Tutoraggio di “Onde, Fluidi e Termodinamica” - 2014 - Corso A A cura di: Luisa Ostorero Stefano Gariazzo (ostorero@to.infn.it; (gariazzo@to.infn.it; http://personalpages.to.infn.it/∼ostorero/tutorOFT.html) http://personalpages.to.infn.it/∼gariazzo/tutorOFT14/) Settima Settimana - parte 2 Costanti utili alla risoluzione degli esercizi 1 atm = 101325 Pa R = 8.314 J/K/mol NA = 6.02214 · 1023 molecole/mol kB = 1.3807 · 10−23 J/K Esercizi da svolgere in aula 1 Un gas perfetto monoatomico occupa un volume V1 = 4 m3 alla pressione p1 = 8 atm e alla temperatura T1 = 400 K. Mediante una espansione viene portato alla pressione p2 = 1 atm. Calcolare il volume finale V2 , la temperatura finale T2 , il lavoro L compiuto dal gas, la quantit`a di calore assorbita Q e la variazione di energia interna ∆U nei seguenti casi: a) espansione isotermica reversibile; b) espansione adiabatica reversibile; c) espansione adiabatica nel vuoto in un contenitore a pareti rigide. 2 Un liquido di massa m, alla temperatura T1 viene mescolato con un’uguale quantit`a dello stesso liquido alla temperatura T2 6= T1 . Il sistema `e termicamente isolato. Calcolare la variazione di entropia dell’universo e dimostrare che `e positiva. 3 Lo spazio compreso tra due strati sferici concentrici, di raggio r1 = 5 cm e r2 = 15 cm, `e riempito di carbone di legna. Fornendo energia ad un riscaldatore posto nel centro si stabilisce tra le sfere una differenza di temperatura di 50◦ C (in condizioni stazionarie). Sapendo che la potenza fornita `e di 10.8 W si determini la conducibilit`a termica del carbone di legna. 4 Una fontanella `e costituita da un singolo getto d’acqua di portata Q = 50 cm3 /s la cui velocit`a, alla base del getto `e v0 = 2 m/s (figura a). Trattando l’acqua come fluido ideale e trascurando la resistenza dell’aria: 1) Determinare l’altezza H a cui arriva il getto; 2) Calcolare la potenza P della pompa che produce il getto. 3) Si vuole tenere una moneta di massa m = 7.5 g in equilibrio sopra il getto d’acqua (figura b). Assumendo che il getto d’acqua venga deviato orizzontalmente (e uniformemente in tutte le direzioni) dalla faccia inferiore della moneta, calcolare a quale altezza h si posizioner`a la moneta. m H h v0 a) v0 b) 5 (Problema d’esame) Una macchina termica assorbe in un ciclo una quantit`a di calore Q da una sorgente a temperatura T1 = 500◦ C e una quantit` a di calore 3Q da un’altra sorgente a temperatura T2 = 300◦ C. Inoltre cede calore ad una sorgente a temperatura T3 = 20◦ C. a) Si determini il rendimento massimo η del ciclo, specificando le condizioni che consentono di realizzarlo; b) lo si confronti con il rendimento massimo η 0 ottenibile in caso di assenza della sorgente a temperatura intermedia. 6 (Problema d’esame) Una mole di gas perfetto monoatomico inizialmente nello stato A (pA , VA , TA = 300 K) compie un ciclo composto dalle trasformazioni: A → B = riscaldamento isocoro reversibile, B → C = espansione isoterma reversibile, C → D = raffreddamento isocoro reversibile, D → A = compressione isoterma reversibile. Nello stato C il volume e la temperatura del gas sono il doppio di quelli dello stato A. Calcolare: a) la variazione di energia interna del gas in un ciclo; b) il lavoro fatto dal gas in un ciclo; c) la variazione di entropia dell’universo in un ciclo in cui la trasformazione BC `e una isoterma irreversibile ed il cui rendimento `e met` a del ciclo reversibile. Esercizi aggiuntivi 7 Si vuole realizzare una macchina termica che sia operante ciclicamente con tre sorgenti le cui temperature sono TA = 227◦ C, TB = 100◦ C e TC = 0◦ C, assorbendo QA = 200 cal e QB = 300 cal rispettivamente dalle sorgenti A e B, e che compia un lavoro L = 862 J. Verificare se la macchina `e realizzabile. Se non lo `e, indicare una possibile modifica per fare in modo che lo diventi, non modificando i calori assorbiti o ceduti. 8 Considerando dell’azoto gassoso (AN2 = 28 g/mol) si determini: a) la temperatura per cui la funzione di distribuzione delle velocit`a f (v) assume lo stesso valore per v1 = 300 m/s e v2 = 600 m/s; b) la velocit`a v delle molecole per cui la funzione f (v) a temperatura T0 = 300 K assume lo stesso valore che assume ad una temperatura η = 4 volte maggiore. 9 (Problema d’esame) Si considerino due macchine termiche che funzionano tra le stesse due sorgenti di calore alle temperature T1 = 250 K e T2 = 500 K. La prima macchina opera secondo un ciclo di Carnot assorbendo una quantit` a di calore Q2 = 1400 J dalla sorgente alla temperatura T2 . La seconda macchina, irreversibile, ha un rendimento η 0 = 0.35. Il lavoro prodotto dalle due macchine `e il medesimo. Determinare il lavoro prodotto in un ciclo e la variazione di entropia dell’universo che accompagna ogni ciclo delle due macchine. 10 (Problema d’esame) Si considerino le seguenti trasformazioni reversibili per una mole di gas ideale monoatomico: - espansione adiabatica dallo stato A allo stato B con VB = 3VA ; isobara dallo stato B allo stato C con VC = VB /2; compressione adiabatica dallo stato C allo stato D; isocora dallo stato D allo stato A. Sapendo che TB = 400 K, a) stabilire se la macchina sta lavorando come macchina termica o frigorifera (giustificare la risposta); b) calcolare il rendimento/efficienza di tale macchina; c) confrontare il rendimento/efficienza ottenuta con una macchina di Carnot che lavora tra la temperatura massima e la minima del ciclo sopra descritto; d) calcolare la variazione di entropia per ogni trasformazione del ciclo verificando che `e nulla per il ciclo valutato nel suo complesso. 11 (Problema d’esame) Un recipiente a pareti rigide ed adiabatiche `e diviso da un setto in due parti, ciascuna di volume V0 . Inizialmente una parte `e vuota e l’altra contiene una mole di gas reale a temperatura T0 . Tolto il setto che divide le due parti del recipiente si attende che il gas raggiunga un nuovo stato di equilibrio termodinamico. Sapendo che l’energia interna di un gas reale dipende da temperatura e volume secondo l’espressione: a U = cV T − + costante V dove cV `e il calore specifico molare a volume costante e a `e l’omonima costante dell’equazione di stato (Van der Waals), calcolare temperatura e pressione finali del gas. 12 Se la tensione di una corda tesa ai due estremi varia da T a T + ∆T , la frequenza dell’armonica fondamentale passa di conseguenza da f a f + ∆f . ∆f ∆T a) Nel limite di ∆T T si ha che =α . Assumendo che la corda sia inestensibile, si determini la f T costante di proporzionalit` a α. Si consideri una corda tesa, fissata agli estremi, che vibri con la frequenza dell’armonica fondamentale f = 400 Hz. b) Di quanto deve essere variata, in percentuale, la tensione a cui `e sottoposta una seconda corda, identica alla prima, perch´e si producano dei battimenti con frequenza fB = 5 Hz? Si supponga che la corda considerata nel punto precedente si muova con velocit`a v verso una parete riflettente. Un osservatore solidale con la corda vibrante (f = 400 Hz) percepisce un battimento di frequenza fB = 5 Hz tra l’onda sonora generata dalla corda e quella riflessa dalla parete. c) Si calcoli la velocit` a con cui la corda si avvicina alla parete. Per la velocit`a del suono si usi c = 340 m/s. Ulteriori esercizi, proposti durante il tutoraggio del corso B http://personalpages.to.infn.it/∼manfrin/ Risultati 1. a) V2 = 32 m3 , T2 = 400 K, L = Q = 6.74 MJ, ∆U = 0; b) V2 = 13.9 m3 , T2 = 174 K, L = −∆U = 2.75 MJ, Q = 0; c) V2 = 32 m3 , T2 = 400 K, L = Q = ∆U = 0 2. 2mcm ln 2T√1 T+TT2 3. k = 0.23 W/m K 4. 1 2 1) 20.4 cm; 2) 0.1 W; 3) 9.4 cm 5. η = 0.522; η 0 = 0.621 6. a) ∆Uciclo = 0; b) L = 1.73 kJ; c) ∆Suniv = 1.64 J/K 7. non `e realizzabile; `e possibile, ad esempio, variare la TC imponendo che sia minore di 244.28 K 8. a) T = 328 K; b) v = 703 m/s 9. L = 700 J, ∆S = 1.2 J/K 10. Macchina termica: ciclo percorso in senso orario sul diagramma p−V , L > 0; η = 0.415; ηCarnot = 0.76; ∆SAB = ∆SCD = 0, ∆SBC = −∆SDA = −14.41 J/K a (2cV V0 ) ; RTf 2V0 −b Tf = T0 − 12. a) α = 1/2; b) |∆T |/T = 2.5 %; c) v = 2.1 m/s pf = − a 4V02 11. Risultati della sessione scorsa 2. a) p = 280 atm; b) p = 85.7 atm 4. pB =4 atm, VC = 16.4 l, TC = 574 K, L = 527 J, η = 10% 6. Tf = 114◦ C, pf = 2.64 bar, W = 80 J (compiuto sul gas) a) 588.6 Pa ; b) 2442.7 Pa; c) F~lat = ~0 9.
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