ΦΥΣΙΚΗ Γ´ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ r ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ .g ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 • is ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη • t N (1). Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το 1s. a πηλίκο: Τ = d του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις του φαινομένου, τότε η περίοδος είναι ίση με το Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου είναι το πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων N (2) t ri του φαινομένου σε ορισμένο χρόνο t, προς το χρόνο t. Δηλαδή: f = Μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο S.I. είναι το 1Ηz. • f= • Γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα (ω) : ω = • Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας στο S.I. είναι το 1 rad/s . 1 T a • 2π ⇔ ω = 2πf Τ (4) c h (3) • za ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Κινηματική προσέγγιση) Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται κάθε γραμμική ταλάντωση στην οποία η w. k απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου (ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου), δηλαδή δίνεται από τη σχέση : • (5) Η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας στην οποία φτάνει το w w σώμα ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης και συμβολίζεται με Α. • x = Aημωt υ = υ max συνωt (6) Όπου : υ max = ωΑ (7) 1 • α = −α max ημωt • Προσοχή : Οι σχέσεις (5),(6) και (8) ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση, με την (8) 2 Όπου : α max = ω Α (9) r προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή μηδέν (t=0) το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας (x=0) .g και κινείται κατά τη θετική φορά (υ>0). Δηλαδή για t=0 έχουμε x=0 με υ>0. x υ α 0 0 + υ max Τ/4 +Α 0 Τ/2 0 − υ max 3Τ/4 -Α 0 Τ 0 + υ max 0 0 0 + υ max 0 is t 0 0 + α max Αν τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο το οποίο απέχει απόσταση d από w • w. k za c h a ri a d − α max τη θέση ισορροπίας, τότε ισχύουν οι σχέσεις: (10) υ = υ max συν(ωt + φ 0 ) w x = Aημ(ωt + φ 0 ) • Η γωνία φο ονομάζεται αρχική φάση • Ισχύει : 0≤ φο < 2π. • Η γωνία φ = ωt + φ0 ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. 2 (11) α = −α max ημ(ωt + φ 0 ) (12) Σχέση της επιτάχυνσης α με την απομάκρυνση x α = −α max ημ(ωt+φ 0 ) ⇔ α = −ω2 Αημ(ωt+φ 0 ) . Όμως : Αημ(ωt+φ0) = x. 2 Οπότε έχουμε τελικά: α = −ω x (13). r • d is .g Προσοχή : Η σχέση αυτή πρέπει να αποδεικνύεται στις πανελλήνιες. Η σχέση α = - ω2x μας δείχνει ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση α έχει πάντοτε a • πρόσημο αντίθετο από αυτό της απομάκρυνσης x. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε χρονική στιγμή της ri ταλάντωσης. • a ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Δυναμική προσέγγιση) Έστω F η συνισταμένη δύναμη που δέχεται ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. h F = mα ⇔ F = m(−ω 2 x) ⇔ F = −mω 2 x ⇔ F = −Dx (14) 2 όπου D = mω = σταθ. (15) Τη σταθερά αναλογίας D την ονομάζουμε σταθερά επαναφοράς. • Από τη σχέση F = − Dx φαίνεται ότι, όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η za c • συνολική δύναμη που δέχεται: α) είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας του, • w. k β) έχει αντίθετη φορά από την απομάκρυνση του σώματος. Όταν το σώμα διέρχεται από την θέση x=0 τότε από την (14) προκύπτει ότι F=0. Αυτός είναι ο λόγος που το σημείο αυτό ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. • Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς, γιατί έχει πάντα κατεύθυνση προς τη θέση w w ισορροπίας Ο, ώστε να τείνει πάντα να επαναφέρει το σώμα στη θέση αυτή. 3 • Από τη σχέση D = mω2, επειδή ω =2π/Τ, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης, παίρνουμε: • m 4π 2 ⇒ DΤ 2 = 4π 2 m ⇒ T = 2π 2 D Τ (16) r D=m Η σχέση (16) μας δείχνει ότι η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α της .g ταλάντωσης και η τιμή της καθορίζεται από τη μάζα m του σώματος και από τη σταθερά επαναφοράς D. Οποιαδήποτε μεταβολή (αύξηση ή μείωση) γίνει στο πλάτος Α της ταλάντωσης, η περίοδος Τ is • παραμένει σταθερή. d ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Ενεργειακή προσέγγιση) Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το σώμα σε μια τυχαία θέση έχει a • ri ταχύτητα υ, άρα θα έχει και κινητική ενέργεια που δίνεται από την σχέση : 1 mυ 2 . Όμως : υ = υ max συνωt . Αντικαθιστώντας στην σχέση της κινητικής ενέργειας έχουμε : 2 K= 1 1 1 2 2 2 2 2 m(υ max συνωt ) ⇒ K = m(ωΑσυνωt ) ⇒ K = mω A συν ωt 2 2 2 (18) 1 Dx 2 . Όμως : D = mω2 και x = Aημωt . Άρα : 2 za Έχουμε : U = U= 1 1 2 2 2 2 mω2 (Aημωt ) ⇒ U = mω A ημ ωt 2 2 (19) Ενέργεια ταλάντωσης Ε ενός ταλαντούμενου συστήματος είναι η ενέργεια που δώσαμε w. k • 1 Dx 2 2 h Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχει και δυναμική ενέργεια που δίνεται από την σχέση : U = • (17). c • a K= αρχικά στο σύστημα (μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης) για να το διεγείρουμε (να το θέσουμε σε ταλάντωση). Έχουμε : E=K+U. w w • • E= 1 DA 2 2 (20) Η ενέργεια E στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους της ταλάντωσης. 4 Στην θέση ισορροπίας έχουμε x=0, και υ=±υmax. Άρα : U = 0 και K = • 1 DA 2 ⇔ U = U max και K = 0 . Επίσης : E = K + U = 0 + U max ⇔ E = U max 2 Σε μια τυχαία θέση είναι U = .g Άρα : U = r Στις ακραίες θέσεις έχουμε x=±Α, και υ=0. 1 1 1 1 2 2 Dx 2 και K = mυ 2 . Άρα : E = mυ + Dx 2 2 2 2 is • 1 mυ 2max ⇔ K = K max . Επίσης : E = K + U = K max + 0 ⇔ E = K max 2 SUPER SOS !!! Αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης : 1 1 1 1 DA 2 = mυ 2 max = mυ 2 + Dx 2 2 2 2 2 (21). x K U E 0 0 K max 0 K max Τ/4 +Α 0 U max U max Τ/2 0 K max 0 K max 3Τ/4 -Α 0 U max U max Τ 0 K max 0 K max Ως γνωστόν : U = 1 1 Dx 2 . Επίσης : E = K + U ⇒ K = E − U ⇒ K = E − Dx 2 2 2 w w • w. k za c h a t ri a • d • 5 Χρονική στιγμή t=0 : Ο διακόπτης κλείνει. Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q, και το h • a ri a d is .g r ΑΜΕΙΩΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑ L-C κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα (i=0). Χρονικό διάστημα από t=0 ως t=T/4 ( 0 < t < c • T ) : Ο πυκνωτής εκφορτίζεται, άρα το φορτίο του q 4 za μειώνεται, και η ένταση του ρεύματος i αυξάνεται σταδιακά. Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή Εαυτ στο πηνίο έχει τέτοια πολικότητα ώστε να δίνει ρεύμα αντίθετο του i. • Χρονική στιγμή t=T/4: Ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί πλήρως, δηλαδή q=0, και το ρεύμα αποκτά • w. k μέγιστη τιμή Ι. Επίσης Εαυτ=0. Χρονικό διάστημα από t=Τ/4 ως t=T/2 ( T T < t < ) : Το ρεύμα αρχίζει να μειώνεται σταδιακά 4 2 χωρίς να αλλάζει φορά. Παράλληλα ο πυκνωτής θα φορτίζεται και πάλι αλλά με αντίθετη πολικότητα από ότι πριν. Η Εαυτ αλλάζει πολικότητα και δίνει ρεύμα ίδιας φόρα με το ρεύμα i. Χρονική στιγμή t=T/2: Ο πυκνωτής έχει φορτιστεί πλήρως έχοντας αντίθετη πολικότητα, δηλαδή w • έχει αποκτήσει μέγιστο φορτίο Q, και το ρεύμα μηδενίζεται (i=0). Χρονικό διάστημα από t=Τ/2 ως t=3T/4 ( w • T 3T <t< ) : Ο πυκνωτής εκφορτίζεται, και το ρεύμα i 2 4 αυξάνεται σταδιακά έχοντας όμως αντίθετη φορά. Η Εαυτ έχει τέτοια πολικότητα ώστε να δίνει ρεύμα αντίθετο του i. 6 • Χρονική στιγμή t=3T/4: Ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί πλήρως, δηλαδή q=0, και το ρεύμα αποκτά μέγιστη τιμή Ι. Επίσης Εαυτ=0. • Χρονικό διάστημα από t=3Τ/4 ως t=T ( 3T < t < T ) : Το ρεύμα αρχίζει να μειώνεται σταδιακά 4 r χωρίς να αλλάζει φορά. Παράλληλα ο πυκνωτής θα φορτίζεται και πάλι αλλά με πολικότητα ίδια με αύτη .g που είχε αρχικά (την χρονική στιγμή t=0). Η Εαυτ αλλάζει πολικότητα και δίνει ρεύμα ίδιας φοράς με το ρεύμα i. Χρονική στιγμή t=T: Το κύκλωμα επανέρχεται στη αρχική του κατάσταση. Ο πυκνωτής έχει is • φορτιστεί πλήρως, δηλαδή έχει αποκτήσει μέγιστο φορτίο Q, και το ρεύμα μηδενίζεται (i=0). Το φορτίο q του πυκνωτή μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση : q = Qσυνωt • H ένταση i του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση : d • a i = −Iημωt όπου I = Qω (22) • c h a ri (23) Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται za προς τον οπλισμό που την χρονική στιγμή t=0 είναι θετικά φορτισμένος. Ενέργεια στην ηλεκτρική ταλάντωση 1 q2 (24) 2 C • Ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο : U B = 1 2 Li 2 • Την χρονική (τυχαία) στιγμή t η συνολική ενέργεια του κυκλώματος είναι : w w. k • Ενεργεία ηλεκτρικού πεδίου στο πυκνωτή : U E = w E = UE + UB ⇔ E = • (25) 1 q2 1 2 + Li . 2 C 2 Τις χρονικές στιγμές t=0,Τ/2,Τ ο πυκνωτής αποκτά μέγιστο φορτίο Q και το ρεύμα μηδενίζεται. Άρα : U E = 1 Q2 1 Q2 ⇔ U E = U E( max) και U B = 0 . Επίσης E = U E (max) ⇔ E = . 2 C 2 C 7 • Τις χρονικές στιγμές t=Τ/4, 3Τ/4 ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος (q=0) και το κύκλωμα διαρρέεται από μέγιστο ρεύμα Ι. Άρα : UE = 0 1 2 1 2 LI ⇔ U B = U B( max) . Επίσης E = U B (max) ⇔ E = LI . 2 2 .g r και U B = SUPER SOS !!! is t q i UE 0 Q 0 U E (max) T/4 0 I T/2 Q 0 3T/4 0 I T Q 0 (26). E 0 U E (max) 0 U B (max) U B (max) U E (max) 0 U E (max) 0 U B (max) U B (max) U E (max) 0 U E (max) a ri a d UB h • 1 q 2 1 2 1 Q2 1 2 + Li = = LI Αρχή διατήρησης της ενέργειας του κυκλώματος : 2 C 2 2 C 2 U E = Eσυν 2 ωt (27) και U B = Eημ 2 ωt • T=2π LC (28). (29). Η περίοδος Τ εξαρτάται μόνο από τη χωρητικότητα C του πυκνωτή και από τον συντελεστή w • w. k za c • w αυτεπαγωγής L του πηνίου και είναι ανεξάρτητη του αρχικού φορτίου Q του πυκνωτή. 8 ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ dx dυ = υ και = α (30) dt dt • dK = −D ⋅ x ⋅ υ (31) dt r • dK dWΣF dK dK dK = ⇔ =P⇔ = ΣF ⋅ υ ⇔ = −D ⋅ x ⋅ υ dt dt dt dt dt dU dK =− = D ⋅ x ⋅ υ (32) dt dt Απόδειξη : E=K+U ⇔ dE=d(K+U) ⇔ dE=dK+dU ⇔ dU dK =− dt dt a Άρα : dE dK dU dE . Όμως : = + =0 dt dt dt dt d • is dK=dWΣF ⇔ .g Απόδειξη : Από το θεώρημα έργου ενέργειας έχουμε : dp = ΣF= − D ⋅ x (33) όπου p : η ορμή του σώματος. dt ri • a ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ dq = i (34) dt • dV i = (35) όπου V: τάση στα άκρα του πυκνωτή σε τυχαία χρονική στιγμή t. dt C q q dq dq 1 dq dq i ⇔ V= ⇔ dV = ⇔ = ⇔ = V C C dt C dt dt C di q =− (36) dt LC • Άρα : di V di q =− ⇔ =− dt L dt LC dU E iq = C dt (37) dU E = PC = V ⋅ i όπου PC : η ισχύς. dt w • E di di ⇔ = − αυτ . Όμως σε κάθε χρονική στιγμή έχουμε E αυτ = V . dt dt L w. k Απόδειξη : E αυτ = −L za Απόδειξη : C= c h • Απόδειξη : dU E dU E iq = V ⋅i ⇔ = C dt dt w Άρα • dU B dU iq =− E =− C dt dt (38) 9 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ • Η ελάττωση του πλάτους σε μια φθίνουσα ταλάντωση ονομάζεται απόσβεση και οφείλεται σε r δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση (τριβές, αντιστάσεις αέρα κ.ά.). Επειδή οι δυνάμεις αυτές .g είναι αντίθετες από την ταχύτητα, παράγουν συνεχώς αρνητικό έργο, με αποτέλεσμα να μεταφέρουν συνεχώς ενέργεια από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον. Έτσι, η ολική ενέργεια του is συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης, που καθορίζεται από την ολική ενέργεια, μειώνεται. Έστω σώμα το οποίο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Η αντιτιθέμενη δύναμη F′ είναι ανάλογη προς ' την ταχύτητα υ, δηλαδή ισχύει: F = − bυ (39) Η σταθερά b λέγεται σταθερά απόσβεσης και εξαρτάται: a • d • ri α) από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος που εκτελεί την ταλάντωση w w w. k za c h a β) από τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο πραγματοποιείται η ταλάντωση. 10 • Αν b=0, η ταλάντωση είναι αμείωτη, άρα το πλάτος Α παραμένει σταθερό. • Το πλάτος της ταλάντωσης είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου. Το πόσο γρήγορα μειώνεται r το πλάτος εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b. Όταν η τιμή της σταθεράς απόσβεσης μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα. Ο ρυθμός μείωσης του πλάτους της ταλάντωσης αυξάνεται, καθώς αυξάνεται απόσβεσης b. Η περίοδος, για ορισμένη τιμής της σταθεράς b, διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη από το is • η σταθερά .g • πλάτος. Όταν η σταθερά b μεγαλώνει, η περίοδος παρουσιάζει μια μικρή αύξηση που, στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, θεωρείται αμελητέα. Στις ακραίες περιπτώσεις όπου η σταθερά b παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η κίνηση γίνεται d • απεριοδική, δηλαδή ο ταλαντωτής επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του χωρίς ποτέ να την υπερβεί. a Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να συμβεί, αν το σύστημα ελατήριο-σώμα βρισκόταν μέσα σ' ένα Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. a • ri παχύρρευστο υγρό. Α = Α 0 e − Λt (40) h Όπου Α0 είναι το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t=0. Το Λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη σταθερά b της απόσβεσης και τη μάζα m του w. k za c ταλαντούμενου σώματος. w A 0 A1 A 2 = = = ......... = σταθερό. (41) A1 A 2 A 3 Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις w • • Σε ένα κύκλωμα LC ο κύριος λόγος απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση R. 11 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ • Ιδιοσυχνότητα f0 ενός ταλαντούμενου συστήματος ονομάζουμε τη συχνότητα της ελεύθερης r αμείωτης ταλάντωσης του, δηλαδή τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται το σύστημα όταν .g διεγείρεται μία μόνο φορά και δεν εμφανίζονται αποσβέσεις. 1 D (42) 2π m Για ένα σύστημα ελατήριο-μάζα έχουμε : f 0 = • Αν σε μια ταλάντωση θέλουμε να διατηρήσουμε την ενέργεια ταλάντωσης σταθερή πρέπει να is • d προσφέρουμε στο ταλαντούμενο σύστημα συνεχώς ενέργεια με ρυθμό ίσο με τον ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια του συστήματος γίνεται θερμότητα. a • Ταλαντώσεις που διατηρούν το πλάτος τους σταθερό με την επίδραση εξωτερικών περιοδικών • za c h a ri δυνάμεων (διεγειρουσών δυνάμεων) λέγονται εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ο διεγέρτης επιβάλλει στην ταλάντωση τη συχνότητα του. • Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα ταλάντωσης f του σώματος είναι w. k πάντοτε ίση με τη συχνότητα f του διεγέρτη. • Όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του διεγέρτη, μεταβάλλεται η συχνότητα του σώματος. • Προσοχή !!! Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται κάθε φορά που μεταβάλλεται η w w συχνότητα του διεγέρτη. 12 • Το φαινόμενο της μεγιστοποίησης του πλάτους σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση όταν η • r συχνότητα f του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα f0 (f = fο), ονομάζεται συντονισμός. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της Ο τρόπος με το οποίο το ταλαντούμενο σύστημα αποδέχεται την ενέργεια είναι εκλεκτικός και is • .g ταλάντωσης διατηρείται σταθερό. εξαρτάται από την συχνότητα υπό την οποία προσφέρεται. • Κατά τον συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά τον βέλτιστο τρόπο, για αυτό d και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο a Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Η ιδιοσυχνότητα ενός κυκλώματος LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις δίνεται από την • 1 2 π LC (43) a σχέση : f 0 = ri • Ένα τέτοιο κύκλωμα μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση, αν τα στοιχεία του za c h συνδεθούν σε σειρά με μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης. • w. k ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Έστω ότι ένα σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. w Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις θα είναι, αντίστοιχα Η εξίσωση απομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι : x = Aημ(ωt + θ) w • x1 = A1ημωt και x 2 = A 2 ημ(ωt+φ) Όπου A = A12 + A22 + 2 A1 A2συνφ (45) και εφθ = 13 (44) Α 2ημφ Α1 + Α 2συνφ (46) • Η σχέση x=Αημ(ωt+θ) δείχνει ότι η σύνθετη κίνηση του σώματος έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: α) Είναι απλή αρμονική ταλάντωση η οποία γίνεται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας που γίνονται και οι επιμέρους ταλαντώσεις. r β) Η διεύθυνση της είναι ίδια με αυτή των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. .g γ) Η συχνότητα της είναι ίδια με αυτή των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. δ) Το πλάτος της A και η αρχική της φάση θ εξαρτώνται από τα στοιχεία των επιμέρους Όταν φ=0 τότε A = A12 + A22 + 2 A1 A2 = ( A1 + A2 ) 2 ⇔ A = A1 + A2 . Επίσης εφθ=0 Άρα θ=00. • Όταν είναι φ = 180° , τότε A = h a ri a x = (A1 + A 2 )ημωt (47) d • is ταλαντώσεων. A12 + A22 − 2 A1 A2 = ( A1 − A2 ) 2 ⇔ A = A1 − A2 c Επίσης εφθ=0. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε θ = 0° ή θ =180°. za i) Αν Α1 > Α 2 τότε Α=Α1 − Α 2 και θ=0. Οπότε : x = (A1 − A 2 )ημωt (48) ii) Αν Α1 <Α 2 τότε Α=Α 2 − Α1 και θ=π rad. Οπότε : x = (A 2 − A1 )ημ(ωt + π) (49) w w w. k iii) Αν Α 1 = Α2, τότε Α = 0, δηλαδή το σώμα είναι συνέχεια ακίνητο. • Όταν φ=1800, η φάση της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίση με την φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος. 14 Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες x1 = Aημω1t και x 2 = Aημω2 t (50) ' Η σχέση (51) γίνεται : x = A ημ ωt ω1 − ω 2 ω + ω2 t) ⋅ ημ( 1 t) (51) 2 2 d • is Οι γωνιακές συχνότητες τους ω, και ω2 διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. x = 2Aσυν( r Οι εξισώσεις που περιγράφουν δύο τέτοιες ταλαντώσεις είναι, αντίστοιχα: .g • (52) ω1 + ω 2 2 ≅ ω1 ≅ ω 2 (53), η οποία είναι περίπου ίδια με τις επιμέρους ταλαντώσεις. ri α) συχνότητα ω = a Η σχέση (52) περιγράφει μια ιδιόμορφη ταλάντωση η οποία έχει : Όταν η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από την σχέση (52), τότε λέμε ότι η κίνηση του w w w. k za c σώματος παρουσιάζει διακροτήματα. h • a ⎛ ω1 − ω 2 ⎞ ' t ⎟ (54), το οποίο μεταβάλλεται από |Α'|=0 ως |Α'|=2Α. β) πλάτος A = 2Aσυν⎜ 2 ⎝ ⎠ • Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών (ή δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων) του πλάτους A ' , ονομάζεται περίοδος Τδ των διακροτημάτων . 15 2π ω1 − ω 2 • Τδ = 1 f1 − f 2 (55) (56) και f δ = f1 − f 2 (57). r Τδ = w w w. k za c h a ri a d is .g • 16