Relazioni tra PLI e PL
Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Teoria della Programmazione Lineare Intera
Laura Galli
Dipartimento di Informatica
Largo B. Pontecorvo 3, 56127 Pisa
laura.galli@unipi.it
http://www.di.unipi.it/~galli
27 Ottobre 2014
Ricerca Operativa 2
Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale
Universit`
a di Pisa
A.A. 2014/15
L. Galli
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Relazioni tra PLI e PL
D’ora in poi consideriamo un problema di PLI nella forma

 max c T x
Ax ≤ b

x ∈ Zn
(P)
dove i dati A, b, c sono a componenti intere e la regione ammissibile Ω `e limitata.
Teorema
Il problema (P) `e NP-hard.
Definizione
Il problema di PL
max c T x
Ax ≤ b
(RC)
`e detto rilassamento continuo di (P).
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Relazioni tra PLI e PL
Che relazione c’`e tra (P) e (RC)?
Teorema
• Il valore ottimo di (RC) `
e maggiore o uguale del valore ottimo di (P).
• Se la soluzione ottima di (RC) `
e ammissibile per (P), allora `e ottima anche
per (P).
Spesso la soluzione ottima di (RC) non `e ammissibile per (P)...
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Disuguaglianze valide
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Relazioni tra PLI e PL
Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
2
1
0
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Relazioni tra PLI e PL
Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
c
2
1
0
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Relazioni tra PLI e PL
Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
c
2
1
0
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Relazioni tra PLI e PL
Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
x2
4
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c
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Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
x2
4
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c
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Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
c
2
1
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Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
7 7
,
2 2
ottimo rilas. continuo
x2
4
3
c
2
1
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Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
7 7
,
2 2
ottimo rilas. continuo
arrotondamento → (3, 3)
x2
4
3
2
1
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Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
7 7
,
2 2
ottimo rilas. continuo
arrotondamento → (3, 3)
x2
4
3
12
2
1
(3, 3) non `e ottima
0
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Relazioni tra PLI e PL
Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e arrotondare
la soluzione trovata? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
7 7
,
2 2
ottimo rilas. continuo
arrotondamento → (3, 3)
x2
4
ottimo
3
13
12
2
1
(3, 3) non `e ottima
la sol. ottima `e (1, 4)
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Relazioni tra PLI e PL
Per risolvere (P) `e sufficiente risolvere il suo rilassamento continuo e scegliere la
soluzione ammissibile pi`u vicina rispetto alla distanza euclidea? NO
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
7 7
,
2 2
ottimo ril. cont.
sol. pi`
u vicina `e (3, 3)
x2
ottimo
4
3
2
1
ma (3, 3) non `e ottima
la sol. ottima `e (1, 4)
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Piani di taglio
Relazioni tra PLI e PL
Consideriamo i problemi:
max c T x
x ∈Ω
max c T x
x ∈ conv(Ω)
dove conv(Ω) `e l’involucro convesso delle soluzioni ammissibili, cio`e il pi`u piccolo
insieme convesso che contiene Ω.
Esempio
x2
x2
4
4
3
3
2
2
1
1
0
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1
2
3
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Piani di taglio
Relazioni tra PLI e PL
Teorema
• conv(Ω) `
e un poliedro
• I vertici di conv(Ω) appartengono a Ω
• I problemi
max c T x
x ∈Ω
max c T x
x ∈ conv(Ω)
hanno lo stesso valore ottimo e almeno una soluzione ottima comune
Corollario
Il problema di PLI
max c T x
x∈Ω
`e equivalente al problema di PL
max
c Tx
x∈conv(Ω)
In generale `e difficile trovare i vincoli che definiscono conv(Ω) . . .
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Piani di taglio
Caratterizzazioni di conv(Ω)
Per alcuni particolari problemi si riesce a caratterizzare conv(Ω):
• problemi con matrici totalmente unimodulari
• problema dell’accoppiamento di massima cardinalit`
a
• problema della copertura per archi di costo minimo
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Matrici totalmente unimodulari
Teorema
Sia Ω = {x ∈ Zn : A x ≤ b}. Se A `e una matrice totalmente unimodulare (cio`e il
determinante di ogni sua sottomatrice quadrata `e 0 oppure 1 oppure −1), allora
conv(Ω) = {x ∈ Rn : A x ≤ b},
cio`e conv(Ω) coincide con la regione ammissibile del rilassamento continuo.
Esempi
In un problema di flusso di costo minimo con variabili intere:

min c T x



Ex=b
0≤x≤u



x ∈ Zn
la matrice dei vincoli `e totalmente unimodulare. Quindi per risolverlo basta trovare un
vertice ottimo del suo rilassamento continuo.
Lo stesso vale per il problema dell’assegnamento di costo minimo e per il problema del
cammino minimo.
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Disuguaglianze valide
In generale `e difficile caratterizzare conv(Ω).
Si aggiungono vincoli alla regione ammissibile del rilassamento continuo in modo
da approssimare conv(Ω).
Definizione
La disequazione p T x ≤ p0 `e detta disuguaglianza valida (DV) per l’insieme Ω se
p T x ≤ p0
∀ x ∈ Ω.
Come si trovano disuguaglianze valide?
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Arrotondamento intero
⌊z⌋ indica la parte intera inferiore di un numero reale z.
Teorema
Supponiamo che Ω = {x ∈ Zn : A x ≤ b, x ≥ 0}.
n
X
Se
pi xi ≤ p0 `e una DV per Ω,
i =1
allora anche
n
X
⌊pi ⌋ xi ≤ ⌊p0 ⌋ `e una DV per Ω.
i =1
Dimostrazione
Se x ∈ Ω, allora
Z
(x∈Zn )
∋
n
X
(x≥0)
⌊pi ⌋xi
n
P
n
X
(ipotesi)
pi xi
≤
p0 .
i =1
i =1
quindi
≤
⌊pi ⌋ xi ≤ ⌊p0 ⌋.
i =1
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Arrotondamento intero
Esempio

max x1 + 3 x2




x
 1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
 ≥0


x ∈ Z2
x2
4
3
2
1
0
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Piani di taglio
Arrotondamento intero
Esempio

max x1 + 3 x2




x
 1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
 ≥0


x ∈ Z2
x2
4
Divido per 5 il 1 vincolo e arrotondo:
1
21
x1 + x2 ≤
5
5
◦
3
2
cio`e x2 ≤ 4 `e una DV.
1
0
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Piani di taglio
Arrotondamento intero
Esempio

max x1 + 3 x2




x
 1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
 ≥0


x ∈ Z2
x2
4
Divido per 5 il 1 vincolo e arrotondo:
1
21
x1 + x2 ≤
5
5
◦
3
2
cio`e x2 ≤ 4 `e una DV.
1
0
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Arrotondamento intero
Esempio

max x1 + 3 x2




x
 1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
 ≥0


x ∈ Z2
x2
4
Divido per 5 il 1 vincolo e arrotondo:
1
21
x1 + x2 ≤
5
5
◦
3
2
cio`e x2 ≤ 4 `e una DV.
Divido per 2 il 2◦ vincolo e arrotondo:
35
4 x1 + x2 ≤
≤ 17
2
1
0
1
2
3
4
5
x1
`e una DV.
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Arrotondamento intero
Esempio

max x1 + 3 x2




x
 1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
 ≥0


x ∈ Z2
x2
4
Divido per 5 il 1 vincolo e arrotondo:
1
21
x1 + x2 ≤
5
5
◦
3
2
cio`e x2 ≤ 4 `e una DV.
Divido per 2 il 2◦ vincolo e arrotondo:
35
4 x1 + x2 ≤
≤ 17
2
1
0
1
2
3
4
5
x1
`e una DV.
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Combinazione conica di DV
Teorema
Supponiamo che Ω = {x ∈ Zn : A x ≤ b, x ≥ 0}.
Se
n
n
X
X
pi xi ≤ p0
e
qi xi ≤ q0
i =1
i =1
sono DV per Ω e α, β ≥ 0, allora anche
n
X
(α pi + β qi ) xi ≤ α p0 + β q0
i =1
`e una DV per Ω.
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Combinazione conica di DV
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
2
1
0
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Piani di taglio
Combinazione conica di DV
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
x2 ≤ 4 e 4 x1 + x2 ≤ 17 sono DV.
Sommando si ottiene che
2
4 x1 + 2 x2 ≤ 21 `e una DV.
1
Dividendo per 2 e arrotondando:
2 x1 + x2 ≤ 10 `e una DV.
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5
x1
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Piani di taglio
Combinazione conica di DV
Esempio

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x
≥0



x ∈ Z2
x2
4
3
x2 ≤ 4 e 4 x1 + x2 ≤ 17 sono DV.
Sommando si ottiene che
2
4 x1 + 2 x2 ≤ 21 `e una DV.
1
Dividendo per 2 e arrotondando:
2 x1 + x2 ≤ 10 `e una DV.
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x1
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Piani di taglio
Definizione
Sia x¯ l’ottimo del rilassamento continuo.
Un piano di taglio `e una disuguaglianza valida p T x ≤ p0 per Ω tale che p T x¯ > p0 .
Idea alla base del metodo dei piani di taglio:
se P `e un poliedro contenente Ω e la soluzione ottima xˆ di max c T x appartiene ad
x∈P
Ω, allora xˆ `e ottima anche per max c T x;
x∈Ω
altrimenti si costruisce un piano di taglio p T x ≤ p0 in modo da ’tagliare fuori’ xˆ e
poi risolvere il nuovo problema di PL:

 max c T x
x∈P
 T
p x ≤ p0
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Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Piani di taglio di Gomory
Supponiamo che il problema di PLI sia nella forma

max c T x



Ax = b
x ≥0



x ∈ Zn
(P)
e che B sia una base ottima del rilassamento continuo di (P). Poniamo:
xB
e = A−1 AN
e
A
b = x¯B
A = (AB AN )
x=
B
xN
La parte frazionaria di un numero reale z `e {z} := z − ⌊z⌋
Teorema
Se esiste r ∈ B tale che e
br ∈
/ Z, allora
X
{e
arj }xj ≥ {e
br }
j∈N
`e un piano di taglio (di Gomory) per il problema (P).
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Relazioni tra PLI e PL
Disuguaglianze valide
Piani di taglio
Piani di taglio di Gomory
Dimostrazione
Fissiamo x ∈ Ω. Allora
A x = AB xB + AN xN = b,
quindi
−1
e e
xB = A−1
B b − AB AN xN = b − A xN .
Definiamo il vettore e
x = xB . Quindi:
P
e
e
xr = e
br −
arj xj
j∈N
= ⌊e
br ⌋ + { e
br } −
P
(⌊e
arj ⌋ + {e
arj }) xj
P
P
= ⌊e
br ⌋ + { e
{e
arj }xj ,
⌊e
arj ⌋xj −
br } −
j∈N
j∈N
j∈N
di conseguenza
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Piani di taglio
Piani di taglio di Gomory
Dimostrazione (segue)
X
X
{e
arj }xj − {e
br } = ⌊e
br ⌋ −
⌊e
arj ⌋xj − e
xr ∈ Z.
j∈N
Inoltre si ha:
(1)
j∈N
X
j∈N
{e
arj }xj − {e
br } ≥ −{e
br } > −1.
(2)
Dalle relazioni (1) e (2), otteniamo che:
X
{e
arj }xj ≥ {e
br }.
(3)
j∈N
quindi la (3) `e una DV per Ω. Inoltre la (3) non `e soddisfatta da x¯, infatti:
X
0=
{e
arj }¯
xj < {e
br },
j∈N
quindi la (3) `e un piano di taglio.
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Esempio
Consideriamo di nuovo il problema

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 ≤ 21
8 x1 + 2 x2 ≤ 35


x ≥0



x ∈ Z2
Trasformiamo i vincoli di ≤ in vincoli di = aggiungendo variabili di scarto x3 , x4 :

max x1 + 3 x2




 x1 + 5 x2 + x3 = 21
8 x1 + 2 x2 + x4 = 35


x ≥0



x ∈ Z4 .
1 5 1 0
21
A=
,
b=
,
cT = 1 3 0 0 .
8 2 0 1
35
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Esempio
La soluzione ottima del rilassamento continuo `e x¯ =
7 7
, , 0, 0 .
2 2
Quindi la base ottima `e B = {1, 2},




1
1
5
5
−
−
 19

38 
38 
1 5
e =  19
,
.
AB =
AB−1 = 
A



8 2
1
1 
4
4
−
−
19
38
19
38
7 7
ha entrambe le componenti non intere, esistono due tagli di
Poich´e e
b=
,
2 2
Gomory.
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Esempio
Se r = 1, allora il piano di taglio di Gomory `e
5
7
1
x3 +
x4 ≥
,
−
19
38
2
cio`e
18
5
1
x3 + x4 ≥ ,
19
38
2
ossia
36x3 + 5x4 ≥ 19,
che nelle variabili (x1 , x2 ) equivale a
36(21 − x1 − 5x2 ) + 5(35 − 8x1 − 2x2 ) ≥ 19
cio`e
2x1 + 5x2 ≤ 24.
Analogamente per r = 2 si ottiene il piano di taglio 8x1 + 3x2 ≤ 38.
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Esempio
x2
r =2
4
x¯
3
r =1
2
1
0
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4
5
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