Osnovni podaci
Ime: Vedad Paši´c
Kabinet: PMF 313
Email: vedad.pasic@untz.ba (preferirani vid komunikacije)
Web: http://www.frontslobode.org/vedad/DifRacun/
FaceBook: Grupa “Matematika”
Kabinetski sati: Ponedjeljak 10-11 i srijeda 11-12
Organizacija
Predmet ima 2h predavanja i 2h vježbi.
Broj kreditnih bodova: 6 ECTS
Imat c´ emo kasnije i sedmiˇcne problemske zada´ce.
Prisutnoš´cu na nastavi, angažmanom na nastavi i radom na zada´ci može ostvariti 10%
ukupne ocjene.
Dva testa tokom kursa cˇ ine 60% ukupne ocjene, a finalni ispit 30%.
Literatura
• Robert A. Adams: Calculus: a complete course; Addison-Wesley-Longman, Toronto (2003)
• Howard Anton: Calculus: A new horizon; John Wiley & sons, inc. New York
(1999)
• Finney, Weir, Giordano: Thomas’ Calculus, 10th ed Addison-Wesley (2001)
Manifest
Naša misija: Prouˇcavati funkcije jedne promjenljive, njihovu neprekidnost i diferencijabilnost.
U našem izuˇcavanju funkcija, bit c´ emo zainteresovani samo za ekplicitni raˇcun, bez
previše ulaska u detalje teorije, što ostavljamo za kasnije predmete (Analiza 1 i 2).
Dakle, u predmetu c´ emo se pretežno baviti raˇcunom (kao što i samo ime kaže), dok
c´ emo dokaze najˇceš´ce izostavljati!
Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematiˇckoj analizi i centralni objekat
svih njenih razmatranja.
Definicija
1
Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x ∈ D po nekom zakonu (pravilu) pridružen
jedan i samo jedan y ∈ R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija
f realne promjenljive x . Pravilo po kojem se vrši pridruživanje oznaˇcavamo sa f ,
odnosno
y = f (x), x ∈ D.
Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (ˇcesto se obilježava i sa Df )
je definiciono podruˇcje ili domen funkcije f .
Broj y0 , pridružen vrijednosti x0 argumenta x, zove se vrijednost funkcije u taˇcki x =
x0 i oznaˇcava se f (x0 ). Skup svih vrijednosti funkcije f oznaˇcava se Rf i zove se
kodomen funkcije f .
Ako nije unaprijed dato definiciono podruˇcje funkcije f , onda se podrazumijeva da je
to maksimalan (po inkluziji) skup za cˇ ije elemente x funkcija f (x) ima smisla.
1 Trigonometrijske funkcije
1.1 Definicija i identiteti
Sinus i kosinus
U ovom poˇcetnom dijelu bavit c´ emo se pregledom trigonometrijskih funkcija, njihovih
inversa, te hiperboliˇcnim trigonometrijskim funcijama i njihovim inversima.
Ve´cina se prvi puta susretne sa veliˇcinama kosinusa (cos) i sinusa (sin) kao odnosom
veliˇcina kateta i hipotenuze u pravouglom trouglu, tj.
cos α =
nalegla
suprotna
, sin α =
hipotenuza
hipotenuza
Ovi odnosi samo zavise od ugla α, ne od konkretnog trougla, jer su svi pravougli
trougli sa oštrim uglom α medusobno sliˇcni. Medutim u matematici trebamo op´cije
definicije cos t i sin t kao funkcija koje su definisane za sve realne brojeve t ∈ R, ne
samo za oštre uglove! Stoga su te definicije date u smislu kružnice, a ne trougla.
Neka je C kružnica sa centrom u koordinatnom poˇcetku O polupreˇcnika 1. Jednaˇcina
te kružnice je
x2 + y 2 = 1.
Neka je A taˇcka (1, 0) na C. Za bilo koji realan broj t, neka je Pt taˇcka na C udaljenosti
|t| od taˇcke A, mjereno u smjeru suprotnom od kazaljke na satu ako je t > 0, a u smjeru
kazaljke na satu ako je t < 0.
Koristit c´ emo dužinu luka t kao mjeru veliˇcine ugla ∠AOP .
Definicija 1.1. Radijanska mjera ugla ∠AOP je t radijana:
∠AOP = t radijana
2
Slika 1: cos α =
b
a
sin α =
c
c
Iako smo više navikli na mjerenje uglova u stepenima, korelacija je jasna : Kako je
taˇcka obim kružnice C 2P i, taˇcka Pπ/2 je jednu cˇ etvrtinu puta oko kružnice od taˇcke
A i to je taˇcka (0, 1). Stoga je
π
radijana = 90◦ , π radijana = 180◦,
2
3π
radijana = 270◦ , 2πradijana = 360◦ , . . .
2
Veoma je jednostavno pre´ci iz radijana u stepene, te iz stepena u radijane:
radijan =
π
180◦
stepen, stepen =
radijan
◦
180
π
Koriste´ci se postupkom opisanim iznad, možemo da nademo taˇcku Pt koja odgovara
bilo kojem realnom broju t ∈ R, pozitivnom ili negativnom.
Sinus i kosinus definišemo kao koordinate taˇcke Pt .
Definicija sinusa i kosinusa
Za bilo koji realan broj t ∈ R, kosinus od t ili skra´ceno cos t i sinus od t ili skra´ceno
sin t definišemo kao x i y koordinate taˇcke Pt .
cos t = x koordinata taˇcke Pt .
sin t = y koordinata taˇcke Pt .
Neki korisni identiteti
Veliki broj korisnih osobina sinusa i kosinusa prate iz cˇ injenice da su koordinate taˇcke
Pt koja se nalazi na jediniˇcnoj kružnici, jednaˇcine x2 + y 2 = 1.
3
Slika 2: Jediniˇcna kružnica sa taˇckom Pt , cˇ ije su koordinate (cos t, sin t)
Kodomen ili skup vrijednosti sinusa i kosinusa prati iz ove cˇ injenice, naime po definiciji, za bilo koje t ∈ R, imamo
−1 ≤ cos t ≤ 1,
−1 ≤ sin t ≤ 1.
Pitagorina jednakost. Kao koordinate taˇcke na kružnici, x = cos t, y = sin t, one
moraju zadovoljavati jednaˇcinu kružnice, tj.
(cos t)2 + (sin t)2 = 1.
Periodiˇcnost
Budu´ci da kružnica ima obim 2π, dodavanje vrijednosti 2π argumentu t dovodi do toga
da jednom u potpunosti obidemo kružnicu i vratimo se na isto mjesto!
Stoga je Pt+2π = Pt , tako da za svako t ∈ R, imamo
cos(t + 2π) = cos t,
sin(t + 2π) = sin t.
Ovo kaže da su funkcije sinus i kosinus periodiˇcne sa periodom 2π.
Parnost i neparnost
4
Budu´ci da je kružnica simetriˇcna u odnosu na x-osu, taˇcke Pt i P−t imaju iste x koordinate i suprotne y koordinate, tj.
cos(−t) = cos t,
sin(−t) = − sin t.
Identiteti uglova
Dva ugla su komplementarni ukoliko im je zbir π/2 ili 90◦ . Taˇcke P(π/2−t) i Pt su
refleksije jedne druge u odnosu na liniju y = x, tako da je x-koordinata jedne ykoordinata druge i obratno! Stoga
π
π
cos
− t = sin t, sin
− t = cos t.
2
2
Dva ugla su suplementarni ukoliko im je zbir π ili 180◦. Budu´ci da je kružnica takoder
Slika 3: Komplementarni uglovi
simetriˇcna u odnosu na y-osu, taˇcke Pπ−t i Pt c´ e imati iste y-koordinate i suprotne xkoordinate, tj.
cos(π − t) = − cos t, sin(π − t) = sin t.
Primjer. Na´ci kosinuse i sinuse uglova π4 ,
π
3
i π6 .
3π
4
i
4π
3 .
Primjer. Na´ci kosinuse i sinuse uglova
5
Slika 4: suplementarni uglovi
Sinus i kosinus kao funkcije
Sada kada smo definirali kosinus i sinus za bilo koje realno t ∈ R, u smislu radijana,
onda oba koncepta možemo da tretiramo kao funkcije jedane realne promjenljive!
Kada tretiramo sinus i kosinus kao funkcije, promjenljivu od koje zavise obiˇcno oznacˇ avamo sa x. Obje se izražavaju na sliˇcan naˇcin i obje imaju isti domen i kodomen,
kao što smo maloprije napomenuli.
sin : R− > [−1, 1],
cos : R− > [−1, 1].
Kada nacrtamo grafike obje funkcije, primjetite da je graf funkcije sinus identiˇcan grafu
funkcije kosinus, samo pomjeren udesno udaljenost π/2.
Slijede´ce formule nam omogu´cuju da izraˇcunamo kosinus i sinus zbira ili razlike dva
ugla (tj. dva realna broja).
Adicione formule
cos(s ± t) = cos s cos t ∓ sin t sin s,
sin(s ± t) = sin s cos t ± cos s sin t.
Dokaz. Srednjoškolski materijal - vidjeti literaturu!
6
1
3Π
-2 Π
-
-Π
Π
Π
2
2
3Π
Π
-
2
2
2Π
-1
1
3Π
-2 Π
-
-Π
Π
Π
2
2
3Π
Π
-
2
2
2Π
-1
1
3Π
-2 Π
-
-Π
Π
Π
2
2
3Π
Π
-
2
2
2Π
-1
Slika 5: Grafici funkcija cos x i sin x
π
.
Primjer. Na´ci vrijednost cos 12
Iz adicionih formula dobijamo posebni sluˇcaj kada je s = t, tj. dobijamo formule za
kosinus i sinus dvostrukog ugla:
Dvostruki ugao
sin(2t) = 2 sin t cos t.
cos(2t) = cos2 t − sin2 t = 2 cos2 t − 1 = 1 − 2 sin2 t,
Riješivši ove zadnje dvije jednakosti za cos2 t i sin2 t, dobivamo
cos2 t =
1 + cos 2t
2
i
sin2 t =
1 − cos 2t
.
2
Druge trigonometrijske funkcije
Postoje još cˇ etiri druge trigonometrijske funkcije (mada dvije od njih rijetko koristimo!), a to su tangens, kotangens, sekans i kosekans.
Definicija 1.2. Tangens, kotangens, sekans i kosekans se definišu pomo´cu sinusa i
kosinusa na slijede´ci naˇcin
tg t =
sin t
,
cos t
sec t =
1
,
cos t
ctg t =
cos t
,
sin t
csc t =
1
.
sin t
7
Grafik tangensa tgHxL
Grafik sekansa secHxL
5
5
3
3
1
3Π
-
Π
-Π
-
2
2
1
3Π
Π
-1
3Π
Π
2
2
-Π
3Π
2
2
-3
-5
-5
5
3
3
1
1
3Π
Π
3Π
Π
2
Π
2
2
Grafik kosekansa cscHxL
5
-1
3Π
Π
-1
-3
Π
-Π
2
-
2
Grafik kotangensa ctgHxL
-
Π
2
Π
-Π
2
2
3Π
Π
-1
-3
-3
-5
-5
Π
2
2
Slika 6: Ostale trigonometrijske funckije
Oˇcito ove funkcije nisu definisane za sve t ∈ R! Nikada ne smijemo dijeliti s nulom,
dakle, tangens i sekans nisu definisani kada je cos t = 0, tj. kada je t = π2 + kπ, k ∈ Z,
dok kotangens i kosekans nisu definisati kada je sin t = 0, tj. kada t = kπ, k ∈ Z.
Medjutim, kodomen tangensa i kotagensa funkcija je sada cijeli skup realnih brojeva
R! Koji je kodomen funkcija sekans i kosekans? (Vježba!).
Funkcije sinus, kosinus i tangens nazivaju se primarnim trigonometrijskim funkcijama,
dok se ostale nazivaju sekundarnim trigonometrijskim funkcijama. Da biste se sjetili
gdje su primarne funkcije pozitivne ili negativne, koristi se tzv. CAST pravilo.
1
Primjer. Na´ci sinus i tangens ugla θ ∈ π, 3π
2 za koji je cos θ = − 3 .
Kao i sinus i kosinus, sekans i kosekans su 2π periodiˇcne funkcije, medutim tangens i
kotangens su π periodiˇcne funkcije.
Trigonometrija
Trigonometrijske funkcije se tako nazivaju jer se koriste kako bi se izrazio odnos
izmedu stranica i uglova unutar trougla.
Primjer. U pravouglom trouglu ABC, dužina hipotenuze je 5, dok je ugao kod tjemena A 30◦ . Odrediti katete.
U bilo kojem trouglu ABC, vrijede
8
Sinusna teorema
sin A
sin B
sin C
=
=
a
b
c
Kosinusna teorema
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A,
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
Primjer. Trougao ABC ima stranice a = 2, b = 3 i ugao C = 40◦ . Na´ci stranicu c i
sinus ugla B.
Primjer. U trouglu ABC, ugao B = 30◦ , b = 2 i c = 3. Na´ci a.
1.2 Inverzne trigonometrijske funkcije
Mi se u ovom kursu ne´cemo baviti konceptom inverznih funkcija u uop´cenom smislu,
no ve´c otprije znamo slijede´ce:
Definicija 1.3. Funkcija f : D 7→ K naziva se injektivnom ili jedan-na-jedan ukoliko
je zadovoljen uslov
∀x, y ∈ D, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).
Definicija 1.4. Ukoliko je funkcija f : D 7→ K injektivna, onda ona ima inverznu
funkciju f −1 : K 7→ D, takvu da je
y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y).
Primjer takve funkcije je inverzna funkcija funkcije f : R+ 7→ R+ , definisane
sa
√
f (x) = x2 . Njena inverzna funkcija je naravno kvadratni korjen f −1 (x) = x, koja
takoder ide iz R+ u R+ Primjetite restrikciju na domenu, tj. kodomenu.
Inverzna funkcija je, bez velikog iznenadenja, takoder injektivna i sama ima invers.
Koji? Pa naravno samu funkciju f , tj
y = (f −1 )−1 (x) ⇐⇒ x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f (x).
Takoder, jasno je da
f (f −1 )(x) = x,
f −1 (f (y)) = y.
Grafovi inverznih funkcija su refleksije u odnosu na pravu y = x!
Primjer. Pokazati da je funkcija f (x) = 2x − 1 jedan-na-jedan i na´ci njenu inverznu
funkciju f −1 (x).
9
3
2
1
0.5
-0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-1
Slika 7: Refleksija inverzne funkcije
Osobine inverznih funkcija
• y = f −1 (x) ⇒ x = f (y);
• Domen f −1 je kodomen od f i obratno;
• f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ Df ;
• f (f −1 (x)) = x, ∀x ∈ Df −1 ;
• (f −1 )−1 (x) = f (x), ∀x ∈ Df ;
• Grafik funkcije f −1 je refleksija grafa f u odnosu na y = x.
Invertovanje funkcija koje nisu jedan-na-jedan (što je posebno znaˇcajno kod trigonometrijskih funkcija) se radi na naˇcin da se ograniˇci domen funkcije na onaj dio domena
na kojem funkcija moža jeste jedan-na jedan!
Kao primjer, posmatrajmo funkciju f (x) = x2 . Domen ove funkcije su svi realni
brojevi, i ona oˇcito nije jedan-na-jedan, jer je f (−a) = f (a), ∀a ∈ R.
Medutim, ukoliko definišemo funkciju
F (x) = x2 ,
0 ≤ x < ∞,
ona ve´c jeste jedan-na-jedan i može se invertovati, i njen invers je oˇcito F −1 (x) =
10
√
x.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Slika 8: Inverzna funkcija f (x) = x2
Inverzna sinusna funkcija - arkus sinus
Definišimo novu funkciju Sin x (primjetite veliko slovo) da bude identiˇcno jednaka
funkciji sin x, ali restrikovana tako da joj domen bude interval [− π2 , π2 ], tj.
Sin x = sin x,
ako −
π
π
≤x≤ .
2
2
Ova funkcija je sada jedan-na-jedan, jer je strogo rastu´ca na svojoj domeni [π/2, π/2],
1
3Π
-
-Π
2
Π
Π
2
2
3Π
Π
-
2
-1
Slika 9: Ograniˇcena funkcija Sin x
tj. uzima sve vrijednosti izmedu [−1, 1] i to tako da
h π πi
∀x, y ∈ − ,
, x 6= y ⇒ Sin x 6= Sin y.
2 2
Pošto je Sin jedan-na-jedan, to znaˇci da postoji njena inverzna funkcija, koju oznaˇca11
vamo sa
sin−1 x ili arcsin x,
koja se naziva inverzna sinusna ili arkus sinus funkcija.
Arkus sinus ili arcsin funkcija
y = arcsin x
⇐⇒
x = Sin y
⇐⇒
x = sin y i −
π
π
≤y≤ .
2
2
Graf ove funckije je refleksija funkcije sinus oko linije y = x, a domen ove funkcije je
[−1, 1], dok je kodomen [− π2 , π2 ].
arcsin(Sin x) = x
za
Sin(arcsin x) = x
za
π
π
≤x≤
2
2
−1 ≤ x ≤ 1.
−
Π
2
1
-1
Π
2
Slika 10: Funkcija arcsin x
1. arcsin(1/2) =
√ 2. arcsin − 22 = − π4 .
Primjer.
π
6.
12
3. arcsin(−1) = − π2
4. arcsin 2 nije definisano, jer 2 nije u kodomenu funkcije sin.
5. sin(arcsin 0.7) = 0.7.
π
6. arcsin(sin 4π
5 ) = arcsin(sin 5 ) =
π
5.
7. Pojednostaviti izraz tg(arcsin x).
8. Kako izgleda funkcija arcsin(sin x) za sve realne x?
Π
2
3Π
-2 Π
-
-Π
Π
Π
2
2
3Π
Π
-
2
2
2Π
Π
2
Slika 11: Funkcija arcsin(sin x)
Inverzni tangens ili arc tg
Inverzna funkcija tangensa se definiše na sliˇcan naˇcin kao i inverzni sinus, tj. ograniˇcavanjem domena funkcija tg x na (− π2 , π2 ), tj. inverzijom nove jedan-na-jedan funkcije
Tg x = tg x,
ako −
π
π
<x< .
2
2
Π
2
Π
2
Slika 12: Funkcija arc tg x
13
Inverznu tangens funkciju tg−1 ili arc tg x definišemo kao
y = arc tg x
⇐⇒
⇐⇒
x = Tg y
x = tg y i −
π
π
<y< .
2
2
Kao što smo vidjeli, graf funkcije je refleksija grafa funkcije tangens oko ose y = x, te
je domen funkcije (−∞, ∞), dok je kodomen [− π2 , π2 ].
Primjer.
1. tg(arc tg 3) = 3
2. arc tg(tg
3π
4 )
= arc tg(−1) = − π4 .
3. Na´ci cos(arc tg 2).
Ostale inverzne trigonometrijske funkcije
Funkcija cos x je jedan-na-jedan na intervalu [0, π], tako da bismo inverznu kosinus
funkciju ili cos−1 x ili arccos x mogli da definišemo kao
y = arccos x ⇐⇒ x = cos y i 0 ≤ yπ.
Medutim, znamo da je cos y = sin( π2 − y), a π2 − y je u intervalu [− π2 , π2 ] kada je
y ∈ [0, π], pa stoga nas gornja definicija vodi do
π
π
π
y = arccos x ⇐⇒ x = sin
− y ⇐⇒ arcsin x = − y = − arccos x.
2
2
2
Stoga je jednostavnije definisati inverznu kosinus funkciju kao
π
− arcsin x,
2
Identiteti vezani za arkus kosinus su
arccos x =
arccos(cos x) = x,
cos(arccos x) = x,
za − 1 ≤ x ≤ 1.
za 0 ≤ xπ,
za − 1 ≤ x ≤ 1.
Inversi kosekansa, sekansa i kotangensa se se mogu izraˇcunati pomo´cu kalkulatora. No
veoma ih je jednostavno izraˇcunati koriste´ci se reciprocitetom - npr. za sekans:
1
arcsec x = arccos
, za |x| ≥ 1.
x
Sliˇcno djelujemo za inverse kosekansa i kotangensa:
1
1
arccsc x = arcsin
, |x| ≥ 1 arcctg x = arc tg
, x 6= 0.
x
x
14
Π
Π
2
1
-1
Slika 13: Funkcija arccos x
Π
2
1
-1
Slika 14: Funkcija arcsec x
2 Hiperboliˇcne funkcije
Prije nego uvedemo pojam hipeboliˇcnih funkcija, podsjetimo se kako se definiše eksponencijalna funkcija:
Trebamo dakle da definiramo šta podrazumijevamo pod izrazom ax , ako je x bilo koji
15
realan broj.
U tome cilju, pretpostavimo da je data realna funkcija ϕ sa osobinama
• (∀x, y ∈ Q)(ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y));
• (∀b ∈ R) ( lim ϕ(x) = ϕ(b)).
Qx→b
Stav
Ako realna funkcija ϕ zadovoljava gornje uslove , tada je ϕ(x) ≡ 0 ili ima reprezentaciju na skupu realnih brojeva
ϕ(x) = ax , ϕ(1) = a > 0.
Prirodno je funkciju ϕ, koja zadovoljava prethodnu tvrdnju, a nije identiˇcki konstanta, nazvati eksponencijalnom funkcijom i, kao što smo definirali, ϕ(x) = ax , a ∈
R+ \ {1} je jedna od elementarnih matematiˇckih funkcija.
Naravno, posebni i dobro poznati sluˇcaj imamo kada je a = e, tj. bazi prirodnog
logaritma!
y
x
x
y=a,a>1
y=a,0<a<1
1
0
1
x
Sjetimo se da se svaka realna funkcija definisana za sve realne brojeve može predstaviti
(jedinstveno!) kao suma jedne parne i jedne neparne funkcije. Kako?
f (x) =
f (x) + f (−x) f (x) − f (−x)
+
= P (x) + N (x).
2
2
Hiperboliˇcne funkcije cosh i sinh su u osnovi (respektivno) parna i neparna funkcija
cˇ iji je zbir eksponencijalna funkcija ex !
16
Historija hiperboliˇcnih funkcija
Hiperboliˇcne funkcije su analogoni uobiˇcajenih tigonometrijskih (ili kružnih) funkcija.
Osnovne hiperboliˇcne funkcije su sinh i cosh, tj. hiperbolni sinus i kosinus.
Na isti naˇcin na koji su taˇcke (cos t, sin t) odredivale jediniˇcnu kružnicu centriranu u
(0, 0), tj. x2 + y 2 = 1, taˇcke (cosh t, sinh t) formiraju desnu polovicu ekvilateralne
hiperbole, tj. x2 − y 2 = 1, x > 0!
Slika 15: Definicija sinh i cosh
Hiperboliˇcne se funkcije pojavljuju kao rješenja nekih veoma važnih linearnih diferencijalnih jednaˇcina, važnim u mnogim granama fizike, kao što su teorija elektromagnetizma, prenosa toplote, fluidne dinamike te specijalne relativnosti.
Hiperboliˇcne funckije vra´caju realne vrijednosti za realan argument koji se naziva hipebolni ugao. U kompleksnoj analizi, one su samo racionalne funkcije eksponencijalnih
funkcija.
Ove funkcije su se pojavile 1760tih godina i uveli su ih nezavisno jedan od drugog
Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert. Riccati je koristio Sc. i Cc. kao oznake
([co]sinus circulare) kako bi oznaˇcio kružne funkcije, a Sh. and Ch. ([co]sinus hyperbolico) kako bi oznaˇcio hiperboliˇcne funkcije. Lambert je usvojio imena sinh i cosh
i oba se imena koriste, zavisno od autora i dan danas. No mnogo je uobiˇcajenije da
se sinh x i cosh x, ovaj puta kao funkcije realnog argumenta i realne vrijednosti, a ne
17
pomo´cu hiperboliˇcnog ugla, definišu kao parni i neparni dio eksponencijane funkcije,
kao što je sluˇcaj u kompleksnoj analizi.
Definicija 2.1 (Hipeboliˇcni kosinus i hiperboliˇcni sinus). Za bilo koji realan broj x,
hipeboliˇcni kosinus, cosh x i hiperboliˇcni sinus, sinh x, su definisani pomo´cu
cosh x =
ex + e−x
,
2
:
sinh x =
ex − e−x
2
coshHxL, sinhHxL>
1
1
-1
-1
Slika 16: Hiperboliˇcne funkcije sinh x i cosh x
Osobine hiperboliˇcnih funkcija
Budu´ci da se svaka taˇcka (cosh t, sinh t) nalazi na jediniˇcnoj hiperboli x2 − y 2 = 1,
imamo identitet:
cosh2 t − sinh2 t = 1, ∀t ∈ R.
Identitet je lako dokazati i formulama za hiperboliˇcne funkcije. Primjetite da je, sliˇcno
kao i kod trigonometrijskih funkcija,
cosh 0 = 1, sinh 0 = 0,
te je kao i kosinus, hiperboliˇcni kosinus je parna, a kao i sinus, hiperboliˇcni sinus je
neparna funkcija.
18
Adicione formule
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
cosh(2x)
sinh(2x)
= cosh2 x + sinh2 x = 1 + 2 sinh2 x = 2 cosh2 x − 1
= 2 sinh x cosh x
Analogno trigonometrijskim funkcijama, cˇ etiri druge hiperboliˇcne funkcije se mogu
definisati:
sinh x
ex − e−x
= x
cosh x
e + ex
cosh x
ex + ex
coth x =
= x
sinh x
e − e−x
1
2
= x
cosh x
e + e−x
1
2
, cschx =
= x
sinh x
e − e−x
tanh x =
, sechx =
1
-1
Slika 17: Hiperboliˇcna funkcija tanh x
Inverzne hiperboliˇcne funkcije
Funkcije sinh x i tanh x su rastu´ce i stoga jedan-na-jedan za svaki argument x ∈ R, pa
stoga imaju inverzne funkcije, koje oznaˇcavamo sa arcsinh x i arctanh x.
y = arcsinh x ⇐⇒ x = sinh y
y = arctanh x ⇐⇒ x = tanh y.
Budu´ci da su hipeboliˇcne funkcije izražene pomo´cu ekponencijalnih, ne iznenaduje da
se inverzne hiperboliˇcne mogu izraziti pomo´cu logaritama!
p
arcsinh x = ln x + x2 + 1
arctanh x =
1
ln
2
19
1+x
1−x
Budu´ci da cosh nije jedan-na-jedan, onda je na sliˇcan naˇcin kao cos x moramo ograniˇciti, stoga definišimo principalnu vrijednost
Cosh x = cosh x,
(x ≥ 0).
Inverzna funkcija, arccosh x je definisana pomo´cu:
y = arccosh x ⇐⇒ x = Cosh y ⇐⇒ x = cosh y, (y ≥ 0).
Kao i kod sinusa dobivamo formulu
p
arccosh x = ln x + x2 − 1
20
© Copyright 2024 Paperzz
