Corso di TRASPORTI E TERRITORIO e TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE Calibrazione dei modelli di utilità aleatoria ed esempi di modelli di scelta del percorso DOCENTI Agostino Nuzzolo (nuzzolo@ing.uniroma2.it) Antonio Comi (comi@ing.uniroma2.it) Pierluigi Coppola (coppola@ing.uniroma2.it) Umberto Crisalli (crisalli@ing.uniroma2.it) 1 Introduzione • Costruzione di un modello di domanda: - Definizione della forma funzionale (ad es. Logit) Attributi (funzione utilità media o sistematica) Stima dei parametri (beta) Validazione Capacità di riprodurre le scelte effettuate dal campione (test informali e test statistici) • E’ un processo iterativo trial-and-error Specificazione Validazione Stima dei parametri 2 Specificazione del modello • Scegliere la forma funzionale - trattabilità computazionale Logit, Nested-Logit vs. Probit, Mixed-Logit, etc. - modelli utilizzati in casi analoghi (es. modelli di scelta modale) - aspettative a priori sulla “indipendenza” o meno dei residui aleatori (matrice varianza-covarianza) AUTO BUS TRAM 3 Matrice varianza-covarianza • E’ una matrice (simmetrica) che riporta sulla diagonale la varianza dei residui aleatori delle diverse alternative e nelle altre celle i valori della covarianza tra i residui aleatori di coppie di alternative • A seconda dell’ipotesi sulla matrice varianza-covarianza dei residui aleatori, possiamo avere diverse forme funzionali del modello, ad es. Modello Logit: omoschedastico e a covarianza nulla 2 0 0 0 2 0 0 0 2 Modello Nested-Logit: si introduce una covarianza tra gruppi di 2 0 alternative, ad es. tra i modi di trasporto collettivo 0 0 0 2 COL COL 2 Modello Probit: si introduce l’eteroschedasticità e la covarianza tra tutte 2 alternative Auto AB AT AB AT 2 Bus COL 2 COL TRAM 4 Specificazione del modello • definire gli attributi, Xk, del modello: – Tipologia di attributi o Attributi di livello di servizio, socio-economici, del sistema di attività,… o Attributi specifici o generici o Attributi Specifici dell’Alternativa (Alternative Specific Constant, ASC) – evitare correlazione tra attributi (collinearità) ! – attenzione all’applicazione e agli usi del modello – attributi non lineari (es. funzione di utilità sistematica lineare a tratti) V 2 1 se X k s 1 X k V 1 s s ( X k s ) se X k s 5 Soglia «s» Xk Metodo dei minimi quadrati • S’individua il vettore di parametri che minimizza il quadrato delle differenze tra probabilità da modello e percentuali osservate: LSM arg min LSM ( ) arg min j=1...J p ( j ) pˆ ( j ) i i 2 essendo: j J pi(j) pˆ i la generica alternativa di scelta il numero di alternative disponibili la probabilità da modello dell’alternativa j per l’utente i la percentuale con cui l’alternativa j è scelta nel campione dall’utente i • Tale vettore dei beta massimizza la capacità del modello di riprodurre le percentuali aggregate osservate nel campione 6 Metodo della massima verosimiglianza • Funzione di Likelihood (verosimiglianza) L() =i=1...n pi[j(i)](Xi,) - n, numerosità del campione i, utente generico del campione p[j(i)], probabilità (da modello) dell’alternativa j(i) scelta effettivamente dall’utente i (nel campione) • S’individua il vettore di parametri che massimizza il valore della funzione di verosimiglianza: ML arg max ln L( ) arg max i=1...nln pi ji Xi , • Tale vettore dei beta massimizza la probabilità di osservare tramite il modello le scelte effettuate dal campione 7 Metodo della massima verosimiglianza Esempio n=3 utente 1 2 3 L p A j=A,B j(i) A A B C Ai 3 2 4 exp C A exp C A exp C B C Bi 5 1 3 exp 3 exp 2 exp 3 exp 3 exp 5 exp 2 exp exp 3 exp 4 8 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA • test, informali sui coefficienti di un modello • test, formali sui coefficienti di un modello • test sulla bontà di interpolazione o (“goodness of fit”) • analisi dell’elasticità (risposta del modello in fase di applicazione) 9 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA TEST INFORMALI SUI COEFFICIENTI DI UN MODELLO • verifica della “ragionevolezza” dei segni dei coefficienti (es. <0 per tempi o costi monetari >0 per la disponibilità di automobili nell’utilità del modo “auto” di un modello di scelta modale o per la quantità di esercizi commerciali nel modello di scelta della destinazione). • verifica dei rapporti fra i coefficienti di attributi diversi (es. t/c =VOT -«Value of Time» - può essere confrontato con risultati di altre calibrazioni e aspettative sulla disponibilità a pagare degli utenti, valore delle ASC, …) • verifica del valore relativo di alcuni coefficienti (es. |tempo a piedi| > |tempo a bordo|) 10 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA TEST FORMALI SUI COEFFICIENTI DEL MODELLO TEST T-STUDENT SUI SINGOLI COEFFICIENTI : serve a rigettare l’ipotesi che i valori stimati dei beta siano statisticamente uguali da zero A) IPOTESI NULLA: STATISTICA UTILIZZATA: H0: k =0 t kML Var ( kML )1 / 2 t_student con n-k gradi di libertà con n= numerosità del campione k= n° dei coefficienti stimati (per n >30 t student normale standardizzata) Se t è maggiore di 1,96 l’ipotesi può essere rigettata con una probabilità di errore del 5%, e quindi il valore stimato è considerato significativo 11 TEST FORMALI SUI COEFFICIENTI DEL MODELLO Esempi Se |t| > 1,96 la probabilità che l’ipotesi nulla H0 sia vera è del 5% Se |t| > 1,29 la probabilità che l’ipotesi nulla H0 sia vera è del 20% Tavola della variabile normale standard z 12 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA STATISTICHE E TEST SULLA BONTÀ DELL’ACCOSTAMENTO DEL MODELLO (GOODNESS OF FIT) %_RIGHT n % _ right i 1 n i i 1 se j (i ) jmax i i 0 j ( i ) j max essendo: n jimax j(i) la numerosità del campione l’alternativa di massima utilità da modello, per l’utente i l’alternativa scelta effettivamente dall’utente i 13 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA STATISTICHE E TEST SULLA BONTÀ DELL’ACCOSTAMENTO DEL MODELLO (GOODNESS OF FIT) STATISTICA RHO_QUADRO ML ln L ( ) 2 1 ln L(0) ln L( ) N 2 1 ML ln L(0) con N è il numero dei coefficienti Tale statistica misura la bontà del modello nel riprodurre le scelte fatte dal campione: 2 1 Perfetta capacità riproduttiva del modello 2 0 Capacità riproduttiva del modello nulla 14 INDAGINI RP E INDAGINI SP Indagini RP (Revealed Preference o Preferenze Rivelate) • indagini sui comportamenti effettivi (rivelati) dagli utenti in un contesto reale • Si rilevano le scelte che gli utenti hanno realmente effettuato (Ad esempio quale percorso o quale modo di trasporto hanno scelto per spostarsi su una determinata relazione OD) Indagini SP ( Stated Preference o Preferenze Dichiarate) • indagini sui comportamenti dichiarati dagli utenti in contesti ipotetici • Si sottopongono all’intervistato alcune alternative di viaggio e si chiede di scegliere qual è per lui la migliore 15 Esempio di indagine RP FINALITÀ DELL’INDAGINE stima della domanda interna METODOLOGIA D’INDAGINE indagine telefonica T.M.T Pragma S.r.l. – Pragma S.r.l. – Studio Market Selector S.a.s QUESTIONARIO INDAGINE TELEFONICA – 7.00 / 9.00 ___________________________________________________________________________________ ___ Buongiorno/sera sono della…….. Il nostro Istituto sta svolgendo un‘indagine per conto del Comune di Roma sugli spostamenti in città. Potrei parlare con una persona della sua famiglia di…(sesso) e di età compresa tra… e…? Le preciso che in base alla legge 675 sulla tutela della privacy, lei è libero di accettare l’intervista o di interromperla nel momento in cui lo ritenga opportuno. Le garantisco che qualsiasi informazione ci verrà data, verrà trattata in forma strettamente riservata e senza l’uso dei dati personali. __________________________________________________________________________________ D. 1 SESSO 1 2 D. 2 Uomo Donna QUAL E’ LA SUA ETA’? |__|__| anni D. 3 NELLA GIORNATA DI IERI LEI ERA A ROMA ? 1 2 Si No (passare a dom. 8) D. 3.1 E SEMPRE NELLA GIORNATA DI IERI LEI HA EFFETTUATO SPOSTAMENTI IN CITTA’ CHE ABBIANO AVUTO INIZIO O TERMINE TRA LE ORE 7.00 E LE ORE 9.00? 1 2 D. 4 Si No (passare a dom. 8) DA QUANTE PERSONE E’ COMPOSTA LA SUA FAMIGLIA (LEI COMPRESA/O) ? |__|__| N ° persone D. 5 TRA LE PERSONE DELLA SUA FAMIGLIA QUANTE HANNO LA PATENTE DI GUIDA? |__|__| persone D. 6 E LEI IN PARTICOLARE HA LA PATENTE DI GUIDA ? 1 2 Si No Esempio di indagine RP FINALITÀ DELL’INDAGINE stima della domanda interna METODOLOGIA D’INDAGINE indagine telefonica PENSANDO SEMPRE NELLA GIORNATA DI IERI ALLA FASCIA ORARIA TRA LE ORE 7.00 E LE ORE 9.00, VORREI RICOSTRUIRE I SUOI SPOSTAMENTI. PER SPOSTAMENTO S’INTENDE OGNI VOLTA CHE SI E’ MOSSO PER UNO SCOPO SPECIFICO. D.7 A CHE ORA HA AVUTO INIZIO IL PRIMO SPOSTAMENTO? |___|___| : |___|___| ora minuti D.7.1 DA QUALE INDIRIZZO HA AVUTO INIZIO QUESTO SPOSTAMENTO (indirizzo per esteso comprensivo di numero civico) Comune : 1 Roma 2 Fuori Roma ___________________ (registrare il Comune per gli spostamenti successivi al primo) Via/Piazza/Largo_____________________________________ N° civico: ____________ D.7.2 IN QUALE COMUNE ED INDIRIZZO HA AVUTO TERMINE QUESTO SPOSTAMENTO? (comune ed indirizzo per esteso comprensivo di numero civico) Comune : 1 Roma 2 Fuori Roma ___________________ (Non registrare l’indirizzo se lo spostamento ha avuto termine fuori Roma) Via/Piazza/Largo_____________________________________ N° civico: ____________ D.7.3 A CHE ORA E’ GIUNTO A DESTINAZIONE (nel comune e/o all’indirizzo citato a dom. 7.2)? |___|___| : |___|___| ora minuti D. 7.4 QUALE ERA IL MOTIVO DI QUESTO SPOSTAMENTO? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Andare al posto di lavoro Visita a clienti/affari consegne Andare a scuola Acquisti, commissioni personali Visita a parenti/amici Visite mediche/cure personali Svago (tutti escluso culturale), Sport (spettatore e/o praticante) Svago culturale (cinema, teatro, museo) Accompagnamento/prelevamento persone Parrucchiere, barbiere, estetica Ritorno all’abitazione abituale Altri motivi D.7.5. CON QUALE FREQUENZA EFFETTUA QUESTO SPOSTAMENTO ? |___|___| volte alla settimana |___|___| volte al mese |___|___| volte all’anno (codificare con 1 volta all’anno lo spostamento occasionale/ prima volta) Esempio di indagine RP FINALITÀ DELL’INDAGINE stima della domanda interna METODOLOGIA D’INDAGINE indagine telefonica D.7.6. QUALE MEZZO/I HA UTILIZZATO PER EFFETTUARE QUESTO SPOSTAMENTO ? SE HA USATO PIU’ DI UN MEZZO LI INDICHI IN SEQUENZA 1°mezzo 2°mezzo 3°mezzo 4°mezzo |___|___| |___|___| |___|___| |___|___| 1 A piedi 2 Bicicletta 3 Motocicletta ciclomotori (conducente) 4 Motocicletta ciclomotori (passeggero) 5 Auto privata (conducente) 6 Auto privata (passeggero) 7 Veicolo merci ad uso promiscuo 8 Taxi 9 Autobus (ATAC,COTRAL) 10 Tram 11 12 Metropolitana Altro mezzo (treno FS, aereo) D.7.7. (Per tutti coloro con cod.3, 5 e 7 a dom. 7.6, eccetto quando a dom.7.2 la risposta è uguale a 2 (fuori Roma) e a dom. 7.6 è stato citato solo cod. 3 o 5 o 7)DOVE HA PARCHEGGIATO? 1 Strada o area pubblica gratuita 2 Strada o area pubblica a pagamento 3 Posto auto privato di proprietà 4 Posto auto privato a pagamento 5 Posto auto privato gratuito o riservato azienda 6 Autorimessa D.7.8. (Se ha usato più mezzi) IN QUALE INDIRIZZO HA PRESO IL SECONDO MEZZO? ED IL TERZO ? Indirizzo per esteso secondo mezzo Via/Piazza/Largo_____________________________________ N° civico: ____________ Indirizzo per esteso terzo mezzo Via/Piazza/Largo_____________________________________ N° civico: ____________ ATTENZIONE PORRE LE DOM. DA 7 A 7.8 PER OGNI SPOSTAMENTO EFFETTUATO SUCCESSIVAMENTE AL PRIMO CONTROLLANDO CHE L’INDIRIZZO DI ORIGINE COINCIDA CON QUELLO DI DESTINAZIONE DELLO SPOSTAMENTO PRECEDENTE Esempio di indagine SP CAMPIONI INDIVIDUALI E COLLETTIVI Le osservazioni che costituiscono il campione con cui si calibra un modello, possono essere relative a: •Uno stesso individuo che effettua le proprie scelte ad esempio su una stessa relazione Origine-Destinazione in giorni diversi (Campioni individuali) •Più individui che effettuano le proprie scelte, ad esempio su relazioni OD diverse e in giorni diversi (Campioni collettivi) 20 Corso di TRASPORTI E TERRITORIO e TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE Esempi di modelli di scelta del percorso DOCENTI Agostino Nuzzolo (nuzzolo@ing.uniroma2.it) Antonio Comi (comi@ing.uniroma2.it) Pierluigi Coppola (coppola@ing.uniroma2.it) Umberto Crisalli (crisalli@ing.uniroma2.it) 21 Example of path alternatives Frascati-Rome with Desired Arrival Time at 9:30 am Path 1 Attributes waiting time on board time rail and metro on board time bus access and egress walking time late arrival time early arrival time number of transfers total travel time min 8 48 23 16 18 0 3 100 values [min] max 18 56 28 16 30 0 3 112 average 14 52 25 16 25 0 3 107 Path 2 Attributes waiting time on board time rail and metro on board time bus access and egress walking time late arrival time early arrival time number of transfers total travel time min 7 37 41 8 18 0 3 100 values [min] max 19 46 50 8 30 0 3 112 average 13 41 45 8 25 0 3 107 Path 3 Attributes waiting time on board time rail and metro on board time bus access and egress walking time late arrival time early arrival time number of transfers total travel time min 10 55 24 14 26 0 3 108 values [min] max 33 60 32 14 55 0 3 137 average 22 58 27 14 38 0 3 120 Path 4 Attributes waiting time on board time rail and metro on board time bus access and egress walking time late arrival time early arrival time number of transfers total travel time min 5 44 43 6 29 0 3 111 values [min] max 27 50 53 6 49 0 3 131 average 18 47 47 6 36 0 3 118 Frascati Railways station Train Capannelle Railways station Bus Cinecittà Metro station Ciampino Railways station Metro A Bus Sempione Bus stop Piazza Sempione Termini Metro station Bus Anagnina Metro station Tor Vergata University of Rome Foot Metro A Metro B Conca D’Oro Metro station Foot 22 Path choice behaviour assumption The user compares the alternative paths using a personal path utility function, for example: t ékù = b × ED + b × AE + å [ b VOD ×TWm,k + bOB,m ×OBm,k + bCFW ,m ×CFWm,k + b NT ,m × NTm,k ] ,t TT ë û ED k AE k TW ,m i m where: V is the Path Utility of path k for user i EDk is the Early or Late arrival time (i.e. the difference between the desired and the actual arrival time); AEk is the sum of access and egress times; TWm,k is the waiting time of transit service m; OBm,k is the on-board time; CFWm,k is the average on-board crowding degree; NTm is the number of transfers; i are the personal model parameters. Tor Vergata University of Rome 23 Which performances are required to the individual path choiche models? • t-student test: H0 : k = 0; • rho-squared : kML t 1/ 2 Var kML ln L( ML ) 1 lnL(0) 2 • adjusted rho-squared ln L ML N 1 ln L(0) 2 N number of model parameters • %-of- right = percentage of observations for which the choosen alternative is the one of maximum utility ( or the second best) Tor Vergata University of Rome 24 Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations • Esempio di questionario EXP 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Ora Partenza 500 500 500 500 500 500 500 500 500 Ora Arrivo 571 562 571 576 565 569 621 565 586 T_ Viaggio_Tot 71 62 71 76 65 69 121 65 86 Tor Vergata University of Rome Tempo Piedi 9 14 6 9 14 6 9 14 6 Attesa_ Bus 2 4 6 2 1 8 1 1 6 Viaggio Bus 48 29 34 45 38 31 83 38 35 Viaggio Metro 0 0 15 0 0 15 0 0 16 Tempo Trasb_Bus 12 15 3 20 12 1 28 12 13 Tempo Trasb_Metro 0 0 7 0 0 8 0 0 10 N N SCELTA Trasb_Bus Trasb_Metro 2 0 0 1 0 0 1 2 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 25 Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations USER Waiting Model type time (total) βwaiting User A User B User C User D User E User F Average On-board On-board On-board Early and late %-of-right (1st) time time time (bus) arrival time %-of-right incl. 1st+2nd (metro) (train) best βrailway βmetro βbus βΔ(early/late) logit ( = 0.71) logit 2 ( = 0.67) logit 2 ( = 0.60) logit 2 ( = 0.90) logit 2 ( = 0.79) logit 2 ( = 0.69) -0.44 t =-4.06 -1.22 t =-5.50 -0.073 t =-3.31 -0.773 t =-3.65 -0.497 t =-5.24 -0.105 t =-1.71 -0.08 t =-1.3 -0.43 t =-3.12 - -0.34 t =-1.64 -0.83 t =-2.80 - - - logit ( = 0.51) -0.219 t = -11.59 2 2 Tor Vergata University of Rome -0.43 t =-3.24 -0.59 t =-3.31 -0.265 t =-6.81 -1.10 t =-3.24 -0.261 t =-4.90 -0.516 t =-6.40 -0.026 t =-0.14 -0.29 t =-3.41 -0.57 t =-3.27 -0.081 t =-2.58 -0.074 t =-0.67 - -0.179 t =-1.73 -0.169 t =-2.90 84% 97% 81% 98% 64% 100% 95% 100% 88% 100% 90% 96% -0.062 t = -3.96 -0.08 t = -1.58 -0.18 t = -6.29 -0.036 t = -2.29 76% 90% 26 Performances models of Multinomial Personal model Applied to… User A User B User C User D User E User F %-of-right (1st) 84% 81% 64% 95% 88% 90% Tor Vergata University of Rome %-of-right (2nd) 97% 98% 100% 100% 100% 96% logit Average model %-of-right (1st) 83% 51% 65% 91% 79% 85% %-of-right (2nd) 98% 77% 89% 100% 95% 96% 27 Example of path alternatives Urban O-D pair Path 1 Attribute Waiting time the first bus (minutes) On board (bus; minutes) On board metro minutes) Bus Transfer Time (minutes) Metro Transfer Time (minutes) Number of transfer bus Number of transfer metro On foot Time (minutes) Total Travel time (minutes) min 1 33 0 9 0 2 0 9 62,00 Path 3 Attribute Waiting time the first bus (minutes) On board (bus; minutes) On board metro minutes) Bus Transfer Time (minutes) Metro Transfer Time (minutes) Number of transfer bus Number of transfer metro On foot Time (minutes) Total Travel time (minutes) min 1 13 9 1 5 1 2 6 52 values [min] Path 2 Max Average Attribute 8 3 Waiting time the first bus (minutes) 83 43 On board (bus; minutes) 0 0 On board metro minutes) 41 22 Bus Transfer Time (minutes) 0 0 Metro Transfer Time (minutes) 2 2 Number of transfer bus 0 0 Number of transfer metro 9 9 On foot Time (minutes) 121,00 76,47 Total Travel time (minutes) values [min] min Max Average 1 7 3 22 38 27 0 0 0 0 27 13 0 0 0 1 1 1 0 0 0 14 14 14 40 72 57 values [min] Max Average 29 9 73 30 16 13 22 10 16 9 1 1 2 2 6 6 121 76 Tor Vergata University of Rome 28 Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations Urban O-D pair Attributes Travel time (total) Parameter User A -0.199 User B Average -0.235 -0.062 (-5.11) -0.151 (-1.78) -0.187 -2.558 (-5.24) -1.175 (-10.67) -0.339 (-6.24) 0.85 75% (2.10) 0.46 72% (-2.31) 0.41 70% 100% 94% 94% (-7.86) Time on foot On-board and transfer time ASA (metro) 2 %-of-right %-of-right including the 1st+2nd best Tor Vergata University of Rome 29 Performances of Multinomial logit models Urban O-D pair Personal model Applied to… User A User B Tor Vergata University of Rome %-of-right (1st) 75% 72% %-of-right (2nd) 100% 94% Average model %-of-right (1st) 74% 62% %-of-right (2nd) 97% 94% 30
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