İlgili yazı - Adana Kamu Hastaneleri Birliği Genel Sekreterliği

öSS Matematik-1/Fonksiyonl
ar
H.FONKSiYONLARDA BiLESKE iSLEMi
b)(g of)(x)= glf(x)) oldujundan
A B c bo9 olmayan birerkume olmak uzere,
(g O f)(X)= g(2x + 1) dir.
f:A -+ B, f(x)= z ve g :B -.
-AC, g(z)= y
Bujna göre, g
g o f:A -+C, (g of)(x)= glf(x)j=y kuralli(e
yazlllrsa,
tanlmllfonksiyona f iIe g nin bilejke fonksiyonu
denir.
Bu tanlmlapajldakiyekille inceleyelim.
gtx)= x2- 5 :
s
:
4 g(2x + 1)= (2x + 1)2 - 5
:::
4 (g o f)(x)= 4x2 + 4x - 4
Burada,(g o f)(:)fonksiyonunda A ktimesinin elemanlarl yazllarak (g o f)(x) ingörtintti kömesi
C = (g o f)(A) bulunur.
A = (- 1,0,1,2 ) ve (g o f)(x)= 4x2 + 4x- 4 oIduùundan,(gof)(- 1).
k-4,(gof)(O)=-4,
(g O f)(1)= 4, (g o f)(2)= 20 oIurBunagöre, (g o f)(x) iyema iIe gösterelim.
O halde,A dan B ye f fonksiyonu iIe B den C ye
g fonksiyonunu kullanarak A ktim esinin elemanlarlnlC ktim esinin elem anlarlna ekleyen fonksi
yona
f iIe g nin bilepkesidenirve g o f qeklinde gösteriIir.
A
-
1*
0*
!*
2*
9Of
c
o-4
*4
*20
Ornek.
.
a)f ve g fonksiyonlarlnlkema i!e gösterefim.
b) g o f fonksiyonunun kurallnlbulup kema ile
gösterelim .
çözt
jm:
a)A = (- 1,0,1,2 ) ve f(z)= 2x + 1 ise
f(- 1)=- 1,
f(1)= 3,
B = (- 1,1,3,5 ) ve g(x)= x2- 5 ise
g(- 1)= - 4, g(1)= - 4, g(3)= 4, g(5)= 20 dir.
Buna göre, f ve g fonksiyonlarlnln pema ile gös-
teriliqiajajldakigibidir.
A
f
B
-
-
1@
0*
1@
2*
1
@
1
*
3
*
5
@
(?
(:l
-4
*
4
@
20
*
gof
àa7
(gof)(x)= g:f(z)1oldulundan,
(gof)(- 1)=glf(- 1))=g(-1)=-4,(f(- 1)=- 1)
(gof)(0)=glf(0)(
1=g(1)=- 4, (f(O)= 1)
(gof)(1)=glf(1)q=g(3)=4, (f(1)=3)
(gof)(2)=g(f(2)(
1=g(5)=2O, (f(2)=5) dir.
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
-
çözûm:
oldujunèai, fo g = a b c d
(g of)(x)= gEf(x))= g(2x+3)=(2x+3)2+2
=
adcb
4x2 + 12x + 11,
olur.
(fog)(X)=flg(x)J=f(x2+2)=2.4x2+2)+3
=
2x2 + 7 dir.
Buradan,genellikle (g o f)(x)* (fo g)(x) olduju
Bileyke Fonksiyonun özellikleri
1)Bilepke ipleminin dejikme özellijiyoktur.
görulmektedir.
fo g * g o f (f* l ve g :
g 1)
ôrnek:
f(x)= x+ 2 ve
I : Birim fonksiyon
Ancak, fo g = g o f olduju durumlarda olabitir.
ise
3 f x < 7 ise
örnejin, f(x)= 2x- 1 ve g(x)= 2 - x i
se,
(fog)(X)=flg(x)(
1=f(2- x)=2.(2- x)- 1
keklinde R den R ye,tanlm llfve g fonksiyonlarlve-
zz;
c
/ (fog)(x)= 3 - 2x ve
rili
yor.Buna göre,(g of)(x) fonksi
yonunubulallm.
çöziim:
(gof)(x)=glf(x)Joldujundan (gof)(x)ibulmak
için g(x) fonksiyonunda x gördiljtimi
)zyere
f(x)= x + 2 yazallm.
(g o f)(X)= glf(x))= g(2x- 1)= 2- (2x- 1)
= (g of)(x)= 3- 2x
oldujundan,
(fo g)(x)= (g o f)(x) olduju durumlarln da varltjs
görl
ïlIi)r.
2)Bilepke ipleminin birlepme özellijivardlr.
3 S x + 2 < 7 ise
fo g o h= fo (g o h)= (fo g)o h
x < 1 ise
1f x < 5 ise
Burada,
5<x ise
(fogoh)(x)=f((goh)(x))= f(g(h(x))j
jeklinde ijlem yaplllr.
ornek:
A =(a,b,c,d) olmak uzere,A datanlmllfveg
Ornek:
f(x)= 2x, gtx)= 3x- 1, h(x)= 1- x2 fonksi
yon-
permutasyon fonksiyonlarl,
Iarlveriliyor.
Buna göre,
f=
(j
a
,o
bc
,d
a) g-(a
yo
bc
jld
a)
çeklinde veril
dijine göre,
a)(fo g o h)(x) fonksiyonununkurallnlbulallm.
b)(fo g o h)(- 1) ve (g o h o f)(- 1) delerlerlni
bilejke fonksiyo-
bulallm .
nunu buIalIm .
çöziim:
a)(fog o h)(x)= (fo g)o h(x)ve
(fog)(x)= 2(3:- 1)= 6x- 2 ol
du/undan,
çözûm:
(fog)(a)=flgla)J=f(d)= a, (g(a)=d)
(fog)(b)= flg(b)(
1=ftc)=d, (g(b)=c)
(fog)(c)=flgtc))=f(b)= c, (g(c)= b)
(fog)(d)= fEgtd))=fta)= b, (g(d)= a)
332
öSS Matematik-1/Fonksjyonlar
b)(fo g o h)(x)= 4 - 6>2
= (fo g o h)(- 1)= 4 - 6.(- 1)2 = - 2 dir.
4)f:A -.
4A ya f bire birve örten birfonksiyon olmak ùzere,
Burada, (fo g o h)(- 1) deleri,
fo f-1= f-1o f= 1 (f:A -+A)
(fogo h)(- 1)-f(g (h(- 1))
- f
lg(0)J,(h(- 1)= 0)
- f
(- 1), (g(o)-- 1)
= -
Burada,
f :A .
-.
A B ye bire birve örten birfonksiyon ve
A # B ise fo f- 1 :
x:f- 1 o f olur.
2 peklinde de bulunur.
dejerinibuIaIIm .
Ornek.
.
9e
(f()goh)(1)# (go fo h)(- 1) oldujundan,bu (
fcf-1)(x)=(2x-3)o(X2
+3)
örnekten de bilepke ijleminin dejiyme özellijinin
o
l
madllgört
il
mektedir.
=2.
(X2
+3)-a
-
3)Bilepke ipleminin etki
siz (birim)elemanl I(x)= x
birim fonksiyonudur.
(f-1of
)(x)=(X+
23)o(
2x-a)
fo I= Io f= f (f:A .
->A)
'
q
=
Bi
rA kum esinde tanlm ll f fonksiyonu için,
f:A -+A, f(x) fonksiyonu ile Ibirim fonksiyonunun bileëkesi
(f
o1)(x)= f(1(x))=f(x) ve (1of)(x)=I(f(x))= f(x)
2y - 3 + a
2
Oldultlndan,
f-1o f= fo f-1 olduju görtllör.
olduju görillmektedir.
Ornek:
m ve n gerçel(reel)sayllarolmaközere,
f(x)= x- 1 ve glx)= (m 1)x + n + 1
3
Uyarl:
(fo g)(x)=h(x) eçitlijinden f(x) in bulunabilmesi
i4
n h(x) te x yerine g-1(x) yazllmalldlr.
2i
.
-
peklinde R den R ye f ve g fonksiyonlarlveriliyor.
(fo g )(x)= f(y) oldujuna göre, m.n çarplmlnl
bulallm .
z;
:zflx)=h(g-1(x)) tir.
çözûm:
(fog)(x)=f(x)=> g(x)=l(x)=x olnnahdlr.
Buna göre, gtx)= (m - 1)x + n + 1 = x
= m - 1 = 1 ve n + 1 = 0
= m = 2 ve n = - 1 olur.
O halde) m.n = 2.(- 1)= - 2 dir.
Ornek:
(fog)(x)=3x-4 ve g(x)=2x+ 1 ise f(x) fonksiyonunu bulallm .
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
Ornek:
f(x)=4r- 3-ve (fog)'(y)= 12y+ 17 ise g(x) fonksiyonunu bulallm .
oldujundan, (fo g)(x)= f(2X+ 1)= 3x- 4 ekitlijinde x yerine g 1(x)= x- 1 yazlllrsa,
çözitm :
-
2
1. yol:
f(x)=4x- 3,
f 1(x)= X +3
otdujundan (fo g)(x)= 12x+ 17
-
4
dejerif-1(y) te x yerineyazillrsa,
f-1o (fo g)(x)= f-1o (12x+ 17)
'*
Ornejjy
.
(f 1 of)o gtx)= X +3 o (12x + 17)
-
4
oldujunagöre,ftx) fonksiyonunu bulallm.
Q(X)= 12x + 17 + 3
4
çözûm :
=
3:+ 5 tir.
x+ 1
+1
g(x)= 3x
ol
sun. O halde, g- !(x)= 2x
-2
3x - 1
2.yol:
dejerif(x)
f(x)= 4:- 3 = f(g(x))= 4.g(x)- 3
= 12x+ 17 = 4.g(x)- 3
yerineyazlllrsa,
f( x + 1 )= x + 1 c:
z/ (fo g)(x)= x + 1
3x - 2
uu
5)f,
u::>f(x)= 3 5x
x- 1
:)x 4-(5 tir.
h bire birve örten fonksiyonlarolmak
ùzere,
dir.
(fo g)-1= g-1of-1
(fog o h)-1= h-1o g-1o f-1
Uyarl:
(fo g)(x)= h(x) ekitli
jinden g(x)in bulunabilmesi
içi
n f-1(x)te x yerine h(x) yazll
malldlr.
ve
f
1- x
:F:l-+R, g(x)= x + 3 fonksiyonlarlverili
yor.
(f-1og)-1(1) ifadesinin dejerinibulallm.
zc
.
1 g(x)=f-1(h(x)) tir.
342
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
ornek:
9
f(x)
9(X)='
JV
2
g-1(2)= a .
t.
4,gla)= 2
4
= 1- a = 2
a +3
0 1
i
x
6
i
= 1- a = 2a + 6
5
= a=- 3 ol
dujundan,
Yukarldaki kekilde, f(x) fonksiyonu iIe g(x)= #-f'
fonksiyonunun grafikleriverilmiktir.
olarak bulunur.
Bunagöre, (fc g-1of)(O) dejerinibulallm.
çözûm:
örnek:
(fog-1of)(O) =(fog-1)42), (f(O)=2)
Uygun koyullarda,
ftx)= x + 5
ve g(x)= 2x + 3
3x - 2
3x - 2
g(x)= VV 4:4.g-1(/V )=x ol
dujundan,
x=4 için g-1(/z
f)=4 = g-1(2)=4 ttir.
fonksiyonlarlveriliyor.
Buna göre) (fo g o g)-1(x) fonksiyonunun kurallnl C O halde,
(fo g-1o f)(0)= (fo g-1)(2), (g-1(2)= 4)
bulallm .
= f
(4)= - 3 ttir.
çözûm:
(h(x)= ax+b ve d=-a)c> h(x)=h-,(x)
cx + d
B
2x + 3
urada,g(x)= 3x - 2 i
çin a= 2 ve d = - 2 = - a
ol
dujundan g(x)= g -1(x),dolaylslyla,(g o g)(x)= x
olur.
Buna göre,
olur.
341

Download Report