunu
x~λ (t) = (λ1 tp1 , . . . , λN tpN ),
yoluna kstlad§mzda
QN
f (x~λ (t)) =
ai
i=1 λi
PN
2mi
i=1 λi
!
t(a1 p1 +···+aN pN )−2p
t → 0 durumunda bir limitinin olmas ve bu limitin λ
dan ba§msz olmas için t nin kuvvetinin sfrdan büyük olmas gerekir. Bu da
buluruz. Bu ifadenin
bize
a1 p1 + · · · aN pn − 2p > 0
e³itsizli§ini, ya da
p
ve
pi
de§erlerini yerine yazarsak
a1
aN
+ ··· +
> 1,
2m1
2mN
(*)
e³itsizli§ini verir ki bu da aradmz gerek ³arttr.
imdi de (*) e³itsizli§ini kabul edelim. Kantn bu bölümünde
0
lim |f (~x)| =
~
x→0
oldu§unu gösterece§iz.
Bunun için
N
N = 1 durumu için kantlanaa1 −2m1
durumda f (x1 ) = x1
oldu§undan
üzerinden tüme varm yapaca§z.
cak fazla bir ³ey olmad§ açktr. Bu
(*) e³itsizli§i bize aranan limitin var oldu§unu ve sfr oldu§unu hemen verir.
3
imdi
N >1
kabul edelim. Stratejimiz
|f (~x)|
fonksiyonunu
x1
koordinat ek-
senine paralel bir do§ruya kstlayp incelemektir. Fonksiyonun bu do§ru boyunca maximum de§erini hesaplayaca§z ve bu do§ru orijine do§ru indikçe bu
maksimum de§erin sfra gitti§ini görece§iz.
j
lk önce baz a³ikar indirgemeler yapaca§z. E§er herhangi bir
için
aj
≥1
2mj
ise
2mj
|f (~x)| =
|xa11
a −2mj
· · · xj j
· · · xaNn |
xj
a −2mj
PN
2mi
i=1 xi
olacaktr. Öte yandan (*) e³itsizli§ine göre ya
j
≤ |xa11 · · · xj j
aj − 2mj > 0
i için ai > 0 olacaktr. Her
lim |f (~x)| = 0 elde edece§iz.
den farkl ba³ka bir
Teoreminden dolay
Demek ki artk
· · · xaNn |
olacaktr ya da
iki durumda da Sk³trma
~
x→0
0 ≤ ai < 2mi , i = 1, . . . , N
durumunu incelememiz yeterli
ai nin pozitif olmas
0 < a1 < 2m1 kabul
olacaktr. Bu durumda da yine (*) e³itsizli§inden en az bir
gerekti§ini görürüz. Biz notasyonda kolaylk açsndan
edelim.
imdi artk tümevarm hipotezimizi söyleyebiliriz:
dN
d2
+ ··· +
> 1, ise
2m2
2mN
Burada
d2 , . . . , d N
QN
di
i=2 |xi |
PN 2mi
(x2 ,...,xN )→(0,...,0)
i=2 xi
lim
negatif olmayan tamsaylar, ve
=0
m2 , . . . , mN
olur;
pozitif tamsa-
ylardr.
Kantn bundan sonras için herhangi bir
(|x2 |, . . . , |xN |)
Bir sabit
imdi
~x
f (~x)
~x = (x1 , . . . , xN ) vektörü için π(~x) =
gösterimini kullanalm.
seçelim ve
π(~x) 6= (0, . . . , 0)
durumunu ele alalm.
fonksiyonunu
t 7→ (t, |x2 |, . . . , |xN |), t ∈ [0, ∞)
yoluna kstlayalm.
f
nin bu kstlanm³ halini
φπ(~x) (t) = f (t, |x2 |, . . . , |xN |) =
N
Y
φπ(~x)
!
|xi |ai
t2m1 +
i=2
4
ile gösterelim;
ta1
P
N
i=2
xi2mi
, t ∈ [0, ∞).
φπ(~x) (t) ≥ 0
Tanm kümesi üzerinde
lim φπ(~x) (t) = 0
t→∞
de§erine
oldu§u a³ikardr. Ayrca
φπ(~x) (t)
oldu§unu göz önüne alrsak
tπ(~x) ∈ [0, ∞)
φπ(~x) (0) = 0
ve
foksiyonunun maksimum
gibi bir noktada eri³ece§ini anlarz. Bu durumda
0 ≤ |f (~x)| = φπ(~x) (|x1 |) ≤ φπ(~x) (tπ(~x) ), ∀|x1 | ∈ [0, ∞)
lim φπ(~x) (tπ(~x) ) = 0
oldu§unu görürüz. Artk
oldu§unu göstermektan ba³ka
π(~
x)→0
bir i³imiz kalmad.
imdi do§rudan bir türev hesabyla
φπ(~x) (t)
fonksiyonunun maksimum de§eri-
nin
tπ(~x) =
a1
2m1 − a1
2m1
1
N
X
! 2m1
1
i
x2m
i
i=2
noktasnda elde edildi§ini ve o noktada
φπ(~x) (t)
fonksiyonunun de§erinin
a
(1− 2m1 )
φπ(~x) (tπ(~x) ) = K g(π(~x))
oldu§unu buluruz; burada
i = 2, . . . , N
K
bir sabittir ve
1
g(π(~x))
fonksiyonu
di =
ai
a1 ,
1 − 2m
1
olacak ³ekilde
QN
g(π(~x)) = Pi=2
N
i=2
|xi |di
i
x2m
i
olurak ifade edilir. (Bunu tümevarm hipotezimizle kyaslayn.)
imdi (*) e³itsizli§inden
d2
dN
+ ··· +
=
2m2
2mN
1
a1
1 − 2m
1
!
a2
aN
+ ··· +
2m2
2mN
>1
buluruz ve bu da tümevarm hipotezimiz aracl§yla
lim φπ(~x) (tπ(~x) ) = 0
π(~
x)→0
sonucunu do§urur. Bu da kantmz tamamlar.
5
Bu teoremi kullanarak bu çe³it rasyonel fonksiyonlarn diferansiyellenebilir
olup olmadklarn da söyleyebiliriz.
Eksonuç:
N > 1 alalm. a1 , . . . , aN , m1 , . . . , mN
pozitif tamsaylar, ve
c1 , . . . , c N
pozitif reel saylar olsun. E§er
N
X
1
ai
> 1 + max {
}
1≤j≤N 2mj
2mi
i=1
ise,
QN
xai
f (~x) = PN i=1 i2mi
i=1 ci xi
fonksiyonu orijinde
Kant:
f
C1
dir.
fonksiyonunun
j
inci ksmi türevini hesaplayarak
Q
ai
∂f |xj |aj −1 N
i=1,i6=j |xi |
≤
(aj + 2mj )
PN
∂xj 2mi
i=1 ci xi
oldu§unu görürüz. imdi teoremi uygulayarak ksmi türevlerin orijindeki sü-
reklili§ini gösterebiliriz.
Not: Teoremin kant srasnda
(λ1 tp1 , . . . , λN tpN )
yolunun çok özel oldu§unu
gözlemledik. Fonksiyonun limitinin olup olmamas fonksiyonun bu yola kstlanm³ halinin limiti olup olmamasna ba§lyd. Acaba her limit problemi için
buna benzer bir kral yolu var mdr?
Lagrange çarpanlar yöntemiyle ba³ka bir kant: Bu teoremin ayn zamanda Lagrange Çarpanlar yöntemiyle de kantlanabilece§i krini Murad Özaydn'dan aldm. Bu kri kullanarak a³a§daki kant sunuyorum..
0 ≤ ai < 2mi , i =
1, . . . , N ve a1 > 0 oldu§unu kabul edebiliriz. Ayrca biliyoruz ki e§er ~x vektörü
x1 = 0 ³artn sa§layan bir yol boyunca orijine inerse, o yol boyunca f (~x) in
limiti sfr olur. Bu nedenle e§er
lim f (~x) var ise bu limit sfr olmal.
Yukardaki kantta oldu§u gibi genelli§i kaybetmeden
~
x→(0,...,0)
imdi iki fonksiyon tanmlayalm.
F (~x) = xa11 · · · xaNN ,
ve
1
N
G(~x) = x2m
+ · · · + x2m
.
1
N
6
R > 0 pozitif bir reel
G(~x) = R hiperyüzeyi
say olsun ve ³u soruyu soralm:
F (~x)
fonksiyonunu
üzerine snrlad§mzda elde edece§i en küçük ve en
PNR >ai0
büyük de§erler nelerdir? Her
sfra giderkenki limitinin,
i=1 2mi
için hesaplayaca§mz bu uç de§erlerin
>1
R
³art altnda, sfr oldu§unu göstere-
ce§iz ve bu da teoremin bir ba³ka kant olacak.
Bu probleme Lagrange Çarpanlar yöntemini uygulayarak a³a§daki e³itlikleri
elde ederiz.
ai xa11 · · · xai i −1 · · · xaNN = 2λmi xi2mi −1 , i = 1, . . . , N.
xi 6= 0 almak zorunda kalrz ki
ai > 0 ve xi = 0 ise F (~x) = 0 olur. Bu
da limitin sfr olaca§ beklentisiyle uyu³ur. Netice olarak ai lerin büyüklü§üne
bakmadan yukardaki e³itliklerin her iki taraarn xi ile çarpalm.
Burada e§er baz
i
ler için
ai < 1
ise, biz de
bu bizi genellikten uzakla³trmaz çünkü
i
, i = 1, . . . , N
ai F (~x) = 2λmi x2m
i
elde ederiz. Az önce gözlemledi§imiz gibi baz
xi
lerin sfr olmas
F (~x) = 0
verece§i için ve bu de§erin de arad§mz en küçük ve en büyük de§erlerden
i için xi 6= 0 kabul edebiliriz. O zaman
2mi
ile bölüp λ dan kurtularak
bu yeni e³itliklerin her birini 2mi xi
biri olmad§n gördü§ümüze göre her
a1 F (~x)
ai F (~x)
i = 2, . . . , N
2mi =
2mi xi
2m1 x12m1
F (~x) in sfrdan farkl
F (~x) leri götürerek
yazabiliriz.
taraftan
i
x2m
=
i
oldu§u durumlar inceledi§imiz için her iki
ai m1 2m1
x , i = 2, . . . , N
a1 mi 1
elde ederiz. Bu denklemleri taraf tarafa toplayarak ve
(**)
G(~x) = R
oldu§unu
hatrlayarak
1
x2m
1
N
m 1 X ai
1+
a1 i=2 mi
!
=R
elde ederiz. Parantez içindeki ifadenin sfrdan farkl bir sabit oldu§unu gözlemleyerek
α=
N
m1 X ai
1+
a1 i=2 mi
7
!−1
diyelim. Bu durumda önce
1
= αR,
x2m
1
ve sonra da (**) e³itli§ini kullanarak
i
x2m
=
i
ai m1
αR, i = 2, . . . , N
a1 mi
elde ederiz.
Lagrange Çarpanlar yöntemine göre
F (~x)
G(~x) = R
fonksiyonunun
hiperyü-
zeyi üzerindeki kritik noktalarn artk ³öyle yazabiliriz:
x1 = ±α
1
2m1
R
1
2m1
and
xi = ±
ai m1
α
a1 mi
2m1
i
Ksa bir incelemeyle bu kritik noktalarn hepsinin
1
R 2mi , i = 2, . . . , N.
|F (~x)| fonksiyonunun en bü-
yük de§erlerini verdi§ini görebiliriz. Bu en büyük de§erlerin hepsinin birbirine
e³it oldu§unu ve
a1
|F (~x)| = |xa11 · · · xaNN | = AR 2m1
a
+···+ 2mN
N
,
³eklinde yazlabildi§ini de görebiliriz. Burada
A = A1 · · · AN ,
ve
A1 = |α
1
2m1
|, Ai = |
ai m1
α
a1 mi
2m1
i
|, i = 2, . . . , N
olarak alnm³tr.
f (~x) fonksiyonumuza dönersek, |f (~x)| fonksiyonunun G(~x) =
üzerinde alaca§ en büyük de§ere de MR dersek,
imdi tekrar kendi
R
hiperyüzeyi
MR =
a
a1
|F (~x)|
+···+ 2mN −1
N
= AR 2m1
G(~x)
oldu§unu görürüz.
Artk de§i³kenlerin kuvvetlerinin limit üzerindeki etkisini inceleyebiliriz. E§er
PN
ai
i=1 2mi
= 1 ise, MR de§eri, sfrdan fakl olan A sabitine e³it olacak ve R sfra
giderkenki limiti A olacak. Oysa ba³ka yollardan bu limitin sfr olabildi§ini
görmü³tük. ki farkl yoldan iki farkl limit buldu§umuza göre bu durumda
limit yoktur.
8
R sfra giderken limitin var olabil> 1 oldu§unu ve o durumda da limitin
Bu son durumu da inceledikten sonra artk
mesi için gerek ve yeter ³artn
PN
ai
i=1 2mi
sfr oldu§unu rahatca görürüz.
Bu da teoreme ilginç bir alternatif kant olarak aklda tutulabilir.
Biraz da mizah için
bu ba§lantya bakabilirsiniz.
^
¨
Ali Sinan Sertöz
Bilkent Üniversitesi, Matematik Bölümü, 06800 Ankara
sertoz@bilkent.edu.tr
9
© Copyright 2024 Paperzz
