INŽINJERSKA MATEMATIKA I

Sadržaj
Skup
Relacija
.
INŽINJERSKA MATEMATIKA I
.
Skupovi. Relacije.
dr Špiro Gopčević
sgopcevic@yahoo.com
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
1.
Skup
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
2.
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sadržaj
1.
Skup
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
2.
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. O skupovima
Skup je osnovni matematički pojam pa se ne definiše.
Skup je uzet za osnovni matematički pojam jer je intuitivnio
jasan
.
Primer
.
Svima je jasno šta predstavljaju
Skup studenata nekog fakulteta.
Skup parnih prirodnih brojeva.
.
Skup rešenja jednačine 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0
Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili
članova
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. O skupovima
.
Primer
.
Primeri skupova i njihovi elementi:
Skup boja duge: crvena, narandžasta, žuta, zelena, plava,
ljubičasta
Skup stanja materije: čvrsto, tečno, gasovito, plazma
Skup koji sadrži raznorodne elemente: 3, a, crveno, Srbija
.
Skup nekoliko selektovanih realnih brojeva: 2.1, π, 0, -6.32, e
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Pripadnost elementa skupu
Osnovni odnos između elemenata i skupova je pripadanje.
Izraz ”a pripada 𝐴” se simboličkim matematičkim jezikom piše
𝑎∈𝐴
Kaže se i da je a element skupa 𝐴, ili da je a sadržan u 𝐴.
.
Primer
.
Primer pripadnosti elementa skupu:
.
4 ∈ {1, 2, 3, 4}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Elemenat ne pripada skupu
Izraz ”a ne pripada skupu 𝐴”, odnosno negacija formule 𝑎 ∈ 𝐴, se
simbolički označava sa a
𝑎∉𝐴
.
Primer
.
Primer nepripadnosti elementa skupu:
.
7 ∉ {1, 2, 3, 4}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Označavanje skupova
Za simboličko označavanje skupova najčešće koristimo slova
latiničnog alfabeta
Skupove obično označavamo velikim italic slovima: 𝐴, 𝐵, 𝐶
Elemente skupova označavamo malim italic slovima: a, x, y
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Podskup skupa
Često sami skupovi jesu elementi drugih skupova.
.
Primer
.
Prava, kao skup tačaka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni
.
Nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu
svih nacija
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Zadavanje skupa
.
Načini zadavanja skupova
.
Analitički - navođenjem elemenata skupa između velikih zagrada
Sintetički - navođenjem svojstava koje elementi zadovoljavaju
Venovim dijagramima
.
Zadavanje skupa preko rekurzivne (induktivne) definicije skupa
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Zadavanje skupa
Pri zadavanju skupa:
Svi elemenati skupa moraju biti sasvim dobro definisani
Pripadanje, a takođe i nepripadanje, nekog elemenata skupu mora
se odrediti bez ikakve dvosmislenosti
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Analitički način zadavanja skupa
Navođenjem svih elemenata skupa između vitičastih zagrada
{3, 6, 7}
{1, 2, ..., 𝑛}
{2, 4, 6, 8, ...}
ℕ = {1, 2, 3, ...}
Konačan skup, sa elementima 3, 6 i 7.
Ovakav način zadavanja skupova koristi se za konačne skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je tehnički moguće sve navesti
Konačan skup sa većim brojem elemenata koje tehnički nije moguće sve navesti, zbog čega stavljamo
tri tačke ”. . .” koje znače ”i tako dalje, po istom
obrascu”. Odgovarajući obrazac mora da bude očigledan.
Skup svih parnih brojeva. Ovaj skup je beskonačan.
Skup svih prirodnih brojeva
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Analitički način zadavanja skupa
.
Zadatak
.
Razmotrimo
skup 𝐶 = {3, 5, 7, …}. Koji je sledeći elemenat ?
.
.
Rešenje
.
Ako je to skup svih neparnih brojeva većih od 2, to je 9
.
Ako je to skup svih prostih brojeva veći od 2, to je 11
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Analitički način zadavanja skupa
.
Zadatak
.
Razmotrimo
skup 𝐶 = {3, 5, 7, …}. Koji je sledeći elemenat ?
.
.
Rešenje
.
Ako je to skup svih neparnih brojeva većih od 2, to je 9
.
Ako je to skup svih prostih brojeva veći od 2, to je 11
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Analitički način zadavanja skupa
Redosled elemenata skupa pri navođenju nije od značaja.
Elemente skupa najčešće pišemo u redosledu jer tako napisani su
čoveku lakši za razumevanje
.
Primer
.
{1,
. 2, 3, 4, 5} je ekvivalentan sa {3, 5, 2, 4, 1}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Analitički način zadavanja skupa
Skupovi ne sadrže duple elemente
.
Primer
.
Skup samoglasnika u abecedi:
Nema smisla navoditi kao {a, a, a, e, i, o, o, o, o, o, u}
.
Ono što stvarno želimo je samo {a, e, i, o, u}
.
Primer
.
Lista studenata u razredu:
.
Nema smisla navoditi jednoga studenta dva puta
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
Često nije moguće navesti sve elemente nekog skupa
Skupovi se zapisuju u sledećem obliku
𝐴 = {𝑥|𝑥 ima svojstvo 𝑃 (𝑥)} ili 𝐴 = {𝑥|𝑃 (𝑥)}
𝑃 (𝑥) označava svojstvo koje elemenat skupa može imati. Čita se:
Skup svih elemenata 𝑥 za koje važi 𝑃 (𝑥)
Skup svih elemenata 𝑥 koji imaju svojstvo 𝑃 (𝑥)
Skup svih elemenata 𝑥 takvih da je 𝑃 (𝑥) zadovoljeno
Zajedničko svojstvo objedinjuje u skup sve elemente sa tim
svojstvom.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
.
Primer
.
𝐴 = {𝑎 ∈ ℤ||𝑎| < 3} = {−2, −1, 0, 1, 2}
.
𝐵 = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥2 = 2} = ∅
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
Generalno, skup se zadaje na sledeći način
𝐴 = {𝑓 (𝑥)|𝑃 (𝑥)}
𝑓 (𝑥) je elemenat skupa zadat u obliku izraza koji zavisi od 𝑥.
Čita se:
Skup svih elemenata 𝑓 (𝑥) za koje važi 𝑃 (𝑥)
Skup svih elemenata 𝑓 (𝑥) koji imaju svojstvo 𝑃 (𝑥)
Skup svih elemenata 𝑓 (𝑥) takvih da je 𝑃 (𝑥) zadovoljeno
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
.
Zadatak
.
Kako
može da se zada skup svih parnih prirodnih brojeva ?
.
.
Rešenje
.
Različiti načini zadavanja skupa svih parnih prirodnih brojeva 𝑆
𝑆 = {2𝑥|𝑥 je prirodan broj }
𝑆 = {2𝑥|𝑥 ∈ ℕ}
U
. gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) = 2𝑥
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
.
Zadatak
.
Kako
može da se zada skup svih parnih prirodnih brojeva ?
.
.
Rešenje
.
Različiti načini zadavanja skupa svih parnih prirodnih brojeva 𝑆
𝑆 = {2𝑥|𝑥 je prirodan broj }
𝑆 = {2𝑥|𝑥 ∈ ℕ}
U
. gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) = 2𝑥
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
.
Zadatak
.
.Napišite skup svih prirodnih brojeva manjih od 7.
.
Rešenje
.
𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 7}
U
. gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) jednako 𝑥 ∈ ℕ
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Sintetički način zadavanja skupa
.
Zadatak
.
.Napišite skup svih prirodnih brojeva manjih od 7.
.
Rešenje
.
𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 7}
U
. gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) jednako 𝑥 ∈ ℕ
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Venovi dijagrami
Skupove grafički najčešće zadajemo pomoću Venovih dijagrama
Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima
tačaka izvesnih geometrijskih figura u ravni (krugovi ili elipse), i
oblasti u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Rekurzivna (induktivna) definicija skupa
.
Definicija
.
Skup 𝐴 se može definisati rekurzivno (induktivno) na sledeći način:
1. Zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa 𝐴;
. Određuje se način na koji se, pomoću određenih operacija, iz
prethodno definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi
skupa 𝐴;
3. Kaže se da skupu 𝐴 mogu pripadati oni i samo oni elementi koji
2
.
se mogu dobiti primenom pravila (1) i (2) konačan broj puta
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Kardinalni broj skupa
Broj elemenata skupa može da bude konačan ili beskonačan
.
Definicija
.
Broj elemenata konačnog skupa 𝐴 nazivamo kardinalni broj skupa 𝐴 i
obeležavamo
ga sa card(𝐴) ili sa |𝐴|
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Kardinalni broj skupa
.
Zadatak
.
Odrediti kardinalni broj sledećih skupova:
1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4}
. 𝐵 = {}
3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}}
2
.
.
Rešenje
.
1. |𝐴| = 4
2. |𝐵| = 0
. |𝐶| = 4
3
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Kardinalni broj skupa
.
Zadatak
.
Odrediti kardinalni broj sledećih skupova:
1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4}
. 𝐵 = {}
3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}}
2
.
.
Rešenje
.
1. |𝐴| = 4
2. |𝐵| = 0
. |𝐶| = 4
3
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Kardinalni broj skupa
.
Zadatak
.
Odrediti kardinalni broj sledećih skupova:
1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4}
. 𝐵 = {}
3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}}
2
.
.
Rešenje
.
1. |𝐴| = 4
2. |𝐵| = 0
. |𝐶| = 4
3
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Kardinalni broj skupa
.
Zadatak
.
Odrediti kardinalni broj sledećih skupova:
1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4}
. 𝐵 = {}
3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}}
2
.
.
Rešenje
.
1. |𝐴| = 4
2. |𝐵| = 0
. |𝐶| = 4
3
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Jednakost skupova
.
Definicija
.
Dva skupa 𝐴 i 𝐵 su jednaka, u oznaci 𝐴 = 𝐵, ako imaju iste elemente
.
𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵)
Negacija gornje formule označava se sa 𝐴 ≠ 𝐵
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Jednakost skupova
.
Primer
.
Primeri jednakih skupova:
{𝑥, 𝑥} = {𝑥}
{𝑥, 𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦, 𝑥}
{𝑥, 𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦, 𝑥, 𝑥}
Jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti
skupova.
.
Mogu se uočiti dva pravila koja se tiču zadavanja skupova
navođenjem njegovih elemenata:
Nije bitan redosled po kome se elementi navode
Svaki element se navodi samo jednom.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Jednakost skupova
.
Primer
.
Primeri nejednakih skupova:
{𝑥, 𝑦} ≠ {𝑥}
.
{𝑥, 𝑦, 𝑛} ≠ {𝑧, 𝑦, 𝑥}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Podskup
.
Definicija
.
Skup 𝐴 je podskup skupa 𝐵, u oznaci 𝐴 ⊆ 𝐵, ako su svi elementi
skupa 𝐴 sadržani u 𝐵, tj
𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵)
Odnos
⊆ zove se inkluzija
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Pravi podskup
.
Definicija
.
Ako je 𝐴 ⊆ 𝐵 i 𝐴 ≠ 𝐵, onda se kaže da je 𝐴 pravi podskup skupa 𝐵,
u oznaci 𝐴 ⊂ 𝐵 tj.
.
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Podskup i pravi podskup
.
Primer
.
Primeri inkluzije:
ℕ ⊆ ℤ - skup prirodnih brojeva je podskup skupa celih brojeva (i
to pravi podskup)
.
{𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ {𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑓 }
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Primer
.
Primeri u kojima su elementi skupa skupovi
𝑆 = {{1} , {2} , {3}}
𝑇 = {{1} , {{2}} , {{{3}}}}
.
𝑉 = {{1} , {{2}} , {{{3}}} , {{1} , {{2}} , {{{3}}}}}
.
Napomena
.
Imajte
u vidu da je 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}}
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Primer
.
Primeri u kojima su elementi skupa skupovi
𝑆 = {{1} , {2} , {3}}
𝑇 = {{1} , {{2}} , {{{3}}}}
.
𝑉 = {{1} , {{2}} , {{{3}}} , {{1} , {{2}} , {{{3}}}}}
.
Napomena
.
Imajte
u vidu da je 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}}
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Da li su sledeća tvrđenja tačna:
1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐}
2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}}
.
.
Rešenje
.
1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi
skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐
.2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
.
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi
skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Da li su sledeća tvrđenja tačna:
1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐}
2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}}
.
.
Rešenje
.
1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi
skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐
.2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
.
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi
skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Da li su sledeća tvrđenja tačna:
1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐}
2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}}
.
.
Rešenje
.
1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi
skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐
.2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
.
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi
skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Da li su sledeća tvrđenja tačna:
1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐}
2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}}
.
.
Rešenje
.
1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi
skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐
.2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste
.
elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi
skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Skup kao podskup skupa
.
Zadatak
.
Odrediti broj elemenata sledećih skupova:
1. {{1, {1}}}
. {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}}
3. {1, {2} , 3, {4, {5}}}
2
4. {1, 1, 1, {1, {1}}}
.
.
Rešenje
.
1. Ima 1 element, skup {1, {1}}
2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}}
. Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}}
4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}}
3
..
.
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svojstva jednakosti skupova
.
Svojstva jednakosti skupova
.
Za skupove 𝐴, 𝐵, 𝐶 važi
𝐴 = 𝐴 (refleksivnost)
𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 𝐴 (simetričnost)
.
𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 = 𝐶 ⇒ 𝐴 = 𝐶 (tranzitivnost)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svojstva inkluzije skupova
.
Svojstva inkluzije skupova
.
Za skupove 𝐴, 𝐵, 𝐶 važi
𝐴 ⊆ 𝐴 (refleksivnost)
𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ⇒ 𝐴 = 𝐵 (antisimetričnost)
.
𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⊆ 𝐶 (tranzitivnost)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni
podskup
Antisimetričnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo
koristi kada se dokazuje jednakost skupova 𝐴 = 𝐵, tako što
dokazujemo da je 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Razlika skupova
.
Definicija
.
Razlika skupova 𝐴 i 𝐵, u oznaci 𝐴\𝐵, je skup
koji sadrži elemente skupa 𝐴 koji ne
pripadaju skupu 𝐵
B
A
𝐴\𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 }
ili
.
𝐴\𝐵
(∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴\𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Razlika skupova-nula skup
.
Definicija
.
Prazan skup, u oznaci ∅, definišemo kao skup 𝑋\𝑋 , gde je 𝑋
.proizvoljan skup.
.
Definicija
.
Prazan
skup je skup koji nema elemenata.
.
Druga oznaka za prazan skup je ∅ = {}
Ako vas zbunjuje oznaka za prazan skup ∅, u vašem problemu,
zamenite je sa {}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Razlika skupova-nula skup
Pošto je i prazan skup skup, on takođe može da bude elemenat
drugog skupa
.
Primer
.
{∅,
. 1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Razlika skupova-nula skup
.
Primer
.
Uočite da
∅ ≠ {∅}
Skup sa leve strane nejednakosti je skup od nula elemenata
Skup sa desne strane nejednakosti je skup od jednog elementa
(taj jedan elemenat je prazan skup)
Ovu nejednakost možemo da napišemo i kao
{} ≠ {{}}
.
odakle može lakše da se vidi da ta dva skupa nisu jednaka
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Definicija
.
Presek skupova 𝐴 i 𝐵, u oznaci 𝐴 ∩ 𝐵, je
skup svih elemenata koji pripadaju i skupu 𝐴
i skupu 𝐵.
B
A
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 }
ili
.
𝐴∩𝐵
(∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵?
.
.
Rešenje
.
.{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵?
.
.
Rešenje
.
.{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Definicija
.
.Dva skupa su disjunktna ako im je presek prazan skup.
B
A
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
.
Rešenje
.
{1,
. 2, 3} ∩ {4, 5} = {} te su 𝐴 i 𝐵 disjunktni skupovi
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
.
Rešenje
.
{1,
. 2, 3} ∩ {4, 5} = {} te su 𝐴 i 𝐵 disjunktni skupovi
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Rešenje
.
{1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
Napomena
.
Presek
svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Rešenje
.
{1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
Napomena
.
Presek
svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Rešenje
.
{1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
Napomena
.
Presek
svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Rešenje
.
{1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
Napomena
.
Presek
svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Presek skupova
.
Zadatak
.
Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵
.
Rešenje
.
{1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi
.
Napomena
.
Presek
svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Unija skupova
.
Definicija
.
Unija skupova 𝐴 i 𝐵, u oznaci 𝐴 ∪ 𝐵, je skup
svih elemenata koji pripadaju bar jednom od
skup ova 𝐴 i 𝐵.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 }
B
A 𝐴∪𝐵
ili
.
(∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Unija skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵
.
.
Rešenje
.
.{1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Unija skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵
.
.
Rešenje
.
.{1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Unija skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵
.
.
Rešenje
.
.{1, 2, 3} ∪ {} = {1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Unija skupova
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵
.
.
Rešenje
.
.{1, 2, 3} ∪ {} = {1, 2, 3}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Komplement skupa
.
Definicija
.
Ako je 𝐵 ⊆ 𝐴, onda se razlika 𝐴\𝐵 zove
komplement skupa 𝐵 u odnosu na 𝐴 i
označava sa 𝐶𝐴 (𝐵)
𝐶𝐴 (𝐵) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵, 𝐵 ⊆ 𝐴}
A
ili
B
𝐶𝐴 (𝐵)
.(∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐶𝐴 (𝐵) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵, 𝐵 ⊆ 𝐴)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Komplement skupa - univerzalni skup
Često se posmatraju isključivo podskupovi
nekog unapred datog skupa 𝑈 , koji se zove
univerzalni skup
Tada za 𝐵 ⊆ 𝑈 , 𝐶𝑈 (𝐵) se označava sa 𝐵 i
zove se samo komplement skupa 𝐵:
U
¯
B
B
𝐵 = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐵}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svojstva skupovnih operacija
Neka je 𝑈 skup i 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊆ 𝑈 . Tada važi:
(1)
Komutativnost
𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴
𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴
(2)
Asocijativnost
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
(3)
Distributivnost
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
(4)
Apsortivnost
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svojstva skupovnih operacija
(5)
Idepotentnost
𝐴∩𝐴=𝐴
𝐴∪𝐴=𝐴
(6)
De Morganovi zakoni
(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵
(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵
(7)
𝐴∩𝐴=∅
𝐴∪𝐴=𝑈
(8)
𝐴∩𝑈 =𝐴
𝐴∪𝑈 =𝑈
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svojstva skupovnih operacija
(9)
𝐴∩∅=∅
𝐴∪∅=𝐴
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Binomni koeficijenat
𝑛
označava binomni koeficijenat
( 𝑘 )
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑘 + 1)
𝑛
=
( 𝑘 )
𝑘(𝑘 − 1) ⋯ 2 ⋅ 1
Posebne vrednosti binomnih koeficijenata
𝑛
𝑛
𝑛
= 1,
= 𝑛,
=1
( 0 )
( 1 )
( 𝑛 )
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Šta je partitivni skup?
.
Definicija
.
Partitivni skup od 𝐴 je skup svih podskupova od 𝐴, u oznaci 𝑃 (𝐴).
(∅ ∈ 𝑃 (𝐴))
𝑃 (𝐴) = {𝑆 |𝑆 ⊆ 𝐴 }
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Treba imati u vidu da:
.
Prazan skup je elemenat svakog partitivnog skupa
Skup 𝐴 je elemenat svoga partitivnog skupa 𝑃 (𝐴)
Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata,
njegov partitivni skup je jednočlan (jednoelementan):
𝑃 (∅) = {∅}
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Broj elemenata partitivnog skupa
.
Neka skup 𝐴 ima 𝑛 elemenata. Tada
𝑛
𝐴 ima
podskupova sa 𝑘 elemenata (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛)
( 𝑘 )
𝑃 (𝐴) ima 2𝑛 elemenata
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Zadatak
.
Odrediti
sve podskupove skupa 𝐴 = {𝑎, 2, 5, 𝑏}.
.
.
Rešenje
.
Br.elem.
0
1
2
3
4
podskup
Br.podsk.
{}
{𝑎}, {2}, {5}, {𝑏}
{𝑎, 2}, {𝑎, 5}, {𝑎, 𝑏}, {2, 5}, {2, 𝑏}, {5, 𝑏}
{𝑎, 2, 5}, {𝑎, 2, 𝑏}, {𝑎, 5, 𝑏}, {2, 5, 𝑏}
𝐴
1
4
6
4
1
∑ = 16
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Zadatak
.
Odrediti
sve podskupove skupa 𝐴 = {𝑎, 2, 5, 𝑏}.
.
.
Rešenje
.
Br.elem.
0
1
2
3
4
podskup
Br.podsk.
{}
{𝑎}, {2}, {5}, {𝑏}
{𝑎, 2}, {𝑎, 5}, {𝑎, 𝑏}, {2, 5}, {2, 𝑏}, {5, 𝑏}
{𝑎, 2, 5}, {𝑎, 2, 𝑏}, {𝑎, 5, 𝑏}, {2, 5, 𝑏}
𝐴
1
4
6
4
1
∑ = 16
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Zadatak
.
Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i
kardinalni broj partitivnog skupa:
1. 𝐴 = {0, 1}
. 𝐵 = {0, 1, 2}
3. 𝐶 = {}
2
.
.
Rešenje
.
1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4
2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}},
|𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8
. 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1
3
.
Š.Gopčević
..
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Zadatak
.
Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i
kardinalni broj partitivnog skupa:
1. 𝐴 = {0, 1}
. 𝐵 = {0, 1, 2}
3. 𝐶 = {}
2
.
.
Rešenje
.
1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4
2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}},
|𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8
. 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1
3
.
Š.Gopčević
..
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Zadatak
.
Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i
kardinalni broj partitivnog skupa:
1. 𝐴 = {0, 1}
. 𝐵 = {0, 1, 2}
3. 𝐶 = {}
2
.
.
Rešenje
.
1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4
2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}},
|𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8
. 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1
3
.
Š.Gopčević
..
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Partitivni skup
.
Zadatak
.
Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i
kardinalni broj partitivnog skupa:
1. 𝐴 = {0, 1}
. 𝐵 = {0, 1, 2}
3. 𝐶 = {}
2
.
.
Rešenje
.
1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4
2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}},
|𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8
. 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1
3
.
Š.Gopčević
..
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Uređeni par
{𝑥, 𝑦} označava skup koji sadrži elemente 𝑥 i 𝑦, pri čemu je
{𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥} tj., nije nije bitan redosled po kome navodimo
elemente 𝑥 i 𝑦
Skup {𝑥, 𝑦} se ponekad naziva i neuređeni par elemenata 𝑥 i 𝑦
Često se nameće potreba da istaknemo koji je element prvi, a
koji drugi u paru
Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (𝑥, 𝑦) i kažemo da je (𝑥, 𝑦)
uređeni par elemenata 𝑥 i 𝑦
Za 𝑥 kažemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za 𝑦
da je druga komponenta ili druga koordinata uređenog para
(𝑥, 𝑦)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Primer uređenog para
Svaka tačka u ravni može se predstaviti uređenim parom (𝑎, 𝑏)
realnih brojeva, pri čemu za 𝑎 kažemo da je njena 𝑥-koordinata, a
za 𝑏 da je njena 𝑦-koordinata.
Kao što vidimo na slici, uređeni par (1, 3) nije isto što i uređni
par (3, 1)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Definicija uređene 𝑛-torke
Uopštenjem pojma uređenog para sa 𝑛 = 2 na bilo koji prirodan broj 𝑛
dolazimo do pojma uređene 𝑛-torke
.
Definicija
.
Uređena 𝑛-torka (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ), 𝑛 ≥ 1, elemenata 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ,
definiše se induktivno, na sledeći način:
def
𝑛 = 1 ∶ (𝑎1 ) ==== 𝑎1
def
𝑛 ≥ 2 ∶ (𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ) ==== ((𝑎1 , … 𝑎𝑛−1 ), 𝑎𝑛 )
gde se elemenat 𝑎𝑖 , 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛} zove 𝑖-ta komponenta (koordinata)
uređene
𝑛-torke (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ).
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Uređena 𝑛-torka
.
Primer
.
Za skupove važi
{1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1}
dok je za uređene 𝑛-torke elemenata
.
(1, 1, 2, 2, 2) ≠ (1, 2)
(1, 2) ≠ (2, 1)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Uređena 𝑛-torka
.
Jednakost uređenih parova
.
Uređeni parovi (𝑎, 𝑏) i (𝑐, 𝑑) su jednaki ako i samo ako je 𝑎 = 𝑐 i
𝑏 = 𝑑.
.
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) ∨ (𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑)
.
Jednakost uređenih 𝑛-torki
.
(𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑎𝑛 ) = (𝑏1 , 𝑏2 , … 𝑏𝑛 ) ⇔
(𝑎1 = 𝑏1 ∧ 𝑎2 = 𝑏2 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ) ∨ (𝑎1 = 𝑎2 = … = 𝑎𝑛 )
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
Ako su 𝐴 i 𝐵 skupovi, onda se skup svih uređenih parova sa prvom
koordinatom iz 𝐴, a drugom iz 𝐵 naziva Dekartov, Kartezijev ili
direktan proizvod skupova 𝐴 i 𝐵, i označava se sa 𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}
ili
(∀(𝑎, 𝑏))((𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 ⇔ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
Dekartov kvadrat skupa 𝐴 je Dekartov proizvod 𝐴 × 𝐴 skupa 𝐴 sa
samim sobom i označava se sa 𝐴2
.
Primer
.
Ako je 𝐴 = {0, 1} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} onda je
𝐴 × 𝐵 = {(0, 𝑥), (0, 𝑦), (0, 𝑧), (1, 𝑥), (1, 𝑦), (1, 𝑧)}
.
𝐴2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
Dekartov proizvod skupova sa 𝑚 i 𝑛 elemenata ima 𝑚𝑛 elemenata
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {0, 1} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐵 × 𝐴
.
.
Rešenje
.
𝐵 × 𝐴 = {(𝑥, 0), (𝑥, 1), (𝑦, 0), (𝑦, 1), (𝑧, 0), (𝑧, 1)}
Vidi se da, vodeći računa o predhodnom primeru u opštem slučaju
𝐴
. ×𝐵 ≠𝐵×𝐴
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {0, 1} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐵 × 𝐴
.
.
Rešenje
.
𝐵 × 𝐴 = {(𝑥, 0), (𝑥, 1), (𝑦, 0), (𝑦, 1), (𝑧, 0), (𝑧, 1)}
Vidi se da, vodeći računa o predhodnom primeru u opštem slučaju
𝐴
. ×𝐵 ≠𝐵×𝐴
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
.
Zadatak
.
Neka je 𝐴 = {1, 2, 3, 4} i 𝐵 = {𝑎, 𝑏}. Grafički prikazati Dekartov
proizvod
𝐴×𝐵
.
.
Rešenje
.
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
.
Zadatak
.
Neka je 𝐴 = {1, 2, 3, 4} i 𝐵 = {𝑎, 𝑏}. Grafički prikazati Dekartov
proizvod
𝐴×𝐵
.
.
Rešenje
.
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐴 × 𝐵
.
.
Rešenje
.
𝐴 × 𝐵 = {}
Ako se desi da je barem jedan od skupova u proizvodu prazan skup
onda
je i proizvod prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod
.
Zadatak
.
Ako
je 𝐴 = {} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐴 × 𝐵
.
.
Rešenje
.
𝐴 × 𝐵 = {}
Ako se desi da je barem jedan od skupova u proizvodu prazan skup
onda
je i proizvod prazan skup
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod 𝑛 skupova
Dekartov proizvod 𝑛 skupova 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 , 𝑛 ≥ 1, se definiše na sledeći
način
𝐴1 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1 , … , 𝑎𝑛 )|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛}
Ako je bilo koji od skupova 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 prazan, onda je po definiciji
prazan i skup 𝐴1 × … × 𝐴𝑛
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod primenom granastog dijagrama
.
Primer
.
Neka imamo tri skupa 𝐴 = {1, 2, 3}, 𝐵 = {𝑥, 𝑦} i 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}.
Izračunati
Dekartov proizvod 𝐴 × 𝐵 × 𝐶
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov proizvod primenom granastog dijagrama
.
Rešenje
.
Dekartov proizvod može da se odredi pomoću granastog dijagrama
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Dekartov 𝑛-ti stepen
Dekartov 𝑛-ti stepen skupa 𝐴, u oznaci 𝐴𝑛 (𝑛 ∈ {0, 1, 2, …}), je
{∅}
, 𝑛 = 0;
⎧
⎪
𝐴
, 𝑛 = 1;
𝐴 =⎨
⎪
(𝑎
,
…
,
𝑎
)|𝑎
∈
𝐴
,
𝑖
=
1,
…
,
𝑛
} , 𝑛 ≥ 2.
⎩ { 1
𝑛
𝑖
𝑖
𝑛
U ovoj definiciji je najbitnije da je 𝐴0 jednoelementan skup
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Načini dokazivanja identiteta skupova
Dokaz jednakosti skupova 𝐴 i 𝐵
primenom tablice istinitosti (za razliku od tablice istinitosti za
logičke izraze umesto simbola ⊤ i ⊥ pišu siboli ∈ i ∉)
svođenjem na tautologiju - skupovi su jednaki onda i samo onda
kada je formula
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵)
tautologija
preko dokaza tačnosti inkluzija: 𝐴 ⊆ 𝐵 i 𝐵 ⊆ 𝐴 što je
ekvivalentno sa dokazom tačnosti implikacija:
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) (tj. 𝐴 ⊆ 𝐵)
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴) (tj. 𝐵 ⊆ 𝐴)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Tablice istinitosti
.
Primer
.
Dokazati sledeći identitet
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
primenom
tablica istinitosti.
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Tablice istinitosti
Tabela : Tablica istinitosti za 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴
∈
∈
∈
∈
∉
∉
∉
∉
𝐵
∈
∈
∉
∉
∈
∈
∉
∉
𝐶
∈
∉
∈
∉
∈
∉
∈
∉
𝐴∪𝐵
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∉
∉
𝐴∪𝐶
∈
∈
∈
∈
∈
∉
∈
∉
𝐵∩𝐶
∈
∉
∉
∉
∈
∉
∉
∉
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)
∈
∈
∈
∈
∈
∉
∉
∉
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
∈
∈
∈
∈
∈
∉
∉
∉
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
𝐹
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svođenjem na tautologiju
.
Primer
.
Dokazati sledeći identitet
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
svođenjem
na tautologiju.
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svođenjem na tautologiju
.
Primer
.
Treba dokazati da je:
𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⇔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶))
𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)
Ako uzmemo da je: 𝑝 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑞 ∶ 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑟 ∶ 𝑥 ∈ 𝐶 gornji izraz
glasi
𝐹 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⇔ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
Potrebno
je da dokažemo da je gornja formula tautologija
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Svođenjem na tautologiju
.
Primer
.
Tabela : Istinitosna tablica za formulu 𝐹
𝑝
1
1
1
1
0
0
0
0
𝑞
1
1
0
0
1
1
0
0
𝑟
1
0
1
0
1
0
1
0
𝑝∨𝑞
1
1
1
1
1
1
0
0
𝑝∨𝑟
1
1
1
1
1
0
1
0
𝑞∧𝑟
1
0
0
0
1
0
0
0
(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
1
1
1
1
1
0
0
0
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)
1
1
1
1
1
0
0
0
.
..
.
..
.
tj. ⊧ 𝐹
.Znači, gornja formula je tautologija
Š.Gopčević
Inžinjerska matematika I
..
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
𝐹
1
1
1
1
1
1
1
1
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Preko dokaza tačnosti inkluzije
.
Primer
.
Za skupove 𝐴 i 𝐵 dokazati da je
𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵
.koristeći antisimetričnost inkluzije
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Preko dokaza tačnosti inkluzije
.
Primer
.
Prvo ćemo dokazati
.
𝐴∩𝐵 ⊆𝐴∪𝐵
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Preko dokaza tačnosti inkluzije
.
Primer
.
Prvo ćemo dokazati
𝐴∩𝐵 ⊆𝐴∪𝐵
𝑥∈𝐴∩𝐵 ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
.
𝑥∉𝐴∩𝐵
¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
¬(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ ¬(𝑥 ∈ 𝐵)
𝑥∉𝐴∨𝑥∉𝐵
𝑥 ∈ 𝐴 ̄ ∨ 𝑥 ∈ 𝐵̄
𝑥 ∈ 𝐴 ̄ ∪ 𝐵̄
(def. komplementa)
(def. preseka)
(De Morganov zakon kod logike)
(def. negacije)
(def. kompletnosti)
(def. unije)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Preko dokaza tačnosti inkluzije
.
Primer
.
Zatim ćemo dokazati
.
𝐴∪𝐵 ⊆𝐴∩𝐵
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Preko dokaza tačnosti inkluzije
.
Primer
.
Zatim ćemo dokazati
𝐴∪𝐵 ⊆𝐴∩𝐵
𝑥 ∈ (𝐴 ̄ ∪ 𝐵 ̄ ) ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
.
(𝑥 ∈ 𝐴)̄ ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)̄
(𝑥 ∉ 𝐴) ∨ (𝑥 ∉ 𝐵)
¬(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ ¬(𝑥 ∈ 𝐵)
¬((𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵))
¬(𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑥∈𝐴∩𝐵
(def. unije)
(def. kompletnosti)
(def. negacije)
(De Morganov zakon iz logike)
(def. preseka)
(def. komplementa)
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
. Preko dokaza tačnosti inkluzije
.
Primer
.
Iz antisimetričnosti inkluzije sledi da su skupovi jednaki
.
̄
̄
̄
̄
̄
̄
(𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⇒ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Sadržaj
1.
Skup
Zadavanje skupova
Jednakost skupova. Podskup
Operacije sa skupovima
Partitivni skup
Dekartov proizvod skupova
Dokazivanje identiteta skupova
2.
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Šta je relacija?
Često se javlja potreba da se između izvesnih objekata uspostave
izvesne veze, odnosi ili relacije.
.
Primer
.
Javlja se potreba
da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,
da se poređaju u skladu sa nekim pravilom,
da se odrede izvesne sličnosti između objekata, i da se oni
grupišu
u
. grupe međusobno sličnih objekata, itd.
U matematici se sve ovo može uraditi korišćenjem matematičkog
pojma relacije
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Šta je relacija?
Relacija ukazuje na određene odnose među matematičkim objektima
.
Primer
.
Pretpostavimo da imamo dva neprazna skupa 𝐴 i 𝐵.
Relacija se može posmatrati kao povezivanje elemenata skupa 𝐴
sa elementima skupa 𝐵 gde je važno da se zna koji elementi
skupa 𝐴 su u vezi, u relaciji, sa kojim elementima skupa 𝐵.
.
Relacija razdvaja one uređene parove elemenata skupova 𝐴 i 𝐵 za
koje se kaže da jesu od onih za koje se kaže da nisu u toj relaciji.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Binarna relacija
.
Definicija
.
Bilo koji neprazan podskup 𝜌 Dekartovog proizvoda 𝑋1 × 𝑋2
(𝑋𝑘 ≠ ∅, 𝑘 = 1, 2) (𝜌 ⊆ 𝑋1 × 𝑋2 ) nazivamo binarna relacija u tom
proizvodu. Za elemente 𝑥1 ∈ 𝑋1 , 𝑥2 ∈ 𝑋2 kažemo da su u relaciji 𝜌 ,
.ako i samo ako (𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ 𝜌
Neprazan podskup 𝜌 skupa 𝑋 2 zove se binarna relacija u 𝑋.
Ako je (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌, tada se kaže da je 𝑥 u relaciji 𝜌 sa 𝑦 i piše se 𝜌 (𝑥, 𝑦)
ili 𝑥𝜌𝑦
Skup uređenih parova (𝑥, 𝑦) ⊂ 𝑋 × 𝑌 koji su u relaciji 𝜌 piše se
𝜌 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌 |𝑥𝜌𝑦}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Binarna relacija
.
Primer
.
Neka je 𝑋 = {1, 4, 5} i 𝑌 = {2, 6}. Tada je
𝑋 × 𝑌 = {(1, 2), (1, 6), (4, 2), (4, 6), (5, 2), (5, 6)}
Neka je, na primer, relacija
𝜌 = {(1, 6), (4, 2), (5, 6)}
Relacija će predstavljati i bilo koji drugi podskup 𝑋 × 𝑌 kao na primer
𝜌 = {(1, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 6)}
.ili neki drugi podskup.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Binarna relacija
.
Zadatak
.
Napisati relaciju 𝜌 definisanu sa
𝜌 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 = 8; 𝑥, 𝑦 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}
.
.
Rešenje
.
Pravilo glasi: od uređenih parova skupa
{(1, 1), (1, 2), ..., (1, 9), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 9), ..., (9, 1), (9, 2), ..., (9, 9)}
formirati skup uređenih parova takvih da zbir njihove prve i druge
komponente bude 8, pri čemu se obe komponente uzimaju iz skupa
{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
𝜌
. = {(1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Binarna relacija
.
Zadatak
.
Napisati relaciju 𝜌 definisanu sa
𝜌 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 = 8; 𝑥, 𝑦 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}
.
.
Rešenje
.
Pravilo glasi: od uređenih parova skupa
{(1, 1), (1, 2), ..., (1, 9), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 9), ..., (9, 1), (9, 2), ..., (9, 9)}
formirati skup uređenih parova takvih da zbir njihove prve i druge
komponente bude 8, pri čemu se obe komponente uzimaju iz skupa
{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
𝜌
. = {(1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. 𝑛-arna relacija
.
Definicija
.
Bilo koji neprazan podskup 𝜌 Dekartovog proizvoda 𝑋1 × … × 𝑋𝑛
(𝑋𝑘 ≠ ∅, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛) (𝜌 ⊆ 𝑋1 × … × 𝑋𝑛 ) nazivamo 𝑛-arna
relacija u tom proizvodu. Za elemente 𝑥1 ∈ 𝑋1 , 𝑥2 ∈ 𝑋2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋𝑛
kažemo
da su u relaciji 𝜌 , ako i samo ako (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝜌
.
Broj 𝑛 se naziva arnost ili dužina relacije
Relacije:
arnosti 1 nazivamo unarne relacije
arnosti 2 su upravo binarne relacije
arnosti 3 nazivamo ternarne relacije
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. 𝑛-arna relacija
.
Primer
.
Primer ternarne relacije definisane sa
.
𝜌 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 }
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Grafičko predstavljanje relacija
.
Primer
.
Dekartov kvadrat 𝐴2 skupa 𝐴 se grafički predstavlja kvadratom čija
donja i leva ivica predstavljaju skup 𝐴
Binarne relacije na 𝐴 se u tom slučaju predstavljaju kao skupovi
tačaka sa odgovarajućim koordinatama u tom kvadratu
U ovom primeru je (𝑎, 𝑏) ∈ 𝜌,
što pišemo 𝑎𝜌𝑏, dok (𝑐, 𝑑) ∉ 𝜌
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Grafičko predstavljanje relacija
.
Primer
.
Ako je 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, relaciju
𝜌 = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑑, 𝑎), (𝑑, 𝑑)}
prikazati grafički.
Posto je skup 𝐴 konačan i diskretan, onda 𝐴2 predstavljaju tačke
čvorova mreže dobijene u presecima horizontalnih i vertikalnih pravih
povučenih kroz tačke skupova 𝐴 i 𝐴.
Relaciju 𝜌 ⊆ 𝐴2 predstavljamo tako što parove tačaka iz 𝜌 u toj mreži
označavamo
malim kružićima.
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Sadržaj
Skup
Relacija
Binarna relacija
𝑛-arna relacija
. Grafičko predstavljanje relacija
.
Primer
.
.
..
Š.Gopčević
.
..
.
..
.
Inžinjerska matematika I
. . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.
..
.
..
.
..
.
..
.

Download Report