Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1. ANALITICKA GEOMETRIJA
1.1 Pravac
Imlicitni oblik jednadzbe pravca: ax + by + c = 0
Opci oblik pravca:
y = kx + l
gdje je :
k ⇒ koeficijent smjera pravca, k = tan α
l ⇒ odsjecak pravca na osi y
k > 0 ⇒ pravac je nagnut u smjeru + osi x 90 > α > 0
k < 0 ⇒ pravac je nagnut u smjeru − osi x
x y
Segmentni oblik jednadzbe pravca:
+ =1
m n
m ⇒ odsjecak pravca na osi x
gdje je:
n ⇒ odsjecak pravca na osi y
Jednadzba pravca kroz tocku A ( x1 , y1 ) uz poznati k :
180 > α < 90
y − y1 = k ( x − x1 )
Jednadzba pravca kroz dvije tocke A ( x A , y A ) , B ( xB , yB ) :
y − yA =
yB − y A
xB − x A
( x − xA ) ,
Udajenost izmedju dviju tocaka A ( x A , y A ) , B ( xB , yB ) :
Udaljenost tocke T ( xT , yT ) od pravca:
Uvjet da su dva pravca okomita:
Uvjet da su dva pravca paralelna:
Kut izmedju dva pravca:
tan ϕ =
d=
Pravac-simetrala kuta koji cine dva pravca:
d 2 = ( xB − x A ) + ( y B − y A )
2
2
a 2 + b2
k1 ⋅ k2 = ( −1)
ili implicitno cos ϕ =
a1 x + b1 y + c1
Pramen pravaca danih sa dva neparalelna pravca:
Analiticka Geometrija - Pravac
yB − y A
= tan α
xB − x A
axT + byT + c
 1
k1 =  −  ili
 k2 
k1 = k2
k2 − k1
1 + k1 k2
k=
a12 + b12
=
a1 a2 + b1b2
a12 + b12 a22 + b22
a2 x + b2 y + c2
a22 + b22
a1 x + b1 y + c1 = λ ( a2 x + b2 y + c2 )
1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1. Odredi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A ( −1, 2 ) i paralelan je sa prvcem
3x + 2 y − 6 = 0
3x + 2 y − 6 = 0 ⇒
3
3
y = − x + 6 ⇒ k2 = − ⇒ k1 = k2
2
2
 3
y − y1 = k1 ( x − x1 ) ⇒ y − 2 =  −  ( x + 1)
 2
2 y − 4 = −3 x − 3 ⇒ 3 x + 2 y − 1 = 0
2 y = −3 x + 6 ⇒
2. Odredi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A ( −3,8) i ima koeficijent smjera k = 4.
y − y1 = k ( x - x1 )
y − 8 = 4 ( x + 3) = 4 x + 12 ⇒ 4 x − y + 20 = 0
3. Izracunaj jednadzbu pravca okomice iz tocke A(−3, −4) na pravac koji prolazi tockama
B(−5, 2) i C (4, −1).
y − yB −1 − 2
3
1
Koeficijent smjera pravca: k p = C
=
=− =−
xC − xB
4+5
9
3
1
1
=−
=3
1
kp
−
3
Okomica ima jednadzbu: y − y A = ko ( x − x A ) ⇒ y + 4 = 3 ( x + 3) ⇒ y = 3x + 5
Koeficijent smjera pravca-okomice mora biti: ko = −
Vidi sliku na slijedecoj stranici.
Analiticka Geometrija - Pravac
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
4. Odredi jednadzbu pravca, koji je okomit na pravac koji prolazi tockom A (1, −2 ) i ima
koeficijent smjera k = −4.
p1 ≡ y − y1 = k ( x − x1 ) ⇒ y + 2 = −4 ( x − 1) ⇒ p1 ≡ y = −4 x + 2
Uvjet okomitosti: k2 = −
p2 ≡
1
1 1
1
=−
= ⇒ p2 ≡ y − y1 = k ( x − x1 ) ⇒ y + 2 = ( x − 1)
k1
−4 4
4
1
9
x−
4
4
5. Izracunaj jednadzbu pravca koji prolazi kroz A ( 3,2 ) i sa pravcem 2 x + 3 y + 6 = 0 cini
kut od ϕ =
π
.
4
2
Koeficijent smjera zadanog pravca: 2 x + 3 y + 6 = 0 ⇒ y = − x − 2
3
π
Kut izmedju dva pravca: tan ϕ = tan = 1
4
2
 2k1

2
1−
= − − k1 ⇒ k1 = −5 
− − k1

k2 − k1
3
3


= ±1 = 3
⇒

2
2k1
2
1
1 + k2 k1

1 − k1
−1 +
= − − k1 ⇒ k1 =
3

3
3
5 
Analiticka Geometrija - Pravac
3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1
Jednadzba pravca kroz tocku A ( 3,2 ) i koeficijentima smjera k1 = −5, :
5
 y − 2 = −5 ( x − 3) ⇒ 5 x + y − 17 = 0


y − y A = k1 ( x − x A ) ⇒ 

1
 y − 2 = ( x − 3) ⇒ x − 5 y + 13 = 0 
5


6. Tockom A ( 3,3) polozi dva okomita pravca i izracunaj povrsinu trokuta kome je treca
b⋅v
.
2
Baza trokuta je odsjecak sto ga cine pravci na osi x a visina je koordinata y A = 3.
stranica os x. Povrsina trokuta je P =
Jednadzba pravaca kroz tocku A ( 3,3) i kutem prema osi x od
 y − 3 = −1 ( x − 3 ) ⇒ x + y − 6 = 0 


ϕ = 45 :
k = tan 45 = ±1 ⇒ 

1
 y − 2 = ( x − 3) ⇒ x − y = 0 
5


Presjecista medjusobno okomitih pravaca, sa osi x, su u tockama: x = 0 i x = 6.
b ⋅v 6⋅3
Duzina baze je znaci 6. Povrsina trokuta iznosi:
P =
=
=9
2
2
7. Izracunaj simetralu duzine AB zadane sa tockama A (1,5 ) i B ( 3,4 ) .
Pravac na kojem lezi duzina AB : y − y A =
y −5 =
yB − y A
( x − xA )
xB − x A
x 11
4−5
1
( x − 1) = − ( x − 1) ⇒ y = − +
3 −1
2
2 2
Analiticka Geometrija - Pravac
4
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Simetrala je okomita na zadani pravac i koeficijent smjera mora biti k S = −
1
= 2.
k
Simetrala prolazi kroz poloviste stranice AB, tocku sa koordinatama :
x + xA 1 + 3
y + yA 4 + 5 9
Sx = B
=
=2
Sy = B
=
=
2
2
2
2
2
9
y − S y = kS ( x − S x ) ⇒ y − = 2 ( x − 2 ) ⇒ 2 y − 9 = 4 x − 8
Trazena simetrala:
2
1
y = 2x +
2
8. Izracunaj jednadzbu pravca, simetricnog pravcu y = 7 x + 2 obzirom na pravac 3x − 4 y + 8 = 0.
3
3
Os simetrije je pravac: 3x − 4 y + 8 = 0 ⇒ y = x − 2
kS = , kZ = 7
4
4
3
7−
k − kS
4 = 1 = ±1 ⇒ ϕ = tan −1 ( ±1) = ± 45
Kut izmedju simetrale i pravca:tan ϕ =
3
1 + kk S
1− 7
4
1
1
= − i prolazi kroz presjeciste
Simetricni pravac je okomit na zadani pravac: k = −
kZ
7
3
pravca i simetrale: y = x + 2 ⇒ y = 7 x + 2
4
3
x + 2 = 7 x + 2 ⇒ x = 0, y = 2
za T ( 0, 2 )
4
1
1
y − yT = k ( x − xT ) ⇒ y − 2 = − ( x − 0 ) ⇒ y = − x + 2
7
7
Analiticka Geometrija - Pravac
5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
9. Izracunaj povrsinu kvadrata kome je stranica jednaka udaljenosti dva paralelna pravca:
3
7
3
p1 ≡ y = − x + i p2 ≡ y = − x − 3.
2
2
2
Izracunajmo udaljenost tocke od pravca. Promotrimo tocku T ( 0, −3)
Presjeciste pravca p2 i osi y : d =
3 ⋅ 0 + 2 ( −3 ) − 7
32 + 22
=
13
13
⋅
13
13
Povrsina kvadrata sa stranicom duzine a = 13 iznosi: P = a 2 =
Analiticka Geometrija - Pravac
6
= 13
( 13 )
2
= 13
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
10. Odredi tocke na pravcu p ≡ y = x − 3 koje su jednako udaljene od pravaca
p1 ≡ y = 7 x − 11 i p2 ≡ y = − x + 5.
Potrebno je izracunati tocku presjecanja i poloziti pravce koji su simetrale dva zadana
pravca, kroz tocke koje leze na zadanom pravcu p:
Tocka presjecanja p1 i p2 : p1 ≡ y = 7 x − 11 p2 ≡ y = − x + 5 ⇒ 7 x − 11 = − x + 5 ⇒ P ( 2,3)
Jednadzba simetrale :
7 x − y − 11
=
a1 x + b1 y + c1
=
a12 + b12
x− y+5
⇒
a2 x + b2 y + c2
7 x − y − 11
50
7 2 + 12
12 + 12
= ( 7 x − y − 11) = ±5 ( x − y + 5 ) =
a22 + b22
=
x+ y−5
2
=
 S ≡ ( 7 x − y − 11) = 5 ( x + y − 5 ) ⇒ x − 3 y + 7 = 0 
= 1

 S 2 ≡ ( 7 x − y − 11) = −5 ( x + y − 5 ) ⇒ 3 x + y − 9 = 0 
Trazene tocke su na presjecistu simetrala i zadanog pravca p :
 1.

 2.
 3.

p ≡ y = x − 3

S1 ≡ x − 3 y + 7 = 0  ⇒ Rjesenje sistema daje rjesenja:
S1 ≡ x − 3 y + 7 = 0 
x 7
+ ⇒ 3x − 9 = x + 7 ⇒ x = 8
y = 8−3= 5
3 3
−3 x + 9 = x − 3 ⇒ 4 x = 12 ⇒ x = 3 y = 3 − 3 = 0
x−3=
Trazene tocke su :
A ( 8,3) i B ( 3, 0 )
Analiticka Geometrija - Pravac
7
A ( 8,3)
B ( 3, 0 )
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
11. Odredi jednadzbu pravca koji sadrzi visinu na stranicu a, trokuta zadanog pravcima:
p1 ≡ 2 x − 3 y + 4 = 0; p2 ≡ x + y − 2 = 0 i p3 ≡ x − 3 y + 2 = 0.
Potrebno je poloziti pravac koji prolazi kroz vrh A i okomit je na p1 , koristeci jednadzbu
pramena pravaca.
Visina na stranicu c je okomita na pravac p1 sa koeficijentom smjera:
k p1 =
2
1
3
⇒ ko = −
=−
3
k p1
2
Pramena pravaca je predocen sa p2 i p3 :
x + y − 2 = λ ( x − 3 y + 2)
x + y − 2 + λ x − 3λ y + 2λ = 0 ⇒ y (1 − 3λ ) + x (1 + λ ) + 2λ − 2 = 0 ili:
3 1+ λ
1
=
⇒ 3 − 9λ = 2 + 2λ ⇒ λ =
i jednadzba ima oblik:
2 1 − 3λ
11
1
x + y − 2 = λ ( x − 3 y + 2) ⇒ x + y − 2 = ( x − 3 y + 2)
11
12
20
11x + 11 y − 22 + x − 3 y + 2 = 0 ⇒ y = − x +
8
8
3
5
Trazena jednadzba pravca ima oblik: y = − x +
2
2
−
Analiticka Geometrija - Pravac
8
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1.2 Kruznica
Implicitni oblik jednadzbe kruznice:
x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0
Jednadzba kruznice sa sredistem u ishodistu:
x2 + y 2 = r 2
Jednadzba kruznice sa sredistem u tocki S ( p, q ) :
( x − p)
Uvjet da pravac dodiruje kruznicu:
r 2 (1 + k 2 ) = ( q − pk − l )
Jednadzba tangente u tocki kruznice T ( xT , yT ) :
( xT
2
gdje je r ⇒ radijus kruznice
+ ( y − q) = r2
2
2
− p )( x − p ) + ( yT − q )( y − q ) = 0
Normala na kruznicu je pravac kroz diraliste tangente, okomit na tangentu kruznce.
Polara tocke P ( xP , yP ) obzirom na kruznicu, je pravac koji prolazi diralistima tangenata
povucenih iz tocke P na kruznicu. Tocka P se naziva tada pol za tu polaru.
xxP + yyP = r 2 ili
Jednadzba polare:
( xP − p )( x − p ) + ( yP − q )( y − q ) = r 2
1. Odredi koordinate sredista kruznice i radijus ako je kruznica zadana jednadzbom:
x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 24 = 0
x 2 − 6 x + y 2 + 8 y = 24
(x
2
nadopunimo na potpuni kvadrat:
− 6 x + 9 − 9 ) + ( y 2 + 8 y + 16 − 16 ) = 24
( x − 3) − 9 + ( y + 4 ) − 16 = 24
2
2
( x − 3) + ( y + 4 ) = 49
2
2
Kruznica ima srediste u S (3, −4) a radijus je r = 7
2. Odredi jednadzbu kruznice kojoj su tangente osi x i y te pravci x = 4 i y = 4 :
x y
Promjer kruznice je = = 2 a srediste je u tocki S (2, 2)
2 2
Jednadzba kruznice glasi:
Analiticka Geometrija - Kruznica
( x − 2)
9
2
+ ( y − 2 ) = 22
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
3. Odredi tocke sjecista kruznice x 2 + y 2 − x − 3 y = 0 i pravca y = x − 1.
Uvrstimo y = x − 1 u jednadzbu x 2 + y 2 − x − 3 y = 0 :
x 2 + ( x − 1) − x − 3 ( x − 1) = 0
2
x 2 + x 2 − 2 x + 1 − x − 3x + 3 = 0
x 2 − 3x + 2 = 0
x1,2 =
3 ± 9 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 3 ± 1  x1 = 2
=
=
2
2
 x2 = 1
y1 = 1
y2 = 0
Sjecista kruznice i pravca su u tockama: A(2,1) i B(1,0)
Jednadzba kruznice daje slijedece podatke:
x2 + y2 − x − 3 y = 0
2
2
1 
3  10
1 3
10

x2 − x + y2 − 3 y = 0 ⇒  x −  +  y −  =
⇒ S ( , ), r =
2 
2
4
2 2
2

4. Odredi putanju tocke C, koja se krece tako da je njena udaljenost od tocke
T(2,4) uvijek dva puta veca nego udaljenost od ishodista.
1
2 4
Tocka na udaljenosti izmedju tocke T i ishodista je tocka A( , ).
3
3 3
Ishodistu suprotna tocka mora biti srediste kruznice S.
2
2
( x − a)
2
+ ( y − b) = r2
2
2 
4

2
 x −  +  y −  = r ⇒ Odredimo radijus r kruznice; duzinu izmedju tocaka S i A
3 
3

Analiticka Geometrija - Kruznica
10
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
d = r = ( xS − x A ) + ( yS − y A )
2
2
2
2
2
2
80
 2 2  4 4
= − −  + − −  =
9
 3 3  3 3
2
2
2 
4
80

Jednadzba putanje je jednadzba kruznice koja glasi:  x −  +  y −  =
3 
3
9

2
2
ili 3 x + 3 y + 4 x + 8 y − 20 = 0
5. Odredi jednadzbu kruznice kojoj je srediste u sjecistu pravaca p1 ≡ 2 x − 3 y + 5 = 0 i
p2 ≡ 3 x + 4 y − 1 = 0 a dodiruje pravac p3 ≡ 3x + y − 8 = 0.
Sjeciste pravaca p1i p2 daje nam srediste kruznice:
2 x − 3 y + 5 = 0  −6 x + 9 y − 15 = 0
p ≡ x = −1
⇒
⇒
3x + 4 y − 1 = 0   6 x + 8 y − 2 = 0 
q ≡ y =1
Srediste kruznice je u S ( −1,1) .
Tangenta, pravac p3 je udaljen od sredista za radijus r:
r≡d =
3 xS + y S − 8
3 +1
2
2
=
3 ( −1) + (1) − 8
Jednadzba kruznice glasi:
10
( x + 1)
2
=
10
10
10
⋅
10
= 10
+ ( y − 1) = 10
2
6. Izrazi njenu jednadzbu tangente iz tocke T ( 6, −2 ) na kruznici ( x − 2 ) + ( y − 1) = 25
2
Jednadzba tangente :( xT − p )( x − p ) + ( yT − q )( y − q ) = r 2
Analiticka Geometrija - Kruznica
11
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
( 6 − 2 )( x − 2 ) + ( −2 − 1)( y − 1) = 25 ⇒ 4 ( x − 2 ) − 3 ( y − 1) = 25
4 x − 8 − 3 y + 3 − 25 = 0 ⇒ y =
4
x − 10
3
7. Izrazi jednadzbe tangenta polozenih iz tocke T ( −5, −1) na kruznicu x 2 + y 2 = 8
Jednadzbe tangenata iz tocke izvan kruznice:
y = kx + l ⇒ yT = kxT + l ⇒ −1 = −5k + l ⇒ l = 5k − 1
r 2 (1 + k 2 ) = l 2 ⇒ 8 (1 + k 2 ) = ( 5k − 1) ⇒ 17 k 2 − 10k − 7 = 0
2
k1 = 1 ⇒ l1 = 5 ⋅ 1 − 1 = 4


10 ± 24 

k1,2 =
=
7
52 
 7
34
k2 = − 17 ⇒ l2 = 5  − 17  − 1 = − 17 




Nase tangente imaju oblik: t1 ≡ y = kx + l = x + 4 ⇒ y = x + 4
t2 ≡ y = kx + l = −
7
52
7
52
x−
⇒ y =− x−
17
17
17
17
8. Iz tocke T ( −1, −1) izvan kruznice ( x + 2 ) + ( y + 3) = 4 polozene su tangente.
2
2
Izrazi njihove jednadzbe i njihova diralista te pravac (polara) na kome lezi duzina
koja spaja diralista.
Jednadzbe tangenata iz tocke izvan kruznice:
y = kx + l ⇒ yT = kxT + l ⇒ −1 = − k + l ⇒ k = l + 1
Analiticka Geometrija - Kruznica
12
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
4 (1 + k 2 ) = ( −3 + 2k − l ) ⇒ 4 + 4k 2 =  −3 + 2 ( l + 1) − l 
7
7
4

−10 ± 4 l1 = − ⇒ k1 = − + 1 = − 
2
=
3l + 10l + 7 = 0 ⇒ l1,2 =
3
3
3
6
 l2 = −1 ⇒ k2 = −1 + 1 = 0 
2
2
Nase tangente imaju oblik:
t1 ≡ y − yT = k ( x − xT ) ⇒ y + 1 = −
4
4
7
( x + 1) ⇒ y = − x −
3
3
4
t2 ≡ y − yT = k ( x − xT ) ⇒ y + 1 = 0 ⇒
y = −1
Diralista tangenata:
y = −1 ⇒
( x + 2)
2
+ ( −1 + 3 ) = 4 ⇒ ( x + 2 ) = 0
2
2
x = −2
2
4
7
7
25 2 20
4
2
 4

y = − x − ⇒ ( x + 2) +  − x − + 3  = 4 ⇒
x +
x+ = 0
3
4
4
9
9
9
 3

2
x1,2 = −
5
2
64
2
2
 2

 − + 2  + ( y + 3) = 4 ⇒ ( y + 3) = 4 −
25
 5

6
9
21
y+3= ±
y1 = −
y2 = −
5
5
5
 2 9
Diralista su u: A ( −2, −1) i B  − , − 
 5 5
Jednadzba pravca kroz diralista − jednadzba polare:
( xP + 2 )( x + 2 ) + ( yP + 3)( y + 3) = 4
( −1 + 2 )( x + 2 ) + ( −1 + 3)( y + 3) = 4 ⇒ x + 2 + 2 y + 6 − 4 = 0 ⇒ 2 y + x + 4 = 0
9. Kruznica
( x − 4)
2
+ ( y + 2 ) = 25 ima polaru oblika y = x − 1. Odredi koordinate pola P.
2
Koordinate presjecista polare i kruznice:( x − 4 ) + ( y + 2 ) = 25; y = x − 1
2
( x − 4)
2
2
+ ( x − 1 + 2 ) = 25 ⇒ x 2 − 8 x + 16 + x 2 + 2 x + 1 − 25 = 0
2
Analiticka Geometrija - Kruznica
13
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
x 2 − 3 x − 4 = 0 ⇒ x1 = 4
x2 = −1
⇒ y1 = 3
y 2 = −2
Jednadzba polare:
A ( 4,3) B ( −1, −2 )
za x1 = 4; y1 = 3 :
( xP − 4 )( 4 − 4 ) + ( yP + 2 )( 3 + 2 ) = 25 ⇒ 5 ( yP + 2 ) = 25 ⇒ yP + 2 = 5 ⇒ yP
=3
za x1 = −2; y1 = −2 :
( xP − 4 )( −1 − 4 ) + ( yP + 2 )( −2 + 2 ) = 25 ⇒ ( xP − 4 )( −5) = 25 ⇒ xP
Koordinate pola su P ( −1,3)
= −1
10. Kruznica prolazi kroz tocke A ( −3, 0 ) , B (1, −2 ) , C ( 0, −1) .Odredi jednadzbu polare ako je
pol ishodiste.
Implicitni oblik jednadzbe kruznica: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, kroz tri zadane tocke.
( −3) + 02 + a ( −3) + b ( 0 ) + c = 0 ⇒ −3a + c = −9
2
2
(1) + ( −2 ) + a (1) + b ( −2 ) + c = 0 ⇒ a − 2b + c = −5
2
2
( 0 ) + ( −1) + a ( 0 ) + b ( −1) + c = 0 ⇒ −b + c = −1
2
Rjesenje sistema je slijedece: a = 6, b = 10, c = 9, odnosno:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 ⇒ x 2 + y 2 + 6 x + 10 y + 9 = 0 ili:
x 2 + 2 x ⋅ 3 + 9 − 9 + y 2 + 2 y ⋅ 5 + 25 − 25 + 9 = 0
i jednadzba nase kruznice ima oblik: ( x + 3) + ( y + 5 ) = 25
2
2
Odredimo sada jednadzbu polare iz pola P ( 0,0 ) :
( 0 + 3)( x + 3) + ( 0 + 5 )( y + 5 ) = 25 ⇒ 3x + 9 + 5 y + 25 = 25 ⇒ 3x + 5 y + 9 = 0
Analiticka Geometrija - Kruznica
14
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1.3 Parabola
Parabola je definirana kao skup tocaka koje su jednako udaljeni od stalnog pravca p i stalne tocke
F , koja se naziva fokus ili zariste.
Standardni oblik jednadzbe parabole: y 2 = 4 px → Vrh parabole je u ishodistu i jednadzba stalnog
pravca paralelnog sa osi y je p
Standardni oblik jednadzbe parabole: x 2 = 4 py → Vrh parabole je u ishodistu i jednadzba stalnog
jednadzba stalnog pravca paralelnog sa osi x je p
l

p = 2kl → Diraliste je u tocki sa koordinatama T  , 2l 
k

Jednadzba tangente u tocki T ( x1 , y1 ) parabole:
yy1 = p ( x + x1 )
Uvjet da pravac dira parabolu:
1. Zadane su dvije parabole: Prva ima vrh u fokusu druge parabole i svoj fokus u vrhu druge
parabole. Ako je druga parabola zadana jednadzbom y 2 = 4 x, odredi jednadzbu prve.
y22 = 4 px = 4 x
⇒ 4p = 4
p = 1:
Fokus je u F(1,0), p > 0 i parabola je otvorena u desno
Prva parabola ima vrh u fokusu, tj. V1 (1, 0) a fokus u vrhu, F(0,0):
Iz postave zadatka, mora biti p < 0 : y12 = 4 px = − ( 4 p )( x − xV ) = −4 ⋅ 1( x − 1)
y 2 = −4 x + 4 ⇒
y2 + 4x − 4 = 0
2. Mlaz vode iz hidranta ima oblik parabole. Izrazi jednadzbu parabole, ako mlaz postize visinu
od 18m na horizontalnoj udaljenosti 28m od hidranta.
Opci oblik vertikalne parabole, koja je otvorena prema dolje: x 2 = −4 py
Hidrant je u ishodistu, pa imamo:
Analiticka Geometrija - Parabola
( x − 28)
2
= 4 p ( y − 18 )
15
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
282
Vrh je u V(28,18)
( 0 − 28) = 4 p ( 0 − 18) ⇒ 4 p = −
18
2
28
2
Jednadzba parabole : x 2 = −4 py ⇒ ( x − 28) = −
( y − 18)
18
2
3. Tetiva parabole je dio pravca koji prolazi kroz fokus a paralelan je sa stalnim pravcem
(direktrisom). Duzina se naziva i latus rectum. Izracunaj tu duzinu ako je jednadzba
parabole y 2 = 4 px.
Opci oblik parabole: y 2 = 4 px;
Direktrisa je na: x = −1, a Fokus na: F(1,0)
Tetiva je pravac: x = 1; koji sjece parabolu u tockama ± 2p
4. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz vrh i fokus parabole x 2 = 8 y.
Opci oblik parabole: x 2 = 4 py ⇒ 4 p = 8 p = 2 > 0
Parabola je otvorena prema gore; Direktrisa je na: y = −2, a Fokus na: F(0,2)
Jednadzba kruznice koja prolazi tockama F(0,2) i V(0,0):
x 2 + ( y − 1) = 1
2
5. Parabolicna antena je konstruirana tako da paralelne ulazne signale reflektira kroz fokus.
Odredi jednadzbu parabole ako je jednadzba zrake kroz fokus:
y = −12 x + 3.6
Fokus je u tocki presjeka pravca i osi x; y = 0:
0 = −12 x + 3.6 ⇒ x = 0.3
Jednadzba parabole, sa fokusom u F(0.3, 0): y 2 = 0.3x
Analiticka Geometrija - Parabola
16
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
6. Suncev reflektor ima oblik parabole promjera 2.5 m, a ugib je 0.425 m.
Odredi fokusnu udaljenost.
2.5
Rubne tocke parabole imaju koordinate x = 0.425, y = ±
2
2
2
Jednadzba parabole: y = 4 px
1.25 = 4 p 0.425
p = 0.919
F = 0.919m
7. Mali otok je udaljen 4 km od obale koja ima oblik pravca. Plovni put izmedju obale i otoka je
ekvidistantna krivulja izmedju otoka i obale. Odredi tu krivulju.
Krivulja je parabola sa direktrisom u 2:
1
1
4p = 2 ⇒ p =
y 2 = 4 px = 4 ⋅ x = 8 x ⇒ y 2 = 8 x ili
x2 = 8 y
2
2
Plovni put je na pola puta, izmedju obale i otoka.
Analiticka Geometrija - Parabola
17
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1.4 Elipsa
x2 y2
+
= 1, a − velika poluos, b − mala poluos
a 2 b2
f 2 = c2 = a 2 − b2
Standardni oblik jednadzbe elipse:
Fokusna udaljenost
f :
Jednadzba elipse sa centrom u tocki A ( x1 , y1 ) :
( x − x1 )
a2
c
e=
a
Ekscentricitet elipse:
2
+
( y − y1 )
2
b2
=1
 ka 2 b 2 
Koordinate diralista: T  −
,− 
l 
 l
xx1 yy1
+ 2 =1
a2
b
Uvjet da pravac dira elipsu: a 2 k 2 + b 2 = l 2
Jednadzba tangente iz tocke T ( x1 , y1 ) :
1. Odredi jednadzbu elipse koja ima fokus u F(9,0) i vrh u V(15,0).
Fx = 9 = c 2 = a 2 − b 2
Vx = 15 = a
⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 152 − 92 = 144
x2 y2
+
=1
a 2 b2
x2
y2
⇒ 2 + 2 =1
15 12
2. Odredi ekscentricitet elipse x 2 + 9 y 2 = 81
x2 y2
⇒ x + 9 y = 81 ⇒ 2 + 2 = 1
9
3
2
2
2
c = a − b = 81 − 9 = 72
c
Ekscentricitet je dan sa: e =
a
2
e=
c
=
a
72
81
2
=
3 8 2 2
=
9
3
3. U gradjevinama sa specijalnim akustickim karakteristikama, moguce je cuti sapat ako se
posjetioc nalazi u fokusima elipsastog svoda. Ako je presjek hale, elipsa jednadzbe
36x 2 + 225 y 2 = 8100, odredi udaljenost sapatca i slusaca.
36x 2 + 225 y 2 = 8100
a 2 = 225
x2
y2
+
=1  2
225 36
 b = 36
c 2 = a 2 − b 2 = 225 − 36 = 189
Udaljenost izmedju fokusa: l = 2c = 2 189 = 27.495m
Analiticka Geometrija - Elipsa
18
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
4. Dvije koncentricne elipse cine prsten. Izracunaj obje debljine prstena.
Elipsa 1: x 2 + 4 y 2 = 100
Elipsa 2: 2x 2 + 5 y 2 = 500
x2
y2
x2
y2
+
=1
+
=1
100 25
250 100
a = 10, b = 5
a = 15.8, b = 10
Debljina iznosi:
d a = 15.8 − 10 = 5.8 db = 10 − 5 = 5
5. Presjek cisterne je elipsa x 2 + 6 y 2 = 6. Izracunaj volumen ako je duzina cisterne 6m a
povrsina elipse se dobije iz: Pe = abπ
x2 + 6 y2 = 6 ⇒
Povrsina elipse iznosi:
Volumen cisterne:
x2 y2
+
= 1 a = 6, b = 1
6
1
Pe = 6 ⋅π
Vc = 6 Pe = 6 6 ⋅π = 46.172m3
1.5 Hiperbola
2
x
y2
−
=1
a2
b2
a − transverzalna polu os, b − konjugirana polu os
Jednadzba hiperbole sa centrom u ishodistu:
Jednadzbe pravaca-asimptota hiperbole: y = ±
b
x
a
Jednadzba hiperbole sa centrom u tocki A ( x1 , y1 ) :
Jednadzba tangente u tocki T ( x1 , y1 )
Analiticka Geometrija - Elipsa
a2
2
−
( y − y1 )
b2
2
=1
c
a
 ka 2 b 2 
a 2 k 2 − b 2 = l 2 Koordinate diralista:T  −
,− 
l 
 l
xx1 yy1
hiperbole:
− 2 =1
a2
b
Fokusna udaljenost f : f 2 = c 2 = a 2 + b 2
Uvjet da pravac dira hiperbolu:
( x − x1 )
Linearni ekscentricitet e: e =
19
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1. Odredi jednadzbu hiperbole koja prolazi tockom A(2,3) i ima fokus u F(2,0).
x A2 y A2
22 32
−
=
⇒
−
= 1 ⇒ 4b 2 − 9a 2 − a 2 b 2 = 0
1
a 2 b2
a 2 b2
c 2 = 22 = a 2 − b 2 ⇒ a 2 = 4 − b 2
uvrstimo u gornju jednadzbu:
4b 2 − 9 ( 4 − b 2 ) − ( 4 − b 2 ) b 2 = 0
2
4b 2 − 36 + 9b 2 − 4b 2 + b 4 = 0
b 4 + 9b 2 − 36 = 0
zamijenimo:b 2 = k
k 2 + 9k − 36 = 0
k1,2 =
−9 ± 81 − 4 ⋅ 36  k1 = −12
=
2
2
k2 = 3 ≡ b
a 2 = 4 − b2 = 4 − 3 = 1
Jednadzba hiperbole:
x2 y2
−
= 1 ⇒ 3x 2 − y 2 = 3
1
3
y
5
4
3
2
1
0
-3
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
-2
-3
-4
-5
2. Koncentricne hiperbole su one koje imaju zamjenjene poluosi. Zadana je hiperbola sa vrhom
u V(0,1) i fokusom u F(0, 3). Odredi zadanoj hiperboli koncentricnu hiperbolu.
yV2 xV2
−
=1
a 2 b2
⇒
a = 1; c 2 =
( 3)
2
= a 2 + b2 = 1 + b2 ⇒
y2 x2
Jednadzba hiperbole je:
−
=1 ⇒
1
2
x2 y 2
Jednadzba koncentricne hiperbole: 2 − 2 = 1
a
b
c2 =
( 3)
2
20
2 y2 − x2 = 2
⇒ V (1, 0)
F ( 3, 0)
= a 2 + b2 = 1 + b2 ⇒ b2 = 3 − 1 = 2
x2 y 2
−
=1
1
2
Analiticka Geometrija - Hiperbola
b2 = 3 − 1 = 2
⇒
2x2 − y2 = 2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
3. Nadji centar hiperbole:
2x2 − y2 − 4x − 4 y − 4 = 0
2x2 − 4x − y 2 − 4 y = 4 ⇒ 2 ( x2 − 2x ) − ( y2 + 4 y ) = 4
2 ( −2 x + 1 − 1) − ( y 2 + 4 y + 4 − 4 ) = 4
2 ( x − 1) − ( y + 2 ) = 2 : 2 ⇒
2
2
( x − 1)
1
2
−
( y + 2)
2
2
=1
S (1, −2)
4. Odredi jednadzbu hiperbole ako je vrh u V (−1,1), fokus u F (−1, 4) i srediste u S (−1, 2) :
V (−1,1) daje a = 1
( y − 2)
F (−1, 4) daje c 2 = 4
2
( x + 1)
2
−
=1
1
3
x 2 − 3 y 2 + 2 x + 12 y + 10 = 0
Analiticka Geometrija - Hiperbola
21
b2 = c2 − a 2 = 4 − 1 = 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. Odredi jednadzbu hiperbole koja ima asimptote x − y = −1 i x + y = −3 i vrh u V(3,1)
b
⇒a=b
a1 ≡ y = x + 1
Asimptota ima jednadzbu: y = ± x
a
a2 ≡ y = − x − 3
Sjeciste pravaca daje srediste hiperbole:
⇒
2 y = −2
y = −1 x = − 2
S (−2, −1)
Iz koordinate vrha: Vx = 3 i S x = −2 odredjujemo transferzalnu poluos
a = −2 + 3 = 5 a = b = 5
Analiticka Geometrija - Hiperbola
Jednadzba hiperbole je:
22
( x + 2)
25
2
−
( x + 1)
25
2
=1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1.6.1 Razni zadaci
1. Zadani su pravac y = 3x − 11 i parabola x 2 − 4 x − y − 5 = 0. Izracunaj koordinate tocaka u
kojima se krivulje sjeku.
y = 3 x − 11 → Supstitucija u drugu jednadzbu :
x2 − 4x − y − 5 = 0
x 2 − 4 x − ( 3 x − 11) − 5 = 0 ⇒ x 2 − 7 x + 6 = 0
⇒ x1,2 =
y = 3 x − 11
−b ± b 2 − 4ac  x1 = 6
=
2a
 x2 = 1
⇒ y1 = 3 ⋅ 6 − 11 = 7
⇒ y2 = 3 ⋅ 1 − 11 = −8 ⇒
Trazene tocke su: A(6, 7) i B(1, -8)
2. Zadani su pravac y = x − 2 i kruznica x 2 + y 2 − 10 y − 24 = 0. Izracunaj koordinate tocaka
u kojima se krivulje sjeku.
y = x−2
x 2 + y 2 − 10 y − 24 = 0 daje:
Supstitucija u drugu jednadzbu
Jednadzba kruznice: x 2 + ( y − 5 ) = 49 ⇒ x 2 + ( x − 2 ) − 10 ( x − 2 ) − 24 = 0
2
x2 − 7 x = 0
y1 = 0 − 2 = −2
⇒ x ( x − 7) = 0
2
x = 0
⇒ 1
⇒ y = x−2
 x2 = 7
y2 = 7 − 2 = 5
Trazene tocke su: A(0, −2) i B(7,5)
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
23
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
3. Zadani su pravac y = x + 5 i parabola y = 2 x 2 − 5 x + 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima
se krivulje sjeku.
x = 0
y = x + 5 ⇒ x + 5 = 2 x2 − 5x + 5 ⇒
2 x 2 − 6 x = 0 ⇒ x ( x − 3) = 0  1
 x2 = 3
y1 = x1 + 5 = 0 + 5 = 5; y2 = x2 + 5 = 3 + 5 = 8
Trazene tocke su A ( 0,5 ) , B ( 3,8 )
4. Zadani su pravac y = 2 x + 5 i kruznica x 2 + y 2 = 25. Izracunaj koordinate tocaka u kojima
se krivulje sjeku.
y = 2x + 5
zamijenimo y u drugoj jednadzbi x 2 + ( 2 x + 5 ) = 25
2
 x =0
x 2 + 4 x 2 + 20 x + 25 = 25 ⇒ x ( x + 4 ) = 0  1
 x2 = −4
y1 = 2 x1 + 5 = 0 + 5 = 5;
y2 = 2 x2 + 5 = −8 + 5 = −3
Trazene tocke su A ( 0,5 ) , B ( −4, −3)
5. Zadani su pravac y = − x + 1 i kruznica x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
y = −x + 1
( x − 2)
2
zamijenimo y u drugoj jednadzbi x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0
+ ( y − 1) = 4 ⇒ x 2 + (1 − x ) + 4 (1 − x ) − 2 y + 1 = 0
2
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
2
24
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
x2 + 1 − 2x + x2 − 2x − 1 = 0
y1 = − x1 + 1 = 0 + 1 = 1;
x = 0
⇒ x ( x − 2) = 0 ⇒  1
 x2 = 2
y2 = − x2 + 1 = −2 + 1 = −1
Trazene tocke su A ( 0,1) , B ( 2, −1)
6. Zadani su pravac y = x − 1 i parabola y = − x 2 + 4 x − 3. Izracunaj koordinate tocaka u kojima
se krivulje sjeku.
y = x −1
zamijenimo y u drugoj jednadzbi ⇒ ( y − 1) = − ( x − 2 )
x − 1 = − x 2 + 4 x − 3 ⇒ x 2 − 3x + 2 = 0
y1 = x1 − 1 = 2 − 1 = 1
⇒ x1,2 =
2
−b ± b 2 − 4ac  x1 = 2
=
2a
 x2 = 1
y2 = x2 − 1 = 1 − 1 = 0
Trazene tocke su A ( 2,1) , B (1, 0 )
7. Zadane su elipsa 2x 2 = 6 + 3 y 2 i hiperbola x 2 = 17 − 2 y 2 . Izracunaj koordinate tocaka u
kojima se krivulje sjeku.
2x 2 = 6 + 3 y 2
x 2 = 17 − 2 y 2
⋅( −2 )
(1.) + ( 2.)
2x 2 = 6 + 3 y 2
−2x 2 = −34 + 4 y 2
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
25
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
0 = −28 + 7 y 2 ⇒ y 2 = 4 ⇒ y1,2 = ±2
x 2 = 17 − 2 y 2 ⇒ x 2 = 17 − 2 ⋅ 4 = 9 x1,2 = ±3
Trazene tocke su A ( 3, 2 ) , B ( 3, −2 ) , C ( −3, −2 ) , D ( −3, 2 )
8. Zadane su dvije elipse 4x 2 + y 2 =20 i x 2 + 4 y 2 = 20. Izracunaj koordinate tocaka u kojima
se krivulje sjeku.
4x 2 + y 2 =20
x 2 + 4 y 2 = 20
⋅( −4 )
−4 x 2 − 16 y 2 = −80
0 − 15 y 2 = −60 ⇒
y1,2 = ±2
x 2 + 4 y 2 = 20 ⇒ x 2 = 20 − 16 = 4
x1,2 = ±2
Trazene tocke su A ( 2, 2 ) , B ( 2, −2 ) , C ( −2, −2 ) , D ( −2, 2 )
9. Zadane su kruznica x 2 + y 2 =4 i parabola x 2 + y = 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima
se krivulje sjeku.
−b ± b 2 − 4ac 1 ± i 3
=
2a
2
Rezultat je imaginarana velicina, krivulje nemaju zajednickih tocaka.
Rjesenje sistema daje rezultat:
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
y 2 − y − 1 = 0 ⇒ y1,2 =
26
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
10. Zadane su hiperbola x 2 − y 2 =16 i parabola y 2 + 2 x = −1. Izracunaj koordinate tocaka u
kojima se krivulje sjeku.
Rjesenje sistema daje: x 2 − y 2 + y 2 + 2 x = 15
−b ± b 2 − 4ac −2 ± 8  x1 = −5
=
=
2a
2
 x2 = 3
 y = −3
y 2 + 2 x = −1 ⇒ y 2 = −2 x1 − 1 = −2 ( −5 ) − 1 = 9 ⇒  1
 y2 = 3
x 2 + 2 x − 15 = 0 ⇒ x1,2 =
 y = −i 7
y 2 = −2 x2 − 1 = −2 ( 3) − 1 = −7 ⇒  3
 y4 = i 7
Krivulje se sjeku u samo dvije tocke: A ( −5,3) , B(-5,-3)
11. Zadane su hiperbola xy = 36 i kruznica x 2 + y 2 = 72. Izracunaj koordinate tocaka u kojima
se krivulje sjeku.
2
 36 
Tjesenje sistema daje:   + y 2 = 72 ⇒
 y 
k 2 − 72k + 362 = 0
xy = 36 ⇒ x1,2 =
⇒ k1,2 = 36
y 4 − 72 y 2 + 362 = 0
y1,2 = ± k = ±6
36 36
=
= ±6
y1,2 ±6
Krivulje se sjeku u samo dvije tocke: A ( 6, 6 ) , B(−6, −6)
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
27
y2 = k
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
12. Kroz ishodiste su polozena dva okomita pravca, koji sijeku elipsu b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,
svaki u dvije tocke i tako cine tetive: p1 → AB = 2u p2 → CD = 2v
1
1
1
1
+ 2 = 2 + 2
2
u
v
a
b
Dokazi da vrijedi:
pravci su okomiti: p1 ≡ y = −
p1 ≡ y = kx
1
x
k
Odredimo tocke presjeka:
Za p1 : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇒ b 2 x 2 + a 2 ( kx ) = a 2 b 2
2
b2 x 2 + a 2 k 2 x2 = a 2 b2 ⇒ x 2 ( b2 + a 2 k 2 ) = a 2 b2
y = kx ⇒ y A2 , B =
x A2 , B =
a 2b2
b2 + a 2 k 2
ka 2 b 2
b2 + a 2 k 2
2
 1 
Za p2 : b x + a y = a b ⇒ b x + a  − x  = a 2 b 2
 k 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k x + a x = a b k ⇒ x (a + b k
2
2
y=−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)=a b k
2
2
2
⇒x
2
C ,D
k 2 a 2 b2
= 2
a + b2 k 2
1
a 2 b2
x ⇒ yC2 , D = 2
k
a + b2 k 2
Nase cetiri tocke imaju koordinate:

ab
kab
,
A −
2
2 2
2
b +a k
b + a2 k 2


kab
ab
,
C−
2
2 2
2
a +b k
a + b2 k 2









ab
kab
,
B

2
2 2
b2 + a 2 k 2 
 b +a k


kab
ab
,−
D

2
2 2
a 2 + b2 k 2 
 a +b k
Duzina tetive AB = ( 2u ) = ( xB − x A ) + ( yB − y A )
2
2
2
2
2

 

kab
kab
ab
ab
4u = 
+
+
+


2
2 2
b2 + a 2 k 2 
b2 + a 2 k 2   b2 + a 2 k 2
 b +a k
2
(1 + k ) a b
=
2
u
2
2
2
b2 + a 2 k 2
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
28
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Duzina tetive CD = ( 2v ) = ( xD − xC ) + ( yD − yC )
2
2
2
2
2

 

kab
ab
kab
kab
4v = 
+
+
+


2
2 2
a 2 + b2 k 2   a 2 + b2 k 2
a 2 + b2 k 2 
 a +b k
2
(1 + k ) a b
=
2
v
2
2
2
a 2 + b2 k 2
Postavimo uvjete koje moramo dokazati:
1 + k 2 ) a 2 b 2 + (1 + k 2 ) a 2 b 2
(
1
1
1
1
+
=
+
=
2
u 2 v 2 (1 + k 2 ) a 2 b 2 (1 + k 2 ) a 2 b 2
( a 2 + b2 k 2 )
b2 + a 2 k 2
a 2 + b2 k 2
2
2
2
2
1
1 (1 + k ) a + (1 + k ) b
1
1
a 2 + b2
+
=
=
= 2 + 2
2
2
2 2
2
2 2
u
v
ab
a
b
(1 + k ) a b
13. Odredi geometrijsko mjesto svih kruznica koje diraju kruznicu x 2 + y 2 + 8 x − 84 = 0 i
prolaze tockom A ( 4, 0 ) .
x 2 + y 2 + 8 x − 84 = 0 ⇒ x 2 + 2 x ⋅ 4 + 16 − 16 + y 2 − 84 = 0 ⇒ ( x + 4 ) + y 2 = 100
2
Sredista kruznica moraju biti uvijek jednako udaljene od dviju tocaka:
Tocke A ( 4, 0 )
i sredista zadane kruznice S ( −4, 0 ) . Takve karakteristike ima samo elipsa. U tom slucaju
su tocke A i S , fokusi elipse. Ekscentricitet elipse jednaka je polovici udaljenosti A i S :
e = 4.
Krajnja tocka zadane kruznice je: xk = ( r − S x ) = (10 − 4 ) = 6
Jedna od kruznica mora proci tockama xk i A, cime je definirana velika os elipse:a = 5.
Mala os elipse se izracuna iz: b 2 = a 2 − e 2 = 52 − 42 = 9
Trazena elipsa, geometrijsko mjesto srediste svih kruznica koje prolaze kroz A i diraju
zadanu kruznicu ima jednadzbu:a = 5, b = 3 ⇒
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
29
x2 y2
+
=1
25 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
14. Odredi skup tocaka T ravnine, za koje vrijedi: Produkt udaljenosti tocke T od zadanih
144
pravaca p1 ≡ 4 x − 3 y + 11 = 0 i p2 ≡ 4 x + 3 y + 5 = 0 iznosi d1 ⋅ d 2 =
25
ax + byT + c
pa pisemo:
Udaljenost tocke od pravca dana je sa:
d= T
a 2 + b2
144 4 xT − 3 yT + 11 4 xT + 3 yT + 5
=
⋅
⇒ ( 4 x − 3 y + 11)( 4 x + 3 y + 5 ) = 144
25
42 + 32
42 + 32
16 x 2 + 12 xy + 20 x − 12 xy − 9 y 2 − 15 y − 44 x + 33 y + 55 − 144 = 0
d1 d 2 =
16 x 2 + 64 x − ( 9 y 2 − 18 y ) − 89 = 0
( 4x + 8 )
2
Nadopunimo na potpuni kvadrat:
− ( 3 y − 3) = 144 ⇒ 16 ( x + 2 ) − 9 ( y − 1) = 144
Odnosno:
2
( x + 2)
9
2
2
−
( y − 1)
16
2
2
= 1. Pazljivim promatranjem, mozemo
doci do zakljucka da uvjete zadovoljava i hiperbola:
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
30
( x + 2)
16
2
−
( y − 1)
9
2
=1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
15. Odredi koordinatu xB tocke B, tako da pravac prolazi kroz sve tri zadana tocke: A ( −1, 2 ) ,
B ( x, 4 ) , C ( 5, 6 )
Jednadzba pravca kroz A i C: y − y A =
yC − y A
x + ( x − xA )
yC − y A
6−2
2
2
8
2
x + ( x + 1) ⇒ y − 2 = ( x + 1) ⇒ y = x +
k=
5 +1
3
3
3
3
2
8
Za tocku B vrijedi: yB = kxB + l ⇒ 4 = xB +
⇒ 12 = 2 xB + 8 ⇒ xB = 2
3
3
y−2=
16. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz tocke A ( −5, 0 ) , B ( 0, 0 ) , C ( 0,3) .
Jednadzba kruznice ima oblik:
x 2 + y 2 + cx + dy + e = 0
Za tocku A imamo:
52 + 02 + c5 + d 0 + e = 0 ⇒ 25 − 5c + e = 0 ⇒ c = 5
Za tocku A imamo:
02 + 02 + c0 + d 0 + e = 0 ⇒ e = 0
Za tocku C imamo:
02 + 32 + c0 + d 3 + e = 0 ⇒ 9 + 3d = 0 ⇒ d = −3
Nasa jednadzba glasi: x 2 + y 2 + 5 x + 3 y = 0 ili drukcije:
5 25 25
3 9 9
x2 + y 2 + 5x − 3 y = x2 + 2 x +
−
+ y2 − 2 y + − = 0
2 4
4
2 4 4
2
2
5 
3  17

x+  +y−  =
2 
2
2

Analiticka Geometrija – Razni zadaci
31
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
17. Izracunaj koeficijent a tako, da sjeciste zadanih pravaca bude na pravcu x − y = 3.
p1 ≡ ax + 2 y − 1 = 0 p2 ≡ 2 x + ay + 3 = 0
a+6 
1
2
3 
1  a
a

=
x
−
+
=
−
−
x
x
≡
=
−
+
p
y
x
1

2
a
a  
a 2 − 4 
2
2   2
=
⇒

 
 

 p ≡ y = − 2 x − 3  − 2 y + 1 = − a y − 3   y = − 3a + 2 
 2
a
a   a
a
2
2  
a 2 − 4 
3a + 2 a + 6
Uvrstimo u jednadzbu pravca y = x − 3 : − 2
= 2
− 3 ⇒ 3a 2 − 4a − 20 = 0
a −4 a −4
10
slijedece jednadzbe:
3
10
10
1
p1a1 ≡ ax + 2 y − 1 = 0 ⇒ p1 ≡ x + 2 y − 1 = 0 ⇒ y = − x +
3
6
2
10
6
9
p2 a1 ≡ 2 x + ay + 3 = 0 ⇒ p2 ≡ 2 x + y + 3 = 0 ⇒ y = − x −
3
10
10
Njihovo presjeciste je u tocki:
42 21
10
1
6
9
=
− x + = − x − ⇒ −50 x + 15 = −18 x − 27 ⇒ x =
32 16
6
2
10
10
10
1
10 21 1
35 1
27
 21 27 
y =− x+ =− ⋅ + =− + =−
T  ,− 
6
2
6 16 2
16 2
16
 16 16 
a1 =
10
, a2 = −2 :
3
Nasi pravci imaju za a1 =
Za a2 = −2 dobijemo:
p1a2 ≡ ax + 2 y − 1 = 0 ⇒ p1 ≡ −2 x + 2 y − 1 = 0 ⇒ y = x + 1
p2 a1 ≡ 2 x + ay + 3 = 0 ⇒ p2 ≡ 2 x − 2 y + 3 = 0 ⇒ y = x + 3
Pravci su paralelni!
18. Dijagonala kvadrata dana je sa tockama A ( 3, −4 ) , B ( 7, 0 ) . Odredi jednadzbe upisane i opisane
kruznice tom kvadratu.
Duzina AB je ujedno i promjer opisane kruznice.
D = AB =
( xB − x A )
2
+ ( yB − y A ) =
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
2
32
( 7 − 3)
2
+ ( 0 + 4 ) = 32
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
D
32
32
=
=
= 8 ⇒ r2 = 8
2
2
4
 x + x A
Srediste je u polovistu dijagonale: S  B
 2
r=
S ( 5, −2 ) ;
  yB + y A    7 + 3   −4 + 0  
 = 
,

,
2    2   2  
 
Opisana kruznica ima jednadzbu:
( x − 5)
2
+ ( y + 2) = 8
2
Upisan kruznica ima isto srediste i radijus jednak r = S y = 2 ⇒ ( x − 5 ) + ( y + 2 ) = 4
2
2
19. Pravac prolazi tockom A ( 3,3) . Odsjecan na osi y, tri puta je vici od odsjecka na osi x.
Odredi njegovu jednadzbu.
m = 1, n = 3 ⇒ n = ±3m ⇒ Imamo znaci dva rjesenja:
x
y
x y
3
3
= 1 m = 4 ⇒ n = 12 ⇒ +
=1
Za tocku A i n = 3m: A + A = 1 ⇒ +
m
n
m 3m
4 12
12 x + 4 y = 48 ⇒ y = −3 x + 12
xA y A
3
3
x y
+
=1⇒ +
= 1 m = 2 ⇒ n = −6 ⇒ − = 1
m
n
m −3m
2 6
6 x − 2 y = 12 ⇒ y = 3x − 6
Za tocku A i n = −3m:
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
33
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
20. Odredi jednadzbu kruznice radijusa r = 5, koja prolazi tockom A ( 6,9 ) a srediste ima na
pravcu x + 3 y − 18 = 0.
Jednadzba kruznice kroz tocku A: ( x A − p ) + ( y A − q ) = 25
2
(6 − p)
2
2
+ ( 9 − q ) = 25 ⇒ 36 − 12 p + p 2 + 81 − 18q + q 2 = 25
2
p 2 + q 2 − 12 p − 18q + 92 = 0
x
Srediste kruznice je na pravcu: x + 3 y − 18 = 0 ⇒ y = − + 6 → p + 3q − 18 = 0
3
p = 18 − 3q ⇒ (18 − 3q ) + q 2 − 12 (18 − 3q ) − 18q + 92 = 0 Imamo dva rjesenja:
2
9 +1


q1 =
= 5


  p1 = 18 − 3 ⋅ 5 = 3 
2
q 2 − 9q + 20 = 0 ⇒ 
⇒

 q = 9 − 1 = 4  p1 = 18 − 3 ⋅ 4 = 6
2


2
Trazene jednadzbe jesu: ( x − 3) + ( y − 5 ) = 25 i
2
2
( x − 6)
2
+ ( y − 4 ) = 25
2
21. Odredi jednadzbu hiperbole, koja ima u jednom zaristu srediste kruznice ( x + 3) + y 2 = 4,
2
koja dira asimptote hiperbole.
Nacrtajmo kruznicu sa sredistem u S ( −3, 0 ) . Odredimo diralista tangente na poznatu
kruznicu iz ishodista O ( 0,0 ) : ( xo − p )( x − p ) + ( yo − q )( y − q ) = r 2
( 0 + 3)( x + 3) + ( 0 − 0 )( y − 0 ) = 4 ⇒ 3x + 9 = 4 ⇒ x = −
5
odnosno koorinate y :
3
2
5
16
20
( x + 3) + y = 4 ⇒  − + 3  + y 2 = 4 ⇒ y 2 = 4 − ⇒ y = ±
9
3
 3

2
2
 5 20   5
20 
Diralista su: A  − ,
 , B  − , −
 Asimptote prolaze kroz A, B i O imaju
3
3
3
3

 

Analiticka Geometrija – Razni zadaci
34
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
koeficijent smjera: ±
y − yA
b
b
: k=± =± o
=±
a
a
xo − x A
20
3 = ± 20
5
5
0−
3
0−
4⋅5 2 5 5 2⋅5
2
=
=
=
⇒ b = 2, a = 5
5
5
5
5 5 5
x2 y 2
x2 y2
−
=1
Trazena jednadzba ima oblik: 2 − 2 = 1 ⇒
4
5
a
b
20
=
5
22. Odredi jednadzbu kruznice, koja prolazi ishodistem te velikim i malim tjemenom elipse
4x 2 + 9 y 2 = 144.
x2 y2
+
= 1 ⇒ Nase tocke su: A ( 6,0 ) , B ( 0, 4 ) , C ( 0, 0 )
36 16
62 + 02 + 6a + 0b + c = 0  36 + 6a + c = 0 

 

x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 ⇒ 02 + 42 + 0a + 4b + c = 0  ⇒ 16 + 4b + c = 0 
02 + 02 + 0a + 0b + c = 0  

c=0


 
4x 2 + 9 y 2 = 144 ⇒
Rjesenje sistema je:
a = −6, b = −4, c = 0
x2 + y 2 − 6x − 4 y = 0 ⇒ x2 − 2x ⋅ 3 + 9 − 9 + y2 − 2 y ⋅ 2 + 4 − 4 = 0
( x − 3)
2
+ ( y − 2 ) = 13
2
S1 ( 3, 2 ) , r 2 = 13
Zadatak ima u stvari 4 rjesenja. Sredista ostalih kruznica nalaze se u tockama:
S 2 ( −3, 2 ) , S3 ( −3, −2 ) , S 4 ( 3, −2 )
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
35
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
23. Odredi jednadzbu pravca, koji prolazi ishodistem i sa pravcem 3x − 4 y + 18 = 0 i osi x, cini
trokut povrsine 9.
3
18
3
18
3x − 4 y + 18 = 0 ⇒ y = x + . Presjeciste je za y = 0 ⇒ x +
= 0 ⇒ x = −6
4
4
4
4
Trazeni trokut ima bazu sa krajnjim tockama A ( −6, 0 ) i B ( 0, 0 ) . Duzina baze je b = 6.
b⋅v 6⋅v
18
=
=9⇒v=
=3
v=3
2
2
6
Visina trokuta je 3 i to je koordinata nase trece tocke C, kroz koju mora proci trazeni
pravac. Vrijednost yC moze biti ± 3 pa imamo dva rjesenja:
Povrsina trokuta je P =
1.
3xC − 4 yC + 18 = 0 ⇒ 3 xC − 4 ⋅ ( +3) + 18 = 0 ⇒ xC = −2
C+3 ( −2,3) ⇒ p+3 ≡ y − yB =
y−0 =
2.
yC − yB
( x − xB )
xC − xB
3−0
3
( x − 0) ⇒ y = − x
−2 − 0
2
3xC − 4 yC + 18 = 0 ⇒ 3 xC − 4 ⋅ ( −3) + 18 = 0 ⇒ xC = −10
yC − yB
( x − xB )
xC − xB
C−3 ( −10,3) ⇒ p−3 ≡ y − yB =
y−0 =
−3 − 0
3
( x − 0) ⇒ y = x
−10 − 0
10
24. Kruznice x 2 + ( y − 4 ) = 20 i ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 20 imaju zajednicku tetivu, koja je
2
2
2
ujedno i promjer trece kruznice. Odredi njenu jednadzbu.
Nadjimo presjecne tocke kruznica:
2
2
2
2
 x + ( y − 4 ) = 20   x + y − 8 y − 4 = 0 
⇒
⇒ x = y−2

  2
2
2
2
x
+
y
−
x
+
y
−
=
4
4
12
0
2
2
20
x
y
−
+
+
=
(
)
(
)




Jednadzbe smo oduzeli i rjesenje za x uvrstili u jednu od jednadzbi:
x2 + y 2 − 8 y − 4 = 0 ⇒ ( y − 2) + y 2 − 8 y − 4 = 0 ⇒ y ( y − 6) = 0
2
y1 = 0 ⇒ x1 = y − 2 = 0 − 2 = −2
y2 = 6 ⇒ x2 = y − 2 = 6 − 2 = 4
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
A ( −2, 0 )
36
B ( 4, 2 )
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Tetiva, duzina AB ima poloviste u:
y + yB 0 + 2 
 x + x B −2 + 4
=
= 1; A
=
= 1
S A
2
2
2
 2

Duzina tetive, promjer kruznice iznosi: d =
d=
( 4 + 2)
2
+ ( 2 − 0 ) = 40
2
r=
( xB − x A )
d
=
2
2
+ ( yB − y A )
40
= 10
4
2
r 2 = 10
Trazena kruznica ima jednadzbu:( x − p ) + ( y − q ) = r 2
2
( x − 1)
2
2
+ ( y − 1) = 10
2
25. Izracunaj povrsinu pravokutnog trokuta koji ima dva vrha u fokusima hiperbole
x 2 − 4 y 2 = 4 a treci vrh lezi na asimptoti.
x2 y 2
b
1
−
= 1 ⇒ a = ±2, b = ±1; Asimptote su: y = ± x = ± x
x − 4y = 4 ⇒
4
1
a
2
2
2
2
Koordinate fokusa su: e = b + a = 4 + 1 = 5
e= 5
2
2
Treci vrh
trokuta ima koordinate C
Povrsina trokuta iznosi: P =
(
)
5, yC : yc =
1
1
1


xc =
5 → C  5,
5
2
2
2


b ⋅ v 2 e ⋅ yc
5 5
=
= 5
=
2
2
2
2
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
37
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
26. Izracunaj povrsinu pravokutnika koji ima vrhove u sjecistima zadanih krivulja: x 2 + y 2 = 9
i 3x 2 + 12 y 2 = 36
3 ( 9 − y 2 ) + 12 y 2 = 36 ⇒ 27 − 3 y 2 + 12 y 2 − 36 = 0
2
x2 + y 2 = 9 ⇒ x2 = 9 − y2
y1,2 = ±1
x1,2 = ± 8 = ±2 2
Stranica pravokutnika ima duzinu: d 2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
(
= (2
a 2 = −2 2 − 2 2
b2
2 −2 2
)
)
2
2
(
+ (1 − 1) = 4 2
2
)
2
2
⇒a=4 2
+ ( −1 − 1) = ( 2 ) ⇒ b = 2
2
2
Povrsina pravokutnika: P = a ⋅ b = 4 2 ⋅ 2 = 8 2
27. Stranice trokuta leze na zadanim pravcima. Odredi jednadzbu najveceg kuta trokuta.
p1 ≡ 5 x + 12 y + 27 = 0; p2 ≡ 4 x − 3 y − 5 = 0; p3 ≡ 3 x − 4 y − 2 = 0
Najveci kut je izmedju pravaca p1 i p2 :
a1 x + b1 y + 27
a12 + b12
5 x + 12 y + 27
=
=
a2 x − b2 y − 5
a22 + b22
4x − 3 y − 5
⇒
Jednadzba simetrale koja zadovoljava uvjet:
5 x + 12 y + 27
52 + 122
=
⇒ ( 5 x + 12 y + 27 ) = ±
4x − 3y − 5
42 + 33
13
( 4 x − 3 y − 5)
5
13
5
Imamo dva rjesenja:
1.
25 x + 60 y + 135 = 52 x − 39 y − 65 ⇒ 27 x − 99 y − 200 = 0
2.
−25 x − 60 y − 135 = 52 x − 39 y − 65 ⇒ 11x + 3 y + 10 = 0
Trazeno rjesenje je:
11x + 3 y + 10 = 0
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
38
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
28. Kroz tocke presjeka kruznice ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 26 i pravca x − y − 2 = 0 prolaze tangente
2
2
povucene iz tocke T ( xT , yT ) . Odredi koordinate tocke T.
Odredimo presjecne tocke:
( x + 2)
2
x− y−2=0⇒ y = x−2
+ ( y − 2 ) = 26 ⇒ ( x + 2 ) + ( x − 2 − 2 ) = 26 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0
2
x1 = 3 ⇒ y1 = 3 − 2 = 1
x2 = −1 ⇒ y2 = −1 − 2 = −3
2
2
A ( 3,1) ; B ( −1, −3)
Tangente iz tocaka na kruznici imaju jednadzbe:
( x1 − p )( x − p ) + ( y1 − q )( y − q ) = r 2
A ≡ ( 3 + 2 )( x + 2 ) + (1 − 2 )( y − 2 ) = 26 ⇒ 5 x − y = 14
B ≡ ( −1 + 2 )( x + 2 ) + ( −3 − 2 )( y − 2 ) = 26 ⇒ x − 5 y = 14
Presjeciste je u tocki T: x − 5 y = 14 ⇒ 24 x = 56 ⇒ x =
7
7 7 7
; y = − T  ,− 
3
3 3 3
29. Na parabolu, y 2 = 16 x povucene su tangente iz stedista kruznice x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 8 = 0.
Izracunaj povrsinu trokuta kojeg cine tangente i pravac koji spaja diralista tangenata.
4
Uvjet da pravac dira parabolu: p = 2kl ⇒ y 2 = 16 x ⇒ 2kl = 8 ⇒ k =
l
Pravac prolazi kroz srediste S: x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 8 = 0
x 2 + 4 x + 4 − 4 + y 2 + 4 y + 4 − 4 − 8 = 0 ⇒ ( x + 2 ) + ( y + 2 ) = 16 S ( −2, −2 )
2
2
l
+ 1; Rjesenja su: l 2 + 2l − 8 = 0
2
l1 = −4; l2 = 2 ⇒ k1 = −4; k2 = 2 Tangente su: t1 ≡ y = 2 x + 2;
t2 ≡ y = − x − 4
y = kx + l ⇒ −2 = −2k + l ⇒ k =
l

 −4

Diralista tangenata na paraboli: D  , 2l  ⇒ D1 
= 4, 2 ⋅ ( −4 ) = −8  ⇒ D1 ( 4, −8)
k

 −1

2

D2  = 1, 2 ⋅ 2 = 4  ⇒ D2 (1, 4 ) ;
2

Analiticka Geometrija – Razni zadaci
39
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Odredimo pravac i duzinu sekante parabole, koja je ujedno i osnovica
y − y D1
trazenog trokuta: y + 8 = D 2
( x − 4 ) ⇒ y + 8 = −4 ( x − 4 ) ⇒ y = − 4 x + 8 :
xD 2 − xD1
Duzina sekante iznosi: d =
d=
(1 − 4 )
2
( xD 2 − xD1 )
2
+ ( yD 2 − yD1 ) :
2
+ ( 4 + 8 ) = 153; Visina trokuta, prolazi kroz S i ima duzinu d N :
2
1 1
1
1
3
= ; y + 2 = ( x + 2 ) ⇒ yN = x −
4
4
2
−4 4
1
3
38
16
Presjecna tocka sekante i visine: x − = −4 x + 8 ⇒ xN = ;y N = −
4
2
17
17
kN = −
dN = v =
( xS − xN )
2
+ ( yS − y N )
Povrsine trokuta: P =
2
2
2
38  
16 
5506

=  −2 −  +  − 2 +  =
17  
17 
17

153 5506
842418
b⋅v d ⋅v
=
=
=
= 26.995 ∼ 27
2
2
2 ⋅ 17
34
32. Odredi jednadzbe tangenata na elipsu x 2 + 16 y 2 = 64 tako, da udaljenost diralista od
ishodista bude 10.
x2 y2
+
= 1 Tocke koje su jednako udaljene od ishodista moraju
64 4
biti na kruznici, koja mora imati radijus r = 10 ⇒ x 2 + y 2 = 10 ⇒ x 2 = 10 − y 2
Odredimo presjecne tocke:
18
x 2 + 16 y 2 = 64 ⇒ 10 − y 2 + 16 y 2 = 64 ⇒ 15 y 2 = 54 ⇒ y 2 =
5
18 32
4 10
3 10
;y =±
x 2 = 10 − y 2 = 10 − =
⇒x=±
5
5
5
5
x 2 + 16 y 2 = 64 ⇒
x2 =
32
32
16 ⋅ 2
⇒x=±
=±
5
5
5
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
5
5
=
40
4 2 5 4 10
=
5
5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
 4 10 3 10   4 10 3 10 
Trazene tocke su: A 
,
,
, B −
,
5  
5
5 
 5
 4 10 3 10   4 10 3 10 
C 
,−
,−
 , D  −

5
5
5
5 

 
31. Pravac x − 2 y + 4 je zajednicka tangenta parabole y 2 = 2 px i elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 sa
ekscentricitetom e = 6. Diralista zajednickih tangenti tvore cetverokut. Odredi njegov
opseg i povrsinu.
Uvjet da pravac dira parabolu: p = 2kl ⇔ x − 2 y + 4 ⇒ y =
x
+2
2
1
p = 2 ⋅ ⋅ 2 = 2 Jednadzba parabole: y 2 = 2 px = 2 ⋅ 2 x = 4 x
2
2
1
Uvjet da pravac dira elipsu: a k + b = l ⇒ a   + b 2 = 22
2
2
a 2 + 4b 2 = 4
b2 =
10
=2
5
e2 =
( 6)
2
2
2
2
2
= a 2 − b 2 ⇒ a 2 − b 2 = 6 rijesimo sistem:
a 2 = e2 + b 2 = 6 + 2 = 8
Trazena elipsa ima jednadzbu:
x2 y 2
x2 y2
+
=
1
⇒
+
=1
8
2
a 2 b2
l

Diralista tangente i parabole: D  = 4, 2l = 4  ⇒ D p ( 4, 4 )
k

 ka 2

b2 2
1⋅ 8
=−
= −2, = = 1 ⇒ De ( −2,1)
Diralista tangente i elipse: D  −
l
2⋅2
2
 l

Krivulje imaju dvije tangente i tocke dodira su simetricne obzirom na x os.
Trazene tocke cetverokuta su:D1 ( 4, 4 ) ; D2 ( 4, −4 ) ; D3 ( −2,1) ; D4 ( −2, −1)
−4 + 1
1
( x + 2) ⇒ y = − x − 2
4+2
2
Odredimo duzinu stranica trapeza, lika ciji opseg i povrsinu trazimo:
Druga tangenta ima jednadzbu: y + 1 =
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
41
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
baza: b =
( xD1 − xD 2 )
kraca stranica:p =
bocna: k =
2
+ ( yD1 − yD 2 ) =
( x D 3 − xD 4 )
( x D 3 − xD 1 )
( 4 − 4)
2
2
2
+ ( yD 3 − yD 4 ) =
2
2
+ ( yD 3 − yD1 ) =
2
+ ( 4 + 4) = 8
2
( −2 + 2 )
( −2 − 4 )
2
2
+ (1 + 1) = 2
2
+ ( −1 − 4 ) = 45
2
Opseg trapeza: O = b + p + 2 ⋅ k = 8 + 2 + 2 45 = 10 + 2 9 ⋅ 5 = 10 + 6 5
( x D 3 − xD 1 )
Visina trapeza: v =
2
=
( −2 − 4 )
2
=6
8+ 2
b+ p
Povrsina trapeza: P = 
6 = 30
⋅v =
2
 2 
32. U fokusu parabole y 2 = 16 x, je srediste kruznice koja dira ravnalicu. Izracunaj pod kojim se
kutem sijeku krivulje.
y 2 = 2 px = 16 x ⇒ 2 p = 16 ⇒ p = 8
p
8
Ravnalica je na − = − = −4.
Fokus ima koordinatu:
2
2
Trazena kruznica ima jednadzbu: ( x − 4 ) + y 2 = 82 ;
2
p
=4
2
Kruznica i parabola se sijeku u:
y 2 = 16 x ⇒ ( x − 4 ) + y 2 = 82 ⇒ x 2 − 8 x + 16 + 16 x − 64 = 0 ⇒ x 2 + 8 x − 48 = 0
2
−8 ± 16
⇒ x1 = −12; x2 = 4
y 2 = 16 ⋅ 4 = 64 ⇒ y1,2 = ±8
2
Tangenta u tocki A ( 4,8 ) ima jednadzbu:
x1,2 =
Za kruznicu:
( xA − p )( x − p ) + ( y A − q )( y − q ) = 64
Za parabolu:
( 4 − 4 )( x − 4 ) + ( 8 − 0 )( y − 0 ) = 64 ⇒ 8 y = 64 ⇒ y = 8 x
y A y = p ( x A + x ) ⇒ 8 y = 8 ( 4 + x ) ⇒ 8 y = 8 x + 32 ⇒ y = x + 4
Tangenta na parabolu ima k = tan ϕ = 1 ⇒ ϕ = 45
Tangenta na kruznicu je horizontalna, pa se nase krivulje sijeku pod kutem od 45 .
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
42
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
33. Hiperbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 i elipsa 3x 2 + 4 y 2 = 84, imaju fokuse u
istoj tocki a pravac
3
x je asimptota hiperbole. Povuci tangente u presjecnim tockama krivulja tako,
2
da u tockama I i IV kvadranta budu tangente hiperbole a II i III kvadranta tangente elipse.
Izracunaj povrsinu tako nastalog cetverokuta.
y=
3x 2 + 4 y 2 = 84 ⇒
x2 y2
+
=1
28 21
a 2 = 28; b 2 = 21; e 2 = a 2 − b 2 = 7
3
b
x=±
x
2
a
Hiperbola ima osi: b = 3 ⇒ b 2 = 3 a = 2 ⇒ a 2 = 4
Asimptota hiperbole ima jednadzbu: y = ±
i jednadzbu:
b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇒ 32 x 2 − 42 y 2 = 12
Presjecista dobijemo kada rijesimo sistem:
3x 2 − 4 y 2 = 12
3x 2 + 4 y 2 = 84
6 x 2 = 96 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x1,2 = ±4 ⇔ 4 y 2 = 36 ⇒ y = ±3
Povucimo tangente iz sada poznatih tocaka:
t1 ≡ na hiperbolu u A ( 4,3) : b 2 x1 x − a 2 y1 y = 3 ⋅ 4 x − 4 ⋅ 3 y = 12 ⇒ y = x − 1
t 4 ≡ na hiperbolu u D ( 4, −3) : 3 ⋅ 4 x + 4 ⋅ 3 y = 12 ⇒ y = − x + 1
t 2 ≡ na elipsu u B ( −4,3) : b 2 x1 x + a 2 y1 y = −3 ⋅ 4 x + 4 ⋅ 3 y = 84 ⇒ y = x + 7
t 3 ≡ na elipsu u C ( −4, −3) : b 2 x1 x + a 2 y1 y = 3 ⋅ 4 x − 4 ⋅ 3 y = 84 ⇒ y = − x − 7
Odredimo vrhove cetverokuta rjesenjem gornjeg sistema jednadzbi:
t1 ↔ t4 : x − 1 = − x + 1 ⇒ 2 x = 2 ⇒ x = 1, y = 0 ⇒ V1 (1, 0 )
t1 ↔ t3 : x − 1 = − x − 7 ⇒ 2 x = −6 ⇒ x = −3, y = −4 ⇒ V2 ( −3, −4 )
t 2 ↔ t3 : x + 7 = − x − 7 ⇒ 2 x = −14 ⇒ x = −7, y = 0 ⇒ V3 ( −7, 0 )
t 2 ↔ t4 : x + 7 = − x + 1 ⇒ 2 x = −6 ⇒ x = −3, y = 4 ⇒ V4 ( −3, 4 )
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
43
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Povrsinu cetverokuta, u ovom slucaju kvadrata, dobijemo iz:
( −7 − 1) + ( 0 − 0 ) 64
d 2 ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
=
=
=
= 32
P=
2
2
2
2
2
2
Analiticka Geometrija – Razni zadaci
2
44
2

Pojasnjenje nekih zadataka vezanih uz trigonometrijske identitete