Il comportamento meccanico dei materiali soggetti a carichi impulsivi Andrew Ruggiero DICeM - University of Cassino and Southern Lazio, Cassino, Italy a.ruggiero@unicas.it Applicazioni Difesa Corazzature, anti-armor, penetratori KE, esplosivi, detonazioni sottomarine Aerospazio Debris, collisioni in volo, lavorazione metalli Petrolchimico Explosioni di gas e polveri, simulazione di incidenti, perforazione Nucleare Interazione fluido-struttura, colpi d’ariete, esplosione di tubazioni, caduta CASK Trasporti Sicurezza, esplosioni di veicoli in tunnel, crashworthiness a.ruggiero@unicas.it Applicazioni: la carica cava V_slug = 1 km/s V_jet = 6-12 km/s T = 500 °C a.ruggiero@unicas.it Applicazioni: la carica cava RPG-7 3.4 meters of high-strength armor steel Oil & Gas Well a.ruggiero@unicas.it Quasistatica vs. Dinamica Importanza delle forze d’inerzia Propagazione onde di sforzo Differente comportamento del materiale: • Curva di resistenza • Modello di danno • EoS a.ruggiero@unicas.it Che cos’è un’onda Onda – Fenomeno con cui un disturbo, su una qualsiasi grandezza fisica, si propaga nello spazio circostante La propagazione è del disturbo non della grandezza fisica a.ruggiero@unicas.it Tipi di onda Onda longitudinale Onda trasversale a.ruggiero@unicas.it Principi fondamentali ò r dV = const • Conservazione della massa V F=m • Conservazione della quantità di moto I= • Conservazione dell’energia dv dt ò F dt =ò m dv = m vf - m vi 1 2 E + å i å 2 r vi = j j a.ruggiero@unicas.it 1 2 E + å f å 2 r vf + W j j Equazione dell’onda per moto unidimensionale ¶s x sx + dx ¶x sx x ¶u e= ¶x piccole deformazioni ¶s ¶v =r ¶x ¶t dx v= Hp: piccoli spostamenti ¶u ¶t s = s(e) ¶s ¶s ¶e ¶s ¶2u ¶2u = = =r 2 2 ¶x ¶e ¶ x ¶e ¶ x ¶t a.ruggiero@unicas.it Conservazione della quantità di moto c= 2 ¶2 u ¶ u 2 2 =c ¶t ¶ x2 ds de r Equazione dell’onda per moto unidimensionale 2 ¶2 u ¶ u 2 2 = c ¶t ¶ x2 y = f ( x - ct ) + g ( x + ct ) t = ti = 0 y t = dt d x = cd t c Soluzione più generale velocità di propagazione dell’onda y = f (x) y = f ( x - c d t) x cL = a.ruggiero@unicas.it E r æ çç c D = çè G ö÷ ÷ r ÷ø Tensione generata dall’impatto v 0 dt v0 B I = s A0dt A v = v0 v=0 m Dv = r A0 c dt v 0 s = r c v0 cdt Nello studio dei fenomeni d’impatto lo sforzo è definito positivo se di compressione Nella fisica delle onde d’urto: u - velocità della particella U - velocità dell’onda (d’urto) A volte lo stress viene confuso con la pressione a.ruggiero@unicas.it s = ruU Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica Barra con discontinuità in una sezione A1, r1, c1 sI • All’interfaccia, la forza nelle due barre deve essere uguale • Le velocità delle particelle dell’interfaccia devono essere continue s = rcv sI sR sT = r1c1 r1c1 r2c2 a.ruggiero@unicas.it sT sR A1 ( sI + A 2 , r2 , c 2 sR ) = A2 ⋅ sT v I -v R =v T sT = 2A1r2c 2 ⋅ sI A1r1c1 + A2r2c 2 sR = A2 r2 c2 - A1r1c1 ⋅ sI A1r1c1 + A2 r2 c2 Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica Barra con discontinuità in una sezione: materiale identico nelle due barre 2A1r2c 2 sT = ⋅s A1r1c1 + A2r2c 2 I sR = A1, r1, c1 sI r1 = r 2 c1=c2 A2 r2 c2 - A1r1c1 ⋅ sI A1r1c1 + A2 r2 c2 A2>A1 sR sT = sR = sT e sR sT 2A1sI A1 +A2 ( A2 -A1 ) sI A1 +A2 saranno dello stesso segno a.ruggiero@unicas.it A2 , r1, c1 Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica Barra con discontinuità in una sezione A1, r1, c1 sI sR sT A2 0 A1 s R -s I A2 ¥ A1 s R s I (s T 0 ) s R = 0 se A 2 r 2 c 2 = A 1 r 1 c 1 sT e s I sR e s I (Se le impedenze sono uguali) hanno sempre lo stesso segno hanno lo stesso segno se A 2 , r2 , c 2 A2r2c2 >A1r1c1 a.ruggiero@unicas.it Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA ORTOGONALE ALLA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA u, v +s cL cL snet a.ruggiero@unicas.it ghost u, v -s Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE FISSA ORTOGONALE ALLA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA u, v u, v +s cL cL u,v = 0 a.ruggiero@unicas.it ghost +s Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di sforzo uniassiale Prevedere la risposta del materiale per carichi che eccedono lo snervamento Base per determinare le proprietà dinamiche del materiale RATE INDEPENDENT THEORY s s E1 ⋅t r E1 sy sy E e a.ruggiero@unicas.it E ⋅t r x Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di sforzo uniassiale s e e1 sy e1 ee e c1 c0 x Ogni livello di tensione o deformazione propaga con una propria velocità caratteristica che dipende dalla pendenza della tangente nel punto Per l’assunzione di curva σ-ε con concavità verso l’asse delle ε, tensioni e deformazioni più elevati hanno velocità di propagazione minori a.ruggiero@unicas.it Comportamento meccanico dei materiali Curva di resistenza s = f (e, e,T ) Campbell Ferguson Plot Acciaio dolce ricotto, double notch shear SHPB a.ruggiero@unicas.it Modellazione fenomenologica JOHNSON AND COOK (1983) σ = ( A + Bε pn )(1 + C ln ε* )(1 − T *m ) T − T0 T = Tmelt . − T0 * ε* = ε ε0 Modello fenomenologico. Vantaggio: separazione degli effetti termici e di strain rate a.ruggiero@unicas.it Modellazione fenomenologica JOHNSON AND COOK (1983) (cont.) W Cu a.ruggiero@unicas.it 21 Comportamento meccanico dei materiali Condon-Morse curves A B U = − n + m r r P= ∂U a b = − N + M ∂r r r a.ruggiero@unicas.it Difetti nei materiali cristallini a.ruggiero@unicas.it Dinamica delle dislocazioni Barriere di Peierls-Nabarro a.ruggiero@unicas.it Dinamica delle dislocazioni Barriere incontrate dal moto delle dislocazioni s = sG (structure ) + s *(T , e, structure ) a.ruggiero@unicas.it Dinamica delle dislocazioni Strutture cristalline Ferro Cromo Tungsteno Niobio Peierls-Nabarro stress Alluminio Rame Oro Argento Dislocation forests a.ruggiero@unicas.it Cadmio Magnesio Titanio Zinco Modellazione su basi fisiche ZERILLI-ARMSTRONG (1987) BCC σ = c0 + B0 exp − ( β 0 − β1 ln ε ) T + K ε n FCC σ = c0 + B0ε 0.5 exp − ( β 0 − β1 ln ε ) T BCC dσ = Knε n −1 dε FCC dσ 1 = B0ε −0.5 exp − ( β 0 − β1 ln ε ) T dε 2 a.ruggiero@unicas.it c0 = σ G + k d Modellazione su basi fisiche Effetto storia del carico s = f (e, e,T , struttura ) MECHANICAL THRESHOLD STRESS MTS, (Follansbee and Kocks (1988), Mudlin et al. (1990) Il modello si basa sulla meccanica delle dislocazioni. Il processo di deformazione plastica è descritto da una variabile interna detta MTS che segue l’evoluzione della microstruttura (generazione di dislocazione e recovery) σ = σˆ a + a.ruggiero@unicas.it G sthσˆ + sth ,iσˆ i + sth , sσˆ s G0 Modello di danno JOHNSON AND COOK (1983) σ H ε = D1 + D2 exp D3 [1 + D4 lnε *][1 + D5 T *] σ eq f a.ruggiero@unicas.it D= Δε εf Modellazione delle ceramiche JOHNSON HOLMQUIST (JH2) σ * = σ *i − D (σ *i −σ * f ) σ *i = A( P * +T *) N (1 + C ln ε*) σ * f = B( P*) M (1 + C ln ε*) f σ* = σ σ HEL P* = P σ HEL a.ruggiero@unicas.it D = Δε p Δε p ε pf = D1 ( P * +T *) D 2 Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione uniassiale e1 = e1e + e1p e2 = e2e + e2p e3 = e3e + e3p e2 = e3 = 0 e2p = -e2e e3p = -e3e Incompressibilità del flusso plastico e1p + e2p + e3p = 0 e1e = s1 n s 2n - ( s2 + s 3 ) = 1 s E E E E 2 e2e = (1 - n ) s2 n n - ( s1 + s3 ) = s2 - s1 E E E E e3e = (1 - n ) s3 n n - ( s1 + s2 ) = s3 - s1 E E E E e1 = e1p = -e2p - e3p = -2e2p e1p = 2e2e e1 = e1e + e1p = e1e + 2e2e Criterio di snervamento (von Mises o Tresca) s1 ( 1 - 2n ) 2s2 ( 1 - 2n ) + E E s1 = s1 - s2 = Y0 E 2 2 e1 + Y0 = Ke1 + Y0 3 ( 1 - 2n ) 3 3 K= a.ruggiero@unicas.it E 3 ( 1 - 2n ) Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione uniassiale e1 = e1e Deformazione elastica uniassiale e2e = (1 - n ) E s2 - n s =0 E 1 s1 s2 = s1 ( n s 1-n 1 ) ELASTIC PERFECTLY PLASTIC 1-n Ee1 ( 1 - 2n )( 1 + n ) s1 2 Y0 3 s1 = K e1 sHEL Y0 s1 = LINEAR STRAIN HARDENING ELASTIC PERFECTLY PLASTIC LINEAR STRAIN HARDENING E s1 2n 2s1 e1 = E E (1 - n ) e2 = e2e = e3 = e3e = 0 HYDROSTAT e1 E (1 - n ) ( 1 - 2n )( 1 + n ) a.ruggiero@unicas.it e1 e1 Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione uniassiale Onda d’urto stabile s1 Rayleigh line e1 a.ruggiero@unicas.it Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione uniassiale Equazioni di salto ( Per P0 = 0; E 0 = 0 ) r0U = r ( U-u ) u r0 = 1r U P-P0 = r0 Uu Pu= 1 ( r0Uu2 ) + r0U ( E-E0 ) 2 P = r0 Uu E= Rankine Hugoniot equation 1 E - E 0 = ( V0 -V )( P+P0 ) 2 Caso generale P ( V -V ) 2 0 ( V= 1 r ) u-u1 r1 = 1r U-u1 P-P1 = r1 ( U-u1 )( u-u1 ) E - E1 = 1 ( P+P1 )( V1 -V ) 2 a.ruggiero@unicas.it + equazione di stato Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione uniassiale Stato di sforzo uniassiale Stato di deformazione uniassiale s1 s sy e1 e1 e a.ruggiero@unicas.it Hugoniot: rappresentazione dei dati Rappresentazione dei dati e = 1- V r = 1- 0 V0 r1 a.ruggiero@unicas.it Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione uniassiale Onda d’espansione Expansion Waves Decompression Waves Rarefaction Waves Relief Waves Unloading Waves Release Waves s1 e1 a.ruggiero@unicas.it Onde di sforzo elasto-plastiche Impatto simmetrico tra due dischi dello stesso spessore v0 Stato di deformazione uni-assiale in prossimità dell’asse di simmetria v0 v0 2v 0 v=0 Dv=vf -vi =v0 t Impatto simmetrico Ds=rcv0 comp x a.ruggiero@unicas.it Onde di sforzo elasto-plastiche t Impatto non simmetrico tra due dischi dello stesso spessore ma materiale differente c1=2c2 comp spall fracture traz x a.ruggiero@unicas.it Spall fracture spall plane a.ruggiero@unicas.it
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