1 'Oria Sunart svewn (basvikèc ) ènnoiec Ας θεωρήσvουμε τον χώρο των πραγματικών σvυναρτήσvεων f : Df → Im (f ) Λέγοντας πως μία σvυνάρτησvη f κοντά σvτο α τείνει σvτο l εννοούμε ότι μπορούμε να φέρουμε το f (x) κοντά σvτο l απαιτώντας το x να είναι πολύ κοντά σvτο α, χωρίς να ταυτίζονται. Αυτό φαίνεται καλύτερα σvτο παρακάτω σvχήμα σvχήμα 1 Παρατηρούμε ότι για τιμές του x που πλησvιάζουν σvτο α οι τρείς πρώτες σvυναρτήσvεις έχουν τιμές που πλησvιάζουν σvτο l, ενώ η τέταρτη και η πέμπτη πλησvιάζουν μόνο από αρισvτερά και η έκτη δεν πλησvιάζουν καθόλου. Μόνο για τις τρεις πρώτες μπορούμε να πούμε πως έχουν όριο σvτο l. Από αυτές μόνο για την πρώτη ισvχύει ότι f (α) = l αφού αυτό δεν είναι προϋπόθεσvη για το όριο. Το κριτήριό μας είναι όσvο το x που πλησvιάζει σvτο α η τιμή της σvυνάρτησvης να πλησvιάζει σvτο l. Ορισvμός 1: Η σvυνάρτησvη f σvυγκλίνει σvτο lR αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώσvτε, για κάθε x , αν 0 < |x − α| < δ, τότε |f (x) − l| < ε Αν μία σvυνάρτησvη έχει όριο σvε κάποιο σvημείο, αυτό το όριο είναι μοναδικό ΄Οπως έχουμε δει η σvυνάρτησvη δεν είναι απαραίτητο να είναι ορισvμένη σvτο σvημείο που εξετάζουμε το όριο. Παράδειγμα 1: η σvυνάρτησvη f (x) = sinx x δεν ορίζεται σvτο 0 αλλά όπως φαίνεται και σvτη γραφική της παράσvτασvη το όριό της υπάρχει και είναι 1. 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -6 -4 2 -2 4 6 σvχήμα 2 -0.2 ενώ αν μία σvυνάρτησvη ορίζεται σvε κάποιο σvημείο x0 τότε το όριο lim f (x) δεν x→x0 είναι απαραίτητο να ισvούται με το f (x0 ) Παράδειγμα 2: η σvυνάρτησvη f (x) = lim f (x) = −2. x2 −1 x+1 , x 6= 1 , f (−1) = 0 έχει όριο x→−1 Για τον υπολογισvμό των ορίων μιας σvυνάρτησvης χρησvιμοποιούμε τις παρακάτω ιδιότητες που προκύπτουν άμεσvα από τον ορισvμό. Αν θεωρήσvουμε δύο σvυναρτήσvεις f, g lim f (x) = A, lim g (x) = B τότε ισvχύουν x→x0 x→x0 1. lim (f (x) + g (x)) = A + B x→x0 2. lim (kf (x)) = kA , kR x→x0 3. lim (f (x) g (x)) = AB x→x0 4. lim x→x0 f (x) g(x) = A B Παράδειγμα 3. Χρησvιμοποιώντας σvυνδυασvτικα τις παραπάνω ιδιότητες μπορούμε να υπολογίσvουμε τα όρια σvυναρτήσvεων της μορφής 2(x2 +1) f (x) = x+2 όταν το x τείνει σvτις τιμές 1 ή −1 lim [2(x2 +1)] 2(12 +1) lim f (x) = x→1 = 43 lim (x+2) = 1+2 x→1 x→1 lim lim f (x) = x→−1 [2(x2 +1)] x→−1 lim (x+2) x→−1 = 2[(−1)2 +1] −1+2 =4 Για την ίδια σvυνάρτησvη παρατηρούμε ότι σvτην τιμή x = −2 δεν ορίζεται ωσvτόσvο για να την μελετήσvουμε θα πρέπει να υπολογίσvουμε το όριό της σvε αυτό το σvημείο. 2 40 20 -4 2 -2 4 -20 -40 Κοιτώντας την γραφική παράσvτασvη της σvυνάρτησvης βλέπουμε το αρισvτερό σvκέλος να κατευθύνεται προς το −∞ και το δεξί προς το +∞ καθ’ως πλησvιάζουμε σvτην τιμή −2. ΄Οταν δεν έχουμε κοινό όριο και από τις δύο πλευρές ενός σvημείου εξετάζουμε χωρισvτά τα πλευρικά όρια. Στο προηγούμενο παράδειγμα γράφουμε lim f (x) = −∞ και lim f (x) = ∞ x→2− x→2+ 3α 3β 3γ Στο παραπάνω σvχήμα βλέπουμε μία σvυνάρτησvη που έχει όριο σvτο x = 2 χωρίς να ορίζεται καθόλου σvε αυτό το σvημείο (3α), μία δεύτερη σvυνάρτησvη που ορίζεται σvτο x = 3 αλλά δεν έχει όριο σvε αυτό το σvημείο (3β) και τέλος μία σvυνάρτησvη που ούτε ορίζεται ούτε έχει όριο σvτο x = 3 γιατί το δεξί της σvκέλος τείνει σvτο +∞ ενώ το αρισvτερό της σvτο −∞. 3 σvχήμα 3 Μία σvυνάρτησvη λέγεται σvυνεχής σvτο σvημείο x0 του πεδίου ορισvμού της • αν υπάρχει το όριο της σvε αυτό το σvημείο • και αν ισvχύει lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Αν η σvυνάρτησvη δεν ορίζεται σvε κάποιο σvημείο x0 ή αν το όριό της σvτο σvημείο αυτό είναι διαφορετικό από την τιμή της τότε λέγεται α-σvυνεχής σvτο x0 . Μία σvυνάρτησvη σvυνεχής σvε κάθε σvημείο ενός διασvτήματος Δ λέγεται σvυνεχής σvτο Δ. Θεμελιώδες Θεώρημα Συνέχειας: Αν μία σvυνάρτησvη f είναι σvυνεχής σvτο κλεισvτό διάσvτημα [a, b] και οι τιμές της f (a), f (b) είναι ετερόσvημες (δηλαδή f (a) f (b) < 0) τότε η f έχει τουλάχισvτο μία ρίζα σvτο ανοιχτό διάσvτημα(a, b). Η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος είναι ότι μία σvυνάρτησvη με ετερόσvημες τιμές σvτα άκρα ενός διασvτήματος, αν είναι σvυνεχής το γράφημά της θα αρχίζει από το f (a) και θα καταλήγει σvτο f (b) περνώντας υποχρεωτικά από τον οριζόντιο άξονα τουλάχισvτο μία φορά. 4
© Copyright 2024 Paperzz
