komparativna analiza nastavnog plana i programa matematike za

ISSN 1986–518X
ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA
Vol. V (2013), Broj 9, 23--42
Pregledni rad
KOMPARATIVNA ANALIZA
NASTAVNOG PLANA I PROGRAMA
MATEMATIKE ZA TREĆI RAZRED OSNOVNE ŠKOLE
Jelena Kurtuma1 i Zlatan Marković2
Sažetak: U ovom radu daćemo kratku analizu nastavnog plana i programa iz matematike za treći razred
osnovne škole u Republici Srpskoj, odnosno uporedićemo ovaj nastavni plan i program sa odgovarajućim
nastavnim planovima i programima Federacije BiH, Republike Srbije, Republike Hrvatske, Republike Crne
Gore, kao i nastavnim planom i programom izgrađenim u MEP-projektu. U analizi se osvrćemo na fond časova,
na nastavne oblasti koje su zastupljene, na očekivane ishode u nastavi matematike, postavljene nastavne ciljeve,
planove aktivnosti nastavnika i učenika. Dakle, cilj našeg istraživanja je uporediti strukturu nastavnih planova i
programa i to: da li su (i na koji način) ciljevi nastave istaknuti prema Bloom-ovoj taksonomiji, da li su
precizirani sadržaji učenja i pripadni fond časova prema oblastima (aritmetika, geometrija i uslovno algebra – u
III razredu se može govoriti o rano-algebarskim sadržajima), da li se navode ishodi učenja i koji su to ishodi,
preciziraju li se aktivnosti nastavnika i učenika.
Ključne riječi: nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, MEP-projekat, očekivani
ishodi, nastavni ciljevi, smjernice za nastavnika, aktivnosti učenika i nastavnika
Abstract: In this paper, we give a brief analysis of the mathematics curriculum for the third grade of primary
school in the Republic of Srpska, and we compare this curriculum with appropriate curriculum of the Federation
of Bosnia and Herzegovina, Serbia, Croatia, Montenegro, and with curriculum constructed in MEP-project.
We analyze the number of classes, teaching areas that are represented, the expected outcomes in mathematics,
learning objectives, plans of activities for teachers and students. Therefore, the aim of our study was to compare
the structure of curricula which includes: whether (and how) the learning objectives emphasize the Bloom
taxonomy of this, if the precisely defined learning content and corresponding number of classes according to
their fields (arithmetic, geometry and conditional algebra - in the third grade we could speak of early-algebraic
facilities), have the learning outcomes and what are the outcomes, if the activities of teachers and students are
specified.
Key words and phrases: mathematics curriculum for the third grade of primary school, MEP – project, learning
outcomes, learning objectives, instructions for teachers, activities of teachers and students
ZDM (2010): B20, B70, D30.
1. UVOD
Nastavnim planom i programom RS3 utvrđuju se obavezne nastavne i vannastavne aktivnosti, i
to nastavnim planom4: nastavni predmeti i njihov raspored po razredima, te sedmični i godišnji broj
časova, dok nastavnim programom5 se utvrđuje sadržaj za svaki obavezni i izborni predmet, cilj,
zadaci, ishodi, te uputstva za realizaciju. Dakle, jasno je, kada govorimo o fondu časova i predmetu, u
našem slučaju, matematike, govorimo o nastavnom planu, a kada govorimo o sadržaju, ciljevima i
ishodima nastave govorimo o nastavnom programu. U svim razredima osnovne škole (mislimo na II,
1
2
3
Pedagoški fakultet, 76 300 Bijeljina, Semberskih ratara bb, Bosna i Hercegovina, e- mail: jelenakurtuma@gmail.com
Pedagoški fakultet, 76 300 Bijeljina, Semberskih ratara bb, Bosna i Hercegovina, e- mail: zlatanmarkovic@hotmail.com
Zakon o osnovnom obrazovanju i vaspitanju RS-a, Član 33, Stav (1).
Ibid, Član 33, Stav (3).
5
Ibid, Član 33, Stav (4).
23
4
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
III, IV, V razred) predviđeno je po 5 časova matematike sedmično, što je na godišnjem nivou 180
časova. Na osnovu ovoga možemo konstatovati da je nastava matematike kvantitativno dobro
zastupljena u osnovnim školama Republike Srpske.
Sada se postavlja jedno pitanje kakvi su sadržaji u nastavi matematike u nižim razredima osnovne
škole u pogledu kvaliteta, da li su sistematsko struktuisani u pogledu organizovanosti, usklađeni sa
postavljenim ciljevima nastave matematike, odnosno očekivanim ishodima.
Kada posmatramo nastavne planove i programe matematike država u našem neposrednom
okruženju, vidimo da se nastavni plan i program RS-a najviše razlikuju u poređenju sa nastavnim
planom i programom Republike Hrvatske, odnosno Federacije BiH, te da nema mnogo zajedničkih
osobina sa nastavnim planom i programom matematike izgrađenim u MEP-projektu, koji predstavlja
program unapređenja (unapređene) matematike (Mathematics Enhancement Programme), razvijen
tokom posljednjih nekoliko godina u Centru za inovacije u nastavi matematike, da bi se sproveli
rezultati (nalazi) međunarodnih istraživanja u školama u Velikoj Britaniji. Takođe, može se primijetiti
da nastavni plan i program RS-a ima određene sličnosti sa nastavnim planom i programom Republike
Srbije6 i Republike Crne Gore. Ta sličnost se naročito ogleda u elementima kojim se reprezentuju
obaveze i aktivnosti (svi su prikazani u vidu tabele, sa manje ili više istim sadržajem).
2. TEORIJSKA ZASNOVANOST
2.1. Bloomova taksonomija
Sama riječ taksonomija potiče iz grčkog jezika, od riječi tassein (u prevodu - „razvrstati”) i riječi
nomos („zakon”). Riječ označava klasifikaciju, tj. razvrstavanje i prvobitno se odnosila na
klasifikaciju živih organizama u biologiji, a kasnije je riječ primjenjena u širem smislu, tako da se
mnoge stvari mogu razvrstavati prema određenoj taksonomskoj šemi. Bloomova taksonomija je
najpoznatija klasifikacija ciljeva vaspitanja i obrazovanja. Benjamin Bloom7 je pedesetih godina
dvadesetog vijeka, zajedno sa saradnicima8, kreirao taksonomiju ciljeva vaspitanja i obrazovanja.
Bloom razlikuje tri područja ciljeva učenja:



Kognitivno;
Afektivno;
Psihomotorno.
Kognitivno područje obuhvata ciljeve učenja povezane sa znanjem i mišljenjem. Afektivno
područje obuhvata ciljeve učenja povezane sa stavovima, interesovanjima i procjenjivanjem
vrijednosti. Psihomotorno područje obuhvata ciljeve učenja povezane sa manuelnim i motoričkim
vještinama.
Primjer.
- kognitivni cilj: učenik treba da zna šta je kvadrat;
- afektivni cilj: učenik treba da može da kontroliše rješenja zadataka u vezi sa kvadratom pomoću
promjena parametara koji se u njima pojavljuju;
- psihomotorni cilj: učenik treba da bude sposoban da vješto “skicira” kvardat, te da ga “preciznije
crta” korišćenjem šestara i trokuta.
Treba napomenuti da su ‘kognitivno’, ‘afektivno’ i ‘psihomotorno’ samo težišne tačke realnih
ciljeva, a da su oni, u stvarnosti, uvijek međusobno isprepletani. Svako područje ima osnovne
kategorije, koje su hijerarhijski uređene, od prostijih ka kompleksnijim.
6
Napominjemo čitaoce ovoga teksta da smo za poređenje uzeli Nastavni plan i program drugog razreda osnovne
škole Srbije iz razloga što je u Srbiji osmogodišnje obrazovanje.
7
Benjamin Bloom (12.02.1913 – 13.09.1999), američki psiholog i pedagog
8
Krajem XX vijeka (akademskoj zajednici saopštena 2001. godine) njegovi studenti Lorin Anderson i David
Krathwohl, napravili su reviziju taksonomije, (pogledati, na primjer, u THEORY INTO PRACTICE,
41(4)(2002), 212-218)
24
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
Kognitivno područje
Unutar kognitivnog područja Bloom razlikuje šest kategorija:
 Znanje,
 Razumijevanje,
 Primjena,
 Analiza,
 Sinteza,
 Evaluacija.
-
Sada ćemo ukratko predstaviti, šta Bloom podrazumijeva pod tim kategorijama:
"Znanje" znači poznavanje (prije svega u psihološkom smislu sposobnosti sjećanja) bilo kakvih
faktora ili procedura.
"Razumijevanje" znači sposobnost pravilnog primanja saopštene informacije, prenošenje u neki
drugi oblik i njenu interpretaciju ili uopštavanje.
"Primjena" znači sposobnost da se u odgovarajućim situacijama upotrebe opšta pravila i postupci.
"Analiza" znači sposobnost da se informacija rastavi na dijelove, tako da njihovi međusobni
odnosi tj. njihova organizacija bude jasna.
"Sinteza" znači sposobnost da se dijelovi sastave u jednu novu cjelinu.
"Evaluacija (Vrednovanje)" znači sposobnost da se daju mišljenja o vrijednosti materijala ili
metode.
Afektivno područje
Prvo treba napomenuti da su afektivni ciljevi neodvojivo povezani sa kognitivnim ciljevima, jer
je za svaki kognitivni cilj učenja potreban neki afektivni angažman (motivacija, spremnost na učenje).
Osim toga, što je zahtjevniji kognitivni cilj utoliko jači treba da bude afektivni angažman. Krathwohl,
Bloom, Masia (v. [12]) postavili su, polazeći od Bloomove kognitivne taksonomije, jednu taksonomiju
afektivnih ciljeva prema stepenu unutrašnjeg angažmana. Glavne kategorije su:





Primanje,
Reagovanje,
Usvajanje vrijednosne orijentacije,
Organizacija vrijednosnih orijentacija,
Primjena vrijednosnih orijentacija.
Lewy (v. [16]) je pokušao da prenese ovu opštu taksonomiju na matematiku, pa su, po njemu,
afektivni ciljevi nastave matematike:
-
Učenik treba da zna značaj matematike za naše društvo;
Učenik treba da cijeni matematiku kao disciplinu, koja, na poseban način razvija logičko mišljenje
i razmišljanje.
Lewy prema gornjim kategorijama daje odgovarajuće primjere ponašanja:
- Primanje: biti zainteresovan za upoznavanje logaritamskog računanja kao pojednostavljujuće
računske operacije;
- Reagovanje: često koristiti dijagrame radi prikaza sopstvenih razmišljanja;
- Usvajanje vrijednosne orijentacije: koristiti puno vremena za rješavanje nekog matematičkog
problema;
- Organizacija vrijednosnih orijentacija: razmišljati o ljepoti matematike
Psihomotorno područje
25
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
Psihomotorni ciljevi učenja (koji se odnose na kretanje) igraju u nastavi matematike relativno
podređenu ulogu (slično "slugi"). Ponekad ih ipak ne bi trebalo potcijeniti, pošto se u osnovnoj i
srednjoj školi radi o zadacima kao što su:












uredno pisanje brojeva, kasnije i razlomaka,
pregledno pisanje izraza i jednačina,
sređeno pisanje vertikalnih kolona brojeva u pisanim računskim operacijama.
korektno bilježenje prenosa,
koordinirano ritmičko pisanje i govor kod pisanih računskih operacija,
skiciranje (u obliku crteža) računskih operacija ("pite", dijagrami, brojevna osa),
slikoviti prikaz razlomaka uz pomoć dijelova četvorougla i kruga,
pregledno crtanje situacionih skica, crtanje i čitanje tabela i drugih dijagrama,
uredno crtanje lenjirom, šestarom i trouglom, ručno korišćenje uglomjera (danas uglavnom
geotrougao),
vladanje kretnjama za osnovne konstrukcije uz pomoć šestara, lenjira i geotrougla,
upotreba ručnog računara (digitrona),
izrada modela (npr. kocka, trostrana piramida).
Treba naglasiti da su psihomotorni ciljevi često usko povezani sa kognitivnim ciljevima, tj. da im
služe (npr. poznavanje računskih operacija, razumijevanje zadataka). Ovdje spada i povezanost sa
afektivnim ciljevima kao što su volja za tačnost, čistoću i urednost i kognitivni uvid u smisao i korist
toga.
Sigurno je važno, ponekad, pratiti psihomotorne ciljeve sa naročite tačke gledišta, ali jedva da se
isplati postavljanje sopstvene taksonomije za psihomotorne ciljeve nastave matematike. Možda može
biti podsticajno da se uzme u obzir opšta taksonomija Dave-a (v. [9]) u njenim glavnim kategorijama,
a u odnosu na to, koja se "perfekcija" želi postići. Dave prema stupnju koordinacije kretnji (u
slobodnom prevodu), razlikuje sljedeće glavne nivoe:
1.
2.
3.
4.
5.
Savladavanje,
Učvršćivanje,
Preciznost,
Harmonizacija,
Automatizacija
Na prvom nivou je bitno, da učenik, uopšte, savlada kretnje.
Na drugom nivou bi trebalo govoriti o tome da učenik može da izvede kretnje (ali još uvijek
kontrolisano).
Na trećem nivou učenik već sa izvjesnom tačnošću vlada kretnjama.
Na četvrtom nivou bi trebalo već da postoji dobra koordinacija sa drugim radnjama (npr.
upotreba različitih naprava za crtanje).
Na petom nivou su kretnje automatizovane: bez napora, brzo, nesvjesno.
Vjerovatno treba poći i od toga, da kod psihomotornih ciljeva posebnu ulogu igra imitaciono
učenje (posmatranje vještine i nastojanje da se ponovi).
2.2. Bloomova revidirana taksonomija
Taksonomija kognitivnih ciljeva koju je Benjamin Bloom kreirao 1950-ih, revidirao (preradio) je
Lorin Anderson (v. [2]) (bivši Bloom-ov student) 1990-ih. Imena šest glavnih kategorija su
izmijenjena, tako što su imenice zamijenjene glagolskim oblicima. Pošto se taksonomija odražava
različitim oblicima mišljenja a i samo mišljenje je aktivan proces, glagoli su u tom pogledu precizniji.
Takođe potrebno je istaći da ova nova proširena taksonomija može pomoći onima koji se bave
sastavljanjem nastavnih planova i programa kao i samim nastavnicima da pišu i revidiraju ishode
učenja. Novi pojmovi su definisani kao:
26
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.






J.Kartuma i Z.Marković
Pamtiti: vraćanje na prethodno, prepoznavanje i prizivanje relevantnih znanja iz dugoročne
memorije, npr. saznati, učiti pojmove, činjenice, metode, procedure, koncepte.
Razumjeti: izgradnja značenja iz usmenih, pismenih i grafičkih poruka putem interpretiranja,
pokazivanja, klasifikacije, sažimanja, izvođenja, upoređivanja i objašnjavanja. Pod
razumijevanjem podrazumijevamo upotrebu i obuhvatanje pojmova, činjenica, metoda,
procedura, koncepata.
Primijeniti: sprovođenje ili korišćenje procedure putem izvršavanja ili obuhvatanja. Iskoristiti,
primijeniti teoriju prakse, rješavati probleme, koristiti informacije u novim situacijama.
Analizirati: rastavljanje materijala na sastavne dijelove, određivanje kako se dijelovi odnose
jedni prema drugima i uopšte prema cjelini ili namjera kroz razlikovanje, organizovanje i
pripisivanje. Rastaviti koncepte, analizirati strukturu, prepoznati pretpostavke i lošu logiku,
procjenjivati relevantnost.
Vrednovati: procjenjivanje na osnovu kriterija i standarda kroz provjeru i kritiku. Postaviti
standarde, procjenjivati korišćene standarde, dokaze, prihvatiti ili odbaciti na osnovu kriterija.
Kreirati: sastavljanje elemenata da bi se formirala koherentna ili funkcionalna cjelina;
reorganizacija elemenata u novi obrazac ili strukturu putem generisanja, planiranja ili
proizvodnje. Sastaviti predmete; okupiti različite dijelove; napisati temu, planirati
eksperiment, sastaviti informacije na nov i kreativan način.
Stari model
Novi model
Bloomova revidirana taksonomija: matematika
Novi termini
Kreirati
(Udruživati ideje ili njihove elemente za razvoj
originalnih ideja ili ih uključivati u kreativno
razmišljanje).
Vrednovati
(Suditi o vrijednosti
ideja, materijala i
metoda razvijajući i primjenjujući standarde i
kriterije).
Radnje
izgradnja
planiranje
proizvodnja
izmišljanje
osmišljavanje
stvaranje
provjeravanje
provjera hipoteza
kritikovanje
eksperimentisanje
suđenje
ispitivanje
otkrivanje
monitoring
27
Aktivnosti učenja
Kreirati: (Generalizacija novih ideja,
produkata ili uopšteno načina posmatranja).
Kako bismo mogli odrediti broj novčića u
tegli a da ih ne prebrojimo? Primjenite i
integrišite nekoliko različitih strategija za
rješavanje matematičkog problema.
Dizajnirajte novi monetarni sistem ili
eksperiment za osnivanje ...
Projektovanje, građenje, planiranje,
proizvodnja, izmišljanje.
Napravite novi meni za zdravu hranu u
restoranu.
Vrednovati:(Suditi o vrijednosti proizvoda
za određenu namjenu, koristeći određene
kriterije). Razviti dokaz ... i opravdati svaki
korak ..., Korištenjem definicije smo ...
utvrdili ... Opravdati odluku ili tok akcije,
provjeravanje, provjeravanje hipoteza,
kritikovanje, eksperimentisanje, suđenje...
Koje biste kriterije koristili za procjenu da
li je vaš odgovor tačan? Pripremite popis
kriterija za suđenje ... Procijenite izraze.
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
Analizirati
Podjela informacije na najsitnije dijelove kako bi
se istražile veze
Primjeniti
(Upotreba strategija, pojmova, principa i teorija u
novim situacijama)
Razumjeti
(Razumijevanje datih informacija)
Zapamtiti
(Prisjećanje ili prepoznavanje posebnih
informacija)
J.Kartuma i Z.Marković
poređenje
organizovanje
dekonstrukcija
pripisivanje
ocrtavanje
strukturisanje
integrisanje
Analizirati: (Podijeliti informacije u
dijelove kako bi istražio i razumio odnose).
Za dati tekstualni matematički problem,
odabrati strategiju za rješavanje. Napišite
paragraf koji opisuje odnos ..., kako ... u
poređenju sa ...Poređenje, organizovanje,
dekonstrukcija, ispitivati, pronalaženje
Napravi istraživanje kako bi saznali ...
Grafikonom prikaži svoje rezultate.
Koristite Veneov dijagram kako bi pokazali
da li su dvije teme iste ili drugačije. Prevod
između vizualne reprezentacije, rečenice, i
simbolički zapis. Napravi predviđanje
zasnovano na eksperimentalnim ili
statističkim podacima.
obuhvatanje
provođenje
korištenje
izvršavanje
Primjeniti: (Koristiti podatke u konkretnim
situacijama). Izračunajte površinu datih
krugova. Koristite grafik kako bi ...,
odaberite i opišite najbolji način da se ...
Iskoristite podatke iz druge slične situacije,
sprovedi,
obavi,
iskoristi,
izvrši
Nacrtajte dijagram kojim se prikazuju dati
razlomci... Utvrditi mjere centralne
tendencije i disperzije. Napišite objašnjenje
o ovoj temi za druge.
Razumjeti: (Shvatiti značenje materijala).
Uvažavajući formulu za površinu kruga,
parafraziraj je pomoću svojih vlastitih
riječi. Odaberite grafikon koji ilustruje.
Objasni ideje ili koncepte, protumači,
sažimaj, parafraziraj, klasifikuj, objasni.
Nađi stavke koje možeš upotrebiti za prikaz
razlomka. Prepričaj ili napiši svojim
riječima ... Prijavi razredu ... Napiši kratak
izvještaj o slučaju.
Zapamtiti: (Prisjećanje prethodno naučenog
gradiva), formulu za površinu kruga.
Pravilo za ..., objasni i upotrebiti postupak
za ...
Prisjećanje informacija, prepoznavanje,
navođenje, opisivanje, vraćanje na
prethodno, imenovanje, pronalaženje,
lociranje.
Navedi razlomke koje poznaješ i možeš
pokazati. Navedi osobine tvog oblika.
Napravi mapu pojmova za svoju temu.
Napravi grafikon koji pokazuje ...
tumačenje
rezimiranje
parafraziranje
razvrstavanje
upoređivanje
objašnjavanje
prepoznavanje
nabrajanje
opisivanje
identifikovanje
preuzimanje
imenovanje
lociranje
pronalaženje
Budući da je svrha pisanja ishoda učenja jasno definisati šta instruktor/učitelj želi da njegov učenik
zna iz određenog sadržaja, korišćenjem ishoda učenja pomoći će se učenicima da bolje razumiju svrhu
svake aktivnosti pojašnjenjem samih učenikovih aktivnosti. Glagoli kao što su „znati“, „cijeniti“,
„usvojiti“ i „vrednovati“ ne daju baš najtačnije učinke koji se očekuju od učenika (Mager [18]).
Nejasni ishodi
Revidirani ishodi
Učenici će znati da opišu slučajeve kada im se javljaju
mentalne nejasnoće
Učenici će biti u mogućnosti da sagledaju sve
činjenice koje će im omogućiti da pojasne o kome tipu
mentalne nejasnoće se radi
Učenici će praviti razliku između relevantnih i
nerelevantnih brojeva u tekstualnom matematičkom
problemu
Učenici će prosuditi koji od dva ponuđena načina
rješavanja tekstualnog problema je više efikasniji
Učenici će razumjeti relevantne i irelevantne brojeve u
tekstualnom matematičkom problemu
Učenici će znati najbolji način da riješe neki tekstualni
problem
28
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
Devedesetih godina dvadesetog vijeka ne samo da je revidirana Bloomova taksonomija (kognitivno
područje), nego su revidirani i afektivno i psihomotorno područje ili bolje rečeno zamijenjeni sa
razvojem sposobnosti i vještina tj. socijalnim i socio-matematičkim normama. Tako da umjesto
afektivnog područja imamo razvoj sposobnosti i vještina, gdje se jasan naglasak stavlja na samu
razliku između sposobnosti odnosno vještine. Dok, kada govorimo o psihomotornom području,
ističemo da je ono zamijenjeno sa socijalnim i socio-matematičkim normama.
Kako bi što preciznije dočarali razvoj sposobnosti i vještina moramo najprije razlikovati ove
pojmove. Matematička sposobnost je mogućnost da se razvije i primijeni matematičko mišljenje da bi
se riješio niz problema u svakodnevnim životnim situacijama. Matematička sposobnost je izgrađena
na poznavanju numeracije sa naglaskom na sam proces ali i aktivnost, kao i na samo znanje. Ona
uključuje različite stepene, sposobnosti i voljnosti da se upotrebe matematički načini razmišljanja
(logičko i prostorno mišljenje) i prezentovanje (formula, modela, grafika, konstrukcija, grafikona).
Osnovno znanje, vještine i stavovi koji se odnose na matematičku sposobnost.
Neophodno znanje u matematici podrazumijeva poznavanje numerike, mjerenje i strukture,
osnovne operacije, osnovne matematičke prezentacije, razumijevanje matematičkih termina i pojmova,
kao i samu svjesnost o pitanjima koja matematici mogu ponuditi odgovore. Pojedinac može razviti
vještinu da primijeni osnovne matematičke principe i procese u svakodnevnom životnom kontekstu
kod kuće ili na poslu, kao i da procjenjuje same argumente. Takođe, trebalo bi da rezonuje
matematički, razumije matematički dokaz i komunicira na matematičkom jeziku, te da upotrebljava
odgovarajuće ciljeve. Pozitivan stav u matematici zasnovan je na poštovanju istine i voljnosti da se
traže razlozi i procjenjuje njihova valjanost.
2.3. SOLO taksonomija
(Structure of Observed Learning Outcomes - Struktura posmatranih ishoda učenja)
Džon B. Biggs i K. Kolins (v. [5]) kreirali su SOLO taksonomiju za procjenu kvaliteta ishoda
učenja, koja je zasnovana na sveobuhvatnoj procjeni nivoa razumijevanja.
Po SOLO taksonomiji, znanje se stiče nivoima:
1. Prestrukturalni nivo: gomilanje nepovezanih informacija; učenik nije pristupio zadatku na
odgovarajući način i treba pomoć da počne.
2. Jednostrukturalni nivo: stvaranje očiglednih i jednostavnih veza među informacijama; učenik
navodi samo prvi (ne uvijek i bitan) aspekt koga se sjeti.
3. Višestrukturalni nivo: stvaraju se višestruke veze bez uočavanja obrazaca i cjeline; učenik
upoznat sa mnogim aspektima, ali još uvijek nije u stanju da ih poveže i tumači pravilno.
4. Relacioni nivo: uočavanje odnosa dijelova i cjeline, integracija informacija u modele. Učenik
uspijeva sagledati dijelove i pojedine informacije u odnosu na cjelinu, uspijeva povezati, analizirati,
uporediti i primijeniti znanje. Ovaj nivo je ono što se obično podrazumijeva pod adekvatnim
razumijevanjem neke teme.
5. Prošireni (Generalizovani) apstraktni nivo: mogućnost generalizacije i prenosa principa u
druga područja.
2.4. Teorija Van Hiele-ovih9 o geometrijskom mišljenju
Holanđanin Pierre van Hiele (v. [32]) i njegova žena, Dina van Hiele-Geldof (v. [33]) nastojali su
da u svojim teorijama objasne zašto veliki broj učenika ima probleme sa učenjem geometrije. Osnovna
9
Većina ovoga teksta biće upotrebljena u formiranju master rada: Marković, Z. (2013): Problemi u nastavi
geometrije prilikom usvajanja osnovnih geometrijskih pojmova u nižim razredima osnovne škole, Pedagoški
fakultet Bijeljina, 2013.
29
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
razlika u njihovim izlaganjima bila je u tome što je Pierre uglavnom nastojao da otkrije razloge zašto
učenici postižu loš uspjeh u učenju geometrije, dok je Dina pokušavala da dođe do nekih konkretnih
metoda u nastavi koje bi omogućile prevazilaženje tih problema. U teoriji van Hieleovih (ili modelu
van Hieleovih) postoji pet nivoa razumijevanja geometrijskih koncepata. Svaki od ovih nivoa opisuje
procese mišljenja u geometrijskom kontekstu. Zapravo, nivoi opisuju kako pojedinac misli i o kojim
vrstama geometrijskih ideja razmišlja. Na svakom narednom nivou, usvajaju se nova znanja. Da bi se
dostigao bilo koji nivo iznad nivo 0 pojedinac mora proći kroz sve prethodne. Da bi prošao kroz bilo
koji nivo pojedinac mora prilagoditi svoje mišljenje tom nivou i stvoriti vlastito geometrijsko
mišljenje o objektima i njihovim vezama kako bi se usredsredio na mišljenje na sljedećem nivou.
Pored ovoga oni su smatrali da životno doba ne utiče na prelaženje na sljedeći nivo i kao u prilog tome
ističu da postoje ljudi koji su tokom svog cijelog života ostali na nivou 0 odnosno nivou vizuelizacije.
Nivo 0: Vizuelizacija.
Učenici prepoznaju i imenuju figure zasnovano na globalnim, vizuelnim karakteristikama
figure. Učeničke operacije na ovome nivou su da mjere ili čak razgovaraju o svojstvima oblika, ali o
njihovim svojstvima ne razmišljaju sa velikom tačnošću. Na osnovu izgleda oblika daju definicije.
Npr. Kvadrat je kvadrat ”zato što liči na kvadrat”. Međutim, ako rotiramo kvadrat za 45 stepeni tada se
može desiti da učenik na nivou vizuelizaciji taj objekat više ne smatra kvadratom. Učenici na ovm
nivou u stanju su da odvoje i razvrstaju oblike na osnovu njihovog izgleda tj. sličnosti. Npr. “Stavio
sam ove objekte zajedno zato što liče jedan drugom”.
Nivo 1: Analiziranje.
Učenici na ovome nivou su u mogućnosti da razmatraju sve oblike unutar klase, a ne samo
individualno. Umjesto razgovaranja o pravougaoniku, razgovara se o svim pravougaonicima.
Usredsređuje se na vrstu oblika učenici misle o tome šta čini sve pravougaonike (četiri strane, po dvije
suprotne strane paralelne, po dvije suprotne strane jednake, četiri prava ugla, itd.). Nebitne činjenice
kao npr. orijentacija, smjer padaju u drugi plan. Na ovom nivou učenici polako počinju da shvataju da
se oblici svrstavaju na osnovu njihovih svojstava. Ideja o individualnom obliku, sada može biti
generalizovana unutar cijele klase. Učenici mogu da nabroje sva svojstva kvadrata, pravougaonika i
paralelograma, ali nisu u mogućnosti da vide podklase, npr. da svi pravougaonici i kvadrati su
paralelogrami. Kada govore o definiciji nekog objekta onda su skloni da nabrajaju mnoga svojstva
toga objekta koga poznaju.
Nivo 2: Informalna dedukcija.
Učenici počinju da misle o svojstvima geometrijskih objekata bez ograničenja određenog objekta,
oni su u mogućnosti da razviju veze među ovim svojstvima. Npr. znaju da je dovoljno da četvorougao,
koji ima sve stranice jednake, ima jedan prav ugao, da bi bio kvadrat.
Nivo 3: Dedukcija.
Učenici su u stanju da izvode dokaze srednjoškolskog nivoa, izvode zaključke iz prethodno
poznatih tvrdnji, razumiju definicije i aksiome, i shvataju značenje potrebnog i dovoljnog uslova.
Nivo 4: Nivo strogosti.
Na ovom nivou, stariji učenici ili mlađi studenti su u mogućnosti da razumiju konzistentnost,
nezavisnost i kompletnost aksiomatskog sistema, i da porede matematičke sisteme. Mogu da razumiju
indirektno dokazivanje, dokazivanje putem kontrapozicije, te da razumiju geometrijske sisteme koji
nisu Euklidski (kao što je na primjer, sistem geometrije Lobačevskog kod koje su geometrijski likovi
smješteni na sferu, a ne u ravan - kao kod Euklidske geometrije).
Kao što postoji pet nivoa mišljenja, van Hieleovi ističu i pet faza sa odgovarajućim postupcima
koji bi mogli učenicima pomoći u savladavanju datih nivoa.
To su faze:
-
informisanja: U ovoj fazi učenici se upoznaju sa materijalom. Kroz diskusiju, nastavnik uviđa šta
su učenici do sada naučili o određenoj temi i upoznaje ih sa temom;
30
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
-
-
-
J.Kartuma i Z.Marković
usmjerenog vođenja: Učenicima se daje da nešto prave, mjere ili da obavljaju slične vrste poslova,
koji će im omogućiti da kroz njih otkriju odnose, koji im do tada nisu bili poznati, ili su bili
nedovoljno jasni;
objašnjavanja: Učenici pokušavaju svojim riječima, prirodnim jezikom, objasniti ono do čega su
došli kroz prethodni rad, a nakon toga, nastavnik ih upućuje na termine koji se upotrebljavaju u
matematici da to opišu;
slobodnog usmjeravanja: Ovo je faza u kojoj se primjenjuju dotadašnja znanja za rješavanje
konkretnih problema;
integrisanja: U ovoj fazi se objedinjavaju prethodno stečena znanja, i te obrađene informacije
pamte.
Svaki nivo mišljenja, osim što ima posebnu interpretaciju istog pojma, ima i poseban jezik.
Nastavnik posebno mora da vodi računa o tome da upotrebljava riječi koje pripadaju jeziku koji
odgovara nivou mišljenja učenika, jer ga, u suprotnom, oni neće razumjeti. Pošto ne razumiju ono što
im se predaje učenici će pokušati da nauče napamet gradivo. Međutim, kao i sve što se uči napamet i
bez i kakvog razumijevanja, biće vrlo brzo zaboravljeno, a i učenici neće biti u stanju da primjenjuju
ono što su naučili.
2.5. Elementi aritmetičkog i rano-algebarskog mišljenja
Aritmetika predstavlja granu matematike koja se bavi proučavanjem računskih operacija sa
brojevima. Nastala je iz grčke riječi arithmetike koja se sastoji iz dvije riječi arithmos, što u prevodu
znači broj, i techne što znači umijeće. Aritmetika obuhvata sljedeće radnje: sabiranje, oduzimanje,
množenje i dijeljenje, kvadriranje i korjenovanje. S druge strane, algebra predstavlja skup različitih ali
međusobno povezanih pojmova u matematici i kao jedna od osnovnih matematičkih grana izučava
takozvane algebarske strukture. Skup opštih i posebnih brojeva koji su međusobno povezani
aritmetičkim radnjama sabiranjem, oduzimanjem, množenjem, dijeljenjem, stepenovanjem,
korjenovanjem naziva se algebarski izraz. Dakle, pod algebrom u nižim razredima smatramo izraze
koji se bave računanjem uz koje su pored brojeva uključene i nepoznate (promjenjive) x, y, z uz
osnovne aritmetičke operacije. Ukazujemo i na rad Uri Lerona (v. [15]) “Porijeklo matematičkog
mišljenja” (Origin of mathematical thinking) iz 1999. godine, u kojem se navodi da postoje
mnogobrojni eksperimenti sa životinjama (lavovi, šimpanze, pacovi, svinje, ...) koji pokazuju da neke
životinje imaju smisao za brojeve. U istom radu se navodi i tvrdnja uzeta iz Lakoff & Nunez (v. [14]):
-
Sa tri ili četiri dana, beba pravi razliku između dva ili tri predmeta.
Sa četiri i po mjeseca beba „može reći“ da je 1+1=2 i 2-1=1.
Ove sposobnosti nisu ograničene vizuelnim redom. Bebe mogu razlikovati broj zvukova. Od
tri do četiri dana, beba može praviti razliku između dva ili tri brojna sloga.
Od oko 7 mjeseci, bebe mogu prepoznati brojnu jednakost između reda objekata i lupanja bubnja
istog broja.
Sve nas ovo navodi da zaključimo da su aritmetičke sposobnosti urođene, odnosno da se bebe
rađaju sa znanjem da je 1+1=2. Posmatrano kroz istoriju, ali i kroz samo obrazovanje učenika algebra
izrasta iz aritmetike. Ali izvjesno je da postoje izvjesne poteškoće koje učenici treba da prevaziđu kada
već usvojene prilaze rješavanju aritmetičkih problema obogaćuju novim metodama koje su otvorene
algebrom. Ove poteškoće se prvi put pojavljuju kada učenici pokušavaju kreirati algebarsku jednačinu
kojom bi trebalo da predstave problem koji rješavaju. Prema dostupnoj literaturi Bednarz, Radford,
Janvier and Lepage (v. [4]), Ceballos and Maximo (v. [6]), Tall (v. [29]), na algebru se može gledati,
kao na jedan apstraktan sistem u kojem se reflektuju aritmetičke strukture (Cooper, Williams and
Baturo, [8]) ili na jedan sistem koordinatizacije po Weyl (v. [35]) – Šafarevičevom [28] (Шафаревич)
konceptu. Strukture o kojima je riječ mogu biti apstraktne šeme (Ohlsson, [19]) ili strukturne
koncepcije (Sfard, [26]) aritmetičkih operacija jednakosti i operacionih pravila kombinovanih sa
algebarskim pojmom varijable (Cooper, Boulton-Lewis, Atweh, Wills and Mutch, [7]). Algebra ne
operiše na istom nivou kao aritmetika: dok je aritmetika ograničena brojevima i numeričkim
izračunavanjima, u algebru je involvirano pisanje simbola i razumijevanje operacija. Osnovni
31
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
zahtjev u algebri je razumijevanje da oznaka jednakosti ukazuje na ekvivalenciju, te da informacije
mogu biti procesuirane bilo kojim uputstvima (Linchevski [17]).
Yerushalmy i Schwartz (v. [25] i [30]) podržavaju stav da je pojam funkcije jedan od
fundamentalnih subjekata algebre i da taj pojam treba da bude prisutan u svakom predstavljanju pri
podučavanju i učenju algebre od samih početaka involviranja algebre u aritmetičke strukture. U
svom čuvenom tekstu „Šta je to algebarsko mišljenje“ (Just what is Algebraic Thinking?) iz 1998.
godine, Shelley Kriegler (v. [13]) iznosi stav da je algebarsko mišljenje organizovano u dvije glavne
komponente:
- razvoj sredstava matematičkog mišljenja i
- sagledavanje fundamentalnih algebarskih ideja.
Jačanje matematičkih kompetencija u području algebre moguće je uz znatnu usklađenost i
sudjelovanje u savladavanju znatnog broja algebarskih ideja, uz snažno ispoljavanje alata
matematičkog mišljenja.
Sredstva matematičkog mišljenja, ovdje, u ovom tekstu, su organizovana u tri opšte kategorije:
1. vještine rješavanja problema/ zadataka;
2. vještine predstavljanja;
3. vještine rezonovanja.
Ovdje iznesene deskripcije daju opise ovih analitičkih procesa unutar matematičkog konteksta.
Međutim, važno je istaći da se alati mišljenja koriste u mnogim drugim područjima.
Suština rješavanja problema je u tome da se zna šta treba da se uradi kad se ne zna šta treba
uraditi. Učenici, koji raspolažu sa bar jednim strateškim kompletom alata za rješavanje problema
(tj. sistemom: naslućivanja i nagađanja mogućeg rješenja, te provjeravanjem naslućenog, pravljenje
liste povoljnih, mogućih rješenja, provjeravanje, pravljenje i provjeravanje kontrapozicija, korišćenje
modela, rješavanje jednostavih primjera, i slično), su u boljoj poziciji da pristupe sagledavanju
problema, da formiraju neku strategiju ’napada’ na problem, te da razumiju šta treba da rade.
Matematičke srodstvene veze između matematičkih objekata mogu biti prikazane (mogu se
uočavati) u mnogo formi uključujući vidljivo (tj. dijagrame, slike ili grafove), numeričko (tj. talele,
listinge), simbolično i verbalno. Često, dobro matematičko objašnjenje uključuje istovremeno više
ovih reprezentacija jer svaka od njih doprinosi, na svoj sopstven način, razumijevanju prezentiranih
ideja. Sposobnost kreiranja, tumačenja, te prelaženja sa jedne na drugu reprezentaciju (te njihovo
međusobno upoređivanje i komplementiranje) daje učenicima moćne alate matematičkog mišljenja.
Konačno, sposobnosti mišljenja, rezonovanja i izvođenja zaključaka su fundamentalne u
matematičkoj
uspješnosti. Induktivno zaključivanje uključuje ispitivanje posebnog slučaja,
identifikaciju šablona i veza u tom slučaju, te ekstenziju uočenih šablona i konekcije među
elementima posmatrane strukture. Deduktivno zaključivanje uključuje izvođenje zaključaka iz
ispitivane problemske strukture. Iako često međusobno nerazdvojena u logičnom matematičkom
rezonovanju, korisna su oba ova tipa zaključivanja.
Pod algebarskim idejama podrazumijevamo identifikaciju namjera da u konkretnim i/ili dobro
poznatim kontekstima, iznesemo neke stavove koji mogu pomoći učenicima da dublje i
fundamentalnije sagledaju stroge konceptualne osnove algebre, u svom kasnijem bavljenju
matematikom. U tom cilju, algebarske ideje se mogu prepoznati kroz sljedeća tri vida:
- algebra kao apstrakcija aritmetike,
- algebra kao jedan jezik i
- algebra kao alat za studij funkcija i matematičkog modeliranja.
Algebra se ponekad prepoznaje kao generalizacija ili apstrakcija aritmetike. Pod tim
podrazumijevamo ispitivanje, u prvom osnovnoškolskom ciklusu, osobina kako smisla brojeva tako i
smisla operacija između njih budući da smatramo da snažan razvoj aritmetičkog mišljenja kod učenika
u tim godinama može biti solidna osnova ne samo za pojavu već i dalji razvoj algebarskog mišljenja.
Na primjer, djeca koja imaju iskustva u istraživanjima konteksta u kojima su neki objekti međusobno
multiplikativno vezani, lakše će razvijati iskorištavanje svojih vještina proporcionog zaključivanja u
algebarskim kontekstima.
Algebra je jezik matematike: Razumijevanje ovog jezika uključuje razumijevanje koncepta
varijabli, i onog što varijable predstavljaju kao i značenja rješenja. On uključuje svojstva korišćenja
32
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
osobina brojnih sistema. On zahtijeva postojanje sposobnosti čitanja, pisanja i manipulisanja kako
brojevima tako i pojmovima koje predstavljaju simboli u formulama, ekspresijama, jednačinama i
nejednačinama.
Na kraju, na algebru se često gleda kao na alat za analizu /studiranje funkcija i matematičkog
modeliranja. Traganje za prikazivanjem i generalizacijom šema i pravila u kontekstu realnog svijeta,
reprezentacija matematičkih ideja korišćenjem jednačina, tabela i/ili grafova; rad sa ’input and output’
šemama, razvoj vještina koordinatizacije grafova i matematičkih procesa i procedura izgrađuju
algebarske vještine. Funkcije i matematičko modeliranje predstavljaju forum za aplikaciju
algebarskih ideja.
Prema instrukcijama Evropske asocijacije za istraživanje matematičkog obrazovanja ’ERME’
Rososhek (v. [23]), Ainley, Bills and Wilson (v. [1]) Specht (v. [27]), Drouhard ([10]) i
Internacionalne grupe za istraživanje psihologije matematičkog obrazovanja ’PME’, Bednarz,
Radford, Janvier and Lepage (v. [4]), Cooper, Boulton-Lewis, Atweh, Wills and Mutch (v. [7]),
Redford (v. [21]), Ceballos and Maximo (v. [6]), sljedeći bazni elementi algebarskog znanja bi trebalo
da su poželjni ishodi školskog sistema:
-
Algebarska simbolika - kao jedan univerzalni jezik za opisivanje realiteta;
Algebarske operacije u kontekstima svih njihovih elementarnih osobina;
Algebarske strukture - kao posebne forme kodiranja informacija i
Algebarski semantički pojmovi - kao što su premise za realizaciju posebnih aspekata
realnosti.
3. CILJEVI NASTAVNOG PROGRAMA
Kada uporedimo sve navedene nastavne programe matematike za treći razred osnovne škole,
možemo konstatovati jednu zajedničku osobinu: obrađuju sljedeće tri matematičke oblasti - aritmetika,
rana algebra i geometrija. Posmatrano iz drugog ugla ovi nastavni programi razlikuju se u
postavljenim nastavnim ciljevima. Tako, na primjer, nastavni program matematike za treći razred
osnovne škole u RS-u uopšte nema ciljeva nastave, dok su, na primjer, u nastavnim programima
matematike Crne Gore (treći razred) i Srbije (drugi razred) nastavni ciljevi dosta uopšteno iskazani.
U nastavnom programu matematike za drugi razred Republike Hrvatske situacija je drugačija s
obzirom na samu koncepciju hrvatskog nacionalnog okvirnog kurikuluma. U tome, jedno od
obrazovnih (tj. kurikulumskih) područja obuhvata matematičko područje. U okviru tog matematičkog
područja dati su opšti ciljevi bez bilo kakvog svrstavanja na kognitivnu, afektivnu i motoričku oblast10.
Bitno je istaći da nastava matematike počinje odnosno ima korijene u postavljenim ciljevima.
Spomenućemo samo neke. Na primjer:



razvoj pozitivnog stava prema matematici, trajno kreativno zanimanje za nju i postizanje
uspjeha u matematičkim aktivnostima;
razvoj samopouzdanja u vlastite matematičke sposobnosti, svijesti o njihovim granicama i
razvoj odgovornosti za vlastiti uspjeh i napredak u učenju matematike;
razumijevanje važnosti doprinosa matematike razvoju različitih civilizacija, kultura i
savremenog demokratskog društva ...
U nastavnom programu matematike za treći razred osnovne škole u Federaciji BiH nastavni
ciljevi su jasno navedeni prema Bloomovoj taksonomiji iz pedesetih godina dvadesetog vijeka:
kognitivni (obrazovni) ciljevi,
ciljevi vezani za razvijanje sposobnosti i vješina, i
ciljevi vezani za razvijanje pozitivnih vrijednosti i stavova (tzv. razvoj i usvajanje društveno
prihvatljih socijalnih i socio-matematičkih normi).
U nastavku navodimo nekoliko primjera ciljeva nastave matematike za treći razred:
I.
10
Kognitivni ciljevi (Sticanje znanja):
U skladu sa tradicionalnim pristupom ciljevima nastave matematike unutar Bloomove taksonomije.
33
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.





II.
III.
J.Kartuma i Z.Marković
Upotreba simbola;
Predstavljanje prirodnih brojeva do 100 na brojevnom pravcu;
Povezivanje broja i skupa;
Formiranje brojnog niza do 100;
Crtanje i označavanje osnovnih geometrijskih figura (pravac, polupravac, duž ...) i dr.
Razvijanje sposobnosti i vještina:
 logičkog i kritičkog mišljenja;
 sposobnosti kritičkog vrednovanja vlastitih rezultata i njihovo poređenje sa rezultatima
drugih;
 sposobnosti predviđanja, mjerenja, upoređivanja i procjenjivanja...
Razvijanje pozitivnih vrijednosti i stavova:
 prema sebi samome;
 prema drugima;
 prema okolini;
 prema učenju.
Ističemo da nijedan od pomenutih nastavnih planova i programa nije zasnovan na revidiranoj
Bloomovoj taksonomiji, niti socijalnim i socio-matematičkim normama, kao i da nema jasne granice
između sposobnosti i vještina kada govorimo o razvoju sposobnosti i vještina. Sve ovo opet upućuje
na manjkavosti ovih planova i programa koje se ogledaju u tome da se nisu pratile promjene u oblasti
taksonomije vaspitno-obrazovnih ciljeva tokom posljednje decenije dvadesetog vijeka. S tim u vezi
potrebno je uraditi reviziju svih navedenih nastavnih planova i programa.
4. KOMPARATIVNA ANALIZA ZASTUPLJENOSTI MATEMATIČKIH OBLASTI
Analizirajmo sada zastupljenost matematičkih oblasti u programu matematike za treći razred
osnovne škole. Za tu analizu, program izložen u MEP projektu11 će nam biti etalon za upoređivanje. U
rezultatima ovog projekta se daju ne samo precizna uputstva kako bi trebalo da se realizuje nastavni
proces matematike već i neophodan nastavni materijal za tu realizaciju. Primjetno je da u nastavnom
planu i programu Republike Crne Gore ovakvih konkretnih aktivnosti nema, dok u nastavnom planu i
programu Republike Srpske su date smjernice za nastavnika, a u ostalim navedenim nastavnim
planovima i programima, Republike Hrvatske, Republike Srbije, i Federacije BiH prisutne su i
sugestije aktivnosti za nastavnike i učenike.
Tabela 1. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za drugi razred u
MEP-projektu
Nastavna oblast MEP
Aritmetika
Algebra
Geometrija
Mjerenje
Rukovanje podacima
Ponavljanje i vježbanje
Opterećenje
70
34
20
15
1
35
175
Procenat
40.00%
19.43%
11.43%
8.57%
0.57%
20.00%
Tabela 2. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za drugi razred u
Republici Srbiji
11
Napominjemo čitaoce da iz MEP projekta koristimo program za drugi razred iz razloga što odgovara sadržaju
trećeg razreda.
34
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
Nastavna oblast
R.Srbija
Prirodni brojevi
do 100
Geometrijski
oblici
Mjerenje
Ukupno
J.Kartuma i Z.Marković
Obrada
Evaluacija i
samoevaluacija
Ukupno
Procenat
55
Vježbanje,
Utvrđivanje,
Ponavljanje
82
8
145
80.56%
9
14
2
25
13.89%
3
67
6
102
1
11
10
180
5.56%
Tabela 3. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred u
Republici Srpskoj
Nastavna oblast R.Srpska
Aritmetika+ Algebra
Geometrijske figure
Mjere i mjerenje
Opterećenje
156
11
13
180
Procenat
86.67%
6.11%
7.22%
Tabela 4. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred u
Republici Crnoj Gori
Nastavna oblast R. Crnoj Gori
Aritmetika + Algebra
Geometrija
Mjerenje
Rukovanje podacima
Rezerva
Opterećenje
85
15
8
12
16
136
Procenat
62.5%
11.03%
5.88%
8.82%
11.76%
Tabela 5. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred u
Federaciji BiH
Nastavna oblast F BiH
Aritmetika + Algebra
Geometrija
Mjerenje, upoređivanje i
procjenjivanje
Opterećenje
/
/
/
Procenat
/
/
/
105
Tabela 6. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred
Republike Hrvatske
Nastavna oblast R. Hrvatska
Aritmetika + Algebra
Geometrija
Drugi sadržaji
Opterećenje
90
25
5
120 raspoređenih + 16
neraspoređenih časova
35
Procenat
75%
20. 83%
4. 17%
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
Iz tabela vidimo da je približno isti godišnji fond časova matematike za treći razred u nastavnim
planovima i programima, RS (180), Srbije (180) i MEP projektu (175) dok je za 44 časa manji u
Hrvatskoj (136)12, a za 75 časova manji u Federaciji BiH (105). Sedmični fond časova matematike u
Hrvatskoj iznosi četiri časa sedmično, a u Federaciji samo tri, dok u ostalim nastavnim planovima i
programima je zastupljeno pet časova matematike sedmično. Iz navedenih tabela možemo primijetiti
da se u MEP projektu pravi jasna razlika između broja časova za svaku matematičku oblast, dakle
tačno se zna koliki je fond časova za aritmetiku, algebru, geometriju i slično. Dok u nastavnim
planovima i programima RS, Srbije, Crne Gore, Hrvatske nije baš najpreciznije definisan fond časova,
šta više u nastavnom planu i programu Federacije BiH nema nikakvog fonda časova za bilo koju
matematičku oblast. S druge strane, u većini navedenih nastavnih planova i programa aritmetika i
algebra su predstavljene zajedno, te čine nerazdvojnu cjelinu.. Tako, na primjer, u Crnoj Gori ukupan
broj časova za aritmetiku i algebru zajedno iznosi 138, u RS 156, u Srbiji 145, dok u Hrvatskoj 90
časova uz napomenu da 16 časova ostaje neraspoređeno od ukupnog godišnjeg broja časova. Iz ovoga
možemo zaključiti da su u trećem razredu aritmetički i algebarski sadržaji najviše zastupljeni,
međutim kada bolje pogledamo u njihovu strukturu vidimo dominaciju aritmetike. Dakle, aritmetika je
nesrazmjerno najviše zastupljena u svim nastavnim planovima i programima, što i nije baš toliko
karakteristično za MEP projekat. Dakle, primjetno je da nisu baš najbolje precizirani sadržaji učenje
prvenstveno u pogledu algebre i aritmetike, kao ni sam fond časova prema ovim oblastima.
5. OČEKIVANI ISHODI I AKTIVNOSTI U NASTAVNOM PROGRAMU
Ishodi učenja su jasno iskazane tvrdnje napisane od strane učitelja o tome što se od učenika
očekuje da zna, razumije i/ili da je sposoban pokazati nakon završetka procesa učenja. Dakle, oni
predstavljaju operacionalizaciju kompetencija pomoću aktivnosti koje su mjerljive i vidljive13.
Očekivani ishodi učenja pomažu učenicima da shvate što se od njih očekuje i olakšaju proces učenja, a
nastavnicima da tačno definišu činjenična znanja, vještine i stavove koje bi učenici morali posjedovati
na kraju određenog razdoblja učenja. Ostvareni ishodi učenja su informacija roditeljima, učenicima i
široj društvenoj zajednici o kompetencijama mladih stečenim tokom školovanja na osnovu koje se
procjenjuje kvalitet vaspitno – obrazovnog rada. Dok ishodi učenja pokazuju koji je dio opisanih
kompetencija učenik stekao, ocjenjivanje je način kojim se vrednuje kvalitet stečenih kompetencija.
Uz ishode učenja moraju postojati prikladni kriteriji procjene koji se mogu koristiti za određivanje da
li su očekivani ishodi zadovoljeni ili ne.
12
Narodne novine Republike Hrvatske, Godište CLXVIII, broj 102 od 15. rujna 2006. stranica 6722
Tuning pojmovnik, 2007. – Vlasta Vizek Vidović: Ishodi učenja u obrazovanju učitelja i nastavnika –
konceptualni okvir, Zagreb 2008.
13
36
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
Procjenu čini cjelokupni spektar pisanih, usmenih i praktičnih testova, ispitivanja, koji se koriste
kako bi se ocijenio napredak učenika u predmetu. Vrednovanje ishoda nastave započinje određivanjem
ciljeva nastave, odnosno izradom kurikuluma.
Metode procjene:
- usmeno ispitivanje,
- testovi znanja,
- nizovi zadataka objektivnog tipa,
- mjere učinka u zadatoj aktivnosti,
- samoprocjena,
- procjena vršnjaka,
- kontinuirano praćenje rada – učenička mapa - „portfolio” u koju se prikupljaju radovi tokom
dužeg vremenskog perioda (praćenje individualnog napretka).
U nastavnom programu RS iz matematike za 3. razred, kao i u nastavnim programima, Federacije
BiH, Crne Gore i Hrvatske predstavljeni su očekivani ishodi učenja, ali samo uopšteno za nastavne
teme (područja učenja). Očekivani ishodi spominju se u svim nastavnim planovima i programima
(doduše u Hrvatskoj su to standardi znanja, minimalni i osnovni, dok se u Federaciji prave razlike
između ishoda u područjima učenja tj. u području znanja, području razvoja sposobnosti i vještina
odnosno u području vrijednosti i stavova, uz kasnije nešto složeniju konkretizaciju po svim
sadržajima) osim u nastavnom planu i programu Republike Srbije.
Tabela 7. Neki od navedenih očekivanih ishoda u nastavnim planovima i programima RS, Federacije
BiH, Republike Crne Gore, Republike Hrvatske.
Republika Srpska
Federacija BiH
Učеnik ćе biti spоsоbаn:
•čitаti, zаpisivаti i upоrеđivаti
brојеvе dо 100; prvi slјеdbеnik i
prvi prеthоdnik brоја,
•rјеšаvаti јеdnоstаvniје zаdаtkе sа
јеdnаčinаmа i nејеdnаčinаmа,
•оvlаdаti rаčunskim оpеrаciјаmа
sаbirаnjа i оduzmаnjа prirоdnih
brојеvа dо 100,
•usvојiti оsоbinе kоmutаtivnоsti i
аsоciјаtivnоsti sаbirаnjа,
•upоznаti zаvisnоst zbirа i rаzlikе
оd prоmјеnе јеdnе kоmpоnеntе,
•uоčiti svојstvа nulе kао sаbirkа i
umаnjiоcа,
•оvlаdаti pоtrеbnоm
tеrminоlоgiјоm i mаtеmаtičkim
јеzikоm nеоphоdnim zа prаvilnо
zаpisivаnjе оdgоvаrајućih izrаzа i
rеlаciја
•rјеšаvаti tеkstuаlnе zаdаtkе i
zаpisivаti ih оdgоvаrајućim
izrаzоm ili rеlаciјоm,
•rјеšаvаti zаdаtkе sа јеdnоm i
dviје оpеrаciје.
•sаvlаdаti mnоžеnjе i diјеlјеnjе
dо 100,
•shvаtiti mnоžеnjе kао sаbirаnjе
јеdnаkih sаbirаkа, upоznаti i
kоristiti tеrminе i znаk mnоžеnjа,
•upоznаti оpеrаciјu diјеlјеnjа,
kоristiti tеrminе i znаk diјеlјеnjа,
•uоčiti i stеći оdrеđеnе sprеtnоsti
u crtаnju prаvе i duži, kао i rаznih
krivih i izlоmlјеnih liniја
•uоčiti i crtаti prаvоugаоnik i
kvаdrаt nа kvаdrаtnој mrеži,
Učenici bi trebali znati:
a) područje znanja.
- Koristiti matematički
jezik i simbole za
osnovne matematičke
operacije u skupu
brojeva do 100;
- Rješavati složenije
tekstualne zadatke;
- Uočiti vezu i redoslijed
između
osnovnih računskih
operacija i
provjerava jedne
operaciju s pomoću
druge;
- Mjeriti, upoređivati i
procjenjivati s
pomoću jedinica za
dužinu, masu,
vrijemе...
b) područje razvoja
sposobnosti i vještina.
-Da uz pomoć nastavnika
procjenjuje, upoređuje,i u
jednostavnim situacijama
donosi zaključke.
- Koristi kreativnost i
maštu za rješavanje
njima primjerenih
problema.
- Koristi jednostavan
matematički jezik za
saopštavanje ideja.
c) područje vrijednosti i
stavova
-Pokazuju više
37
R. Crna Gora
- Čitа, pišе i upоrеđuје
brојеvе оd 0 dо 1000
-Prikаzuје brојеvе
pоmоću tаčаkа nа
prаvој i upоtrеblјаvа
znаkоvе јеdnаkоsti i
nејеdnаkоsti
-Čitа i pišе rimskе
brојеvе
-Znа dа sаbirа i
оduzimа dо 1000
-Znа dа mnоži i dеli sа
оstаtkоm dо 1000
(trоcifrеni brој dеli
јеdnоcifrеnim ili sа
dеsеt)
-Znа оsоbinе rаčunskih
оpеrаciја, priоritеt
оpеrаciја i upоtrеbu
zаgrаdа
-Umе dа slikоvitо
prikаžе, upоrеdi i zаpišе
rаzlоmаk kао dео
cеlinе, i dа izrаčunа
јеdаn njеn dео
-Rаzumе i znа dа rеšаvа
tеkstuаlnе zаdаtkе kојi
sе svоdе nа оsnоvnе
rаčunskе rаdnjе i pri
tоmе umе dа kоristi
slоvа zа zаpis
nеpоznаtоg brоја
-Rеšаvа јеdnоstаvnе
prоblеm situаciје
-Rеšаvа јеdnоstаvnе
lоgičkо-kоmbinаtоrnе
prоblеmе
R. Hrvatska
Učenici treba da:
a) minimalni standardi znanja.
• prepoznaju geometrijske
oblike (linije, trougao, kvadrat,
pravougaonik);
• znaju pisanje brojnog niza;
• sabiraju i odizimaju u okviru
prve stotine (slučajevi:
50+8;37-7; 39-6; 26+40);
• znaju tablicu množenja sa 2,
5, 10;
• znaju pojam polovine.
b) osnovni standardi znanja
znaju da sabiraju i oduzimaju
do 100;
shvate množenje kao sabiranje
jednakih sabiraka, upoznaju i
koriste termine i znak
množenja;
-nauče do automatizma tablicu
množenja 10 x 10; znaju
tablicu dijeljenja, koriste
termine i znak dijeljenja;
koriste ili primjenjuju
komutativnost, asocijativnost i
distributativnost računskih
operacija;
znaju svojstva 0, kao sabirka,
činioca i dijeljenika, a jedinice
kao činioca i djelioca;
znaju množenje i dijeljenje u
okviru 100, koriste zagrade i
poredak računskih opreacija;
umiju da pročitaju i zapišu
pomoću slova zbir, razliku,
proizvod, količnik ;
znaju da izračunaju vrijednost
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
•rаzviti mоtоričkе sprеtnоsti zа
upоtrеbu lеnjirа
•upоznаti оsnоvnе mјеrе zа
dužinu
•prеtvаrаti mјеrnе јеdinicе u
mаnjе ili vеćе.
J.Kartuma i Z.Marković
-Znа јеdinicе zа dužinu
-Znа јеdinicе zа vrеmе
-Znа dа pоrеdi i umе dа
prоcеni i mеri dužinе u
оkružеnju
samopouzdanja i
odgovornosti.
- Poštuju različite
stavove.
-Prepoznaju ulogu i
značaj matematike u
svakodnevnom životu.
izraza sa dvije operacije;
umiju da rješavaju tekstualne
zadatke s jednom i dvije
računske operacije;
-koriste znake za skup,
pripadnost elemenata skupu i
prazan skup;
U nastavnom programu matematike za drugi razred u MEP - projektu navedeno je da se od učenika
očekuje da:
-
koriste brojeve u sabiranju i oduzimanju do nekoliko stotina sa sigurnošću;
koriste i pamte množenje brojeva do 10 × 10;
nađu faktore brojeva;
koriste jedinice za novac (£ i p) u kontekstima;
koriste količinu (litar i centilitar) u kontekstima;
razumiju i identifikuju slične oblike;
identifikuju linije (ose) simetrije i izgrađuju (konstruišu, stvaraju) odrazne slike.
prepoznaju događaje koji su izvjesni tj.mogući, odnosno one koji nisu izvjesni i koji su
nemogući.
U odnosu na nastavne programe, Republike Srpske, Federacije BiH, Crne Gore i Hrvatske,
očekivani ishodi učenja u MEP – projektu su još kraće i uopštenije prikazani, međutim ono što je
karakteristično za MEP- projekat, svi ti očekivani ishodi su konkretizovani, pa svaki nastavnik tačno
zna šta učenici treba da znaju. S tim u vezi dajemo djelimičan prikaz šta svaki učenik trećeg razreda
mora da zna na kraju školske godine prema MEP-projektu:
Brojevi do 20:
Npr. broj 16, 0+16 =16,
1+15=16,
Tablica množenja:
sve do 10×10
Brojevi:
1D= 10
1S= 100
Rimski brojevi:
2+14=16,
1
5
10
50
100
3+13=16, itd.
I
V
X
L
C
Parni/ Neparni brojevi:
Cijeli brojevi koji se završavaju sa 0, 2, 4, 6, 8 su parni (djeljivi su sa 2 i nema ostatka)
Cijeli brojevi koji se završavaju sa 1, 3, 5, 7, 9 su neparni (imaju ostatak 1 kada se dijele sa dva).
Oblici: 2D
38
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
Trougao (tri prave strane)
Četvorougao (četiri prave stranice)
Pravougaonik (suprotne stranice su jednake i
paralelne, i ima četiri prava ugla)
Kvadrat (sve stranice jednake i sve
četiri prava ugla)
(Primjedba svi kvadrati su pravougaonici, a svi pravougaonici su četvorouglovi).
Imajući na umu sve naprijed rečeno, možemo zaključiti da ni u jednom nastavnom planu i
programu, koje smo upoređivali, nisu jasno navedeni očekivani ishodi učenja za nastavne jedinice, kao
ni način provjere kvaliteta stečenih kompetencija. Osim toga, neke od nastavnih jedinica uopšte nisu
pokrivene ishodima učenja, pa se postavlja pitanje zašto su i planirane za obradu. Nedostatak ishoda
učenja otežava rad učiteljima, jer nemaju orijentaciju šta učenici treba da znaju i kolika očekivanja od
učenika oni treba da imaju, pa se tu mogu javiti različite interpretacije. Dakle, predstavljeni ishodi
učenja u navedenim nastavnim planovima i programima nisu zasnovani ni na van Hiele-ovoj teoriji o
geometrijskom mišljenju, kada govorimo o geometriji, a ni na instrukcijama Evropske asocijacije za
istraživanje matematičkog obrazovanja ’ERME’ kada govorimo o baznim elementima algebarskog
znanja koji bi trebalo da su poželjni ishodi školskog sistema kada govorimo o algebri.
Pored očekivanih ishoda, u nastavnim planovima i programima navode se smjernice za
nastavnika, čija je svrha da pomognu nastavniku u realizaciji određenih nastavnih jedinica, kao i
aktivnosti nastavnika i učenika. U Nastavnom planu i programu Republike Crne Gore konkretno
ovakvih aktivnosti nema, dok u nastavnom planu i programu RS su date smjernice za nastavnika, a u
ostalim navedenim nastavnim planovima i programima, Republike Hrvatske, Republike Srbije, i
Federacije BiH su prisutne i aktivnosti i nastavnika i učenika.
Tabela 8. Primjeri aktivnosti nastavnika i učenika u Nastavnim planovima i programima, Republike
Hrvatske, Republike Srbije, i Federacije BiH.
Republika Hrvatska
Aktivnosti učenika:
- Učenici zapisuju brojeve na
brojevnoj polupravi.
- Učenici vježbaju sabiranje i
oduzimanje u skupu prirodnih
brojeva do 100, koriste zakone
komutacije i asocijacije za lakše
računanje isto pokazuju
didaktičkim materijalom.
- Učenici rješavaju jednostavne
tekstualne zadatke korak po
Republika Srbija
Аktivnоsti učеnikа u
оbrаzоvnо-vаspitnоm rаdu:
- sаbirаnjе i оduzimаnjе dо 100
- mnоžеnjе i dеlјеnjе
- mеmоrisаnjе
- primеnjivаnjе stеčеnih znаnjа
- rеšаvаnjе prоblеmа
- zаpаžаnjе
- uоčаvаnjе
Аktivnоsti nаstаvnikа u
оbrаzоvnо-vаspitnоm rаdu:
39
Federacija BiH
AKTIVNOSTI UČENIKA:
- Učestvuju u svim etapama i
oblicima rada (grupa, tim, par);
- Aktivno učestvuju u
matematičkim igrama i
primjenjuju ranije stečena
znanja i iskustva;
- Čitaju i zapisuju brojeve do
100;
- Predstavljaju odnose među
brojevima upotrebljavajući
matematičke znake …
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
korak.
- Vježbaju da brzo usmeno
sabiraju i sabiraju.
- Učenici određuju nepoznati
sabirak, umanjenik i umanjilac,
koriste vezu sabiranja i
oduzimanja.
- Učenici određuju za toliko veći
broj (sabiranjem) i za toliko manji
broj (oduzimanjem).
J.Kartuma i Z.Marković
-usmеrаvа
-nаvоdi
-stvаrа situаciјu
-sugеrišе
-pоstаvlја prоblеm
-pоdstičе
-аnаlizirа
-mоtivišе
-kооrdinirа
-nаvоdi nа pоvеzivаnjе i
primеnu znаnjа
-pоdstičе nа lоgičnо mišlјеnjе
-rаzviја kооpеrаtivnоst
AKTIVNOSTI NASTAVNIKA:
- Sadržaje Nastavnog programa
utvrđuje prema interesima i
sposobnostima učenika i
prilagođava zahtjeve postavljene
programom kako bi bio
uspješno
ostvaren;
- Stavlja naglasak na
razumijevanje osnovnih
matematičkih pojmova;
- Pomaže djeci da poboljšaju
izražavanje svojih matematičkih
ideja i zapažanja;
- Prilagođava nastavu svakom
učeniku pojedinačno …
U nastavnom programu Hrvatske nisu navedene aktivnosti nastavnika, već samo aktivnosti učenika u
okviru određenih nastavnih oblasti.
Za svaku nastavnu jedinicu u MEP-projektu date su detaljne nastavne pripreme i smjernice za
nastavnika, koje mu pomažu da što bolje realizuje predviđene nastavne jedinice. Na taj način
nastavnik je oslobođen dugotrajnog i svakodnevnog pisanja nastavnih priprema, čime dobija više
vremena za osmišljanje kreativnih sadržaja i materijala koje će realizovati i koristiti na časovima.
Pored niza vježbi i njihovih rješenja, u dijelu MEP – projekta, koji nosi naziv Pregled, dati su savjeti
za učitelja na šta da obrati pažnju prilikom obrade gradiva. Tako se ističe da treba pomoći učenicima
da sa više samopouzdanja prilaze rješavanju zadataka i da je osnovni cilj svakog učitelja da pomogne
učenicima da matematički misle, što zahtijeva vođenje i strpljenje sa naglaskom na pravilno i precizno
pisanje i čitanje matematike u svakom trenutku.
6. ZAKLJUČCI
U ovom radu upoređivali smo Nastavni plan i program Republike Srpske sa nastavnim planovima
i programima, Federacije BiH, Republike Srbije, Republike Crne Gore, Republike Hrvatske i sa MEP
– projektom, bazirajući se na nastavne ciljeve, ukupan godišnji fond časova, kao i fond časova
različitih matematičkih oblasti, očekivane ishode učenja i aktivnosti.
Svi navedeni nastavni planovi i programi u nastavi polaze od ciljeva, sem nastavnog plana i
programa RS, koji ne polazi od ciljeva, te za treći razred osnovne škole ciljevi nisu uopšte navedeni. S
druge strane, nastavni plan i program Federacije Bosne i Hercegovine polazi od ciljeva (kognitivni,
razvijanje sposobnosti i vještina, razvijanje pozitivnih vrijednosti i stavova), što mu daje neku vrstu
prednosti u odnosu na druge, na način kako su predstavljeni ciljevi. Međutim, primjetno je da su svi
navedeni nastavni planovi i programi zaostali, naročito u pogledu promjena koje su se dogodile
posljednje decenije dvadesetog vijeka u oblasti vaspitno-obrazovnih ciljeva, kao što je revidirana
Bloomova taksonomija. Očigledno da nijedan od navedenih nastavnih planova i programa ne poznaje
revidiranu Bloomovu taksonomiju, kao ni socijalne i socio-matematičke norme, te ne pravi razliku
između pojma sposobnosti i vještine.
Godišnji fond časova matematike za treći razred i broj časova predviđen za algebarske,
aritmetičke i geometrijske sadržaje su isti u nastavnim planovima i programima, RS, Srbije, Crne Gore
(sa 5 časova matematike sedmično), dok je u nastavnom planu i programu Republike Hrvatske taj fond
nešto manji (136, sa četiri časa matematike sedmično), te znatno manji u Nastavnom planu i programu
Federacije BiH (iznosi 105 časova), gdje uopšte nije naveden broj časova za algebarske, aritmetičke i
geometrijske sadržaje.
Kada su u pitanju ishodi učenja, možemo reći sa su oni „zastupljeni“ u svim nastavnim
planovima i programima osim u nastavnom planu i programu Republike Srbije. Međutim, ostaje i
dalje nejasno šta to učenik određenog razreda konkretno treba da zna da bi prešao u naredni razred, za
40
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
razliku od MEP- projekta. Isti je slučaj i sa aktivnostima učenika i nastavnika. Dakle, nastavni planovi
i programi su napravljeni tako da su „date“ aktivnosti nastavnika, ali pitanje je koliko te „date“
aktivnosti uopšte pomažu samom nastavniku odnosno učeniku. Kakvu korist nastavnik ima od tih
aktivnosti konkretno za pripremu? Odgovor na ovo pitanje najbolje dobijemo kada te prikazane
aktivnosti u navedenim nastavnim planovima i programima uporedimo sa MEP-a projektom, u kojem
je detaljno isplanirano gradivo, odnosno aktivnost nastavnika, ali i očekivana aktivnost učenika za
svaki čas.
Dakle, na osnovu izvršene analize Nastavnih planova i programa iz matematike za treći razred
osnovne škole, treba izvršiti reviziju Nastavnog plana i programa iz matematike, i to tako:
- Nastavni ciljevi i ishodi učenja treba da budu jasno, precizno i konkretno navedeni za svaku
matematičku oblast.
- Povećati broj ishoda učenja i to tako što bi se neadekvatno formulisani ishodi učenja
preformulisali, a za nastavne jedinice, za koje ne postoje ishodi učenja, formulisali novi.
- Vremenski ograničiti ishode učenja, tj. jasno navesti u kojem vremenskom periodu učenik
treba da ostvari zadati ishod učenja. Neki od njih mogu da budu ograničeni na nivou cijele
školske godine, a za neke je moguće izvršiti i kraće vremensko ograničenje. Koliki vremenski
period se ostavlja za ostvarivanje ishoda učenja zavisi od njihove kompleksnosti, kao i od
uzrasta učenika.
- Uz očekivane ishode učenja trebalo bi da stoje načini njihovog mjerenja, tj. način provjere
kvaliteta stečenih znanja i kompetencija.
- Jasno predstaviti matematičke oblasti i razdvojiti aritmetiku od algebre u nastavnom
programu.
- Smanjiti broj aritmetičkih sadržaja, a povećati broj algebarskih i geometrijskih sadržaja.
- Uraditi valjane aktivnosti za nastavnika i učenika od kojih će nastavnici imati konkretnu
korist, a ne samo ih navesti.
Preporuke koje su date odnose se na prevazilaženje nedostataka koje smo uočili u rezultatima ove
analize.
LITERATURA:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
J. Ainley, L. Bills & K. Wilson: Designing Task for Purposeful Algebra; CERME 3, (2003), WG 6, 1-3
L. Anderson & D.R. Krathwohl (2001): A Taxonomy for Learning, Teaching and Assessing: a Revision of
Bloom’s Taxonomy. New York. Longman Publishing.
R. Berrincha: The Development of Algebraic Thinking in the Study of the First Degree Equations; 138-140
N. Bednarz, L. Radford, B. Janvier and A. Lepage: Aritmetical and algebraic thinking inproblem-solving;
PME 16 (1992), Vol. 1, 65-72
J. B. Biggs and K. Collins (1982). Evaluating the Quality of Learning: the SOLO taxonomy. New York,
Academic Press.
T. R. Ceballos and E. P. Maximo: Early Access to Algebraic Ideas: The Role of Representations and the
Mathematics of Variation; PME 31 (2007), Vol. 4, 113-120
T. J. Cooper, G. Boulton-Lewis, B. Atweh, L. Wills and S. Mutch: The transition from algebraic to
algebra: Initial understandings of equals, operations and variables; PME, 21(2)(1997), 89-96
J. Cooper, A. M. Williams and A. R. Baturo: Equals, operations and variables; Proceedings of 24th
conference of the mathematics Education Research group of Australasia (MERGA), 1999, 177-184
R. Dave (1967). Psychomotor domain. Berlin: International Conference of Educational Testing.
J. P. Drouhard: Epistemography and Algebra , CERME 6, (2009), WG 4, 54-63
S. Ibrahimpašić, B. Ibrahimpašić, D. A. Romano: Argumentacija slutnje (formiranje hipoteze) o nivoima
razumijevanja osnovnoškolske aritmetike i rane algebre studenata Pedagoškog fakulteta Univerziteta u
Bihaću; IMO, Vol. II (2010), Broj 3, 3-14
D. R. Krathwohl, B. S. Bloom & B. B. Masia (1973). Taxonomy of Educational Objectives, the
Classification of Educational Goals. Handbook II: Affective Domain. New York: David McKay Co., Inc.
S. Kriegler: Just what is Algebraic Thinking?, Preprint, (1998, 2006), 1-11
G. Lakoff & R. Nunez (2000): Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings
Mathemtatics Into Being, Basic Books.
U. Leron (1999): Origin of mathematical thinking: a synthesis, CERME 3, Tematik group 1, 8 pp.
A. Lewy (1968). The empirical validity of major properties of a taxonomy of affective educational
objectives. Journal of Experimental Education, 36, 70-77.
41
IMO, Vol. V(2013), Broj 9.
J.Kartuma i Z.Marković
17. L. Linchevski: Algbera with numbers and arithmetic with letters: A definition of pre-algebra;
Journal of Mathematical Behavior, 14(1995), 113-120
18. R. F. Mager (1997). Preparing Instructional Objectives: A Critical Tool in the Development of
Effective Instruction. Atlanta, GA : Center for Effective Performance.
19. S. Ohlsson: Abstract schemas; Educational Psychology, 28(1)(1993), 51-66
20. D.A.Romano: O geometrijskom mišljenju; Nastava matematike (Beograd), LIV (2-3) (2009), 1-11
21. L. Redford: Algebraic Thinking and Generalization of Patterns: A Semiotic Perspective; PME-NA 2006,
Proceedings, Vol. 1, 2-21
22. D.A.Romano: Istraživanje matematičkog obrazovanja; IMO, Vol. I (2009), Broj 1, 1-10
23. S. Rososhek: Forming Algebra Understanding in MPI-project; CERME 1 (1998), 184-194
24. J. Schmittau: The Development of Algebraic Thinking, A Vygotskin perspective; ZDM, 37(1)(2005), 16-22
25. J. L. Schwartz and M. Yerushalmy: On the need for a bridging language for mathematical modeling. For the
Learning of Mathematics, 15(2)(1995), 29-35.
26. A. Sfard: On the dual nature of mathematics conceptions: Reflections on processes and objects as different
sides of some coin; Educational Studies in Mathematics, 22(1991), 1-36
27. B. J. Specht: Early Algebra - Processes and Concepts of Fourth grades Solving Algebraic Problems; CERME
4 (2005), 706-716
28. И. Р. Шафаревич: Основные понятия алгебры, Алгебра 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл.
мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, Москва, 1986, 5-279
29. D. O. Tall: Reflection on Early Algebra; Proceedings of 25th conference of PME, 2001, 149-152
30. M. Yerushalmy and J. L. Schwartz: Seizing the opportunity to make algebra mathematically and
pedagogically interesting. In: T. A. Romberg, E. Fennema, and T. Carpenter (Eds.) Integrating Research
on Graphical Representations of Functions; Erlbaum Inc. NJ. 1993, 41-68.
31. Van de Walle, John A. (2001). Geometric Thinking and Geometric Concepts. In Elementary and Middle
School Mathematics: Teaching Developmentally, 4th ed. Boston: Allyn and Bacon.
32. Van Hiele, P.M., (1986): Structure and insight, a theory of mathematics education. Orlando, FL: Academic
Press.
33. Van Hiele, D.G., (1957): The Didactics of Geometry in the Lower Class of the Secondary School. English
summary (by Dina van Hiele-Geldof) of De didaktiek van de Meetkunde in de eerste klass van het
V.H.M.O. Doctorial dissertation, University of Utrecht.
34. V. V. Vidović: Ishodi učenja u obrazovanju učitelja i nastavnika – konceptualni okvir, Zagreb 2008.
35. H. Weyl: Topology and abstract algebra as two roads of mathematicakl comprehension; Amer. Math.
Monthly, 102(5)(1995), 453-460
36. Autor, Zakon o osnovnom obrazovanju i vaspitanju, ''Službenom glasniku Republike Srpske''. br. 74 od
12. avgusta 2008, 71/09, 104/11
37. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo prosvjete i kulture
Republike Srpske
38. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo znanosti,
obrazovanja i sporta Republike Hrvatske.
39. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo prosvete, nauke i
tehnološkog razvoja Republike Srbije
40. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo obrazovanja i nauke
Federacije BiH
41. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo prosvjete Republike
Crne Gore
42

Download Report