Università degli Studi di Milano Corso di Laurea in Informatica Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale FISICA Lezione n. 9 (4 ore) Trasformazioni termodinamiche, legge dei gas perfetti e teoria cinetica Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z) Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano) web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: flavia.groppi@unimi.it & carlo.pagani@unimi.it Trasformazioni Termodinamiche Limitandoci a considerare un sistema gassoso, in cui tipo e quantità di gas non cambiano (sistema chiuso), notiamo che: lo stato del sistema è determinato dalla conoscenza delle grandezze pressione, volume e temperatura. Queste grandezze: p, V e T sono dette variabili di stato. Una trasformazione termodinamica rappresenta l’evoluzione del sistema da uno stato iniziale ad uno stato finale, attraverso il passaggio da infiniti stati intermedi contigui. Vari sono i modi di passare da uno stato iniziale ad uno stato finale Come in meccanica abbiamo definito il Diagramma Orario per mettere in forma di grafico le caratteristiche principali del moto di un corpo, così in termodinamica si usa generalmente il Diagramma pV - con il volume del sistema, V, in ascisse (asse delle x) e la pressione, p, in ordinate (asse delle y) - per mettere in forma grafica una trasformazione termodinamica, cioè l’evoluzione degli stati da cui passa un sistema da uno stato iniziale a uno stato finale Flavia Groppi & Carlo Pagani 2 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Esempi di trasformazioni Alcuni esempi di trasformazioni sono riportati qui sotto sul diagramma pV, con l’indicazione del lavoro compiuto dal sistema. Vf dL F ds ( pA)(ds) ( p)(Ads) p dV L dL p dV V i Nota: si suppone che le trasformazioni avvengano molto lentamente, passando per stati di equilibrio. Flavia Groppi & Carlo Pagani 3 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Trasformazioni particolari Trasformazione adiabatica: il sistema è completamente isolato e non si verifica nessun trasferimento di calore con l’ambiente esterno. Eint L Trasformazione a volume costante o isocora: durante la trasformazione il volume del sistema non cambia. Eint Q Trasformazione isoterma: durante la trasformazione la temperatura del sistema non cambia. Per trattarla non basta il 1° Principio. Trasformazione ciclica: sono trasformazioni nelle quali, dopo alcuni scambi di calore e lavoro si ripristina lo stato iniziale del sistema. QL Trasformazione di espansione libera: è l’espansione di un gas da un recipiente a un ambiente in cui ci sia il vuoto. E’ anomala perché non passa da stati di equilibrio però possiamo scrivere. QL0 Flavia Groppi & Carlo Pagani ΔEint 0 T 0 4 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Espansione libera L’espansione libera è un processo irreversibile, che non passa per stati di equilibrio. Risulta anche molto difficile da realizzare perché come il gas entra nella seconda camera la condizione di vuoto non è più rispettata. Questo processo ideale risulta però molto utile concettualmente perché, non cambiando la temperatura, le variabili termodinamiche che definiscono il sistema nel suo stato finale sono facilmente calcolabili. Flavia Groppi & Carlo Pagani 5 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Legge dei gas perfetti (ideali) In tutti i gas, monoatomici o molecolari, le variabili di stato sono legate tra di loro da una legge fondamentale che, nel caso dei gas ideali, è: pV = nRT [J]. Questa legge, Legge dei gas perfetti, vale in ottima approssimazione se le densità non sono troppo elevate e si è lontani dalla transizione di fase. – p [Pa] è la pressione – [Pa] = [N m-2] = [kg m s-2] [m-2] = [kg m-1 s-2] = [J m-3] – V [m3] è il suo volume – n [mol] è il numero di moli di cui è composto – R [J mol-1 K-1] è la costante dei gas – R = 8.31 [J mol-1 K-1] – T [K] è la temperatura di equilibrio del sistema p [J m-3] ·V [m3] = n [mol] ·R [J mol-1 K-1] ·T [K] La costante dei gas R deriva da due costanti molto importanti nella fisica: R = k NA NA = numero di Avogadro = 6.02 · 1023 [mol-1] k = costante di Boltzmann = 1.38 · 10-23 [J/K] Flavia Groppi & Carlo Pagani 6 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Note sulla legge dei gas perfetti Si può esprimere utilizzando k e N= n·NA (N è quindi il numero di molecole di cui è composto il sistema termodinamico in oggetto) e si ottiene pV=NkT In una trasformazione isoterma (T = costante) si ha, quindi: p V = n R T = cost ⇒ p V = cost Notiamo che in una trasformazione isoterma è necessario uno scambio di energia con l’ambiente esterno. Infatti se il sistema si espande da Vi a Vf > Vi , esso compie un lavoro che, a T = cost, deve essere compensato da un apporto esterno di energia: Eint = 0 = Q – L In una trasformazione isocora (V = costante) si ha V = (n R T)/p = cost ⇒ (n R T)/p = cost In una trasformazione isobara (p = costante) si ha p = (n R T)/V = cost ⇒ (n R T)/V = cost Flavia Groppi & Carlo Pagani 7 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Esercizio: Lavoro isoterma Una mole di ossigeno O2 (supposto gas ideale) si espande a temperatura ambiente di 310 K da un volume Vi di 12 litri a un volume Vf di 19 litri. Determinare il lavoro svolto dal gas e la quantità di energia termica che l’ambiente deve fornire al sistema perché la trasformazione risulti isoterma. Ricordiamo che la trasformazione deve essere sufficientemente lenta ! Il lavoro si ottiene integrando la pressione rispetto al volume del gas: Vf L p dV ma Vi p V n R T costante 1 1 costante V V Vf V f dV 1 L (nRT ) dV nRT Vi Vi V V Vf V L nRT ln V Vif nRT ln Vi p n RT pi = 21.5 bar pf = 13.6 bar 19 1mol 8.31 J mol 1 K 1 310K ln 1180 J 12 Nella Figura la linea verde rappresenta nel diagramma pV la trasformazione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas durante l’espansione è rappresentato dall’area colorata sottesa dall’isoterma tra i punti Vi e Vf: Il calore apportato dal mondo esterno al sistema durante la trasformazione deve compensare il lavoro svolto. Eint = 0 = Q – L ⇒ Q = L = 1180 J = 0.28 kcal = 0.28 Cal Flavia Groppi & Carlo Pagani 8 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Teoria cinetica dei gas - I Supponiamo che un gas ideale sia confinato entro un recipiente cubico di lato L. Dato il gran numero di molecole possiamo supporre che il loro comportamento sia puramente statistico. La velocità media v è data dalla 2 2 2 2 relazione: v vx v y vz e i valori medi delle componenti della velocità nelle 3 direzioni sono uguali: vx v y vz e anche vx2 v 2y vz2 v 2 / 3 Consideriamo ora una molecola in moto lungo l’asse x con velocità media vx. Se la molecola parte a t=0 da una parete, urta quella opposta dopo un tempo L/vx e ritorna alla partenza dopo Δt = 2L/vx Supponiamo l’urto elastico. L’impulso ceduto è Jx = px = (-mvx) - (mvx) = - 2mvx La forza esercitata dalla parete sulla molecola è J x p x 2m v x mvx2 Fi 2 L / vx L t t Quella sulla parete è uguale e opposta ! Flavia Groppi & Carlo Pagani 9 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Teoria cinetica dei gas - II La forza che ogni molecola esercita sulla parete in questione è quindi: m v x2 Fi L Velocità quadratica media Mentre la forza totale esercitata dalle N molecole per il moto lungo l’asse x, è data da: Ftot , x Passando alla pressione si ha: p • Ftot , x L2 1 m v 2 N m v 2 2N 2 N K 3 V 3 L 3 3V 2 m vx2 N L Energia cinetica media N k N AT N k T Usando la legge dei gas p V n R T NA si trova: 2 3 p V n R T N k T N K dove K k T 3 2 Flavia Groppi & Carlo Pagani 10 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 P e T dalla teoria cinetica Abbiamo quindi visto che la temperatura è una variabile termodinamica (statistica) legata all’energia cinetica media delle molecole del sistema, cioè in ultima analisi alla loro velocità quadratica media. Anche la pressione di un gas è una variabile termodinamica conseguenza della velocità media delle molecole in quanto è determinata dalle forze impulsive sulle pareti. Abbiamo infine capito il significato dell’importantissima costante di Boltzmann, k [J/K] che rappresenta proprio un’unità elementare di energia per grado di temperatura dato che l’energia cinetica media delle molecole è: 3 K kT 2 Questa è, nel caso del gas ideale, l’energia interna per molecola monoatomica! Le relazioni che abbiamo ottenuto permettono di stimare la velocità quadratica media, nota la temperatura T 1 3 3RT 2 2 3 R T vqm m vqm k T M vqm 2 2 M Basta ricordare che: Flavia Groppi & Carlo Pagani M NA m e vqm = velocità quadratica media M = massa molare (massa di 1 mol) R k NA 11 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Esempio L’aria è una miscela di azoto (N2’ (M(N2) = 28.0 u)) ossigeno (O2, (M(O2) = 32.0 u)) ed argon (Ar, (M(Ar) = 39.9 u)). Alla temperatura di 20 °C (293 K) la velocità quadratica media di ciascun gas sarà: vqm 3kT 3kT 3 1.38 1023 293 vqm (O2 ) 478 m / s m m 32 1.66 10 27 3kT 3 1.38 10 23 293 vqm ( N 2 ) 511 m / s 27 m 28 1.66 10 3kT 3 1.38 10 23 293 vqm ( Ar ) 428 m / s 27 m 39.9 1.66 10 Ci vogliono argomenti più sofisticati per mostrare che la distribuzione di velocità è la cosiddetta distribuzione di Maxwell Flavia Groppi & Carlo Pagani 12 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Calori specifici molari dei gas - 1 Per quello che abbiamo visto risulta chiaro che, nel caso dei gas, il calore specifico si definirà per mole invece che per unità di massa. Da cui il nome di calore specifico molare. Un’altra cosa che succede con i gas è che il calore specifico molare, cioè la quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura di una mole di gas di un grado kelvin, dipende dalle condizioni in cui facciamo variare la temperatura: a volume costante o a pressione costante. Ricordando che l’espressione dell’energia cinetica media delle molecole è proporzionale alla temperatura e che l’energia interna è la somma delle energie cinetiche medie delle molecole che lo compongono, possiamo scrivere: K 32 k T Eint n N A K n N A 3 2 k T 32 n R T gas mono-atomico Fornendo calore al sistema a volume costante, il sistema non compie lavoro: Eint Q L Q Eint n CV T Eint Q ma Eint 32 n R T CV 32 R 12.5 [J/(mol K)] n T n T Il CV ottenuto è il calore specifico molare a volume costante di un gas monoatomico. Nel caso dei gas biatomici (N2, O2, H2, aria. Ecc.) si ha: CV Eint 52 n R T Flavia Groppi & Carlo Pagani CV 52 R 20.8 [J/(mol K)] 13 gas bi-atomico Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Calori specifici molari dei gas - 2 In tabella sono riportati i calori specifici molari a volume costante di alcuni gas, monoatomici, biatomici e poliatomici. Si noti come per i gas monoatomici reali il valore sia molto simile a quello ottenuto per i gas ideali. Lo stesso vale per i biatomici. Per quanto riguarda il calore specifico molare a pressione costante, Cp, notiamo che, se si mantiene la pressione costante al variare della temperatura, il volume del sistema deve variare, poiché pV ∝ T e p = costante. Ne consegue che il lavoro compiuto dal sistema è diverso da zero: L ≠ 0. In sostanza, dalla solita formula si ha: Q= Eint +L. Dalle formule già ricavate: Q n C p T Eint Q L Eint 32 n R T CV C p R CV 32 R L p V n R T Eint n CV T C p CV R gas mono- e poli-atomici C p CV R Nota: questa previsione teorica concorda molto bene con i dati sperimentali Flavia Groppi & Carlo Pagani 14 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Trasformazioni adiabatiche - I Grazie alla legge del gas ideale possiamo rappresentare le principali trasformazioni subite dal gas sul piano p-V: • Trasformazione isoterma: pV = costante, iperbole • Trasformazione isobara: p = costante, tratto orizzontale • Trasformazione isocora: V = costante, tratto verticale Possiamo rappresentare sul piano p-V anche le trasformazioni adiabatiche, ovvero quelle caratterizzate da uno scambio nullo di energia con l’esterno: Q = 0. Questo è tipicamente verificato nel caso di trasformazioni sufficientemente rapide (propagazione delle onde sonore) oppure eseguite in un ambiente ben isolato. Per le trasformazioni adiabatiche vale che: pV costante piVi p f V f Flavia Groppi & Carlo Pagani ; Cp CV 15 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Trasformazioni adiabatiche - II Il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche valga la relazione: pV costante Cp CV 5/3 = 1.67 per gas mono-atomico 7/5 = 1.40 per gas bi-atomico si dimostra facilmente dalla proprietà dQ = 0 e dall’espressione che abbiamo ricavato per la variazione dell’Energia interna. Infatti si ha: dQ 0 dEint dL p dV p (V ) dV n R T gas mono - atomico (He, Ar...) dEint dEint dV V Cp 5 3 1.67 n R dT CV 3 2 gas bi - atomico (H 2 , O2 , N 2 , aria...) dEint dEint Cp 7 5 1.40 n R dT CV 5 2 dT dV dT dV 7 dV 2 dV 5 dV 2 dV (1 ) (1 ) ovvero (1 ) (1 ) T V T V 5 V 5 V 3 V 3 V quindi in entrambi i casi abbiamo : ln T (1 ) ln V cost. Flavia Groppi & Carlo Pagani T V 1 cost. 16 p V costante Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Esercizi Lezione 9 Un bollitore viene riempito con un litro d’acqua a 20 °C. Supponendo che non ci sia scambio termico con l’ambiente esterno, sapendo che la resistenza R che riscalda l’acqua consuma 1200 W e che la tensione fornita dalla rete elettrica è 220 V, determinare: a) il valore della resistenza R, b) il tempo necessario per portare l’acqua alla temperatura di ebollizione, c) il tempo che sarebbe necessario per far evaporare tutta l’acqua contenuta nel bollitore, una volta raggiunta la temperatura di ebollizione, lasciando accesa la resistenza riscaldante. LV = 2256 kJ/kg. [ a) R = 40.3 , b) tebol. = 279 s, c) tevap. = 1880 s ] In un bicchiere viene versata una lattina di CocaCola (330 cc) alla temperatura ambiente di 27 °C. Determinare la temperatura alla quale si porta la bibita se vengono versati nel bicchiere 100 g di cubetti di giaccio a 0° C. [ Tfin = 2.2 °C ] 17-8: Un sistema formato da una mole di gas idrogeno è riscaldato a pressione costante da 300 K a 420 K. Calcolare: a) l’energia trasferita al gas come calore, b) l’incremento dell’energia interna del gas, c) il lavoro svolto sul gas. [a) Q = n Cp T = 3.5 kJ, b) Eint = n CV T = 2.5 kJ, c) Lsul gas = - Ldal gas = Eint – Q = - 1.0 kJ ] 17-7: Due moli di elio gassoso, inizialmente alla temperatura di 300 K e alla pressione di 0.400 atm, subiscono una compressione isoterma fino alla pressione di 1.2 atm. Assumendo che il gas si comporti come un gas ideale, determinare: a) il volume finale del gas, b) il lavoro compiuto dal gas, c) la variazione dell’energia interna del gas, d) il calore che il gas riceve dall’ambiente (1 atm = 1.013 x 105 Pa). [ a) Vf = 0.0410 m3, b) L = -5.48 kJ, c) Eint = 0, d) Q = -5.58 kJ ] Flavia Groppi & Carlo Pagani 17 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14 Esercizi Lezione 9 - continua 17-4: Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale di 1.00 m3, seguendo una trasformazione quasi-statica data dalla relazione p = V2, dove = 5.00 atm/m6. Determinare il lavoro che il gas compie durante la trasformazione. [ L = 1.18 x 106 J ] 16-8: Dato un sistema termodinamico formato dal gas elio contenuto in un pallone del diametro di 30.0 cm, alla temperatura di 20 °C e alla pressione di 1 atm, determinare: a) da quante moli di gas elio è composto il sistema, b) da quanti atomi, c) la massa dell’elio, d) la massa di un atomo di elio, e) il valore dell’energia cinetica media degli atomi. f) il valore della velocità quadratica media degli atomi. Il valore della massa atomica dell’elio è M = 4.00 g/mol. [ V = 1.41 x 10-2 m3, a) n = 0.588 mol, b) N = 3.54 x 1023, c) 2.35 g, d) 6.65 x 10-27 kg, e) 6.07 x 10-21 J, f) 1.35 x 103 m/s ] 17-6: Un gas ideale inizialmente a 300 K è sottoposto a una trasformazione isobara alla pressione di 2.50 kPa. Se durante la trasformazione il gas aumenta il suo volume da 1.00 m3 a 3.00 m3 e riceve una quantità di calore Q=12.5 kJ, determinare: a) la variazione dell’energia interna, b) la temperatura finale del gas [ Eint = 7500 J, Tf = 900 K ] 17-9: Un campione di 2.00 moli di gas perfetto biatomico si espande lentamente e adiabaticamente da una pressione di 5 atm e un volume di 12 litri a un volume di 30.0 litri. Determinare: a) la pressione finale del gas, b) le temperature iniziale e finale, c) le tre grandezze che compaiono nel primo principio della termodinamica. [ pf=1.39 atm =1.4·105 Pa, Ti = 366 K e Tf = 253 K, Eint = -4.7 kJ, Q = 0, L = 4.7 kJ ] Flavia Groppi & Carlo Pagani 18 Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2013/14
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