Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (910/920/930/940/950) Fizika 2 Predavanje 6 Faradayev zakon indukcije. Ampereov zakon. Maxwellove jednadžbe. Elektromagnetski titraji i valovi. Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr, damir.lelas@cern.ch) Danas ćemo raditi: (V. Henč-Bartolić i P. Kulišić: “Valovi i optika”, poglavlje 3) Uvod u elektromagnetizam Faradeyev zakon indukcije Ampereov zakon; struja pomaka Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku Energija elektromagnetskog polja Elektromagnetski titraji i valovi Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 2 Priča Na nekim sveučilištima u Americi prodaju se majice sa Maxwellovim jednadžbama. Što je to tako specijalno sa tim jednadžbama da se nose na majicama? Odgovor na predavanjima koja slijede... Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 3 Faradayev zakon indukcije 1820 H. C. Oersted opazio da naboj u gibanju (električna struja) proizvodi magnetsko polje. 1831 M. Faraday otkrio da promjenjivo magnetsko polje stvara električno polje d m dt Elektromotorna sila: E ds K Konačni oblik Faradayevog zakona indukcije: K d E ds dt B dS S Lenzovo pravilo: Smjer inducirane elektromotorne sile uvijek je takav da struja što zbog nje protječe petljom, proizvodi magnetski učinak kojim nastoji poništiti uzrok koji ju je izazvao, to je u biti posljedica zakona očuvanja energije. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 4 Ampèreov zakon, struja pomaka Biot-Savartov zakon omogućuje izračun magnetskog polja koje proizvodi naboj koji se giba (struja): 0 Ids r0 dB 4 r2 o = 4 x 10-7 T m / A Ampereov zakon (zakon protjecanja): cirkulacija magnetskog polja H, po ma kojoj zatvorenoj krivulji, jednaka je jakosti struje što protječe kroz površinu koju ta krivulja obuhvaća: H ds K J dS J v ; - gustoca naboja v - brzina naboja J. C. Maxwell (1865) je proširio pojam električne struje, uveo je pojam struje pomaka (pomačne struje), D j pom pa tzv. Ampère-Maxwell zakon glasi: d K Hds S JdS dt DdS t S Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 5 Pomačne struje Krivulja C omeĎuje ravnu površinu S1 i zakrivljenu površinu S2, . Prema Ampereovu zakonu vrijedi: B dl o I Ç I- struja koja prolazi kroz površinu koju omeĎuje zatvorena krivulja C. Kad se uzme površina S1 onda vrijedi: B dl o I K MeĎutim kad se razmatra površina S2, kroz koju ne teče nikakva struja proizlazi da je: B dl 0 K E ES iD Ova dva rezultata su u kontradikciji. Rješenje je dao Maxwell definirajući struju pomaka: d E I D o E dS dt t E t Q Q S S dQ i dt Sva tri polja B su ista Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 6 Osnovni pojmovi elektrodinamike E D H B E D E - električno polje - električni pomak - dielektrična konstanta - jakost magnetskog polja B H - magnetska indukcija (gustoća magnetskog toka) - magnetska permeabilnost i B definirani Lorentzovom silom (ukupnom silom na naboj u elektromagnetskom polju) F QE Qv B J - gustoća naboja, Q /V - gustoća struje, J In 0 / S Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 7 Maxwellove jednadžbe – 1. i 2. Gaussov zakon za električno polje Tok električnog pomaka kroz bilo koju zatvorenu površinu S jednak je algebarskom zbroju naboja koji se nalaze unutar te zatvorene površine: DdS dV S V Prva Maxwellova jednadžba Gaussov zakon za magnetsko polje Tok magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu S jednak je nuli (tj. ne postoji izolirani magnetski naboj): BdS 0 S Druga Maxwellova jednadžba Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 8 Maxwellove jednadžbe – 3. i 4. Faradeyev zakon elektromagnetske indukcije Brzina promjene toka magnetske indukcije kroz petlju jednaka je elektromotornoj sili induciranoj u petlji, ili vremenski promjenjivo magnetsko polje stvara kružno električno polje: d K Eds dt S BdS Treća Maxwellova jednadžba Poopćeni Ampereov zakon Linijski integral magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju provodne i pomačne struje koju ta petlja sadržava, ili, u odsutnosti provodnih struja, vremenski promjenjivo električno polje stvara kružno magnetsko polje : d K Hds S JdS dt S DdS Četvrta Maxwellova jednadžba Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 9 Divergencija vektorskog polja Divergencija vektorskog polja je tok vektorskog polja A po jedinici volumena kad se volumen sažima u točku, teži nuli. Divergencija vektorskog polja je skalar. divA lim S V 0 0 A dS V 0 0 Može se pokazati da je divergencija vektorskog polja u Descartesovim koordinatama izračunava prema formuli: Ax Ay Az divA A x y z Vrijednost divergencije u zadanoj točki prostora ne ovisi o izboru koordinatnog sustava Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 10 Rotor (rotacija) vektorskog polja Divergencija vektorskog polja je veličina koja karakterizira to polje, ali samo uzima u račun komponente polja okomite na površinu. Rotacija vektorskog polja je cirkulacija (mjera vrtložnosti vektorskog polja) koja uzima u račun komponente polja koje su tangencijalne na danu površinu. Cirkulacija vektorskog polja je zbroj komponenti polja koje leže duž neke zatvorene krivulje: cirkulacij a vektorskog polja A ds K Cirkulacija =0 Cirkulacija > 0 Cirkulacija < 0 Rotor (rotacija vektorskog polja) je cirkulacija vektorskog polja po jediničnoj površini, koju omeĎuje zatvorena krivulja, kad se ta površina steže u točku prostora S0: A ds rotA A lim K S 0 S Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 11 Maxwellove jedn. – integralni i diferencijalni oblik Integralni 1. D d S d V divD BdS 0 divB 0 d K Eds dt S BdS B rotE t S 2. V S 3. Diferencijalni d 4. Hds JdS DdS dt S K S Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 D rotH J t 12 Gustoća energije električnog polja (izvod) U prostoru u kojem postoji električno polje, postoji i energija pridružena tom polju. Zanima nas kolika je energija po jedinici volumena u prostoru u kojem postoji električno polje E, tj. gustoća energije električnog polja (J/m3). Zamislimo pločasti kondenzator čiji je napon jednak nuli, a želimo ga nabiti nabojem Q kako bi ostvarili razliku potencijala U. Nabijanje kondenzatora zahtjeva ulaganje rada, jer treba od negdje donijeti naboj na ploče kondenzatora. Q q q Q2 Kad to napravimo imamo dvije ploče na bliskoj dW dqU dq W dq udaljenosti, jedna ima naboj +Q, druga ima naboj –Q. C c 2C o Kao i kod razmatranja gravitacijske potencijalne 1 C 2U 2 1 energije, zbog visinske razlike, bitna je razlika W E pe CU 2 potencijalne enrgije, a ne put po kojem smo se popeli. 2 C 2 Pogledajmo koliki rad treba uložiti da se naboj dq S 1 S U Ed E pe E 2 d 2 dovede na kondenzator koji je već nabijen nabojem q, C d 2 d te je na kondenzatoru napon U=q/C. Gustoća energije u električnom polju proporcionalna je kvadratu iznosa električnog polja u danoj točki. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 1 2 As V 2 J ue E ( 2 3) Sd 2 Vm m m E pe 13 Gustoća energije magnetskog polja (izvod) Kad zavojnicu priključimo na izvor napona, struja ne postigne odmah maksimalnu vrijednost, jer se u zavojnici inducira napon koji se protivi porastu struje (Lenzovo pravilo). Da bi se kroz zavojnicu uspostavila stalna struja iznosa I, potrebno je uložiti odreĎeni rad, koji se očituje kao potencijalna energija magnetskog polja zavojnice. Gustoća energije magnetskog polja proporcionalna je kvadratu iznosa magnetskog polja u danoj točki. U L L dI dt - inducirani napon u zavojnici di dt Energija koja se preda zavojnici u intervali dt je Pdt odnosno dE pm Lidi Snaga koja se predajezavojnici je : P U L i Li Ukupna rad koji treba uložiti da se uspostavi stalna struja u zvojnici iznosa I je : I 1 E pm L idi LI 2 2 0 N 2S N 2S 2 L E pm I l 2l NI 1 2 B E pm B Sl l 2 E pm 1 2 1 um B H 2 Sl 2 2 Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 14 Energija elektromagnetskog polja Gustoća energije električnog polja (energija po jedinici volumena): 1 2 1 u E E ED 2 2 Gustoća energije magnetskog polja: 1 1 2 1 2 u M H B HB 2 2 2 Čak i u prostoru bez ikakve materije, tj. u vakuumu, može postojati električno i magnetsko polje, a time i energija sadržana u tim poljima. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 15 Pitanja za provjeru znanja 1. Napišite i ukratko objasnite Maxwellove jednadžbe u integralnom i diferencijalnom obliku (obavezno). 2. Kako glasi sila na naboj u elektromagnetskom polju i o čemu ovisi gustoća energije električnog i magnetskog polja? 3. Objasnite Gaussov zakon za električno i magnetsko polje. 4. Objasnite Faradyev zakon indukcije. 5. Objasnite Biot-Savartov zakon odnosno Amperov zakon. 6. Objasnite pojam struje pomaka. 7. Izvedite izraze za gustoću energije električnog/magnetskog polja. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 16 Elektromagnetski titraji i valovi. LC titrajni krug 8 ciklusa u LC titrajnom krugu: a) kapacitet maksimalno nabijen, I=0, b) kapacitet se izbija, struja raste, c) kapacitet potpuno ispražnjen, Imax, d) kapacitet se nabija, ali suprotnim polaritetom, e) kapacitet ponovo maksimalno nabijen, ali suprotnim polaritetom nego pod (a), f) kapacitet se izbija, struja raste i teče suprotnim smjerom, g) kapacitet potpuno ispražnjen, Imax, h) kapacitet se nabija, struja se smanjuje. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 18 LC titrajni krug & mehanički titrajni krug Q2 1 2 U UC U L LI 2C 2 Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 19 Analogija izmeĎu električnih i mehaničkih titrajnih sistema Mehanički sistem Električni sistem Pomak, s Naboj, Q Masa, m Induktivitet, L Brzina, v=ds/dt Struja, I=dQ/dt Konstanta opruge, k Recipročna vrijednost kapaciteta, 1/C Sila, F Elektromotorna sila, Є Vlastita frekvencija, 02=k/m Vlastita frekvencija, 02=1/LC Koeficijent otpora, b Otpor, R Koeficijent prigušenja, =b/(2m) Koeficijent prigušenja, =R/(2L) Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 20 Sažetak (1) – Analogija električnih i mehaničkih titrajnih sustava Za analogiju izmeĎu fizikalnih veličina koje koristimo za opis titrajnih sistema vidjeti stranicu 18. Analogija jednadžbi i rješenja: Način titranja Neprigušeno Mehanički sistem d2s k s0 dt 2 m s(t ) s0 sin( 0t ) 2 Prigušeno ds ds k 2 s0 dt 2 dt m s(t ) s0 e t sin(t ) 0 Prisilno 2 d2s ds m 2 b ks F0 sin t dt dt Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 Električni sistem d 2Q 1 Q0 dt 2 LC Q(t ) Q0 sin( 0t ) d 2Q R dQ 1 Q0 dt 2 L dt LC Q(t ) Q0e t sin(t ) 1 R2 LC 4 L2 d 2Q dQ 1 L 2 R Q 0 sin t dt dt C 21 Analogija izmeĎu mehaničkog i električnog titrajnog kruga 120, Fizika 2, Predavanje 6 22 Nastajanje elektromagnetskih valova, Hertzov eksperiment - H. Hertz, 1888. proizveo radiovalove i otkrio da je brzina širenja tih valova jednaka brzini svjetlosti. - Prvi koji je proizveo i detektirao radiovalove. - J. Clerk Maxwell, (1864) postavio opću teoriju elektromagnetskih pojava, 4 Maxwellove jednadžbe su osnova klasične elektrodinamike. Pokazao de je svjetlost elektromagnetski val. - Predvidio postojanje radio valova. U prijemniku elektromagnetski val koji se proširio iz predajnika inducira struju i nastaje iskra u iskrištu Iskrište proizvodi elektromagnetske valove Induktor proizvodi promjenjivi visoki napon Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 23 Nastajanje elektromagnetskih valova Elektromagnetski val nastaje kad se naboj ubrzava, tj. kad postoji promjena vektora brzine naboja (elektrona). Najjednostavniji izvor elektromagnetskog vala je otvoreni LC titrajni krug. Titranje električnog i magnetskog polja prenosi se iz otvorenog titrajnog kruga u okolni prostor. sin 2 I~ r2 Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 24 Valna jednadžba elektromagnetskog vala (1) Maxwellove jednadžbe u homogenom i izotropnom sredstvu bez naboja i struja: E 0 (1) B 0 B E t (2) (3) E B t (4) i j k operator nabla x y z Primijenimo operaciju rotor a b c (a c )b (a b )c () na (3) Maxwellovu jednadžbu: 2 2 2 B E ( E ) ( ) E E ( 2 2 2 ) E x y z t E 0 iz prve(1) Maxwellove jed . Deriviramo jednadžbu (4) po vremenu: 2 E 2 E 0 t 1 2 E 2 2 E 0 c t Brzina širenja elektromagnetskog vala u vakuumu c 1 0 0 B 2E B 2 t t t 299792458 m / s 3 108 m / s Brzina širenja elektromagnetskog vala u sredstvu v 1 0 0 r r Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 c r r 25 Valna jednadžba elektromagnetskog vala (2) Na isti način se dobije i valna jednadžba za magnetsko polje, tako da se jednadžba (3) derivira po vremenu a da se na jednadžbu (4) primijeni operator “rotacije”. 2 2 2 E B ( B) ( ) B B ( 2 2 2 ) B x y z t E 2 B E t t t 2 2B B 0 2 t 2 E 2 E 0 t 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0 x 2 y 2 z 2 t 2 Ey 2 x 2 Ey 2 y 2 Ey 2 z 2 Ey 2 t 2 0 Maxwellove jednadžbe za električno i magnetsko polje po komponentama. Za svaku komponentu vrijedi jednadžba: 2 f 2 f 2 f 2 f 0 x 2 y 2 z 2 t 2 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 0 x 2 y 2 z 2 t 2 2 Bx 2 Bx 2 Bx 2 Bx 0 x 2 y 2 z 2 t 2 2 By x 2 2 By y 2 2 By z 2 2 By t 2 0 2 Bz 2 Bz 2 Bz 2 Bz 0 x 2 y 2 z 2 t 2 Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 26 Elektromagnetski valovi (1) Titranje električnog i magnetskog polja prenosi se iz otvorenog titrajnog kruga (što se postiže povećavanjem razmaka izmeĎu ploča kondenzatora i zavoja zavojnice; ovaj se ureĎaj naziva i titrajući dipol) u okolni prostor. Oko kruga nastaje elektromagnetsko polje; otvoreni je titrajni krug izvor elektromagnetskih valova. Pri širenju elektromagnetskih valova električno i magnetsko polje meĎusobno su okomiti, a okomiti su i na smjer širenje vala. Pri tom vektor električnog i magnetskog polja titraju u fazi. Valna jednadžba za širenje elektromagnetskih valova dobije se iz Maxwellovih jednadžbi. Uz pretpostavu da se elektromagnetski valovi šire u z smjeru, a vektor električnog polja titra u x smjeru, valne jednadžbe za električno i magnetsko polje, i njihova rješenja su: 2 Ex 2 Ex 2 0 E x ( z, t ) E0 sin(t kz) z 2 t 2 By 2 By 2 0 By ( z, t ) B0 sin(t kz) z 2 t Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 27 Elektromagnetski valovi (2) Pri širenju elektromagnetskih valova, električno polje inducira magnetsko i obratno. Brzina širenja elektromagnetskih valova u sredstvu s odreĎenom dielektričnošću i permeabilnošću je: v 1 Brzina širenja elektromagnetskog vala u vakuumu (=0, =0) iznosi: c 1 o o 8.85 10 12 1 C2 N m 2 4 107 T m A 3.00 108 m s Pri prijelazu elektromagnetskog vala iz sredstva u kojem se širi jednom brzinom u sredstvo u kojem se širi nekom drugom brzinom mijenja se valna duljina vala. Amplitude električnog i magnetskog polja u svakom trenutku povezane su relacijom: E / H / Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 28 Elektromagnetski valovi (3) y z Električno polje elektromagnetskog vala može se detektirati antenom u obliku žice koja je paralelna sa smjerom vektora električnog polja: x E ( x, t ) Eo j sin( kx t ) B( x, t ) Bo k sin( kx t ) y z Antena u obliku petlje detektira magnetsko polje elektromagnetskog vala. Promjenjivi tok magnetskog polja kroz površinu koju omeĎuje vodič u obliku petlje inducira napon u petlji: x Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 29 Spektar elektromagnetskih valova Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 30 Radiovalovi (~ 3km do 30 cm) Ljudsko tijelo je dobra antena za radiovalove čija je frekvencija od oko 300 kHz do 300 MHz, što se može primijetiti kad se podešava kućna antena televizora. Do Zemlje dolaze radiovalovi iz dubokog Svemira, FM područje 88MHz do 108MHz, odnosno valna duljina u području od 3,4 m do 2,8 m. Nevodljivi materijali kao staklo, beton, cigle su transparentni za radiovalove, dok vodiči zbog svojih slobodnih elektrona ne propuštaju radiovalove. Radioteleskopi Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 31 Mikrovalovi (~ 30 cm do 1 mm, f~109-3x1011 Hz) Mikrovalovi prolaze kroz Zemljinu atmosferu, i jako su korisni za svemirsku komunikaciju. Molekula vode je permanentni dipol i kad se naĎe u elektromagnetskom polju, molekula vode se postavlja u smjer polja. Kako se polje mijenja, molekula vode počinje titrati i u sudarima s drugim molekulama, kinetičko gibanje molekule se pretvara u toplinsko gibanje. Očito, da bi se neko tijelo ugrijalo u mikrovalnoj pećnici mora sadržavati vodu, suhi papirnati tanjur se ne zagrije. Mobiteli rade u mikrovalnom području Mikrovalna pećnica: =12,2cm, f=2.45 Ghz, P~1kW, E=2kV/m Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 Satelitska slika Amazone u mikrovalnom području =20cm 32 Infracrveno zračenje (~ 1mm do 780 nm, f~ 300 GHz do 385 THz) Infracrveno zračenje neposredno iza vidljivog dijela spektra, prodire u tkivo do dubine od 3 mm, zato se ne smije gledati u Sunce, treba nositi kvalitetne sunčane naočale. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 33 Ultraljubičasto f=8x1014 do 2,4x1016 Hz Ultarljubičasto zračenje, izaziva dermatološke efekte: preplanulost, aktivira sintezu D vitamina, ali izaziva i rak kože. Sloj ozona (O3) apsorbira ultraljubičasto zračenje < 320 nm i tako štiti Zemlju. Ultraljubičasto zračenje, čija je valna duljina < 300 nm, izaziva biološke efekte disocirajući molekule. Obično staklo koje sadrži željezni oksid je neprozirno za ultraljubičasto zračenje. Slika Sunca u ultraljubičastom dijelu spektra =171x10-10 m Tri različite galaksije snimljne u ultraljubičastom (gore) i vidljivom (dolje) dijelu spektra Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 34 X-zračenje (rendgensko zračenje), W. Roentgen 1895 f=2,4x1016 do 5x1019 Hz, ~ manja od dimenzija atoma Individulani fotoni ovog zračenja imaju energiju od 100 eV do 0.2 MeV, tako da svaki pojedini foton može ostvariti interakciju s materijom 1970., kombinacija računala i X-zračenja omogućila je tehniku CT (computer thomography) (tomos – grčki sloj) Kad se materija ugrije preko milijun stupnjeva zrači X-zrake Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 35 Gama zračenje Gama zračenje je najintenzivnije, izvori gama zrake su pobuĎene jezgre (radioaktivni atomi), nuklearne eksplozije. Gama zrake ne prolaze kroz atmosferu. Gama zraka ubija žive stanica (liječenje raka, Co-bomba) Detektori gama zraka se nalaze uglavnom van atmosfere. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 36 Neke primjene elektromagnetskih valova Kemija Fizika Za prijenos radio i TV signala koriste se em valovi. X-zrake se koriste za odreĎivanje atomske strukture minerala Meteorologija Radari bazirani na Dopplerovom efektu koriste se za praćenje oluja Tehnologija Astronomija Zvijezde zrače u cijelom em spektru. Biologija Oko pretvara em zračenje u slike i boje kroz niz bioloških procesa. Glavna ideja Kad god se naboj ubrzava stvara se elektromagnetsko zračenje – valovi energije koji putuju brzinom svjetlosti Medicina Laserski skalpeli su otvorili mogućnosti preciznih kirurških zahvata na oku. Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 6 Mikrovalne peći koriste činjenicu da hrana apsorbira em zračenje, dok ga zidovi peći reflektiraju. Okoliš Relativno tanki slojevi ozona u atmosferi apsorbiraju većinu štetnog zračenja Sunca. 37
© Copyright 2024 Paperzz