x - pitetragono.gr

1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΟΡΙΟ ΣΤΟ   ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ – ΡΗΤΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κρατάμε τους μεγιστοβάθμιους όρους.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
1) (Άσκηση 1 σελ. 186 σχ. βιβλίο Α΄Ομάδας)
Να βρείτε τα όρια :


x 


5
x   x  8
3
2x  x  1
x2
v. lim
vi. lim 10
3
2
x  4 x  x  2
x  x
 x3
2
2
 x  5 x  3


viii. lim 
x 
x
x

2


i. lim  10 x 3  2 x  5
ii. lim 5 x 3  2 x  1
x 
iii. lim
3
x 4  5x 3  2 x  1
x 
x 3  3x  2
5 
 x
vii. lim  2


x  x  1
x  2

Λύση :
lim  10 x 3  2 x  5  lim  10 x 3  
i.
iv. lim

lim 5x
x 
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
x 
3


x 

 

 2 x  1  lim 5 x 3  
x 
5
5
 lim 3  0
x   x  8
x   x
4
3
x  5x  2 x  1
x4
lim
 lim 3  lim x  
x 
x 
x   x
x 3  3x  2
2x 3  x  1
2x3
2 1
lim

lim
 lim 
3
2
3
x  4 x  x  2
x   4 x
x   4
2
x2
x
1
lim
 lim 10  lim 9  0
x  x 10  x  3
x   x
x   x
 x( x  2)
 x 2  2 x  5x 2  5 
5( x 2  1) 
5 
 x





lim
lim  2

 lim  2

x  x  1
x  2  x ( x  1)( x  2) ( x  2)( x 2  1)  x ( x 2  1)( x  2) 

  4x 2  2x  5 
  4x 2 
4


 lim  3
 lim  3   lim 
0
x  x  2 x 2  x  2 
x 
x


 x 


 x 
 x2  5 x2  3 
 ( x 2  5)( x  2)  x( x 2  3) 
  lim 
 
lim 

x 
x  2  x
x( x  2)
 x

lim
3
 x 3  2 x 2  5 x  10  x 3  3x 
 2 x 2  2 x  10 
 2x 2 



 lim 

lim

lim
 x x 2  2 x  x x 2   2
x 
x 2  2x






ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
Σελίδα 1
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΟΡΙΟ ΣΤΟ

ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Α) Για να υπολογίσουμε όρια που περιέχουν παραστάσεις της μορφής :

f ( x)  g ( x) ή
f ( x )   g ( x ) εργαζόμαστε ως εξής :
1) Σε κάθε υποριζο βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη δύναμη του x
 x, x  
2) Χωρίζουμε τις ρίζες και εμφανίζεται :  x  x  
 x, x  
3) Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
(Αν κατά τη διαδικασία εμφανιστεί απροσδιοριστία της μορφής 0  ( ) , τότε στο αρχικό
όριο πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση.)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
2) (Ασκήσεις 2,3 σελ. 187 σχ. βιβλίο Α΄Ομάδας)
Να βρεθούν τα όρια :
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
lim
4x 2  2x  3
lim
x 2  10 x  9
lim
x2 1
x
lim
x2 1
x
x 
x 
x  
x  
 x 1  x
lim  x  1  x 
lim  x  1  x 
lim 2 x  1  4 x
lim
2
2
 3x  2

2
 4x  3

x 
2
x 
2
x 
x 
Λύση :
x 0
ύ
i. lim
x 
4 x 2  2 x  3  lim
x 
2 3 
2 3  x


x 2  4   2   lim x  4   2  
x x  x 
x x 

2 3 

 lim x  4   2   
x 
x x 

x 0
ύ
ii. lim
x 
x 2  10 x  9  lim
x 
 10 9 
 10 9  x
x 2 1   2   lim x 1   2  
x x  x 
x x 

 10 9 
 lim ( x) 1   2   
x 
x x 

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 2
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
1 
1  x 0
1 



x 2 1  2 
x 1  2  ύ
x 1  2 
x 
x  x
x 



 lim
 lim

x


x


x
x
x
x 1
 lim
x  
x
2
iii. lim
x  
 lim
1 

1  2   1
 x 
lim
x 1
 lim
x  
x
x 
2
iv.
x  
1 
1 
1  x0



x 2 1  2 
 x 1  2 
x 1  2  ύ
x  
x 
x 
x 



 lim

 lim
x  
x  
x
x
x
1 

 lim  1  2   1
x 
 x 
v. lim
x 
x
2


1 

 3 2 
 1  x 2  3x  2  lim  x 2 1  2   x 2 1   2   
x 
x 

 x x  

x 0
ύ
 

1 
1 

 3 2   x
 3 2 
 lim  x 1  2   x 1   2    lim  x 1  2   x 1   2   
x 
x 
x 
x 

 x x  
 x x  
 

 
1 
 3 2 
 lim x 1  2   1   2    
x  
x 
 x x  
 
vi. Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι’αυτό πολλαπλασιάζω αριθμητή
και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση: lim
x 
x
2

1  x 
x .0
( x  1  x)( x  1  x)
2
lim
2
x 
1
x  
x 1 x
ύ
2
1 

x 2 1  2   x
x 

1
  lim
x  
x 1
1
x
x2
x  

1
 lim
0


1
x 1  2  1
x


Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι’αυτό πολλαπλασιάζω αριθμητή
lim
x  
vii.
x2 1  x
 lim
2
1
x 1 2  x
x
x  
και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση: lim
x 
x
2

1  x 
x .0
( x  1  x)( x  1  x)
2
lim
2
x 
1
x  
x 1 x
2
1 

x 2 1  2   x
x 

ύ
  lim
x  
1
x 1
1
x
x2
x  

1
 lim
0


1
 x 1  2  1
x


Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι’αυτό πολλαπλασιάζω αριθμητή
και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση:
lim
x  
viii.
x2 1  x
 lim
2
1
 x 1 2  x
x

x  

lim 2 x  1  4 x 2  4 x  3  lim
x 
x 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
[(2 x  1)  4 x 2  4 x  3 ][(2 x  1)  4 x 2  4 x  3 ]
2x  1  4x 2  4x  3
www.pitetragono.gr

Σελίδα 3
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
x 0
 lim
(2 x  1)  4 x  4 x  3
2
2
2
x  
 lim
4x  4x  1  4x  4x  3
2
2
x  
4 3
4 3 

2x  1  x 4   2
2x  1  x 2  4   2 
x x
x x 

2
2
 lim
 lim
0
x  
x   
4 3
1
4 3 
2x  1  x 4   2
x 2   4   2 
x x
x
x x 

ύ
x  

2Β) ΟΡΙΟ ΣΤΟ   ΜΕ ΠΟΛΛΑ ΡΙΖΙΚΑ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
3) Να βρεθεί το όριο : lim
x 
 16x
2
 8x  4 x 2  1  6 x

Λύση :
Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι’αυτό χωρίζω κατάλληλα την παράσταση
και πολλαπλασιάζω αριθμητές και παρανομαστές με τη συζυγή παράσταση:
 16x
lim  16 x
lim
2
x 
x 
 lim
2

 8 x  4 x  lim
x  
 16x
 1  2x 
x 
 4x
x 
2
( 16 x 2  8 x  4 x)( 16 x 2  8 x  4 x)
x 
 lim

 8 x  4 x 2  1  6 x  lim
 lim

 8x  4 x  4 x 2  1  2 x 
 lim
( 4 x 2  1  2 x)( 4 x 2  1  2 x)
x 
16 x 2  8 x  4 x
8x
2
1
x  
4x 2  1  2x
x 0
ύ
x  
 lim
8x
x  
8
8
1
x 16   4 x
x 16   4 x
x 4  2  2x
x
x
x
8x
1
8
 lim
 lim

 0 1
x   
 44
 x 
1
8
x 4  2  2 
x 16   4 
x
x




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
 lim
x  

1
1
x 4  2  2x
x
x 0
ύ
x  

Σελίδα 4
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΟΡΙΟ ΣΤΟ
  ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
Αν μέσα στο όριο υπάρχει g (x ) τότε υπολογίζω ξεχωριστά το lim g ( x ) . Αν lim g ( x )  0
x 
x 
τότε και g ( x )  0 , ενώ αν lim g ( x )  0 τότε και g ( x)  0 . Οπότε απαλλάσσομαι από τα
x 
απόλυτα και υπολογίζω κανονικά το όριο.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
4) (Άσκηση 4 σελ. 187 σχ. βιβλίο B΄Ομάδας)
Να βρεθούν τα όρια :
x 2  5x  x
i. lim 2
x   x  3 x  2
x2  x
iii. lim
x   x  1
Λύση :
x 2  5x  x
i. lim 2
x   x  3 x  2
lim ( x 2  5 x)  lim ( x 2 )   , άρα x 2  5x  0 όταν   άρα,
x 
x 
x  5x  x
2
lim
x 2  3x  2
x2  x
x 
iii. lim
x 2  5x  x
x2  4
x2

lim

lim
1
x  x 2  3 x  2
x  x 2  3 x  2
x   x 2
 lim
x 1
lim ( x 2  x)  lim ( x 2 )   , άρα x 2  x  0 όταν   άρα,
x  
x 
x 
x x
2
lim
x  
x 1
x2  x
x2
 lim
 lim x  
x 
x   x  1
x   x
 lim
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΟΡΙΟ ΣΤΟ   ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
5) (Άσκηση 1 σελ. 187 σχ. βιβλίο B΄Ομάδας)
Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :
(   1) x 3  2 x 2  3
i. lim x 2  1  x
ii. lim
x 
x 
x 2  5 x  6
Λύση :


i. lim
x 
x
2
x0
ύ




 x
1
1 

 1  x  lim  x 2 1  2   x   lim  x 1  2  x  
 x
x 
x
x 





ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 5
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
 



1
1
 lim   x 1  2  x   lim   x 1  2     , επειδή lim  x    ,

x 
x 
x 
x
x



 


1
 lim  1  2     1   θα διακρίνουμε περιπτώσεις για το 1  
x 
x


 

1

Αν 1    0    1 τότε lim   x 1  2      

x 
x

 
 

1

Αν 1    0    1 τότε lim   x 1  2      

x 
x

 
Αν 1    0    1 τότε lim

x 
x
2

 1  x  lim
( x 2  1  x)( x 2  1  x)
x 
x2 1  x

x .0
x 1 x
2
lim
2
x  
ύ
  lim
1 

x 2 1  2   x
x 

1
lim
0
x  


1
 x 1  2  1
x


x  
1
1
x 1 2  x
x
x  
 lim
1
x  
1
 x 1 2  x
x

(   1) x 3  2 x 2  3
(   1) x 3
(   1) x   1

lim
 lim
 lim x ,

2
2
x 
x  
x 
 x

x  5 x  6
x
 1
επειδή : lim x   , θα διακρίνω περιπτώσεις για το
ii. lim

x 

 1
 0   (   1)  0    (,0)  (1,)

Γιατί : έχω  (  1)  0    0, ή,   1
Αν
μ
 (  1)
-
0
+
0
Επειδή θέλω  (  1)  0    (,0)  (1,)
1
0
+
+
(   1) x 3  2 x 2  3   1

Τότε lim
 lim x  
x 
 x
x 2  5 x  6


(   1) x 3  2 x 2  3   1
 1

Αν
 0   (   1)  0    (0,1) τότε lim
 lim x  
x 

 x
x 2  5 x  6
(   1) x 3  2 x 2  3
2x 2  3
 1

 lim 2
Αν
 0    1  0    1 τότε lim
x 
x  x  5 x  6

x 2  5 x  6
2x 2
lim
2
x   x 2

 x 3  2x 2  3
 x3
x2
(   1) x 3  2 x 2  3
lim

lim


lim
 
x 
x  
x    5 x
x   5
 5x  6
x 2  5 x  6
Αν   0 τότε lim
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 6
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΟΡΙΟ ΣΤΟ   ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ
ΟΡΟΥΣ
Τα όρια lim x και lim  x δεν υπάρχουν. Αν σε κάποιο όριο παρουσιάζονται οι όροι
x 
x 
ημx και συνx , τότε διαιρούμε τους όρους αυτούς με κάποια θετική δύναμη του x , ώστε
χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής να τους μηδενίσουμε.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 : lim
x
x 0
 lim
x 
x
x
 1 ενώ :
 0 , ομοίως και
x
παρεμβολής.
1
x
 x
 


x
x
 x

 lim   1   0, lim 
 x x 
x  




lim
x 
 x
x
0
τα οποία αποδεικνύονται με κριτήριο
1
1 x 1
 

x
x
x
x



 και
 . ή
1

x
0

lim
 0


x


x
x

  x

1
 x 1
1  x 1

 
  


x
x
x
x
x
x
 x



ή
 x
 lim   1   0, lim  1   0 .

lim
 0 
 x x 
x   x 
x  
x


 


1

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2 : Στην ενότητα 1.5 είδαμε ότι lim  x   0 (Μηδενική επί φραγμένη
x 0
x

που αποδεικνύεται ως εξής :
x a   a xa
1
1
1
1
Έχω x  x    x , άρα x  x  x  x  x
x
x
x
x
1

Εφαρμόζω κ.π. και lim  x   0 , lim x  0 άρα από κ.π. lim  x   0 )
x 0
x 0
x 0
x

1
1


 Όμως lim  x   1 γιατί : lim  x   lim
x 
x


x
x  x


1 έ
1
u
x
u
x 
lim
1
u

0
ό

1 x
u
x u 0

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 3 : Αν έχω όριο όπου x   , που περιέχει x ή  x , τότε διαιρώ
κάθε όρο αριθμητή και παρανομαστή με τη μεγιστοβαθμια δύναμη του x. Αν χρειαστεί
κάνω διαχωρισμό του κλάσματος.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
6) Να βρεθούν τα όρια :
6 x   2 x  2 x
2 x  x
i. lim
ii. lim
x 
x 
3x   x
x2
Λύση :
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
x 3 x  x 2x  2
x 
x 4   4 x  x
iii. lim
www.pitetragono.gr
Σελίδα 7
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
x 
i.
ii.
iii.
2 x  x :x 0
lim
 lim
x  
x 
x
x2
2
x
x * 2  0  2 ,
2
1 0
1
x
 x

1
x 1
1 x 1

 
  


x
x
x
x
x
x
 x

* 

ή
x
 lim   1   0, lim  1   0 .

lim
 0 
 x x 
x   x 
x   x


 


2
 x
 x
x 
6
2
6 x   2 x  2 x :x 0
x
x * 6  0  0  2
lim
 lim
x  
x 
x
 x
30
3x   x
3
x
2
2
2
  x

1
 x 1
1  x 1


 
  

x
x
x
x
x
x
 x

* 
 και
2
 . ή
 1
1

x


    0, lim    0

lim
 0
 xlim



 
x


x


x
 x
x


  x

1
 x 1
1  x 1

 
  


x
x
x
x
x
x
 x



ή
 x
 lim   1   0, lim  1   0 .

lim
 0 
 x x 
x   x 
x  
x


 


 x x 2
x 
 2  4 *
3
2
:x  0
x  x  x x  2
x
x
x  000  0
lim

lim
4
4
4
4
4
x 
x


x
x   x  x
1 1 0  0
 x 
1 


x3
 x 
 x
x
 0 και lim
* παραπάνω δείξαμε ότι lim
 0 , ομοίως :
x 
x


x
x
 x

1
x
1
1 x
1
 2  2  2  2  2  2  2

x
x
x
 x
x
x
x



 1 
 1 
 . ή



x

  0, lim 
0

lim 2  0 
 xlim
2
2
x  
x   x

  x 



x 


ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 8
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
6
ΟΡΙΟ
:
ΣΤΟ

ΚΑΙ
ΚΡΙΤΗΡΙΟ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
7) Δίνεται
η
f :
για
την
οποία
ισχύει
3x  2 x  ( x  2 x  1) f ( x)  3x  3x  5 για κάθε x   . Να βρείτε τα όρια :
f ( x)
i.
ii. lim f ( x) iii. lim
lim f ( x )
x  
x 
x 
x
Λύση :
i.
Έχω : lim ( x 5  2 x  1)  lim x 5   , άρα όταν x   τότε x 5  2 x  1  0 άρα
5
2
συνάρτηση
5
x 
5
:
2
x 
3x 5  2 x 2
3x 5  3x 2  5
 f ( x)  5

3x  2 x  ( x  2 x  1) f ( x)  3x  3x  5  5
x  2x  1
x  2x  1
3x 5  3x 2  5
3x 5  2 x 2

f
(
x
)

x 5  2x  1
x 5  2x  1
3x 5  3x 2  5
3x 5
3x 5  2 x 2
3x 5
Έχω : lim
και

lim

3
lim

lim
 3 άρα από κ.π.
x  x 5  2 x  1
x   x 5
x  x 5  2 x  1
x   x 5
lim f ( x)  3
5
2
5
5
2
x 
Έχω : lim ( x 5  2 x  1)  lim x 5   , άρα όταν x   τότε x 5  2 x  1  0 άρα
ii.
x 
x 
3x 5  2 x 2
3x 5  3x 2  5
 f ( x)  5

3x  2 x  ( x  2 x  1) f ( x)  3x  3x  5  5
x  2x  1
x  2x  1
3x 5  2 x 2
3x 5
3x 5  3x 2  5
3x 5
 lim 5  3 και lim

lim
 3 άρα από κ.π.
Έχω : lim 5
x  x  2 x  1
x   x
x  x 5  2 x  1
x   x 5
lim f ( x)  3
5
2
5
5
2
x 
x 
iii.
3x 5  3x 2  5
3x 5  2 x 2 :x 0 3x 5  3x 2  5 f ( x)
3x 5  2 x 2

f
(
x
)




Έχω
x
x 5  2x  1
x5  2x  1
x( x 5  2 x  1)
x( x 5  2 x  1)
3 x 5  3 x 2  5 f ( x)
3x 5  2 x 2


x
x 6  2x 2  x
x 6  2x 2  x
3x 5  2 x 2
3x 5
3x 5  3x 2  5
3x 5
lim

0
lim

lim
 0 άρα από

Έχω : lim 6
και
x   x 6
x  x 6  2 x 2  x
x   x 6
x  x  2 x 2  x
f ( x)
κ.π. lim
0
x 
x

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 9
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 :
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΟΡΙΟ ΣΤΟ
  ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
8) Δίνεται η συνάρτηση f : (0,)   για την οποία ισχύει : lim
x 
βρείτε τα όρια : i. lim f ( x)
ii. lim
x 
x  
xf ( x)  2 x  3
 7 . Να
x5
f ( x)
x
Λύση :
i.
ii.
xf ( x)  2 x  3
, με x  5 , τότε lim g ( x)  7
x 
x5
xf ( x)  2 x  3
Έχω : : g ( x) 
 g ( x)( x  5)  xf ( x)  2 x  3  xf ( x)  g ( x)( x  5)  2 x  3 
x5
g ( x)( x  5)  2 x  3
Για x  0 f ( x) 
άρα :
x
g ( x)( x  5)  2 x  3
g ( x)( x  5)
 2x  3
lim f ( x)  lim
 lim
 lim

x 
x 
x


x


x
x
x
x5
 2x  3
 lim g ( x)  lim
 lim
 7 1  2  5
x 
x  
x 
x
x
Θέτω g ( x) 
g ( x)( x  5)  2 x  3
f ( x)
g ( x)( x  5)  2 x  3
x
 lim
lim
 lim

x  
x 
x  
x
x
x2
g ( x)( x  5)
 2x  3
x5
 2x  3
 lim
 lim
 lim g ( x)  lim 2  lim

2
2
x


x 
x


x


x


x
x
x
x2
1
2
 lim g ( x)  lim  lim
 70 0  0
x 
x   x
x  x
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 : Ισχύουν : lim e x   , lim e x  0 , lim (ln x )   και lim (ln x )  
x 
x
x
x 0
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
9) Να βρεθούν τα όρια :
2
i.
lim (ln x  2 x 2  5  e x  2 )
x 
ii.
iii.
iv.

lim ln( x  2014)  x  2
x 

lim (ln x  2014  e x  5x 2 )
x 0 

lim ln( x  3)  x 2  x  2
x 3

Λύση :
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 10
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
i.
ii.
iii.
iv.
lim (ln x  2 x 2  5  e x
x 

2
2
)  

lim ln( x  2014)  x  2  
x 
lim (ln x  2014  e x  5x 2 )  
x 0 


lim ln( x  3)  x 2  x  2  
x 3
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 :
 Αν έχω μια εκθετική π.χ. μόνο e x , τότε τη βγάζω κοινό παράγοντα.
 Αν έχω 2 ή περισσότερες εκθετικές, τότε βγάζω κοινό παράγοντα αυτή με τη
μεγαλύτερη βάση αν x   . Αν x   κοινό παράγοντα βγάζω την εκθετική με τη
μικρότερη βάση. π.χ1. π.χ.2
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
10) Να βρεθούν τα όρια :
e x 1  1
e x 1  3 x
i.
ii. lim x  2
lim x
x  e
x   e  2
 3 x 1
Λύση :
e x 1  3 x

x  e x  2  3 x 1
iii. lim
1

1
ex e  x 
e x
e 1
e  e 1
e 
e  e0 e
 lim
 lim 
i. lim x
 lim x
x  
x  e  2
x  e  2
2
2  x
1 0

1 x
e x 1  x 
e
 e 
x 1
x
e x 1  3 x
ii. lim x  2
x  e
 3 x 1
x
x


xe
xe



3
e

1
3
 3x

 3 x e  1
x
x
e e 3

  lim

 
 lim x 2
 lim
x
x
x  
x


x  e  e  3 x  3
e

e

3 x  x e 2  3 
3 x  x e 2  3 
3

3

x
e
   e 1
3
,
 lim  x
x  
e
2
  e  3
3
x
e
e
επειδή 0   1 , τότε lim    0 , άρα θα είναι :
x   3
3
 
x
e
   e 1
0  e 1 1
3
lim  x


x  
0  e2  3 3
e
2
  e 3
 3
x

3x 
3




e e  x 
e 
e 
e x  e  3x

e
 lim
 lim
  lim x 2
x
x
x
x  
x  e  e  3  3
 x 2
3
3

x 2
e  e  x  3 
e  3 
e
e


x
iii.
e x 1  3 x
x  e x  2  3 x 1
lim
x
 3
e 
x
3
 3
e  e0  e  1
επειδή  1 , τότε lim    0 , άρα θα είναι : lim
x
x


x


e
e2  3  0 e2 e
e
 3
2
e  3 
e
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 11

Download Report