ΟΙ ∆ΥΣΚΟΛΙΕΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΤΟΥ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ελένη ∆ηµητριάδου ∆ρ. ∆ιδακτικής Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης ∆ωδώνης 65- 67, 45221 Ιωάννινα e-mail: ledimitr@hotmail.com Κωνσταντίνος Τζανάκης Παιδαγωγικό Τµήµα ∆.Ε. Πανεπιστήµιο Κρήτης, 74 100 Ρέθυµνο e-mail: tzanakis@edc.uoc.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Oι σύγχρονες τάσεις στη διδασκαλία των µαθηµατικών στοχεύουν σε ένα µοντέλο καθηγητή, διαφορετικό από το παραδοσιακό. Bάσει του µοντέλου αυτού, καθηγητής και µαθητές αποτελούν µια κοινωνία σε αλληλεπίδραση, η οποία µοιράζεται την µαθηµατική γνώση. Μέσα στην τάξη δηµιουργείται ένα κλίµα αµοιβαίας εµπιστοσύνης, όπου οι µαθητές δηµιουργούν µαθηµατικά, εξερευνώντας τις µαθηµατικές καταστάσεις που προτείνονται από τον καθηγητή, µέσα από την ελεύθερη έκφραση και τον διάλογο. Αυτό το κλίµα, όπου τα παιδιά εκφράζουν ελεύθερα τη σκέψη τους και ανταλλάσσουν απόψεις µε τους συµµαθητές τους, επιτρέπει στον ερευνητή να µελετήσει τον τρόπο µε τον οποίο προσεγγίζουν τις έννοιες, να γνωρίσει σε βάθος τις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισµό τους, και όπου είναι δυνατόν να τις ερµηνεύσει. Με βάση τις ανωτέρω παιδαγωγικές αρχές και ειδικότερα, τις θεωρίες των διδακτικών καταστάσεων του Brousseau, της “διαλεκτικής εργαλείου- αντικειµένου” και “αλλαγής πλαισίων” της Douady, και το παιδαγωγικό µοντέλο της οµάδας των κοινωνικών κονστρουκτιβιστών, επιχειρήσαµε µια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση στοιχειωδών διανυσµατικών εννοιών σε µαθητές Γ΄ γυµνασίου, η οποία στηρίζεται σε δραστηριότητες και καταστάσεις από τη φυσική και τη γεωµετρία. Το περιβάλλον που δηµιουργήθηκε µέσα στην τάξη βοήθησε τους µαθητές να µετάσχουν στην ανακάλυψη της διανυσµατικής γλώσσας και ως ένα σηµείο στην κατασκευή της, και συγχρόνως να ξεπεράσουν µερικές από τις λανθασµένες αντιλήψεις τους. Από την άλλη µεριά, η προσέγγιση αυτή µας επέτρεψε να µελετήσουµε τον τρόπο που τα παιδιά προσεγγίζουν το συµβολικό σύστηµα της διανυσµατικής γλώσσας, και ιδιαίτερα τις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισµό της. Στην παρούσα εισήγηση, παρουσιάζουµε τις κυριότερες δυσκολίες και παρανοήσεις που εµφάνισαν οι µαθητές και επιχειρούµε την ταξινόµηση και ερµηνεία τους βάσει των ιδεών του Vygotsky και της Booth για την σχέση ανάµεσα στην εξέλιξη της γλώσσας και στην ανάπτυξη της νόησης. 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι σύγχρονες τάσεις µεταρρύθµισης της διδασκαλίας των µαθηµατικών επικεντρώνονται στο να δηµιουργήσουν µαθηµατικές εµπειρίες στα παιδιά ριζικά αντίθετες από τις παραδοσιακές, που βασιζόταν στην αυθεντία του δασκάλου και του σχολικού εγχειριδίου. Το ζητούµενο είναι η ενεργός συµµετοχή των µαθητών στην εξερεύνηση των µαθηµατικών καταστάσεων, µέσω των οποίων δηµιουργούν µαθηµατικά µε το να ανταλλάσσουν ιδέες, να τις διαπραγµατεύονται, και να αξιολογούν τις ιδέες των συµµαθητών τους (NCΤM 1989, 1991). Ένα τέτοιο κλίµα επιτρέπει στον ερευνητή και στο δάσκαλο να µελετήσει τον τρόπο που τα παιδιά προσεγγίζουν τις έννοιες, να γνωρίσει σε βάθος τις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισµό τους, και όπου είναι δυνατόν να τις ερµηνεύσει. Στηριζόµενοι στις παραπάνω παιδαγωγικές αρχές επιχειρήσαµε µια διδακτική προσέγγιση του διανυσµατικού λογισµού στο Γυµνάσιο, µε κύριους στόχους: (α) Την καταγραφή, ταξινόµηση και ερµηνεία των δυνατοτήτων και των δυσκολιών στην κατανόηση στοιχειωδών διανυσµατικών εννοιών και πράξεων. (β) Την αξιολόγηση της διδακτικής µας προσέγγισης, µέσω της σύγκρισης µε κατάλληλη οµάδα ελέγχου µαθητών που διδάχθηκαν µε τον συµβατικό τρόπο, αλλά και µε βάση την εξέλιξη της πειραµατικής οµάδας των µαθητών· ειδικότερα δε, την υπέρβαση των υπαρχουσών δυσκολιών και την τελική παγίωση µαθηµατικά ορθών αντιλήψεων των µαθητών για τις βασικές διανυσµατικές έννοιες και πράξεις, που να τους επιτρέπουν να τις χρησιµοποιούν επιτυχώς σε συγκεκριµένες καταστάσεις από την γεωµετρία και την φυσική. Στην εργασία αυτή, παρουσιάζουµε ένα τµήµα µόνο της έρευνάς µας που αφορά στον πρώτο στόχο, και πιο συγκεκριµένα, στις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στην κατανόηση της γλώσσας του διανυσµατικού λογισµού και στην προσπάθεια ερµηνείας αυτών των δυσκολιών, µε τη βοήθεια θεωρητικών γλωσσολογικών προσεγγίσεων. 2. ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΕΣ ΟΨΕΙΣ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑΣ Η έρευνά µας περιλαµβάνει µια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών διανυσµατικών εννοιών και πράξεων σε µαθητές Γ΄ Γυµνασίου, κατά το σχολικό έτος 1998-1999. Η προσέγγιση αυτή χρησιµοποιεί καταστάσεις από τη φυσική και τη γεωµετρία και στηρίζεται στη συνεργασία και αλληλεπίδραση των µαθητών µέσα στην τάξη. Η πειραµατική διδασκαλία απευθύνθηκε σε 58 µαθητές που αποτέλεσαν την πειραµατική οµάδα (Π.Ο.), ενώ µια άλλη οµάδα από 53 µαθητές χρησιµοποιήθηκε ως οµάδα ελέγχου (Ο.Ε.), στην οποία τα αντίστοιχα θέµατα διδάχθηκαν µε βάση το ισχύον διδακτικό εγχειρίδιο. Οι µαθητές και των δύο οµάδων είχαν διδαχθεί στο µάθηµα της φυσικής τις αντίστοιχες ενότητες της δυναµικής και κινηµατικής, στις οποίες τα διανύσµατα και οι πράξεις τους εµφανίζονται µέσω των φυσικών εννοιών της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της δύναµης, χωρίς όµως στόχο την έννοια του διανύσµατος και τις αντίστοιχες πράξεις στην γενική τους µορφή. Για την πειραµατική διδασκαλία δαπανήθηκαν 14 διδακτικές ώρες κατά το σχολικό έτος 1998-99. Στους µαθητές δόθηκαν φύλλα εργασίας, ενώ η παρατήρηση της τάξης έγινε µε τη µαγνητοφώνηση των µαθηµάτων και µε παράλληλη χρήση ηµερολογίων από µαθητές. Τέλος για την αξιολόγηση της διδασκαλίας (βλ. στόχο (β) στην §1), χρησιµοποιήθηκαν τρία τεστ, ένα προ-τεστ πριν την έναρξη της διδασκαλίας, ένα µετά-τεστ, αµέσως µετά το τέλος της και ένα τελικό τεστ 3 µήνες µετά το µετά-τεστ. Για τον σχεδιασµό και την εφαρµογή της διδασκαλίας στηριχθήκαµε σε ορισµένες θεωρητικές παιδαγωγικές προσεγγίσεις, προσαρµοσµένες στις δικές µας ανάγκες (∆ηµητριάδου 2002, Κεφ.3.Β). Πρόκειται για το µοντέλο των διδακτικών καταστάσεων του Brousseau (1986, 1997), τη “διαλεκτική 2 εργαλείου- αντικειµένου” και την “αλλαγή των πλαισίων” της Douady (1991), και το παιδαγωγικό µοντέλο της οµάδας των κοινωνικών κονστρουκτιβιστών (βλ. Cobb 1989, Yackel et al. 1990, Cobb et al. 1992, Yackel & Cobb 1996). Η διδακτική πρακτική την οποία ακολουθήσαµε µας έδωσε το πλεονέκτηµα να παρατηρήσουµε τις δυσκολίες και παρανοήσεις που συνδέονται µε τις έννοιες αυτές. Ο (στοιχειώδης) διανυσµατικός λογισµός αντιµετωπίστηκε ως µια νέα γλώσσα των µαθηµατικών, την οποία έπρεπε οι µαθητές να γνωρίσουν, µετέχοντας ενεργά στη διαδικασία απόκτησης γνώσεων. Η βασική µας αρχή ήταν ότι η διαδικασία της διδασκαλίας αφορά σε δύο συγκεκριµένα θέµατα: την ανάδυση του υπό διδασκαλία θέµατος και την θεσµοθέτηση του, δηλαδή την αποδοχή του από την πλειοψηφία. Εκφράζονται διάφορες απόψεις, αλλά είναι σηµαντικό να γίνουν ερωτήσεις του τύπου: «εσείς ποιο λέτε να διαλέξουµε;». Αυτό δηµιουργεί το κατάλληλο κλίµα για να σχηµατιστεί µια άποψη της πλειοψηφίας. Με βάση αυτές τις παιδαγωγικές αρχές σε περιπτώσεις που αφορούν σε έννοιες, σύµβολα, παραστάσεις και πράξεις, οι προτάσεις γίνονται από τους µαθητές και αφού συζητηθούν µέσα στην κοινότητα της τάξης, απορρίπτονται ή γίνονται δεκτές, από την πλειοψηφία των µαθητών. Στους µαθητές παρουσιάστηκαν καταστάσεις και νοητικά, ή, πραγµατικά πειράµατα, τα οποία στην πλειοψηφία τους αφορούσαν σε έννοιες της φυσικής και της γεωµετρίας. Μέσα από τις καταστάσεις αυτές προσπαθήσαµε να εδραιώσουµε µια διαλεκτική σχέση µεταξύ του διανύσµατος ως αντικειµένου µελέτης και του διανύσµατος ως εργαλείου για την µελέτη άλλων αντικειµένων, ώστε οι µαθητές να κατανοήσουν σφαιρικά την έννοια, ανεξάρτητα από τα διαφορετικά πλαίσια παρουσίασής της. Οι µαθητές πρότειναν σύµβολα και παραστάσεις, συζήτησαν, ή “ανακάλυψαν” µέσα από τις ανάγκες που δηµιουργήθηκαν, τις διανυσµατικές έννοιες και τις πράξεις και συµφώνησαν, ή διαφώνησαν για την εγκυρότητα των επιχειρηµάτων τους. Ο ρόλος µας τις περισσότερες φορές περιορίστηκε στην παρουσίαση των καταστάσεων, στη διευκόλυνση της συζήτησης και στην επίσηµη θεσµοθέτηση των αποτελεσµάτων. 3. ΓΛΩΣΣΟΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ O διανυσµατικός λογισµός αποτελεί µια γλώσσα των µαθηµατικών, που εξετάζει τις διανυσµατικές έννοιες ως µαθηµατικά αντικείµενα, δηλαδή το εννοιολογικό τους περιεχόµενο, το συµβολισµό τους, τη γεωµετρική τους παράσταση και τις πράξεις τους. Για να ερµηνεύσουµε τη συµπεριφορά των µαθητών ως προς τη χρήση και κατανόηση της διανυσµατικής γλώσσας, στηριχθήκαµε σε µελέτες που αφορούν στη σχέση ανάµεσα στην εξέλιξη της γλώσσας και στην ανάπτυξη της νόησης. Ειδικότερα, στηριχθήκαµε στο έργο του Vygotsky (1993) και στις απόψεις της Donaldson (1995), όπως αυτές ερµηνεύτηκαν από την Booth (1981), προσαρµόζοντάς τις στα µαθηµατικά (βλ. ∆ηµητριάδου 2002, Κεφ.3.Γ). 3.1. Η γενετική προσέγγιση του Vygotsky για τη νόηση και τη γλώσσα Μια βασική αρχή της γενετική θεωρίας του Vygotsky, είναι ότι η γλώσσα και η σκέψη βρίσκονται σε µια διαλεκτική σχέση, όπου οι λέξεις είναι µέσον για το σχηµατισµό µιας έννοιας. Η σηµασία1 µιας λέξης εξελίσσεται κατά την ανάπτυξη του παιδιού. Αυτή η εξέλιξη επιτρέπει στο µικρό παιδί να µεταβεί από το στάδιο των αισθητηριακών αντιλήψεων, στο σχηµατισµό των εννοιών κατά την εφηβεία, δηλαδή, να φτάσει στη συνειδητοποίηση της διαφοράς ανάµεσα στη σηµασία της λέξης και στο αντικείµενο στο οποίο αναφέρεται (Παπαµιχαήλ 1988, σ.142). Εδώ πρέπει να τονίσουµε ότι η ‘γλώσσα’ δεν είναι µόνο ένα όργανο έκφρασης ανεξάρτητο από το εκφραζόµενο αντικείµενο, δηλαδή, όργανο έκφρασης ήδη πλήρως σχηµατισµένων εννοιών, αλλά, εν µέρει καθορίζει αυτό τούτο το αντικείµενο που εκφράζει (ονοµάζει). Εποµένως, η γλώσσα χαρακτηρίζεται, αφ’ ενός από τη σηµασιοδοτική της λειτουργία και αφ’ ετέρου από την ονοµαστική - δηλωτική λειτουργία 1 Με τον όρο «σηµασία της λέξης» νοείται η σηµασία της έκφρασης στην κυριολεξία, η οποία διακρίνεται από την αναφορά της σε κάποιο αντικείµενο ως διακριτικό του, δηλαδή την εµπράγµατη αναφορά της. 3 (εµπράγµατη αναφορά) µε την οποία η γλώσσα παραπέµπει στο αντικείµενο. Αυτή η εµπράγµατη αναφορά εκφράζεται πολύ πιο έντονα στα παιδιά, από ότι στους ενηλίκους, εφόσον για το παιδί η λέξη «είναι ασύγκριτα στενότερα συνδεδεµένη µε το αντικείµενο» (Vygotsky 1993, σ. 377). Στη βαθµίδα ανάπτυξης των εννοιών, που µεσολαβεί ανάµεσα στις αισθητήριες αντιλήψεις του µικρού παιδιού και στην ανώτατη µορφή της σκέψης, την εννοιολογική, η νόηση βασίζεται σε συµπλέγµατα. Πρόκειται για συνενώσεις οµοειδών µεµονωµένων αντικειµένων, που δεν βασίζονται σε αφηρηµένες και λογικές σχέσεις, αλλά στις πραγµατικές αντικειµενικές τους σχέσεις που ανακαλύπτονται από το ίδιο το παιδί µέσα στα πράγµατα. Βρίσκονται στο επίπεδο της εποπτικής, συγκεκριµένης - εµπράγµατης σκέψης, της συµπλεκτικής σκέψης. Συνέπεια της συµπλεκτικής σκέψης στο παιδί είναι το γεγονός, ότι επικεντρώνεται κυρίως στο πιο πρωτογενές σκέλος των λέξεων και συµβόλων, στην εµπράγµατη αναφορά τους, µε αποτέλεσµα να συνδέει έννοιες, όρους, πράξεις, ή σύµβολα µε συγκεκριµένες καταστάσεις, ή αντικείµενα και να µη βλέπει τη γενική τους σηµασία και εφαρµογή. Χαρακτηριστικές συµπεριφορές είναι η δηµιουργία λογικά αδύνατων σχέσεων, η απόδοση διαφορετικών, ή, αντίθετων σηµασιών στην ίδια λέξη σε διαφορετικές περιστάσεις, και εν γένει, η δυσκολία αντιµετώπισης της έννοιας στην αφηρηµένη και γενική µορφή της, ανεξάρτητα από τις πραγµατικές καταστάσεις που εξετάζονται. Ένα πολύ σηµαντικό συµπέρασµα για την συµπεριφορά του εφήβου είναι, ότι αν και το παιδί φτάνει στην εννοιολογική σκέψη µόνο στην εφηβεία, αυτό δεν σηµαίνει ότι ο έφηβος αποχωρίζεται τη συµπλεκτική σκέψη. Τα πειράµατα του Vygotsky κατέληξαν στο ότι η σκέψη των εφήβων διέπεται από τα παρακάτω ιδιόµορφα στοιχεία: 1. «Ο έφηβος χρησιµοποιεί µια έννοια σε µια εποπτική κατάσταση» (Vygotsky 1993, σ. 199). Αυτό δηµιουργεί δυσκολίες στο να εφαρµοστεί µια έννοια που είναι ήδη κατάλληλα επεξεργασµένη για ορισµένες καταστάσεις, σε άλλες συγκεκριµένες καταστάσεις. 2. Η µεγαλύτερη δυσκολία του εφήβου είναι να µεταβιβάσει τη σηµασία «µιας επεξεργασµένης έννοιας, σε καινούργιες συγκεκριµένες καταστάσεις,, που να τις σκέφτεται επίσης σε αφηρηµένο επίπεδο» (Vygotsky 1993, σ. 200). Στην περίπτωση αυτή, η µετάβαση από το αφηρηµένο στο συγκεκριµένο, αποδεικνύεται εξίσου δύσκολη µε την µετάβαση από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο. 3. Αν και ο έφηβος χρησιµοποιεί αφηρηµένες λέξεις, σκέφτεται το αντίστοιχο αντικείµενο µε εξαιρετικά συγκεκριµένο τρόπο. Ένα άλλο θέµα που σχετίζεται µε την έρευνά µας είναι η ανάπτυξη των επιστηµονικών εννοιών στην παιδική ηλικία. Ο Vygotsky κάνει ένα διαχωρισµό ανάµεσα στις αυθόρµητες, ή καθηµερινές έννοιες που προσφέρονται από το οικογενειακό περιβάλλον, και στις επιστηµονικές έννοιες, οι οποίες σχηµατίζονται στο σχολικό περιβάλλον. Η ισχύς µιας αυθόρµητης έννοιας δυσκολεύει το παιδί να αποσυνδέσει τη λέξη από τη σηµασία που περιστασιακά έχει τούτη και να αντιµετωπίσει την έννοια στην αφηρηµένη της µορφή. Αυτό οφείλεται στο ότι, η καθηµερινή έννοια δηµιουργείται µε άµεση σύγκρουση του παιδιού µε πραγµατικά αντικείµενα, και µόνο µετά από µακρά εξέλιξη συνειδητοποιείται η έννοια στην αφηρηµένη µορφή της. Οι δύο αυτές έννοιες βρίσκονται στο παιδί περίπου στο ίδιο επίπεδο, και µάλιστα, το παιδί δεν είναι σε θέση να διαφοροποιήσει τις έννοιες που απέκτησε στο οικείο του περιβάλλον, από αυτές που απέκτησε στο σχολείο. 3.2. Η αναφορική γλώσσα και η ανάπτυξη διαφοροποιηµένων στρατηγικών Μια άλλη θεώρηση, καταλήγει στο συµπέρασµα ότι υπάρχει διαφορά ανάµεσα στην τυπική γλώσσα που χρησιµοποιείται από τον εκπαιδευτικό και σε µια πιο πρωτογενή γλώσσα που αναφέρεται σε πραγµατικές καταστάσεις και χρησιµοποιείται από τους µαθητές (Donaldson, 1995). 4 Η Booth (1981) ονοµάζει αυτή την τελευταία µορφή γλώσσας, «αναφορική», ή, «εξαρτώµενη από τα συµφραζόµενα»2. Το παιδί που χρησιµοποιεί µια γλώσσα συνδεδεµένη µε αναφορές σε πραγµατικές καταστάσεις, παρακάµπτει τις φορµαλιστικές µεθόδους των µαθηµατικών που διδάσκεται, και σε κάθε νέο πρόβληµα αναπτύσσει από την αρχή δικές του πρωτόγονες και διαισθητικές τεχνικές που να ταιριάζουν στη νέα συγκεκριµένη κατάσταση. Ουσιαστικά υπάρχουν δύο συστήµατα µαθηµατικών· το τυπικά δοµηµένο σύστηµα που χρησιµοποιεί ο µαθηµατικός, όπου το παιδί πρέπει να θυµάται κανόνες, και ένα άλλο σύστηµα, που το παιδί προσεγγίζει µε δικές του διαισθητικές και κατασκευαστικές µεθόδους βασισµένες στην κοινή λογική. Αυτές οι στρατηγικές, επειδή έχουν επιτυχία στις απλές περιπτώσεις, δυσκολεύουν το µαθητή να αντιληφθεί την αναγκαιότητα αντικατάστασής τους σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, αν και είναι ανεπαρκείς σ’ αυτές τις πιο σύνθετες περιπτώσεις. 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΙΣ ∆ΥΣΚΟΛΙΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Παρά τις εκτεταµένες συζητήσεις µέσα στην τάξη, και την προσπάθεια να αποφύγουµε όσο το δυνατόν την επιβολή εννοιών, συµβόλων και αλγορίθµων a priori, διαπιστώσαµε ότι υπάρχει ένας πυρήνας µαθητών, οι οποίοι διαµορφώνουν δικές τους απόψεις, µε αποτέλεσµα, να χειρίζονται τη διανυσµατική γλώσσα µε τρόπο ιδιόµορφο. Έτσι, το διάνυσµα δεν αντιµετωπίζεται πάντοτε σε συµφωνία µε τη διδασκαλία, δηλαδή ως τρισυπόστατη έννοια µε µέτρο, φορά και διεύθυνση, αλλά ανάλογα µε την εκχωρούµενη κατάσταση, εξετάζεται µέσα σε ένα από τα ακόλουθα πλαίσια αναφοράς: 1. Αλγεβρικό πλαίσιο. Οι µαθητές αντιµετωπίζουν το διάνυσµα ως αριθµητική οντότητα, οπότε οδηγούνται σε µια ιδιόµορφη λειτουργία των συµβόλων και των πράξεων, στενά συνδεδεµένη µε την αντίστοιχη που ισχύει για τους αριθµούς. 2. Γεωµετρικό πλαίσιο. Το διάνυσµα εκφράζει συµβολικά το απλό µοντέλο του ευθυγράµµου τµήµατος. 3. Φυσικό πλαίσιο. Οι µαθητές, επηρεασµένοι από όρους, σύµβολα και έννοιες που διδάχθηκαν στη φυσική, προσπαθούν να τα µεταφέρουν στην αφηρηµένη έννοια του διανύσµατος. 4. Βιωµατικό πλαίσιο. ∆εν είναι ακόµα πλαίσιο καλά οριοθετηµένο, αλλά µάλλον µια ενδιάµεση, συχνά ασυνεπής και ελλιπής κατάσταση, ανάµεσα στην πρώτη αντίληψη συγκεκριµένων πραγµατικών καταστάσεων και στην πιο συστηµατική µοντελοποίησή τους. Πρόκειται δηλαδή για βιωµατικές καταστάσεις που βασίζονται στον ‘κοινό νου’ όπως αυτός αντιλαµβάνεται την πραγµατικότητα. Παρουσιάζουµε στη συνέχεια ορισµένους τοµείς, όπου τα παιδιά χειρίστηκαν µε ιδιαίτερο τρόπο τις διανυσµατικές έννοιες, τα σύµβολα και τις τεχνικές των πράξεων (βλ. ∆ηµητριάδου 2002, Κεφ. 8). Με την βοήθεια των θεωρητικών εργαλείων που συνοπτικά παρατέθηκαν στην §3, παρουσιάζουµε ταξινοµηµένες, τις χαρακτηριστικότερες δυσκολίες και παρανοήσεις που είχαν οι µαθητές. Αυτές εµφανίστηκαν, είτε κατά την διάρκεια της διδασκαλίας, είτε κατά τα τεστ µετά από αυτήν, σε ορισµένες δε περιπτώσεις προϋπήρχαν αυτής και διαπιστώθηκαν ήδη στο προ-τεστ. Στόχος µας είναι η καταγραφή και, ει δυνατόν, η ερµηνεία τους, έστω και αν εµφανίζονται µε µικρή συχνότητα (βλ. στόχο (α) στην §1). Ως εκ τούτου δεν αναφερόµαστε λεπτοµερώς στην συχνότητα εµφάνισης τους πριν, κατά, και µετά την διδασκαλία, καθώς αυτό θα απαιτούσε αναλυτική παρουσίαση των στατιστικών δεδοµένων που προέκυψαν και της αξιολόγησης της διδασκαλίας µε βάση αυτά (βλ. στόχο (β) στην §1), που δεν µπορεί να γίνει στο περιορισµένο πλαίσιο της παρούσας εισήγησης (σχετικά µε τα αποτελέσµατα της στατιστικής ανάλυσης βλέπε Demetriadou 1999, ∆ηµητριάδου 2002, Κεφ.11, Demetriadou & Tzanakis 2003). Η αναφορά 2 Η απόδοση του όρου στα ελληνικά οφείλεται στον Τ. Πατρώνη (1995) 5 γίνεται ποιοτικά, διακρίνοντας τις δυσκολίες και παρανοήσεις σε συχνές, ή σπάνιες και ασθενείς. ισχυρές, ή 4.1. Η εµπράγµατη αναφορά στα σύµβολα Για ορισµένους µαθητές, τα σύµβολα δεν αποτελούν αφηρηµένες οντότητες µε γενική ισχύ. Για το λόγο αυτό τα µεταβάλλουν, ανάλογα µε την εκάστοτε συγκεκριµένη περίπτωση που εξετάζεται. Μια τέτοια λειτουργία των συµβόλων, άµεσα και µονοσήµαντα συνδεδεµένη µε τα πράγµατα που παριστάνουν, σε σηµείο που να µοιάζουν µε αυτά, δηλώνει προφανώς ένα είδος εµπράγµατης αναφοράς των συµβόλων. 4.1.1. ∆υσκολία στην εξεικόνιση/ενσωµάτωση της φοράς στον συµβολισµό ενός διανύσµατος Η πιο συχνή τάση στη χρήση συµβόλων µε κεφαλαία γράµµατα, είναι η αναγραφή των ακραίων σηµείων µε τυχαία διάταξη ( AB ή BΑ ). Το σύµβολο αυτό ουσιαστικά δεν διαφέρει από αυτό του ευθυγράµµου τµήµατος. Η τάση αυτή ανιχνεύθηκε σε µια δραστηριότητα κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας σε 18 µαθητές (31%), κυρίως σε σχέση µε διανύσµατα οριζόντιας διεύθυνσης. Οι µαθητές που το χρησιµοποιούν αγνοούν τη συµφωνηµένη σύµβαση, δηλαδή την ιδιότητα του συµβόλου να δείχνει και τη φορά. Στην πλειοψηφία τους δεν αναγνωρίζουν τη φορά ως κύριο χαρακτηριστικό του διανύσµατος. Το αποτέλεσµα των ανωτέρω είναι οι µαθητές να αντιµετωπίζουν περισσότερα προβλήµατα στο χειρισµό συµβόλων µε κεφαλαία γράµµατα από ότι µε µικρά, και τα προβλήµατα αυτά να παραµένουν έντονα ακόµη και µετά τη διδασκαλία. Στο τελικό τεστ, η συµπεριφορά αυτή, εµφανίζεται πολύ ισχυρή3 και για τις δύο οµάδες. Ιδιαίτερα στην Ο.Ε. η ένταση του φαινοµένου µε βάση τη µέση σχετική συχνότητα εµφάνισής του, πλησιάζει στο 100% (96%), ενώ για την Π.Ο. η κατάσταση εµφανίζεται πολύ καλύτερη (62%). 4.1.2. Το σύµβολο παραπέµπει σε συγκεκριµένη πραγµατική κατάσταση Σε καταστάσεις µάλλον αφηρηµένες, όπως η παράσταση αριθµητικών πράξεων µε τη βοήθεια διανυσµάτων, µια µαθήτρια, χρησιµοποίησε το σύµβολο της δύναµης, κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας. Η µαθήτρια αυτή, φαίνεται ότι έχει την ανάγκη ενός συµβόλου που θα παριστάνει τις πράξεις µε συγκεκριµένο τρόπο, επειδή δεν µπορεί ακόµη να χρησιµοποιήσει σύµβολα στην αφηρηµένη τους µορφή. Αν και είναι ένα µεµονωµένο περιστατικό, αποτελεί ωστόσο τυπικό παράδειγµα µιας εµπράγµατης λειτουργίας του συµβόλου, την οποία τα ίδια τα παιδιά επινοούν, ανατρέχοντας σε γνωστές πραγµατικές καταστάσεις από τη φυσική. • Η µεταβολή της θερµοκρασίας, όταν από 20C ανέβηκε κατά F ολ 50C, παριστάνεται µε το σύµβολο F ολ : 20C ¾ « F ολ = 7 0C » . 7 0C 4.2. Η χρήση του όρου “αντίθετος” O όρος “αντίθετος” χρησιµοποιείται στον προφορικό λόγο µε διαφορετική σηµασία, σε διαφορετικές περιστάσεις. Το φαινόµενο παρατηρήθηκε συχνά στις εκφράσεις που χρησιµοποίησε ένας σχετικά µεγάλος αριθµός µαθητών της Π.Ο. (περίπου 33%), κατά την διάρκεια της διδασκαλίας ασχέτως της επίδοσης τους στα µαθηµατικά. Αυτό οφείλεται σε δύο κυρίως αιτίες: α. Η λέξη συνδέεται µε προηγούµενες καθηµερινές εµπειρίες. Εποµένως, πρόκειται για µια αυθόρµητη έννοια η οποία δεν έχει αναπτυχθεί σε σηµείο που να διαφοροποιηθεί επαρκώς από το παρελθόν και να 3 Οι αναφορές στην ένταση παρανοήσεων, ή, λαθών, που παρατίθενται στο παρόν κείµενο, και τα αντίστοιχα ποσοστά, που προκύπτουν από την επεξεργασία των τεστ, εκφράζουν τη µέση σχετική συχνότητα (µ.σ.σ.) εµφάνισης κάθε τύπου λάθους, που υπολογίστηκε ως ακολούθως: Αρχικά υπολογίσαµε τη σχετική συχνότητα ενός λάθους σε µια ερώτηση ως προς το σύνολο των απαντήσεων που δόθηκαν στην ερώτηση αυτή. Κατόπιν υπολογίσαµε τη µέση τιµή όλων των σχετικών συχνοτήτων που αντιστοιχούν σε όλες τις ερωτήσεις στις οποίες ανιχνεύτηκε αυτός ο τύπος λάθους. Η µ.σ.σ. προσδιορίζει την ένταση κάθε παρανόησης/λάθους µε την εξής σύµβαση: Ασθενές: µ.σ.σ: 0%-10%, Μέτριο: µ.σ.σ: 11%-30%, Ισχυρό: µ.σ.σ: 31%-50%, Πολύ ισχυρό: µ.σ.σ: 51%-100%. 6 µετατραπεί σε επιστηµονική (βλ. Vygotsky, 1993). Σε τέτοιες περιπτώσεις η λέξη σηµαίνει “διαφορετικός” ή “άνισος” ακόµη και όταν οι σχέσεις δεν είναι δυαδικές και χρησιµοποιείται για τη διάκριση διανυσµάτων διαφορετικής φοράς, ή διεύθυνσης και σε µεµονωµένες περιπτώσεις διαφορετικού µέτρου. α1. “Αντίθετη” φορά: Ορισµένοι µαθητές αναγνωρίζουν µόνο µια δυαδική σύγκριση για τη φορά του τύπου: ‘αν δεν είναι ίδια, θα είναι αντίθετη’, ακόµη και σε µη συγγραµµικά διανύσµατα. ¾ « Το δ είναι προς όλα αντίθετο…… Εννοούσα ότι έχει διαφορετική φορά». α2. “Αντίθετη” διεύθυνση • Συχνά ακούγεται η έκφραση: «αντίθετη φορά και διεύθυνση», µε την έννοια της «αντίθετης κατεύθυνσης» ή της «διαφορετικής φοράς και διεύθυνσης». • ∆ιανύσµατα διαφορετικής διεύθυνσης (π.χ. κάθετα) χαρακτηρίζονται ως αντίθετα. α3. “ Αντίθετα” µέτρα: Ο όρος “αντίθετα µέτρα” δηλώνει ότι αυτά είναι άνισα. ¾ «Τα µέτρα είναι αντίθετα». α4. “ Αντίθετα” διανύσµατα : Όσα διανύσµατα δεν είναι ίσα θεωρούνται αντίθετα. ¾ «Αντίθετα είναι όλα τα διανύσµατα, εκτός από αυτά τα οποία είναι ίσα µεταξύ τους». Από τις παραπάνω περιπτώσεις, συχνότερα εµφανίζεται η α1 και µετά η α2, ενώ οι α3 και α4 αφορούν σε µεµονωµένες περιπτώσεις µαθητών. β. Η έννοια του διανύσµατος δεν έχει ωριµάσει στο µυαλό των µαθητών µε αποτέλεσµα να την σκέπτονται ως σύµπλεγµα µε βάση µόνο ένα κοινό χαρακτηριστικό, το οποίο επικρατεί των άλλων. Για παράδειγµα, ίσα είναι όσα διανύσµατα έχουν ίδια φορά, ή ίσα µέτρα, ενώ τα υπόλοιπα είναι αντίθετα. β1. “Αντίθετα” διανύσµατα: Ένας µαθητής, θεώρησε ότι δύο διανύσµατα Π.χ. είναι αντίθετα όταν έχουν απλώς αντίθετη φορά, χωρίς να έχουν και ίσα µέτρα. Εδώ, ο µαθητής συνενώνει αντικείµενα (διανύσµατα), αποµονώνοντας µόνο ένα χαρακτηριστικό τους, την αντίθετη φορά, που γίνεται άµεσα αντιληπτή από την εποπτεία. β2. “ Όλα αντίθετα”: Ο όρος χρησιµοποιείται από τρεις µαθητές για να οµαδοποιήσει διανύσµατα που ανά δύο είναι αντίθετα. Εδώ, τα διανύσµατα θεωρούνται ως µια οµάδα, αλλά επειδή όπως συµβαίνει στα συµπλέγµατα κάθε στοιχείο διατηρεί την αυτονοµία του, εξετάζονται συγχρόνως και µεµονωµένα. Οπότε, µε τον όρο “όλα αντίθετα” υπονοείται ότι είναι “κατά ζεύγη αντίθετα”, χωρίς αυτό να αναφέρεται ρητά. Για παράδειγµα όταν ζητείται η σχέση µεταξύ των διανυσµάτων ΟΑ , ΟΒ , ΟΓ , Ο∆ , ΟΕ , ΟΖ , ένας µικρός αριθµός µαθητών απαντά: ¾ «Όλα είναι αντίθετα». ¾ « Έχουν κοινή αρχή, αντίθετη φορά – διεύθυνση». ¾ « ∆ιεύθυνση και φορά: ΟΑ ≠ ΟΒ ≠ ΟΓ ≠ Ο∆ ≠ ΟΕ ≠ ΟΖ (Αντίθετες διευθύνσεις και φορές)». Α Ζ Β Ο Ε Γ ∆ β3. Λογικά αδύνατες συνάφειες: Ένα χαρακτηριστικό της συµπλεκτικής σκέψης είναι το ότι, το ίδιο αντικείµενο εντάσσεται σε διαφορετικές οµάδες και παίρνει διαφορετικά ονόµατα και χαρακτηρισµούς, ανάλογα µε το σύµπλεγµα στο οποίο ανήκει. Στην περίπτωση αυτή, ο µαθητής οδηγείται σε λογικά αδύνατες συνάφειες. Αναφέρουµε µια χαρακτηριστική µεµονωµένη 7 περίπτωση ενός µαθητή, που εντάσσει δύο διαδοχικά, µη συγγραµµικά διανύσµατα, σε διαφορετικές οµάδες, ανάλογα µε το εκάστοτε γεωµετρικό πλαίσιο, οπότε τα χαρακτηρίζει άλλοτε ίδιας φοράς και άλλοτε αντίθετα: Α Α α Β Τα ∆ Γ διαδοχικά διανύσµατα BΑ Β Γ και Τα διαδοχικά διανύσµατα θεωρούνται αντίθετα. AΓ θεωρούνται ίδιας φοράς. α και AB 4.3. Το διάνυσµα αντιµετωπίζεται ως ευθύγραµµο τµήµα Συχνά οι µαθητές σκέπτονται µε συµπλέγµατα, στα οποία συνενώνουν οντότητες που µοιάζουν περισσότερο µε το ευθύγραµµο τµήµα, παρά µε το διάνυσµα. Το τρισυπόστατο της έννοιας (συγκεκριµένο µέτρο, φορά και διεύθυνση) αγνοείται και επικρατεί το µέτρο. 4.3.1. Η διεύθυνση δεν θεωρείται σταθερή Όταν, κατά την διάρκεια της διδασκαλίας απαιτήθηκε η γραφική αναπαραγωγή διανυσµάτων, ένας µικρός αριθµός µαθητών (9%) µετέβαλε τις διευθύνσεις τους, διατηρώντας σταθερό µόνο το µέτρο. Συνήθως τα σχεδίαζαν σε µια από τις στερεότυπες διευθύνσεις, οριζόντια ή κατακόρυφη, είτε τα µετέτρεπαν σε συγγραµµικά κατά τη διεύθυνση του ενός εξ αυτών. 4.3.2. Η φορά αγνοείται Ένα πιο συχνό φαινόµενο παρατηρείται κατά τη χρήση κεφαλαίων γραµµάτων, οπότε τα διανύσµατα συµβολίζονται χωρίς να λαµβάνεται υπ’ όψιν η σειρά αναγραφής των γραµµάτων αρχής και πέρατος (βλ. τα δεδοµένα της §4.1.1). Ειδικότερα, για συγγραµµικά διανύσµατα, δεν εξετάζεται αν είναι οµόρροπα, ή αντίρροπα. 4.3.3. Σύγκριση διανυσµάτων Το γεωµετρικό µοντέλο του διανύσµατος (σύµπλεγµα) που δηµιουργείται στη σκέψη των παιδιών, οδηγεί σε µια νέα µορφή σύγκρισης διανυσµάτων, βασισµένη αποκλειστικά στη σύγκριση των µέτρων τους. Η ισχύς του γεωµετρικού πλαισίου της κατάστασης που εξετάζεται, µεταβάλλει το διάνυσµα σε ευθύγραµµο τµήµα, µε αποτέλεσµα, αντίθετα, ή, µη συγγραµµικά διανύσµατα ίσων µέτρων, να θεωρούνται ίσα. Το φαινόµενο αυτό παρατηρήθηκε κατά τη διάρκεια των µαθηµάτων µεταξύ µαθητών διαφόρων επιδόσεων στα µαθηµατικά, ενώ ανιχνεύθηκε έντονα και µετά το πέρας των µαθηµάτων. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της Ευαγγελίας, η οποία 1,5 υποστηρίζει τη σχέση: β = 2 α για τα διανύσµατα του σχήµατος. Τα επιχειρήµατά της βασίζονται στις µετρικές σχέσεις των πλευρών: α 3 β ¾ «Eίπατε ότι δεν µπορούµε να τα συγκρίνουµε, επειδή οι διευθύνσεις δεν είναι ίδιες. Tα τετράγωνα όµως έχουν [σε] όλες τις πλευρές τους το ίδιο µέτρο. Oπότε, από όποια πλευρά και να το δούµε το τετράγωνο είναι το ίδιο πράγµα». Η ίδια µαθήτρια γνωρίζει τον ορισµό της ισότητας δύο διανυσµάτων («δύο διανύσµατα είναι ίσα όταν έχουν ίδια διεύθυνση, φορά και µέτρο»), όµως, το γεωµετρικό πλαίσιο της άσκησης δεν της επιτρέπει να τον εφαρµόσει στη συγκεκριµένη κατάσταση. Έτσι, ο ορισµός χάνει τη γενική του ισχύ, µε αποτέλεσµα να συγκρίνονται σε πρώτο επίπεδο οι σχέσεις µέτρων µεταξύ ευθυγράµµων τµηµάτων. Η περίπτωση της Ευαγγελίας είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα απόκλισης ανάµεσα στον ορισµό µιας µαθηµατικής έννοιας και στην χρήση της έννοιας αυτής στην πράξη. Μπορεί να δώσει τον αφηρηµένο ορισµό της 8 ισότητας, ως µια µαθηµατική έννοια που διδάχθηκε στο σχολείο, δυσκολεύεται όµως να τον εφαρµόσει στην πράξη. Αυτό αποτελεί και την αδυναµία των επιστηµονικών εννοιών (βλ. Vygotsky, 1993). Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας το φαινόµενο ανιχνεύτηκε σε 15 µαθητές (26%). Τρεις µήνες µετά τη διδασκαλία, εµφανίζεται ισχυρό και στις δύο οµάδες, αλλά είναι λιγότερο έντονο όταν τα διανύσµατα συµβολίζονται µε µικρά γράµµατα, όπου, η Π.Ο. υπερτερεί εµφανώς της Ο.Ε. (µ.σ.σ. 37% Π.Ο. και 50% Ο.Ε.). 4.3.4. Μια ιδιόµορφη χρήση του συµβόλου ‘=’ Μια µάλλον συµπλεκτική λειτουργία του συµβόλου της ισότητας, που εµφανίστηκε σε περιορισµένο αριθµό µαθητών κατά τη διδασκαλία (9%), συνδέει διανύσµατα µε ένα κοινό χαρακτηριστικό, κυρίως το µέτρο, και σποραδικά τη φορά, ή τη διεύθυνση. Χαρακτηριστικό αυτής της χρήσης του συµβόλου είναι ότι σε περιπτώσεις σύγκρισης µέτρων, αναγράφεται η διευκρίνιση «ως προς µέτρο». ¾ « β = 2 α ως προς µέτρο µόνο!». Κατ’ αναλογία, τα αντίθετα διανύσµατα συνδέονται µε το σύµβολο της µη ισότητας ‘≠’ (βλ. §4.2.β2). 4.4. Το διάνυσµα αντιµετωπίζεται ως αριθµός Όταν ο µαθητής αντιµετωπίζει µια συγκεκριµένη κατάσταση µέσα σε ένα αλγεβρικό πλαίσιο, στο οποίο και επικεντρώνει το ενδιαφέρον του, τότε το διάνυσµα, αντιµετωπίζεται περισσότερο ως αριθµητική οντότητα. 4.4.1. ∆ιανύσµατα και µονάδες µέτρησης Ένας µικρός αριθµός µαθητών (10%), κατά τη διδασκαλία χρησιµοποιεί την τιµή του µέτρου ενός διανύσµατος για να συµβολίσει το ίδιο το διάνυσµα, είτε χρησιµοποιεί αδιακρίτως σύµβολα διανυσµάτων σε συνδυασµό µε µονάδες µέτρησης και αριθµούς: 3 , υ = 38 m/sec, ΧA = 7 0C, 2 0C – 5 0C = – 3 0C, 10 m , AB = 5 m/sec, F 1 = 6Nt. Πρόκειται για µια παρανόηση που ξεπεράστηκε µετά την διδασκαλία. 4.4.2. ∆ιανυσµατική και αλγεβρική πρόσθεση Στην τάξη συζητήσαµε για τη διάκριση µεταξύ πρόσθεσης διανυσµάτων και αλγεβρικής πρόσθεσης των µέτρων τους. Τονίσαµε ότι τα σύµβολα «+» και «=» σε σχέσεις του τύπου F 1 + F 2 = F , έχουν την έννοια του «συνολικού αποτελέσµατος» και της «ισοδυναµίας των αποτελεσµάτων» αντίστοιχα. ∆είξαµε επίσης µε µετρήσεις, ότι το άθροισµα των µέτρων δύο µη συγγραµµικών διανυσµάτων διαφέρει από το µέτρο του αθροίσµατός τους: | F 1|+| F 2| ≠ | F |. Παρόλα αυτά, για ορισµένους µαθητές, το νόηµα των ανωτέρω συµβόλων και η διάκριση ανάµεσα στις δύο πράξεις έπαψε να ισχύει, µε αποτέλεσµα, να προσθέτουν τα µέτρα µη συγγραµµικών διανυσµάτων για να βρουν το µέτρο της συνισταµένης. Αυτός ο χειρισµός της πρόσθεσης αφορούσε, τόσο στον κανόνα του τριγώνου, όσο και στον κανόνα του παραλληλογράµµου. Πρόκειται για µια αντίληψη που ανιχνεύτηκε κατά τη διδασκαλία και στους δύο κανόνες πρόσθεσης, σε περιορισµένο αριθµό µαθητών (5% για τον κανόνα τριγώνου και 9% για τον κανόνα του παραλληλογράµµου), ενώ µετά τη διδασκαλία, για µεν τον κανόνα του τριγώνου παρέµεινε σε ασθενή ένταση, ενώ για τον κανόνα του παραλληλογράµµου σε µέτρια ένταση. 4.5. ∆ιαφοροποιηµένες τεχνικές πρόσθεσης Κατά τη γνώµη µας, ένα τυπικό παράδειγµα «εξαρτώµενης από τα συµφραζόµενα» χρήσης της διανυσµατικής γλώσσας (βλ. Booth, 1981), αποτελεί η δηµιουργία διαισθητικών διαδικασιών πρόσθεσης, που αποκλίνουν από το τυπικό µοντέλο του κανόνα του τριγώνου. Η συµπεριφορά αυτή εκδηλώνεται όταν τα σχήµατα που εξετάζονται παρουσιάζουν οµοιότητες µε το γεωµετρικό πλαίσιο εφαρµογής του κανόνα. Στον κανόνα του τριγώνου (Το άθροισµα δύο διαδοχικών διανυσµάτων έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του δεύτερου διανύσµατος), µπορούµε να διακρίνουµε υπόθεση και συµπέρασµα. Η 9 υπόθεση έχει δύο σκέλη: (α) τα διανύσµατα είναι διαδοχικά: ( AB και BΓ ) και (β) τα διανύσµατα λαµβάνονται κατά τη σειρά διαδοχής ( AB + BΓ και όχι BΓ + AB ). Το συµπέρασµα περιγράφει τα ακραία σηµεία του αθροίσµατος ( AΓ ). Ωστόσο, αρκετοί µαθητές (συνολικά 29%), δηµιούργησαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας δικούς τους κανόνες, παραλλαγές, ή απλουστεύσεις του τυπικού κανόνα, τους οποίους θεωρούν πιο απλούς και κατανοητούς. Μετά τη διδασκαλία το φαινόµενο παραµένει σε µέτρια ένταση. 4.5.1. Πρόσθεση διανυσµάτων κοινής αρχής (∆ιαφοροποίηση υπόθεσης και συµπεράσµατος) ∆ Το άθροισµα δύο διανυσµάτων κοινής αρχής είναι το διάνυσµα που έχει άκρα τα πέρατά τους, δηλαδή η τρίτη πλευρά του τριγώνου που δηµιουργείται. ¾ “ A∆ + Α AB = B∆ ” Β 4.5.2. Πρόσθεση διαδοχικών διανυσµάτων µη διατεταγµένων κατά τη σειρά διαδοχής: Όταν διαδοχικά διανύσµατα γράφονται χωρίς τη σειρά διαδοχής (π.χ. B∆ + AB αντί της ορθής διάταξης: AB + B∆ ), τότε είναι δύσκολο για τους µαθητές να εφαρµόσουν τον κανόνα του τριγώνου. Οι αιτίες είναι δύο ειδών: • Τα παιδιά δεν διακρίνουν ότι πρόκειται για διαδοχικά διανύσµατα. Στο γεγονός αυτό φαίνεται να συντελεί η δυσκολία αναγνώρισης µη συγγραµµικών διανυσµάτων ως διαδοχικών, που διαπιστώσαµε κατά τη διδασκαλία (βλ. ∆ηµητριάδου 2002, Κεφ.7). • Γνωρίζουν ότι πρόκειται για διαδοχικά διανύσµατα, αλλά δεν εφαρµόζουν την αντιµεταθετική ιδιότητα, µε αποτέλεσµα, να τα αθροίζουν µε την εκάστοτε σειρά αναγραφής των διανυσµάτων, παίρνοντας την αρχή του πρώτου και το πέρας του δευτέρου ως τα άκρα του αθροίσµατος. Προηγούµενη έρευνα (CSMS, 1981) σε µαθητές 14- 15 ετών έχει δείξει δυσκολίες που αφορούν στην αντιµεταθετική ιδιότητα, κυρίως όσον αφορά στη γεωµετρική της µορφή. 4.5.2.α. Η πρόσθεση µη διατεταγµένων διαδοχικών διανυσµάτων οδηγεί στο µηδενικό διάνυσµα (∆ιαφοροποίηση της υπόθεσης) Εφαρµόζεται το δεύτερο σκέλος του κανόνα, αλλά µε τη σειρά αναγραφής των διανυσµάτων. Το αποτέλεσµα οδηγεί στο µηδενικό διάνυσµα. B Γ ¾ Γ∆ + AΓ = 0 ή Γ (αντί του ορθού A ∆ ) Α ∆ 4.5.2.β. Η πρόσθεση µη διατεταγµένων διαδοχικών διανυσµάτων οδηγεί στο αντίθετο διάνυσµα (∆ιαφοροποίηση της υπόθεσης και του συµπεράσµατος) Εδώ έχουµε µια νέα τεχνική: τοποθετούνται στη σειρά τα µη κοινά άκρα. Για παράδειγµα, στο προηγούµενο σχήµα τα µη κοινά άκρα ∆ και Α µε τη σειρά αναγραφής τους στο πρώτο µέλος της ισότητας, δηµιουργούν το νέο διάνυσµα ∆A : ¾ B∆ + AB = ∆A (αντί του ορθού A ∆ ) 4.5.3. Η πρόσθεση διαδοχικών διανυσµάτων οδηγεί στο αντίθετο διάνυσµα (∆ιαφοροποίηση του συµπεράσµατος) Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης διαδοχικών διανυσµάτων, είναι το αντίθετο από το προσδοκώµενο· έχει αρχή το πέρας του δεύτερου και πέρας την αρχή του πρώτου. 10 Ε ¾ ∆ ΕΟ + Ο∆ = ∆E (αντί του σωστού E∆ ) Ο Η περίπτωση αυτή ενδέχεται να σχετίζεται και µε µια ιδιόµορφη χρήση του συµβόλου του διανύσµατος, όπου δεν υπολογίζεται η σειρά των γραµµάτων των άκρων (βλ. ανωτέρω §4.1.2). 4.5.4. Το µέτρο του αθροίσµατος δύο µη συγγραµµικών διανυσµάτων είναι το άθροισµα των δύο επί µέρους µέτρων: Η συµπεριφορά που περιγράψαµε στην §4.4.2, θα µπορούσε επίσης να ερµηνευτεί ως αποτέλεσµα επίδρασης της αναφορικής γλώσσας. ∆ηλαδή, µπορούµε να υποθέσουµε ότι, για τον υπολογισµό του µέτρου του αθροίσµατος µη συγγραµµικών διανυσµάτων, οι µαθητές έχουν υιοθετήσει την ίδια τεχνική που ισχύει για οµόρροπα συγγραµµικά διανύσµατα, δηλαδή, την πρόσθεση των µέτρων. Το γεγονός µάλιστα ότι, αυτό το µοντέλο εφαρµόστηκε µε επιτυχία στην περίπτωση συγγραµµικών, καθιστά δύσκολο να αντιληφθεί ο µαθητής τους περιορισµούς και τις αδυναµίες του, και ως εκ τούτου, να ακολουθήσει το επίσηµο µοντέλο της διδασκαλίας. 5. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Με την εναλλακτική διδακτική προσέγγιση που εφαρµόσαµε, δώσαµε στους µαθητές την ευκαιρία να εκφράσουν ελεύθερα τις απόψεις τους για όλα τα θέµατα. Από τις µεταξύ τους συζητήσεις αναδείχθηκαν συγκρούσεις απόψεων για την έννοια του διανύσµατος, τα σύµβολα και τις δυνατές γεωµετρικές αναπαραστάσεις του, που αντιστοιχούν σε δυσκολίες κατανόησης και χειρισµού της διανυσµατικής γλώσσας, ορισµένες από τις οποίες παρέµειναν και µετά την διδασκαλία. Η παρούσα εισήγηση περιορίστηκε στην καταγραφή, ταξινόµηση και ερµηνεία των δυσκολιών και παρανοήσεων που έχουν οι µαθητές και δεν αναφέρθηκε σε άλλες όψεις της έρευνάς µας, όπως, για παράδειγµα, οι δηµιουργικές δυνατότητες που έχουν οι µαθητές να χειριστούν διανυσµατικές έννοιες και πράξεις, και να επινοήσουν συµβολισµό λειτουργικό από µαθηµατικής πλευράς, ή, η λεπτοµερής αξιολόγηση της πειραµατικής διδασκαλίας µε βάση τις αδυναµίες και λανθασµένες αντιλήψεις των µαθητών της Π.Ο. που ξεπεράστηκαν, σε αντίθεση µε τους µαθητές της Ο.Ε., κλπ. Ένα σοβαρό πρόβληµα είναι η κατανόηση του τρισυπόστατου της έννοιας του διανύσµατος. Σε κάθε νέα κατάσταση που εξετάζεται οι µαθητές επικεντρώνουν την προσοχή τους στο πλαίσιο αναφοράς, µε αποτέλεσµα να σκέφτονται την έννοια, άλλοτε ως αριθµό και άλλοτε ως ευθύγραµµο τµήµα (§§4.3, 4.4). Ένα άλλο πρόβληµα σχετίζεται µε την ιδιόµορφη χρήση των διανυσµατικών όρων και συµβόλων, η εµπράγµατη αναφορά ή λειτουργία τους (§4.1). Για ορισµένους µαθητές όροι και σύµβολα χάνουν το γενικό τους κύρος και εφαρµογή και αποκτούν µια άµεση και µονοσήµαντη αντιστοιχία µε την εκάστοτε περίπτωση που εξετάζεται (§4.1.2). ∆υσκολίες διαπιστώθηκαν επίσης στον χειρισµό των πράξεων. Οι µαθητές δείχνουν απρόθυµοι να ακολουθούν τα επίσηµα µοντέλα πρόσθεσης που διδάσκονται και καταφεύγουν σε διαισθητικές τεχνικές που γι’ αυτούς είναι απλούστερες (§4.5). Σε άλλες περιπτώσεις οι µαθητές δυσκολεύονται να συνειδητοποιήσουν τις έννοιες στην αφηρηµένη µορφή τους, και τις αντιµετωπίζουν µε τρόπο που ταιριάζει περισσότερο µε την χρήση τους στην καθηµερινή εµπειρία (§4.2). Συνοψίζοντας, η έρευνά µας ανέδειξε σοβαρά προβλήµατα κατανόησης και χειρισµού της διανυσµατικής γλώσσας από µαθητές γυµνασίου, µερικά από τα οποία παρουσιάστηκαν στην παρούσα εργασία. Τα προβλήµατα αυτά οφείλονται στον πολυσύνθετο και πολυεπίπεδο χαρακτήρα των διανυσµατικών εννοιών, και κατά τη γνώµη µας πρέπει να λαµβάνονται σοβαρά υπ’ όψιν, τόσο στο σχεδιασµό, όσο και στην εφαρµογή µιας διδασκαλίας που αφορά στις στοιχειώδεις διανυσµατικές έννοιες και πράξεις. 11 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Βοοth L. R. (1981), Child-Methods in Secondary Mathematics, Educational Studies in Mathematics, 12, 29 – 41 Brousseau G. (1986), “Théorisation des Phénomenes d’ Enseignement des Mathématiques”, Τhèse de Doctorat d’ Etat ès Sciences, Université de Bordeaux I Brousseau G. (1997), Theory of Didactical Situations in Mathematics, ed. N. Balacheff, M.Cooper, R.Sutherland and V.Warfield, Mathematics Education Library, Kluwer Academic Publishers Cobb P. (1989), “Experimental, Cognitive, and Anthropological Perspectives in Mathematics Education”, For the Learning of Mathematics, 9(2), 32-42 Cobb P., Yackel E. & Wood T. (1992), “A constructivist alternative to the representational view of mind in mathematics education”, Journal for Research in Mathematics Education, 23 (1), 2-33 Demetriadou H. (1999), “The role of physics in introducing vectors to secondary school students”, Proceedings of the 3rd European Summer University, ed. P. Radelet-de Grave, Université Catholique de Louvain, Belgium, Vol. I, 169-185 ∆ηµητριάδου Ε. (2002), “∆ιδασκαλία και µάθηση βασικών διανυσµατικών εννοιών και πράξεων στο Γυµνάσιο: Μια διδακτική προσέγγιση βασισµένη σε έννοιες και καταστάσεις από τη φυσική και τη γεωµετρία”, ∆ιδακτορική ∆ιατριβή, Παιδαγωγικό Τµήµα ∆.Ε., Πανεπιστήµιο Κρήτης. Demetriadou H. & Tzanakis C. (2003), “Understanding basic vector concepts: Some results of a teaching approach for students aged 15 years”, Proceedings of the 3rd Mediterranean Conference on Mathematical Education, ed. A. Gagatsis & S. Papastavridis, Hellenic Mathematical Society & Cyprus Mathematical Society, Athens, pp.665-673 Donaldson Μ. (1995), H σκέψη των παιδιών, Επιµέλεια Σ. Βοσνιάδου, Σειρά: Ψυχολογία, Gutenberg, Αθήνα Douady R. (1991), “Tool, Object, Setting, Window: Elements for Analysing and Constructing Didactical Situations in Mathematics”, Mathematical Knowledge: Its Growth Through Teaching, A. J. Bishop at al. (eds.), Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 117-130. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989), “Curriculum and evaluation standards for school mathematics”, Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1991), “Professional standards for teaching mathematics”, Reston, VA: Author Παπαµιχαήλ Γ. (1988), Μάθηση και Κοινωνία- Η εκπαίδευση στις θεωρίες της γνωστικής ανάπτυξης, Εκδόσεις Οδυσσέας, Αθήνα. Πατρώνης Τ. (1995), “Τι πραγµατικά σηµαίνουν τα µαθηµατικά σύµβολα για τα παιδιά;” ∆ιδακτική και Ιστορία των Μαθηµατικών, επιµέλεια Α. Γαγάτσης, Εrasmus ICP- 94-G-2011/ 1, Θεσσαλονίκη. Simon M. (1995), “Reconstructing mathematics pedagogy from a Constructivist perspective”, Journal for Research in Mathematics Education, 26(2), 114-145 Vygotsky L. (1993), Σκέψη και γλώσσα, Εκδόσεις Γνώση, Αθήνα. Yackel Ε., Cobb P., Wood T., Wheatley G. & Merkel G. (1990), “The Importance of Social Interaction in Children’s Construction of Mathematical Knowledge” Teaching and Learning Mathematics in the 1990s, 1990 Year Book, National Council of Teachers of Mathematics, eds.T.Cooney & C. Hirsch, USA, 12-21. Yackel Ε. & Cobb P. (1996) “Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics ”, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 27, 4, 458-477. 12 ABSTRACT Modern trends in mathematics teaching are oriented towards a model of a teacher, different from the traditional one. According to this model, the teacher and the students constitute a community in interaction, which participate in the construction of mathematical knowledge. The classroom environment is based on mutual confidence, where students express themselves freely, have discussions with their classmates and construct mathematical knowledge, by exploring the mathematical situations proposed by the teacher. This environment, where children express and share their thoughts, gives the researcher the chance, on the one hand, to study the children’s approach to particular mathematical concepts, and on the other hand, to appreciate and understand students’ difficulties. Based on such a pedagogical approach, and in particular on the theory of “Didactical Situations” of Brousseau, the “Tool-Object Dialectic” and “Interplay Between Settings” approach of Douady, and the Social Interactionism, we applied an alternative teaching of basic vector concepts with 15 years old students, by using physical and geometrical situations and activities. Τhe classroom environment helped the students to take an active part in the exploration of the vector language and, to some extent, in its construction, while, at the same time, to overcome some of their misconceptions. In this paper we present the most important difficulties and misconceptions of students, classifying and interpreting them on the basis of Vygotsky’s and Booth’s ideas on the relation between the evolution of language and mental development of students. 13
© Copyright 2024 Paperzz
