Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 6979210 251 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών ============================================================== Παίγνια Μηδενικού Αθροίσµατος - Μεικτές Στρατηγικές (5 παραδείγµατα, 13 σελίδες) ============================================================== Άσκηση Νο 1 _______________________________________________ Ασκήσεις : Θεωρία Παιγνίων www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 _______________________________________________ ∆ύο επιχειρήσεις Α και Β, µοιράζονται το µεγαλύτερο µερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριµένο προϊόν. Καθεµία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόµενο χρόνο, προκειµένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 1 3) Αυξηµένη διαφηµιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιµής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασµό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα:    A1   A2   A3   A4 B1 6 3 3 2 B2 4 1 1 -1 B3 6 4 8 7 B4  2   1   6   2  Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιµή του παιγνιδιού. =============== ΛΥΣΗ ==================== (α) Εξετάζουµε αν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές εφαρµόζοντας το κριτήριο minimax: www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr    A1   A2   A3   A4  Μέγιστα Στηλών   Minimax B1 6 3 3 2 6 * B2 4 1 1 -1 4 * B3 6 4 8 7 8 * B4 Ελάχιστα Γραµµών 2 2 1 1 6 1 2 -1 6 4 Maximin   *   *   *   2    4≠2  Άρα δεν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές (β) ∆ιαγράφουµε κατόπιν τις τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές:    A1   A3 B2 4 1 B4  2   6  (γ) Υπολογίζουµε τις πιθανότητες για τις µικτές στρατηγικές: 2      A1   A3 x 1-x B2 y 4 1 B4   1-y  2   6  V(A,B2)=V(A,B4) <=> 4 x + 1 (1-x) = 2 x + 6 (1-x) 5 3 x + 1 = − 4 x + 6, < = > x = , 7 και 1-x = 2 7 V(B,A1)=V(B,A3) <=> 4 y + 2 (1-y) = 1 y + 6 (1-y) 4 2 y + 2 = − 5 y + 6, < = > y = , 7 και 1-y = 3 7 Τότε η τιµή του παιγνίου είναι: V= 22 7 Οι µεικτές στρατηγικές για τους δύο παίκτες είναι: 5 2  A = ( A1, A2, A3, A4 ) =  , 0, , 0  7 7   4 3 B = ( B1, B2, B3, B4 ) =  0, , 0,   7 7 ===www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr== 3 Άσκηση Νο 2 _______________________________________________ Ασκήσεις : Θεωρία Παιγνίων www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 _______________________________________________ ∆ύο επιχειρήσεις Α και Β, µοιράζονται το µεγαλύτερο µερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριµένο προϊόν. Καθεµία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόµενο χρόνο, προκειµένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξηµένη διαφηµιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιµής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασµό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα:    A1   A2   A3   A4 B1 5 3 4 -1 B2 3 -1 1 -2 B3 3 -1 6 3 B4  2   1   5  3  Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιµή του παιγνιδιού. =============== ΛΥΣΗ ==================== (α) Εξετάζουµε αν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές εφαρµόζοντας το κριτήριο minimax: 4 www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr    A1   A2   A3   A4  Μέγιστα Στηλών   Minimax B1 5 3 4 -1 5 * B2 3 -1 1 -2 3 * B3 3 -1 6 3 6 * B4 Ελάχιστα Γραµµών 2 2 1 -1 5 1 3 -2 5 3 Maximin   *   *   *   2    3≠2  Άρα δεν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές (β) ∆ιαγράφουµε κατόπιν τις τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές:    A1   A3 B2 3 1 B4  2   5  (γ) Υπολογίζουµε τις πιθανότητες για τις µικτές στρατηγικές:      A1   A3 x 1-x B2 y 3 1 B4   1-y  2   5  V(A,B2)=V(A,B4) <=> 3 x + 1 (1-x) = 2 x + 5 (1-x) 4 2 x + 1 = − 3 x + 5, < = > x = , 5 και 1-x = 1 5 V(B,A1)=V(B,A3) <=> 3 y + 2 (1-y) = 1 y + 5 (1-y) 5 3 y + 2 = − 4 y + 5, < = > y = , 5 και 1-y = 2 5 Τότε η τιµή του παιγνίου είναι: V= 13 5 Οι µεικτές στρατηγικές για τους δύο παίκτες είναι: 4 1  A = ( A1, A2, A3, A4 ) =  , 0, , 0  5 5   3 2 B = ( B1, B2, B3, B4 ) =  0, , 0,   5 5 ===www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr== Άσκηση Νο 3 _______________________________________________ Ασκήσεις : Θεωρία Παιγνίων www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 _______________________________________________ ∆ύο επιχειρήσεις Α και Β, µοιράζονται το µεγαλύτερο µερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριµένο προϊόν. Καθεµία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόµενο χρόνο, προκειµένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξηµένη διαφηµιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιµής. 6 Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασµό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα:    A1   A2   A3   A4 B1 0 -2 4 4 B2 -4 -6 1 -4 B3 5 3 0 -4 B4  2   -3   -2  -5  Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιµή του παιγνιδιού. =============== ΛΥΣΗ ==================== (α) Εξετάζουµε αν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές εφαρµόζοντας το κριτήριο minimax: www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr    A1   A2   A3   A4  Μέγιστα Στηλών   Minimax B1 0 -2 4 4 4 * B2 -4 -6 1 -4 1 * B3 5 3 0 -4 5 * B4 Ελάχιστα Γραµµών 2 -4 -3 -6 -2 -2 -5 -5 2 1 Maximin   *   *   *  -2    1 ≠ -2  Άρα δεν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές (β) ∆ιαγράφουµε κατόπιν τις τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές:    A1   A3 B2 -4 1 B4  2   -2  (γ) Υπολογίζουµε τις πιθανότητες για τις µικτές στρατηγικές: 7      A1   A3 x 1-x B2 y -4 1 B4   1-y  2   -2  V(A,B2)=V(A,B4) <=> -4 x + 1 (1-x) = 2 x + -2 (1-x) 1 − 5 x + 1 = 4 x − 2, < = > x = , 3 και 1-x = 2 3 V(B,A1)=V(B,A3) <=> -4 y + 2 (1-y) = 1 y + -2 (1-y) 4 − 6 y + 2 = 3 y − 2, < = > y = , 9 και 1-y = 5 9 Τότε η τιµή του παιγνίου είναι: V= -2 3 Οι µεικτές στρατηγικές για τους δύο παίκτες είναι: 1 2  A = ( A1, A2, A3, A4 ) =  , 0, , 0  3 3   4 5 B = ( B1, B2, B3, B4 ) =  0, , 0,   9 9 ===www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr== 8 Άσκηση Νο 4 _______________________________________________ Ασκήσεις : Θεωρία Παιγνίων www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 _______________________________________________ ∆ύο επιχειρήσεις Α και Β, µοιράζονται το µεγαλύτερο µερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριµένο προϊόν. Καθεµία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόµενο χρόνο, προκειµένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξηµένη διαφηµιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιµής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασµό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα:    A1   A2   A3   A4 B1 4 3 1 -1 B2 4 1 1 -2 B3 3 2 9 6 B4  2   -1   5  1  Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιµή του παιγνιδιού. =============== ΛΥΣΗ ==================== (α) Εξετάζουµε αν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές εφαρµόζοντας το κριτήριο minimax: 9 www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr    A1   A2   A3   A4  Μέγιστα Στηλών   Minimax B1 4 3 1 -1 4 * B2 4 1 1 -2 4 * B3 3 2 9 6 9 * B4 Ελάχιστα Γραµµών 2 2 -1 -1 5 1 1 -2 5 4 Maximin   *   *   *   2    4≠2  Άρα δεν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές (β) ∆ιαγράφουµε κατόπιν τις τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές:    A1   A3 B2 4 1 B4  2   5  (γ) Υπολογίζουµε τις πιθανότητες για τις µικτές στρατηγικές:      A1   A3 x 1-x B2 y 4 1 B4   1-y  2   5  V(A,B2)=V(A,B4) <=> 4 x + 1 (1-x) = 2 x + 5 (1-x) 2 3 x + 1 = − 3 x + 5, < = > x = , 3 και 1-x = 1 3 V(B,A1)=V(B,A3) <=> 4 y + 2 (1-y) = 1 y + 5 (1-y) 10 1 2 y + 2 = − 4 y + 5, < = > y = , 2 και 1-y = 1 2 Τότε η τιµή του παιγνίου είναι: V=3 Οι µεικτές στρατηγικές για τους δύο παίκτες είναι: 2 1  A = ( A1, A2, A3, A4 ) =  , 0, , 0  3 3   1 1 B = ( B1, B2, B3, B4 ) =  0, , 0,   2 2 ===www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr== Άσκηση Νο 5 _______________________________________________ Ασκήσεις : Θεωρία Παιγνίων www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 _______________________________________________ ∆ύο επιχειρήσεις Α και Β, µοιράζονται το µεγαλύτερο µερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριµένο προϊόν. Καθεµία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόµενο χρόνο, προκειµένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξηµένη διαφηµιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιµής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α 11 σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασµό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα:    A1   A2   A3   A4 B1 11 8 2 -2 B2 7 4 1 -1 B3 3 -1 7 2 B4  2   1   6  1  Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιµή του παιγνιδιού. =============== ΛΥΣΗ ==================== (α) Εξετάζουµε αν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές εφαρµόζοντας το κριτήριο minimax: www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr    A1   A2   A3   A4  Μέγιστα Στηλών   Minimax B1 11 8 2 -2 11 * B2 7 4 1 -1 7 * B3 3 -1 7 2 7 * B4 Ελάχιστα Γραµµών 2 2 1 -1 6 1 1 -2 6 6 Maximin   *   *   *   2    6≠2  Άρα δεν υπάρχει ισορροπία µε αµιγείς στρατηγικές (β) ∆ιαγράφουµε κατόπιν τις τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές:    A1   A3 B2 7 1 B4  2   6  (γ) Υπολογίζουµε τις πιθανότητες για τις µικτές στρατηγικές: 12      A1   A3 x 1-x B2 y 7 1 B4   1-y  2   6  V(A,B2)=V(A,B4) <=> 7 x + 1 (1-x) = 2 x + 6 (1-x) 1 6 x + 1 = − 4 x + 6, < = > x = , 2 και 1-x = 1 2 V(B,A1)=V(B,A3) <=> 7 y + 2 (1-y) = 1 y + 6 (1-y) 2 5 y + 2 = − 5 y + 6, < = > y = , 5 και 1-y = 3 5 Τότε η τιµή του παιγνίου είναι: V=4 Οι µεικτές στρατηγικές για τους δύο παίκτες είναι: 1 1  A = ( A1, A2, A3, A4 ) =  , 0, , 0  2 2   2 3 B = ( B1, B2, B3, B4 ) =  0, , 0,   5 5 ===www.maths.gr , www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr== 13