časopis za mlade matematičare
Zagreb, Bijenička 30
SADRŽAJ
Članci
Josip Antoliš, Od kruga do pravokutnika ..................................................... 74
Helena Car, Malene i velike mjerne veličine ................................................... 76
Nikol Radović, Matematički vrtuljak slova ................................................. 79
Vladimir Devidé, Konveksni likovi (2) ........................................................... 86
Petar Mladinić, Rebusi (2) ............................................................................ 90
Matemagičar
Franka Miriam Brückler, Trik s dominama ............................................... 94
Intervju
Lucija Gusić, Scott Steketee .......................................................................... 96
Kutak za kreativni trenutak
Mozgalica BLACK & WHITE ...................................................................... 99
Povijest
Tanja Soucie, Seki Kowa Takakazu ............................................................ 100
Željko Medvešek, Kopernikova predodžba o svijetu ................................. 102
Križaljke za
atkače ............................................................................................. 104
Enigmatka .............................................................................................................. 108
Natjecanja
Natjecanje Klokan bez granica ...................................................................... 110
Zadatci za
atkače početnike ............................................................................. 124
Odabrani zadatci ................................................................................................. 128
Računala
Ivana Kokić, Microsoft Excel i matematika (2) ............................................. 130
Rješenja zadataka ................................................................................................ 136
Kutak za najmlađe .............................................................................................. 144
73
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Izdaje/osnivatelj
HRVATSKO
MATEMATIČKO
DRUŠTVO
IZLAZI TIJEKOM
ŠKOLSKE GODINE
U ČETIRI BROJA
atka 17 (2008./2009.) br. 66
OD KRUGA DO PRAVOKUTNIKA
Josip Antoliš, Zagreb
O
pseg kruga: 2rπ, površina kruga: r2π. Ako se
do sada već niste susreli s tim formulama,
uskoro hoćete. To su poprilično korisne formule,
ponajprije zato što je bez njih teško izračunati
bilo što povezano s krugom i kružnicom. Dobra
je stvar što su relativno jednostavne i lako ih je
zapamtiti, pa ipak, mora se priznati da su malo
neobične. Opseg se još može izmjeriti omota li se
oko kruga uže ili nešto slično, ali kako se dolazi do
formule za površinu? Pokušajmo to zajedno otkriti.
Uzmimo za početak krug i podijelimo ga na, recimo, osam jednakih
dijelova, kao tortu. Sada te dijelove
posložimo kao na slici. Dakle, imamo
četiri dijela jedan do drugog, okrenuta
prema dolje, te četiri dijela okrenuta
prema gore, naslagana poput puzzla.
Pogledajmo malo tako dobiveni lik. Kao prvo, on ima jednaku površinu
kao i krug budući da smo dijelove samo drugačije posložili i nismo izbacili
niti jedan. Vidi se i da je visina lika ista kao i polumjer početne kružnice jer
je visina svakog od dijelova upravo poveznica nekadašnjeg središta kružnice i
same kružnice, dakle polumjer r. No, što je s vijugavim stranicama” koje lik
“
omeđuju s gornje i donje strane? One se sastoje od osam jednakih lukova koji
su na početku tvorili kružnicu. Dakle, zajedno im je duljina jednaka opsegu
kruga, to jest 2rπ. Prema tome, svaka od vijugavih stranica” ima duljinu od
“
pola opsega, odnosno rπ.
Stvari postaju zanimljive kada pogledamo čemu sliči dobiveni lik. Kada
bismo umjesto lukova imali ravnu crtu, lik bi bio paralelogram, a njegovu
površinu nije tako teško izračunati. Postavlja se pitanje: možemo li nekako
poravnati” lukove a da površina ostane nepromijenjena? To baš ne bi bilo
“
jednostavno napraviti. Pa ipak, možemo pokušati smanjiti vijugavost”. Kako
“
to napraviti? Početni krug razrežimo na više dijelova, recimo 16. Pogledajmo
kako posloženi lik izgleda u tom slučaju.
74
Što bi se dogodilo da još povećamo broj dijelova na koji režemo početni
krug? Lukovi bi bivali sve manji i manji, bočne stranice bile bi gotovo okomite
na njih, a površina bi i dalje bila identična površini početnog kruga. Što bismo
dobili kada bismo krug izrezali na beskonačno dijelova? Vijugava stranica”
“
pretvorila bi se u ravnu, a bočne bi stranice postale okomite na tu ravnu crtu.
Jednom riječju, dobili bismo pravokutnik kao na slici, a njegovu površinu lako
je izračunati. Dulja stranica, nastala od lukova, ima duljinu rπ, a kraća duljinu
r. Prema tome, površina dobivenoga lika, a time i početnog kruga, iznosi upravo r2π!
75
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Što smo ovime postigli? Kao prvo, vijugave stranice” sada izgledaju ravni“
je. Ako se pak pogledaju bočne stranice, one su sada okomitije u odnosu na
ove horizontalne. Ono što je ostalo nepromijenjeno su površina lika, njegova
visina i duljine stranica.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
MALENE I VELIKE MJERNE VELIČINE
Helena Car, Zagreb
J
este li se ikada zapitali koliki teret’’ kose nosite na glavi? Što mislite:
“
nosite li više ili manje od kilograma? Koliko je vremena potrebno da
nam kosa naraste 1 cm? A nokti? Čime je moguće izmjeriti debljinu ljudske
vlasi? Je li moguće mjeriti debljinu niti paučine?
Koristimo li odgovarajuće instrumente (npr. mikrometarski vijak) i
prikladne mjerne jedinice, moguće je mjeriti i tako malene veličine.
Milimetar je, naravno, prevelika mjerna jedinica. I vlas kose, a
posebno nit paučine, puno su tanje od milimetra. Te veličine
izražavamo mjernom jedinicom koju nazivamo mikrometar (μm),
a 1 mm = 1000 μm. Debljina (promjer) niti paučine je približno
10 μm, dok je debljina ljudske vlasi oko 70 μm.
Broj vlasi kose na ljudskoj glavi ovisi o njezinoj boji. U tablici je prikazan
prosječan broj vlasi ovisno o (prirodnoj) boji kose:
Boja kose
Broj vlasi kose
plava
oko 150 000
smeđa
oko 110 000
crna
oko 100 000
crvena
oko 90 000
Zadatak 1. Mikrometarskim vijkom odredili smo da je debljina
nečije vlasi kose 0.12 mm. Kolika je ta debljina izražena u metrima?
Zadatak 2. Kolika bi bila ukupna debljina kose kada bismo sve
vlasi položili jednu do druge?
Zadatak 3. Masa jedne duge vlasi kose je približno 1 mg. Kolika je
masa sve kose neke dugokose osobe (u ovisnosti o njezinoj prirodnoj boji)?
Kosa i nokti rastu svakodnevno, ali rastu vrlo sporo. Ošišamo li kosu,
vjerojatno ćemo tek za tjedan dana primijetiti da je ponovno narasla. Nokti
rastu još sporije: da bi postigli određenu duljinu, trebaju četiri puta više
vremena nego kosa!
76
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Zadatak 4. Ljudska kosa dnevno naraste oko 300 μm. Koliku će duljinu
kosa postići nakon 10, a koliku nakon 100 dana? Koliko joj treba vremena
da naraste 10 cm? Kolika je brzina rasta ljudske kose u mjesec dana ako
mjesec traje 30 dana?
Zadatak 5. Nokti na rukama dnevno narastu samo oko 80 μm.
Koliko bi narasli za 14 dana? Koliko im treba vremena da bi narasli
4 mm? Kolika je brzina rasta noktiju na rukama u mjesec dana ako
mjesec traje 30 dana?
S druge strane, neke veličine mogu biti jako velike. Primjerice, vremenski
razmaci mogu biti tako veliki da ih je teško moguće zamisliti. Iako nam se
čini da je jedna godina dugi vremenski period, u usporedbi sa starošću Zemlje
godina je tek – treptaj oka.
Povijest Zemlje
Nastanak Zemlje
prije 4 500 000 000 godina
Prvi oblici života
prije 3 500 000 000 godina
Prve biljke i životinje
prije
600 000 000 godina
Prva živa bića na kopnu
prije
400 000 000 godina
Dinosauri
prije
220 000 000 godina
Pračovjek
prije
5 000 000 godina
Prikažemo li prošlost’’ Zemlje u trajanju od jednog sata, to bi izgledalo
“
ovako:
Nastanak Zemlje
prije 60 minuta
Prvi oblici života
prije 47 minuta
Prve biljke i životinje
prije 8 minuta
Prva živa bića na kopnu
prije 5 minuta
Dinosauri
prije 3 minute
Pračovjek
prije 4 sekunde
77
atka 17 (2008./2009.) br. 66
dinosauri
prva živa bića na kopnu
pračovjek
nastanak Zemlje
prve biljke i životinje
prvi oblici života
Zadatak 6. Koliko je vremena prošlo od nastanka Zemlje do nastanka
prvih živih bića, a koliko do postanka prvih živih bića na kopnu? A do pojave
pračovjeka?
Zadatak 7. Nacrtajte brojevni pravac na kojemu 1 mm
prikazuje milijun godina, a početna točka je vrijeme nastanka
Zemlje. Kolika je duljina dužine od te točke do točke koja
označava danas’’, tj. pojavu pračovjeka?
“
Zadatak 8. Prije nekih 2 milijuna godina pračovjek
je naučio koristiti jednostavno oruđe, a tek prije 3000 000
godina vatru. Prikažite te vremenske točke na brojevnom
pravcu koji počinje s pojavom pračovjeka, a 1 mm neka
predstavlja 10 000 godina. Kolika je na tom brojevnom
pravcu udaljenost od točke koja predstavlja nastanak Zemlje
do točke koja označava danas’’?
“
Napomena: Nagradit ćemo i objaviti ime svakog
rješenja najmanje triju postavljenih zadataka.
78
atkača koji nam pošalje
Nikol Radović, Sisak
Č
itajući knjige i časopise, prelistavajući različite reklame, istražujući
internet - nailazimo na grafičke figure u kojima ima i matematike.
Pogledajmo iduće primjere.
Naslovnica knjige Angels & Demons
Logo poznate pop grupe
Logo Wachowa Bank
Logo grupe Nine Inch Nails
Logo časopisa United Nations Association
Logo De Lorean Motor Company
Logo Geostationary
Operational Enviromental
Satellite - NASA
79
atka 17 (2008./2009.) br. 66
MATEMATIČKI VRTULJAK SLOVA
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Sve grafičke figure iz primjera sastavljene su od slova/riječi. Okretanjem”
“
odnosno nakretanjem” neke od njih ne mijenjaju svoj smisao, dok neke ostaju
“
iste i ako ih gledamo u ogledalu.
Ambigram ili matematički vrtuljak slova je grafička figura sastavljena od
slova/riječi, čitljiva na više od jedan način. Matematičari će ovu definiciju”
“
ambigrama prikazati grafičkim zapisom, slika 1.
Slika 1.
Može se reći da će djelovanje geometrijskih transformacija na slova/riječi
rezultirati nastankom ambigrama. Ambigram iz grafičkog zapisa, slika 1.,
mogu zamijeniti ambigrami iz primjera kao i ambigrami na slikama 2. – 6.
Slika 4.
Slika 2.
Slika 3.
Slika 5.
Slika 6.
80
Ljubitelji igara sa slovima/riječima davno su otkrili da kratke riječi skrivaju
geometrijske simetrije. Tako
OHO
OHO
OHO
Slika 7.
UHU; OTO; AHA; AMA; BOO, HOO, DIOXIDE... skrivaju osnu
simetriju s obzirom na horizontalne/vertikalne osi. Nazivi nekih časopisa
skrivaju različite simetrije, npr. VISTA (časopis United Nations Association),
ZOONOOZ (časopis San Diego Zoo), kao i imena tvornica NISSIN (Japanska
tvornica bljeskalica).
Jedan od prvih radova Kima je na slici 8. Preokretanjem slike 8.,
INVERIONS, nastaje slika 9. na kojoj se može pročitati ime i prezime autora.
Slika 8.
Slika 9.
Matematička konstatna π zaokružena na dvije decimale prikazana je
na slici 10. Ništa neobično, zar ne? Pogledajte sliku u ogledalu. Sve samo ne
obično, je l’ da?
Slika 10.
81
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Sedamdesetih godina prošlog stoljeća ambigrami su nastali u djelima
Scotta Kima i Johna Lanhrema, zaljubljenika u matematiku, igre riječima,
glazbu i čaroliju, a danas poznatih grafičkih dizajnera, autora računalnih igara
i autora mnogih logotipa. U ovom članku upoznat ćemo se njihovim radom
kroz različite ambigrame u svoj njihovoj matematičkoj zaigranosti i ljepoti.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Kim je svoj talent za preokretanje” i nakretanje” slova/riječi otkrio vrlo
“
“
rano. Svojim talentom uveseljavao je prijatelje i usputne znance. Jednostavno
bi nestao na neko vrijeme i pojavio se s ambigramom novog imena. Na slici 11.
je 26 različitih imena za svako od slova engleskog alfabeta. Potražite ih!
Slika 11.
Kada mu to nije bilo dovoljno, počeo je izrađivati božićne čestitke kao
ambigrame, slike 12. – 14.
Slika 12.
82
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Slika 14.
Slika 13.
Za godišnjicu braka svojih roditelja dizajnirao je tortu. Glazura/ambigram,
slika 15., od čokolade i vanilije nastala je kao spoj imena Kimovih roditelja,
Pearl i Lester (slično Prikrivenim iluzijama atka 51.).
Slika 15.
Sličnu tehniku primijenio je Kimov prijatelj D. R. Hofstadter pri ilustraciji
knjige Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Brain, slika 16.
Slika 16.
Kima nazivaju i Escherom od Slova. On je svoju viziju ambigrama s
istim imenima prikazao na slikama 17. i 18., te se poigrao simetrijom slova u
ambigramu na slici 19.
83
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Slika 17.
Slika 18.
Slika 19.
U svojim djelima Escher je često popločavao sferu. Kako je Kim ipak
Escher od Slova, isti princip primijenio je na kocku, slika 20. Kao varijacija na
temu nastao je ambigram na slici 21.
84
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Slika 20.
Slika 21.
Sve slike iz ovog članka mogu se naći na sljedećim internetskim
adresama:
http://www.senile-felines.com/gallery/index.htm/26.09.2008./
http://en.wikipedia.org/wiki/ambigram/27.09.2008./
http://en.wikipedia.org/wiki/Scott_Kim/1.10.2008./
http://www.scottkim.com/inversions/gallery/1.10.2008./
http://www.sandlotscienece/EyeonIllusions/John_Langdon.htm/1.10.2008./
http://math.monash.edu.au/~bpolster/l.html/1.10.2008./
http://stetson.edu/~efriedma/ambigram/reflection/htm/29.09.2008./
http://www.efn.org/~bch/ambigrams.htm/1.10.2008./
Na internetskoj adresi
www.ambigram.com/old/names.aspx/26.09.2008./ možete naći različite
animacije ambigrama.
85
atka 17 (2008./2009.) br. 66
KONVEKSNI LIKOVI (2)1
Vladimir Devidé, Zagreb
Poučak 5. (Hellyjeva tvrdnja) Ako je dano n (n ≥ 4) konveksnih likova
tako da svaka tri od njih imaju zajedničku točku, tada postoji točka koja je
zajednička za svih n likova.
Drugim riječima, ako nijedan presjek po tri konveksna lika nije prazan,
onda ni presjek svih tih likova nije prazan.
Ako svi dani likovi nisu konveksni, stavak dakako ne mora vrijediti. Usporedimo,
primjerice, sliku 8. Dana su tri kruga i jedan kružni vijenac. Bilo koja od ta četiri lika
imaju zajedničku točku, ali ne postoji točka koja bi pripadala svim tim likovima.
Slika 8.
Dokaz: Uzmimo prvo da je n = 4 i označimo dane likove s Φ1, Φ2, Φ3 i Φ4.
Prema pretpostavci postoji točka P1 zajednička likovima Φ2, Φ3 i Φ4, točka P2
zajednička likovima Φ1, Φ3 i Φ4, točka P3 zajednička likovima Φ1, Φ2 i Φ4 te
točka P4 zajednička likovima Φ1, Φ2 i Φ3. Razlikujemo dvije mogućnosti:
a) Postoji jedna od točaka Pi koja je unutar (ili na rubu) trokuta koji
određuju ostale tri točke Pj.
b) Takva točka Pi ne postoji.
Slučaj a) Ako, primjerice, točka P4 pripada trokutu P1P2P3 čiji svi vrhovi
(po konstrukciji) pripadaju liku Φ4, onda će, prema Poučku 1., i točka P4
pripadati liku Φ4. No, prema konstrukciji točke P4 ta točka pripada likovima
Φ1, Φ2 i Φ3, pa je ona zajednička za sve likove Φi.
Slučaj b) Ovdje su točke P1, P2, P3 i P4 vrhovi konveksnog četverokuta
(nacrtajte sliku). Neka je točka P presjek dijagonala tog četverokuta. To znači
da točka P pripada trokutima P2P3P4, P1P3P4, P1P2P4 i P1P2P3, pa prema poučku
1. ta točka pripada likovima Φ1, Φ2, Φ3 i Φ4, tj. P je tražena točka.
1
86
Nastavak iz
atke broj 65
Pretpostavimo da su nam dani konveksni likovi Φ1, Φ2, …, Φk i Φk + 1
i da po tri od njih imaju zajedničku točku. Neka je Φ presjek likova Φk i Φk + 1.
Tada su, prema poučku 2., Φ1, Φ2, …, Φk - 1 i Φ ukupno k konveksnih likova.
Uočimo da po tri od njih uvijek imaju zajedničku točku. (Ako među ta tri
lika nije lik Φ, to zaključujemo prema pretpostavci o danim likovima. Ako
se među ta tri lika, uz likove Φi i Φj, nalazi i lik Φ, prema ranije dokazanoj
tvrdnji za n = 4 slijedi da postoji zajednička točka likova Φi, Φj, Φk i Φk + 1,
dakle i od Φi, Φj i Φ.) Iz pretpostavke da Hallyjeva tvrdnja vrijedi za
n = k, možemo zaključiti da postoji točka zajednička likovima Φ1, Φ2, …, Φk - 1
i Φ. No, prema konstrukciji lika Φ, to je onda ujedno zajednička točka danih
likova Φ1, Φ2, …, Φk i Φk + 1, što je i trebalo dokazati.
Ako danih konveksnih likova ima beskonačno mnogo, tvrdnja ne mora vrijediti.
Promotrimo, primjerice, beskonačni niz usporedno pomaknutih kutova (sl. 9.). Po
tri od tih likova uvijek imaju zajedničkih točaka, međutim ne postoji nijedna točka
zajednička svim tim kutovima. Ipak, ako je bar jedan od danih likova omeđen, može
se dokazati (u što ovdje nećemo ulaziti) da Hallyjeva tvrdnja vrijedi i za slučaj da je n
beskonačan.
Slika 9.
Poučak 6. U ravnini je dano n (n ≥ 4) točaka. Ako se krugom polumjera a
mogu odjednom prekriti bilo koje tri od njih, tim se krugom najednom može
prekriti i svih n točaka.
Dokaz: Uočimo bilo koje tri točke A, B i C između n danih točaka i oko
njih nacrtajmo krugove ΩA, ΩB i ΩC polumjera a (nacrtajte sliku). Budući da
po pretpostavci postoji krug Ω polumjera a koji prekriva točke A, B i C, to
znači da je središte S kruga Ω od točaka A, B i C udaljeno najviše za a. Dakle,
točka S pripada krugovima ΩA, ΩB i ΩC, što znači da presjek tih krugova nije
prazan. Opišemo li, dakle, oko n danih točaka krugove polumjera a, po tri od
njih uvijek će imati zajedničku točku. Budući da su svi ti krugovi konveksni
likovi, prema poučku 5. slijedi da postoji njihova zajednička točka koja je,
2
Proučite članke Matematička indukcija (1) i (2) objavljene u
atki broj 60 i 61.
87
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Prijeđimo sada na slučaj n > 4. Dokaz ćemo provesti potpunom
indukcijom2. Pokazat ćemo, dakle, da vrijedi zaključak: Ako je tvrdnja istinita
za n = k, ona vrijedi i za n = k + 1. Odatle, s obzirom na to da već znamo da je
tvrdnja istinita za n = 4, slijedi da je ispravna i za n = 5, dakle i za n = 6, itd., tj.
za svaki konačni broj n.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
dakle, od svih danih točaka udaljena najviše za a. Opišemo li oko te točke krug
polumjera a, on će prekriti sve dane točke.
Poučak 7. (Jungova tvrdnja) U ravnini je dano n točaka tako da najveći
razmak između dviju od njih ne premašuje a. Tada postoji krug polumjera
a
koji odjednom prekriva sve dane točke.
3
Dokaz: Uvažavajući dokazano u poučku 6., dovoljno će biti pokazati da
tvrdnja vrijedi za n = 3. Razmotrimo, dakle, trokut ABC sa stranicama čije
duljine ne premašuju a. Ako je on pravokutan ili tupokutan, prekrit će ga već
a
krug polumjera
(sa središtem u polovištu najdulje stranice), pa pogotovo i
2
a
. Ako je trokut ABC šiljastokutan, za bar jedan njegov kut
krug polumjera
3
φ vrijedit će 60º ≤ φ < 90º (jer zbroj veličina svih kutova u trokutu iznosi 180º),
pa je 120º ≤ 2φ < 180º. Označimo li polumjer kruga opisanog trokutu ABC s r,
za duljinu stranice s nasuprot kuta φ vrijedit će a ≥ s ≥ r 3 (vidi sl. 10.).
a
Odatle slijedi da je r ≤
, pa će pogotovo krug s istim središtem i
3
a
polumjerom
prekriti točka A, B i C.
3
Jungova tvrdnja vrijedi i za slučaj beskonačno mnogo točaka. To znači
da se npr. svaka rupa promjera’’ a (tj. kojoj je najveća međusobna udaljenost
“
a
rubnih točaka jednaka a) može zakrpati’’ krugom polumjera
.
“
3
Slika 10.
Slika 11.
Napomena: Ako su A, B i C vrhovi jednakostraničnog trokuta, polumjer
a
njemu opisanog kruga jednak je
. Dakle, Jungova se tvrdnja općenito ne
3
može pooštriti’’ smanjivanjem potrebnog polumjera. U drugu ruku, ako
“
88
Razmotrimo omeđeni konveksni lik Φ i sve usporedne pravce danog
smjera α (sl. 11). Podijelimo te pravce u dvije klase, prema tome imaju li s
likom Φ zajedničkih točaka ili nemaju. Svi pravci prve klase ispunjavaju neku
traku’’ širine b (jer ako su pravci a i d u istoj klasi, u toj će klasi biti – zbog
“
konveksnosti lika Φ – očito i svaki pravac c između pravaca a i b). Pri tome
broj b nazivamo širinom lika Φ u smjeru α.
Omeđeni konveksni lik koji u svakom smjeru ima jednaku širinu
nazivamo likom konstantne širine. Primjerice, krug je lik konstantne širine
(koja je jednaka njegovu promjeru). No, postoje i drugi takvi likovi.
Opišemo li oko vrhova jednakostraničnog trokuta kružne lukove nad nasuprotnim stranicama (sl. 12.a), dobit ćemo lik konstantne širine. Nadalje,
konstrukcijom prema slici 12.b također dobivamo likove konstantne širine.
Analogne konstrukcije možemo provesti i nad pravilnim n-terokutima s bilo kojim neparnim brojem n. Međutim, ni time nisu iscrpljeni svi likovi jednake širine.
Slika 12.
Napomena: Lik sa slike 12.a može se pomicati gotovo po čitavom kvadratu ili
rombu (npr. s tupim kutom veličine 120º) opisanim tom liku (vidi slike 13. i 13.b). Na
toj se činjenici osniva mogućnost uporabe svrdla takvog presjeka za bušenje približno
kvadratičnih ili rombičnih rupa. Kombiniranjem šest takvih nepotpunih rombova
može se dobiti potpuni pravilni šesterokut, što odgovarajućim vođenjem svrdla
omogućava bušenje točno šesterokutnih rupa (sl. 13.c).
Slika 13.
89
atka 17 (2008./2009.) br. 66
dane točke zadovoljavaju uvjete tvrdnje, može ih se prekriti već i pravilnim
a
šesterokutom upisanim u krug polumjera
(u dokaz ne ulazimo). Do danas
3
nije poznat lik najmanje moguće površine koji bi omogućavao da se njime
uvijek može prekriti danih n točaka o kojima govori Jungova tvrdnja (iako je
dokazano da sigurno postoji bar jedan takav lik).
atka 17 (2008./2009.) br. 66
REBUSI (2)
Petar Mladinić, Zagreb
U
prošlom smo broju atke započeli s upoznavanjem različitih tipova
matematičkih rebusa. Upoznali smo aritmetičke i slovčane rebuse. U
ovome broju upoznat ćemo dva nova tipa rebusa.
Podsjetimo se da u svijetu ovih rebusa vrijede sljedeća pravila:
– različite znamenke zamjenjuju se različitim slovima,
– znak * zamjenjuje svaku znamenku,
– u zapisu broja prva znamenka slijeva nikad nije jednaka nuli,
– broj ABC predstavlja troznamenkasti broj,
– rebus je riješen kad se nađu sva rješenja.
c) Rebus s ključnom riječi
U ovakvom se rebusu treba otkriti deseteroslovčana ključna riječ. Ključna
se riječ dobiva nakon što se slovima pridruže odgovarajuće znamenke, a slova
poredaju od 0 do 9.
Primjer 3. Koji je pojam skriven u ovome rebusu?
P Z ∙
A =
P E P
+
∙
–
U U +
U =
Z T
=
=
=
I H E +
N O =
I N Z
Rješenje:Iz ovoga rebusa možemo pročitati šest tvrdnji:
PZ ∙ A = PEP
(1)
UU + U = ZT
(2)
IHE + NO = INZ
(3)
PZ + UU = IHE
(4)
A ∙ U = NO
(5)
PEP – ZT = INZ
(6)
Prema četvrtoj jednakosti možemo zaključiti sljedeće: zbroj dvaju dvoznamenkastih brojeva ne može biti veći od 198, pa je I = 1.
U šestoj jednakosti uočavamo da je razlika troznamenkastog i dvoznamenkastog broja troznamenkasti broj koji počinje znamenkom 1. Zaključujemo da je P = 2.
90
Daljnja slična razmatranja i analiziranja mogućih slučajeva daju nam vrijednosti U = 7, T = 4, Z = 8, E = 5, O = 3, N = 6 i A = 9.
Rješenje našeg rebusa je HIPOTENUZA.
Zadatci:
1.
+
=
Riješite sljedeće rebuse:
N
C
∙
E
U
F
+
E
A
F
+
A
T
∙
T
K
+
A
S
+
N U =
∙
=
F
E
F
=
N =
–
=
I
R
C
E
G N
T
I
G
U
S
N
A
M
N
N
S
M
2.
+
=
A
A
∙
=
A
N
P
=
I
=
R
=
–
=
d) Rebus s kućicama i sobama’’
“
U ovakvom rebusu svaka kućica’’ predstavlja jedan broj, a svaka soba’’
“
“
jednu znamenku. Kućice’’ mogu imati jednu, dvije, tri, ... sobe’’, a vrijednost
“
“
kućice’’ uvijek je različita od nule.
“
Aritmetička vrijednost kućica u prvom stupcu jednaka je aritmetičkoj vrijednosti prvog retka, drugog stupca drugom retku, itd.
Primjer 4. U sobe’’ upišimo odgovarajuće znamenke tako da račun bude
“
točan:
91
atka 17 (2008./2009.) br. 66
U trećoj jednakosti vidimo da H desetica zbrojeno s N desetica daje N
desetica. Slovo H ne može biti 9 jer nema prijenosa desetica.
Dakle, iz H + N = N slijedi da je H = 0.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Rješenje: Prije nego započnemo s razmatranjem zadanih uvjeta, recimo da
se u ovakvim zadatcima ne pišu zagrade. Računske se radnje izvršavaju upravo
onim redom kojim se pišu. Primjerice, u četvrtom retku našeg primjera je
,
a prema navedenom to znači da ćemo prvo zbrojiti brojeve u prve dvije kući“
ce’’. Nakon toga se zbroj množi brojem koji je u trećoj kućici’’, a na kraju se od
“
tog umnoška oduzme vrijednost broja iz četvrte kućice’’. Koristeći zagrade, taj
“
izraz bismo zapisali kao
Vratimo se našem primjeru. Zbog jednakih ukupnih vrijednosti istoimenih redaka i stupaca, naš primjer izgleda ovako:
Promotrimo li drugi redak, uočit ćemo da zbroj brojeva u prve dvije ku“
ćice’’ ne može biti veći od 18. To znači da je u prvoj sobi’’ treće kućice’’ broj
“
“
1. Dakle, u trećoj je kućici’’ broj 16. To nam sugerira da je zbroj brojeva u prve
“
dvije kućice’’ jednak 18 ili 17. Zbroj 17 vodi u proturječje. Zbroj 18 otkriva da
“
u svakoj od prve dvije kućice’’ piše 9. Odatle slijedi:
“
Pogledamo li drugi stupac, otkrit ćemo da je sadržaj praznih kućica’’ 3
“
odnosno 2. Nakon toga nadopunjavamo prvi redak i prvi stupac, itd.
92
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Zadatci:
Riješite sljedeće rebuse:
1.
2.
Napomena: Objavit ćemo imena onih atkača koji nam pošalju svoje rebuse ili rješenja naših nagradnih rebusa, i nagraditi ih (Ur.).
Svojim čitateljima i suradnicima
želimo sretan Božić i uspješnu
Novu 2009. godinu!
Uredništvo
atke.
93
atka 17 (2008./2009.) br. 66
MATEMAGIČAR
MATEMAGIČAR
Trik s dominama
Franka Miriam Brückler, Zagreb
Z
a današnji trik potreban nam je paket domina. Zapravo, ne cijeli
paket, nego samo 13 domina, tako da na svakoj od njih redom bude
0, 1, 2, ... , ukupno 12 točkica. Dagobert je tih 13 domina posložio na stol jednu
do druge, ali tako da im poleđine budu gore, tj. tako da se ne vide točkice na
njima.
− Darko, hoćeš li ti danas biti dobrovoljac?
− Naravno, hoću... I eto Darka do stola. − Što trebam raditi?
− Ja ću izaći iz sobe, a dok mene nema, ti trebaš preseliti neki broj domina
slijeva udesno, jednu po jednu. Možeš odlučiti ne preseliti nijednu.
− Kako mislite preseliti?
− Evo ovako: I Dagobert pomakne jednu dominu kao na slici dolje
(zacrnjena je pločica koja se pomiče, a siva je njezina nova pozicija):
− Dakle, Darko, možeš ih preseliti najviše 12, a važno je da seliš
jednu po jednu. Ja sada idem van, pa neka me netko pozove kad budeš
gotov.
Dagobert iziđe, a čim se vrata zatvore, Darko preseli jednu, dvije,
tri pločice. I odluči stati.
− Dagoberteee!
Vrata se otvaraju, Dagobert ulazi, dođe do stola, okrene jednu
pločicu, pogleda je i kaže:
− Pomakao si tri pločice, je l’ da?
94
Zamislite da su brojevi 0, 1, ... , 12 napisani kružno. Onda bismo pomicanje
jednoga broja na kraj mogli zamisliti kao da smo taj krug zaokrenuli za jedno
mjesto – poredak brojeva nije se promijenio, samo smo promijenili poziciju
s koje krećemo. (Zamislite da na običnoj uri umjesto od 12 odlučite kretati
od 1 – i dalje je 12 prije 1, 1 prije 2 itd.) Kaže se: seljenjem domina jedne po
jedne nije se promijenio njihov ciklički poredak. Tajna trika je upravo u tome,
s tim da prije prvog izvođenja domine treba poredati tako da lijevo bude ona
s 1 točkicom, zatim redom one s 2, 3 itd. točkica, a prazna domina ide na
desni kraj. Nakon prvog izvođenja, Dagobert je samo trebao pogledati zadnju
dominu – broj točkica na njoj je broj pomaknutih domina (recimo, da je Darko
prebacio samo prvu dominu, onda bi domina s 1 točkicom bila na kraju, nju bi
Dagobert pogledao i utvrdio da je prebačena 1 domina; da nije bila pomaknuta
nijedna, Dagobert bi otvorio praznu dominu).
Za sva daljnja izvođenja Dagobert treba u glavi broju na zadnjoj otkrivenoj
domini dodati 1 i taj broj zapamtiti (to je trenutni broj na lijevoj domini, s tim
da ako Dagobert pamti 13 - znači da je lijeva domina prazna). Kad se vrati, on
treba otkriti pločicu koja je toliko mjesta od desnog kraja koliko je broj koji je
zapamtio. Recimo, nakon Darkovog micanja desna je domina imala 3 točkice,
pa je Dagobert za sljedeće izvođenje pamtio broj 3 + 1 = 4 i otkrivao četvrtu
dominu zdesna da sazna koliko je domina preseljeno u drugom izvođenju
trika.
95
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Malo zbunjen, Darko je morao priznati da je Dagobert pogodio. No,
možda je samo imao sreće. Uglavnom, javilo se još nekoliko dobrovoljaca s
kojima je Dagobert ponovio trik (svaki put je onu otkrivenu pločicu ponovno
okrenuo, ali inače nije pomicao pločice). I uvijek je uspio pogoditi istinu. U
čemu je tajna?
atka 17 (2008./2009.) br. 66
INTERVJU
SCOTT STEKETEE
Lucija Gusić, Zagreb
N
akon svakog kongresa nastavnika matematike atka
odabere zanimljive sudionike kako bi vam ih pobliže
predstavila. U sljedeća dva broja to će biti Scott Steketee iz
Philadelphije i Michael de Villiers iz Južnoafričke Republike.
Obojica se, iako su prvenstveno matematičari, mogu pohvaliti i
dobrim rezultatima u profesionalnom sportu.
Na ovogodišnjem je 3. kongresu nastavnika matematike
Scott Steketee, kojega ćemo prvoga predstaviti, u Zagrebu održao
nekoliko predavanja i radionica. Prof. Steketee je završio studij na Harvardu,
a magistrirao je matematičku edukaciju i računarstvo. Nakon što je 18 godina
predavao u srednjoj školi, od 1992. godine radi na razvoju Sketchpada. Njegov
je sport bilo veslanje, pa je kao veslač u osmercu čak sudjelovao na Olimpijskim
igrama 1968. u Meksiku gdje je osvojio 6. mjesto.
atka: Prof. Steketee, recite nam nešto o sebi. Gdje ste se rodili, gdje ste
studirali te kako ste odabrali matematiku kao predmet svoga zanimanja?
S. Steketee: Rodio sam se 1947. godine u Detroitu, u državi Michigan, kamo
se moja obitelj preselila kako bi moj otac otvorio inženjersku tvrtku. Matematiku
sam zavolio u srednjoj školi, čemu su prethodila dva događaja. Prvi je bio program
Sveučilišta u Chicagu koji sam pohađao, a gdje je jedan od profesora u svoje
predavanje ubacio problem kako doći do algoritma za određivanje kvadratnog
korijena. Tada je rekao da ćemo, shvatimo li taj algoritam, moći razumjeti i slične
algoritme. Učinilo mi se zanimljivim do tako nečega pokušati doći samostalno.
Iduće godine koristio sam diferencijalni račun kako bih rješavao zadatke iz fizike,
dok su se ostali služili formulama, što me isto tako jako razveselilo. Na sveučilištu
sam studirao kemiju i fiziku. Ispostavilo se da mi je ono što sam naučio na
satovima matematike u isto vrijeme trebalo i na satovima fizike i kemije. To mi
je pokazalo da je matematika univerzalni jezik znanosti i svijeta oko nas. Nisam
imao pojma da ću na kraju završiti u matematičkom obrazovanju.
atka: A kako ste stigli do Olimpijskih igara?
S. Steketee: Moja druga strast na studiju bila je atletika. Na drugoj godini
pridružio sam se veslačkoj momčadi, iako nikada prije nisam veslao. Ispalo je
da mi je veslanje išlo, pa sam nakon godinu dana sudjelovao na nacionalnim
natjecanjima te osvojio drugo mjesto. Godine 1968., koja je bila i moja
apsolventska godina, kao dio najboljeg američkog tima s ekipom sam otišao na
96
atka: Recite nam nešto o svome radu.
S. Steketee: Način na koji sam ušao u prosvjetu imao je također političke
konotacije. Kada sam se vratio s OI, koje su te godine bile održane u listopadu jer
je u Meksiku vrlo vruće, već sam bio diplomirao, tako da sam trebao biti pozvan
da se pridružim američkim trupama u Vijetnamu. Već sam bio odlučio da se ne
želim boriti budući da nisam podržavao rat u Vijetnamu. Nisam mogao reći da
sam bolestan kako bih izbjegao rat, a nisam mogao reći ni da se ratu protivim iz
moralnih razloga jer sam osjećao da bih se, da sam mogao, borio u II. svjetskom
ratu. Tako su mi ostale dvije opcije: napustiti zemlju ili naći neki drugi način
da dobijem odgodu. Odgoda se dobivala ako je netko bio zaposlen kao profesor
matematike u mjestu slabijeg ekonomskog statusa, jer se to smatralo bitnim za
zemlju. Iako se u to vrijeme nisam zanimao za prosvjetu, počeo sam obilaziti
gradove tražeći slobodno radno mjesto. Kada sam došao u Philadelphiju, otišao
sam u Ministarstvo prosvjete u deset ujutro, a već u podne bio sam na putu
prema svom novom radnom mjestu, srednjoj školi. Nisam bio jedini koji se na
takav način oslobodio vojne obveze, ali sam bio jedan od rijetkih koji se tom poslu
posvetio u potpunosti. Dok su drugi, nakon što bi izbjegli novačenje, našli druge
poslove, ja sam nakon dvije godine odlučio ostati profesor u Philadelphijskoj
javnoj srednjoj školi. U to vrijeme počeli su me zanimati edukacijski softveri,
pogotovo geometrijski. Krajem sedamdesetih predavao sam i informatiku, a
moj kolega i ja odučili smo, malo po malo, u školu uvesti rad na geometrijskim
edukacijskim softverima. Tako je počela moja, možemo reći, duga karijera u
edukacijskim softverima, koja je rezultirala time da sam pauzirao jednu godinu
97
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Olimpijske igre. Veslačka natjecanja pomogla su mi da upoznam svijet i uvidim
kako funkcionira. Jedan događaj snažno je utjecao na mene. Godine 1969.
afroamerički sportaši bili su zabrinuti zbog načina na koji ih se internacionalno
predstavljalo. Govorilo se kako Afroamerikanci imaju jednaka prava, kako
ih je puno u američkom Olimpijskom timu, čime se aludiralo na to kako
Afroamerikanci u Americi žive dobro. Istina je bila posve suprotna - većina ih nije
imala zdravstvenu zaštitu ni mogućnost školovanja, živjeli su u lošim uvjetima,
a od njih se očekivalo da svijetu govore suprotno. Zbog toga su neki razmišljali
o bojkotu OI, a neki o demonstracijama. Šestorica članova mog tima, od nas
osmorice, osjećala su da bismo trebali podržati te sportaše. Čim smo
to napravili, našli smo se u centru svačije pozornosti, pa tako i
medijske, ali sva je ta pozornost bila negativna. Prikazalo
nas se kao nezahvalnike koji su uveli politiku na OI.
Mi nismo uveli politiku u sport, već „oni“, jer je
to bila godina borbe između SAD-a i SSSR-a.
To iskustvo, biti napadnut zbog toga što
podržavaš nešto u što vjeruješ, imalo je
veliki utjecaj na moj život.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
kako bih magistrirao računarstvo. To me sve nekako dovelo do toga da sam svu
energiju usmjerio u prodaju softvera koji sam napisao. Cijeli taj proces uvjerio me
da ne želim biti poslovni čovjek. Tako je moj prijatelj sam nastavio naš poslovni
projekt, a ja sam shvatio kako ne mogu biti i otac i muž i profesor i sportaš i
poslovni čovjek, a uza sve to i pisati softvere koje sam želio. Stoga sam nakon
18 godina prestao predavati i u potpunosti se posvetio softverima. Godine 1992.
dobio sam ponudu da s timom radim na razvijanju novog geometrijskog softvera
za PC koji se zvao Geometer’s Sketchpad. Nakon toga sam vrlo blisko radio s
Nickom Jackiwom, originalnim začetnikom ideje o Sketchpadu, kako bismo na
kraju na tržište pustili Sketchpad 2, 3, i 4. Zadnjih pet godina energiju sam sa
softvera prebacio na stvaranje kurikuluma jer mislim da Sketchpad može bitno
poboljšati način na koji učenici uče i shvaćaju matematiku.
atka: Što mislite o prosvjeti u Hrvatskoj te kakvo je stanje u
Americi?
S. Steketee: Iako ne znam puno o vašoj prosvjeti, imao sam prilike na
kongresu upoznati neke sjajne profesore koji su na mojim radionicama pokazali
veliki interes i želju da dodatno poboljšaju svoje znanje. Nastoje naučiti nove stvari
i preispitati stare kako bi svojim učenicima priuštili što kvalitetnije obrazovanje.
Razgovarali smo o tome kako djecu naučiti ne samo matematičke operacije, već
i način na koji mogu matematiku primijeniti u svakodnevnom životu. Problem
matematike danas je taj što se svijet ubrzano mijenja, tako da matematika koju
danas učimo nije matematika koju će ljudi trebati kako bi riješili probleme koji
će se pojaviti za desetak godina. Ako ne naučimo djecu da budu kreativna i da
znanje iskoriste kako bi riješili problem s kojim se nikada prije nisu susreli, nema
koristi od matematike danas. U Americi je stanje zanimljivo jer obrazovanje nije
problem SAD-a nego svake njezine pojedinačne države, tako da trenutno postoji
petnaestak različitih programa. Većina profesora u SAD-u smatra da se
matematičko obrazovanje treba mijenjati u skladu sa svijetom. U
isto vrijeme, određeni dio profesora koji utječu na politiku zemlje
još uvijek smatra kako su novi načini poučavanja krivi, te kako
bi se trebalo nastaviti po starome i poučavati matematiku
onako kako je poučavamo zadnjih 30, 40, 60 godina. Dakle,
imamo još puno bitaka; neke smo već dobili, dok smo neke i
izgubili.
Nakon razgovora, prof. Scott Steketee se otišao
pakirati jer mu je to bio posljednji dan u Hrvatskoj. Rekao
nam je kako su on i njegova supruga u Hrvatsku došli
tjedan dana ranije jer su htjeli vidjeti našu obalu. Sa sobom su
ponijeli bicikle na kojima su prošli Dubrovnik, Korčulu i ostatak obale kojom
su se oduševili, baš kao i našom bogatom poviješću i načinom života.
98
Mozgalica: BLACK & WHITE
O
va se mozgalica nalazi u knjizi Edwarda Horderna Sliding Piece
Puzzles. Smislio ju je jedan od najpoznatijih svjetskih dizajnera
mozgalica s pločicama, japanski matematičar i elektroinženjer Abe Minoru
(rođen 1936.). Mozgalica se izvorno zove Black and White (Crno i bijelo).
Mi vam predlažemo da se poigrate i nazivima naših matematičkih časopisa
atka i math.e.
Puno različitih i vrlo zanimljivih mozgalica možete naći na sljedećim
web adresama: http://www.g4g4.com, http://www.johnrausch.com i http://www.
puzzles.com.
Prijedlog: Načinite ploču za igranje veličine 4 × 5,
10 bijelih kvadratnih pločica dimenzije 1 × 1,
2 crne kvadratne pločice dimenzije 1 × 1 i
2 „L-pločice“ dimenzije 2 × 2 – 1 (v. sl.).
Problem: Pločice postavite na ploču za igranje u početni položaj.
Pomicanjem pločica po ploči za igranje zamijenite mjesta nazivima (v. sl.).
Iscrtkani dio ploče za igranje su slobodna polja.
Nagrada: Svaki atkač koji pošalje opis rješanja postavljenog zadatka
dobit će jednu knjigu iz atkine biblioteke ili atkinu bilježnicu.
99
atka 17 (2008./2009.) br. 66
KUTAK ZA
KREATIVNI TRENUTAK
atka 17 (2008./2009.) br. 66
POVIJEST
SEKI KOWA TAKAKAZU (1642.-1708.)
Tanja Soucie, Zagreb
Matematika je više od oblika umjetnosti.”
S
“
eki Takakazu, japanski matematičar, rođen je u obitelji samuraja. U
ranoj dobi usvojila ga je plemenitaška obitelj i danas je poznat pod
imenom Seki Kowa. Seki se od malena isticao u matematici. Nakon što je jedan
od kućnih sluga uvidio da je devetogodišnji Seki talentiran za matematiku,
upoznao ga s temeljima ove znanosti, nakon čega se Seki Kowa nastavio
samostalno obrazovati. Ubrzo je njegova knjižnica bila puna japanskih i
kineskih knjiga o matematici. Njegova talentiranost i obrazovanje brzo su mu
donijeli poštovanje i ugled, pa je postao poznat kao Aritmetički mudrac” i
“
stekao svoje učenike.
Godine 1671. matematičar Kazayuki Sawaguchi je, u zaključnom
dijelu svoje knjige Kokin-Sanpo-Ki, postavio petanest zadataka koji su trebali
služiti kao izazov matematičarima njegovog vremena, a za svoje rješavanje
zahtijevali su uporabu algebarskih jednadžbi s više nepoznanica. 1674. godine
Seki Kowa objavio je rad pod nazivom Hatsubi Sampo u kojemu je riješio
svih petanest zadataka. Pri rješavanju zadataka kreirao je i služio se novim
sustavom algebarske notacije (između ostalog, uveo je kanji kako bi prikazao
nepoznanice u jednadžbama) te postavio temelje za dalji razvoj wasana
(japanske tradicionalne matematike).
Seki je preduhitrio i brojna otkrića matematičara zapada. Primjerice, u
djelu Kai Fukadai no Ho iz 1683. Seki je izložio algebarske metode, a i učenje
o determinantama. Neovisno o Sekiju Kowu, osnove teorije determinanti
postavio je švicarski matematičar Gabriel Cramer skoro sedamdeset godina
100
Tijekom svojeg života Seki je proučavao jednadžbe s pozitivnim i negativnim rješenjima, ali nije
imao koncept kompleksnog broja. Godine 1685. riješio je kubnu jednadžbu 30 + 14 x − 5 x 2 − x 3 = 0 u
kojoj je koristio iste metode koje će Horner koristiti
sto godina kasnije. Otkrio je Newtonovu metodu
rješavanja jednadžbi i imao svoju verziju Newtonove interpolacijske formule. Seki je također razmatrao Diofantske jednadžbe. Primjerice, 1683.
godine razmatrao je cjelobrojna rješenja jednadžbe
ax − by = 1 , gdje su a i b cijeli brojevi. Također, Seki
Kowa je razvio metodu aproksimacije broja π kojom
je točno izračunao prvih 18 decimala.
Bez sumnje, Seki je igrao ključnu ulogu u popularizaciji i razvoju moderne
matematike. Zalagao se za prenošenje matematičkih znanja širokim masama i
pisao knjige koje su se mogle koristiti pri poučavanju. Nadimak koji je stekao
za života – Aritmetički mudrac - nakon njegove smrti uklesan je na njegov
nadgrobni spomenik.
Literatura:
http://www.britannica.com/oscar/print?articleId=66643&fullArticle=true&tocId=9066643
http://encarta.msn.com/encyclopedia_761582885/Takakazu_Seki.html
http://www.math.wichita.edu/history/men/kowa.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Seki.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Quotations/Seki.htm
http://cambridgeforecast.wordpress.com/2008/07/01/japanese-mathematician-seki-kowa/
http://www.cartage.org.lb/en/themes/Biographies/MainBiographies/S/Seki/1.html
101
atka 17 (2008./2009.) br. 66
kasnije. Seki je također otkrio tzv. Bernoullijeve brojeve prije samog Jacoba
Bernoullija.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Nikola Kopernik
(1473. – 1543.)
KOPERNIK JE ZA SOBOM OSTAVIO NOVU PREDODŽBU O SVIJETU
24. svibnja 1543. godine u Frauenburgu (istočna Pruska) umro je
sedamdesetogodišnji astronom, liječnik i pravnik Nikola Kopernik koji je za života
javno djelovao u Poljskoj, Njemačkoj i Italiji. Rezultat njegovog životnog djela
bila je temeljita promjena astronomske predodžbe. Kopernik je odbacio općenito
prihvaćeno gledište o Zemlji kao nepomičnoj središnjoj točki u svemiru i zamijenio
ga heliocentričnim sustavom (Sunce kao središte našeg planetarnog sustava).
Kopernik je 1510. godine otkrio osnovnu gredu svoje svemirske građevine.
Zašto se ne bi Zemlji pripisalo gibanje, a ne svemiru u kojemu se Zemlja nalazi?
Kako bi pojednostavnio svemirska zbivanja, Kopernik je, potaknut grčkim
prirodofilozofom i astronomom Aristarhom iz Samosa (druga polovica 2. stoljeća
prije Krista), usvojio tvrdnju o trostrukom gibanju Zemlje: ona se unutar 24 sata
okrene oko svoje osi, što objašnjava prividno kretanje Sunca. Unutar jedne godine
Zemlja, kao i drugi planeti, napravi krug oko Sunca. Ni Zemljina os ne miruje nego
se lagano giba. Svoje glavno djelo Šest knjiga o kružnom kretanju svemirskih tijela iz
1516. godine Kopernik je iz dobro poznatih razloga objavio tek 1543. godine. Kad
je papi namijenjena knjiga na dan smrti astronoma stigla u papinski dvor, Pavao
III. odmah ju je stavio na popis zabranjenih knjiga.
Matematičke tablice
Godine 1551. nastale su dvije tablice važne za prirodne znanosti – posebno za
matematiku i astronomiju – kao i za navigaciju brodova i računanje vremena.
Njemački astronom Rheticus (zapravo Georg Joachim von Lauchen)
sastavio je deseteroznamenkaste, deset po deset sekunda napredujuće tablice
trigonometrijskih funkcija, najopsežnije i najtočnije tablice te vrste dugi niz godina.
On je pritom po prvi put uzeo u obzir svih šest kutnih funkcija: sinus, kosinus,
tangens, kotangens, kosekans (recipročna vrijednost sinusa) i sekans (recipročna
vrijednost kosinusa). Funkcije stavljaju količnike duljine različitih stranica u
pravokutnom trokutu u odnos prema odgovarajućem kutu toga trokuta. (Djelo je
tek 1596. tiskao Valentin Otho, pod naslovom Opus Palatinum de triangulis).
Erasmus Reinhold, profesor matematike u Wittenbergu, izradio je na temelju
novog Kopernikovog nauka prvu astronomsku tablicu za izračun položaja planeta,
koju je u čast vojvode Albrechta od Pruske nazvao Prutenske ili Pruske tablice
kretanja nebeskih tijela (Tabulae prutenicae coelestium motuum). Kopernikove
spoznaje i Pruske tablice kasnije su bile osnova za (gregorijansko) kalendarsko
preustrojstvo 1582. pod papom Grgurom XIII.
Ponovno napredovanja u matematici
Oko 1580., kako bi se matematičke jednadžbe mogle oblikovati u općem
obliku, François Viète uveo je računanje slovima. Njegova zasluga je računanje
slovima kao promjenljivim čuvarom mjesta za brojeve.
102
Logaritmi Johna Napiera
Logaritmi koje su uveli Bürgi i Napier najprije nisu predstavljali ništa drugo
nego inverziju eksponencijalnog računa, pri čemu je odabrana baza u oba slučaja
broj deset. To je objašnjeno na primjeru: Ako je 103 = 1000, onda je logaritam od
1000 (log 1000) jednak 3. Ta inverzija moguća je i za decimalne potencije (godine
1360. francuski matematičar Nicole Oresme u djelu Algorismus proportionum):
102.35 = 223.872 i log 223.872 = 2.35.
Velika prednost logaritama je u tome da se pomoću njih množenja mogu
svoditi na zbrajanje, a dijeljenja na oduzimanje. Zadatak 1000 × 223.872 može se,
primjerice, riješiti tako da se log 1000 zbroji s log 223.872, dakle 3 plus 2.35. Rezultat:
logaritam traženog umnoška iznosi 5.35, a može se očitati u logaritamskoj tablici
kao 223 872. To je i osnova kasnijih mehaničkih analognih računskih naprava, npr.
logaritamskih računala, kod kojih su se logaritamski odmjereni štapovi ( jezici”)
“
za množenje jednostavno zbrajali po duljini.
Jednostavno računanje novim štapićima
Napierove su logaritamske tablice već od 1610. primjenjivane u mehaničkim
izračunima. Još oko 1600. godine Napier je imao zamisao o primjeni računskih
štapova kao praktičnom pomagalu pri operacijama množenja. Englez Edmund
Gunter je 1610. godine izradio logaritamski razmjerene štapiće pomoću kojih
su se operacije množenja i dijeljenja mogle izvoditi jednostavno, polaganjem
jednog štapića uz drugi. Time je već bilo ostvareno načelo kasnijeg logaritamskog
računala (računalni kliznik, rehenšiber), koji je tek 1630. godine izradio britanski
matematičar William Oughtred.
Budući da je rukovanje štapićima bilo jednostavno, ali je sa sobom donosilo
određeni stupanj netočnosti, Henry Briggs je godine 1617. u Oxfordu tiskao prve
opsežne osmeroznamenkaste i četrnaesteroznamenkaste logaritamske tablice.
Osim toga, Briggs je nastavio s teoretskim
radovima o logaritmima. I Napier je godine
1617. razvio jedan mehanički računski stroj
u obliku računalne daščice s premjestivim
sastavnicama: Napier’s bones odnosno
Napiersche Rechenstäbchen (na slici desno).
Izvornik: Paturi, Felix, R., Chronik der Technik (1988.)
Pripremio: Željko Medvešek, Zagreb
103
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Godine 1588. švicarski matematičar Jost Bürgi izradio je prvu logaritamsku
tablicu. Doduše, nije ju objavio (tiskana je tek 1620. godine!), pa je izum
logaritama kasnije pripisan škotskom zemljoposjedniku Johnu Napieru, barunu
od Merchistona. Godine 1594. Napier tiska svoj Sustav prirodnih logaritama.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
K R
K
I
Ž A LJ K A
R I Ž A
LJ
K A
Zdravko Kurnik, Zagreb
1
2
6
Ο
11
14
Ο
3
7
9
Ο
Ο
4
Ο
5
8
Ο
10
12
13
Ο
15
VODORAVNO: 1. Najveći prosti djelitelj broja 4026. 3. 2008 + 7 . 7 . 8 . 8.
6. Obujam kvadra kojemu su duljine bridova 10, 11 i 29. 8. Duljina stranice
kvadrata kojemu je površina 4096. 9. Višekratnik broja 29. 10. (2008 − 1999)
+ 11 + 22 + 33 − 4. 11. Djelitelj broja 6552. 12. Broj u skupu 1818, 1944, 4518,
9082 koji nije višekratnik broja 18. 14. 5 . 23 . (50 − 3).
15. 1 + 26226 : 282.
OKOMITO: 1. Duljina druge stranice pravokutnika kojemu je duljina jedne
stranice 88, a površina jednaka 5544. 2. 12345 : 15 + 11001.
3. (100 − 10 + 1) . 8 − 678. 4. Umnožak prostih brojeva 11, 13, 17, 19.
5. 98 − 76 + 54 − 32. 7. Najveći dvoznamenkasti prosti broj.
10. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 : 3. 11. Jedan od djelitelja
broja 7040. 12. Najveći dvoznamenkasti višekratnik broja 5. 13. Broj svih
djelitelja broja 360.
104
K
1
2
3
Ο
4
I
Ž A LJ K A
R I Ž A
5
6
LJ
K A
VODORAVNO: 1. Vrijednost izraza
2 5 8
 + +  . 996. 4. Brzina aviona
3 6 9
1
u kilometrima na sat, koji za
sata
10 11
12
12
prijeđe put od 31 000 metara. 7.
13
14 15
16 17
1
5:
. 8. Površina kvadrata kojemu
18 19
20
21 22
16
je duljina stranice najmanji zajednički
24
23
1 1 1 1 1
nazivnik razlomaka , , , , .
2 7 9 14 18
6 1
27
10. : . 12. Površina trokuta kojemu je duljina osnovice
i duljina
5 35
2
32
4 5
pripadne visine . 14. Zbroj brojnika i nazivnika najvećeg od razlomaka , ,
9
11 12
6
14
21
. 16.
od . 18. Obujam kocke kojoj je duljina brida nazivnik jednog od
13
3
2
1 1 1 1
1
9
27 56 100
. 24. MMVIII.
razlomaka , , , . 21. 10 + 20 . 23.
⋅ ⋅
11 21 31 41
10
10
4 15 7
Ο
7
Ο
Ο
8
Ο
Ο
9
Ο
Ο
Ο
Ο
78 87
,
. 2. DIV. 3. Veličina trećeg
89 98
kuta trokuta u stupnjevima kojemu su veličine dvaju kutova 59° i 60°.
31 2
1
7 7 7
1 445
1
4.  :  : . 5. 11 .  + +  . 6. 400 −
+ 88 . 9. Duljina kraka
4
2
4
 2 31  16
2 3 6
15
1
, a opseg 111 .
jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice
2
2
.
.
.
.
11. 13 13 13 – 3 3 3. 13. Skupina znamenki koja se ponavlja u decimalnom
41
1
1 1
1
1
. 15. 100 − − − . 17. 31 :
. 19.
dana
prikazu razlomka
333
2
3 6
30
15
1
ispruženog kuta u stupnjevima. 22. Brojnik manjeg od
u minutama. 20.
15
18 28
,
.
razlomaka
19 29
OKOMITO: 1. Nazivnik većeg od razlomaka
105
atka 17 (2008./2009.) br. 66
K R
atka 17 (2008./2009.) br. 66
K R
K
1
2
7
Ο
13
18
Ο
Ο
14
3
Ο
4
Ο
9
Ο
Ο
Ο
5
LJ
6
10
12
15
19
Ο
Ž A LJ K A
R I Ž A
8
11
I
16
Ο
17
20
Ο
21
Ο
K A
VODORAVNO: 1. Nepoznati član
razmjera 35 : x = 5 : 4. 3. CDXLVII.
5. Ordinata točke koja je simetrična
točki T (14, 15) s obzirom na os y.
7. Glavnica koja uz kamatnu stopu
4.7% za godinu dana donosi kamate
od 183.77 kuna. 9. Vrijednost
izraza 36 . f(6) . f(12) . f(18) + 1000
ako je f funkcija zadana jednakošću
1
f(x) = x. 11. Postotak koji od
2
40 300 iznosi 27 001. 12. Prosti djelitelj broja 2005. 14. Kamate koje za godinu dana
daje glavnica od 2600 kuna uz kamatnu stopu 23%. 16. Broj dijelova duljine 7.5 cm
na koje se može podijeliti dužina duljine 4.65 m. 18. 17 . 17 . 27. 20. Tvornička
18
cijena artikla koji je prodan za 5806.35 kuna uz zaradu od 15%. 22. Broj
u obliku
25
99
11
postotka. 23. Vrijednost funkcije f(x) =
za x =
. 24. Postotak povećanja
x
97
površine dvorišta kvadratnog oblika kojemu se opseg poveća za 10%.
22
23
24
OKOMITO: 1. Apscisa točke koja je simetrična točki P(−23, 32) s obzirom na ishodište
42
3
O. 2. Vrijednost funkcije f(x) =
za x = . 3. Koeficijent proporcionalnosti u
x
64
5 25
kojoj je  ,  par proporcionalnih veličina. 4. Broj od kojega 2.5% iznosi 19. 5.
16
2 

26 27
Koeficijent obrnute proporcionalnosti u kojoj je  ,  par obrnuto proporcionalnih
 27 2 
veličina. 6. Prosti djelitelj broja 3126. 8. Iznos koji dobiva sestra ako ona i brat dijele
1
1
uštedu od 3150 kuna u omjeru 5 : 4. 10. Vrijednost izraza 4 ∙ f   + 8 ∙ f   +
4
 6
8
1
1
16 ∙ f   + 32 ∙ f   ako je f funkcija zadana jednakošću f(x) = . 12. Rješenje
x
 16 
 32 
jednadžbe x : 12 = (x − 8) : 10. 13. 3 . 7 . 37. 15. CMXXXVIII. 17. Vrijednost funkcije
11
f(x) = x za x = 44. 19. Postotak koji od 2008 iznosi 1646.56. 20. Udaljenost točaka
2
A(−26) i B (27) na brojevnom pravcu. 21. Nepoznati član razmjera 2 : 13 = 14 : x.
106
K
1
2
3
11
17
Ο
Ο
VODORAVNO: 1.
iracionalnog broja
Ο
4
5
9
Ο Ο
22
Ž A LJ K A
R I Ž A
8
14
I
15
18
23
Ο
Ο
12
Ο
Ο
LJ
6
K A
7
10
13
Ο Ο
16
19
20
Ο
atka 17 (2008./2009.) br. 66
K R
21
24
2
20
4 ⋅ 144 ⋅ 484 . 4.  
 3 
10 . 8. 13 + 132 + 133 + 134
6 2
⋅   6. Prve dvije decimale
5
+ 135. 10. Opseg pravokutnog
trokuta kojemu su duljine kateta 4 i 39.9. 11. (10 − 5 2 ) . (10 + 5 2 ). 12. 1012 –
2202 + 2212 + 4202 − 4212. 14. Površina jednakokračnog trapeza kojemu su duljine
osnovica a = 161 i c = 121, a duljina kraka b = 29. 16. Cijeli dio iracionalnog broja
300 . 17.
20 ⋅ 27 :
5
+ 20. 18. Prvih šest decimala iracionalnog broja
27
π.
2
2
 21  :  3  . 23. Duljina visine jednakostraničnog trokuta kojemu je duljina
   
 8   32 
86 3
stranice
24. 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 13 .
3
2
OKOMITO: 1. 6 . (52 − 42) 2. ⋅ 10 ⋅ 90 3. Vrijednost izraza x2 − xy − y2 + 83 za
3
x = 88, y = −88. 4. Duljina druge katete pravokutnog trokuta kojemu je duljina jedne
katete 16, a duljina hipotenuze 65. 5. 6 . 6 . (6 . 6)2 − 2 . 7 . (2 . 7)2. 6. Opseg romba
kojemu su duljine dijagonala 54 i 72. 7. 9 − 92 + 93 − 42. 9. 812 + 822 + 832. 13. Površina
pravokutnika kojemu je duljina jedne stranice 81, a duljina dijagonale 135. 14. 6 . 7 +
(7 . 2)2 + 7 . 2 + 20. 15. 2 22 × 32 × 792 . 19. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta
22.
kojemu su duljine kateta 48 i 55. 20.
1492 − 1402 . 21. Cijeli dio broja 1555 .
107
Zdravko Kurnik, Zagreb
IZ NOVOGODIŠNJIH ČESTITKI
SRETNO! – NEVIO
DIVAN ŽAR!
PRVACI! – NIKO
A DAR SVIJU!
DIVNO! SILNO! - IVKO
ŽIVI! – KRCE
JA BIRAM: TI SI CAR!
CIJENE SE!
DRAGA! – VAŠ NIKO
POŠTA ANKE
BIRAN LIST – EMA
DA, VAŠA KOB!
O, PA ČITAM!
GURA! – DESA
DOBAR, NOV LIK – S.S.
ISPUNJALJKA
U uredništvo atke stigle su mnoge čestitke s najboljim
željama od čitatelja iz svih krajeva Lijepe naše. Izdvojili
smo neke od njih. Odakle su poslane?
REBUSI
Izmiješajte malo slova u
riječima
KOTAČ, ALJKAV, VLAGA,
TREMA, USTUK
tako da dobijete pet
matematičkih pojmova.
Upišete li te pojmove
vodoravno u lik ispunjaljke,
na posebno označenim
poljima dobit ćete oca grčke
matematike.
OBRNUTI REBUS
JEDNAKOSTRANIČNI
TROKUTI
Na gornjem crtežu je
jednostavan lik koji podsjeća
na planinu s tri vrha,
triglav”. On je podijeljen na
“
više malih jednakostraničnih
trokuta. Ali osim njih postoji
i nekoliko većih trokuta.
Koliko je na crtežu
jednakostraničnih trokuta?
Provjerite svoju moć
zapažanja!
RIMSKA JEDNAKOST
Donja jednakost sastavljena
od štapića jednake duljine očito
nije točna. Ona to može postati
premještanjem samo jednoga
štapića. Netko će brzo otkriti
jedno rješenje, netko drugo, ali
koliko zapravo ima različitih rješenja?
Tu nastupate vi!
XX − X = XI + II − I
RIBIČEVA GLAVOLOMKA
Dva ribiča, matematičara, strpljivo
love ribu s obale rijeke. Kraj njih su prazne
posude od 4 i 6 litara.
– Što da radimo? Riba ne grize. Bojim
se da će naše posude ostati prazne – tišinu
je prekinuo prvi ribič.
– Ne moraju ostati prazne. Eto, na
primjer, imam za tebe jedan problem.
Pomoću ovih posuda odvadi iz rijeke točno
1 litru vode – predložio je drugi ribič.
Jednu litru? Prvi ribič je pomislio da se drugi šali. Ali, nije bilo tako, jer
rješenje postoji. Kako su ovi ribiči, umjesto ribe, ulovili” jednu litru vode?
“
atka 17 (2008./2009.) br. 66
NATJECANJA
MEĐUNARODNO MATEMATIČKO NATJECANJE
KLOKAN BEZ GRANICA
Međunarodno matematičko natjecanje Klokan bez granica” održalo
“
se 20. travnja ove godine, i to deseti put, ponovno pod pokroviteljstvom
Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske i Hrvatskog
matematičkog društva. U isto vrijeme, s približno istim zadatcima, natjecalo se
5 000 000 učenika u 42 zemlje svijeta, što ovo natjecanje čini najvećim školskim
natjecanjem u svijetu. Prema odjecima koji su stigli do nas, vjerujemo da je
natjecanje postiglo svoju svrhu i zainteresiralo učenike za rješavanje zadataka
iz matematike. U Hrvatskoj su se natjecali učenici u 320 osnovnih i 120 srednjih
škola u svim županijama, i to u šest kategorija: Leptirići, Ecolier, Benjamin,
Cadet, Junior, Student. Ukupno se natjecalo 29 806 učenika.
Sudjelovalo je 6 743 učenika II. i III. razreda osnovne škole (L), 8 365
učenika IV. i V. razreda osnovne škole (E), 6 166 učenika VI. i VII. razreda
osnovne škole (B), 4 526 učenika VIII. razreda osnovne i I. razreda srednje
škole (C), 2 935 učenika II. i III. razreda srednje škole (J) i 1 071 učenik IV.
razreda srednje škole (S).
Sljedeći zadatci mogu vas upoznati s prošlogodišnjem natjecanjem i
korisno poslužiti kao pripreme za novo natjecanje koje će se održati 19. ožujka
2009. godine.
Leptirići – učenici II. i III. razreda
Pitanja za 3 boda
1. Ako jedemo tri obroka dnevno, koliko obroka ukupno pojedemo
srijedom i četvrtkom?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
2. Gita šeće stazom slijeva udesno i stavlja brojeve u svoju košaru. Koji se
od sljedećih brojeva mogu naći u njezinoj košari?
A) 1, 2 i 4
110
B) 2, 3 i 4
C) 2, 3 i 5
D) 1, 5 i 6
E) 1, 2 i 5
4. Koliko je zvjezdica unutar okvira?
A) 60 Β) 55
C) 50
D) 45
E) 40
Pitanja za 4 boda
5. Mirjana je mami, baki, teti i dvjema sestrama (svakoj) poklonila po
kiticu cvijeća. Koja je od njih za mamu ako se zna:
• Cvijeće za tetu i sestre je iste boje
• Baka nije dobila ruže.
A)
B)
C)
D)
E)
žuti
tulipani
crvene
ruže
crveni
karanfili
žute
ruže
žuti
karanfili
6. Zaporka (šifra) za otvaranje starinske blagajne je troznamenkasti broj
sastavljen od različitih znamenki. Koliko različitih zaporki možemo složiti
koristeći znamenke 2, 4 i 6?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
7. Promotrimo niz kvadrata i njihovih dijelova. Kvadrati imaju 1, 4, 7,
odnosno 10 dijelova.
Koliko će dijelova imati sljedeći kvadrat u nizu?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15.
8. Koji broj treba upisati u tamni oblak kako bi sva računanja bila točna?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
111
atka 17 (2008./2009.) br. 66
3. Ulaznica za odrasle pri posjetu Zoološkom vrtu stoji 30 kn, a za djecu je
10 kn jeftinija. Koliko za ulaznice mora platiti otac s dvoje djece?
A) 50 kn
B) 60 kn
C) 70 kn
D) 100 kn
E) 120 kn
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Pitanja za 5 bodova
9. Gabrijela je viša od Arijane i niža od Tamare. Ivica je viši od Krune i niži
od Gabrijele. Tko je najviši?
A) Gabrijela B) Arijana C) Kruno
D) Ivica E) Tamara
10. Za šest i po sati bit će četiri sata poslije ponoći. Koliko je sada sati?
A) 21:30 B) 04:00
C) 20:00
D) 02:30
E) 10:30
11. Oluja je napravila rupu na prednjoj strani krova. U svakom od 7 redova
bilo je 10 crjepova. Koliko je crjepova preostalo na prednjoj strani krova?
A) 57 B) 59
C) 61
D) 67
E) 70
12. Tereza ima 37 CD-a. Njezina prijateljica Klaudija joj je predložila: Ako mi
daš svojih 10 CD-a, obje ćemo ih imati jednaki broj. Koliko CD-a ima Klaudija?
A) 10 B) 17
C) 22
D) 27
E) 32
Ecolier – učenici IV. i V. razreda
Pitanja za 3 boda
1. Ako jedemo tri obroka dnevno, koliko obroka pojedemo u jednome
tjednu?
A) 7
B) 18 C) 21
D) 28 E) 37
2. Ulaznica za odrasle pri posjetu Zoološkom vrtu stoji 40 kn, a za djecu je
10 kn jeftinija. Koliko za ulaznice mora platiti otac s dvoje djece?
A) 50 kn B) 60 kn
C) 70 kn
D) 100 kn
E) 120 kn
3. Promotrimo niz kvadrata i njihovih dijelova. Kvadrati imaju 1, 4, 7,
odnosno 10 dijelova.
Koliko će dijelova imati sljedeći kvadrat u nizu?
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14
E) 15
4. Tereza ima 37 CD-a. Njezina prijateljica Klaudija joj je predložila:
Ako mi daš svojih 10 CD-a, obje ćemo ih imati jednaki broj. Koliko CD-a ima
Klaudija?
A) 10
B) 17
C) 22
D) 27
E) 32
112
žuti
tulipani
crvene
ruže
crveni
karanfili
žute
ruže
žuti
karanfili
6. Za šest i po sati bit će četiri sata poslije ponoći. Koliko je sada sati?
A) 21:30 B) 04:00
C) 20:00
D) 02:30
E) 10:30
7. Rina je nacrtala točku na papiru. Sada treba nacrtati četiri pravca koji
prolaze tom točkom. Na koliko dijelova ti pravci dijele papir?
A) 4
B) 6
C) 5
D) 8 E) 12
8. Koliko je zvjezdica unutar okvira?
A) 80
Β) 78 C) 75
D) 72
E) 70
Pitanja za 4 boda
9. Gabrijela je viša od Arijane i niža od
Tamare. Ivica je viši od Krune i niži od Gabrijele.
Tko je najviši?
A) Gabrijela B) Arijana C) Kruno D) Ivica E) Tamara
10. Oluja je napravila rupu na prednjoj strani krova. U
svakom od 7 redova bilo je 10 crjepova. Koliko je crjepova
preostalo na prednjoj strani krova?
A) 57
B) 59 C) 61
D) 67 E) 70
11. Ivan množi zadani broj s 3, Petar dodaje 2, a Nikola oduzima 1. U
kojem će redoslijedu od broja 3 dobiti” broj 14?
“
A) Ivan, Petar, Nikola B) Petar, Ivan, Nikola
C) Ivan, Nikola, Petar
D) Nikola, Ivan, Petar
E) Petar, Nikola, Ivan
113
atka 17 (2008./2009.) br. 66
5. Mirjana je mami, baki, teti i dvjema sestrama (svakoj) poklonila po
kiticu cvijeća.
Koja je od njih za mamu ako se zna:
• Cvijeće za tetu i sestre je iste boje
• Baka nije dobila ruže.
A)
B)
C)
D)
E)
atka 17 (2008./2009.) br. 66
12. Koji izraz ima najmanju vrijednost?
A) 2 + 0 + 0 + 8
B) 200 : 8
C) 2 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 8 D) 200 – 8 E) 8 + 0 + 0 – 2
13. U hotel je stigla skupina od 21 gosta. Dio te skupine popunio je 5
trokrevetnih soba, a ostali su smješteni u dvokrevetne. Koliko je dvokrevetnih
soba popunjeno gostima iz te skupine?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
14. Koja se od sljedećih figura najčešće pojavljuje u nizu?
A) samo B) samo C) samo
E) sve se pojavljuju jednako često
D)
i
15. Karmela oblikuje figure pomoću dvaju trokuta s donje slike. Koju
figuru ne može dobiti?
A)
B)
C)
D)
E)
16. Ana je od 5 kocaka napravila figuru kao na slici na rubu.
Koju od sljedećih figura (gledanu s bilo koje strane) ne može dobiti od
početne figure ako smije premještati samo jednu kocku?
A)
B)
C)
D)
E)
Pitanja za 5 bodova
17. Na CD-u su tri pjesme. Prva traje 6 minuta i 25 sekundi, druga 12 minuta
i 25 sekundi, a treća 10 minuta i 13 sekundi. Koliko ukupno traju sve tri pjesme?
A) 28 minuta i 30 sekundi B) 29 minuta i 3 sekunde
C) 30 minuta i 10 sekundi D) 31 minutu i 13 sekundi
E) 31 minutu i 23 sekunde
114
Opseg tratine je 20 m, a opseg gredice 12 m. Koliki je opseg bazena?
A) 10 m B) 12 m
C) 14 m
D) 16 m E) 18 m
19. Klokan Skočko primijetio je da se svake zime udeblja 5 kg, a svakoga
ljeta smršavi samo 4 kg. Njegova kilaža” se ne mijenja u proljeće i jesen. U
“
proljeće 2008. ima 100 kg. Koliko je kilograma imao u jesen 2004.?
A) 92 kg B) 93 kg
C) 94 kg
D) 96 kg E) 98 kg
20. Janica je gađala metu dvjema strjelicama. Na
crtežu vidimo njezin rezultat” koji vrijedi 5 bodova. Ako
“
obje strjelice pogode metu, koliko različitih rezultata”
“
može biti ostvareno?
A) 4
B) 6
C) 8 D) 9
E) 10
21. Vilko ima jednako mnogo braće i sestara. Njegova sestra Vilma ima
dvostruko više braće od sestara. Koliko djece ima u njihovoj obitelji?
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6 E) 7
22. Koliko ima dvoznamenkastih brojeva takvih da je ˝desna˝ znamenka
veća od lijeve” znamenke?
“
A) 26
B) 18
C) 9
D) 30
E) 36
23. Jedna strana kocke razrezana je po njezinim dijagonalama (kao na
slici). Koja od sljedećih mreža nije mreža kocke na slici?
1
2
3
4
5
A) 1 i 3 B) 1 i 5
C) 3 i 4 D) 3 i 5 E) 2 i 4
24. U kutiji se nalazi 7 karata. Na kartama su napisani brojevi od 1 do 7
(na svakoj karti točno jedan broj). Matija uzima iz kutije nasumce 3 karte, a
Luka 2 karte (dvije su karte ostale u kutiji). Tada Matija kaže Luki: Znam da je
zbroj brojeva na tvojim kartama paran. Zbroj brojeva Matijinih karata iznosi:
A) 10 B) 12
C) 6
D) 9 E) 15
115
atka 17 (2008./2009.) br. 66
18. Vrt kvadratnog oblika podijeljen je na 4 dijela kao na slici: bazen
(B), gredicu s cvijećem (G), tratinu (T) i pješčanik (P). Tratina i gredica su
kvadratnog oblika. atka 17 (2008./2009.) br. 66
Benjamin – učenici VI. i VII. razreda
Pitanja za 3 boda
1. Koji izraz ima najmanju vrijednost?
A) 2 + 0 + 0 + 8
B) 200 : 8
D) 200 – 8 E) 8 + 0 + 0 – 2
2. Čime mora biti zamijenjen
×
A) 2 = 2 × 2 × 3 × 3 ?
B) 3 C) 2 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 8
da bismo dobili ispravnu jednakost
C) 2 × 3
D) 2 × 2 E) 3 × 3
3. Josip uvijek množi s 3, Petar uvijek pribraja 2, a Nikola uvijek oduzima
1. Kojim redoslijedom moraju izvršiti svoje operacije da bi od broja 3 došli do
broja 14?
A) Josip, Petar, Nikola B) Petar, Josip, Nikola C) Josip, Nikola, D) Nikola, Josip, Petar E) Petar, Nikola, Josip Petar
4. Da bi zadana jednakost 1 + 11 – 2 = 100 bila točna, znak  mora se
zamijeniti s:
A) + B) –
C) ×
D) 0 E) 1
5. Katica se igra kartama u obliku dvaju jednakostraničnih trokuta. Ona
stavlja te karte jednu pored druge ili jednu na drugu na isti komad papira,
a zatim crta njihove obrise. Od prikazanih oblika samo jedan nije ispravan.
Koji?
A)
B)
C)
D)
E)
6. Od koliko jednakih šibica nije moguće sastaviti trokut? (Šibice se ne
smiju lomiti!)
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4 E) 3
7. U gusarskoj školi svaki učenik mora sašiti svoju crno-bijelu zastavu.
Pri tome mora biti ispunjen uvjet da crni dio čini tri petine zastave. Koliko od
prikazanih zastava ispunjava taj uvjet?
116
B) jedna
C) dvije
D) tri atka 17 (2008./2009.) br. 66
A) nijedna
E) četiri
8. Prije grudanja Nenad je pripremio nekoliko gruda. Tijekom grudanja
napravio ih je još 17. Ako je 21 grudu bacio na ostale dječake, a na kraju mu je
ostalo 15 gruda, koliko je gruda priredio prije grudanja?
A) 53 B) 33
C) 23
D) 19
E) 18
Pitanja za 4 boda
9. Zadani su brojevi a = 2 – (–4), b = (–2) · (–3), c = 2 – 8, d = 0 – (–6)
i e = –12 : (–2). Koliko od njih nije jednako broju 6?
A) 0 B) 1
C) 2
D) 4 E) 5
10. U tablici 2 × 2 napisani su brojevi 2, 3, 4 i još jedan broj. Ako znamo da
je zbroj brojeva u prvom retku 9, a u drugom retku 6, koji je nepoznat broj?
A) 5 B) 6
C) 7
D) 8 E) 4
11. Ovo je malena tablica množenja, a ovo je druga tablica kojoj, nažalost,
manjkaju neki brojevi. Koji se broj nalazi u kvadratu na mjestu upitnika?
A) 54 B) 56
C) 65
D) 36 12. U trgovini igračaka složen je cvijet od kocaka” na
“
četiri kata, kako prikazuje slika 1. Svaki kat čine kocke iste
boje. Na drugoj slici cvijet gledamo s vrha. Koliko nam je
bijelih kocaka potrebno da bismo sagradili takav cvijet?
A) 9 B) 10
C) 12
D) 13 E) 14
E) 42
Slika 1.
Slika 2.
13. Za okruglim stolom je 60 stolica. Za stol je sjelo n osoba tako da svaka
od njih ima svog susjeda. Koliko je najmanje osoba sjelo za stol?
A) 40
B) 30
C) 20
D) 10
E) nijedan od predviđenih odgovora
117
atka 17 (2008./2009.) br. 66
14. U 5 kutija imamo karte označene slovima B, R, A, V, O, kao što je
prikazano. Boris želi ukloniti karte iz kutija tako da na kraju u svakoj kutiji
ostane samo po jedna karta i da na svakoj od njih piše različito slovo. Koje je
slovo u kutiji 5?
A) nemoguće je
B) A C) V
D) O
E) R
15. Trokut i kvadrat imaju isti opseg. Koliki je opseg prikazane figure
(peterokuta)?
A) 12 cm B) 24 cm
C) 28 cm
D) 32 cm
E) ovisi o veličini trokuta
16. Ako prikazane krugove na zidu gađamo s dvije strijele, a zatim dobivene
brojeve zbrojimo, koliko različitih rezultata možemo postići? (I promašaj se
računa.)
A) 4
B) 6
C) 8 D) 9 E) 10
Pitanja za 5 bodova
17. Točke A, B, C, D smještene su na pravac po nekom redoslijedu. Ako
znamo da su udaljenosti između točaka |AB| = 13, |BC| = 11, |CD| = 14 i
|DA| = 12, kolika je udaljenost između dviju najudaljenijih točkaka?
A) 14 B) 38
C) 50
D) 25 E) neki drugi odgovor
18. Danas izjavljujem: Za dvije godine moj će sin biti dva puta stariji nego
prije dvije godine. Za tri godine moja kći bit će tri puta starija nego prije tri
godine. Koji je od ponuđenih odgovora točan?
A) Sin je godinu dana stariji od kćeri. B) Kći je godinu dana starija od sina.
C) Istih su godina. D) Sin je dvije godine stariji od kćeri.
E) Kći je dvije godine starija od sina.
19. Pet znakova @, *, #, &, ^ predstavlja pet različitih prirodnih brojeva.
Koji broj odgovara znaku ^ ?
@ + @ + @ = *,
# + # + # = &,
*+&=^
A) 0
B) 2
C) 6
D) 8
E) 9
118
21. Slika predstavlja plan grada kojim kružno voze četiri
autobusa. Autobus broj 1 prolazi raskrižjima C-D-E-F-G-H-C i
prelazi put dugačak 17 km. Autobus broj 2 prolazi raskrižjima A-BC-F-G-H-A i njegov je put dug 12 km. Autobus broj 3 prolazi А-BC-D-E-F-G-H-A, a put mu je dug 20 km, dok autobus broj 4 prelazi
put C-F-G-H-C. Koliko kilometara prijeđe autobus broj 4?
A) 5 km B) 8 km
C) 9 km
D) 12 km E) 15 km
22. U kutiji je sedam karata, a na svakoj je od njih napisan samo jedan
broj od 1 do 7. Mladen nasumce izvlači tri karte, zatim Vesna izvlači dvije
karte, tako da su u kutiji preostale dvije karte. Tada Mladen kaže Vesni: Ja
sam siguran da je zbroj tvojih karata paran broj. Koliki je zbroj karata koje je
izvukao Mladen?
A) 10 B) 12
C) 6 D) 9
E) 15
23. Stariji modeli televizora imaju ekran čije su stranice u omjeru 4 : 3,
dok ekrani novih modela imaju omjer stranica 16 : 9. Film s DVD–a u cijelosti
ispunjava ekran na novom televizoru (vidi sliku). Ako taj isti film gledamo na
starom televizoru, on u cijelosti ispunjava samo duljinu ekrana, no ne i visinu.
Kolika je površina ekrana koju ne zauzima film na starome televizoru? A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E) ovisi o veličini ekrana
24. Svakom dvoznamenkastom broju oduzmi znamenku desetica od
znamenke jedinica. Koliki je zbroj tako dobivenih rezultata? A) 90 B) 100
C) 55
D) 45 E) 30
119
atka 17 (2008./2009.) br. 66
20. Tri prijatelja žive u istoj ulici: liječnik, inženjer i glazbenik, a njihova
su imena Savić, Robić i Ferić. Liječnik nema ni sestre ni brata i najmlađi je
među prijateljima. Ferić je stariji od inženjera i oženjen je Savićevom sestrom.
Navedite redom imena liječnika, inženjera i glazbenika:
A) Savić, Robić, Ferić
B) Ferić, Savić, Robić
C) Robić, Savić, Ferić
D) Robić, Ferić, Savić
E) Savić, Ferić, Robić
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Cadeti – učenici VIII. razreda osnovne i I. razreda srednje škole
Pitanja za 3 boda
1. U gusarskoj školi svaki učenik mora sašiti svoju crno-bijelu zastavu.
Pri tome mora biti ispunjen uvjet da crni dio čini tri petine zastave. Koliko od
prikazanih zastava ispunjava taj uvjet?
A) nijedna B) jedna
C) dvije
D) tri E) četiri
2. U razrednom odjeljenju ima 9 dječaka i 13 djevojčica. Polovina djece u
odjeljenju ima prehladu. Koliko djevojčica najmanje ima prehladu?
A) 0 B) 1
C) 2
D) 3 E) 4
3. 6 klokana pojede 6 vreća sijena u 6 minuta. Koliko će klokana pojesti
100 vreća sijena za 100 minuta?
A) 100 B) 60
C) 6 D) 10 E) 600
4. Brojeve 2, 3, 4 i još jedan nepoznati prirodni broj treba upisati u
kvadratiće na slici. Zbroj brojeva u prvom retku mora biti 9, a zbroj brojeva u
drugom retku 6. Nepoznati broj je
A) 5 B) 6
C) 7
D) 8 E) 4
5. Trokut i kvadrat na slici imaju jednake opsege.
Koliki je opseg cijelog lika (peterokuta)?
A) 12 cm
B) 24 cm C) 28 cm D) 32 cm E) ovisno o duljinama stranica trokuta
6. Cvjećarka Rina ima 24 bijele, 42 crvene i 36 žutih ruža. Koliko najviše
jednakih kitica Rina može složiti ako želi upotrijebiti sve ruže?
A) 4 B) 6
C) 8
D) 10 E) 12
7. Koliko se kvadrata može nacrtati spajanjem točaka na slici?
A) 2
B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
8. Tri pravca prolaze istom točkom. Veličine dvaju kutova su 108° i 124°,
kao što se vidi na slici. Koliko stupnjeva ima kut osjenčan sivom bojom?
A) 52°
B) 53°
C) 54°
D) 55°
E) 56°
120
9. Na kocki su odsječeni vrhovi, kao na slici. Koliko bridova ima nova”
“
figura na slici?
A) 26
B) 30
C) 36
D) 40
E) neki drugi odgovor
10. Danijel ima 9 novčića, svaki vrijednosti 2 lipe, a njegova sestra Ana
ima 8 novčića vrijednosti 5 lipa svaki. Koliko najmanje novčića trebaju
međusobno razmijeniti Danijel i Ana da bi imali jednake novčane iznose?
A) 4 B) 5
C) 8 D) 12
E) nije moguća takva razmjena
11. Tom i Jerry razrezali su 2 sukladna pravokutnika. Tom je dobio 2
pravokutnika, svaki opsega 40 cm, a Jerry 2 pravokutnika, svaki opsega 50 cm.
Koliki je bio opseg početnih pravokutnika?
A) 40 cm B) 50 cm C) 60 cm
D) 80 cm
E) 90 cm
12. Jedna strana kocke razrezana je po njezinim dijagonalama (kao na
slici). Koja od sljedećih mreža nije mreža kocke na slici?
1
2
3
4
5
A) 1 i 3 B) 1 i 5 C) 3 i 4 D) 3 i 5 E) 2 i 4
13. Na pravcu su istaknute točke A, B, C i D. Poznate su sljedeće
duljine: |AB|= 13, |BC|= 11, |CD|= 14 i |DA| = 12. Kolika je udaljenost dviju
najudaljenijih točaka?
A) 14 B) 38
C) 50
D) 25
E) drugi odgovor
14. U pravokutnik su upisane 4 kružnice duljine polumjera 6 cm, kao na
slici. Točka P je vrh pravokutnika, a točke Q i R dirališta kružnica i stranica
pravokutnika. Kolika je površina trokuta PQR?
A) 27 cm2 D) 108 cm2
B) 45 cm2
E) 180 cm2
C) 54 cm2
121
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Pitanja za 4 boda
atka 17 (2008./2009.) br. 66
15. U kutiji se nalazi 7 karata. Na kartama su napisani brojevi od 1 do 7
(na svakoj karti točno jedan broj). Matija uzima iz kutije nasumce 3 karte, a
Luka 2 karte (2 su karte ostale u kutiji ). Tada Matija kaže Luki: Znam da je
“
zbroj brojeva na tvojim kartama paran”. Zbroj brojeva Matijinih karata iznosi:
A) 10 B) 12
C) 6
D) 9 E) 15
16. Francuski matematičar August de Morgan imao je x godina u godini
x 2 . Umro je 1899. godine. Kada se de Morgan rodio?
A) 1806. B) 1848.
C) 1849. D) 1899.
E) drugi odgovor
Pitanja za 5 bodova
17. Simetrala kuta ACB uz osnovicu BC jednakokračnog trokuta ABC
siječe krak AB u točki D. Ako je |BC| = |CD|, kolika je veličina kuta CDA?
A) 90° B) 100°
C) 108° D) 120°
E) nemoguće je odrediti
18. Drvena kocka 11 × 11 × 11 nastala je lijepljenjem 113 jediničnih
kocaka. Koliko se najviše jediničnih kocaka može vidjeti gledajući iz iste točke
gledanja?
A) 328 B) 329
C) 330
D) 331 E) 332
19. U Malim astronomima” djevojke čine više od 45%, a manje od 50%
“
sastava. Koji je najmanji mogući broj djevojaka u toj skupini?
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6 E) 7
20. Dječak uvijek govori istinu četvrtkom i petkom, uvijek laže utorkom,
a ostale dane u tjednu govori istinu ili laže bez pravila. Sedam dana uzastopno
pitali su ga za njegovo ime, a odgovori su u prvih šest dana bili: Ivan, Branko,
Ivan, Branko, Petar, Branko. Što je dječak odgovorio sedmoga dana?
A) Ivan B) Branko
C) Petar D) Katarina E) drugi odgovor
21. Martina i Ivica krenuli su planinariti. U selu,
u podnožju planine, pročitali su oznaku na kojoj piše
da do vrha ima 2 sata i 55 minuta pješačenja. Napustili
su selo u 12 sati. U 13 sati stali su radi kratkog odmora
i pročitali novu oznaku na kojoj piše da do vrha ima
samo 1 sat i 15 minuta. Nakon 15 minuta nastavili
122
22. Nazovimo tri prosta broja specijalnima” ako je njihov umnožak 5 puta
“
veći od njihovog zbroja. Koliko specijalnih” trojki prostih brojeva postoji?
“
A) 0 B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
23. Zadana su dva skupa A i B peteroznamenkastih prirodnih brojeva. U
skupu A su brojevi čiji je umnožak svih znamenki 25, a u skupu B brojevi čiji
je umnožak svih znamenki 15. Koji skup ima više brojeva? Koliko puta više?
A) skup A, 5/3 puta
B) skup A, 2 puta
C) skup B, 5/3 puta
D) skup B, 2 puta
E) oba skupa imaju jednaki broj članova
24. Najveći zajednički djelitelj dvaju prirodnih brojeva m i n je 12, a njihov
n m n m
najmanji zajednički višekratnik je kvadrat. Između 5 brojeva - , , , ,
3 3 4 4
m ⋅ n - koliko su njih kvadrati?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) nemoguće je odrediti
RJEŠENJA
LEPTIRIĆI
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
C C C D B E C C E A A B
ECOLIER
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
C D C B B A D E E A B C C D E D B D A B E E D B
BENJAMIN
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24
C C B D E D C D B B A E E D B D D C E C C B C D
CADET
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
C C C B B B C A C B C D D D B A C D C A B B D B
123
atka 17 (2008./2009.) br. 66
su put istom brzinom kao i prije i nisu se više zaustavljali do vrha. U koje su
vrijeme stigli na vrh?
A) 14:30 B) 14:00
C) 14:55
D) 15:10
E) 15:20
atka 17 (2008./2009.) br. 66
ZADATCI ZA MATKAČE POČETNIKE
ZADATCI ZA
MATKAČE POČETNIKE
Za ovaj broj
atke zadatke su nam poslali
atkači Igor Miškulin,
Ivan Šandrk, Petra Ivić, Sanja Pavić i Irena Petrić, a odabrali su ih i uredili
Marija Rako i Mate Prnjak. Zadatke je ilustrirala atkačica Jelena Grbavec.
Zahvaljujemo im na suradnji te pozivamo ostale atkače da se pridruže u
slanju i rješavanju zadataka.
Nagradit ćemo i objaviti ime svakog
najmanje triju postavljenih zadataka.
atkača koji nam pošalje rješenja
1. Množenje
Janko je pomnožio dva broja, ali su se neke znamenke obrisale. Koje je
brojeve Janko množio?
*5* . 3*6
7*2
2**6
*5**
***5*4
2. Olovke
Matija kupuje olovke za početak školske godine. Ako kupi 5 olovaka,
ostaju mu 2 kune, a ako kupi 6 olovaka, nedostaje mu 5 kuna. Kolika je cijena
jedne olovke i koliko je novaca Matija imao kod sebe?
3. Zamišljeni broj
Marko je zamislio neki broj. Pomnožio ga brojem 5, rezultatu dodao
10, sve pomnožio brojem 2, od dobivenog rezultata oduzeo 5, sve pomnožio
brojem 3, dobivenom rezultatu dodao 25 i tako dobio 400. Koji je broj Marko
zamislio?
4. Koji broj?
Odredi najmanji broj koji moraš pribrojiti broju 3821 da dobiješ broj
djeljiv s 19.
124
atka 17 (2008./2009.) br. 66
5. Kuhinjske pločice
Majstor želi popločiti pod kuhinje oblika
pravokutnika čija je duljina 3.5 m, a širina 2.8 m.
Koliko mu treba pločica dimenzija 25 × 20 cm da
poploči cijeli pod? Koliki će broj pločica Marko
posložiti po duljini kuhinje, a koliki po širini
kuhinje?
6. Poljoprivredno zemljište
Neko poljoprivredno zemljište mogu obraditi 24 radnika. Nakon 5 dana
razbole se 2 radnika, a nakon 6 dana dođe još 5 radnika. Za koliko će dana
posao biti gotov?
7. Četverokut
Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama a = 10 cm i b = 5 cm. Iz vrha
A pravokutnika nacrtaj dužine koje spajaju polovište stranice BC i označi
presjek s E , te polovište stranice CD , pa označi presjek s F. Dobio si lik AECF.
Kolika mu je površina?
D
F
C
E
B
A
8. Služba za pomoć
Ured” Službe za pomoć u matematici otvoren je svakoga dana između
“
13 i 14 sati. Jednoga dana pomoć je zatražio 31 učenik, pri čemu je najkraće
vrijeme zadržavanja u uredu” bilo 10 minuta. Dokažite da je barem u jednom
“
trenutku u uredu” bilo najmanje 6 učenika.
“
9. Razredni odjel
U jednom razrednom odjelu ima 28 učenika, a broj djevojčica prema broju
dječaka odnosi se kao 4 : 3. Koliko u odjelu ima dječaka, a koliko djevojčica?
125
atka 17 (2008./2009.) br. 66
10. Marin i susjed
Pitao mali Marin susjeda Marka koliko ima godina, a susjed mu odgovori:
Meni je onoliko godina koliko se dobije kada se od mojih dvostrukih godina, koje
ću imati za 12 godina, oduzmu moje dvostruke godine koje sam imao prije 12
godina. Marin se zamisli, ali ubrzo i točno izračuna. Možeš li i ti?
11. Cijena knjige
Knjižara je izdavaču platila 80% prodajne cijene naznačene na računu.
Koliki je postotak zarade knjižare?
12. Duljina štapa
Ana i Maja su dobile zadatak da štapom jednake duljine izmjere dvije
dužine čije su duljine 546 cm i 756 cm. Kolika je najmanja duljina štapa kojim
mogu izmjeriti duljine tih dužina? Koliko puta taj štap stane po duljini svake
dužine?
13. Odijelo
Za odijelo treba 5 m platna širine 75 cm. Koliko bi metara platna trebalo
za takvo odijelo ako je platno širine 120 cm?
14. Brod
Ploveći uzvodno između dviju luka, riječni brod za 5 sati prijeđe put dug
63 km. Taj brod ploveći nizvodno prijeđe isti put za 3 sata. Kojom bi se brzinom
taj brod kretao u vodi stajaćici i kolika je brzina rijeke po kojoj brod plovi?
126
Neki posao 10 radnika može obaviti za 12 dana ako rade dnevno 10 sati.
Za koliko bi dana taj isti posao obavilo 15 radnika ako rade 8 sati dnevno ?
16. Tri prijatelja
Tri su prijatelja zaradu od 10 800 kn podijelila u omjeru 4 : 3 : 2. Koliko je
dobio svaki?
17. Električni bojler
Ako električni bojler za 3 sata i 15 minuta potroši 3.2 kilovata struje, koliko
će struje potrošiti za 6.5 sati?
18. Bez kalkulatora
Izračunaj zbroj prvih 1400 prirodnih brojeva.
19. Topla i hladna voda
Pomiješa li se 8 litara toplije i 2 litre hladnije vode, dobije se 10 litara vode
kojoj je temperatura 66ºC. Ako se pomiješa 7 l toplije i 3 l hladnije vode, dobije
se 10 l vode kojoj je temperatura 59ºC. Kolika je temperatura toplije, a kolika
hladnije vode?
20. Vlak
Ako bi vlak povećao brzinu za 20 km/h, za prelazak puta bilo bi mu
potrebno 2 sata vremena manje, a ako bi smanjio brzinu za 18 km/h, za isti bi
mu put trebalo 3 sata vremena više. Kolika je brzina vlaka i koliko je dug put
koji taj vlak prelazi ?
127
atka 17 (2008./2009.) br. 66
15. Na gradilištu
ODABRANI ZADATCI
atka 17 (2008./2009.) br. 66
ODABRANI ZADATCI
Vlado Stošić, Zagreb
955. Tvornica čokolade „Kraš“ u Zagrebu nekome naručitelju treba dostaviti
određeni broj Dorina čokolade od 200 g. Ako čokoladu pakiraju u
manje pakete, po 20 čokolada u svakome, onda će za transport trebati 5
paketa više nego ako bi jednaki broj čokolada pakirali u po 24 čokolade
u svakom paketu.
Koliko ukupno Dorina čokolade „Kraš“ treba isporučiti naručitelju?
956. Ako na jednu zdjelicu vage stavimo samo utege od 20 dag, a na drugu
zdjelicu samo utege od 50 dag, pri čemu je ukupan broj utega na obje
zdjelice 14, vaga će biti u ravnoteži. Koliko ukupno utega ima od 20 dag,
a koliko od 50 dag?
957. Tri učenika - Ante, Mate i Stipe - skupljali su orahe. Jedan od njih skupio
je 18, drugi 21, a treći 33 oraha. Ako Ante dade Stipi onoliko oraha
koliko je Stipe imao, a zatim Stipe dade Mati onoliko oraha koliko je
Mate imao, i ako Mate dade Anti onoliko oraha koliko je Anti preostalo,
onda će sva trojica imati jednaki broj oraha.
Koliko je oraha skupio Ante, koliko Mate, a koliko Stipe?
958. Ako je zbroj znamenaka a + b troznamenkastog broja aba djeljiv brojem
7, onda je i broj aba također djeljiv brojem 7. Dokažite.
959. Odredite dva broja, tako da je njihov zbroj 3 puta veći od njihove razlike,
a 2 puta manji od njihovog umnoška.
128
961. Dokažite da svaki prosti broj veći od 3 ima:
a) ili oblik 4k + 1, ili oblik 4k + 3,
b) ili oblik 6k + 1, ili oblik 6k + 5, pri čemu je k prirodan broj.
962. Neki šesteroznamenkasti broj djeljiv je brojem 7. Dokažite: ako znamenku jedinica tog šesteroznamenkastog broja premjestimo na prvo mjesto,
novi će šesteroznamenkasti broj također biti djeljiv brojem 7.
963. Ako su kutovi uz osnovicu trapeza jednaki, onda je taj trapez
jednakokračan. Dokažite.
964. Izračunajte:
2003 ⋅ 2005 ⋅ 2007 ⋅ 2009 + 16 .
965. Odredite troznamenkasti broj abc tako da je točna jednakost
2
abc = mnvabc , pri čemu neke od znamenaka m, n, v mogu biti
jednake.
966. Konstruirajte jednakokračan trokut ako su zadana nožišta triju visina.
129
atka 17 (2008./2009.) br. 66
960. Na ploči je napisan niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, . . . , 20, 21. Dva učenika
igraju ovakvu igru: svaki učenik naizmjenično precrtava jedan prirodan
broj, pri čemu svaki učenik smije precrtati samo broj koji nije precrtan.
Igra je završena kad na ploči ostanu dva neprecrtana broja. Ako je zbroj
tih dvaju brojeva djeljiv s 5, onda je pobjednik učenik koji je započeo
igru, a ako zbroj tih dvaju brojeva nije djeljiv s 5, onda je pobjednik
drugi učenik. Koji će učenik pobijediti?
atka 17 (2008./2009.) br. 66
RAČUNALA
Microsoft Excel i matematika (2)
Ivana Kokić, Zagreb
U prošlom broju atke mogli ste vidjeti neke od primjena programa
Microsoft Excel u nastavi matematike. U ovom ću broju pokazati kako u
navedenom programu možemo ucrtavati točke u koordinatni sustav, te kako
nam koordinatni sustav može pomoći pri crtanju geometrijskih tijela.
Primjer 1. U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtajmo i
spojimo točke:
(6, 8), (7, 7), (7, 6), (8, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 1), (3, 1), (2, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 6), (2, 7), (3, 8) i (6, 8);
zatim ucrtajmo i spojimo točke: (3, 2), (3, 3), (6, 3), (6, 2) i (3, 2);
ucrtajmo i spojimo točke: (3, 5), (3, 6), (4, 6), (4, 5) i (3, 5) te
ucrtajmo i spojimo točke: (5, 5), (5, 6), (6, 6), (6, 5) i (5, 5).
Rješenje: Premda vam se možda čini čudnim, u Microsoft Excelu
možemo i ucrtavati točke u pravokutni koordinatni sustav. Postupak je malo
kompliciraniji nego kod nekog programa dinamične geometrije, ali ako nemate
neki takav program, može vam pomoći i Microsoft Excel.
Prvi korak ucrtavanja točaka u koordinatni sustav je njihovo unošenje u
tablicu, i to na način da nam jedan stupac predstavlja apscisu točke, a drugi
stupac ordinatu točke.
x
6
7
7
8
8
7
6
3
2
1
1
2
2
3
6
130
y
8
7
6
5
4
3
1
1
3
4
5
6
7
8
8
x
3
3
6
6
3
y
2
3
3
2
2
x
3
3
4
4
3
y
5
6
6
5
5
x
5
5
6
6
5
y
5
6
6
5
5
U sljedećem dijaloškom prozoru odabiremo raspon podataka.
Ako otvorimo karticu Nizovi, u
pretpregledu ćemo uočiti nekakav
čudan graf, a na legendi možemo
uočiti 10 nizova. Naime, Microsoft Excel je po preddefiniranju
za apscisu uzeo podatke iz prvog
stupca koji smo unijeli, a podatke
u svim ostalim stupcima smatra
ordinatama.
131
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Nakon što smo upisali sve podatke u tablicu, označimo cijelu tablicu, osim
prvog reda (reda u kojem je upisano x, odnosno y), a zatim pritiskom na sličicu
pokrenemo čarobnjaka za izradu grafikona.
U prvom koraku u kartici Standardne vrste odaberemo XY (raspršeni) vrstu
grafikona, a kao podvrstu odaberemo Raspršeni s točkama podataka povezanima
crtama (prva sličica u trećem redu) i odaberemo naredbu Naprijed.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Mi to ne želimo, pa ćemo za svaki niz promijeniti Vrijednost X i Vrijednost
Y. To ćemo učiniti pritiskom na sličicu , pazeći pri tome koju vrijednost
biramo. Pritiskom na navedenu sličicu prozor se smanjio.
Prozor se smanjio stoga što mi moramo ili ručno upisati adrese ćelija
koje želimo da nam predstavljaju Vrijednost X, odnosno Vrijednost Y, ili pak
jednostavno možemo označiti te ćelije, tj. u našem slučaju cijeli stupac. Ovaj
postupak za naš zadatak moramo ponoviti četiri puta. Budući da je program
predvidio 10 nizova, ostale nizove koji nam ne trebaju pobrišemo. Nakon svih
promjena prozor izgleda ovako:
U trećem dijaloškom prozoru biramo mogućnosti grafičkog prikaza
(naslove, osi, crte rešetke, legendu i naslove podataka). Zasada nećemo
mijenjati, nego ćemo samo odabrati naredbu Naprijed. U posljednjem
dijaloškom prozoru možemo birati gdje želimo da nam se prikaže grafikon. Po
početnim postavama grafikon se uvijek prikazuje na trenutnom listu. Završni
korak crtanja grafikona je odabir tipke Završi.
Nakon svih ovih koraka pojavi nam se graf kojemu je pozadina sive boje i
na kojemu možemo uočiti nekakav lik. No, taj lik i nije baš pregledan jer su se
njegove crte preklopile s crtama rešetke.
132
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Ne morate se zabrinjavati. To se može vrlo jednostavno promijeniti. Za
promjenu boje pozadine grafa dvokliknemo negdje unutar grafa (na sivi dio).
Pojavit će se dijaloški prozor za promjenu boje. U lijevom stupcu možemo
mijenjati boju okvira, a u desnom boju površine. Za naš zadatak najbolje je za
obje boje odabrati bijelu.
Za promjenu boje crta rešetke dvokliknemo na bilo koju crtu i u kartici
Uzorci odaberemo bijelu boju ili ih jednostavno označimo i izbrišemo pritiskom
na tipku delete.
Nakon ovih promjena dobijemo graf koji je znatno pregledniji.
133
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Primjer 2. U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtajmo i
punom crtom spojimo točke (8, 3), (6, 1), (1, 1), (1, 7), (3, 9), (8, 9) i (8, 3).
Zatim ucrtajmo i punom crtom spojimo točke (6, 1) i (6, 7), te točke (1, 7),
(6, 7) i (8, 9). Ucrtajmo i isprekidanom crtom spojimo točke (1, 1), (3, 3) i
(8,3). Na kraju ucrtajmo i isprekidanom crtom spojimo točke (3, 9) i (3, 3).
Rješenje: Kao i u prvom primjeru, prvi je korak unošenje podataka u
tablicu.
x
8
6
1
1
3
8
8
y
3
1
1
7
9
9
3
x
6
6
y
1
7
x
1
3
8
y
1
3
3
x
3
3
y
9
3
Nakon toga pokrenemo čarobnjaka za izradu grafova i slijedimo korake
na način kako je opisano u Primjeru 1.
Nakon što je čarobnjak nacrtao zadane točke i povezao ih dužinama,
vidimo da smo dobili kvadar. Budući da nam je u zadatku zadano kakva
koja crta treba biti, grafikon trebamo urediti. To možemo napraviti na dva
načina. Prvi način je da kliknemo na legendu u koju su upisani nizovi, a zatim
134
Ako ne želite da vam se vidi legenda, označite je i obrišite pritiskom na
tipku delete. Isto tako, ako ne želite da vam se vide koordinatne osi, označite ih
i izbrišite pritiskom na tipku delete.
Konačno naš grafikon odnosno kvadar izgleda ovako:
NAGRADNI ZADATAK:
Koristeći program Microsoft Excel nacrtajte kocku i šesterostranu
piramidu. Radove pošaljite na ivana.kokic1@skole.hr.
135
atka 17 (2008./2009.) br. 66
dvokliknemo na niz koji želimo mijenjati. Drugi način je da na grafikonu
dvokliknemo na element koji želimo mijenjati. U oba slučaja otvara nam se
dijaloški okvir u kojemu možemo mijenjati boju, debljinu ili stil crte, te boju,
vrstu, unutarnjost, okvir i veličinu točke.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
RJEŠENJA ZADATAKA
IZ BROJA 65.
Enigmatka
Ispunjaljka. Vidite crtež!
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
I
T
O
S
E
T
O
Z
U
Z
R
L
Č
T
T
L
P
U
T
I
I
E
K
E
R
A
O
M
A
J
S
T
A
T
I
S
T
I
K
A
Školski orkestar. Premetanjem slova imena i prezimena svakog učenika otkrivaju
se redom sljedeći instrumenti: kontrabas, mandolina, violina, tamburica, harmonika,
klarinet.
Račun zbrajanja. Tražena zamjena je ADEMOSŠTV = 975 042 316.
Zagonetka. Svaka riječ sadrži po jedan broj. Izdvojite iz svake riječi slovo na koje
upućuje broj. Sva izdvojena slova daju TROKUT.
Mala kombinacija. Vidite crteže!
K
R
A
Š
L
I
K
A
O
B
O
L
1
4
0
8
R
A
V
A
5
7
1
0
3
2
3
5
4
0
9
0
Jadranski zapisi. Premetanjem slova riječi pisanih velikim slovima dobivamo redom
PUNAT, UMAG, PULA, LOVRAN, OMIŠALJ, NOVALJA, DUGI RAT, LASTOVO,
ĆILIPI.
Test brzine. Jedno slovo B (BB = RRR = ZZZZZZZZZZZZ = OOOO).
Rješenja odabranih zadataka
943. a) 111

11 , b) 79 999.


43 jedinice
136
945.Ako je prvi broj niza 7, onda je drugi broj niza 7 + 5, treći je broj 7 + 10, četvrti
7 + 15, . . . , a 2008. broj niza je 7 + x. Promotrimo sad povećanje svakog broja niza
počevši od drugog broja niza, tj. 5, 10, 15, . . ., x. Drugi je broj za 5 veći od prvog
broja, što možemo pisati i ovako: (2 – 1) · 5, tj. 1 · 5. Treći je broj niza za 10 veći
od prvog, što možemo pisati i kao (3 – 1) · 5. Četvrti je broj za 15 veći od prvog
broja, što možemo pisati i kao (4 – 1) · 5. Nastavljajući ovakvim razmišljanjem,
zaključujemo da je 2008. broj niza od prvoga broja veći za x, pa možemo pisati
x = (2008 – 1) · 5, ili x = 2007 · 5, tj. x = 10 035. Prema tome, 2008. broj niza jednak
je 7 + 10 035, tj. 10 042.
946.Neka je a metara duljina koraka drugog pješaka. Tada je 0.9a duljina koraka
prvog pješaka. Kada drugi pješak načini 10 svojih koraka, tada prvi pješak načini
11 svojih koraka. To znači da će za isto vrijeme drugi pješak prijeći put dug 10a
metara, a prvi pješak 11 · 0.9a, tj. 9.9a metara. Zbog 9.9a < 10a zaključujemo da
drugi pješak ide brže, a prvi pješak, čiji su koraci kraći ali češći, ide sporije.
947.Neka je a prvi broj, a b drugi broj niza, i neka je n zbroj svih 6 brojeva niza. Tada
je a + b treći broj, a + 2b četvrti broj, 2a + 3b peti i 3a + 5b šesti broj niza. Zato je
zbroj svih 6 brojeva niza jednak n = a + b + a + b + a + 2b + 2a + 3b + 3a + 5b ili
n = 8a + 12b, tj. n = 4(2a + 3b). Zbog uvjeta zadatka da je peti broj niza jednak
2008, slijedi da je 2a + 3b = 2008.
Nakon zamjene u jednakost n = 4(2a + 3b) dobivamo da je n = 4 · 2008, tj.
n = 8032. Prema tome, zbroj svih 6 brojeva danog niza jednak je 8032.
948.Iz jednakosti n · a = a zaključujemo da je broj n neutralni element za množenje
prirodnih brojeva, pa je n = 1. Budući da je b znamenka, slijedi da je b ≤ 9. Zato iz
jednakosti a · a = b zaključujemo da je ili a = 2, ili a = 3. Naime, zbog n = 1 slijedi da
je a > 1. Iz jednakosti a – c = n vrijedi jednakost a = c + 1, a to znači da je c < a. Zato je
c = 2 i a = 3, pa je b = 9. Ostaje još da odredimo znamenke d i e. Iz jednakosti c · d = e,
tj. 2 · d = e zaključujemo da je d > 3 zbog a = 3 i d < 5 jer je e znamenka. To znači da je
d = 4, pa je e = 8. Prema tome, tražene su znamenke a = 3, b = 9, c = 2, d = 4, e = 8,
n = 1.
949.Neka su a i b dva cijela broja. Tada vrijedi jednakost a · b = a + b, ili dalje redom:
ab – a – b = 0, ab – a – b + 1 = 1 , a(b – 1) – (b – 1) = 1, (b – 1)(a – 1) = 1. Umnožak
dvaju cijelih brojeva jednak je 1 ako je svaki faktor 1 ili ako je svaki faktor – 1.
Promotrimo svaki od navedenih mogućih slučajeva.
1° Ako je b – 1 = 1 i a – 1 = 1, onda je b = 2 i a = 2.
2° Ako je b – 1 = – 1 i a – 1 = – 1, onda je b = 0 i a = 0.
Prema tome, traženi parovi cijelih brojeva su 2 i 2, odnosno 0 i 0.
137
atka 17 (2008./2009.) br. 66
944.Neka je a djeljenik i q količnik. Tada vrijedi jednakost a = 60q + 55, ili dalje
a = 15 · 4q + 45 + 10, a = 15(4q) + 15 · 3 + 10, a = 15(4q + 3) + 10, a ovu jednakost
možemo pisati i ovako: a = 15q1 + 10, pri čemu je q1 novi količnik, tj. q1 = 4q + 3 i
r1 = 10. Zato je novi količnik jednak četverostrukom početnom količniku
uvećanom za 3, a novi je ostatak jednak 10.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
950. Umnožak danih dvoznamenkastih brojeva možemo pisati redom:
ab ⋅ ac = (10a + b)(10a + c) = 100a 2 + 10ac + 10ab + bc ,
ab ⋅ ac = 100 a 2 + 10 a(b + c) + bc ,
ab ⋅ ac = 100 a 2 + 10a ⋅ 10 + bc , ab ⋅ ac = 100 a 2 + 100a + bc ,
ab ⋅ ac = 100 a(a + 1) + bc .
Iz zadnje jednakosti zaključujemo da je broj stotica traženog umnoška jednak
a(a + 1), a broj jedinica umnoška jednak je umnošku znamenki b i c, tj. b · c.
Primjerice, 47 · 43 = 100 · 4 · 5 + 3 · 7 = 2021.
951. Iz jednakosti |CD| = |BC| slijede ove jednakosti: |DM|+ |CM| = |BN| + |CN| ili
|DM| + |CM| = |BN| + |CM|, tj. |DM| = |BN|. Budući da je |AD| = |AB|, |DM|
= |BN| i |ADM| = |ABN| = 90°, slijedi da je ∆ADM  ∆ABN. Iz dokazane
sukladnosti trokuta vrijede ove jednakosti: |AM| = |AN| i |MAD| = |BAN|.
Budući da je |AD| = |AB|, |MAD| = |EAD| = |BAN| = |BAF|, ili |EAD| =
|BAF| i |ADE| = |ABF| = 45° (jer je to svojstvo dijagonale kvadrata), slijedi
da je ∆ADE  ∆ABF.
Iz dokazane sukladnosti trokuta slijedi da je |DE| = |BF| = 3. Iz jednakosti |DB| =
|DE| + |EF| + |FB| nakon zamjene danih i dobivenih vrijednosti dobivamo da je
|DB| = 3+ 4 + 3, tj. |DB| = 10. Naravno da je i |AC| = |BD| = 10.
952. Neka je ab traženi dvoznamenkasti broj. Tada vrijedi jednakost ab + 6 = (a + b)2.
Lako se pokaže da (a + b)2 nije manji od 16 i nije veći od 100. Za (a + b)2 = 9
slijedi da je ab = 3 , a za (a + b)2 = 121 slijedi da je ab = 115 . U oba ova slučaja
ab nije dvoznamenkasti broj. Zato moguće dvoznamenkaste brojeve valja tražiti
među brojevima oblika ab = (a + b)2 − 6 . Mogući kvadrati su: 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, a mogući brojevi su 19, 30, 43, 58, 75, 94.
Provjeravanjem svakog od 6 navedenih brojeva zaključujemo da jedino broj 43
zadovoljava uvjete zadatka. Naime, za ab = 19 slijedi da je 19 = (1 + 9)2 – 6, tj.
138
19 = 94, što nije moguće. Za ab = 43 dobivamo da je 43 = (4 + 3)2 – 6, tj. 43 = 43,
pa je 43 traženi dvoznamenkasti broj.
Prema tome, 43 je jedini traženi dvoznamenkasti broj.
a 2 + b2 + 2ab = 4ab , a 2 + b2 + 2ab − 4ab = 0, a 2 − 2ab + b2 = 0, (a − b)2 = 0.
Iz zadnje jednakosti slijedi da je a – b = 0, tj. a = b, a to je i trebalo dokazati.
954.Neka je četverokut ABCD trapez kojemu su AB i CD osnovice, a duljina
dijagonale je |AC| = 5 cm. Točkom C nacrtamo pravac p usporedan s dijagonalom
BD , tj. p || BD. Neka je točka E presjek pravca p i pravca AB. Tada je četverokut
BECD paralelogram, iz čega slijedi da je |BE| = |CD|. To znači da je |AE| = |AB| +
|BE| ili |AE| = |AB| + |CD|. Zbog AC ⊥ BD i p || BD zaključujemo da je p ⊥ AC , jer
je pravac AC presječnica usporednih pravaca p i BD. To znači da je |ACE| = 90°,
pa je trokut AEC pravokutan. Neka je točka F nožište visine trapeza ABCD iz vrha
C. Tada je |CF| = v = 4 cm.
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutan trokut AFC lako izračunamo duljinu katete |AF| = 3 cm. Dalje, dokažimo da je ∆AFC  ∆EFC. Budući da je CF
visina trapeza, vrijedi |AFC| = |EFC| = 90°. Osim toga je |CAF| = |ECF| jer
su to kutovi s međusobno okomitim kracima, a to je dovoljno za dokaz navedene
sličnosti trokuta.
Iz dokazane sličnosti trokuta AFC i EFC zaključujemo da vrijedi razmjer:
16
|CF| : |AF| = |EF| : |CF|, ili dalje redom: 4 : 3 = |EF| : 4, 3|EF| = 16, EF = , tj.
3
1
EF = 5 .
3
1
1
Zbog |AE| = |AF| + |EF| dobivamo da je |AE| = 3 + 5 , tj. |AE| = 8 . Uporabom
3
3
AB + CD
⋅ v lako
formule za izračunavanje površine trapeza p( ABCD) =
2
izračunamo površinu trapeza ABCD. Naime, zbog |AE| = |AB| + |CD| vrijedi
jednakost: p( ABVD) =
AE
1 1
2
⋅ v ili p( ABCD) = ⋅ 8 ⋅ 4 , tj. p( ABCD) = 16 cm2.
2 3
3
2
139
atka 17 (2008./2009.) br. 66
953.Ako danu jednakost kvadriramo, dobivamo redom ove jednakosti: a + b = 2 ab ,
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Rješenja križaljki za
5. razred
atkače
6. razred
7. razred
8. razred
Rješenja nagradnih zadataka iz 64. broja
Rješenja zadataka za
atkače početnike
1. Petrin remen. Za 5 dana. 2. Osmosmjerka. Matematika 5. 3. Maturalac.
Mjesečno 150 kn. 4. Ušteđevina. Marko: 25 kn, Ana: 22 kn 5. Trokut. a1 = 5 cm,
b1 = 7 cm, c1 = 10 cm. 6. Nule. Umnožak završava s 24 nule. 7. Površina lika.
308
p = 18.84 cm2. 8. Uh, ti razlomci.
. 9. Tenis. Najmlađi igrač ima 23 godine.
705
10. Prosti faktori. (x – 3)(x +3)(x – 1)(x + 1). 11. Farma. 252 pilića. 12. Turistička
zajednica. 1023 strana i 465 domaćih turista. 13. Kupaonica. 180 pločica. 14. Zvonik.
19 metara. 15. Sport. 30 učenika. 16. Alkohol. 16 litara jačeg i 24 litre slabijeg alkohola.
140
Rješenja su nam poslali i atkinim su bilježnicama nagrađeni atkači: Dario
Zubović, 5.b., OŠ E. Kumičića, Rijeka; Nevenka Nosić, 6.r., OŠ S. S. Kranjčevića, Lovreć;
Marko Vitez, 8.r. OŠ Kneginec Gornji, Kneginec Gornji; Leonarda Jožić, Varaždinske
Toplice; Tomislav Buhiniček, 7.b, OŠ Antuna i Ivana Kukuljevića, Varaždinske
Toplice; Marina Bošnjak, 6.r., OŠ S. S. Kranjčevića, Lovreć; Mislav Glibo, 7.c, OŠ Z.
Franka, Kutina; Nikola Buhiniček, 5.b, OŠ Antuna i Ivana Kukuljevića, Varaždinske
Toplice; Božena Nikolić, 6.r., OŠ S. S. Kranjčevića, Lovreć.
Rješenja zadataka iz Kutka za najmlađe
1. Harry je pojeo
1
3
3
, Hermiona
, a Ron torte. 2. 302 400 s. 3. 158 godina. 4. 48
4
16
8
39
. 6. 64.14 kn. 7. 365 + 31 + 29 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 +
4
30 + 6 = 706 dana, 8. 1.25 cm; 6.25π cm2
godina. 5.
Rješenja su poslali i atkinom su bilježnicom nagrađeni atkači Leonarda Jožić,
Varaždinske Toplice; Tomislav Buhiniček, 7.b, OŠ Antuna i Ivana Kukuljevića,
Varaždinske Toplice; Nikola Buhiniček, 5.b, OŠ Antuna i Ivana Kukuljevića,
Varaždinske Toplice.
Rješenja Nagradnog natječaja broj 60
Uz oznake kao na slici vrijedi:
V1 = ah, V1 + V2 = a(2h)2 = 8V1 i V1 + V2 + V3 =a(3h)3= 27V1.
Iz toga slijedi da je V2 = 7V1 i V3 = 27V1.
Masa žive je 13.59V1, vode 7V1, a ulja 0.915 · 19V1 = 17.38 V1.
Najveću masu ima ulje.
Rješenja su poslale i atkinom su bilježnicom nagrađene atkačice Ema Penezić,
Timna Tomiša i Anamarija Alagušić iz 8.b, OŠ Otok, Zagreb.
Rješenje stripa Koliko traje natjecanje?
Broji se koliko ima poraženih igrača, tj. broje se njihove utakmice. Takvih je ukupno
76 utakmica (jer samo je jedan pobjednik turnira)! Natjecanje treba, ako se iskoriste
svi predviđeni termini, trajati 13 dana.
141
atka 17 (2008./2009.) br. 66
17. Kruh i mlijeko. Cijena kruha je 5.6 kn, a mlijeka 6.4 kn. 18. Otac i sin. Otac 45, a
sin 13 godina. 19. Zidni sat. 33 minute i 50 sekundi. 20. Pet brodova u luci. Španjolski
brod ide u Port Said. Francuski brod prevozi čaj.
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Rješenja zadataka iz članka Pravokutnici i kvadrati
Objavljujemo rješenje koje nam je poslao atkač Marko Vitez, učenik 1. razreda Prve
gimnazije iz Varaždina. Marko piše:
Označio sam pojedine dijelove slagalice brojevima i napisao redoslijed pomicanja.
Oznaka 6-desno znači da dio slagalice označen brojem 6 treba pomaknuti jedno polje
desno. Oznaka 8-desno-dolje znači da polje označeno brojem 8 treba pomaknuti
jedno polje desno i nakon toga jedno mjesto dolje.
I. primjer (sa stranice 220.):
Redoslijed:
13-desno-desno, 11-dolje-desno, 6-dolje-dolje, 4-doljedolje, 2-dolje-dolje, 1-lijevo, 9-gore-gore, 7-desno-gore,
2-desno-desno, 1-dolje, 9-lijevo-lijevo, 3-lijevo-lijevo,
7-gore, 5-gore, 2-gore, 10-gore, 12-gore-lijevo, 14-goregore, 8-desno, 4-desno, 13-desno, 11-desno, 4-dolje,
1-dolje, 2-lijevo-lijevo, 10-lijevo-lijevo, 12-gore, 14-gore,
8-gore, 11-gore, 13-gore, 4-desno-desno, 6-desno-desno,
1-dolje, 8-lijevo-lijevo, 11-gore, 13-gore, 6-gore-desno,
1-desno-IZLAZ!
II. primjer (sa stranice 220.):
Redoslijed:
11-desno-desno, 6-dolje-desno, 10-lijevo, 11-gore, 6-desno,
10-dolje, 8-dolje, 4-dolje-desno, 2-dolje-dolje, 1-lijevo,
5-lijevo-gore, 9-gore, 7-gore, 11-gore, 6-gore, 12-gore,
10-desno-desno, 8-dolje, 2-dolje, 4-dolje, 1-dolje, 5-lijevolijevo, 3-lijevo-lijevo, 9-gore, 11-gore, 7-gore, 6-gore,
12-gore, 10-gore, 8-desno-desno, 2-dolje, 4-dolje, 1-dolje,
11-lijevo-lijevo, 7-lijevo-lijevo, 6-gore, 12-gore, 10-gore,
8-gore, 4-desno-desno, 2-desno-desno, 1-dolje, 10-lijevolijevo, 8-gore, 4-gore, 2-desno,
1-desno-IZLAZ!
Osim Marka Viteza rješenja su poslali i nagrađeni su atkači Tomislav Buhiniček,
7.b, OŠ Antuna i Ivana Kukuljevića, Varaždinske Toplice; Nikola Buhiniček, 5.b, OŠ
Antuna i Ivana Kukuljevića, Varaždinske Toplice i Mislav Glibo, 7.c, OŠ Z. Franka,
Kutina.
142
Rješenja su poslali i nagrađeni su atkači Marko Vitez, 1.r. Prva gimnazija, Varaždin
i Mislav Glibo,7.c, OŠ Z. Franka, Kutina.
Uz oznake kao u rješenju zadataka iz članka Pravokutnici i kvadrati, Markova rješenja
postavljenih problema su:
Problem a) (sa stranice 261.):
atka 17 (2008./2009.) br. 66
Rješenje mozgalice Pravokutnici i kvadrati
Redoslijed:
6-desno-desno, 8-dolje, 9-dolje, 4-dolje-desno, 2-doljedolje, 1-lijevo, 5-lijevo-gore, 10-gore, 11-gore, 6-gore-desno,
9-desno, 8-desno, 2-dolje-dolje, 4-lijevo-dolje,
1-dolje, 5-lijevo-lijevo, 3-lijevo-lijevo, 10-gore, 11-gore,
6-gore-lijevo, 7-gore-gore, 9-desno, 8-desno, 4-desno-dolje,
1-dolje, 3-dolje-lijevo, 10-lijevo, 11-lijevo, 7-gore-gore,
9-gore-gore, 8-desno, 4-desno-gore, 2-desno-desno, 1-dolje,
6-lijevo-lijevo, 4-gore-lijevo, 2-gore-gore, 1-desno-IZLAZ!
Problem b) (sa stranice 261.):
Redoslijed (malo dulji):
8-desno-desno, 6-dolje-desno, 2-dolje-dolje, 10-doljedolje, 1-lijevo, 4-gore-gore, 5-lijevo-gore, 7-gore-lijevo,
9-gore-gore, 8-desno-gore, 6-desno-desno, 12-dolje,
8-lijevo-lijevo, 6-gore-lijevo, 12-desno, 2-desno, 6-desno,
8-desno, 2-gore, 10-dolje, 2-dolje, 3-dolje, 7-lijevo-lijevo,
9-lijevo-lijevo, 8-gore, 6-gore, 12-gore, 2-desno-desno,
3-dolje-desno, 9-dolje-dolje, 8-lijevo-dolje, 6-lijevo-lijevo,
12-gore, 8-desno-desno, 9-gore-desno, 10-desno, 7-doljedolje, 6-lijevo-dolje, 12-lijevo-lijevo, 9-gore, 8-gore,
3-gore-desno, 10-desno, 7-desno, 6-dolje, 12-dolje, 1-dolje,
4-lijevo-lijevo, 5-gore-lijevo, 9-gore-gore, 8-lijevo-gore, 3-gore-lijevo, 2-gore-gore,
10-desno, 7-desno-gore, 6-desno-desno, 12-dolje, 1-dolje, 8-lijevo-lijevo, 3-gorelijevo, 2-lijevo-gore, 7-gore-desno, 1-desno, 8-dolje-dolje, 3-lijevo-dolje, 2-lijevolijevo, 9-dolje-lijevo, 11-lijevo, 7-gore-gore, 10-gore-gore, 6-desno-gore, 12-desnodesno, 8-dolje-desno, 3-dolje-dolje, 1-lijevo, 6-lijevo-gore, 12-gore, 8-desno-desno,
3-desno-desno, 1-dolje, 6-lijevo-lijevo, 11-dolje, 7-lijevo, 9-dolje, 5-dolje, 7-lijevo,
11-gore, 10-gore, 12-gore, 3-gore-desno, 1-desno-IZLAZ! (konačno)
143
Iz povijesti matematike...
1. Pridruži matematičara odgovarajućem
citatu.
Prava matematika je uvijek bila lijepa, a prava
“
je umjetnost uvijek bila i istinita.”
Ne dirajte moje krugove!”
“
Ako sam vidio dalje od drugih, to je zato što
“
sam stajao na ramenima divova.”
Ne samo moćno oružje u borbi za opstanak,
“
matematika je simbol naše intelektualne snage
i jamstvo da će se ljudski duh vazda boriti za
uzvišene ciljeve.”
Danilo Blanuša
Arhimed
Isaac Newton
Vladimir Devidé
2. Zaokruži imena poznatih
3.
hrvatskih matematičara.
Marin Getaldić
Marin Držić
Ruđer Bošković
Vilim Feller
Branko Grünbaum
Vlaho Bukovac
Pridruži matematičara njegovom poučku.
Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina
kvadrata nad katetama.
Svaki je obodni kut nad promjerom kružnice pravi kut.
Skup svih prostih brojeva je beskonačan.
Euklid
Pitagora
Tales

1 MATKA.indd - WordPress.com

pdf

Osnovna škola – zadaci

povoljnije

PITANJA I ZADACI - KONTURNE STRUJE, THEVENINOV

pravna osoba - Oglasnik javne nabave

Demo poglavlje - Pripreme za državnu maturu | Algebra

Univerzitet u Istočnom Sarajevu Pedagoški fakultet Bijeljina Studijski

zadaci - Hrvatsko matematičko društvo

Ako je vektor u ravnini zadan početnom točkom i krajnjom točkom

Zadaci za vjezbu pred cetvrtu pisanu provjeru znanja