Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο (8.3.01.5) Σημειώσεις Μαθήματος 2011-2012 Μέρος 4ο: Απόκριση Συχνότητας Γεώργιος Παπαλάμπρου 2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο email: george.papalambrou@lme.ntua.gr http://www.lme.ntua.gr ενημέρωση: 7/2/2012 ΓΠ XELATEX Περιεχόμενα 1 Απόκριση Συχνότητας 1.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Απόκριση συχνότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Απόκριση συχνότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Διαγράμματα Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Πλεονέκτημα διαγραμμάτων Bode . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων . . . . . . . . . . . . 1.4 Συστήματα Ελάχιστης/Μη Ελάχιστης Φάσης . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Συστήματα με Νεκρό Χρόνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Προδιαγραφές Απόκρισης Συχνότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Περιθώρια Κέρδους, Φάσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Εύρος Ζώνης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Συναρτήσεις Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου L,S,T . . . . . . . . . . . 1.8 Ελεγκτές στο Πεδίο της Συχνότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Σχεδιασμός Ελεγκτών στο Πεδίο της Συχνότητας . . . . . . 1.8.2 Ελεγκτές Προπορευόμενης Φάσης-Lead . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Ελεγκτές Υπολειπόμενης Φάσης-Lag . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Ελεγκτές Υπολειπόμενης Προπορεύομενης Φάσης-Lead-Lag 1.9 Ελεγκτές Loop Shaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Ελεγκτής PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Κριτήρια Χρόνου - Απόκρισης Συχνότητας . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Χαρακτηριστικά χρόνου-συχνότητας συστήματος 2ης τάξης . 1.11 Δομές στα Συστήματα Ελέγχου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Συστήματα Ελέγχου-Πίσω-τροφοδότηση . . . . . . . . . . . 1.11.2 Συστήματα Ελέγχου-Πρόσω-τροφοδότηση . . . . . . . . . . 1.12 Αβεβαιότητα Μοντέλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Οι Στόχοι για τα Συστήματα Ελέγχου . . . . . . . . . . . . . 1.13 Αναφορές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 8 8 8 11 11 12 12 13 14 15 15 15 16 16 17 20 23 24 24 25 25 26 27 27 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Απόκριση Συχνότητας 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μέθοδοι σχεδιασμού ελεγκτών στο πεδίο συχνότητας. Παρουσιάζεται η μέθοδος σχεδιασμού ελεγκτών διαμόρφωσης βρόχου, καθώς και ελεγκτές προπορευόμενης/υπολειπόμενης φάσης. Όπως και στα προηγούμενα κεφαλαια, αναπόσπαστο κομμάτι είναι η χρήση του MATLAB κατά την χάραξη διαγραμμάτων Bode, τους υπολογισμούς των συναρτήσεων μεταφοράς αλλά και το σχεδιασμό ελεγκτών. 1.2 Απόκριση συχνότητας Απόκριση συχνότητας (Frequency Response): απόκριση μόνιμης κατάστασης συστήματος, με ημιτονοειδή είσοδο σταθερού πλάτους, με μεταβαλλόμενη συχνότητα Πλεονεκτήματα: • Επιτρέπει διερεύνηση απόλυτης και σχετικής ευστάθειας γραμμικών συστημάτων κλειστού βρόχου με γνώση χαρακτηριστικών απόκρισης συχνότητας ανοιχτού βρόχου • Κατά τη χρήση κριτηρίου ευστάθειας, δεν απαιτείται προσδιορισμός ριζών χαρακτηριστικής εξίσωσης • Συχνά η συνάρτηση μεταφοράς σύνθετων συστημάτων βρίσκεται πειραματικά με μέτρηση απόκρισης συχνότητας 1.2.1 Απόκριση συχνότητας Απόκριση συχνότητας για το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G= 2 , u = sin(3 ∗ t) 1.5s + 1 παριστάνεται γραφικά στην εικόνα 1.1. 5 (1.1) 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.1: Απόκριση συχνότητας Κατά τη σχεδίαση συστημάτων ελέγχου με απόκριση συχνότητας, η αποδεκτή συμπεριφορά χρονικής απόκρισης επιτυγχάνεται με κριτήρια σχεδίασης στο πεδίο συχνότητας. Η ανάλυση συστημάτων ελέγχου με απόκριση συχνότητας χαρακτηρίζεται από γραφικές τεχνικές, με τις οποίες διερευνώνται οι απαραίτητες τροποποιήσεις της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου, εξασφαλίζοντας επιθυμητή απόκριση του αντίστοιχου συστήματος κλειστού βρόχου. Θεωρούμε την είσοδο x(t), την έξοδο y(t) και τη συνάρτηση μεταφοράς G(s). Σαν είσοδο θεωρούμε ημιτονοειδή συνάρτηση x(t) = Xsinωt (1.2) Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) είναι G(s) = P (s) P (s) = q(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (1.3) Ο μετασχηματισμός Laplace της εξόδου είναι Y (s) = G(s)X(s) = P (s) P (s) ωX X(s) ⇒ Y (s) = q(s) q(s) s2 + ω 2 (1.4) Μετά από ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα και με αντίστροφο Laplace έχουμε y(t) = αe−jωt + α∗ ejωt + β1 e−s1 t + β2 e−s2 t + ... + βn e−sn t (1.5) όπου α∗ είναι ο μιγαδικός συζυγής του α. Σε ευσταθές σύστημα, οι s1 , s2 , ...sn έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος και για t → ∞ οι όροι e−s1 t , e−s2 t , ..., e−sn t τείνουν στο μηδέν. Επομένως η απόκριση μόνιμης κατάστασης γίνεται y(t) = αe−jωt + α∗ ejωt (1.6) 1.2. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 7 Τελικά η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται G(jω) = |G(jω)|ejϕ (1.7) Η συνάρτηση μεταφοράς G παριστάνεται από το μέτρο και τη γωνία φάσης, με παράμετρο τη συχνότητα ω |G| είναι το μέτρο και ϕ είναι η γωνία της G ϕ = tan−1 { Im(G(jω)) } Re(G(jω)) (1.8) αρνητική γωνία φάσης λέγεται υπολειπόμενη φάση (lag), θετική γωνία φάσης λέγεται προπορευόμενη φάση (lead). Προκύπτει έτσι για την απόκριση y(t) = X|G(jω)| sin(ωt + ϕ) = Y sin(ωt + ϕ) (1.9) Δηλαδή όταν ένα ευσταθές γραμμικό σύστημα δεχθεί ημιτονοειδή είσοδο, η έξοδος στην μόνιμη κατάσταση θα είναι ημιτονοειδής, με την ίδια συχνότητα της εισόδου και διαφορετικό εύρος. Παράδειγμα 1.2.1 Σύστημα πρώτης τάξης Έχουμε συνάρτηση μεταφοράς το σύστημα πρώτης τάξης K G(jω) = (1.10) 1 + Ts Σαν είσοδο θεωρούμε ημιτονοειδή συνάρτηση x(t) = Xsinωt (1.11) Σαν έξοδο θα έχουμε G= K K(1 − jωT ) K KT ω = = −j 2 2 2 2 1 + jωT 1+T ω 1+T ω 1 + T 2 ω2 (1.12) Ο λόγος εύρους εξόδου προς το εύρος εισόδου θα είναι K |G| = √ 1 + ω2 T 2 (1.13) ϕ = −arctan(T ω) (1.14) Η γωνία φάσης θα είναι Σημείωση: για μιγαδικούς ισχύουν: |G| = √ a2 + b2 , tan(ϕ) = b/a (1.15) 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 1.3 Διαγράμματα Bode Μία ημιτονοειδής συνάρτηση μεταφοράς G(s) παριστάνεται με το διάγραμμα Bode Διαγράμματα Bode : δύο διαγράμματα, με το λογάριθμο του μέτρου και τη γωνία φάσης, σε συνάρτηση με τη συχνότητα στον οριζόντιο άξονα. Λογάριθμος του μέτρου, με βάση το 10: 20log|G(jω)|. Η μονάδα παράστασης του μέτρου λέγεται decibel (dB). Κλίμακες στα διαγράμματα Bode: λογαριθμική για μέτρο και συχνότητα και γραμμική για φάση. Παράδειγμα 1.3.1 Το Διάγραμμα Bode στο MATLAB Θεωρούμε k G= 2 s + 2 ∗ ζ ∗ ωs + ω 2 (1.16) Σχήμα 1.2: Απόκριση συχνότητας 1.3.1 Πλεονέκτημα διαγραμμάτων Bode Το γινόμενο των μέτρων γίνεται άθροιση. Με χρήση ευθύγραμμων ασυμπτότων, προσεγγίζονται οι καμπύλες του μέτρου. Η λογαριθμική παράσταση επιτρέπει απεικόνηση συμπεριφοράς της συνάρτησης μεταφοράς σε χαμηλές και υψηλές συχνότητες. Είναι εύκολη η απεικόνηση πειραματικού προσδιορισμού μιας συνάρτησης μεταφοράς, αρκεί να παρασταθούν τα δεδομένα σε λογαριθμικό διάγραμμα. 1.3.2 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Βασικοί Παράγοντες: H. Bode (1905-1982), engineer. Among his several important contributions to circuit theory and control theory, while working at Bell Labs in USA in the 1930s, devised a simple but accurate method for graphing gain and phase-shi plots 1.3. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE 9 • Παράγοντας Κέρδους K • Παράγοντας Ολοκλήρωσης (1/jω)n • Παράγοντας Παραγώγισης (jω)n • Παράγοντας Πρώτης τάξης (1 + jωT )±1 • Παράγοντας Δεύτερης τάξης ((jω)2 + 2ζjω + ω 2 )/ωn2 Παράγοντας κέρδους Κ Η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου Κ είναι οριζόντια ευθεία, με τιμή 20 logK, (dB) (1.17) Για τιμές του K > 1, προκύπτουν θετικές τιμές decibels, για τιμές του K < 1, προκύπτουν αρνητικές τιμές decibels. Η μεταβολή του κέρδους προκαλεί μετατόπιση (πάνω/κάτω) της λογαριθμικής καμπύλης, ενώ δεν έχει καμμία επίδραση στη γωνία φάσης. K = 10; dB = 20 ∗ log10(K); bode(K) Σχήμα 1.3: Παράγοντας κέρδους Κ Κανόνες χάραξης διαγραμμάτων Bode Η συνάρτηση μεταφοράς G(s)H(s) πρέπει να έχει τη μορφή G(s)H(s) = K(1 + T1 s)...(1 + Tm s) sp (1 + Ta s)...(1 + Tn s) (1.18) Βρίσκουμε τα σημεία θλάσης κάθε βασικού παράγοντα. Χαράζουμε τις ασύμπτωτες του λογαριθμικού μέτρου μεταξύ των σημείων θλάσης με την κατάλληλη κλίση. Αν απαιτείται χαράζουμε τις ακριβείς καμπύλες, με τις διορθώσεις στα σημεία θλάσης. Η 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ τελική καμπύλη του μέτρου και της γωνίας προκύπτει από το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους καμπυλών. Μας ενδιαφέρει η γενική μορφή του διαγράμματος, με ελάχιστο ποσό υπολογισμών. Παράδειγμα 1.3.2 Διάγραμμα Bode, Παράδειγμα Σχήμα 1.4: Διάγραμμα Bode, Παράδειγμα Συνάρτηση μεταφοράς G(s) G(s) = 1000 5 = s(s + 2)(4s2 + 12s + 100) s(0.5s + 1)(0.04s2 + 0.12s + 1) (1.19) Σημεία θλάσης 1/0.5 = 2rad/s και 1/ωn2 = 0.04 → ωn2 = 5rad/s. MATLAB για το Παράδειγμα. % plot bode for G transfer function g=tf([0 0 0 0 1000],[conv([0 1 0 ],conv([0 1 2 ],[4 12 100 ]) )] ) bode(g); hold on % bode for gain 5 bode(tf([5],[1])); hold on % bode for 1/s bode(tf([0 1],[1 0])); hold on % bode for 1/(0.5s+1) bode(tf([0 1],[0.5 1])); hold on % bode for 1/(0.04s^2+0.12s+1) bode(tf([0 0 1],[0.04 0.12 1])); hold on legend('G','5','1/s','1/0.5s+1','1/(0.04s^2+0.12s+1)') 1.4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ/ΜΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΦΑΣΗΣ 11 1.4 Συστήματα Ελάχιστης/Μη Ελάχιστης Φάσης Συστήματα Ελάχιστης Φάσης (mimimum phase): χωρίς μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο ή νεκρούς χρόνους (time delays). Συστήματα Μη-Ελάχιστης Φάσης (Non-mimimum phase): έχουν μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο ή νεκρούς χρόνους, Στο Σχήμα 1.5 αποικονίζεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς s−10 s+1 (μπλέ καμπύλη) . μαζί με σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς s+10 s+1 Παρατηρούμε ότι ενώ έχουν ίδια χαρακτηριστικά μέτρου, διαφέρουν στη γωνία φάσης. Σχήμα 1.5: Συστήματα Ελάχιστης/Μη Ελάχιστης Φάσης Για τα συστήματα Μη-Ελάχιστης Φάσης, υπάρχει α) καθυστέρηση στη απόκριση λόγω ελλατωματικής συμπεριφοράς κατά την έναρξη ή β) έναρξη στην μεταβατική απόκριση με φορά αντίθετη προς την είσοδο, που ενδεχόμενα επανέρχεται σε ορθή. Κατά το σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου, διατάξεις Μη-Ελάχιστης Φάσης πρέπει να αποφεύγονται σχολαστικά. Στο Σχήμα 1.6 φαίνεται βηματική απόκριση συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς −s+1 0.5s+1 . 1.5 Συστήματα με Νεκρό Χρόνο Τα Συστήματα με Νεκρό Χρόνο περιλαμβάνουν παράγοντα G = e−sT . Λέγονται επίσης και Συστήματα με καθυστέρηση διακίνησης (transportation delay). Το μέτρο του παράγοντα αυτού είναι ίσο με την μονάδα (0 dB). Η φάση μεταβάλεται γραμμικά με την συχνότητα, 1.7. φάση G(jω) = −ωT , [rad] ή −57.3ωT , [deg]. s=tf('s'); \; P=5*exp(-3.4*s); \; bode(P) 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.6: Βηματική απόκριση συστήματος Μη Ελάχιστης Φάσης 1.6 Προδιαγραφές Απόκρισης Συχνότητας 1.6.1 Περιθώρια Κέρδους, Φάσης Δύο όροι που περιγράφουν το περιθώριο ευστάθειας ενός συστήματος G(s)H(s) είναι το περιθώριο κέρδους και το περιθώριο φάσης. Χρησιμοποιούμε το λογαριθμικό διάγραμμα Bode της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου L=G(s)H(s). Περιθώριο Κέρδους Περιθώριο Κέρδους (Gain Margin-GM) είναι ο παράγοντας που πολλαπλασιάζεται με το κέρδος |G(jω1 )H(jω1 )| για να δώσει γινόμενο = 1, όπου ω1 συχνότητα που αντιστοιχεί σε γωνία φάσης φ= −1800 . Σχήμα 1.8. GM = 1 , ω−180 |G(s)H(s)| (1.20) Για θετικό περιθώριο κέρδους, το σύστημα είναι ευσταθές. Για αρνητικό περιθώριο κέρδους, το σύστημα είναι ασταθές. Σε ευσταθή συστήματα, δείχνει πόσο μπορεί να αυξηθεί το κέρδος πρωτού το σύστημα γίνει ασταθές. Σε ασταθή συστήματα, δείχνει πόσο πρέπει να μειωθεί το κέρδος για να γίνει το σύστημα ευσταθές. Επαρκές περιθώριο κέρδους: GM > 2 dB. Περιθώριο Φάσης Περιθώριο φάσης (Phase Margin-PM) είναι η καθυστέρηση φάσης που όταν εισαχθεί στη συχνότητα όπου είναι |G(jω1 )H(jω1 )| = 1, οδηγεί το σύστημα στην ευστάθεια. Σχήμα 1.8. P M = ̸ L(jω) + 1800 (1.21) 1.6. ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 13 Σχήμα 1.7: Συστήματα με Νεκρό Χρόνο Για θετικό περιθώριο φάσης, το σύστημα είναι ευσταθές. Για αρνητικό περιθώριο φάσης, το σύστημα είναι ασταθές. Σε ευσταθή συστήματα, δείχνει πόσο μπορεί να αυξηθεί η καθυστέρηση φάσης πρωτού το σύστημα γίνει ασταθές. Σε ασταθή συστήματα, δείχνει πόσο πρέπει να μειωθεί η καθυστέρηση φάσης για να γίνει το σύστημα ευσταθές. Επαρκές περιθώριο φάσης: PM > 300 . Παρατηρήσεις για τα GM,PM Η γνώση μόνο τους ενός περιθωρίου, δεν επαρκεί για το καθορισμό της σχετικής ευστάθειας. Για να είναι σύστημα ελάχιστης φάσης ευσταθές, πρέπει και τα δύο περιθώρια νά είναι θετικά. Με τιμές GM > 2dB, P M > 300 (1.22) τα συστήματα ελάχιστης φάσης παρουσιάζουν ανοχή στη μεταβολή κέρδους ανοιχτού βρόχου ή χρονικών σταθερών των παραγόντων του συστήματος. Στο MATLAB χρησιμοποιούμε τις εντολές bode(sys) για το λογαριθμικό διάγραμμα και margin(sys) για τον υπολογισμό και απεικόνιση των GM,PM. 1.6.2 Εύρος Ζώνης Εύρος Ζώνης-Bandwidth (BW) είναι η συχνότητα όπου το μέτρο της G(s) μειώνεται κατά 3 dB ή 70.7%, σε σχέση με την τιμή του μέτρου στη συχνότητα 0. Το BW αποτελει ένδειξη ταχύτητας απόκρισης ενός συστήματος ελέγχου. Σχήμα 1.9. G(s) = 10 =⇒ bandwidth(sys) = 9.98rad/s s + 10 (1.23) Η συχνότητα αυτή λέγεται συχνότητα αποκοπής (cut oﬀ frequency) ωc . Μεγάλο BW αντιστοιχεί σε μικρό χρόνο ανύψωσης. 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.8: Περιθώρια Κέρδους και Φάσης 1.7 Συναρτήσεις Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου L,S,T Συνάρτηση μεταφοράς βρόχου-loop transfer function L(s) = G K (1.24) Συνάρτηση ευαισθησίας-sensitivity function S(s) = (1 + L)−1 (1.25) Συνάρτηση συμπληρωματικής ευαισθησίας-complementary sensitivity function T (s) = (1 + L)−1 L (1.26) S+T =1 (1.27) Ισχύει ότι Παράδειγμα 1.7.1 Οι συναρτήσεις μεταφοράς L, S, T στο MATLAB G=tf([4],[0.0004 0.0396 0.96 -1]); \% Plant K = tf([1.875 1],[1.5 0]); \% PI-controller L = G*K; \% Loop Gain S = 1/(1+L); \% Sensitivity T = 1-S; \% Complementary Sensitivity Οι υπολογισμένες συναρτήσεις μεταφοράς και τα διαγράμματα Bode φαίνονται στο Σχήμα 1.11. 1.8. ΕΛΕΓΚΤΕΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 15 Σχήμα 1.9: Εύρος Ζώνης 1.8 Ελεγκτές στο Πεδίο της Συχνότητας 1.8.1 Σχεδιασμός Ελεγκτών στο Πεδίο της Συχνότητας Οι προδιαγραφές ενός συστήματος ελέγχου μπορούν να περιγραφούν στο πεδίο του χρόνου ή στο πεδίο της συχνότητας. Στην περίπτωση που οι προδιαγραφές ελέγχου δίνονται στο πεδίο της συχνότητας για τον σχεδιασμό του ελεγκτή χρησιμοποιείται η απόκριση συχνότητας και τα διαγράμματα Bode. Προδιαγραφές ελέγχου στο πεδίο της συχνότητας: Μέγιστη τιμή συναρτήσεων L/S/T, bandwidth, phase margin, gain margin. Τυπικές μορφές ελεγκτών: προπορευόμενης/υπολοιπόμενης φάσης, loop shaping. Τοποθετούνται σε διάταξη cascade: πριν το σύστημα. Εφόσον συνήθως εξετάζουμε το γινόμενο L = G ∗ K, τα διαγράμματα Bode εξυπηρετούν εφόσον έχουμε πρόσθεση των αποκρίσεων συχνότητας. 1.8.2 Ελεγκτές Προπορευόμενης Φάσης-Lead Με ελεγκτές Προπορευόμενης Φάσης (ΠΦ), Lead, επιτυγχάνεται σημαντική βελτίωση στην μεταβατική απόκριση και μικρή βελτίωση στην ακρίβεια μόνιμης κατάστασης. Η συνάρτηση μεταφοράς αντισταθμιστή ΠΦ είναι G(s) = Kc Ts + 1 , α<1 αT s + 1 (1.28) Με α = 0, ο αντισταθμιστής ΠΦ γίνεται ο κλασσικός P D. Από το διάγραμμα απόκρισης συχνότητας, 1.17 φαίνεται ότι ο αντισταθμιστής είναι υψιπερατό φίλτρο. 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.10: Εύρος Ζώνης και χρόνος ανύψωσης 1.8.3 Ελεγκτές Υπολειπόμενης Φάσης-Lag Με ελεγκτές Υπολειπόμενης Φάσης (ΥΦ), Lag, επιτυγχάνεται σημαντική βελτίωση στην ακρίβεια μόνιμης κατάστασης και μικρή βελτίωση στην μεταβατική απόκριση. Η συνάρτηση μεταφοράς αντισταθμιστή ΥΦ είναι G(s) = Kc Ts + 1 , α>1 αT s + 1 (1.29) Με α >> 1, ο αντισταθμιστής ΥΦ γίνεται ο κλασσικός P I. Από το διάγραμμα απόκρισης συχνότητας , Σχήμα 1.17 φαίνεται ότι ο αντισταθμιστής ΥΦ είναι βαθυπερατό φίλτρο. 1.8.4 Ελεγκτές Υπολειπόμενης Προπορεύομενης Φάσης-Lead-Lag Με ελεγκτές Υπολειπόμενης-Προπορεύομενης Φάσης (ΥΠΦ), Lag-Lead συνδιάζονται τα χαρακτηριστικά των δύο ελεγκτών ΠΦ, ΥΦ. Ο αντισταθμιστής ΥΠΦ είναι αντίστοιχος με τον κλασσικός P ID. Από το διάγραμμα απόκρισης συχνότητας ο αντισταθμιστής ΥΠΦ στην περιοχή χαμηλών συχνοτήτων δρα ως βαθυπερατό φίλτρο ενω στην περιοχή υψηλών συχνοτήτων δρα ως υψιπερατό φίλτρο. 1.9. ΕΛΕΓΚΤΕΣ LOOP SHAPING 17 Σχήμα 1.11: αριστερα: Οι υπολογισμένες συναρτήσεις μεταφοράς και δεξιά: τα διαγράμματα Bode 1.9 Ελεγκτές Loop Shaping Λέγοντας διαμόρφωση βρόχου (Loop shaping) εννοούμε την διαδικασία σχεδιασμού όπου διαμορφώνεται το μέτρο της συνάρτησης L(s)=K(s)G(s) ανοιχτού βρόχου. Είναι επιθυμητό η τιμή της |L(jω)| να λαμβάνει μέγιστες τιμές εντός της περιοχής συχνότητας εύρους ζώνης (bandwidth). Όμως παράγοντες όπως η ύπαρξη καθυστερήσεων, μηδενιστών στο δεξίο ημιεπίπεδο, περιορισμοί στην δράση ελέγχου και δυναμική σε υψηλές συχνότητες που δεν λαμβάνεται υπόψη στο μοντέλο του συστήματος, αναγκάζουν το κέρδος βρόχου να πάρει τιμές κάτω της μονάδας σε ορισμένες συχνότητες. Κατά το σχεδιασμό ελεγκτών με τη μέθοδο loop shaping, ακολουθείται επαναληπτικά η διαμόρφωση μορφής του |L|, μετά τον υπολογισμό των περιθωρίων φάσης και κέρδους, των μεγίστων των συναρτήσεων κλειστού βρόχου MS , MT και των αποκρίσεων συστήματος κλειστού βρόχου. Η μέθοδος διαμόρφωσης της συνάρτησης εφαρμόζεται δύσκολα σε πολύπλοκα συστήματα. Εναλλακτικά σε τέτοια περίπτωση κάποιος μπορεί να εφαρμόσει την μέθοδο H∞ . Παράδειγμα 1.9.1 Υπολογισμός των συναρτήσεων μεταφοράς κλειστού βρόχου. Δίνεται το σύστημα G(s) = 4 0.004s3 + 0.0396s2 + 0.96s − 1 (1.30) 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.12: Διάγραμμα απόκρισης συχνότητας αντισταθμιστή ΠΦ (αριστερά) και ΥΦ (δεξιά) και ο ελεγκτής P I(s) = 1.875s + 1 1.5s + 1 (1.31) G=tf([4],[0.0004 0.0396 0.96 -1]); % Plant K = tf([1.875 1],[1.5 0]); % PI-controller L = G*K; % Loop Gain S = 1/(1+L); % Sensitivity T = 1-S; % Complementary Sensitivity Διάγραμμα Bode για συναρτήσεις μεταφοράς κλειστού βρόχου L,S, T δίνεται στο Σχήμα 1.13. Θεωρούμε ως ω c τη συχνότητα που έχουμε |L| = 1 και ως ω 180 τη συχνότητα που έχουμε ̸ L= −1800 . Ο σχεδιασμός της L(s) είναι κρίσιμος και δυσκολότερος στην περιοχή crossover, δηλαδή μεταξύ ω c και ω 180 . Για ευστάθεια, είναι επιθυμητό να υπάρχει κέρδος βρόχου μικρότερο από 1 στη συχνότητα ω c , δηλαδή |L(jω180 ) | < 1. Ο ρυθμός μείωσης της |L| είναι κλίση συνήθως −1 ή −20dB/decade. Στις υψηλές συχνότητες, η κλίση λέγεται roll-oﬀ rate. Γενικά είναι επιθυμητό να υπάρχει κλίση −1 στην περιοχή crossover, ω c , και κλίση −2 πέρα από αυτή την περιοχή. Παράδειγμα 1.9.2 Παράδειγμα Loop Shaping Θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 3(−2s + 1) (5s + 1)(10s + 1) (1.32) Σκοπός είναι ο σχεδιασμός ελεγκτή με μεθόδους κλασσικού ελέγχου. Είναι επιθυμητές οι παρακάτω προδιαγραφές, για το (τελικό) σύστημα κλειστού βρόχου. 1. Σφάλμα μόνιμης κατάστασης ίσο με μηδέν 1.9. ΕΛΕΓΚΤΕΣ LOOP SHAPING 19 Σχήμα 1.13: Bode για συναρτήσεις μεταφοράς κλειστού βρόχου L,S,T 2. Χρόνος ανύψωσης (rise time) ίσος με 5 sec. 3. Υπερακόντιση (overshoot) ίση με 20 % 4. Περιθώριο κέρδους GM > 2 και Περιθώριο φάσης PM > 300 Θα σχεδιαστεί ελεγκτής με την μέθοδο Loop shaping, για τη συνάρτηση μεταφοράς G(s). Η μορφή του ελεγκτή είναι K(s) = Kc (10s + 1)(5s + 1) , Kc = 0.05 s(2s + 1)(0.33s + 1) (1.33) Το κέρδος Kc επιλέγεται έτσι ώστε να έχουμε αποδεκτό περιθώριο κέρδους και φάσης. Η κλίση της |L| είναι −1 μέχρι τα 3 rad/s, όπου και αλλάζει σε −2. Η ω c = 0.15rad/s και η ω 180 = 0.43rad/s. Ο ελεγκτής έχει μηδενιστές στα σημεία των πόλων του συστήματος. Αυτό γίνεται σκόπιμα, εφόσον θέλουμε συγκεκριμένη διαμόρφωση της L πριν από την συχνότητα ω c . Το Σχήμα 1.14 δείχνει τις L,S,T. Από το διάγραμμα Bode παρατηρούμε περιθώριο κέρδους: 2.92, περιθώριο φάσης: 540 . Οι μέγιστες τιμές των συναρτήσεων κλειστού βρόχου S, T είναι 1.75 και 1.11 αντίστοιχα. Το Σχήμα 1.15 παρουσιάζει την απόκριση κλειστού βροχου σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας. Η απόκριση είναι πολύ βελτιωμένη σε σχέση με έναν ελεγκτή PI. Στο διάγραμμα του MATLAB, με δεξί κλίκ επιλέγουμε Characteristics και Peak Response, Rise Time, Steady State, για γραφική απεικόνιση. Τέλος, το σύστημα κλειστού βρόχου στο Simulink φαίνεται στο Σχήμα 1.16. 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.14: L,S,T 1.9.1 Ελεγκτής PI Εισάγουμε αναλογικό-ολοκληρωτικό ελεγκτή, PI. Η μορφή του ελεγκτή είναι K(s) = Kc (1 + 1 ) τi s (1.34) Οι τιμές των παραμέτρων Kc , τi μπορούν να προσδιοριστούν με χρήση των κανόνων των Ziegler, Nichols: Kc = Ku /2.2, τi = Pu /1.2 (1.35) όπου Kc είναι το απόλυτο κέρδος που για αυτήν την τιμή το σύστημα παρουσιάζει ταλάντωση με περίοδο Pu . Στην περίπτωσή μας είναι Ku = 2.5 και Pu = 15.2 s. Οπότε και οι τιμές του ελεγκτή γίνονται Kc = 1.14 και τ u = 12.7 s. Ελεγκτής PI-εντολές MATLAB. g=tf(3*[-2 1],[conv([5 1],[10 1])]) % Plant \% PI controller kc=1.136 ti=12.7 k=tf([kc*ti kc], [ti 0]) \% Loop shaping controller L=series(g,k) \% loop transfer function T=feedback(L,1)\% complement. sens. function S=1-T \% sensitivity function 1.9. ΕΛΕΓΚΤΕΣ LOOP SHAPING 21 Σχήμα 1.15: Aπόκριση κλειστού βρόχου σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας Σχήμα 1.16: Σύστημα κλειστού βρόχου στο Simulink Η απόκριση σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας, για διάφορες τιμές Kc φαινεται στο Σχήμα ??. Το σύστημα είναι ασταθές για τιμές κέρδους μεγαλύτερες από 2.5. Απόλυτο κέρδος: για αυτήν την τιμή το σύστημα παρουσιάζει ταλάντωση με περίοδο Pu = 15.2 s, που αντιστοιχεί σε συχνότητα ω u = 2π/Pu = 0.42 rad/s. Παρατηρούμε ότι η απόκριση λόγω του μηδενιστή αρχικά είναι αρνητική, όμως γρήγορα ανέρχεται και έχει τιμή y(t)= 0.9 σε χρόνο 8 sec, (rise time). Η απόκριση είναι ταλαντωτική και δεν καταλήγει στο 5% της τελικής τιμής παρά μόνον μετά από 77 sec, (settling time). Η υπερακόντιση (overshoot), είναι περίπου 62 %. Οι αποκρίσεις συχνότητας L(s), S(s), T(s), για τον ελεγκτή PI φαίνονται στο Σχήμα 1.18. Για τον ελεγκτη L, tο Περιθώριο κέρδους είναι GM = 1.64 (0.338 rad/s) και το Περιθώριο φάσης είναι P M = 19.4deg (0.236 rad/s). Οι τιμές των περιθωρίων παραμένουν 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.17: Διάγραμμα απόκρισης συχνότητας αντισταθμιστή ΠΦ (αριστερά) και ΥΦ (δεξιά) Σχήμα 1.18: Αποκρίσεις συχνότητας L(s), S(s), T(s), για τον ελεγκτή PI πολύ μικρές σύμφωνα με τις αποδεκτές τιμές. Οι μέγιστες τιμές των συναρτήσεων S(s), T(s) είναι 3.92 και 3.35 αντίστοιχα, που είναι υψηλές σε σχέση με τις συνήθεις τιμές σχεδιασμού. Οι αποδεκτές μέγιστες τιμές για την MS είναι μικρότερο από 2 (6 dB) και για την MT είναι μικρότερο από 1.25 (2dB). Μεγάλες τιμές για τις MS , MT (περίπου μεγαλύτερες από 4) δείχνουν μέτρια επίδοση και μικρή ανοχή σε μεταβολές παραμέτρων συστήματος (robustness). Ο λόγος που είναι επιθυμητό να περιορίζουμε την τιμή MS είναι ο εξής. Στην περίπτωση χωρίς έλεγχο (u=0), έχουμε για το σφάλμα e = y − r = Gd d − r, όπου r το σήμα αναφοράς και Gd η συνάρτηση μεταφοράς της διαταραχής d. Στην περίπτωση με έλεγχο ισχύει e = S(Gd d−r). Έτσι το σύστημα ελέγχου με κλειστό βρόχο βελτιώνει την επίδοση μειώνοντας το σφάλμα, στην περιοχή συχνοτήτων όπου είναι | S | < 1. GM ≥ 1 MS ; PM ≥ , [rad] MS − 1 MS (1.36) 1.10. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΧΡΟΝΟΥ - ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ GM ≥ 1 + 1 1 ; PM ≥ , [rad] MT MT 23 (1.37) 1.10 Κριτήρια Χρόνου - Απόκρισης Συχνότητας Οι παράμετροι περιθώριο κέρδους GM και περιθώριο φάσης P M , σχετίζονται με την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Με εύκολο τρόπο τα περιθώρια βρίσκονται στα διαγράμματα κέρδους-φάσης απόκρισης συχνότητας (Bode). Το περιθώριο φάσης P M ορίζεται με αναφορά στην συχνότητα όπου το κέρδος είναι μονάδα ή 0dB και το περιθώριο κέρδους GM ορίζεται με αναφορά στην συχνότητα όπου η φάση είναι −1800 . Το μέγεθος crossover frequency, ωCO , αναφέρεται στην συχνότητα όπου το κέρδος είναι μονάδα ή 0dB. Τα περιθώρια σχετίζονται με τις προδιαγραφές του συστήματος κλειστού βρόχου. Παρουσιάζει έτσι ενδιαφέρον να συσχετίσουμε τα περιθώρια κέρδους και φάσης με άλλες παραμέτρους που σχετίζονται με την ευστάθεια. Θεωρούμε σύστημα ανοιχτού βρόχου δεύτερης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = ωn2 s(s + 2ζωn ) (1.38) με ζ τον λόγο απόσβεσης και ωn τη φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση. Με μοναδιαία ανατροφοδότηση, το σύστημα κλειστού βρόχου γίνεται F (s) = s2 ωn2 + 2ζωn s + ωn2 (1.39) Το περιθώριο φάσης (P M ) σε συνάρτηση με την απόσβεση δίνεται από τη σχέση 2ζ P M = tan−1 ( √√ ) 1 + 4ζ 4 − 2ζ 2 (1.40) Η μεταβολή της απόσβεσης με το περιθώριο φάσης φαίνεται στο Σχήμα 1.19. Παρατηρούμε ότι για τιμή μέχρι 600 , το ζ μεταβάλεται γραμμικά. Η διακεκομμένη γραμμή περιγράφεται από την προσεγγιστική σχέση, για P M < 700 PM (1.41) 100 Για σύστημα δεύτερης τάξης, λαμβάνοντας υπόψη το μέτρο Mr στην απόκριση συχνότητας, μπορούμε να μετατρέψουμε το Σχήμα, ώστε να συσχετίσουμε το Mr με το P M . Το Σχήμα 1.19 δείχνει σε συνάρτηση με το P M τη μεταβολή του Mr καθώς επίσης και την μεταβολή της υπερακόντισης Mp σε είσοδο βαθμίδας. Δίνεται έτσι ένας ακόμη τρόπος εκτίμησης προδιαγραφών που βασίζονται στο P M . Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου τα περιθώρια κέρδους και φάσης δεν οδηγούν σε ικανοποιητική λύση σε ότι αφορά το σχεδιασμό του συστήματος ελέγχου. Στα συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης, η φάση δεν τέμνει τις −1800 , έτσι το GM είναι πάντα άπειρο και δεν αποτελεί χρήσιμη παράμετρο σχεδιασμού. Σε συστήματα υψηλότερης τάξης, μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία συχνότητες όπου έχουμε |KG(jω)| = 1 ή ̸ KG(jω) = −1800 . ζ≈ 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.19: Αριστερά: Η μεταβολή της απόσβεσης με το περιθώριο φάσης. Δεξιά: Συνάρτηση P M με τη μεταβολή του Mr και μεταβολή της υπερακόντισης Mp σε είσοδο βαθμίδας 1.10.1 Χαρακτηριστικά χρόνου-συχνότητας συστήματος 2ης τάξης Συνοπτικά χαρακτηριστικά χρόνου-συχνότητας συστήματος 2ης τάξης φαίνονται στο Σχημα 1.20. Παράδειγμα 1.10.1 Παράδειγμα υπολογισμού ελεγκτή Θεωρούμε σύστημα τρίτης τάξης τοποθετημένο σε σειρά με ελεγκτή κέρδους K. Σκοπός είναι η επιλογή του K, ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει αποδεκτή χρονική απόκριση σε βηματική είσοδο. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι G(s) = 1 s(s + 1)(s + 2) (1.42) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι αντίστοιχα T (s) = K s(s + 1)(s + 2) + K (1.43) Ο αλγόριθμος υπολογισμού ελεγκτή, χαρακτηριστικά χρόνου-συχνότητας φαίνεται στο Σχήμα 1.21. Η αρχική εκτίμηση για το K είναι K = 2. Από το διάγραμμα Bode υπολογίζονται οι τιμές Mpω , ωr και κατόπιν οι τιμές ζ, ωn . Από την απόσβεση και φυσική συχνότητα υπολογίζονατι οι τιμές χρόνου αποκατάστασης Ts και υπερακόντισης P O. Για την τιμή του K προκύπτει ότι ζ = 0.29, ωn = 0.88. Έτσι είναι Ts = 15.7sec, P O = 37%. 1.11 Δομές στα Συστήματα Ελέγχου Δύο είναι οι βασικές δομές (διατάξεις) συστημάτων ελέγχου με κλειστό βρόχο: με πίσω-τροφοδότηση του σήματος μέτρησης ή πρόσω-τροφοδότηση. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις στην πράξη που συναντάται και η περιπτώση συνδιασμού των δύο. 1.11. ΔΟΜΕΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 25 Σχήμα 1.20: Χαρακτηριστικά χρόνου-συχνότητας συστήματος 2ης τάξης 1.11.1 Συστήματα Ελέγχου-Πίσω-τροφοδότηση Διατάξεις με πίσω-τροφοδότηση (feedback) αποτελούν την κλασσική περίπτωση ελέγχου, όπου ο ελεγκτής (Controller) βρίσκεται τοποθετημένος σε σειρά με την εγκατάσταση (System) και το σήμα από την μέτρηση της εξόδου (απόκριση) ανατροφοδοτεί με αρνητικό πρόσημο το βρόχο ελέγχου. Η διαφορά της τιμής αναφοράς με την μέτρηση της εξόδου αποτελεί το σφάλμα, με το οποίο τροφοδοτείται ο ελεγκτής. Στο Σχήμα 1.22 φαίνεται η Πίσω-τροφοδότηση σε σύστημα ελέγχου. 1.11.2 Συστήματα Ελέγχου-Πρόσω-τροφοδότηση Στην περίπτωση με πρόσω-τροφοδότηση (feedforward), η διαταραχή προκαλεί την απευθείας επέμβαση (ρύθμιση) στο σύστημα, μέσω του ελεγκτή Cf . Συνήθως υπάρχει για να αντισταθμίσει διαταραχές που εισέρχονται στο σύστημα, με πιο γρήγορο αποτέλεσμα από ότι με την κλασσική πίσω-τροφοδότηση. Στο Σχήμα 1.23 φαίνεται συνδυασμός συστήματος με πίσω/πρόσω-τροφοδότηση. 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 1.21: Αλγόριθμος υπολογισμού ελεγκτή, χαρακτηριστικά χρόνου-συχνότητας Σχήμα 1.22: Πίσω-τροφοδότηση 1.12 Αβεβαιότητα Μοντέλου Τα συστήματα ελέγχου περιλαμβάνουν ελεγκτές που βασίζονται σε αναγκαστικά ημιτελή πληροφορία για την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η πληροφορία (το μοντέλο) έχει την μορφή ΔΕ ή ενός κέρδους και χρόνου αποκατάστασης. Η ακρίβεια του μοντέλου ποικίλει αλλά δεν είναι ποτέ τέλεια. Επιπλέον η συμπεριφορά της εγκατάστασης αλλάζει με την πάροδο του χρόνου αλλά οι αλλαγές αυτές συνήθως δεν περιλαμβάνονται στα μοντέλα. Είναι επιθυμητό ο ελεγκτής να είναι αναίσθητος σε αυτά τα είδη αβεβαιότητας μοντέλου (model uncertainty), δηλαδή ο ελεγκτής πρέπει να είναι εύρωστος (robust). Παρόλο που η ευρωστία ως αντικείμενο σχεδιασμού στα συστήματα ελέγχου είναι πρακτική και λογική, απουσιάζει από την σχετική βιβλιογραφία από το 1960 μέχρι το 1980. Πιθανόν να είναι ένας από τους λόγους που οι τεχνικές σχεδιασμού ελεγκτών αυτής της περιόδου δεν είχαν επίδραση στις βιομηχανικές εφαρμογές. 1.13. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 27 Σχήμα 1.23: Συνδυασμός συστήματος με πίσω/πρόσω-τροφοδότηση 1.12.1 Οι Στόχοι για τα Συστήματα Ελέγχου Θεωρούμε εγκατάσταση με nominal model. 4 είναι οι βασικοί στόχοι κατά τον σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου κλειστού βρόχου, μέσω ελεγκτή K: Nominal Performance (NP): Θα πρέπει να ισχύουν οι προδιαγραφές επιδόσεων για την εγκατάσταση με nominal model. Nominal Stability (NS): Για τον ελεγκτή πρέπει το σύστημα να παραμένει ευσταθές για την εγκατάσταση με nominal model. Robust Stability (RS): Για τον ελεγκτή πρέπει το σύστημα να παραμένει ευσταθές για όλες τις εγκαταστάσεις (plants) που ανήκουν στο σύνολο της αβεβαιότητας (uncertainty set). Robust Performance (RP): Στη περίπτωση που ισχύει η RS, θα πρέπει να ισχύουν οι προδιαγραφές επιδόσεων για όλες τις εγκαταστάσεις που ανήκουν στο σύνολο της αβεβαιότητας. 1.13 Αναφορές 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Βιβλιογραφία [1] Κρικέλης Ν., Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Συμμετρία, 2000. [2] Franklin, G., Powel, D., Enami-Naeimi, A., Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley Longman, 5th edition, 2005. [3] Dorf, R., Bishop, R., Modern Control Systems, Prentice-Hall, 2001. [4] Ogata, K., Modern Control Engineering (3rd Edition), Prentice Hall, 1997. 29