Modelli Lineari Multilivello
Silvia Bacci1
Dipartimento di Economia - Università di Perugia
1 silvia.bacci@stat.unipg.it
S. Bacci (unipg)
1 / 35
Outline
1
Introduzione
2
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
3
Il modello di regressione a due livelli: introduzione di una covariata a livello
2
4
Relazioni within e between
5
Il modello a effetti fissi
6
Alcune considerazioni conclusive
S. Bacci (unipg)
2 / 35
Introduzione
Le strutture gerarchiche
I modelli multilivello si occupano dell’analisi di strutture gerarchiche di dati
Si ha una struttura gerarchica di dati quando le unità statistiche di
osservazione sono aggregate in gruppi di unità
Esempi:
studenti → classi → scuole
pazienti → medici → ospedali
lavoratori → aziende → regioni
individui → famiglie → regioni
intervistati → intervistatori
Spesso il disegno di campionamento riflette la struttura gerarchica
(campionamento multi-stage), ma questo non è necessario per un’analisi
di tipo multilivello
Noi ci occupiamo soltanto di strutture gerarchiche su due livelli
S. Bacci (unipg)
3 / 35
Introduzione
Le strutture gerarchiche
Si ha una struttura gerarchica di dati anche in presenza di risposte
multiple
Si parla di risposte multiple quando le unità di livello inferiore (c.d. unità di
livello 1) rappresentano risposte diverse da parte della medesima unità
statistica (c.d. unità di livello 2), come nel caso di:
dati multivariati (risposte a un questionario o a un test: item → individui)
dati longitudinali (dati panel in econometria o misure ripetute in biostatistica:
occasioni di misura → individui)
Infine, una struttura gerarchica può combinare risposte multiple con
aggregazioni in gruppi di unità (es. test sugli studenti: item → studenti →
scuole)
S. Bacci (unipg)
4 / 35
Introduzione
Individui: quale livello gerarchico?
Le unità di livello più basso prendono nome di unità di livello 1, within,
micro
Le unità di livello più alto prendono nome di unità di livello 2, between,
macro, gruppi
A seconda del contesto, l’individuo (persona, azienda, ecc.) può essere
un’unità di livello 1 oppure di livello 2
Unità di livello 1
Unità di livello 2
S. Bacci (unipg)
risposta univariata
cross-section
individuo
gruppo di individui
risposta multivariata
cross-section
misura, item, risposta
individuo
dati longitudinali
misura, occasione, wave
individuo
5 / 35
Introduzione
Un po’ di terminologia. . .
A seconda del campo di applicazione, i modelli multilivello vengono chiamati
in modi diversi . . .
Statistica: modelli misti (mixed models), modelli (lineari) gerarchici
(hierarchical models) o, più in generale, modelli misti lineari generalizzati
(generalized linear and mixed models - GLMM)
Econometria: modelli a coefficienti casuali (random coefficients models)
o, nel caso di dati longitudinali, modelli a effetti casuali (random effects
models)
Biostatistica: modelli misti (mixed models) per misure ripetute, modelli a
effetti casuali
Educazione: modelli multilivello (multilevel models)
Disegno degli esperimenti: modelli a componenti di varianza
S. Bacci (unipg)
6 / 35
Introduzione
Dati mancanti
I metodi di stima usati per i modelli multilivello consentono la presenza di
dati mancanti a caso (missing non informativo)
Usualmente, quando si hanno individui in gruppi, la numerosità dei gruppi
è variabile (es. numero di studenti per classe o numero di lavoratori per
azienda)
Nel caso di dati longitudinali, può capitare che, per alcuni individui,
manchino le osservazioni in una o più occasioni di misura (panel non
bilanciato)
Nel caso di dati multivariati, può accadere che, per alcuni individui,
manchino le risposte a uno o più item del questionario
Attenzione! Negli ultimi due casi non è scontato che il dato mancante sia
non informativo!
S. Bacci (unipg)
7 / 35
Introduzione
Analisi dei gruppi vs analisi multilivello
Nell’analisi dei gruppi (cluster analysis) la struttura gerarchica è
sconosciuta: scopo dell’analisi è scoprire l’esistenza e la composizione
dei gruppi
Nell’analisi multilivello la struttura gerarchica è nota a priori: scopo
dell’analisi è comprendere le relazioni all’interno e tra i gruppi
S. Bacci (unipg)
8 / 35
Introduzione
Tipi di variabili esplicative
Esempio: punteggio su un test di abilità sottoposto a studenti (i = 1, . . . , nj )
aggregati in scuole (j = 1, . . . , J)
Variabili di livello 1, Xij : descrivono caratteristiche proprie delle unità di
livello 1 (es. : sesso, età)
Variabili di livello 2, Zj : descrivono caratteristiche delle unità di livello 2
variabili globali: caratteristiche delle unità di livello 2 con nessuna misura
corrispondente al livello 1 (es. scuola pubblica vs privata, numero di
insegnanti)
variabili di composizione: caratteristiche delle unità di livello 2 ottenute
aggregando le caratteristiche delle unità di livello 1 (es. numero medio di
alunni per classe, proporzione di femmine, età media)
S. Bacci (unipg)
9 / 35
Introduzione
Una variabile di livello 2 (Zj ) è, per definizione, costante all’interno del
gruppi: la sua variazione è solo tra gruppi
Una variabile di livello 1 (Xij ), invece, varia sia all’interno dei gruppi (cioè
assume valori diversi per i vari individui) sia tra i gruppi (cioè la sua media
cambia di gruppo in gruppo)
¯ .j + (Xij − X
¯ .j )
Xij = X
S. Bacci (unipg)
=>
¯ .j ) + var(Xij − X
¯ .j )
var(Xij ) = var(X
10 / 35
Introduzione
Perchè non un modello di regressione lineare classico
(OLS)?
La presenza di una struttura gerarchica nei dati è sintomo di eterogeneità
non osservata: in altri termini, è ragionevole attendersi che i valori di yij e
yi0 j assunti da due unità elementari i e i0 all’interno della stessa unità j di
livello 2 (gruppo nei dati cross-section o individuo nei dati panel) siano
più simili tra loro (cioè più correlati) rispetto ai valori yij e yi0 j0 assunti da
due unità i e i0 appartenenti a unità di livello 2 diverse
=> Esiste un effetto di gruppo (o effetto individuale nel caso di dati
panel) che spiega parte della variabilità di Y
S. Bacci (unipg)
11 / 35
Introduzione
Perchè non un modello di regressione lineare classico
(OLS)?
Applicare un modello di regressione lineare classico a dati gerarchici
(regressione pooled) significa ignorare la struttura gerarchica dei dati e,
quindi:
Modello inaccurato: non si è in grado di separare il contributo dei due
livelli gerarchici alla eterogeneità di Y, cioè non si è in grado di
distinguere la variabilità di Y all’interno delle unità di livello 2 dalla
variabilità di Y tra le unità di livello 2
Inferenza inaccurata: a causa della somiglianza delle unità elementari
all’interno della stessa unità di livello 2, l’ipotesi di indipendenza del
modello OLS è violata:
gli stimatori OLS dei coefficienti di regressione sono distorti e inconsistenti
=> in genere, la pendenza della retta viene sovrastimata nel modello pooled
gli errori standard dei coefficienti di regressione sono, spesso, sottostimati
=> il tasso di errore di primo tipo tende a essere più alto del livello nominale
α (cioè si rifiuta troppo spesso l’ipotesi H0 : β = 0)
S. Bacci (unipg)
12 / 35
Introduzione
Regressione “between”
Una possibile alternativa alla regressione pooled è la c.d. regressione
between, che consiste nel considerare le medie di gruppo (al posto dei valori
individuali) e applicare la regressione lineare classica ai nuovi dati.
Tuttavia . . .
diverso significato: le variabili di composizione ottenute dall’aggregazione
si riferiscono alle unità di livello 2, quindi non possono essere usate per
investigare sulle relazioni a livello 1
aggregation bias: le relazioni a livello 1 sono diverse dalle relazioni a
livello 2
interazioni tra livelli: lo studio delle relazioni tra livelli è precluso nel caso
di regressione between
S. Bacci (unipg)
13 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Esempio: efficacia delle scuole
Livelli: studenti (livello 1) in scuole (livello 2)
Variabile risposta Y: punteggio su un test di abilità
Variabile esplicativa (a livello 1) X: punteggio su un test iniziale
Nel caso di una sola scuola:
yi = β0 + β1 xi + ei
ei ∼ N(0, σe2 ), ei i.i.d.
Nel caso di un campione di J scuole (Modello di livello 1):
yij = β0j + β1j xij + eij
S. Bacci (unipg)
eij ∼ N(0, σe2 ), eij i.i.d.
14 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Ipotesi sui parametri
Ogni scuola j ha la sua intercetta e il suo coefficiente angolare: (β0j , β1j )
Si assume che (β0j , β1j ) siano variabili casuali con distribuzione normale
bivariata:
β0j
β1j
∼N
γ00
γ10
2
σu0 σu01
,
2
σu01 σu1
Inoltre, (β0j , β1j ) sono assunti indipendenti da eij
S. Bacci (unipg)
15 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Parametri da stimare
Parametri fissi
γ00 : intercetta media
γ10 : coefficiente angolare medio
Parametri casuali (o di varianza e covarianza)
2
σu0
: varianza dell’intercetta
2
σu1
: varianza del coefficiente angolare
σu01 : covarianza tra intercetta e coefficiente angolare
σe2 : varianza di livello 1 o varianza residua
S. Bacci (unipg)
16 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Ricapitolando: modello lineare a due livelli
Modello di livello 1:
yij = β0j + β1j xij + eij
Modello di livello 2:
β0j = γ00 + u0j
β1j = γ10 + u1j
u0j è la deviazione della scuola j dall’intercetta media di tutte le scuole (γ00 )
u1j è la deviazione della scuola j dal coeff. ang. medio di tutte le scuole (γ10 )
Modello combinato (livelli 1 e 2 insieme):
yij = γ00 + γ10 xij + u1j xij + u0j + eij
| {z }
|
{z
}
parte fissa
parte casuale
=> Le rette di regressione si intersecano tra loro, quindi non è possibile
effettuare alcun ordinamento dei gruppi
S. Bacci (unipg)
17 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Struttura di varianza e covarianza
L’errore totale del modello è u1j xij + u0j + eij che implica
eteroschedasticità
Var(yij |xij ) =
2
2 2
[σu0
+ 2σu01 xij + σu1
xij ] +
σe2
|{z}
|
{z
}
varianza “between”
varianza “within”
correlazione non omogenea tra le risposte di unità dello stesso gruppo
2
2
Cov(yij , yi0 j |xij , xi0 j ) = σu0
+ σu01 (xij + xi0 j ) + σu1
xij xi0 j
nessuna correlazione tra le risposte di unità di gruppi diversi
Cov(yij , yi0 j0 |xij , xi0 j0 ) = 0
S. Bacci (unipg)
18 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Matrice di varianza e covarianza degli effetti casuali
2
σu0 σu01
Σu =
2
σu01 σu1
Alcuni casi particolari di Σu :
Modello di regressione lineare classico (OLS)
Modello a intercetta casuale
S. Bacci (unipg)
19 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Casi particolari: modello OLS
Σu = 0
Var(yij |xij ) = σe2 => omoschedasticità
Cov(yij , yi0 j |xij , xi0 j ) = 0 => le risposte di unità dello stesso gruppo sono
tra loro incorrelate
yij = γ00 + γ10 xij + eij => intercetta e coefficiente angolare sono costanti
=> La retta di regressione è la stessa per tutti i gruppi (la struttura di gruppo
non ha alcun effetto su Y)
S. Bacci (unipg)
20 / 35
Il modello lineare a due livelli: una sola covariata a livello 1
Casi particolari: modello a intercetta casuale
Σu =
2
σu0
0
0
0
2
La varianza del coefficiente angolare (σu1
) è pari a 0
2
La varianza dell’intercetta (σu0
) è diversa da zero (ma non dipende da X)
2
Var(yij |xij ) = σu0
+ σe2 => omoschedasticità
2
2
=> coefficiente di correlazione intraclasse: σu0
/(σu0
+ σe2 )
2
Cov(yij , yi0 j |xij , xi0 j ) = σu0
=> equi-correlazione all’interno dei gruppi
yij = γ00 + γ10 xij + u0j + eij => intercetta casuale (una per ogni gruppo
data da γ00 + u0j ) e coefficiente angolare costante
=> Le rette di regressione sono tra loro parallele, quindi è possibile ordinare i
gruppi in base a u0j
S. Bacci (unipg)
21 / 35
Il modello di regressione a due livelli: introduzione di una covariata a livello 2
Esempio: efficacia delle scuole
Livelli: studenti (livello 1) in scuole (livello 2)
Variabile risposta Y: punteggio su un test di abilità
Variabile esplicativa (a livello 1) X: punteggio su un test iniziale
Variabile esplicativa (a livello 2) Z: tipo di scuola (pubblica vs privata)
L’introduzione di covariate di livello 2 è utile per
definire un modello per spiegare meglio i parametri di livello 1, cioè
(β0j , β1j )
2
2
e, quindi, ridurre le varianze di livello 2, cioè (σu0
, σu1
)
S. Bacci (unipg)
22 / 35
Il modello di regressione a due livelli: introduzione di una covariata a livello 2
Modello lineare a due livelli con covariata di livello 2
Modello di livello 1:
yij = β0j + β1j xij + eij
Modello di livello 2:
β0j = γ00 + γ01 zj + u0j
β1j = γ10 + γ11 zj + u1j
Modello combinato (livelli 1 e 2 insieme):
yij = γ00 + γ01 zj + γ10 xij + γ11 zj xij + u1j xij + u0j + eij
|
{z
}
|
{z
}
parte fissa
parte casuale
γ01 è la differenza media nell’intercetta tra scuole pubbliche e scuole private
γ11 è la differenza media nel coeff. ang. tra scuole pubbliche e scuole private
l’interazione zj xij è dovuta al fatto che il coefficiente di livello 1 β1j dipende
dalla covariata di livello 2 zj
l’inserimento di una covariata di livello 2 modifica soltanto la parte fissa del
modello
u0j e u1j hanno la stessa interpretazione di prima
le assunzioni distributive sugli effetti casuali rimangono invariate
S. Bacci (unipg)
23 / 35
Il modello di regressione a due livelli: introduzione di una covariata a livello 2
Effetto delle covariate sulle varianze
Una covariata di livello 2 fa ridurre (o lascia invariata) la varianza di livello
2
Una covariata di livello 2 non influenza la varianza di livello 1, in quanto è
costante all’interno di ciascun gruppo
Una covariata di livello 1 fa ridurre (o lascia invariata) la varianza di livello
1
L’effetto di una covariata di livello 1 sulla varianza di livello 2 è
imprevedibile
S. Bacci (unipg)
24 / 35
Relazioni within e between
Centrare una covariata (quantitativa)
Esistono vari modi per studiare le relazioni all’interno dei gruppi e le relazioni
tra i gruppi, che dipendono dal modo in cui X è inserita nel modello
1
2
3
4
yij = . . . + γtotal xij + . . . (modello con covariata grezza)
yij = . . . + γwithin (xij − ¯x.j ) + γbetween¯x.j + . . . (modello di Cronbach)
yij = . . . + γwithin xij + (γbetween − γwithin )¯x.j + . . . (modello contestuale)
yij = . . . + γwithin (xij − ¯x.j ) + . . . (modello within o a effetti fissi)
S. Bacci (unipg)
25 / 35
Relazioni within e between
Modello di Cronbach e modello contestuale
Modello di Cronbach: centratura rispetto alla media di gruppo + media di
gruppo
yij = γ00 + γ10 (xij − ¯x.j ) + γ01¯x.j + u0j + eij
con
γ10 : coefficiente within
γ01 : coefficiente between
Modello contestuale: covariata X “grezza” + media di gruppo
yij = γ00 + γ
e10 xij + γ
e01¯x.j + u0j + eij
Se sostituisco xij con (xij − ¯x.j ) + ¯x.j ottengo il modello di Cronbach
riparametrizzato:
yij = γ00 + γ
e10 (xij − ¯x.j ) + (e
γ10 + γ
e01 )¯x.j + u0j + eij
con
γ
e10 = γ10
γ
e01 = γ01 − γ10 = effetto di contesto
S. Bacci (unipg)
26 / 35
Relazioni within e between
Interpretare gli effetti within, between, contestuale
Esempio: yij , punteggio su un test di abilità, xij punteggio su un test iniziale,
Z = ¯x.j
Effetto within (stesso punteggio medio di scuola, punteggi iniziali
individuali diversi):
E(yij |xij = 81, ¯x.j = 70) − E(yij |xij = 80, ¯x.j = 70) = γ10
Effetto between (stessa deviazione tra punteggio iniziale individuale e
punteggio medio della scuola):
E(yij |xij = 81, ¯x.j = 71) − E(yij |xij = 80, ¯x.j = 70) = γ01
Effetto contestuale (stesso punteggio iniziale individuale, punteggi medi
delle scuole diversi):
E(yij |xij = 80, ¯x.j = 71) − E(yij |xij = 80, ¯x.j = 70) = γ01 − γ10
S. Bacci (unipg)
27 / 35
Relazioni within e between
Modello con covariata “grezza”
L’approccio più intuitivo consiste nell’inserire una covariata di livello 1 come
covariata grezza, senza considerare la media di gruppo:
yij = γ00 + γ
b10 xij + u0j + eij
Questo equivale ad assumere che gli effetti within e between siano identici:
yij =γ00 + γ
b10 xij + u0j + eij
γ00 + γ
b10 (xij − ¯x.j + ¯x.j ) + u0j + eij
γ00 + γ
b10 (xij − ¯x.j ) + γ
b10¯x.j + u0j + eij
S. Bacci (unipg)
28 / 35
Relazioni within e between
Ricapitolando . . .
1
yij = . . . + γtotal xij + . . . (modello con covariata grezza)
2
yij = . . . + γwithin xij + (γbetween − γwithin )¯x.j + . . . (modello di Cronbach)
3
yij = . . . + γwithin (xij − ¯x.j ) + γbetween¯x.j + . . . (modello contestuale)
4
yij = . . . + γwithin (xij − ¯x.j ) + . . . (modello within o a effetti fissi)
I modelli da 1 a 3 consentono di controllare completamente l’effetto di
una covariata di livello 1
I modelli 2 e 3 sono equivalenti
Il modello 1 è più parsimonioso dei modelli 2 e 3, ma in generale è
sbagliato (in quanto gli effetti between e within di solito sono diversi)
Il modello 4 (modello within o a effetti fissi) controlla solo per l’effetto
all’interno dei gruppi
S. Bacci (unipg)
29 / 35
Il modello a effetti fissi
Il modello a effetti fissi
Nel modello ad intercetta casuale gli effetti casuali u0j possono essere
sostituiti con dei parametri - cioè costanti incognite ma fisse - αj
yij = (γ00 + αj ) + βxij + eij
In tal caso non è richiesta nessuna assunzione distributiva sugli effetti
casuali di livello 2
Tuttavia, il coefficiente β non è l’effetto totale di X, ma solo l’effetto within,
in quanto tutta la variabilità tra i gruppi (effetto between) è assorbita dagli
effetti fissi
S. Bacci (unipg)
30 / 35
Il modello a effetti fissi
Infatti, la stima dei parametri β si ottiene scartando dal modello originario
il seguente modello basato sulle medie di gruppo:
¯y.j = (γ00 + αj ) + β¯x.j + ¯e.j
cioè (modello basato sulle deviazioni dalle medie di gruppo)
yij − ¯y.j = β(xij − ¯x.j ) + (eij − ¯e.j )
La trasformazione attuata elimina gli effetti fissi dal modello e si ottiene lo
stimatore a effetti fissi βˆFE per β
βˆFE è detto anche stimatore within in quanto descrive l’effetto della
deviazione di X rispetto alla propria media di gruppo
Gli effetti fissi αj sono stimati come residuo medio: α
ˆ j,FE = ¯y.j − βˆFE ¯x.j
S. Bacci (unipg)
31 / 35
Il modello a effetti fissi
Effetti fissi o effetti casuali?
Gli effetti casuali sono l’approccio standard in epidemiologia, sociologia,
psicometria; gli effetti fissi sono l’approccio standard in econometria
Vantaggi dell’approccio a effetti fissi:
si evitano assunzioni distributive sui residui di livello 2
può essere usati con pochi gruppi
lo stimatore βˆFE è sempre consistente
Svantaggi dell’approccio a effetti fissi:
al crescere del numero di gruppi si ha una perdita di efficienza (il numero di
effetti fissi da stimare è pari al numero di gruppi)
tiene conto solo della varianza within e non della varianza between => non
è possibile usare covariate di livello 2, cioè covariate che non variano al
livello 1 (nel caso di dati panel, non è possibile inserire nel modello
caratteristiche costanti nel tempo degli individui)
Stima inefficiente degli effetti di gruppo (ad es., se un gruppo ha solo due
unità, il suo effetto fisso è stimato usando due osservazioni)
Non consente di fare inferenza sulla popolazione dalla quale il campione è
stato estratto, in quanto è condizionato ai valori degli αj => se l’interesse è
proprio sugli elementi del campione l’approccio FE è il candidato naturale,
se l’interesse è sulla popolazione dalla quale il campione proviene, allora
l’approccio RE è una scelta più corretta
S. Bacci (unipg)
32 / 35
Il modello a effetti fissi
Test di Hausman
Esistono però situazioni in cui, al di là delle considerazioni appena fatte,
l’approccio FE è preferibile all’approccio RE => questo accade quando
gli effetti di livello 2 e le covariate sono correlati tra loro: E(xij αj ) 6= 0
Se E(xij αj ) 6= 0 lo stimatore RE è inconsistente, mentre lo stimatore FE è
consistente (dimostrazione omessa)
=> Un test di non correlazione tra le variabili esplicative e gli effetti di
livello 2 è anche un test sull’affidabilità dell’approccio RE
Il Test di Hausman confronta H0 : E(xij αj ) = 0 con H1 : E(xij αj ) 6= 0
Il Test di Hausman consente di scegliere tra approccio a effetti fissi e
approccio a effetti casuali, basandosi sulle proprietà dei rispettivi
stimatori:
Sotto H0 , lo stimatore FE è consistente ma inefficiente, lo stimatore RE è
consistente ed efficiente
Sotto H1 , lo stimatore FE è consistente, lo stimatore RE è inconsistente
Se si accetta H0 è preferibile usare l’approccio RE; se si rifiuta H0 è
preferibile usare l’approccio FE
S. Bacci (unipg)
33 / 35
Alcune considerazioni conclusive
Quante unità di livello 2 e quanto grandi?
Il numero di gruppi minimo richiesto per stimare un modello lineare
multilivello dipende dall’obiettivo dell’inferenza
Se l’obiettivo è ottenere stime puntuali non distorte dei coefficienti di
regressione, sono sufficienti 10 unità di livello 2
Se si è interessati altresì a stime non distorte delle componenti di
varianza e degli errori standard, sono necessarie almeno 30 unità di
livello 2
Nel caso di pochi gruppi può essere opportuno adottare un modello a
effetti fissi
L’ampiezza dei gruppi è meno rilevante: nel caso di modelli lineari anche
gruppi di ampiezza 2 sono sufficienti (es. panel con due osservazioni per
individuo)
Tuttavia, gruppi piccoli peggiorano l’inferenza specifica dei gruppi (es.
scarsa precisione degli errori di livello 2) e danno poca informazione sulla
struttura di varianza e covarianza a livello 2, che, quindi, dovrebbe essere
semplice (es. evitare coefficienti casuali)
S. Bacci (unipg)
34 / 35
Alcune considerazioni conclusive
Inferenza basata sugli errori di livello 2
Le stime degli effetti casuali di livello 2 u0j e u1j possono essere usate per
fare inferenza sulle unità di livello 2
Prima questione: Il gruppo j1 differisce significativamente dalla media,
cioè u0j1 6= 0 (o u1j1 6= 0)?
Se l’intervallo di confidenza (al 95%) dato da
uˆhj1 ± 1, 96 · SE(uˆhj1 )
non contiene 0, allora concludo che uhj1 6= 0 (h = 0, 1)
Seconda questione: Il gruppo j1 differisce significativamente dal gruppo
j2 , cioè u0j1 6= u0j2 (o u1j1 6= u1j2 )?
Se gli intervallo dati da
uˆhj1 ± 1, 39 · SE(uˆhj1 )
e
uˆhj2 ± 1, 39 · SE(uˆhj2 )
non si sovrappongono, allora concludo che uhj1 6= uhj2 (h = 0, 1)
S. Bacci (unipg)
35 / 35
© Copyright 2024 Paperzz
