ESERCIZI DI ANALISI REALE - SECONDA PARTE CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA, A.A. 2014-2015 ROMA - SAPIENZA LUCA FANELLI 1. Misure complesse e Lebesgue-Radon-Nikodym Esercizio 1. Dimostrare che, se µ è una misura complessa su uno spazio misurabile (X, B), allora B 3 E 7→ |µ(E)| ∈ [0, +∞] non definisce, in generale, una misura positiva su (X, B). Esercizio 2. Sia µ una misura complessa su uno spazio misurabile (X, B) e sia λ : B → [0, +∞] una misura positiva, tale che |µ(E)| ≤ λ(E), per ogni E ∈ B. Dimostrare che, per ogni E ∈ B, si ha che |µ(E)| ≤ |µ|(E) ≤ λ(E). Dimostrare inoltre che, se µ : B → [0, +∞], allora |µ| = µ. Esercizio 3. Dimostrare, con un esempio, che se µ è una misura positiva su uno spazio misurabile (X, B), allora può accadere che |µ|(X) = ∞. Esercizio 4. Sia (X, B) uno spazio misurabile. Si denoti con M(B; C) := {µ : B → C misura}e, per ogni µ ∈ M(B; C), si denoti con kµk := |µ|(X). Dimostrare che (M(B; C); k · k) è uno spazio normato. Esercizio 5. Sia (X, B) uno spazio misurabile, sia µ : B → R una misura. Si provino le seguenti affermazioni: (i) µ± sono misure positive e limitate su (X, B) (ovvero µ± (X) < ∞); (ii) valgono le seguenti identità: µ = µ+ − µ− , |µ| = µ+ + µ− . L’identità µ = µ+ − µ− è detta decomposizione di Jordan della misura µ. Essa afferma che ogni misura reale con segno non costante è differenza di due misure positive e limitate. Esercizio 6. Sia (X, B) uno spazio misurabile e siano x0 , x1 ∈ X, con x0 6= x1 . Dimostrare che la misura delta di dirac δx0 è concentrata su {x0 }. Dimostrare inoltre che δx0 ⊥ δx1 . Esercizio 7. Sia E ⊂ Rd un insieme Lebesgue-trascurabile. Dimostrare che la misura di Lebesgue è concentrata su R \ E. P Esercizio 8. Sia {xn }n∈N ⊂ Rd e si consideri la misura µ := n∈N δxn . Dimostrare che µ ⊥ md , dove md è la misura di Lebesgue in Rd . Esercizio 9. Sia (X, B) uno spazio misurabile, siano λ, λ1 , λ2 tre misure arbitrarie su B (complesse, reali o positive) e sia µ : B → [0, +∞] una misura positiva su B. Dimostrare le seguenti affermazioni: (i) se A ∈ B tale che λ è concentrata in A, allora |λ| è concentrata su A; (ii) se λ1 ⊥ λ2 , allora |λ1 | ⊥ |λ2 |; Date: 15 dicembre 2014. 1 2 LUCA FANELLI (iii) (iv) (v) (vi) (vii) se se se se se λ1 ⊥ µ e λ2 ⊥ µ, allora λ1 + λ2 ⊥ µ; λ1 << µ e λ2 << µ, allora λ1 + λ2 << µ; λ << µ, allora |λ| << µ; λ1 << µ e λ2 ⊥ µ, allora λ1 ⊥ λ2 ; λ << µ e λ ⊥ µ, allora λ = 0. Esercizio 10. Sia X = {1, 2, . . . , n}, si consideri lo spazio misurabile (X, 2X ) e le due misure n n X X 1 # := δi . δi , λ := i i=1 i=1 Dimostrare che λ << # << λ e calcolare le derivate di Radon-Nikodym dλ d# e d# dλ . Esercizio 11. Si consideri lo spazio di misura di Lebesgue (Rd , L[Rd ], m) e, per ogni E ∈ L[Rd ], si definiscano Z Z d+2 2 λ(E) := e−|x| dm, µ(E) := (1 + |x|2 )− 2 dm. E E (i) Dimostrare che λ, µ : L[Rd ] → [0, +∞) sono misure positive e limitate su L[Rd ], tali che λ << µ << m << λ. dλ (ii) Calcolare le derivate di Radon-Nikodym dµ e dµ dλ . 2. Misure prodotto e Teorema di Fubini Definizione 2.1 (Misura prodotto). Siano (X, B1 , µ) ed (Y, B2 , λ) due spazi di misura, con µ, λ positive e σ-finite. Per ogni Q ∈ B1 × B2 , definiamo Z Z (2.1) (µ × λ)(Q) := λ(Qx ) dµ = µ(Qy ) dλ, X Y con Qx := {y ∈ Y : (x, y) ∈ Q}, Qy := {x ∈ X : (x, y ∈ Q)}. Esercizio 12. Dimostrare che (µ × λ) è una misura positiva e σ-finita su (X × Y, B1 × B2 ). Essa è denominata misura prodotto delle misure µ e λ. Esercizio 13. Si consideri lo spazio di misura di Lebesuge (Rd , L[Rd ], md ), in dimensione d > 1. Dimostrare che, per ogni k, h ≥ 1 tali che k + h = d, si ha Rd , L[Rd ], md = Rk × Rh , L[Rk ] × L[Rh ], (mk × mh ) . Esercizio 14 (Fubini). Siano (X, B1 , µ) ed (Y, B2 , λ) due spazi di misura, con µ, λ positive e σ-finite, sia f ∈ L1 (X × Y ) e si denotino con Z Z y (2.2) fx (y) = f (x, y) = f (x), ϕ(x) := fx dλ, ψ(y) := f y dµ. Y X Dimostrare che fx ∈ L1 (λ), per µ-q.o. x ∈ X, f y ∈ L1 (µ), per λ-q.o. y ∈ Y e che vale l’identità1 Z Z Z ϕ dµ = f d(µ × λ) = ψ dλ. X X×Y Y Esercizio 15. Sia X = Y = [0, 1], m la misura di Lebesgue su R e sia f (x, y) = R 1+x2 (1+y 2 ) . Calcolare I = X×Y f d(m × m). Esercizio 16 (f ∈ / L1 (µ × λ)-take 1). Sia X = Y = [0, 1], m la misura di Lebesgue x−y su R e sia f (x, y) = (x+y) 3. (i) Dimostrare che f ∈ / L1 (X × Y, m × m). 1Suggerimento: è sufficiente considerare il caso in cui f : X ×Y → R, dato che f = <f +i=f . Quindi, scrivere f = f + − f − ed applicare il punto (i) del Teorema di Fubini ad f + ed f− . ANALISI REALE 3 (ii) Dimostrare che Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 1 1 f (x, y) dm(y) dm(x) = − 6= = f (x, y) dm(x) dm(y). 2 2 0 0 0 0 Esercizio 17 (f ∈ / L1 (µ×λ)-take 2). Sia X = Y = [0, 1] e sia µ = λ = m la misura di Lebesgue. Sia {δn }n∈N ⊂ [0, 1] una successione tale che δn → 1, per n → ∞, e R1 sia gn ∈ C([0, 1]; R tale che suppg ⊂ (δn , δn+1 ), 0 gn (s) ds = 1, per ogni n ∈ N. P∞ Infine, si denoti con f (x, y) = n=1 [gn (x) − gn+1 (x)]gn (y). R 1 R 1 (i) Dimostrare che 0 0 |f (x, y)| dy dx = +∞. R 1 R 1 R 1 R 1 (ii) Dimostrare che 0 0 f (x, y) dy dx = 1 6= 0 = 0 0 f (x, y) dx dy. Esercizio 18. Sia X = Y = [0, 1], sia µ = m la misura di Lebesgue e λ = # la misura della cardinalità. Sia f = χx=y , ovvero f (x, y) = 0, se x 6= y, f (x, y) = 1, se x = y. (i) Dimostrare che f è µ × λ-misurabile. (ii) Dimostrare che Z 1 Z 1 Z f (x, y) dλ(y) dµ(x) = 1 6= 0 = 0 0 0 1 Z 1 f (x, y) dµ(x) dλ(y). 0 Qual è l’ipotesi del Teorema di Fubini che non viene verificata? 3. Teorema di Marcinkievicz e funzioni massimali Esercizio 19. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva e sia f : X → C una funzione misurabile. Dimostrare o confutare le seguenti proprietà: (i) λ1 < λ2 ⇒ m(λ1 , f ) ≥ m(λ2 , f ); (ii) se f ∈ C(X; C), allora limλ→λ+ m(λ, f ) = m(λ0 , f ), per ogni λ0 ∈ R; o m(λ, f ) = m(λ0 , f ), per ogni λ0 ∈ R. (iii) se f ∈ C(X; C), allora limλ→λ− o Esercizio 20. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva e siano f, g : X → C due funzioni misurabili. Dimostrare che, per ogni λ ∈ R, λ λ (3.1) m(λ, f + g) ≤ m ,f + m ,g . 2 2 Esercizio 21 (Disuguaglianza di Tchebychev). Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva e sia f ∈ Lp (µ). Dimostrare la disuguaglianza di Tchebychev (3.2) m(λ, f ) ≤ λ−p kf kpLp , (λ > 0). Esercizio 22. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva e siano f, g : X → C due funzioni misurabili. Dimostrare le seguenti proprietà: (i) (ii) (iii) (iv) per ogni p ∈ [1, ∞], kf kp,p = kf kLp e, di conseguenza, Lp,p = Lp ; per ogni p ∈ (1, ∞), 1 ≤ q1 < q2 ≤ ∞, Lp,q1 ⊂ Lp,q2 ; esiste k = k(p, q) ≥ 1 tale che kf + gkp,q ≤ k (kf kp,q + kgkp,q ).2 se f ∈ Lp,q , allora |f (x)| < ∞ per µ-quasi ogni x ∈ X. 2Suggerimento: usare (3.1) 4 LUCA FANELLI Esercizio 23 (Riarrangiamenti sferici). Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva e sia f : X → C una funzione misurabile. Si definisca il riarrangiamento sferico f ? : [0, +∞] → [0, +∞], f ? (λ) := inf{t ≥ 0 : m(t, f ) ≤ λ}, Dimostrare le seguenti proprietà: (i) La funzione |f | ed il suo riarrangiamento f ? (λ) sono equi-misurabili, ovvero m(λ, f ) = m(λ, f ? ), per ogni λ ∈ R; (ii) gli spazi Lp,q definiti con i sopra-livelli o con i riarrangiamenti sferici coincidono. Esercizio 24. Dimostrare che la funzione f (x) = |x|−γ , con 0 < γ < d, è tale che d d / L γ (Rd ). Costruire, inoltre, una funzione f ∈ L1,73 (R3 ) tale f ∈ L γ ,∞ (Rd ), ma f ∈ che, per ogni q ∈ [1, 73), f ∈ / L1,q . Esercizio 25. Mostrare due funzioni f, g ∈ L2,∞ (R3 ) tali che f g ∈ / L1 . Esercizio 26. Mostrare due funzioni f ∈ L2,∞ (R), g ∈ L2 (R) tali che f g ∈ / L1 . Esercizio 27 (Interpolazione debole-debole). Siano 1 ≤ p0 < p1 < ∞; dimostrare che Lp0 ,∞ ∩ Lp1 ,∞ ⊂ Lpθ ,∞ , per ogni pθ ∈ [p0 , p1 ]. Esercizio 28 (Interpolazione debole-forte). Siano 1 ≤ p0 < p1 < ∞; dimostrare che (3.3) Lp0 ,∞ ∩ Lp1 ,∞ ⊂ Lpθ ⊂ Lpθ ,∞ , per ogni pθ ∈ [p0 , p1 ]. Suggerimenti. Per risolvere l’Esercizio 27, si osservi che, per ipotesi, M0p0 M1p1 , m(λ, f ) ≤ , λp0 λ p1 per qualche costante M0 , M1 e per ogni λ ∈ R. Usando un’elementare disuguaglianza di convessità, è sufficiente provare che m(λ, f ) ≤ Mθpθ . λ pθ Per risolvere l’Esercizio 28, bisogna migliorare l stima (3.4). Denotando con λ0 p p M 0 M 1 l’unico valora per cui λp00 = λp11 , si dimostri che vale la stima più forte Mθpθ λ λ0 (3.5) m(λ, f ) ≤ p min , , λ θ λ0 λ m(λ, f ) ≤ (3.4) per ogni λ ∈ R e per qualche > 0. Inserendo (3.5) in (??), si ottenga la stima kf kLpθ ≤ Cp0 ,p1 ,θ, Mθ e si concluda la dimostrazione. Esercizio 29. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva sia T un operatore sub-lineare definito sulle funzioni misurabili f : X → C. Dimostrare le seguenti proprietà: (i) sia (p, q) 6= (∞, ∞); T è di tipo forte (p, q) ⇒ T è di tipo debole (p, q); (ii) T è di tipo forte (∞, ∞) se e solo se T è di tipo debole (∞, ∞). Esercizio 30. Dimostrare che la funzione massimale di Hardy-Littlewood è un operatore sub-lineare. ANALISI REALE 5 Esercizio 31. Esistono due costanti 0 < cd < Cd , dipendenti solo dalla dimensione d, tali che (3.6) cd M 0 f (x) ≤ M f (x) ≤ Cd M 0 f (x), per ogni f ∈ L1loc (Rd ) e per ogni x ∈ Rd . S Esercizio 32. Sia P ⊂ Qk e sia Rd ⊃ Ω = Q∈P Q. Dimostrare che Z Z (3.7) Ek f (x) dx = f (x) dx. Ω Ω Esercizio 33. Sia 0 ≤ f ∈ L1 (Rd ). Dimostrare che, per ogni x ∈ Rd , lim Ek f (x) = 0. (3.8) k→−∞ Esercizio 34. Sia E ⊂ Rd un insieme Lebesgue-Misurabile. Dimostrare che quasi ogni punto di E è di densità per E e quasi ogni punto di E c non è di densità per E. Esercizio 35. Sia f (x) = L1loc (R). 1 χ 1. x log2 x (0, 2 ] Provare che f ∈ L1loc (R) e che Mf ∈ / 4. Funzioni BV , AC, Teorema FOndamentale del Calcolo Esercizio 36 (Teorema di Cousin3). Sia δ : [a, b] → (0, +∞) una funzione. Esistono una partizione a = t0 < t1 < · · · < tn = b di [a, b] ed una famiglia {t?j }j=1,...n con t?j ∈ [tj−1 , tj ] tali che tj − tj−1 ≤ δ(t?j ), ∀j = 1, . . . , n. La funzione δ è di solito denominata funzione di gauge. Esercizio 37. Sia U ⊂ R un aperto. Dimostrare che esiste unaS successione di intervalli aperti In = (an , bn ), a due a due disgiunti, tali che U = n In ed inoltre an , bn ∈ / U , per ogni n. Esercizio 38 (Funzione di Weierstrass). Sia F : R → R la seguente funzione ∞ X F (x) := 4−n sin(8n πx). n=1 Dimostrare le seguenti proprietà: (i) F è continua e limitata su R; (ii) In ogni intervallo della forma 8jn , j+1 8n , con n ≥ 1, j ∈ Z, vale la stima F j + 1 − F j ≥ c4−n , 8n 8n per una costante assoluta c > 0; (iii) F non è derivabile in nessun punto x ∈ R.4 Esercizio 39. Dimostrare che ogni funzione monotona F : R → R è Lebesguemisurabile. Esercizio 40. Sia F : R → R una funzione monotona. Dimostrare che le derivate del Dini di F sono funzioni misurabili. Esercizio 41. Sia F : R → R. Dimostrare che F è derivabile in x se e soltanto se (4.1) D+ F (x) = D+ F (x) = D− F (x) = D− F (x) ∈ (−∞, +∞). 3Suggerimento. Usare la compattezza di [a, b] per estrarre ricoprimenti finiti da ricoprimenti aperti e quindi invocare la versione 1D del Lemma di RIcoprimento di Besicovitch-Morse 4Suggerimento: procedere per assurdo, utilizzando il punto (ii) 6 LUCA FANELLI Esercizio 42. Sia F : [a, b] → R una funzione derivabile quasi ovunque in [a, b], con derivata F 0 . Provare che F 0 è misurabile. In particolare, se F è monotona, provare che la derivata quasi ovunque F 0 è positiva e misurabile. Esercizio 43. Sia F : [a, b] → R una funzione monotona. Dimostrare che kF kBV = |F (b) − F (a)| e che F ∈ BV se e soltanto se F è limitata. Esercizio 44. Si consideri la funzione di Cantor-Vitali F (x) = limn Fn (x), con 1 0 ≤ x < 31 2 Fn (3x), 1 2 F0 (x) := x; Fn+1 (x) := 12 , 3 ≤x< 3 1 1 2 2 + 2 Fn (3x − 2), 3 ≤ x ≤ 1. Dimostrare che F è continua e monotona in [0, 1], quindi F ∈ BV ([0, 1]) e kF kBV ([0,1]) = 1. Esercizio 45. Dimostrare la disuguaglianza triangolare kF + GkBV ≤ kF kBV + kGkBV e l’omogeneità kλF kBV = |λ|kF kBV , per ogni λ ∈ R. Dimostrare inoltre che kF kBV = 0 se e soltanto se F è costante. Esercizio 46. Sia F : [a, b] → R e sia c ∈ [a, b]. Dimostrare che kF kBV ([a,b]) = kF kBV ([a,c]) + kF kBV ([c,b]) . Esercizio 47. Dimostrare che ogni funzione F ∈ BV (R) è limitata e che esistono i limiti di F , quando x → ±∞. Mostrare inoltre un esempio di funzione continua a supporto compatto in R che non è in BV . Esercizio 48. Sia F : R → R una funzione T − periodica, con periodo T > 0, tale che F ∈ BV . Dimostrare che F è costante. Esercizio 49 (Derivabilità di funzioni Lipschitziane). Una funzione F : R → R è lipschitziana se esiste una costante L > 0 tale che, per ogni x, y ∈ R, |F (x) − F (y)| ≤ L|x − y|. Dimostrare che ogni funzione lipschitziana è derivabile quasi ovunque. Esercizio 50 (Derivabilità di funzioni convesse). DImostrare che ogni funzione convessa (rispettivamente, concava) f : R → R è derivabile due volte quasi ovunque.5 Esercizio 51. Si dimostri che la funzione di Cantor-Vitali F è derivabile quasi ovunque, con derivata F 0 ≡ 0. In particolare, Z 1 1 = F (1) − F (0) 6= F 0 (x) dx = 0. 0 Esercizio 52. Sia F : R → R una funzione T − periodica, con periodo T > 0, tale che F (x2 ) è uniformemente continua su R. Dimostrare che F è costante. Esercizio 53. Dimostrare che la derivata quasi ovunque F 0 di una funzione F ∈ BV è tale che F 0 ∈ L1loc . 5Suggerimento: disegnate un grafico convesso insieme ad un numero finito di corde e segmenti tangenti, per avere intuizione di ciò che accade. ANALISI REALE 7 Esercizio 54. Sia F : [a, b] → R una funzione lipschitziana (quindi derivabile quasi ovunque, con derivata misurabile). Allora6 Z F 0 (x) dx = F (b) − F (a). [a,b] Esercizio 55 (Integrazione per parti in Lipschitz). Siano F, G : [a, b] → R due funzioni Lipschitziane. DImostrare che7 Z Z F 0 G dx = F (b)G(b) − F (a)G(a) − F G0 dx. [a,b] [a,b] Esercizio 56. Dimostrare che ogni funzione F ∈ AC è uniformemente continua (e quindi continua). Esercizio 57. Sia F ∈ AC; dimostrare che F ∈ BV ([a, b]), per ogni intervallo compatto [a, b]-8 Esercizio 58. Dimostrare che ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua ed in partocolare, ogni funzione di classe C 1 è assolutamente continua. √ Esercizio 59. Dimostrare che la funzione F (x) = x è assolutamente continua in [0, 1], ma non lipschitziana. Esercizio 60. Dimostrare che la funzione di Cantor-Vitali è uniformemente continua in [0, 1], ma non assolutamente continua. 5. Estemporanei Esercizio 61. Costruire una funzione bigettiva f : R → R, continua in 0, tale che l’inversa f −1 è discontinua in 0. Esercizio 62. Dimostrare che f (x) = sin x x , con f (0) := 1, è lipschitziana su R. Esercizio 63. Sia f ∈ C ∞ (R), tale che f (0) = 0. Dimostrare che la funzione ∞ g(x) = f (x) x , definita in R \ {0}, può essere estesa ad una funzione di classe C (R). ` di Roma, Dipartimento di Matematica, PiazLuca Fanelli: SAPIENZA UniversitA zale A. Moro 2, I-00185 Roma, Italy E-mail address: fanelli@mat.uniroma1.it 6Suggerimento: ragionare come nella Proposizione ?? ed usare il Teorema della Convergenza Dominata invece del Lemma di Fatou. 7Suggerimento: provare dapprima che il prodotto di due funzioni Lipschitziane è ancora una funzione lipschitziana 8Suggerimento: dimostrare dapprima che la proprietà è vera per ogni intervallo di lunghezza sufficientemente piccola.
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