Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija) Jednostruko armirani pravougaoni preseci Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja: Slobodno dimenzionisanje preseka Vezano dimenzionisanje preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija betonskog preseka, kao i određivanje potrebne količine armature Projektant slobodno bira vrstu loma preseka, odn. usvaja vrednosti dilatacija u betonu i armaturi Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka (iz nekih drugih uslova su poznate dimenzije preseka) Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim karakteristikama Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznate su vrednosti momenata savijanja Mi za odgovarajuća eksploataciona opterećenja (i = g, p, ∆). Broj nepoznatih veličina b, d, Aa je veći od broja jednačina (dva uslova ravnoteže) Zbog toga se usvaja širina preseka b Za uobičajene dimenzije AB greda, širina poprečnog preseka se bira u granicama 25 - 50 cm, obično se usvaja b = 30cm Izbor širine zavisi od uslova pravilnog smeštanja armature Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi εb , εa biraju se slobodno, uz uslov da barem jedna od njih dostigne graničnu vrednost: (1) εb = 3.5‰ (2) 0 ≤ εb < 3.5‰ (3) εb = 3.5‰ i i i 3.0 ≤ εa < 10‰ εa = 10‰ εa = 10‰ Ne vodi se (formalno, u pisanju) računa o znacima napona i dillatacija Od izbora dilatacija zavisi visina poprečnog preseka d Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na primer, ako se usvoji manja dilatacija u armaturi (εa < 10‰), a maksimalna u betonu (εb = 3.5‰), povećava se s, odn. visina pritisnute zone u betonu x Time se dobija i veća sila pritiska u betonu Dbu , a iz uslova ravnoteže normalnih sila, veća je i sila u zategnutoj armaturi Zau = Dbu Kako je Mu zadata veličina, a unutrašnje sile sprega su veće, onda mora da bude manji krak sprega unutrašnjih sila z Time dolazi i do smanjenja visine preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na taj način, izborom različitih dilatacija εb i εa , preseci različitih visina imaju istu graničnu nosivost Konstantan spoljašnji granični momenat savijanja može da se “prihvati” presecima različitih visina Ipak, smanjenje visine preseka, na račun povećanja armature bitno utiče na granična stanja upotrebljivosti (na veličnu ugiba, pojavu prslina) Ako ima više zategnute armature u preseku, postoje i problemi oko smeštaja armature i pravilnog ugrađivanja Za dilatacije εa ∈ [7 ÷ 10]‰ dobijaju se tehnički i ekonomski opravdane dimenzije preseka i količine armature Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci U zavisnosti od izabranih dilatacija određuju se parcijalni koeficijenti sigurnosti, pa se računa granični momenat savijanja: X izabrana εa ⇒ γui ⇒ Mu = γui Mui i Usvaja se kvalitet materijala: marka betona i vrsta čelika ⇒ poznate su računske čvrstoće fB i σv Za usvojene dilatacije εb i εa iz tablica se određuju koeficijenti kiµ ¯ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Tablice - lom po betonu εb = 3.5‰ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Tablice - lom po armaturi εa = 10.0‰ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Potrebna statička visina h se određuje iz izraza: s Mu h=k b fB Potrebna površina armature se određuje iz izraza: Aa = µ b h = µ ¯bh Stanko Brčić σv fB Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na osnovu sračunate površine armature Aa bira se prečnik i broj profila Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka d=h+a Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na cele santimetre (odn. na “okruglu cifru”) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Mehanički koeficijent armiranja µ ¯ zavisi samo od dilatacija u betonu i čeliku: µ ¯ = αb s Takođe, iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se µ ¯ = αb s = Aa1 σv σv =µ b h fB fB gde je µ geometrijski koeficijent armiranja: µ= Stanko Brčić Aa1 bh Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Za grede je definisan minimalan koeficijent armiranja µmin : Aa1 0.25% GA µ= ≥ µmin gde je µmin = 0.20% RA bh Ni u jednom preseku AB grednog nosača ne sme da bude manje armature od minimalno propisane Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature za presek pravougaonog oblika na koji deluju momenti savijanja usled stalnog (Mg ) i povremenog (Mp ) opterećenja. Dati su podaci: - momenti savijanja . . . Mg = 60 kNm, Mp = 80 kNm - širina poprečnog preseka . . . b = 25 cm - kvalitet materijala . . . MB 30, GA 240/360 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Granični momenat savijanja Mu = 1.6 × 60 + 1.8 × 80 = 240 kNm Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2 RA 240/360 ⇒ σv = 24.0 kN/cm2 Usvojene dilatacije u betonu i čeliku (simultani lom) εb /εa1 = 3.5/10‰ ⇒ k = 2.311, µ ¯ = 20.988%, ζb = 0.892 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Potrebna statička visina preseka s r Mu 240 × 102 h=k = 2.311 = 50.0 cm b fB 25 × 2.05 Potrebna količina zategnute armature Aa = µ ¯ b h fB 25 × 50 2.05 = 20.988 × × = 24.41 cm2 100 σv 100 24 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Alternativno, potrebna površina armature je Aa = Mu 240 × 102 Mu = = = 22.42 cm2 z σv ζb h σv 0.892 × 50 × 24 Usvojena armatura: 6Φ22 (22.80 cm2 ) Za širinu grede b=25cm ova armatura ne može da se smesti u jedan red Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Usvojene dimenzije grede - primer 1 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Alternativne dimenzije za različita granična stanja Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim karakteristikama Znači, kod vezanog dimenzionisanja poznato je: - momenti savijanja od eksploatacionih opterećenja Mi - dimenzije poprečnog preseka b, d - usvojen kvalitet materijala fB , σv Nepoznato je: - količina armature u preseku Aa - stanje dilatacija u preseku s Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Pretpostavlja se da je dilatacija u armaturi između 3 i 10‰ (naravno, zatezanje), pa se izračuna granični momenat savijanja Mu (usvajaju se minimalne vrednosti γui ) Pretpostavlja se veličina a (rastojanje težišta zategnute armature od zategnute ivice preseka) . . . uobičajeno je a ≈ 0.1 d, pa se odredi statička visina h = d − a Sa određenom statičkom visinom h izračunava se koeficijent k: k=q h Mu b fB Stanko Brčić ⇒ iz tablica ⇒ Betonske konstrukcije 1 µ ¯ Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Iz tabela za dimenzionisanje se, na osnovu izračunatog k odredi mehanički koeficijent armiranja µ ¯, pa se očitaju dilatacije εb , εa Kontroliše se da li su usvojene odgovarajuće vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li je εa > 3‰) Određuje se potrebna količina zategnute armature iz izraza: Aa = µ ¯bh fB σv Stanko Brčić ili Aa = Mu Mu = z σv ζb h σv Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Usvaja se prečnik armature i dobijeni broj profila se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu Sračunava se stvarni položaj težišta zategnute armature a, a time i stvarna statička visina h, pa se poredi sa pretpostavljenom U slučaju većeg odstupanja, proračun se ponavlja U slučju da je dilatacija u armaturi εa < 3‰, presek se dvojno armira Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluje granični momenat savijanja Mu . Dati su podaci: - granični momenat savijanja . . . Mu = 300 kNm - dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/60 cm - kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2 RA 240/360 ⇒ σv = 24.0 kN/cm2 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a1 = 7cm, statička visina preseka je h = d − a1 = 60 − 7 = 53 cm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Koeficijent k je dat sa: k=q h Mu b fB =q 53 300×102 40×2.05 = 2.711 Iz tablica se dobija: za εa = 10‰, najbliža vrednost za k=2.711 je k=2.765, što odgovara dilataciji u betonu εb = 2.425‰ Za te dilatacije se očitava i µ ¯ = 14.152%, kao i ζb = 0.924 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Potrebna količina zategnute armature Aa = µ ¯ b h fB 40 × 53 2.05 = 14.152 × × = 15.38 cm2 100 σv 100 40 Alternativno, potrebna površina armature je Aa = Mu Mu 300 × 102 = = = 15.31 cm2 z σv ζb h σv 0.924 × 53 × 40 Usvojena armatura: 6RΦ19 (17.01 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Usvojena armatura grede - primer 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani preseci U pritisnutu zonu betonskog preseka uvek se postavlja montažna (konstruktivna) armatura Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća žilavost pritisnute zone betona Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i u pritisnutom delu Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju kao jednostruko armirani Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Dvostruko (dvojno) armiranje se primenjuje u slučajevima kada jednostruko armiran presek nije u stanju da prihvati granični momenat savijanja sa dilatacijom u armaturi εa ≥ 3‰ Kod dvostruko armiranih preseka, osim armature u zategnutoj zoni Aa = Aa1 , računa se i armatura Aa2 u pritisnutoj zoni Računska armatura u pritisnutoj zoni zahteva i dodatnu zategnutu armaturu ∆Aa1 kako bi uslovi ravnoteže bili zadovoljeni Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Granična vrednost momenta nosivosti preseka na savijanje pri punom iskorišćenju nosivosti jednostruko armiranog preseka, odn. nosivost preseka pri dilatacijama εb = 3.5‰ i εa = 3‰ je označena sa Mbu : Mbu = h k∗ 2 b fB Vrednosti k ∗ i µ ¯∗1 određuju se iz tablica za dilatacije koje želimo da zadržimo: εb = 3.5‰ i εa = 3‰ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Ako je granični momenat savijanja spoljašnjih sila Mu veći od momenta nosivosti jednostruko armiranog preseka Mbu : ∆Mu = Mu − Mbu > 0 onda je potrebno dvojno armiranje Razlika momenata ∆Mu se prihvata spregom unutrašnjih sila Dau i ∆Zau , odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Usvaja se da su obe armature ušle u prag tečenja: εa2 ≥ εq εa1 ≥ εv ⇒ σa2 = σq = |σv | ⇒ σa1 = σv Čelik se ponaša praktično isto i pri zatezanju i pri pritisku Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Dijagram napon - dilatacija za armaturni čelik Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Prema tome, zategnuta armatura koja odgovara momentu nosivosti jednostruko armiranog preseka sa punim iskorišćenjem je data sa A∗a1 = µ ¯∗1 b h fB σv A∗a1 = ili Mbu Mbu = ∗ ∗ z σv ζb h σv gde je Mbu momenat nosivosti jednostruko armiranog preseka Mbu = h k∗ 2 b fB Vrednosti k ∗ , µ ¯∗1 , kao i ζb∗ određuju se iz tablica za dilatacije εb = 3.5‰ i εa = 3‰ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Razlika momenata ∆Mu = Mu − Mbu se prihvata spregom unutrašnjih sila Dau i ∆Zau , odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom: ∆Mu = Dau (h − a2 ) ⇒ Dau = ∆Mu (h − a2 ) Prema tome, potrebna površina pritisnute armature Aa2 je data sa Dau ∆Mu Aa2 = = σq σv (h − a2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Kako je, iz uslova ravnoteže unutrašnjih sila Dau = ∆Zau , to je potrebna dodatna zategnuta armatura data sa ∆Aa1 = ∆Mu σv (h − a2 ) Prema tome, ukupna površina zategnute armature kod dvojno armiranog pravougaonog preseka je data sa Aa1 = A∗a1 + ∆Aa1 = µ ¯∗1 b h Stanko Brčić fB ∆Mu + σv σv (h − a2 ) Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Čisto pravo savijanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Alternativno, ukupna zategnuta armatura može da se odredi i prema izrazu Aa1 = Mbu ∗ ζb h σv + ∆Mu σv (h − a2 ) Potrebna pritisnuta armatura je Aa2 = Stanko Brčić ∆Mu σv (h − a2 ) Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci Dvostruko armirani pravougaoni preseci Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet AB elementi opterećeni ekscentričnom normalnom silom pritiska, sa napadnom tačkom u osi simetrije, nalaze se u oblasti velikog ekscentriciteta ako se neutralna linija nalazi unutar preseka Znači, jedan deo preseka je zategnut, a drugi je pritisnut To je složeno savijanje, odn. istovremeni uticaj normalnih sila i momenata savijanja Normalna sila može da bude sila pritiska ili sila zatezanja Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Potrebne veličine za dimenzionisanje pravougaonih preseka određuju se iz uslova ravnoteže na isti način kao i u slučaju čistog pravog savijanja Poznati su eksploatacioni uticaji Mi i Ni (i = g, p, ∆), odn. momenti savijanja i normalne sile za posmatrane slučajeve opterećenja Sile u preseku Mi i Ni su određene proračunom nosača na standardni način, pri čemu je osa nosača geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Odrede se granični uticaji (parcijalni koeficijenti su za εa ≤ −3‰): X X Mu = γui Mi Nu = γui Ni Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - proračunski model Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Postavljaju se dva uslova ravnoteže, spoljašnjih sila Mu i Nu , kao i unutrašnjih sila Dbu i Zau (rezultanta napona pritisaka u betonu i napona zatezanja u armaturi) Za redukcionu tačku u ravnoteži spregova bira se težište zategnute armature: P ⇒ Dbu − Zau − Nu = 0 PN = 0 : Ma1 = 0 : ⇒ Dbu z − Mau = 0 pri čemu je momenat spoljašnjih sila za težište zategnute armature dat sa d − a1 Mau = Mu + Nu 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 (1) Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Transformisanjem jednačina (1) na isti način kao i za slučaj čistog savijanja, dolazi se do analognih izraza Razlika je u tome što se umesto Mu u svim izrazima kod složenog savijanja javlja Mau Sve tabele koje se koriste za dimenzionisanje u slučaju čistog savijanja koriste se i u slučaju složenog savijanja Kao i kod čistog savijanja, u dimenzionisanju preseka za slučaj složenog savijanja javljaju se slučajevi - slobodnog dimenzionisanja - vezanog dimenzionisanja Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Međutim, postupak slobodnog dimenzionisanja je iterativan, jer se u izrazu za Mau pojavljuje i nepoznata visina preseka d Širina poprečnog preseka se, u uobičajenim slučajevima, usvaja u granicama od 30 do 50cm Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi iz tabela se očitaju vrednosti koeficijenta k i mehaničkog procenta armiranja µ ¯1 Pošto visina preseka d nije poznata, usvaja se, u prvoj iteraciji, da je Mau = Mu Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Potrebna statička visina u prvoj iteraciji h(1) određuje se iz izraza s Mu h(1) = k b fB Da bi se odredila visina preseka u prvoj iteraciji, prema relaciji d(1) = h(1) + a1 , pretpostavlja se da je rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka a1 približno a1 ≈ 0.1 d Prema tome, visina preseka u prvoj iteraciji je d(1) = h(1) + 0.1 d(1) Stanko Brčić ⇒ d(1) ≈ 1.1 h(1) Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Sa tom visinom se određuje momenat spoljašnjih sila za težište zategnute armature: ! d(1) Mau = Mu + Nu − a1 2 Sa ovim se određuje statička visina preseka u drugoj iteraciji: s Mau h(2) = k ⇒ d(2) = h(2) + a1 b fB Ukoliko se dobijena vrednost d(2) razlikuje od prethodne vrednosti d(1) za više od ≈ 1cm, postupak se ponavlja do konvergencije Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Kada se postigne zadovoljavajuća tačnost za visinu preseka d, potrebna površina armature se određuje iz izraza Aa1 = µ ¯1 b h Nu fB − σv σv ili Aa1 = Mau Nu − z σv σv (2) Mehanički koeficijent armiranja µ ¯1 dobijen je iz tablica, kao i koeficijent k, za usvojene dilatacije εa i εb Prvi član u izrazu za armaturu Aa1 identičan je kao i izraz za potrebnu armaturu u slučaju čistog savijanja Drugi član u izrazu za armaturu Nu /σv pretstavlja smanjenje površine zategnute armature zbog napona pritisaka koje normalna sila pritiska Nu unosi u presek Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji (Mi , Ni ) . . . sračunato je - kvalitet materijala (fB , σv ) . . . usvojeno je - dimenzije poprečnog preseka (b, d) Nepoznato je: - površina armature (Aa ) - stanje dilatacija (s) Na osnovu procenjenog rastojanja težišta zategnute armature a1 određuje se statička visina preseka h i sračunava granični momenat savijanja za težište zategnute armature Mau Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Sa određenim Mau i statičkom visinom h, izračunava se koeficijent k: k=q h ⇒ Mau b σv εb , εa1 , µ ¯1 Potrebna površina armature se određuje iz izraza (2): Aa1 = µ ¯1 b h fB Nu − σv σv ili Aa1 = Mau Nu − z σv σv gde je z = ζb h ≈ 0.9 h krak unutrašnjih sila Dbu i Zau Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Na osnovu dobijene potrebne površine zategnute armature usvoji se prečnik i broj šipki i raspoređuje se u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu Odredi se stvarni položaj težišta zategnute armature i stvarna statička visina Stavrna statička visina se poredi sa pretpostavljenom i u slučaju odstupanja (većeg od 5-10%) proračun se ponavlja sa “tačnijom” statičkom visinom Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Ako se dobije da je εa < 3‰, presek se dvojno armira, isto kao i u slučaju čistog savijanja Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi εb = 3.5‰ i εa1 = 3‰ iz tablica se očitaju vrednosti k ∗ i µ ¯∗1 Sa ovim se izračunava moment nosivosti jednostruko armiranog preseka Mabu : Mabu = Stanko Brčić h k∗ 2 b fb Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Granični momenat koji treba da prihvate pritisnuta i dodatna zategnuta armatura ∆Mau je dat sa ∆Mau = Mau − Mabu Ukupna površina zategnute armature (osnovne, koja odgovara nosivosti jednostruko armiranog preseka i dodatne) je data sa Aa1 = µ ¯∗1 b h fB ∆Mau Nu − + σv σv (h − a2 ) σv Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Alternativno, ukupna površina zategnute armature je data sa Aa1 = Mau ∆Mau Nu + − z σv σv (h − a2 ) σv Potrebna površina pritisnute armature je data sa Aa2 = Stanko Brčić ∆Mau σv (h − a2 ) Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - dvojno armiranje Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka - usvajanje armature U zavisnosti od dobijenih površina pritisnute i ukupne zategnute armature: 1 2 3 Aa2 ≤ Aa1 . . . i zategnuta i pritisnuta armatura se usvajaju u skladu sa dobijenim površinama Aa1 ≤ Aa2 ≤ 1.5 Aa1 . . . obe zone se armiraju simetrično sa srednjom vrednošću zbira površina Aa2 > 1.5 Aa1 . . . presek se armira simetrično, ali se površina armature određuje primenom dijagrama interakcije M − N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje . . . Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN povremeno opterećenje . . . Mp = 680 kNm, Np = 800 kN dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm kvalitet materijala . . . MB 40, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 40 ⇒ fB = 25.5 M P a = 2.55 kN/cm2 RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2 Granični uticaji Mu i Nu (u odnosu na težište) Mu = 1.6 Mg + 1.8 Mp = 2000 kNm Nu = 1.6 Ng + 1.8 Np = 2400 kN Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a1 = 8cm, statička visina preseka je h = d − a1 = 90 − 8 = 82 cm Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature: d Mau = Mu + Nu − a1 = 2888 kNm 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Bezdimenzionalni koeficijent k je k=q h Mau b fB =q 82 2888×102 40×2.55 = 1.541 Iz tablica se za k = 1.541 očitava: εb = 3.5‰, kao i εa = 1.10‰ Kako je εa = 1.10 < 3.0‰, presek se dvojno armira Iz tablica se, za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰, očitava: k ∗ = 1.719 iµ ¯∗ = 43.589% Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰ 2 h Mabu = bfB k∗ tako da se dobija Mabu = 0.82 1.719 2 0.40 × 25.5 × 103 = 2321 kNm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Razlika u graničnim momentima: ∆Mau = Mu − Mabu = 2888 − 2321 = 567 kNm se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do pritisnute ivice preseka jednako a2 = 5cm, pritisnuta armatura je ∆Mau 567 × 102 Aa2 = = = 18.41 cm2 σv (h − a2 ) 40 (82 − 5) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Ukupna površina zategnute armature je Aa1 = µ ¯∗1 b h ∆Mau Nu fB + − σv σv (h − a2 ) σv odnosno, Aa1 = 43.589 2.55 2400 40 × 82 × + 18.41 − = 49.55 cm2 100 40 40 Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature su: Aa2 = 18.41 cm2 Aa1 = 49.55 cm2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3 Kako je Aa2 < Aa1 , obe zone se armiraju prema izračunatim površinama armature Usvaja se sledeća armatura: zategnuta armatura: Aa1 = 49.55 cm2 . . . usvojeno 8RΦ28 (49.26 cm2 ) pritisnuta armatura: Aa2 = 18.41 cm2 . . . usvojeno 3RΦ28 (18.47 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet U slučaju ekscentričnog zatezanja važe svi izrazi kao i za slučaj ekscentričnog pritiska Umesto pozitivne sile pritiska N u prikazane relacije sila zatezanja Z se unosi sa negativnim znakom Tako, na primer, granični momenat za težište zategnute armature, za ekscentrično zatezanje, dat je sa d Mau = Mu − Zu − a1 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Čisto složeno savijanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Statička visina preseka se određuje iz relacije s Mau h=k b fB dok se potrebna površina zategnute armature odrđuje iz izraza Aa1 = µ ¯1 b h ili iz relacije Aa1 = Stanko Brčić fB Zu + σv σv Mau Zu + z σv σv Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju granični momenat Mu i sila zatezanja Zu . Dati su podaci: - granični uticaji . . . Mu = 770 kNm, Zu = 720 kN - dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 35/70 cm - kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 ⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2 RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2 Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice: a1 = 0.1 d = 7 cm Statička visina preseka h = d − a1 = 70 − 7 = 63 cm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Granični momenat u odnosu na težište zategnute armature: d 0.70 Mau = Mu − Zu ( − a1 ) = 770 − 720 × − 0.07 2 2 Dobija se Mau = 568.4 kNm Koeficijent k je jednak: k=q h Mau b fB =q Stanko Brčić 63 568.4×102 35×2.05 = 2.238 Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Za k = 2.238 iz tablica se očitava εb /εa = 3.5/9.05‰, kao i µ ¯1 = 22.576% i ζb = 0.884 Potrebna površina zategnute armature Aa1 = µ ¯1 b h fB Zu + σv σv Zamenom vrednosti se dobija Aa1 = 22.576 × 35 × 70 2.05 720 × + = 43.51 cm2 100 40 40 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Vezano dimenzionisanje Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Alternativno, potrebna površina zategnute armature može da se odredi iz izraza Aa1 = Mau Zu 568.4 × 102 720 + = + = 43.52 cm2 z σv σv 0.884 × 63 × 40 40 Usvaja se 9RΦ25 (44.18 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Prikaz usvojenog armiranja Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka Grede T preseka - opšte napomene U betonskim konstrukcijama, posebno u zgradarstvu, veoma česte su grede T ili Γ preseka Tipičan primer su AB ploče oslonjene na AB grede (monolitno izvedene) Uobičajeno je da su ploče iznad greda (mada ploče mogu da budu i “okačene” o grede) Takvi elementi se izvode u isto vreme i pretstavljaju monolitnu celinu Ukoliko su ploča i neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda se greda i odgovarajući deo ploče posmatraju kao grede T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Grede T preseka - opšte napomene Ukoliko je neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda se greda posmatra kao standardna greda pravougaonog preseka Kod tavanica koje čine AB ploče oslonjene na sistem greda, obično u dva ortogonalna pravca, na mestu ukrštanja greda nalaze se AB stubovi Delovi greda “u polju”, dakle u srednjim zonama između oslonačkih stubova, pretstavljaju grede T preseka (zategnuta je donja zona) Delovi istih greda u zonama iznad stubova pretstavljaju grede pravougaonog preseka (zategnuta je gornja zona) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Grede T preseka - opšte napomene Ivične grede u tavanici (ploča je samo sa jedne strane grede) su grede Γ preseka Grede između ivičnih su grede T preseka Ako je debljina ploče označna sa dpl , a x je visina pritisnute zone preseka, za T preseke mora da bude ispunjen uslov x > dpl (neutralna osa mora da bude u gredi, odn. u rebru) Ako je x ≤ dpl u pitanju je greda pravougaonog preseka B/d (širina je jednaka širini ploče b ili B, a visina je jednaka d visina ploče i rebra ispod) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Grede T preseka - opšte napomene Odgovarajući deo ploče levo i desno od grede, koji se tretira kao deo grede T preseka, naziva se računska aktivna širina ploče B Monolitnost veze između ploče i rebra obezbeđuju naponi smicanja na spoju ploče i rebra Osim toga, monolitnost veze ploče i rebra se obezbeđuje i odgovarajućom armaturom u ploči upravno na pravac rebra (grede) Raspodena normalnih napona na delu ploče, levo i desno od rebra, je krivolinijska Intenzitet normalnih napona u ploči se smanjuje sa udaljenjem od rebra Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče kod greda T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Grede T preseka - opšte napomene Nosači T preseka proračunavaju se kao pravougaoni preseci u slučajevima kada se 1 2 neutralna linija nalazi u ploči x ≤ dpl neutralna linija nalazi u rebru, ali se ploča nalazi u zategnutoj zoni preseka (npr. iznad oslonaca kod kontinualnih nosača) U drugim slučajevima, kada je neutralna osa u rebru, a ploča je pritisnuta, dimenzionsanje se vrši kao za T presek U zavisnosti od odnosa računske aktivne širine ploče B i širine rebra b, postoje različiti pristupi proračunu 1 2 za B/b > 5 . . . uprošćeni postupak proračuna za B/b ≤ 5 . . . tačniji postupak proračuna Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Sadržaj 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci 2 Čisto složeno savijanje Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armirani pravougaoni preseci Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka Kada je ispunjen uslov B/b > 5, grede T preseka se dimenzionišu po uprošćenom postupku Osnovna pretpostavka uprošćenog postupka je zanemarivanje nosivosti rebra: ukupna sila pritiska u preseku je sila pritiska u ploči Dbu = Dbpu Dodatna pretpostavka je da je napon pritiska po debljini ploče konstantan i jednak naponu u sredini debljine ploče σbp (uprosečeni su naponi pritisaka po debljini ploče) Na osnovu toga, krak untrašnjih sila je poznat i iznosi z = h − dp /2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka Greška koja se čini u uprošćenom proračunu je relativno mala, a proračun je jednostavniji Kada je B/b > 5, ili još više, zanemarena pritisnuta površina betona na delu rebra je relativno mala u odnosu na površinu pritisnute ploče Osim toga, u zoni pritisnutog rebra su i naponi σb mali (blizina neutralne ose) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka Druga pretpostavka je osrednjavanje stvarnog dijagrama napona pritisaka u ploči na pravougaoni oblik Ordinata pravougaonog dijagrama napona je jednaka naponu σbp ili σbs u vlaknu na sredini debljine ploče (kome odgovara dilatacija u betonu εbp = εbs ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Zbog relativno velike pritisnute površine betona, dilatacije u betonu retko prelaze vrednosti εb ≈ 0.5 ÷ 1.5‰ Zbog toga, T preseci (po pravilu) dostižu granično stanje loma po armaturi εa = 10‰ Kao i kod “običnih” pravougaonih preseka, dimenzionisanje preseka u slučaju čistog ili složenog savijanja svodi se na - slobodno dimenzionisanje - vezano dimenzionisanje Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Veličine potrebne sa slobodno dimenzionisanje T preseka dobijaju se iz dva uslova ravnoteže (kao i za dimenzionisanje pravougaonih preseka) Granična sila pritiska u ploči i granična sila zatezanja u armaturi su Dbu = Dbpu = B dp σbp Zau = Aa σv Uslov ravnoteže normalnih spoljašnjih i unutrašnjih sila (za slučaj čistog pravog savijanja) je: X N = o : ⇒ B dp σbp − Aa σv = 0 (3) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Krak unutrašnjih sila, odn. krak sile pritiska do težišta zategnute armature je z = h − dp /2 Uslov ravnoteže momenata P spoljašnjih i unutrašnjih sila za težište zategnute armature Ma1 = 0 je: Dbpu z − Mu = 0 (4) ili, unošenjem izraza za Dbp , kao i za krak sila B dp σbp (h − Stanko Brčić dp ) = Mu 2 Betonske konstrukcije 1 (5) Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako se napon u sredini ploče σbp unapred usvoji, onda se iz (5) dobija nepoznata staticka visina preseka: h= dp Mu + σbp B dp 2 (6) Napon u sredini ploče najčešće se bira u granicama 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB Ove granice za napon u sredini ploče daju ekonomične i tehnički opravdane dimenzije preseka Veće iskorišćenje napona pritiska u betonu dalo bi manju visinu preseka, ali i veću količinu zategnute armature Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Uprošćeni proračun T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče x0 može da se odredi iz sličnosti trouglova i izrazi preko dilatacija u betonu i armaturi (videti prethodnu sliku) dp h − x + 0 2 x0 = εbp εa odakle se dobija εbp x0 = εbp + εa dp dp h− = s0 h − 2 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 (7) Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Osim toga, potrebno je da se proveri da li je zadovoljen uslov maksimalne dilatacije u pritisnutom vlaknu betona: εb = εbp x0 + x0 dp 2 ≤ 3.5‰ (8) Napon pritiska u sredini ploče σbp se usvaja u nekom iznosu, obično u intervalu 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB Time je, takođe, usvojena i dilatacija εbp u sredini debljine ploče, zbog veze σ − ε za beton: f B za 0 ≤ εb ≤ 2‰ 4 (4 − εb ) εb σb = (9) fB za 2 ≤ εb ≤ 3.5‰ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Naime, rešavanjem veze (9) po εb dolazi se do kvadratne jednačine po εb : σb =0 ε2b − 4 εb + 4 fB Rešenja ove jednačine su ε1,2 b r σb = 2(1 ± 1 − ) fB Samo znak − ima smisla, tako da je za usvojen napon u sredini ploče σbp odgovarajuća dilatacija εbp data sa r σbp εbp = 2(1 − 1 − ) (10) fB Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Tako, na primer, za neke vrednosti napona σbp u uobičajenom intervalu dobija se - za σbp = 0.30 fB - za σbp = 0.50 fB - za σbp = 0.75 fB ⇒ ⇒ ⇒ Stanko Brčić εbp = 0.327 ‰ εbp = 0.586 ‰ εbp = 1.000 ‰ Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako se neutralna osa nalazi u ploči, x0 ≤ dp /2, presek se proračunava kao pravougaoni, širine B Ako je neutralna osa u rebru x0 > dp /2, potrebna površina zategnute armature se određuje iz uslova ravnoteže normalnih sila: B dp σbp M u Aa = ili Aa = d σv σv h − 2p Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi ) - geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, dp ) - mehaničke karakteristike (M B, σv ) Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (Aa ) - položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σbp ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sračunaju se granični statički uticaji X Mu = γui Mi Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a1 , pa se odredi statička visina h = d − a1 Iz uslova ravnoteže momenata (5) se odredi napon pritiska u sredini ploče: M u σbp = d B dp h − 2p Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju da se dobije da je σbp > fB , postupak se prekida i vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra) Iz veze σ − ε, prema relaciji (10), odredi se dilatacija u sredini ploče: r σbp εbp = 2(1 − 1 − ) εa = 10 ‰ ⇒ s0 fB Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa (7): εbp dp dp x0 = h− = s0 h − εbp + εa 2 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Uprošćeni proračun T preseka x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x0 > dp /2 neutralna osa je ispod ploče (u rebru) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili Γ preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji uslov (8): d x0 + 2p ≤ 3.5‰ εb = εbp x0 Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x0 ≤ dp /2), presek se dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B × d Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x0 > dp /2, potrebna površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže normalnih sila) M u Aa = d σv h − 2p Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1
© Copyright 2024 Paperzz
