Dodatna iz matematike Prva kragujevaˇcka gimnazija - ord¯e Barali´c D JENSENOVA NEJEDNAKOST Definicija 1. Funkcija f naziva se J-konveksna, ili konveksna u Jensenovom smislu na intervalu I, ako za bilo koje x, y ∈ I vaˇzi µ ¶ x+y f (x) + f (y) f ≤ . 2 2 Ako je pri tome za x 6= y µ f x+y 2 ¶ < f (x) + f (y) . 2 kaˇzemo da je f -striktno J-konveksna. Definicija 2.Funkcija f se naziva konveksna na intervalu I ako za bilo koje x, y ∈ I i bilo koje α, β > 0, α + β = 1 vaˇzi f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y). Ako je pri tom za x 6= y f (αx + βy) < αf (x) + βf (y). kaˇzemo da je f striktno konveksna. Teorema 1.(Uopˇ stena Jensenova nejednakost)Ako je f konveksna na intervalu I tada za svaki prirodan broj Pnn i bilo koje xi ∈ I, i = 1, 2, . . . , n i bilo koje αi > 0, i = 1, 2, . . . , n za koje je i=1 αi = 1 vaˇzi f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αn f (xn ). Ako je pri tome f striktno konveksna jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn . Teorema 2.(Specijalni sluˇ caj Jensenove nejednakosti)Ako je funkcija J-konveksna na intervalu I tada za svaki prirodan broj n i za bilo koje xi ∈ I, i = 1, 2, . . . , n vaˇzi µ ¶ x1 + x2 + . . . + xn f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ) f ≤ . n n Ako je pri tome f striktno J-konveksna jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn . 1 Teorema 3.Ako je funkcija f neprekidna na intervalu I tada je ona konveksna na I ako i samo ako je ona J-konveksna na I.Neprekidna funkcija f je striktno konveksna ako i samo ako je f striktno J-konveksna. Teorema 4.Neka funkcija f ima u svakoj taˇcki intervala I.Funkcija f je konveksna ako i samo ako je f 00 (x) ≥ 0 za svako x ∈ I.Funkcija f je striktno konveksna ako i samo ako je f 00 (x) > 0 za svako x ∈ I. 1.(Teˇzinska nejednakost izmedju aritmetiˇcke i geometrijske Pnsredine)Dokazati da za sve pozitivne brojeve x1 , x2 , . . . , n i α1 , α2 , . . . , αn , i=1 αi = 1 vaˇzi αn 1 α2 α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ≥ xα 1 x2 . . . xn i jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn . Pn Pn 2. Neka su aij > 0, i=1 aij = j=1 aij = 1 za sve i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, xi > 0 i yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn (i = 1, 2, . . . , n).Dokazati da vaˇzi y1 · y2 . . . · yn ≥ x1 · x2 . . . · xn . 3.(Nejednakost izmed¯u aritmetiˇcke i stepene P sredine)Dokazati da za pozitivne n brojeve x1 , x2 , . . . , xn , αi > 0, i = 1, 2, . . . , n, i=1 αi = 1 i k > 1 vaˇzi ¡ ¢1 α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ≤ α1 xk1 + α2 xk2 + . . . + αn xkn k pri ˇcemu znak jednakosti vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn . 4.(Nejednakost izmed¯u stepenih sredina) Za pozitivne brojeve x1 , x2 , . . . , xn ³ k k ´ k1 √ x +x +...xk n oznaˇcimo Mk = 1 2n za k 6= 0 i M0 = n x1 · x2 · . . . · xn .Tada je za α ≤ β, Mα ≤ Mβ i jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn . 5.Funkcija f je konveksna na [a, b] ako i samo ako za sve x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b], x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn vaˇzi x1 f (x2 ) + x2 f (x3 ) + . . . + xn f (x1 ) ≥ x1 f (xn ) + x2 f (x1 ) + . . . + xn f (xn−1 ). 6.(Petrovi´ceva nejednakost)Ako je f konveksna na [0, a] i ako su x1 , x2 , . . . , xn ∈ [0, a], x1 + x2 + . . . + xn ∈ [0, a] tada je f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ) ≤ f (x1 + x2 + . . . + xn ) + (n − 1)f (0). 7.Ako je 0 < a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an , onda je a n aa1 2 · aa2 3 · . . . · aan−1 · aan1 ≥ aa2 1 · aa3 2 · . . . ann−1 · aa1 n . 8.Ako je a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ 0 i neka je f konveksna funkcija na [0, a1 ].Tada vaˇzi a) f (a1 ) − f (a2 ) + . . . + f (an ) ≥ f (a1 − a2 + . . . + an ) ako je n neparan broj. 2 b) f (a1 ) − f (a2 ) + . . . − f (an ) ≥ f (a1 − a2 + . . . − an ) − f (0) ako je n paran broj. 9.Ako je f rastu´ca funkcija i ako za brojeve xi , yi , i = 1, . . . , n vaˇzi y1 ≥ y2 ≥ . . . ≥ yn , i x1 ≥ y1 , x1 + x2 ≥ y1 + y2 , . . . , x1 + x2 + . . . + xn ≥ y1 + y2 + . . . + yn tada vaˇzi f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + . . . + f (yn ). 10.Na´ci minimume slede´cih funkcija: a) z = xy + b) u = x + c) u = x1 x2 50 x y2 4x + + + x2 x3 20 y z2 y + (x > 0, y > 0), 2 z + ... + (x > 0, y > 0, z > 0), xn−1 xn + xn 2x1 (xi > 0 za i = 1, . . . , xn ) d) u = −xm y n z p , ako je x + y + z = a, (x > 0, y > 0, z > 0, m, n, p ∈ N ) e) u = x21 + x22 + . . . + x2n ako je i = 1, . . . , n), x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = 1, (xi , ai > 0 za f) u = sin x · sin y · sin z, ako je x + y + z = π2 , (x > 0, y > 0, z > 0), ³ ´ ³ ´ ³ ´ g) u = 1 + x11 · 1 + x12 · . . . · 1 + x1n ako je x1 + x2 + . . . + xn = n, (xi > 0 za i = 1, . . . , n), h) u = −x1 x22 · . . . · xnn · (1 − x1 − 2x2 − . . . − nxn ), (xi > 0 za i = 1, . . . , n). 11.(Nejednakost Minkovskog)Ako su xi , yi (i = 1, . . . , n) nenegativni brojevi tada vaˇzi: p √ √ n (x1 + y1 ) · (x2 + y2 ) · . . . · (xn + yn ) ≥ n x1 · x2 · . . . · xn + n y1 · y2 · . . . · yn . 12.Ako su xi > 0 (i = 1, . . . , n) i x1 + x2 + . . . + xn = 1 onda je: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ 2 ¶n 1 1 1 n +1 x1 + · x2 + · . . . · xn + ≥ . x2 x3 x1 n 13.Za pozitivne brojeve a, b, c vaˇzi: a b c a+b+c a2 + b2 + c2 ≥ a a+b+c · b a+b+c · c a+b+c ≥ . a+b+c 3 3 14.Ako su a, b, c, d pozitivni brojevi, onda je: a + b + c ≤ adb−c + bdc−a + cda−b . 15.Ako su x1 , x2 , . . . , xn > 0, α1 , α2 , . . . , αn ≥ 0 i α1 + α2 + . . . + αn = 1, tada je: a) αx11 + αx22 + . . . + αxnn ≥ α1 x1 +α2 x21+...+αn xn , √ √ √ √ b)α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ≤ α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn . 16.Ako su a1 , a2 , . . . , an ∈ [−1, 1] tada je: p 1 − a21 + p 1 − a22 + . . . + n s p 1 − a2n ≤ µ 1− a1 + a2 + . . . + an n ¶2 . 17.Ako su ai > 0 i = 1, 2, . . . , n i a1 + a2 + . . . + an = 1 tada je: q a1 a2 an n a)(Kina 1989) √1−a + √1−a + . . . + √1−a ≥ n−1 , 1 ³ b) a1 + ³ c) 1 + ³ d) ³ e) 1 a1 1 a1 ´α 2 ³ + a2 + ´ ³ · 1+ 1 a2 ´ 1 a2 ´α n ³ + . . . + an + ³ · ... · 1 + 1 an 1 an ´α ´ ³ ≥n· n2 +1 n ´α ( za α > 0), n ≥ (n + 1) , ´ ³ ´ ³ ´ n − 1 · a12 − 1 · . . . · a1n − 1 ≥ (n − 1) , 1 a1 1+a1 1−a1 ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´n 1+a2 1+an n+1 · 1−a · . . . · ≥ . 1−an n−1 2 18.Ako su xi onda je: (i = 1, . . . , n) pozitivni brojevi za koje je x21 + x22 + . . . + x2n = 1, x1 a) 1+x 2 + + ... + 1 x1 1−x21 + x2 1+x22 x2 1−x22 + ... + xn 1+x2n xn 1−x2n ≥ ≤ √ n n n+1 , √ n n n−1 . 19.(Predlog za 7. Balkanijadu)Ako su a, b, c pozitivni brojevi, tada je: b3 c3 ab + bc + ca a3 + + ≥3 . 2 2 2 2 2 2 b − bc + c c − ca + a a − ab + b a+b+c 20.Za realne brojeve xi , 0 < xi ≤ 1 2 (i = 1, . . . , n) vaˇzi: (1 − x1 ) + (1 − x2 ) + . . . + (1 − xn ) x1 + x2 + . . . + xn p ≤ √ . n n x1 · x2 · . . . · xn (1 − x1 ) · (1 − x2 ) · . . . · (1 − xn ) 21.(Rogers-Helderova nejednakost)Ako su xi , yi brojevi i 0 ≤ α, β ≤ 1, α + β = 1,tada je: (i = 1, . . . , n) nenegativni α β β α β α β xα 1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn ≤ (x1 + x2 + . . . + xn ) · (y1 + y2 + . . . + yn ) . 4 22.(Nejednakost Minkovskog)Ako su ai , bi (i = 1, . . . , n) realni brojevi tada za sve p ≥ 1 vaˇzi: à n X ! p1 p |ai + bi | à ≤ k=1 n X ! p1 |ai | p à + k=1 n X ! p1 |bi | p . k=1 23.Ako su x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn pozitivni, onda je: 1 x1 1 + 1 y1 + ... + 1 xn 1 + ≤ 1 yn 1 x1 +...+xn 1 + 1 y1 +...+yn . 24.Ako brojevi x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn zadovoljavaju nejednakost x2i + yi2 ≤ 1 (i = 1, . . . , n) onda je: s p p p µ ¶2 µ ¶2 1 − x21 − yi2 + 1 − x22 − y22 + . . . + 1 − x2n − yn2 x1 + . . . + xn y1 + . . . + yn ≤ 1− − . n n n 25.Ako su x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn > 0 i xi yi − zi2 > 0(i = 1, . . . , n) tada je: n X n3 1 . µ n ¶ µ n ¶ µ n ¶2 ≤ x y − zi2 P P P i=1 i i xi yi − zi i=1 i=1 i=1 26.U kruˇznici radijusa 1 upisan je konveksan ˇsestougao.Ako je proizvod duˇzina svih dijagonala koje spajaju vrhove susednih stranica jednak 27,onda su svi uglovi ˇsestougla jednaki.Dokazati. 27.Ako su R1 , R2 , R3 rastojanja neke unutrasnje taˇcke O trougla do njegovih vrhova,a r1 , r2 , r3 rastojanja od O do stranica trougla,tada je R1 · R2 · R3 ≥ (r1 + r2 ) · (r2 + r3 ) · (r3 + r1 ).Dokazati. 28.Ako su R1 , R2 , . . . , Rn rastojanja neke unutraˇsnje taˇcke O konveksnog n-tougla do njegovih vrhova,a r1 , r2 , . . . , rn rastojanja od O do stranica n-tougla tada je: R1 · R2 · . . . · Rn π ≥ secn . r1 · r2 · . . . · rn n 29.Dokazati da od svih n-touglova upisanih u kruˇznicu pravilni n-tougao ima: a)najve´cu povrˇsinu, b)najve´ci obim. 30.Neka su R i r radijusi opisane i upisane kruˇznice konveksnog n-tougla.Dokazati da je Rr ≥ sec nπ . 5 31.U kruˇznicu K upisan je konveksan mnogougao M = A1 A2 . . . An i konveksan mnogougao M 0 = A01 A02 . . . A0n ˇcija su temena sredine lukova odred¯enih temenima mnogougla M .Ako su O i P ,O0 i P 0 obim i povrˇsina mnogougova M i M 0 redom,tada je: a)P 0 ≥ P, b)O0 ≥ O. 32.Konveksni ˇsestougao S je podeljen na n konveksnih mnogouglova P1 , P2 , . . . , Pn , tako da za bilo koja dva od njih vaˇzi da, ili nemaju zajedniˇckih taˇcaka, ili imaju zajedniˇcko teme ili imaju zajedniˇcku stranicu.Sa si , Li , Ti oznaˇcimo broj stranica,obim i povrˇsinu mnogougla Pi (i = 1, . . . , n).Tada vaˇzi: n a) s1 +s2 +...+s ≤ 6, n b) √LT1 + 1 L2 √ T2 + ... + Ln √ Tn √ ≥ 2n 12. 33.(Predlog za IMO’98)Neka su r1 , r2 , . . . , rn realni brojevi, ne manji od 1. Dokazati nejednakost n X 1 n s ≥ . r + 1 n Q i=1 i n 1+ ri i=1 34.(Jugoslavija 2002)Neka su a, b i c pozitivni brojevi, a n i k prirodni brojevi.Dokazati da vaˇzi nejednakost an+k bn+k cn+k + + ≥ ak + bk + ck . bn cn an 35.(Predlog za BMO’02)Neka su x, y, z pozitivni realni brojevi, takvi da je x + y + z ≥= 1.Dokazati da je √ √ √ √ y y x x z z 3 + + ≥ . y+z z+x x+y 2 - ord¯e Barali´c D e-mail:djolebar@ptt.yu Literatura 1.Amer Beˇslagi´c:Jensenova nejednakost,Triangl Vol.3,No.4.(1999) - ukic,M.Luki´c,I.Mati´c:Nejednakosti,Druˇstvo matematiˇcara 2.Z.Kadelburg,D.D Srbije,2003 6
© Copyright 2024 Paperzz