istituto professionale “versari-macrelli”, cesena
lorenzo pantieri
matematica per le classi quinte
Dipartimento di Matematica
Anno scolastico 2014-2015
Scopo di questo
lavoro è spiegare
il contenuto del programma
di matematica agli alunni
dell’Istituto professionale “VersariMacrelli” di Cesena. Tale obiettivo
è perseguito esponendo i concetti fondamentali della materia, presentandoli nella maniera più chiara e semplice possibile, e fornendo una vasta gamma di esercizi risolti
passo per passo. Desidero ringraziare innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per
aver sostenuto fin da subito questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento
di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Arianna Monti, Monica Morelli, Enrico Petroncini ed Emanuela Pompili per l’aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione
nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un “grazie” altrettanto speciale va ai miei
studenti, per i consigli durante la stesura di un’opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti
da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura sia di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi,
soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive.
Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo
lavoro risultino di facile comprensione e quali invece potrebbero essere
spiegate meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un’incomprensione vostra o di uno sbaglio
mio (e ribadisco che quest’ultima eventualità è tutt’altro che impossibile). È con questo spirito
che ho scritto questo lavoro: spero che
possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere.
♥
Lorenzo Pantieri
Matematica per l’Istituto professionale “Versari-Macrelli”
c 2015
Copyright + lorenzo.pantieri@iperbole.bologna.it
Il frontespizio riproduce l’incisione Tassellazione del piano con uccelli
di Maurits Cornelis Escher e la litografia Mano con sfera riflettente, dello stesso autore.
INDICE
1
2
3
4
funzioni
1
1.1 Relazioni e funzioni
1
1.2 Definizione di funzione
3
1.3 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
1.4 Rappresentazione cartesiana
8
1.5 Esercizi
9
introduzione all’analisi
2.1 Classificazione
13
2.2 Dominio
14
2.3 Intersezioni con gli assi
2.4 Segno
30
2.5 Simmetrie
41
2.6 Esercizi
44
5
13
22
limiti
51
3.1 Concetto di limite
51
3.1.1 Esempi introduttivi
51
3.1.2 Limite destro e limite sinistro
54
3.1.3 Definizione di limite
55
3.2 Calcolo dei limiti
55
3.2.1 Limiti di alcune funzioni elementari
55
3.2.2 Algebra dei limiti
56
3.2.3 Forme di indecisione di funzioni algebriche
3.3 Continuità
63
3.3.1 Continuità in un punto
63
3.3.2 Funzioni continue
64
3.3.3 Punti di discontinuità e loro classificazione
3.4 Asintoti
67
3.4.1 Asintoti verticali
68
3.4.2 Asintoti orizzontali
68
3.4.3 Asintoti obliqui
69
3.5 Grafico probabile di una funzione
70
3.6 Esercizi
79
60
65
derivate
85
4.1 Concetto di derivata
85
4.1.1 Problema della retta tangente
85
4.1.2 Derivata in un punto
86
4.1.3 Continuità e derivabilità
87
4.1.4 Funzione derivata
88
4.1.5 Derivate successive
90
4.2 Derivate delle funzioni elementari
90
iii
indice
iv
4.3
4.4
4.5
4.6
5
Algebra delle derivate
91
4.3.1 Linearità della derivata
91
4.3.2 Derivata del prodotto di due funzioni
92
4.3.3 Derivata del quoziente di due funzioni
92
4.3.4 Derivata della potenza di una funzione
93
4.3.5 Riepilogo
93
Funzioni crescenti e decrescenti. Massimi e minimi
Funzioni convesse e concave. Flessi 107
Esercizi 122
studio di funzione
5.1 Esercizi 151
127
93
1
FUNZIONI
Questo capitolo introduce il concetto di funzione, che è uno dei più importanti di tutta
la matematica e che ha numerose applicazioni in tutte le scienze.
1.1
relazioni e funzioni
Primo esempio
Consideriamo l’insieme A degli studenti dell’Istituto professionale “Versari-Macrelli”.
Ogni studente è iscritto a una e una sola classe. Se B è l’insieme delle classi del “VersariMacrelli”, a ogni elemento x di A è quindi associato uno e un solo elemento y di B. Può
capitare che due studenti facciano parte della stessa classe, ma non esistono studenti iscritti
a più classi contemporaneamente o non iscritti ad alcuna classe, né esistono classi senza
studenti.
Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di studenti e di classi, mostra la relazione «lo studente x è
iscritto alla classe y» con x ∈ A e y ∈ B.
f
A
B
Francesca
5E
Riccardo
Gianna
Greta
Michela
5C
Figura 1: Una funzione
In una relazione di questo tipo, a ogni elemento di A, nessuno escluso, è associato uno e
un solo elemento di B. Non è richiesto il viceversa: più elementi di A possono corrispondere
allo stesso elemento di B.
Secondo esempio
Consideriamo l’insieme A degli studenti di una classe che devono svolgere una verifica
di matematica. Ogni studente che affronta la verifica consegue un voto, espresso in numeri
interi da 1 a 10. Se B è l’insieme dei numeri interi compresi tra 1 e 10, a ogni elemento x
di A è quindi associato uno e un solo elemento y di B.
1
2
funzioni
Può capitare che due studenti conseguano lo stesso voto (7, per esempio) o che nessuno
studente consegua un certo voto (10, per esempio).
Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di studenti e di voti, mostra la relazione «lo studente x ha
conseguito il voto y» con x ∈ A e y ∈ B.
f
A
B
Giulia
6
Marco
7
Sofia
Virginia
10
8
Figura 2: Un’altra funzione
In una relazione di questo tipo, a ogni elemento di A, nessuno escluso, è associato uno e
un solo elemento di B. Non è richiesto il viceversa: più elementi di A possono corrispondere
allo stesso elemento di B.
Terzo esempio
Consideriamo l’insieme A dei Paesi dell’Unione Europea e l’insieme B delle capitali dei
Paesi dell’Unione Europea.
In questo caso, allora, a ogni elemento dell’insieme A è associato uno e un solo elemento
dell’insieme B e viceversa; la figura seguente mostra la relazione «la città x è capitale del
Paese y».
f
A
B
Roma
Italia
Parigi
Francia
Londra
Regno Unito
Berlino
Germania
Figura 3: Un’altra funzione
Quarto esempio
Consideriamo l’insieme A dei professori dell’Istituto professionale “Versari-Macrelli” e
l’insieme B costituito dalle materie che vengono insegnate nell’Istituto.
Può capitare che un professore insegni più materie (Italiano e Storia, per esempio).
1.2 definizione di funzione
Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di professori e di materie, mostra la relazione «il prof. x
insegna la materia y», con x ∈ A e y ∈ B.
A
Pantieri
Giunti
B
Matematica
Italiano
Storia
Sassi
Economia
Figura 4: Una relazione che non è una funzione
In una relazione di questo tipo, può accadere che a un elemento di A siano associati più
elementi di B.
Quinto esempio
Consideriamo l’insieme A delle regioni italiane e l’insieme B costituito dai mari italiani.
Può capitare che una regione sia bagnata da più mari (la Puglia, per esempio, è bagnata
sia dal Mar Adriatico che dal Mar Ionio), oppure che una regione non sia bagnata da alcun
mare (l’Umbria, per esempio).
La figura 5, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di regioni e
di mari, mostra la relazione «la regione x è bagnata dal Mar y», con x ∈ A e y ∈ B.
A
Liguria
Umbria
Puglia
B
Ligure
Ionio
Adriatico
Toscana
Tirreno
Figura 5: Una relazione che non è una funzione
In una relazione di questo tipo, può accadere che a un elemento di A siano associati più
elementi di B, o che a un elemento di A non sia associato alcun elemento di B.
1.2
definizione di funzione
Le relazioni come quelle dei primi tre esempi del paragrafo precedente sono le più
significative in matematica. Per descriverle in modo dettagliato possiamo dire che:
• da ogni elemento di A esce una sola freccia che va verso un elemento di B; in altre
parole non ci sono elementi di A da cui escono più frecce;
• da ogni elemento di A, nessuno escluso, esce una freccia; in altre parole non esistono
elementi di A da cui non esca alcuna freccia;
3
4
funzioni
A
B
A
(a)
A
B
(b)
B
A
(c)
B
(d)
Figura 6: Funzioni
• sugli elementi di B possono arrivare una o più frecce, e possono anche esserci elementi di B a cui non arriva alcuna freccia.
Definizione 1. Si definisce funzione f di dominio A e codominio B una relazione che
associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Si scrive f : A → B. Il
dominio A si indica anche con dom f.
Una funzione si può esprimere mediante una proposizione che specifica in che modo gli
elementi del primo insieme, che vengono di solito indicati con x, sono legati a quelli del
secondo, che vengono di solito indicati con y.
Se A e B sono insiemi numerici, spesso la funzione che associa gli x ∈ A agli y ∈ B si
può esprimere mediante un’espressione di tipo matematico. Per esempio:
• per indicare che l’elemento y è il quadrato dell’elemento x si scrive: y = x2 ;
• per indicare che l’elemento y è il doppio dell’elemento x aumentato di 1 si scrive: y =
2x + 1;
Più in generale si scrive:
y = f(x)
e si legge «y è funzione di x», dove f(x) è un’espressione matematica nella variabile x, che
esprime il legame tra x e y.
Definizione 2. Poiché la funzione f esprime in che modo y dipende da x, si dice che
x è la variabile indipendente della funzione, mentre y è la variabile dipendente.
1.3 funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
A
B
A
(a)
B
(b)
Figura 7: Relazioni che non sono funzioni
Definizione 3. L’elemento y ∈ B che è associato a un elemento x ∈ A è detto
immagine di x.
Per esempio, nella funzione y = x2 , dove supponiamo che x sia un numero intero:
• 9 è l’immagine di 3, e si scrive f(3) = 9;
• 25 è l’immagine di 5, e si scrive f(5) = 25.
Esercizio 1. Stabilisci se le relazioni indicate nella figure 6 e 7 sono funzioni o no.
Soluzione.
• I casi rappresentati nella figura 6 rappresentano delle funzioni perché da ogni elemento di A esce una e una sola freccia verso un elemento di B.
• Il caso rappresentato nella figura 7a non rappresenta una funzione perché c’è un
elemento di A da cui non esce alcuna freccia.
• Il caso 7b non rappresenta una funzione perché c’è un elemento di A da cui escono
più frecce.
1.3
funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
Definizione 4. Una funzione f : A → B si dice iniettiva se a elementi diversi di A
corrispondono sempre elementi diversi di B.
Definizione 5. Una funzione f : A → B si dice suriettiva quando ogni elemento di B
è immagine di almeno un elemento di A.
Definizione 6. Una funzione si dice biunivoca se è iniettiva e suriettiva.
Con riferimento ai diagrammi a frecce:
• una funzione è iniettiva se non ci sono elementi di B a cui arrivano più frecce;
5
6
funzioni
A
B
(a) Una funzione iniettiva ma non suriettiva.
A
B
(c) Una funzione né iniettiva né suriettiva.
A
B
(b) Una funzione suriettiva ma non iniettiva.
A
B
(d) Una funzione biunivoca.
Figura 8: Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
• una funzione è suriettiva se non ci sono elementi di B a cui non arriva alcuna freccia;
• una funzione è biunivoca se non ci sono elementi di B a cui arrivano più frecce o a
cui non arriva alcuna freccia.
Esercizio 2. Stabilisci se le relazioni indicate nella figura 8 sono iniettive, suriettive,
biunivoche.
Soluzione.
• La funzione rappresentata nella figura 8a è iniettiva (non ci sono elementi di B a cui
arrivano più frecce) ma non suriettiva (c’è un elemento di B a cui non arriva alcuna
freccia);
• La funzione rappresentata nella figura 8b è suriettiva (non ci sono elementi di B a cui
non arriva alcuna freccia) ma non iniettiva (c’è un elemento di B a cui arriva più di
una freccia);
• La funzione rappresentata nella figura 8c non è né iniettiva né suriettiva;
• La funzione rappresentata nella figura 8d è biunivoca.
Esercizio 3. Siano A = { bambini }, B = { donne } e f : A → B la funzione «x è figlio
naturale di y». Stabilisci se f è iniettiva e suriettiva.
Soluzione. Si tratta di una funzione perché ogni bambino ha una e una sola madre naturale. Poiché bambini diversi possono essere associati alla stessa madre, la funzione non è
iniettiva. Poiché non tutte le donne sono madri, la funzione non è neanche suriettiva.
1.3 funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
A
B
Figura 9: La funzione f : { bambini } → { donne } «x è figlio naturale di y» non è né iniettiva né
suriettiva
La figura precedente dà un’idea del tipo di funzione.
Esercizio 4. Siano A = { bambini }, B = { madri } e f : A → B la funzione «x è figlio
naturale di y». Stabilisci se f è iniettiva e suriettiva.
Soluzione. Ogni madre, per definizione, lo è di qualche bambino: dunque la funzione è
suriettiva. Più bambini possono essere associati alla stessa madre: dunque la funzione non
è ineittiva.
A
B
Figura 10: La funzione f : { bambini } → { madri } «x è figlio naturale di y» è suriettiva ma non
iniettiva
La figura precedente dà un’idea del tipo di funzione.
Esercizio 5. Sia A = B l’insieme dei numeri interi. Rappresenta la funzione f : A → B
«y è l’intero successivo di x» con un diagramma a frecce.
Soluzione. La relazione «y è l’intero successivo di x» è una funzione perché ogni numero intero, nessuno escluso, ha uno e un solo intero successivo. Tale funzione si può
rappresentare con la scrittura y = x + 1 e si ha per esempio che
f(−3) = −2
f(−2) = −1
f(−1) = 0
f(0) = 1
f(2) = 3
f(3) = 4.
La figura 11a mostra il diagramma a frecce della funzione, dove abbiamo rappresentato
un numero limitato di elementi. Evidentemente, si tratta di una funzione biunivoca.
7
8
funzioni
A
A
B
−3
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
0
1
2
3
4
B
−1
1
1
2
0
0
3
−2
2
4
−3
3
9
(b) La funzione y = x2
(a) La funzione y = x + 1
Figura 11: Due funzioni
Esercizio 6. Sia A l’insieme dei numeri interi e B l’insieme dei numeri interi positivi
o nulli. Rappresenta la funzione f : A → B «y è il quadrato di x» con un diagramma
a frecce.
Soluzione. La relazione «y è il quadrato di x» è una funzione perché ogni numero intero,
nessuno escluso, ha per quadrato uno e un solo numero positivo o nullo. Tale funzione si
può rappresentare con la scrittura y = x2 e si ha per esempio che
f(3) = f(−3) = 9
f(2) = f(−2) = 4
f(1) = f(−1) = 1
f(0) = 0.
La figura 11b mostra il diagramma a frecce della funzione, dove abbiamo rappresentato
un numero limitato di elementi. Si tratta di una funzione né iniettiva né suriettiva.
1.4
rappresentazione cartesiana
Una funzione può essere rappresentata, oltre che con un diagramma a frecce come
abbiamo fatto finora, anche con un diagramma cartesiano.
Definizione 7. Si chiama grafico o diagramma cartesiano di una funzione f : A → B l’insieme delle coppie (x, y) formate da un elemento x ∈ A e dal suo corrispondente y ∈
B, con y = f(x), rappresentate nel piano cartesiano.
Esercizio 7. Sia A = B l’insieme dei numeri interi. Rappresenta la funzione f : A → B
«y è l’intero successivo di x» con un diagramma cartesiano.
1.5 esercizi
y
4
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
y = x+1
3
−2
−1
0
1
2
3
4
−2
(a) Grafico.
(b) Alcuni valori.
Figura 12: La funzione y = x + 1.
Soluzione. La figura 12 mostra il diagramma cartesiano della funzione, dove abbiamo
rappresentato un numero limitato di elementi.
Esercizio 8. Sia A l’insieme dei numeri interi e B l’insieme dei numeri interi positivi
o nulli. Rappresenta la funzione f : A → B «y è il quadrato di x» con un diagramma
cartesiano.
y
9
8
7
6
x
5
4
3
2
1
x
−3 −2 −1
1
(a) Grafico.
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
y = x2
9
4
1
1
2
4
9
3
(b) Alcuni valori.
Figura 13: La funzione y = x2 .
Soluzione. La figura 13 mostra il diagramma cartesiano della funzione.
1.5
esercizi
Chi non risolve esercizi
9
10
funzioni
non impara la matematica.
Esercizio 9. È vero che la relazione f che associa a ogni regione italiana il suo capoluogo è una
funzione? Qual è il suo dominio? Quanto vale f(Emilia-Romagna)?
Esercizio 10. Dati gli insiemi A = { scuola, alunno, professore, voto } e B l’insieme dei numeri naturali, la relazione che associa a ogni elemento di A il numero di lettere da cui è composta la parola
è una funzione? Se sì, è iniettiva?
Esercizio 11. Quali tra le seguenti relazioni sono funzioni?
Dominio
Codominio
Relazione
libri
canzoni
portoni di una via
computer
autori
cantanti
numeri
sistemi operativi
a ogni libro associa l’autore
a ogni canzone associa il cantante
a ogni portone associa il numero civico
a ogni computer associa il s.o. installato
Esercizio 12. Si è ammessi a una facoltà universitaria se nel test d’ingresso si è avuto un punteggio
compreso tra 60 e 100. La relazione che associa ad ogni studente che ha superato il test il punteggio
ottenuto è una funzione? Se sì, di che tipo?
Esercizio 13. Spiega perché la funzione che associa a ciascuna persona il suo codice fiscale è
biunivoca.
Esercizio 14. Spiega perché la funzione che associa a ciascuna automobile il proprio numero di
targa è biunivoca.
Esercizio 15. Sia Z l’insieme dei numeri interi. La funzione f : Z → Z che associa a ogni intero il
suo opposto è iniettiva? È suriettiva?
Esercizio 16. Sia Z l’insieme dei numeri interi. La funzione f : Z → Z che associa a ogni intero il
suo valore assoluto è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca?
Esercizio 17. La funzione f : Z → Z,
y = x − 2, è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca?
Esercizio 18. La relazione f : Q → Q,
y=
Esercizio 19. La funzione f : Q \ { 0 } → Q,
1
è una funzione?
x
y=
1
, è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca?
x
Esercizio 20. Consideriamo la funzione f che associa ad ogni numero razionale il suo triplo.
1. Qual è l’immagine di 0?
2. Quale elemento del dominio ha per immagine 5?
3. È vero che ogni numero positivo ha l’immagine positiva?
4. È vero che −1 è immagine di −3?
5. La funzione è iniettiva?
6. La funzione è biunivoca?
Fai il diagramma a frecce della funzione.
Esercizio 21. Per ciascuna delle seguenti funzioni stabilisci se la funzione è iniettiva, suriettiva,
biunivoca.
1. f : Z → Z,
y = 2x;
2. f : Z → Z,
y = x2 ;
1.5 esercizi
3. f : N → N,
4. f : Q → Q,
y = x2 ;
y = 2x;
Esercizio 22. Data la funzione f : Z → Z,
y = 4 − x, rispondi alle seguenti domande.
1. Qual è l’immagine di 0?
2. Per quale x si ha f(x) = 0?
3. Quale elemento del dominio ha per immagine 5?
4. È vero che ogni numero positivo ha l’immagine positiva?
5. È vero che −1 è immagine di 3? Perché?
11
2
I N T R O D U Z I O N E A L L’A N A L I S I
Definizione 8. Si chiama funzione reale di variabile reale una funzione f : A → B in cui
A e B sono sottoinsiemi dell’insieme R.
Da qui in avanti ci occuperemo solo di funzioni reali di variabile reale: quindi d’ora di
poi intenderemo con “funzione” sempre una funzione reale di variabile reale.
Durante il corso di matematica hai già incontrato alcune funzioni:
• le funzioni lineari y = mx + q;
• le funzioni quadratiche y = ax2 + bx + c;
• le funzioni potenza y = xn , con n intero > 1;
• le funzioni esponenziali y = ax e logaritmiche y = loga x, con a > 0 e a 6= 1.
2.1
classificazione
Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono nell’espressione f(x).
Definizione 9. Una funzione si dice algebrica se contiene soltanto (un numero finito di) operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione ed estrazioni di radice.
Altrimenti si dice trascendente.
Per esempio, sono funzioni algebriche:
• y = 2x − 4;
1
• y= ;
x
• y = x2 − 4x + 3;
• y=
2x − 4
;
x−1
• y=
√
x2 − 4x + 3;
• y=
√
4 − x2 ;
Sono funzioni trascendenti:
• y = 2x ;
• y = log x;
• y = ln x.
Definizione 10. Nell’insieme delle funzioni algebriche si distinguono:
• le funzioni intere (o polinomiali), in cui f(x) è un polinomio;
• le funzioni fratte (o frazionarie), in cui f(x) è il quoziente fra due polinomi;
13
14
introduzione all’analisi
• le funzioni irrazionali, in cui la variabile indipendente compare sotto il segno
di radice.
Per esempio:
• sono funzioni intere y = 4x − 2 e y = x2 − 4x + 3;
2x − 4
1
ey=
;
x
x−1
√
√
• sono funzioni irrazionali y = x2 − 4x + 3 e 4 − x2 .
• sono funzioni fratte y =
2.2
dominio
Quando si assegna l’equazione che definisce una funzione reale di variabile reale senza
specificarne il dominio, si sottintende che esso sia quello “naturale”.
Definizione 11. Il dominio naturale (o insieme di definizione) di una funzione y = f(x)
è l’insieme costituito dai valori reali di x per cui tutte le operazioni che compaiono
nell’espressione f(x) hanno significato.
Per determinare il dominio basta allora tener presenti le seguenti indicazioni:
• le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, mentre
l’operazione di divisione è definita purché il divisore sia diverso da zero;
• una radice di indice pari è definita solo se il radicando è positivo o nullo, mentre una
radice di indice dispari è definita purché esista il radicando;
• il logaritmo è definito se l’argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1;
• l’esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista
l’esponente.
Esercizio 23. Determina il dominio delle funzioni:
• y = 4x − 2
• y = x3
• y = x4
• y = x2 − 4x + 3
• y = x3 − 3x
• y = x4 − 2x2
Soluzione. Si tratta di sei funzioni intere, quindi il loro dominio è R (figura 14).
Esercizio 24. Determina il dominio della funzione y =
1
.
x
Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso
da zero:
x 6= 0
2.2 dominio
Il dominio della funzione è perciò
dom f = R \ { 0 }
Vedi la figura 15a. Per mettere in evidenza che 0 non appartiene al dominio abbiamo messo
un pallino vuoto sul punto.
Esercizio 25. Determina il dominio della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso
da zero:
x − 1 6= 0
=⇒
x 6= 1
Il dominio della funzione è perciò
dom f = R \ { 1 }
Vedi la figura 15b.
Esercizio 26. Determina il dominio della funzione y =
x2
1
.
+1
Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso
da zero:
x2 + 1 6= 0
relazione che è sempre verificata, essendo l’equazione x2 + 1 = 0 impossibile. Il dominio
della funzione è perciò
dom f = R
Vedi la figura 15c.
Esercizio 27. Determina il dominio della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso
da zero:
x − 1 6= 0
=⇒
x 6= 1
Il dominio della funzione è perciò
dom f = R \ { 1 }
Vedi la figura 15d.
15
16
introduzione all’analisi
y
y
x
x
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
x
(c) y = x3
x
(d) y = x3 − 3x
y
y
x
x
(e) y = x4
(f) y = x4 − 2x2
Figura 14: Dominio di alcune funzioni intere
2.2 dominio
y
y
x
x
1
(a) y =
1
x
(b) y =
y
2x − 4
x−1
y
x
1
x
(c) y =
x2
1
+1
(d) y =
y
x2
x−1
y
x
−1
(e) y =
1
x2 − 4
x2 − 1
x
−1
(f) y =
Figura 15: Dominio di alcune funzioni fratte
1
x
x2 − 1
17
18
introduzione all’analisi
Esercizio 28. Determina il dominio delle funzioni y =
x2 − 4
x
ey= 2
.
2
x −1
x −1
Soluzione. Si tratta di due funzioni fratte, definite purché il loro denominatore sia diverso
da zero:
x2 − 1 6= 0
da cui
x 6= −1 ∧ x 6= 1
Il dominio delle due funzioni è perciò
dom f = R \ { −1, 1 }
Vedi le figure 15e e 15f.
Esercizio 29. Determina il dominio della funzione y =
√
x2 − 4x + 3.
Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la
funzione data è definita se e solo se:
x2 − 4x + 3 > 0.
Si tratta di una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 4x + 3 = 0.
È un’equazione completa. Risolviamola:
p
√
√
−(−4) ± (−4)2 − 4 · 1 · 3
4 ± 16 − 12
4± 4
4±2
=
=
=
x=
2·1
2
2
2
da cui
4−2
2
4+2
6
= =1 ∨ x=
= =3
2
2
2
2
L’equazione associata ha dunque due soluzioni reali. La parabola associata ha la concavità verso l’alto e interseca l’asse x nei punti corrispondenti alle soluzioni dell’equazione
associata. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero
quando la parabola “sta sopra” l’asse x o lo interseca.
x=
1
3
x
In conclusione il dominio della funzione è l’insieme:
dom f = { x 6 1 ∨ x > 3 }
Vedi la figura 16a.
2.2 dominio
y
y
x
1
(a) y =
p
3
x
−2
x2 − 4x + 3
2
(b) y =
y
p
4 − x2
y
x
x
−1
(c) y =
x
p
3
x2 + x
(d) y = 2 x+1
y
y
x
x
−2
2
(e) y = log(x + 2)
(f) y = log
x−2
4−x
Figura 16: Dominio di alcune funzioni irrazionali e trascendenti
4
19
20
introduzione all’analisi
Esercizio 30. Determina il dominio della funzione y =
√
4 − x2 .
Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la
funzione data è definita se e solo se:
4 − x2 > 0
Si tratta di una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
4 − x2 = 0
È un’equazione pura. Risolviamola:
−x2 = −4
x2 = 4
=⇒
√
x = ± 4 = ±2
=⇒
L’equazione associata ha dunque due soluzioni reali. Poiché il coefficiente di x2 è negativo,
la parabola associata volge la concavità verso il basso. Inoltre essa interseca l’asse x nei
punti corrispondenti alle soluzioni dell’equazione associata. La disequazione è verificata
quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola “sta sopra” l’asse x
o lo interseca.
−2
2
x
In conclusione il dominio della funzione è:
dom f = { −2 6 x 6 2 }
Vedi la figura 16b.
Esercizio 31. Determina il dominio della funzione y =
√
3 2
x + x.
Soluzione. Poiché una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando, la funzione data è definita per ogni x per cui ha senso l’espressione x2 + x, ovvero per ogni x
reale. Quindi:
dom f = R
Vedi la figura 16c
x
Esercizio 32. Determina il dominio della funzione y = 2 x+1 .
Soluzione. Poiché l’esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché
x
esista l’esponente, la funzione è definita se e solo se è definita la frazione
, il che
x+1
accade se e solo se il suo denominatore è diverso da 0:
x + 1 6= 0
=⇒
x 6= −1
Pertanto il dominio della funzione è
dom f = R \ { −1 }
Vedi la figura 16d.
2.2 dominio
Esercizio 33. Determina il dominio della funzione y = log(x + 2).
Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l’argomento è positivo e la base è
positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se
=⇒
x+2 > 0
x > −2
−2
x
Pertanto il dominio della funzione è
dom f = { x > −2 }
Vedi la figura 16e.
Esercizio 34. Determina il dominio della funzione y = log
x−2
.
4−x
Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l’argomento è positivo e la base è
positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se
x−2
>0
4−x
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = x − 2
=⇒
N>0
x−2 > 0
=⇒
x>2
2
x
• Denominatore: D = 4 − x
D>0
=⇒
4−x > 0
=⇒
=⇒
−x > −4
x64
4
x
Costruiamo la tabella dei segni.
2
4
N
D
−
+
+
+
+
−
F
dom f
−
+
−
x
La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+). Quindi il dominio della
funzione è l’insieme:
dom f = { 2 < x < 4 }
Vedi la figura 16f.
21
22
introduzione all’analisi
2.3
intersezioni con gli assi
Dopo aver determinato il dominio di una funzione y = f(x), la “seconda fase” di
uno studio elementare della funzione consiste nel determinare i suoi eventuali punti di
intersezione con gli assi cartesiani.
• Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asse x si ottengono risolvendo
l’equazione f(x) = 0; le soluzioni di questa equazione si dicono zeri della funzione.
• L’ordinata dell’eventuale punto di intersezione con l’asse y si ottiene semplicemente
calcolando f(0), ovvero ponendo x = 0 nell’espressione che definisce la funzione.
Esercizio 35. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = 2x − 4.
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
2x − 4 = 0
=⇒
2x = 4
=⇒
x=2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (2, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 2 · 0 − 4 = 0 − 4 = −4
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, −4).
Vedi la figura 17a. Per mettere in evidenza che i punti trovati appartengono al grafico della
funzione li abbiamo evidenziati con un pallino pieno.
Esercizio 36. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = x2 − 4x + 3.
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2 − 4x + 3 = 0
È un’equazione completa. Risolviamola:
p
√
√
−(−4) ± (−4)2 − 4 · 1 · 3
4 ± 16 − 12
4± 4
4±2
x=
=
=
=
2·1
2
2
2
da cui
4−2
2
4+2
6
x=
= =1 ∨ x=
= =3
2
2
2
2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti (1, 0) e (3, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 02 − 4 · 0 + 3 = 0 − 0 + 3 = 3
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 3).
Vedi la figura 17b.
2.3 intersezioni con gli assi
Esercizio 37. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = x3 .
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x3 = 0
=⇒
x=0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 03 = 0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 17c.
Esercizio 38. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = x3 − 3x.
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x3 − 3x = 0
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro l’equazione diventa:
x(x2 − 3) = 0
Per la legge dell’annullamento del prodotto si ottiene:
x=0
∨
x2 − 3 = 0
Risolvendo l’equazione di secondo grado pura x2 − 3 = 0 si ha:
√
x2 − 3 = 0
=⇒
x2 = 3
=⇒
x=± 3
L’equazione ha dunque tre soluzioni:
√
x=− 3 ∨
x=0
∨
x=
√
3
per cui il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
√
√
(− 3, 0) (0, 0) ( 3, 0)
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 03 − 3 · 0 = 0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 17d.
23
24
introduzione all’analisi
y
y
3
x
2
−4
x
1
3
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
x
x
√
− 3
(c) y = x3
√
3
(d) y = x3 − 3x
y
y
x
x
(e) y = x4
√
− 2
√
2
(f) y = x4 − 2x2
Figura 17: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni intere
2.3 intersezioni con gli assi
y
y
4
x
x
1
(a) y =
1
x
(b) y =
y
2
2x − 4
x−1
y
1
x
1
x
(c) y =
x2
1
+1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
x
−2
−1
1
(e) y =
x2 − 4
x2 − 1
2
x
−1
(f) y =
1
x
x2 − 1
Figura 18: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni fratte
25
26
introduzione all’analisi
Esercizio 39. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = x4 .
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x4 = 0
=⇒
x=0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 04 = 0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 17e.
Esercizio 40. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = x4 − 2x2 .
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x4 − 2x2 = 0
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro l’equazione diventa:
x2 (x2 − 2) = 0
Per la legge dell’annullamento del prodotto si ottiene:
x2 = 0
∨
x2 − 2 = 0
La prima equazione è risolta solo se x = 0. La seconda equazione è di secondo grado
pura:
√
x2 − 2 = 0
=⇒
x2 = 2
=⇒
x=± 2
L’equazione ha dunque tre soluzioni:
√
x=− 2 ∨
x=0
∨
x=
√
2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
√
√
(− 2, 0) (0, 0) ( 2, 0)
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) = 04 − 2 · 02 = 0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 17f.
2.3 intersezioni con gli assi
Esercizio 41. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
1
.
x
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 0 } (vedi l’esercizio 24).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
1
= 0,
x
da cui, eliminando il denominatore,
1 = 0,
per cui l’equazione è impossibile. Ciò significa che il grafico della funzione non
interseca mai l’asse x.
• Poiché 0 non appartiene al dominio, non possiamo calcolare f(0): ciò significa che il
grafico della funzione non interseca mai l’asse y.
Vedi la figura 18a.
Esercizio 42. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 25).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
2x − 4
=0
x−1
da cui, eliminando il denominatore,
2x − 4 = 0
=⇒
2x = 4
=⇒
x=2
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Ciò significa che il
grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (2, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
2·0−4
−4
=
=4
0−1
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 4).
Vedi la figura 18b.
27
28
introduzione all’analisi
Esercizio 43. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x2
1
.
+1
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 26).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2
1
=0
+1
da cui, eliminando il denominatore,
1=0
per cui l’equazione è impossibile. Ciò significa che il grafico della funzione non
interseca mai l’asse x.
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
1
1
= =1
02 + 1
1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 1).
Vedi la figura 18c.
Esercizio 44. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 27).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2
=0
x−1
da cui, eliminando il denominatore,
x2 = 0
=⇒
x=0
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico
della funzione interseca l’asse x nel punto (0, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
0
02
=
=0
0−1
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 18d.
2.3 intersezioni con gli assi
Esercizio 45. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x2 − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 28).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2 − 4
=0
x2 − 1
da cui, eliminando il denominatore,
x2 − 4 = 0
x2 = 4
=⇒
=⇒
√
x = ± 4 = ±2
valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione. L’equazione ha dunque due soluzioni:
∨
x = −2
x=2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
(−2; 0)
(2; 0)
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
02 − 4
−4
=
=4
2
0 −1
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 4).
Vedi la figura 18e.
Esercizio 46. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x2
x
.
−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 28).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2
x
=0
−1
da cui, eliminando il denominatore,
x=0
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico
della funzione interseca l’asse x nel punto (0, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
02
0
0
=
=0
−1
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 18f.
29
30
introduzione all’analisi
2.4
segno
Lo studio del segno di una funzione consiste nello stabilire per quali valori di x risulta f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0. Si conviene di risolvere la disequazione f(x) > 0, che
individua gli intervalli dove la funzione è positiva o nulla, ossia dove il suo grafico “sta
sopra” l’asse x o lo interseca; la funzione sarà negativa ovunque essa non è positiva o nulla,
nell’ambito del suo dominio.
Esercizio 47. Studia il segno della funzione y = 2x − 4.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23) e il suo grafico interseca gli
assi nei punti (2, 0) e (0, −4) (vedi l’esercizio 35). Per studiare il segno della funzione
risolviamo la disequazione:
2x − 4 > 0
=⇒
2x > 4
=⇒
x>2
2
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x > 2;
• è nulla se x = 2;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19a. Il grafico della funzione appartiene alla regione di piano cartesiano
non esclusa dal tratteggio.
Esercizio 48. Studia il segno della funzione y = x2 − 4x + 3.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23) e il suo grafico interseca gli
assi nei punti (1, 0), (3, 0) e (0, 3) (vedi l’esercizio 36). Per studiare il segno della funzione
risolviamo la disequazione:
x2 − 4x + 3 > 0
È una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 4x + 3 = 0
Si tratta di un’equazione completa che ha soluzioni x = 1 e x = 3 (vedi l’esercizio 36).
Disegniamo la parabola associata.
1
Quindi la funzione:
• è positiva se x < 1 ∨ x > 3;
• è nulla se x = 1 ∨ x = 3;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19b.
3
x
2.4 segno
Esercizio 49. Studia il segno della funzione y = x3 .
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23) e il suo grafico interseca gli
assi nel punto (0, 0) (vedi l’esercizio 37). Per studiare il segno della funzione risolviamo la
disequazione:
x3 > 0
Poiché l’esponente 3 è dispari, la potenza x3 è positiva se e solo se la base x è positiva, ed è
nulla se e solo se la base è nulla.
0
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x > 0;
• è nulla se x = 0;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19c.
Esercizio 50. Studia il segno della funzione y = x3 − 3x.
Soluzione. Il dominio
√ della funzione
√ è R (vedi l’esercizio 23) e il suo grafico interseca gli
assi nei punti (− 3, 0), (0, 0) e ( 3, 0) (vedi l’esercizio 38). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
x3 − 3x > 0
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro la disequazione diventa:
x(x2 − 3) > 0
Studiamo il segno di ciascun fattore.
• Primo fattore: F1 = x
F1 > 0
=⇒
x>0
0
x
• Secondo fattore: F2 = x2 − 3
F2 > 0
=⇒
x2 − 3 > 0
Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 3 = 0
√
√
che ha per soluzioni x = − 3 e 3. Disegniamo la parabola associata.
√
− 3
√ x
3
31
32
introduzione all’analisi
y
y
3
x
2
−4
x
1
3
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
x
x
√
− 3
(c) y = x3
√
3
(d) y = x3 − 3x
y
y
x
x
(e) y = x4
√
− 2
√
2
(f) y = x4 − 2x2
Figura 19: Segno di alcune funzioni intere
2.4 segno
y
y
4
x
x
1
(a) y =
1
x
(b) y =
y
2
2x − 4
x−1
y
1
x
1
x
(c) y =
x2
1
+1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
x
−2
−1
(e) y =
1
x2 − 4
x2 − 1
2
x
−1
(f) y =
Figura 20: Segno di alcune funzioni fratte
1
x
x2 − 1
33
34
introduzione all’analisi
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
√
− 3
√
3
0
F1
F2
−
+
−
−
+
−
+
+
f
−
+
−
+
x
Quindi la funzione:
√
√
• è positiva se − 3 < x < 0 ∨ x > 3;
√
√
• è nulla se x = − 3 ∨ x = 0 ∨ x = 3;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19d.
Esercizio 51. Studia il segno della funzione y = x4 .
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23) e il suo grafico interseca gli
assi nel punto (0, 0) (vedi l’esercizio 39). Per studiare il segno della funzione risolviamo la
disequazione:
x4 > 0
Poiché l’esponente 4 è pari, la potenza x4 è sempre maggiore o uguale a zero, ed è uguale
a zero se e solo se la base x è uguale a zero.
0
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x 6= 0;
• è nulla se x = 0;
Vedi la figura 19e.
Esercizio 52. Studia il segno della funzione y = x4 − 2x2 .
Soluzione. Il dominio
√ della funzione
√ è R (vedi l’esercizio 23) e il suo grafico interseca gli
assi nei punti (− 2, 0), (0, 0) e ( 2, 0) (vedi l’esercizio 40). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
x4 − 2x2 > 0
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro la disequazione diventa:
x2 (x2 − 2) > 0
Studiamo il segno di ciascun fattore.
2.4 segno
• Primo fattore: F1 = x2
x2 > 0
=⇒
F1 > 0
L’equazione associata è
x2 = 0
che ha come unica soluzione x = 0. Disegniamo la parabola associata.
x
0
• Secondo fattore: F2 = x2 − 2
x2 − 2 > 0
=⇒
F2 > 0
Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 2 = 0,
√
√
che ha per soluzioni x = − 2 e 2. Disegniamo la parabola associata.
√
− 2
√ x
2
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
√
− 2
√
2
0
F1
F2
+
+
+
−
+
−
+
+
f
+
−
−
+
Quindi la funzione:
√
√
• è positiva se x < − 2 ∨ x > 2;
√
√
• è nulla se x = − 2 ∨ x = 0 ∨ x = 2;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19f.
Esercizio 53. Studia il segno della funzione y =
1
.
x
x
35
36
introduzione all’analisi
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 0 } (vedi l’esercizio 24) e il suo grafico non
interseca mai gli assi cartesiani (vedi l’esercizio 41). Per studiare il segno della funzione
risolviamo la disequazione:
1
>0
x
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = 1
1>0
che è sempre verificata.
x
• Denominatore: D = x
=⇒
D>0
x>0
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
0
N
D
+
−
+
+
f
−
+
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x > 0;
• non è definita se x = 0;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 20a.
Esercizio 54. Studia il segno della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 25) e il suo grafico interseca
gli assi cartesiani nei punti (2, 0) e (0, 4) (vedi l’esercizio 42). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
2x − 4
>0
x−1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = 2x − 4
2x − 4 > 0
=⇒
2x > 4
=⇒
x>2
2
x
2.4 segno
• Denominatore: D = x − 1
D>0
=⇒
=⇒
x−1 > 0
x>1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
1
2
N
D
−
−
−
+
+
+
f
+
−
+
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x < 1 ∨ x > 2;
• non è definita se x = 1;
• è nulla se x = 2;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 20b.
Esercizio 55. Studia il segno della funzione y =
x2
1
.
+1
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 26) e il suo grafico interseca gli
assi nel punto (0, 1) (vedi l’esercizio 43). Per studiare il segno della funzione risolviamo la
disequazione:
1
>0
2
x +1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = 1
1>0
che è sempre verificata.
x
• Denominatore: D = x2 + 1
D>0
=⇒
x2 + 1 > 0
Si tratta di una disequazione di secondo grado. L’equazione associata è
x2 + 1 = 0
=⇒
x2 = −1
=⇒
che è impossibile. Disegniamo la parabola associata.
√
x = ± −1
37
38
introduzione all’analisi
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
N
D
+
+
f
+
x
Quindi la funzione è sempre positivia. Vedi la figura 20c.
Esercizio 56. Studia il segno della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 27) e il suo grafico interseca
gli assi nel punto (0, 0) (vedi l’esercizio 44). Per studiare il segno della funzione risolviamo
la disequazione:
x2
>0
x−1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = x2
x2 > 0
Si tratta di una disequazione di secondo grado. L’equazione associata è
x2 = 0
che ha come unica soluzione x = 0. Disegniamo la parabola associata.
0
x
• Denominatore: D = x − 1
D>0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
x>1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
2.4 segno
0
1
N
D
+
−
+
−
+
+
f
−
−
+
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x > 1;
• non è definita se x = 1;
• è nulla se x = 0;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 20d.
Esercizio 57. Studia il segno della funzione y =
x2 − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 28) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (−2, 0), (2, 0) e (0, 4) (vedi l’esercizio 45). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
x2 − 4
>0
x2 − 1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = x2 − 4
N>0
x2 − 4 > 0
=⇒
È una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 4 = 0
Si tratta di un’equazione pura. Risolviamola:
x2 = 4
=⇒
√
x = ± 4 = ±2
Disegniamo la parabola associata.
−2
2
x
• Denominatore: D = x2 − 1
D>0
=⇒
x2 − 1 > 0
È una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
√
x2 = 1
=⇒
x = ± 1 = ±1
L’equazione associata ha dunque due soluzioni reali. Disegniamo la parabola associata.
39
40
introduzione all’analisi
−1
x
1
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
−2
−1
1
2
N
D
+
+
−
+
−
−
−
+
+
+
f
+
−
+
−
+
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2;
• è nulla se x = −2 ∨ x = 2;
• non è definita se x = −1 ∨ x = 1;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 20e.
Esercizio 58. Studia il segno della funzione y =
x2
x
.
−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 28) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l’esercizio 46). Per studiare il segno della funzione
risolviamo la disequazione:
x
>0
x2 − 1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = x
=⇒
N>0
x>0
0
x
• Denominatore: D = x2 − 1
D>0
=⇒
x2 − 1 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 = 1
Disegniamo la parabola associata.
=⇒
√
x = ± 1 = ±1
2.5 simmetrie
y
y
P0
P
P
x
P0
x
(a) Una funzione pari.
(b) Una funzione dispari.
Figura 21: Funzioni pari e dispari
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
−1
0
1
N
D
−
+
−
−
+
−
+
+
f
−
+
−
+
x
Quindi la funzione:
• è positiva se −1 < x < 0 ∨ x > 1;
• non è definita se x = −1 ∨ x = 1;
• è nulla se x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 20f.
2.5
simmetrie
Il grafico di una funzione può presentare alcune particolari simmetrie: queste caratteristiche vengono formalizzate dalle definizioni di funzioni pari e dispari.
Definizione 12. Una funzione si dice pari se f(−x) = f(x) per ogni x appartenente
al dominio della funzione. Una funzione si dice dispari se f(−x) = −f(x) per ogni x
appartenente al dominio della funzione.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y, mentre il grafico di una
funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine: vedi la figura 21.
41
42
introduzione all’analisi
Esercizio 59. Stabilisci se la funzione y = 2x − 4 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = 2(−x) − 4 = −2x − 4
Poiché quest’ultima espressione non coincide né con f(x) né con −f(x), la funzione assegnata non è né pari né dispari. Ciò si intuisce osservando la figura 19a e troverà conferma
quando avremo completato lo studio della funzione (vedi la figura 48a).
Esercizio 60. Stabilisci se la funzione y = x2 − 4x + 3 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = (−x)2 − 4(−x) + 3 = x2 + 4x + 3.
Poiché quest’ultima espressione non coincide né con f(x) né con −f(x), la funzione assegnata non è né pari né dispari. Vedi le figure 19b e 48b.
Esercizio 61. Stabilisci se la funzione y = x3 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = (−x)3 = −x3
Concludiamo che la funzione assegnata è dispari. Vedi le figure 19c e 48c.
Esercizio 62. Stabilisci se la funzione y = x3 − 3x è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x).
f(−x) = (−x)3 − 3(−x) = −x3 + 3x = −(x3 − 3x) = −f(x)
Concludiamo che la funzione assegnata è dispari. Vedi le figure 19d e 48d.
Esercizio 63. Stabilisci se la funzione y = x4 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = (−x)4 = x4 = f(x)
Concludiamo che la funzione assegnata è pari. Vedi le figure 19e e 48e.
2.5 simmetrie
Esercizio 64. Stabilisci se la funzione y = x4 − 2x2 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f(x)
Concludiamo che la funzione assegnata è pari. Vedi le figure 19f e 48f.
Esercizio 65. Stabilisci se la funzione y =
1
è pari o dispari.
x
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
1
1
= − = −f(x)
−x
x
Concludiamo che la funzione assegnata è dispari. Vedi le figure 20a e 49a.
Esercizio 66. Stabilisci se la funzione y =
2x − 4
è pari o dispari.
x−1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
2(−x) − 4
−2x − 4
2x + 4
=
=
−x − 1
−x − 1
x+1
Poiché quest’ultima espressione non coincide né con f(x) né con −f(x), la funzione assegnata non è né pari né dispari. Vedi le figure 20b e 49b.
Esercizio 67. Stabilisci se la funzione y =
1
è pari o dispari.
x2 + 1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
1
1
= 2
= f(x)
(−x)2 + 1
x +1
Concludiamo che la funzione assegnata è pari. Vedi le figure 20c e 49c.
Esercizio 68. Stabilisci se la funzione y =
x2
è pari o dispari.
x−1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
(−x)2
x2
x2
=
=−
−x − 1
−x − 1
x+1
Perciò la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 20d e 49d.
43
44
introduzione all’analisi
Esercizio 69. Stabilisci se la funzione y =
x2 − 4
è pari o dispari.
x2 − 1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
x2 − 4
(−x)2 − 4
=
= f(x)
(−x)2 − 1
x2 − 1
Concludiamo che la funzione assegnata è pari. Vedi le figure 20e e 49e.
Esercizio 70. Stabilisci se la funzione y =
x2
x
è pari o dispari.
−1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
−x
x
−x
= 2
=− 2
= −f(x)
2
(−x) − 1
x −1
x −1
Concludiamo che la funzione assegnata è dispari. Vedi le figure 20f e 49f.
2.6
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 71. Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche:
1
1. y = 2
4x − 25
2. y =
x+2
1
+
x2 − 9 3x − 6
1
1
+
x2 + 1 x3
√
4. y = 25 − x2
3. y =
7.
8.
9.
R\
5
±
2
[R \ { −3, 2, 3 }]
[R \ { 0 }]
[−5 6 x 6 5]
5
R\
2
1
4x2 − 20x + 25
√
[R]
y = 3x2 − 6x + 3
√
√
[−2 6 x 6 5]
y = 5 − x + 2x + 4
r
x+2
[x < −5 ∨ x > −2]
y=
x+5
√
5x − x2
[0 6 x 6 5 ∧ x 6= 3]
y=
x−3
5. y =
6.
1
10. y = √
2x2 − x − 1
x2 + 1
x2 + 6x − 7
√
12. y = 10x − x2
11. y =
15.
16.
17.
18.
1
x<− ∨ x>1
2
[R \ { −7, 1 }]
[0 6 x 6 10]
√
1
[R \ { −1, 0 }]
+ 3x
3x2 + 3x
1
[R \ { 0 }]
y= 3
x + x2 + 2x
x
[R \ { −2, 0 }]
y=
(2x + 1)2 − (x − 1)2
s
x2 − 4
[−3 < x 6 −2 ∨ x > 2]
y=
x+3
√
√
[2 6 x 6 5]
y = 5−x+ x−2
4
log(3x + 4)
x>−
3
13. y =
14.
2.6 esercizi
y
y
x
(a)
x
(b)
Figura 22: Lettura di un dominio sul grafico
Esercizio svolto 72. Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 22a (il tratteggio
indica che esso prosegue indefinitamente).
Soluzione. Il dominio è l’insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al
grafico della funzione.
Per individuare il dominio per via geometrica possiamo immaginare di proiettare tutti i punti
del grafico sull’asse x (vedi la figura 22b).
Così facendo otteniamo la semiretta colorata in rosso, compresa l’origine della semiretta che ha
coordinate (2, 0). Perciò il dominio della funzione è l’insieme
dom f = { x 6 2 } ,
ovvero l’intervallo (−∞, 2].
Esercizio 73. Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura 23 osservando il loro
grafico.
Esercizio 74. Determina il dominio, eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno
delle seguenti funzioni:


dom f = R
 intersezioni con gli assi: (0, 0), (±1, 0) 
1. y = x5 − x3
è positiva per −1 < x < 0 ∨ x > 1


dom f = R
 intersezioni con gli assi: (−11, 0), (0, 0), (1, 0) 
2. y = x3 + 10x2 − 11x
è positiva per −11 < x < 0 ∨ x > 1


dom f = R
 intersezioni con gli assi: (±1, 0), (±2, 0), (0, 4) 
3. y = x4 − 5x2 + 4
è positiva per x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2


dom f = R \ { −5, 1 }
x

 intersezioni con gli assi: (0, 0)
4. y = 2
x + 4x − 5
è positiva per −5 < x < 0 ∨ x > 1


dom f = R \ { ±2 }
2
x − 2x − 3
3 

5. y =
 intersezioni con gli assi: (−1, 0), (3, 0), (0, ) 
x2 − 4
4
è positiva per x < −2 ∨ −1 < x < 2 ∨ x > 3
45
46
introduzione all’analisi
y
y
y
x
(a)
x
(b)
y
(c)
y
y
x
(d)
x
x
x
(e)
(f)
Figura 23: Lettura di domini sul grafico

6. y =
7. y =
x2 + 2x − 3
x−2
√
x · x2 − 1
8. y =
x−2
9. y =

3

 intersezioni con gli assi: (−3, 0), (1, 0), (0, )
2
è positiva per −3 < x < 1 ∨ x > 2

dom f = { x 6= 0 }
 intersezioni con gli assi: (−1, 0)
positiva per x < −1 ∨ x > 0

dom f = { x 6 −1 ∨ 1 6 x < 2 ∨ x > 2 }
 intersezioni con gli assi: (±1, 0)
positiva per x < −1 ∨ x > 2

dom f = { 0 6 x < 4 }
 passa per l’origine
è positiva per ogni x 6= 0
x+1
x3
r
dom f = R \ { 2 }
x
4−x








Esercizio 75. Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura 24 sono pari o dispari.
Esercizio 76. Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari:
1. y = x8 − x5
[né pari né diaspari]
2. y = x8 − x6
[pari]
3. y = x5 − x3
4. y = x4 − 2x2 + 1
5. y =
[pari]
x
+1
x2 + 4
x2 + 1
2x
7. y = 4
x −1
6. y =
[dispari]
x2
[dispari]
[pari]
[dispari]
2.6 esercizi
y
y
y
x
x
(a)
x
(b)
y
(c)
y
y
x
x
x
(e)
(d)
(f)
Figura 24: Funzioni pari e dispari
Esercizio 77. In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 25, rispondi alle
seguenti domande
1. Qual è il dominio di f?
4. In quali punti f interseca gli assi?
2. Quanto vale f(−4)? E f(4)?
5. f(2) è positivo o negativo? E f(−2)?
3. Per quali valori f si annulla?
6. La funzione è pari? È dispari?
y
x
Figura 25: Una funzione
Esercizio 78. Indica la risposta corretta.
1. La funzione y =
x+2
è definita per:
x−2
A
∀x ∈ R
C
nessun valore reale di x
B
∀x ∈ R, x 6= 2
D
tutti i valori di x, tranne x = −2
2. Data la funzione y = x4 + x2 + 1 si può affermare che:
47
48
introduzione all’analisi
A
la variabile indipendente è y
C
y = (x2 + 1)2
B
la funzione è intera di sesto grado
D
la funzione è sempre definita
3. La funzione y =
x2 − 1
è definita:
x2 + 1
A
per tutti i valori di x diversi da ±1
C
∀x ∈ R, x 6= 0
B
∀x ∈ R
D
solo per x > −1
4. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f(−2) = 3 e f(3) = −2?
A
5. La funzione y =
A
B
y = −x + 1
C
y = x+5
y = x−5
D
y = −2x − 1
x+2
è definita per:
log(x − 1)
B
1<x62
C
x > 1 con x 6= 2
D
x > 1 con x 6= 2
x>1
√
x
√
6. Data la funzione f(x) =
il suo dominio è:
1−x
A
B
06x61
x60 ∨ x>1
C
06x<1
D
x>0
D
x>3
2 · f(x) + 2
e f(1) = 2 quanto vale f(2)?
2
B 0
C 2
D 1
A 3
7. Data la funzione f(x + 1) =
8. Il dominio di f(x) =
A
x>2
9. Data la funzione y =
ln(ex − 1)
1
√
+ √
è:
3
x−2
x−3
B
x<0 ∨ x>2
C
x > 2 e x 6= 3
2x
si può affermare che:
x2 + 1
A
per x = −1 non è definita
C
per x = 5 è definita
B
per x = 0 non è definita
D
è definita solo per x = ±1
10. Indica fra le seguenti l’affermazione errata:
A
la funzione y = log(x2 + 1) è definita ∀x ∈ R
B
la funzione y = x2 − 3 è definita ovunque
C
la funzione y =
D
x
non è definita per x = 8
x−7
√
la funzione y = 4 − x2 non è definita per x = 3
11. Data la funzione y =
√
x2 + 2x − 15 indica quale affermazione è vera:
2.6 esercizi
A
è definita per x 6 −5 ∨ x > 3
C
è definita solo per x > 3
B
è definita per −5 6 x 6 3
D
nessuna delle precedenti
12. Data la funzione y = log(x2 + x − 12) indica l’affermazione falsa:
A
per x = 4 non è definita
C
per x = 3 non è definita
B
per x = −4 non è definita
D
per x = −5 è definita
13. Data la funzione y = log
5x
indica quale l’affermazione è vera:
x2 + 1
A
il suo dominio è x > 0
C
il suo dominio è R
B
il suo dominio per x 6 0
D
per x = 0 vale y = 0
x2 − 4x + 3
, il suo dominio è
x3
R\{0}
B R
C {x < 1 ∨ x > 3}
14. Data la funzione f(x) =
A
D
R\{1}
15. La funzione f(x) = 2 − ln x è positiva nell’intervallo
A
(0, e2 )
B
C
(−∞, 2)
(e2 , +∞)
D
(0, +∞)
16. Per determinare il dominio di quale tra le seguenti funzioni occorre risolvere la disequazione
A(x) > 0?
p
p
1
A y= p
B y = ln A(x)
C 3 A(x)
D y = A(x)
A(x)
√
17. Il dominio della funzione y = x 9 − x2 è:
A
B
(−3, 3)
C
[−3, 3]
R \ { ±1 }
D
(−∞, −3] ∪ [3, +∞)
1
18. Il dominio della funzione y = √
è:
2
x + 5x
A
R
B
19. La funzione f(x) =
A
x < −5 ∨ x > 0
C
x>0
D
x65 ∨ x>0
x+3
interseca l’asse delle ascisse nel punto:
x2 + 4
(0, −3)
B
(2, 0)
C
(3, 0)
D
(−3, 0)
x−4
è:
20. Il dominio della funzione y = √
2
x − 5x + 6
A
R
B
{x < 2 ∨ x > 3}
√
x2 − 3
21. Il dominio della funzione y =
è:
x2
C
R \ { 2, 3 }
D
{2 < x < 3}
49
50
introduzione all’analisi
A
√
√
(−∞, − 3) ∪ (+ 3, +∞)
C
B
R\{0}
D
22. Il dominio della funzione y =
A
(0, +∞)
B
p
1 − ln(2x + 3) è:
3 e−3
− ,
C
2
2
23. Quale delle seguenti funzioni è definita ∀x ∈ R?
√
1
B y = x−1
C
A y=
x−1
√
√
(−∞, − 3] ∪ [+ 3, +∞)
√
√
[− 3, + 3], con x 6= 0
3
−∞, −
2
y = ln(x − 1)
D
D
3
− , +∞
2
y=
√
3
x−1
3
LIMITI
Questo capitolo introduce un concetto fondamentale dell’analisi matematica, quello di
limite. Cominceremo ad analizzare questo concetto attraverso alcuni esempi, in cui ci
familiarizzeremo con la nozione di limite a livello intuitivo.
3.1
concetto di limite
3.1.1 Esempi introduttivi
Limite finito quando x tende a un valore finito
Data la funzione
x2 − 9
x−3
studiamo il suo comportamento quando x assume valori sempre più prossimi a 3.
y=
analisi numerica Osserviamo che la funzione non è definita per x = 3, tuttavia possiamo calcolare i valori di y per valori di x “vicini” a 3. Attribuendo per esempio a x i
valori indicati in tabella, con l’aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di y
riportati.
x
y
2.9
5.9
2.99
5.99
2.999
5.999
3
non definita
3.001
6.001
3.01
6.01
3.1
6.1
6
Vediamo che quando la variabile x assume valori sempre più prossimi a 3, i corrispondenti valori di y si avvicinano sempre più a 6. Per esprimere questo comportamento della
funzione in prossimità del valore x = 3 (si dice anche «in un intorno di 3») scriviamo
lim f(x) = 6
x→3
che si legge «il limite di f(x) per x che tende a 3 è 6».
interpretazione grafica Si può avere conferma di questo comportamento della funzione per x vicino a 3 anche tracciando il suo grafico, poiché
x2 − 9
(x − 3)(x + 3)
=
= x + 3 per x 6= 3.
x−3
x−3
Il grafico della funzione è una retta, privata del punto di ascissa 3 (vedi la figura 26a).
f(x) =
Limite finito quando x tende a infinito
Data la funzione
x−1
x+1
studiamo il suo comportamento quando x assume valori positivi via via sempre più grandi.
y=
51
52
limiti
y
y
6
lim f(x) = 1
lim f(x) = 6
1
x→3
x→+∞
x
−1
x
3
(a) Limite finito quando x tende a
un valore finito
(b) Limite finito quando x tende a infinito
y
y
lim f(x) = +∞
lim f(x) = +∞
x→+∞
x→0
x
x
(c) Limite infinito quando x tende a un valore
finito
(d) Limite infinito quando x tende a infinito
Figura 26: Esempi di limiti
analisi numerica Attribuendo per esempio a x i valori indicati nella tabella seguente,
con l’aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di y riportati.
x
y
100
0.980
200
0.990
300
0.993
400
0.995
500
0.996
1000
0.998
10 000
0.999
1
Vediamo così che quando la variabile x assume valori positivi sempre più grandi (si dice
«tendenti a più infinito»), i corrispondenti valori di y si avvicinano sempre più a 1. Per
esprimere questo comportamento della funzione scriviamo
lim f(x) = 1
x→+∞
che si legge «il limite della funzione f(x) per x che tende a più infinito è 1».
interpretazione grafica
Il grafico della funzione y = f(x) =
y = 1 come asintoto orizzontale (vedi la figura 26b e il paragrafo 3.4).
x−1
presenta la retta
x+1
3.1 concetto di limite
Limite infinito quando x tende a un valore finito
Data la funzione
y = f(x) =
1
x2
studiamo il suo comportamento quando x assume valori sempre più prossimi a 0.
analisi numerica La funzione non è definita per x = 0, tuttavia possiamo calcolare i
valori di y quando x “si avvicina” a 0. Attribuendo per esempio a x i valori indicati nella
tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di y riportati.
x
y
−0.1
100
−0.01
10 000
−0.001
1 000 000
0
non definita
0.001
1 000 000
0.01
10 000
0.1
100
i valori di y
diventano sempre più grandi
Vediamo così che quando x assume valori sempre più vicini a 0, i corrispondenti valori
di y diventano sempre più grandi, ovvero «tendono a più infinito». Scriveremo
lim f(x) = +∞
x→0
che si legge «il limite di f(x) per x che tende a 0 è più infinito».
interpretazione grafica
Il grafico della funzione y = f(x) =
come asintoto verticale (vedi la figura 26c e il paragrafo 3.4).
1
presenta l’asse y
x2
Limite infinito quando x tende a infinito
Data la funzione
y = f(x) = 2x
studiamo il suo comportamento quando x assume valori positivi via via sempre più grandi.
analisi numerica Attribuendo per esempio a x i valori indicati nella tabella seguente,
otteniamo i valori approssimati di y riportati.
x
y
10
1024
15
32 768
20
1 048 576
25
33 554 432
i valori di y diventano (rapidamente) sempre più grandi
Vediamo così che quando la variabile x assume valori positivi via via più grandi («tendenti
a più infinito»), anche i corrispondenti valori di y diventano sempre più grandi (ovvero
tendono anch’essi a più infinito). Scriveremo allora
lim f(x) = +∞
x→+∞
che si legge «il limite di f(x) per x che tende a più infinito è più infinito».
53
54
limiti
y
lim f(x) = 1
x→0+
1
x
lim f(x) = −1
−1
x→0−
Figura 27: Limite destro e limite sinistro
interpretazione grafica La funzione esaminata è una funzione esponenziale che,
com’è noto, al crescere di x assume valori che tendono “rapidamente” a +∞ (vedi la
figura 26d).
3.1.2 Limite destro e limite sinistro
Per poter dire che il limite di una funzione per x → a, con a ∈ R, è l, è necessario
controllare che f(x) tenda a l sia quando x si avvicina ad a per valori maggiori di a (ossia
“da destra” rispetto ad a) sia quando x si avvicina ad a per valori minori di a (ossia “da
sinistra” rispetto ad a).
avvicinamento
da sinistra
a
avvicinamento
da destra
x
In alcuni casi può accadere che il comportamento della funzione a destra di a sia diverso
dal comportamento a sinistra di a. Per indagare queste situazioni si parla di limite destro e
di limite sinistro e si scrive:
• lim+ f(x) per indicare il limite destro.
x→a
• lim− f(x) per indicare il limite sinistro;
x→a
Per esempio, consideriamo la seguente funzione (chiamata anche segno di x):
1
se x > 0
f(x) =
−1 se x < 0
La funzione non è definita per x = 0. La figura 27 mostra il grafico della funzione.
• per x > 0 abbiamo che f(x) = 1, quindi lim+ f(x) = 1;
x→0
• per x < 0 abbiamo che f(x) = −1, quindi lim− f(x) = −1.
x→0
Si noti che non esiste invece il limite dalla funzione per x → 0, poiché i due limiti destro
e sinistro sono diversi tra loro.
Come si può intuire da quest’ultimo esempio, il limite di una funzione per x → a, con
a ∈ R, esiste se e solo se i due limiti, destro e sinistro, esistono e sono uguali.
3.2 calcolo dei limiti
3.1.3 Definizione di limite
Dagli esempi precedenti dovrebbe emergere in modo sufficientemente chiaro il concetto
di limite, di cui diamo la seguente definizione intuitiva.
Definizione 13. Data una funzione f(x), supponiamo che a e l rappresentino due
numeri reali, oppure +∞ o −∞. Diremo che il limite della funzione f(x) per x che
tende ad a è l, e scriveremo
lim f(x) = l
x→a
se la funzione f(x) assume valori vicini quanto si vuole a l tutte le volte che i valori
di x sono sufficientemente vicini ad a (con eventuale esclusione del punto x = a,
dove la funzione può non essere definita).
3.2
calcolo dei limiti
Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto e definito il concetto di limite. Il problema
che ci poniamo adesso è invece quello del calcolo dei limiti.
3.2.1 Limiti di alcune funzioni elementari
In base alla definizione di limite, è possibile dimostrare che valgono i limiti riassunti
nella tabella 1, dove a rappresenta un numero reale.
Tabella 1: Limiti di alcune funzioni elementari
lim xn = an per ogni n intero
√
√
lim x = a
x→a
√
√
lim 3 x = 3 a
x→a
x→a
lim 2x = 2a
x→a
lim log x = log a
x→a
Risultati analoghi valgono per le radici di indice (intero positivo) qualsiasi, e per le
funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche di base qualsiasi (purché > 0 e 6= 1).
Nel caso delle funzioni elementari il calcolo del limite per x → a, con a ∈ R appartenente
al dominio della funzione, si riduce quindi a effettuare una semplice sostituzione. Per
esempio:
lim x2 = 32 = 9.
x→3
Le figure 28 e 29 mostrano i limiti di alcune importanti funzioni elementari agli estremi
del loro dominio. Per esempio:
lim x3 = −∞ e
x→−∞
lim x4 = +∞ e
x→−∞
lim x3 = +∞
x→+∞
lim x4 = +∞
x→+∞
55
56
limiti
y = c, c ∈ R
y=x
y
y
x
x
(a)
lim c = c
lim c = c
x→−∞
(b)
x→+∞
lim x = −∞
lim x = +∞
x→−∞
x→+∞
y = xn , n naturale dispari > 3
y = xn , n naturale pari
y
y
x
x
(c)
lim xn = +∞
x→−∞
lim xn = +∞
x→+∞
(d)
lim xn = −∞
x→−∞
lim xn = +∞
x→+∞
Figura 28: Limiti della funzione costante e delle funzioni potenza agli estremi del dominio
3.2.2 Algebra dei limiti
Ci chiediamo ora: a partire dai limiti mostrati nella tabella 1, è possibile determinare
i limiti di funzioni più complicate, costruite a partire dalle funzioni elementari mediante
operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione? Per esempio, sappiamo
che lim x3 = 8 e che lim x2 = 4; possiamo dire che lim (x3 + x2 ) = 12 è la loro somma?
x→2
x→2
x→2
In altre parole, vogliamo studiare il comportamento dell’operazione di limite rispetto alle
operazioni tra funzioni. Cominciamo dal caso più semplice, in cui i limiti delle funzioni in
gioco sono finiti.
Regole di calcolo nel caso in cui i due limiti sono finiti
Se due funzioni f e g hanno limiti finiti per x → a, l’operazione di limite si comporta
“bene” rispetto alle ordinarie operazioni, come espresso dalla seguente proposizione.
3.2 calcolo dei limiti
y=
√
x
y=
√
3
x
y
y
x
x
(a) lim
x→0+
√
x=0
lim
x→+∞
√
x = +∞
(b)
lim
x→−∞
√
3
x = −∞
y=
y = 2x
y
1
lim 2x = 0
x→−∞
x→+∞
√
3
x = +∞
x
1
2
y
(c)
lim
1
x
x
x
1
= +∞
(d) lim
x→−∞ 2
lim 2x = +∞
x→+∞
x
1
lim
=0
x→+∞ 2
y = log 1 x
y = log2 x
2
y
y
x
1
x
1
(e) lim log2 x = −∞
x→0+
lim log2 x = +∞
x→+∞
(f) lim log 1 x = +∞
x→0+
2
lim log 1 x = −∞
x→+∞
2
Figura 29: Limiti di alcune funzioni elementari agli estremi del dominio
57
58
limiti
Proposizione 1. Supponiamo che le due funzioni f e g siano entrambe definite in
un intorno di a (numero reale o ±∞), eccetto al più a, e che sia
lim f(x) = l1
x→a
e
lim g(x) = l2
x→a
dove l1 , l2 sono numeri reali. Allora risulta:
• lim [f(x) + g(x)] = l1 + l2
x→a
• lim [f(x) − g(x)] = l1 − l2
x→a
• lim [f(x) · g(x)] = l1 · l2
x→a
f(x)
l1
= , se l2 6= 0
x→a g(x)
l2
• lim
• lim [c · f(x)] = c · l1 , per ogni c ∈ R
x→a
Esercizio 79. Calcola il limite lim (x3 + x2 ).
x→2
Soluzione.
lim (x3 + x2 ) = lim x3 + lim x2 = 8 + 4 = 12
x→2
x→2
x→2
Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due limiti è infinito
Vediamo ora che cosa accade nei casi esclusi dalla proposizione precedente, ossia quando
almeno uno dei due limiti l1 o l2 è infinito oppure in un quoziente il cui denominatore
tende a 0. A proposito di questi casi, si possono dimostrare i risultati seguenti (dove a
rappresenta un numero reale o ±∞).
Tabella 2: Regole per la somma
Se lim f(x) è
e lim g(x)
allora lim [f(x) + g(x)] è
l∈R
l∈R
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
x→a
x→a
x→a
Tabella 3: Regole per il prodotto
Se lim f(x) è
e lim g(x)
allora lim [f(x) · g(x)] è
l ∈ R con l 6= 0
±∞
±∞
±∞
±∞ secondo la regola dei segni
±∞ secondo la regola dei segni
x→a
x→a
x→a
3.2 calcolo dei limiti
Tabella 4: Regole per il quoziente
f(x)
è
g(x)
Se lim f(x) è
e lim g(x)
allora lim
l∈R
l ∈ R con l 6= 0
±∞
±∞
0
l∈R
0
±∞ secondo la regola dei segni
±∞ secondo la regola dei segni
x→a
x→a
x→a
È importante fare alcune osservazioni.
• Riguardando attentamente le tabelle, ti accorgerai che esse non danno informazioni
nel caso in cui il limite si presenti in una delle seguenti forme, dette forme di indecisione
(o forme indeterminate):
+∞ − ∞
0·∞
∞/∞
0/0
dove il simbolo 0 · ∞ è un modo abbreviato per indicare le forme indeterminate
∞
è un modo
del tipo 0 · +∞, 0 · −∞, +∞ · 0, −∞ · 0 e analogamente il simbolo
∞
+∞ +∞ −∞ −∞
abbreviato per indicare le forme
,
,
,
. Ciò non significa che in
+∞ +∞ −∞ +∞
questi casi il limite sia indeterminato o non si possa calcolare, ma solo che il risultato
del limite può essere qualsiasi e non esiste alcun modo di stabilirlo a priori: occorre
analizzare la situazione caso per caso. Vedremo i metodi più comuni per risolvere le
forme di indecisione nel prossimo paragrafo.
• I risultati espressi nella tabelle 2, 3 e 4 si possono riassumere nelle “uguaglianze” della tabella 5. Esse possono interpretarsi come regole di calcolo algebrico per svolgere
operazioni che coinvolgono i simboli di ±∞ e prendono pertanto il nome di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (“parziale” perché le regole di calcolo così definite
soddisfano solo parzialmente le ordinarie proprietà delle operazioni aritmetiche).
Tabella 5: Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
(±∞) · (±∞) = (±∞)
l ± ∞ = ±∞
l · ∞ = ±∞
l
= ±∞
0
l
=0
±∞
±∞
= ±∞
l
per ogni l ∈ R
per ogni l ∈ R, con l 6= 0
per ogni l ∈ R, con l 6= 0
per ogni l ∈ R
per ogni l ∈ R
• In tutte le scritture della tabella 5 il segno dell’infinito va determinato in base all’ordinaria regola dei segni, tenendo conto che in questo contesto si attribuisce un segno
anche a 0: lo 0 viene considerato positivo, e indicato con 0+ , se una funzione tende a 0
per eccesso, cioè assumendo valori positivi (vedi la figura 30), mentre viene considera-
59
60
limiti
y
lim f(x) = 0−
x
x→−∞
lim f(x) = 0+
x→+∞
Figura 30: lim f(x) = 0+
x→+∞
to negativo, e indicato con 0− , se una funzione tende a 0 per difetto, cioè assumendo
valori negativi (vedi la figura 30). Avremo per esempio:
2
= +∞
0+
Esercizio 80. Calcola lim
x→+∞
+∞
= −∞
0−
−∞
= +∞
0−
1
.
x5
Soluzione.
lim
x→+∞
Esercizio 81. Calcola lim+ x +
x→1
1
1
=
=0
5
x
+∞
1
.
x−1
Soluzione. Tenendo conto che quando x → 1+ si ha che x − 1 → 0+ si ha:
lim+ x +
x→1
1
x−1
= 1+
1
= 1 + ∞ = +∞
0+
3.2.3 Forme di indecisione di funzioni algebriche
Questo paragrafo presenta le più comuni forme di indecisione che si presentano quando
si lavora con funzioni algebriche intere e fratte.
Limiti di di funzioni intere
Le funzioni intere sono definite in tutto R, quindi si può incorrere in forme di indecisione
solo nel calcolo dei limiti per x → ±∞. In questo caso, ci si può imbattere in una forma di
indecisione del tipo +∞ − ∞. Per esempio, ciò accade se si vuole calcolare:
lim (x3 − x2 + x + 1)
x→±∞
3.2 calcolo dei limiti
La risoluzione di queste forme di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliendo x3 si ha che:
1
1
1
3
lim x 1 − + 2 + 3
x→±∞
x x
x
Tutti i termini dopo 1 dentro le parentesi tonde tendono a 0 per x → ±∞, quindi il fattore
tra parentesi tende a 1. Ne segue che
lim (x3 − x2 + x + 1) = lim x3 = ±∞
x→±∞
x→±∞
Questo ragionamento può ripetersi similmente per qualsiasi polinomio; possiamo quindi
concludere che: per calcolare il limite di un polinomio per x → ±∞ basta calcolare il limite del
suo termine di grado massimo.
Esercizio 82. Calcola lim (x2 − 4x).
x→+∞
Soluzione.
lim (x2 − 4x) = lim x2 = +∞
x→+∞
x→+∞
Esercizio 83. Calcola lim (x2 − 2x3 + x + 1).
x→+∞
Soluzione.
lim (x2 − 2x3 + x + 1) = lim −2x3 = −∞
x→+∞
x→+∞
Esercizio 84. Calcola lim (x4 − 2x2 + x).
x→−∞
Soluzione.
lim (x4 − 2x2 + x) = lim x4 = +∞
x→−∞
x→−∞
Funzioni fratte
Consideriamo ora una funzione fratta, cioè una funzione del tipo
f(x) =
P(x)
Q(x)
dove P(x) e Q(x) sono polinomi.
Le funzioni fratte hanno come dominio l’insieme R privato degli eventuali valori di x che
annullano il denominatore.
Nel calcolo dei limiti di queste funzioni si può incorrere in due tipi di forme di indeci∞
0
sione:
nel calcolo dei limiti per x → ±∞ oppure nel calcolo dei limiti per x → a,
∞
0
dove a ∈ R è un punto in cui la funzione non è definita. Analizziamo separatamente i due
casi.
61
62
limiti
forme di indecisione del tipo
∞
∞
lim
x→+∞
Per esempio, consideriamo il limite
x 3 + 5x 2 + 6x − 1
x 2 + 7x + 1
Sia il numeratore che il denominatore tendono a +∞ per x → +∞, quindi il limite si
+∞
presenta nella forma di indecisione
. La risoluzione della forma di indecisione si
+∞
basa sul seguente ragionamento. Raccogliamo anzitutto al numeratore e al denominatore i
termini di grado massimo:
lim
x→+∞
x 3 + 5x 2 + 6x − 1
= lim
x→+∞
x 2 + 7x + 1
x3
5
6
1
1+ + 2 − 3
x
x
x
7
1
x2 1 + + 2
x
x
Tutti gli addendi dopo 1, sia all’interno delle parentesi al numeratore che all’interno delle
parentesi al denominatore, tendono a 0 per x → +∞, quindi i due fattori tra parentesi
tonde tendono entrambi a 1. Ne segue che:
lim
x→+∞
x 3 + 5x 2 + 6x − 1
x3
= lim x = +∞
=
lim
x→+∞
x→+∞ x 2
x 2 + 7x + 1
Un ragionamento simile può ripetersi nel caso di tutti i limiti di funzioni fratte che si
∞
presentano nella forma
. Possiamo quindi concludere che per calcolare il limite del rapporto
∞
tra due polinomi per x → ±∞ basta calcolare il limite del rapporto dei loro termini di grado
massimo.
Esercizio 85. Calcola lim
x→+∞
Soluzione.
lim
x→+∞
2x 3 − 1
.
x2 + 1
2x 3
2x 3 − 1
=
lim
= lim 2x = +∞
x→+∞ x 2
x→+∞
x2 + 1
Esercizio 86. Calcola lim
x→+∞
Soluzione.
lim
x→+∞
x4 − 1
.
x8 + 1
x4 − 1
x4
1
=
lim
= lim
=0
8
8
x→+∞ x
x→+∞ x 4
x +1
Esercizio 87. Calcola lim
x→+∞
x4 − 1
.
1 − 2x 4
Soluzione.
lim
x→+∞
x4 − 1
x4
1
=
lim
=−
x→+∞ −2x 4
1 − 2x 4
2
3.3 continuità
I tre esempi precedenti mostrano i tre diversi casi che possono presentarsi nel calcolo del
P (x)
, dove P (x) e Q(x) sono polinomi di gradi rispettivamente n ed m.
limite lim
x→±∞ Q(x)
• se n > m (vedi l’esempio 85), allora:
• se n < m (vedi l’esempio 86), allora:
lim
P (x)
= ±∞
Q(x)
lim
P (x)
=0
Q(x)
x→±∞
x→±∞
• se n = m (vedi l’esempio 87), allora:
lim
x→±∞
P(x)
= rapporto tra il coefficiente di x n e il coefficiente di x m
Q(x)
forme di indecisione del tipo
0
0
Se il limite del rapporto di due polinomi
P (x)
si
Q(x)
0
per x → a ∈ R, deve essere P (a) = Q(a) = 0,
0
quindi i due polinomi P (x) e Q(x) devono essere divisibili per (x − a). L’indeterminaP (x)
zione si rimuove scomponendo P (x) e Q(x) in fattori e semplificando la frazione
.
Q(x)
Il limite della funzione ottenuta dopo la semplificazione del fattore (x − a) coincide con
quello della funzione originaria: infatti le due funzioni sono uguali per x 6 = a e, ai fini del
calcolo del limite, è ininfluente il valore della funzione in a.
presenta nella forma indeterminata
Esercizio 88. Calcola lim
x→1
x 2 + 3x − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Osserviamo che
lim (x 2 + 3x − 4) = 0
x→1
e
lim (x 2 − 1) = 0
x→1
0
. Per risolvere la forma di indecisione scomponia0
mo il numeratore e il denominatore e semplifichiamo il fattore in comune.
quindi il limite si presenta nella forma
lim
x→1
3.3
x 2 + 3x − 4
(x − 1)(x + 4)
x+4
5
= lim
= lim
=
2
x→1 (x − 1)(x + 1)
x→1 x + 1
x −1
2
continuità
Questo paragrafo presenta il concetto di funzione continua.
3.3.1 Continuità in un punto
63
64
limiti
y
y
f(b)
f(b)
f(a)
f(a)
x
x
a b
ab
(a) La funzione f(x) è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il
valore f(b) si discosta di poco da f(a)
(b) La funzione f(x) non è continua in a:
spostandoci di poco da a, per esempio
in b, il valore f(b) si discosta in modo
significativo da f(a)
Figura 31: Funzioni continue e discontinue
Definizione 14. Sia f una funzione definita in un intorno di a ∈ R. Se lim f(x) =
x→a
f(a), la funzione f si dice continua in a.
È importante fare alcune osservazioni.
• Mentre l’operazione di limite per x → a ∈ R riguarda il comportamento di una funzione in un intorno di a, disinteressandosi di ciò che accade nel punto a, la definizione
di continuità richiede invece l’analisi del comportamento della funzione sia in un
intorno di a sia nel punto a, e impone che i due comportamenti non siano difformi.
• Intuitivamente, la condizione lim f(x) = f(a) si può interpretare dicendo che «se x
x→a
è vicino ad a, allora f(x) è vicino a f(a)» (vedi la figura 31a). Osserva che questa
condizione non è verificata se f non è continua in a (vedi la figura 31b)
3.3.2 Funzioni continue
Definizione 15. Se una funzione f di dominio D è continua in tutti i punti di un
insieme A ⊆ D, diremo che f è continua in A. Se f è continua in tutti i punti del suo
dominio, diremo semplicemente che f è una funzione continua.
Per esempio:
• le funzioni potenza y = xn con n ∈ N sono continue in R;
• la funzione y =
1
è continua in R \ { 0 };
x
• la funzione esponenziale y = 2x è continua in R;
• la funzione logaritmica y = log x è continua in (0, +∞).
3.3 continuità
y
y
y
1
6
x
x
−1
x
3
(a) Discontinuità di tipo salto (o di
prima specie)
(b) Discontinuità di seconda specie
(c) Discontinuità eliminabile (o di terza specie)
Figura 32: Punti di discontinuità
3.3.3 Punti di discontinuità e loro classificazione
Sia f una funzione definita in un intorno di a ∈ R. La condizione di continuità della
funzione in a equivale alla seguente:
lim f(x) = lim− f(x) = f(a)
x→a+
x→a
quindi richiede che siano verificate tre condizioni
1. i due limiti lim+ f(x) e lim− f(x) devono esistere finiti;
x→a
x→a
2. devono essere uguali tra loro;
3. devono essere uguali a f(a).
Se almeno una di queste tre condizioni non è soddisfatta, diremo che a è un punto di
discontinuità della funzione. Si possono allora avere tre tipi diversi di punti di discontinuità,
a seconda di quale di queste tre condizioni viene a cadere. Analizziamo singolarmente
ciascuno di questi casi.
Punti di salto (o discontinuità di prima specie)
Il primo tipo di discontinuità che analizziamo è relativo al caso in cui cade la condizione 2, cioè se i limiti lim+ f(x) e lim− f(x) esistono finiti ma sono diversi tra loro.
x→a
x→a
Definizione 16. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è un
punto di salto (o di discontinuità di prima specie) se i limiti di f per x → a+ e x → a−
esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso il valore assoluto della differenza
lim+ f(x) − lim− f(x) si dice salto di f in x = a.
x→a
x→a
65
66
limiti
Esercizio 89. Studia i punti di discontinuità della funzione
1
se x > 0
f(x) =
−1 se x < 0
Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (vedi la figura 32a). È immediato
verificare che
lim+ f(x) = 1 e
lim− f(x) = −1
x→0
x→0
Perciò i limiti dalla destra e dalla sinistra di f per x → 0 esistono e sono finiti ma sono
diversi tra loro. La funzione presenta in x = 0 un punto di salto; precisamente, il salto
vale 2.
Discontinuità di seconda specie
Un altro tipo di discontinuità si presenta se cade la condizione 1, cioè quello in cui
almeno uno dei due limiti lim+ f(x) e lim− f(x) non esiste o è infinito.
x→a
x→a
Definizione 17. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è di
seconda specie se almeno uno dei due limiti lim+ f(x) e lim− f(x) non esiste o è
x→a
x→a
infinito.
Esercizio 90. Studia i punti di discontinuità della funzione
1
.
x
Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (vedi la figura 32c). Osserviamo che
i limiti della funzione per x → 0+ e x → 0− sono infiniti; precisamente
lim f(x) = +∞ e
lim f(x) = −∞
x→0+
x→0−
quindi x = 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. Osserva che la
retta x = 0 (cioè l’asse y) è un asintoto verticale per la funzione.
Discontinuità eliminabili (o discontinuità di terza specie)
L’ultimo caso che ci resta da esaminare è quello in cui si verificano le condizioni 1 e 2,
ma cade la 3, cioè quando esiste finito il limite lim f(x), ma questo non è uguale a f(a).
x→a
Precisamente, diamo la seguente definizione.
Definizione 18. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è
eliminabile in ciascuno di questi due casi:
• se esiste finito lim f(x) ma f non è definita in a;
x→a
• se esiste finito lim f(x) ma il valore del limite è diverso da f(a).
x→a
3.4 asintoti
y
y
x
y
y = mx + q
l
a
x
x
(a) Grafico di una funzione che ha
la retta x = a come asintoto
verticale
(b) Grafico di una funzione che ha
la retta y = l come asintoto
orizzontale
(c) Grafico di una funzione che
ha la retta y = mx + q come
asintoto obliquo
Figura 33: Asintoti
Esercizio 91. Studia i punti di discontinuità della funzione
x + 3 se x 6= 3
f(x) =
0
se x = 3.
Soluzione. La funzione è definita in tutto R ed è continua per x 6= 3 (vedi la figura 32c).
Analizziamo il comportamento della funzione in un intorno di 3:
lim f(x) = 6
x→3
Pertanto il limite della funzione per x → 3 esiste ma è diverso da f(3) = 0.
Osserva che non è difficile modificare la definizione della funzione precedente nel punto 3
in modo da ottenere una nuova funzione continua anche in 1; precisamente, la funzione
x + 3 se x 6= 3
g(x) =
6
se x = 3
(che coincide con f eccetto che per x = 3) è continua anche in 3 perché lim g(x) = g(3).
x→3
3.4
asintoti
Consideriamo i grafici di funzione rappresentati nella figura 33: ciascuno di essi, per
opportuni valori di x, “si avvicina sempre di più” alle rette tratteggiate.
Definizione 19. Diciamo intuitivamente che una retta è un asintoto per il grafico di
una funzione se il grafico della funzione si avvicina sempre di più alla retta per certi
valori di x. In particolare, parleremo di asintoto verticale quando la retta è parallela
all’asse delle ordinate (figura 33a), di asintoto orizzontale quando la retta è parallela
all’asse delle ascisse (figura 33b) e di asintoto obliquo negli altri casi (figura 33c).
Poiché una retta ha estensione infinita, il grafico di una funzione può avere un asintoto
orizzontale o obliquo solo se il dominio è illimitato (superiormente e/o inferiormente), e
67
68
limiti
può avere un asintoto verticale solo se il valore di f(x) può crescere (o diminuire) indefinitamente per qualche x: quest’ultimo caso può accadere solo agli estremi del dominio
al finito o nei punti di discontinuità della funzione. In altre parole, poiché da qui in poi
ci limiteremo a considerare funzioni continue nel loro dominio, in pratica per cercare gli
eventuali asintoti del grafico di una funzione bisogna analizzarne il comportamento agli
estremi del dominio: al finito per gli asintoti verticali e all’infinito per gli altri.
3.4.1 Asintoti verticali
Proposizione 2. Una retta di equazione x = a, con a ∈ R, è un asintoto verticale per
una funzione se almeno uno dei limiti della funzione per x → a+ o per x → a−
è +∞ o −∞.
Esercizio 92. Trova gli asintoti verticali della funzione y =
1
.
x
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 0 } (vedi l’esercizio 24). Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli
intervalli che costituiscono il dominio.
lim
x→0+
1
1
= + = +∞ e
x
0
lim
x→0−
2
1
= − = −∞
x
0
quindi x = 1 è un asintoto verticale (vedi la figura 35a).
Esercizio 93. Trova gli asintoti verticali della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 25). Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli
intervalli che costituiscono il dominio.
lim+
x→1
2x − 4
−2
= + = −∞ e
x−1
0
lim−
x→1
2x − 4
−2
= − = +∞
x−1
0
quindi x = 1 è un asintoto verticale (vedi la figura 35b).
3.4.2 Asintoti orizzontali
Proposizione 3. Una retta di equazione y = l, con l ∈ R, è un asintoto orizzontale per
una funzione se il limite della funzione per x → +∞ o per x → −∞ è l.
3.4 asintoti
Esercizio 94. Trova gli asintoti orizzontali della funzione y =
1
.
x
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 0 } (vedi l’esercizio 24). Per ricercare eventuali
asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per x → ±∞.
1
1
=
=0
x→±∞ x
±∞
lim
quindi y = 0 è un asintoto orizzontale (vedi la figura 35a).
Esercizio 95. Trova gli asintoti orizzontali della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 25). Per ricercare eventuali
asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per x → ±∞.
2x − 4
2x
= lim
=2
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
lim
quindi y = 2 è un asintoto orizzontale (vedi la figura 35b).
3.4.3 Asintoti obliqui
Proposizione 4. La retta di equazione y = mx + q è un asintoto obliquo per la
funzione y = f(x) se e solo se:
•
•
f(x)
=m
x→±∞ x
lim
lim [f(x) − mx] = q
x→±∞
dove m, q ∈ R, con m 6= 0.
In pratica, la proposizione precedente si usa così:
• se il dominio della funzione è illimitato superiormente, si verifica la presenza di
eventuali asintoti orizzontali per x → +∞: in caso positivo, è esclusa la presenza di
un asintoto obliquo per x → +∞;
f(x)
: se questo limite non esiste finito, è esclusa
x
la presenza di un asintoto obliquo per x → +∞
• in caso negativo, si calcola il lim
x→+∞
• altrimenti si assegna a m il suo valore e si calcola il lim [f(x) − mx]: se questo limite
x→+∞
non esiste finito, è esclusa la presenza di un asintoto obliquo per x → +∞;
• altrimenti si assegna a q il suo valore e la retta di equazione y = mx + q è un asintoto
obliquo per il grafico della funzione;
• se il dominio della funzione è illimitato inferiormente, si segue la stessa procedura
per x → −∞.
69
70
limiti
Esercizio 96. Trova gli asintoti obliqui della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 27), quindi essendo inferiormente e superiormente illimitato ha senso indagare sul comportamento della funzione sia
per x → −∞ sia per x → +∞. Abbiamo che:
x2
x2
= lim
= lim x = ±∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞ x − 1
lim
quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x2
x
x
= lim
= lim
= lim
=1
x→±∞ x
x→±∞ x(x − 1)
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
lim
=⇒
m=1
Poiché tale limite è finito, ha senso continuare:
lim [f(x) − mx] = lim [f(x) − 1 · x]
x→±∞
2
x
−x
= lim
x→±∞ x − 1
x2 − x(x − 1)
= lim
x→±∞
x−1
2
x − x2 + x
= lim
x→±∞
x−1
x
= lim
x→±∞ x − 1
x
= lim
=1
=⇒
x→±∞ x
x→±∞
q=1
Concludiamo che l’asintoto obliquo esiste e ha equazione y = x + 1 (vedi le figure 35d, 45d
e 54).
In generale, si può provare che:
• le funzioni intere, ovvero le funzioni di equazione y = P(x), dove P(x) è un polinomio,
hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P(x) è 1 (ovvero se e solo se il grafico
della funzione è una retta);
P(x)
, dove P(x) e Q(x) sono
Q(x)
due polinomi, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P(x) supera di 1 quello
di Q(x).
• le funzioni fratte, ovvero le funzioni di equazione y =
3.5
grafico probabile di una funzione
Alla luce delle nuove conoscenze che abbiamo acquisito circa gli asintoti, riprendiamo il
problema di tracciare il grafico di una funzione. Data una funzione, fino a questo punto
eravamo in grado (almeno nei casi più semplici) di:
1. determinarne il dominio;
3.5 grafico probabile di una funzione
2. riconoscerne eventuali simmetrie (rispetto all’asse y o all’origine);
3. determinare gli eventuali punti di intersezione del suo grafico con gli assi;
4. studiarne il segno.
Ora possiamo arricchire la nostra analisi con un quinto punto:
5. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli dove la funzione è definita.
Tutto ciò consente di studiare eventuali punti di discontinuità della funzione e di scoprire
l’esistenza di eventuali asintoti verticali e orizzontali; se non esistono asintoti orizzontali,
siamo inoltre in grado di ricercare eventuali asintoti obliqui.
L’insieme delle informazioni ricavate nei cinque punti indicati consente in molti casi
di tracciare il grafico di una funzione con buona approssimazione, come mostriamo nei
prossimi esempi. Parleremo di grafico probabile perché alcuni elementi rimangono ancora
incerti (per esempio la determinazione degli eventuali punti di minimo o di massimo).
Esercizio 97. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y = 2x − 4.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23). La figura 19a riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 35 e 47).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim 2x − 4 = lim 2x = ±∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
lim
x→±∞
f(x)
2x − 4
2x
= lim
= lim
=2
x→±∞
x→±∞ x
x
x
=⇒
m=2
Poiché tali limiti sono finiti, ha senso continuare:
lim [f(x) − mx] = lim [f(x) − 2 · x]
x→±∞
x→±∞
= lim (2x − 4 − 2x)
x→±∞
= lim −4
x→±∞
= −4
=⇒
q = −4
Concludiamo che l’asintoto obliquo esiste e ha equazione y = 2x − 4. Osserviamo
che, in questo caso, l’asintoto obliquo coincide con la funzione stessa.
La figura 34a mostra le nuove informazioni raccolte.
71
72
limiti
Esercizio 98. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y = x2 −
4x + 3.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23). La figura 19b riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 36 e 48).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim x2 − 4x + 3 = lim x2 = +∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
x2 − 4x + 3
x2
f(x)
= lim
= lim
= lim x = ±∞
x→±∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞ x
x
lim
Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui.
La figura 34b mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 99. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y = x3 .
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23). La figura 19c riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 37 e 49).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim x3 = ±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x3
= lim
= lim x2 = +∞
x→±∞ x
x→±∞ x
x→±∞
lim
Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui.
La figura 34c mostra le nuove informazioni raccolte.
3.5 grafico probabile di una funzione
Esercizio 100. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
x3 − 3x.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23). La figura 19d riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 38 e 50).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim x3 − 3x = lim x3 = ±∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x3 − 3x
= lim
= lim x2 − 3 = lim x2 = +∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x→±∞
x
lim
Poiché tale limite è infinito, non ci sono asintoti obliqui.
La figura 34d mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 101. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y = x4 .
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23). La figura 19e riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 39 e 51).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim x4 = +∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che nons ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x4
= lim
= lim x3 = ±∞
x→±∞ x
x→±∞ x
x→±∞
lim
Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui.
La figura 34e mostra le nuove informazioni raccolte.
73
74
limiti
Esercizio 102. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
x4 − 2x2 .
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 23). La figura 19f riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 40 e 52).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim x4 − 2x2 = lim x4 = +∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x4 − 2x2
= lim
= lim x3 − 2x = lim x3 = ±∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x→±∞
x
lim
Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui.
La figura 34f mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 103. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
1
.
x
Soluzione.
• La retta x = 0 è un asintoto verticale (vedi l’esercizio 92) e la retta y = 0 è un asintoto
orizzontale (vedi l’esercizio 94).
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono asintoti
obliqui.
La figura 35a mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 104. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
2x − 1
.
x−1
Soluzione.
• La retta x = 0 è un asintoto verticale (vedi l’esercizio 93) e la retta y = 0 è un asintoto
orizzontale (vedi l’esercizio 95).
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono asintoti
obliqui.
La figura 35b mostra le nuove informazioni raccolte.
3.5 grafico probabile di una funzione
Esercizio 105. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
1
.
2
x +1
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 26). La figura 20c riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 43 e 55).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché il dominio della funzione è R e la funzione è continua, non ci sono asintoti
verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
1
lim 2
=0
x→±∞ x + 1
quindi y = 0 è un asintoto orizzontale.
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono asintoti
obliqui.
La figura 35c mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 106. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 27). La figura 20d riporta le
informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 44 e 56).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi,
dobbiamo calcolare i limiti per x → 1.
lim+
x→1
x2
1
= + = +∞ e
x−1
0
lim−
x→1
x2
1
= − = −∞
x−1
0
quindi x = 1 è un asintoto verticale.
• La funzione non ha asintoti orizzontali, mentre ha un asintoto obliquo di equazione y = x + 1 (vedi l’esercizio 96).
La figura 35d mostra le nuove informazioni raccolte.
75
76
limiti
y
y
3
x
2
−4
x
1
3
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
x
x
√
− 3
(c) y = x3
√
3
(d) y = x3 − 3x
y
y
x
x
(e) y = x4
√
− 2
√
2
(f) y = x4 − 2x2
Figura 34: Limiti di alcune funzioni intere
3.5 grafico probabile di una funzione
y
y
4
x
2
x
1
(a) y =
1
x
(b) y =
2
2x − 4
x−1
y
y
1
4
y = x+1
x
1
2
x
(c) y =
x2
1
+1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
1
−2
−1
(e) y =
x
1
x2 − 4
x2 − 1
2
x
−1
(f) y =
Figura 35: Limiti di alcune funzioni fratte
1
x
x2 − 1
77
78
limiti
Esercizio 107. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
x2 − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l’esercizio 28). La figura 20e riporta
le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 45 e 57).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi,
dobbiamo calcolare i limiti per x → 1 e per x → −1.
lim+
x→1
x2 − 4
−3
= + = −∞ e
2
x −1
0
lim +
−3
x2 − 4
= − = +∞ e
2
x −1
0
e
x→−1
lim−
x→1
x2 − 4
−3
= − = +∞
2
x −1
0
lim −
x→−1
−3
x2 − 4
= + = −∞
2
x −1
0
quindi x = 1 e x = −1 sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
x2 − 4
x2
lim 2
= lim 2 = 1
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
quindi y = 1 è un asintoto orizzontale.
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono asintoti
obliqui.
La figura 35e mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 108. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione y =
x
.
2
x −1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l’esercizio 28). La figura 20f riporta
le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 46 e 58).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi,
dobbiamo calcolare i limiti per x → 1 e per x → −1.
lim+
x→1
x2
x
1
= + = +∞ e
−1
0
lim +
x2
x
−1
= − = +∞ e
−1
0
e
x→−1
quindi x = 1 e x = −1 sono asintoti verticali.
lim−
x→1
x2
lim −
x→−1
x
1
= − = −∞
−1
0
x2
x
−1
= + = −∞
−1
0
3.6 esercizi
y
y
x
y
x
(a)
x
(b)
y
(c)
y
x
y
x
(d)
x
(e)
(f)
Figura 36: Approccio grafico al concetto di limite
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
x
lim 2
=0
x→±∞ x − 1
quindi y = 0 è un asintoto orizzontale.
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono asintoti
obliqui.
La figura 35f mostra le nuove informazioni raccolte.
3.6
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 109. Deduci dal grafico 36a il valore dei seguenti limiti:
1.
lim f(x)
3.
x→−∞
2. lim f(x)
x→0
lim f(x)
5. lim f(x)
lim f(x)
6.
x→1−
4.
x→1+
x→2
lim f(x)
x→+∞
79
80
limiti
Esercizio 110. Deduci dal grafico 36b il valore dei seguenti limiti:
1.
lim f(x)
3.
lim f(x)
4.
x→−∞
2.
lim f(x)
x→−3−
lim f(x)
5.
x→3+
x→−3+
lim f(x)
lim f(x)
6.
x→3−
x→+∞
Esercizio 111. Deduci dal grafico 36c il valore dei seguenti limiti:
1.
lim f(x)
3. lim f(x)
lim f(x)
4.
x→−∞
2.
x→−2
lim f(x)
5.
x→0
x→2+
lim f(x)
lim f(x)
6.
x→2−
x→+∞
Esercizio 112. Deduci dal grafico 36d il valore dei seguenti limiti:
1.
lim f(x)
2. lim f(x)
x→−∞
lim f(x)
3.
x→+∞
x→0
Esercizio 113. Deduci dal grafico 36e il valore dei seguenti limiti:
1.
lim f(x)
2. lim f(x)
x→−∞
lim f(x)
3.
x→+∞
x→0
Esercizio 114. Deduci dal grafico 36f il valore dei seguenti limiti:
1.
lim f(x)
2. lim f(x)
x→−∞
3.
lim f(x)
x→+∞
x→0
Esercizio 115. Indica la risposta corretta.
7. Quanto vale lim 10−x ?
1. Quanto vale lim x3 ?
x→+∞
x→2
A 2
B 8
C −∞
D +∞
x→+∞
B 1
C −∞
D +∞
3. Quanto vale lim x3 ?
x→−∞
A 0
B 1
C −∞
A 0
D +∞
5. Quanto vale lim x4 ?
B 1
D +∞
6. Quanto vale lim 10x ?
B 1
D +∞
C −∞
D +∞
x→0+
A 0
B 1
C −∞
D +∞
A 0
B 1
5
C −∞
D +∞
12. Quanto vale lim log5 x?
x→+∞
A 0
B 1
x→0+
C −∞
C −∞
11. Quanto vale lim log 1 x?
x→−∞
A 0
B 1
10. Quanto vale lim log5 x?
x→+∞
C −∞
D +∞
x
1
?
x→−∞ 2
D +∞
4. Quanto vale lim x4 ?
B 1
C −∞
9. Quanto vale lim
A 0
A 0
B 1
x
1
?
8. Quanto vale lim
x→+∞ 2
2. Quanto vale lim x3 ?
A 0
A 0
x→25
C −∞
Esercizio 116. Vero o falso?
D +∞
A 0
B 2
C −∞
D +∞
3.6 esercizi
x
1
=0
1. lim
x→+∞ 4
x
1
= −∞
2. lim
x→−∞ 4
√
3. lim
x = +∞
x→+∞
V
F
6.
V
V
F
lim x−10 = +∞
V
F
lim x10 = +∞
V
F
lim x10 = +∞
V
F
V
F
x→0+
F
8.
V
lim x10 = 0−
x→0−
7.
x→−∞
F
9.
x→+∞
4.
lim log 1 x = +∞
x→+∞
5.
V
F
2
√
lim
x non ha senso
x→−∞
10. lim log x = 0
x→1
V
81
F
[7 uguaglianze vere e 3 false]
Esercizio 117. Calcola i seguenti limiti che non presentano forme di indecisione.
1. lim
x→0
2.
5
x2
lim (x2 + x3 )
x→+∞
1
2
3. lim x +
x→−∞
x
1
1
4. lim 3 + − 2
x→−∞
x x
lim
[+∞]
5.
[+∞]
6. lim
[+∞]
[3]
x→5−
5
x−5
[−∞]
2x2 − 1
x→1 x3 + 1
1
1
7. lim
+ 2
x→+∞ x
x +2
8.
1
2
[0]
2x
x→−∞ x
lim
[0]
Esercizio 118. Calcola i limiti delle seguenti funzioni polinomiali.
1.
lim (x2 − 48x − 100)
[+∞]
3.
lim (x3 − 5x − 1)
[−∞]
4.
x→+∞
2.
x→−∞
lim (x4 − 5x2 − 1)
[+∞]
lim (x2 − 5x3 − 1)
[−∞]
x→+∞
x→+∞
Esercizio 119. Calcola i seguenti limiti che si presentano sotto forme di indecisione
1.
x2 − 1
x→+∞ x + 1
2.
2x2 − 1
x→+∞ x2 + x
3.
1 − x2
x→−∞ 2x + 1
lim
lim
lim
1 − x3
4. lim
x→+∞ 2x4 + 1
5.
lim
1 − x2
x
x→+∞
6.
lim
x2
x→+∞ x2
−x+1
− 3x + 2
x2 + 6x + 5
7. lim
x→−∞
x+4
8.
10x4 − x3 + 1
x→+∞ 5x4 − x − 1
lim
[+∞]
[2]
∞
.
∞
x4 + 6x + 5
x→+∞
x2 + 4
[+∞]
6x2 − x + 1
10. lim
x→−∞ 4x2 − x − 1
3
2
9.
[+∞]
lim
11.
x2 − 16
x→+∞ 5x3 + 1
12.
x3 + 6x + 5
x→−∞
x+4
[+∞]
13.
x2 + 6x + 5
x→−∞
x5 + 4
[0]
[−∞]
14.
1 − 10x2
x→+∞ 4x2 − 1
[2]
15.
(x + 1)2
x→+∞ x + 4
[0]
[−∞]
[1]
lim
[0]
lim
lim
lim
−
lim
Esercizio 120. Calcola i seguenti limiti che si presentano sotto forme di indecisione
5
2
[+∞]
0
.
0
82
limiti
x2 − 25
x→5 x2 − 5x
[2]
11. lim
4x − x3
x→2 x − 2
[−8]
12. lim
[∞]
1. lim
2. lim
3.
2x2 + 4x
+ 4x + 4
lim
x→−2 x2
9 − x2
4. lim 2
x→−3 x + 3x
x2 − 16
x→4 x2 − 8x + 16
5. lim
x2 − 81
6. lim
x→9 x − 9
7. lim
x→2 x2
8.
x2 − 4
− 3x + 2
x2 − 4x + 4
x→2 x2 + 4x − 12
[0]
x7 − x6
x→1 x5 − x4
[1]
13. lim
x4 − 16
x→2 x2 − 2x
[16]
[−2]
3x2 + 2x3 + x4
14. lim
x→0 4x2 − x4 − x6
3
4
[∞]
15. lim
[18]
16. lim
[4]
x2 − x − 2
x→−1 x2 − 1
3
2
5
4
lim
x2 − x − 6
x→3 x2 − 2x − 3
9. lim
x3 − 25x
x→5 x − 5
10. lim
[50]
x3 + 10x5
x→0 4x + x2 + 5x3
[0]
x3 − 1
x→1 x4 − 1
17.
3
4
x2 − 1
+ 3x + 1
lim
[2]
x→−1 2x2
x2 − 1
2
x→1 2x − x − 1
2
3
5
3
18. lim
19.
3x2 + x − 2
x→−1 2x2 + x − 1
lim
x2 − 5x + 6
x→2 x2 − 3x + 2
20. lim
[−1]
Esercizio 121. Indica la risposta corretta.
x2 − 3x + 3
?
x→0 x2 − 2x + 1
1. Quanto vale lim
A 1
B 3
C +∞
x→+∞ x2
D −∞
x2 − 3x + 3
?
x→+∞ x2 − 2x + 1
B 3
C +∞
D −∞
C +∞
C +∞
D −∞
C +∞
C +∞
A 0
B 1
C +∞
D −∞
x→+∞
B 1
A 0
D −∞
x2 + 1
?
x→+∞ x + 6
B 1
B 1
9. Quanto vale lim 6x ?
10. Quanto vale lim
5. Quanto vale lim
A 0
A 0
D −∞
x2 + 1
?
x→−∞ x + 6
B 1
11
10
x→0
4. Quanto vale lim
A 0
D
8. Quanto vale lim 6x ?
x→+∞
B 1
B 10
x→−∞
3. Quanto vale lim (−3x3 + 5x2 − 1)?
A 0
A 1
7. Quanto vale lim 6x ?
2. Quanto vale lim
A 1
x2 − 25
?
+ x − 30
10
C
11
6. Quanto vale lim
x→+∞
A 0
D −∞
B 1
C +∞
D −∞
x+6
?
x2 + 1
C +∞
D −∞
Esercizio 122. Calcola i seguenti limiti.
1.
lim
x→1+
1
1−x
x2 − 6x + 9
2. lim
x→3 2x2 − 6x
[−∞]
3.
[0]
4.
x2 − 1
x→+∞ 3x2
1
3
lim
lim
x→+∞
1
1
−
x x2
[0]
3.6 esercizi
x
1
5. lim
x→+∞ 5
x
1
6. lim
x→−∞ 5
x2 + x + 1
x→0 x2 + 2x + 3
x+1
8. lim 2
x→+∞ x + 6
2x − 6
9. lim 2
x→3 x + 3x − 18
7. lim
10.
3x5 + x2
x→+∞ x3 + 1
lim
[0]
[+∞]
x2 − 1
11. lim 2
x→1 x + 3x − 4
12.
lim (2x2 − x − 1)
x→+∞
1
3
2
5
[+∞]
x2 − 9
13. lim 2
x→3 x + x − 12
[0]
2
9
14.
x − x2
x→+∞ 2x2 + x + 1
[+∞]
15.
3x4 + 1
x→−∞ x3 − 1
lim
lim
83
6
7
−
1
2
[−∞]
4
4.1
D E R I VAT E
concetto di derivata
Nei capitoli precedenti, con l’introduzione del concetto di limite, abbiamo posto le basi
necessarie per presentare una delle nozioni più importanti dell’analisi: quella di derivata.
Avviciniamoci al concetto di derivata prendendo le mosse da un problema che, anche
storicamente, condusse alla sua nascita.
4.1.1 Problema della retta tangente
Nello studio della geometria la retta tangente a una circonferenza in un suo punto è
l’unica retta passante per quel punto che non interseca la circonferenza in altri punti. Ma
che cos’è la retta tangente a una curva in un suo punto P? Come primo tentativo, potremmo
essere portati a rispondere: è l’unica retta passante per P che non interseca la curva in altri
punti. Tuttavia è facile rendersi conto che questa definizione non si adatta, per esempio,
alle curve disegnate nelle figure 37a e 37b.
y
y
P
x
x
O
(a) La retta tangente alla curva in P interseca
la curva in un altro punto
(b) Ci sono infinite rette passanti per O che intersecano la curva in un solo punto, ma intuitivamente non siamo disposti a ritenere
tali rette tangenti alla curva
Figura 37: Retta tangente a una curva in un punto
Abbandonata la speranza di poter definire il concetto di retta tangente in base al numero
dei punti d’intersezione con la curva, ci rendiamo conto che, per risolvere il problema,
dobbiamo introdurre qualche idea nuova. L’elemento chiave per fare emergere queste
nuove idee è guardare il problema della retta tangente da un punto di vista dinamico.
Data la funzione y = f(x) e un punto P(a, f(a)) appartenente al suo grafico, per definire
la retta tangente al grafico di f in P consideriamo innanzitutto una retta passante per P e
secante la curva in un ulteriore punto Q, di ascissa a + h, “vicino” a P (figura 38).
85
86
derivate
y
y = f(x)
rette secanti
Q
f(a + h)
f(a + h) − f(a)
retta tangente
f(a)
P
x
a
a+h
h
Figura 38: Retta tangente al grafico di una funzione in un punto
Sappiamo che il coefficiente angolare della retta PQ è espresso dalla formula:
mPQ =
yQ − yP
f(a + h) − f(a)
f(a + h) − f(a)
=
=
xQ − xP
(a + h) − a
h
Immaginiamo ora che h tenda a 0. Il punto Q si muove sul grafico di f e si avvicina a P,
fino a sovrapporsi a esso quando h = 0. Contestualmente, la retta secante ruota intorno a P,
fino ad avvicinarsi a una posizione “limite” che intuitivamente possiamo identificare con
quella della retta tangente. Consideriamo allora il limite cui tende il coefficiente angolare
della retta PQ quando h tende a 0:
lim mPQ = lim
h→0
h→0
f(a + h) − f(a)
h
Se questo limite tende a un valore finito, possiamo definire la retta tangente come la retta
passante per P e avente questo coefficiente angolare.
Grazie al concetto di limite, siamo così finalmente riusciti a trovare una buona definizione di retta tangente a una curva.
4.1.2 Derivata in un punto
Nel problema precedente abbiamo considerato il rapporto
f(a + h) − f(a)
h
tra l’incremento subito dalla funzione f(x) quando la variabile indipendente passa dal
valore a al valore a + h e l’incremento h. Questo rapporto è detto rapporto incrementale
della funzione nel punto a, relativo all’incremento h. Siamo stati indotti a considerare il
limite di tale rapporto quando h → 0: la derivata è precisamente questo limite.
4.1 concetto di derivata
y
y = x2
9
P
x
3
y = 6x − 9
Figura 39: Il coefficiente angolare della tangente alla parabola di equazione f(x) = x2 nel suo punto
di ascissa 3 è f 0 (2) = 6
Definizione 20. Una funzione y = f(x) si dice derivabile in un punto a appartenente
al suo dominio se
f(a + h) − f(a)
lim
(1)
h→0
h
esiste ed è finito. Questo limite prende il nome di derivata prima (o semplicemente
derivata) di f in a e si indica con il simbolo f 0 (a).
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente analizzando il problema della retta tangente, il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare di una retta secante,
mentre la derivata della funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della
retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
Esercizio 123. Calcola la derivata della funzione f(x) = x2 nel punto a = 3 con la
definizione.
Soluzione. Dobbiamo calcolare il limite 1 con a = 3 e f(x) = x2 . Abbiamo:
f(3 + h) − f(3)
(3 + h)2 − f(3)
9 + h2 + 6h − 9
= lim
= lim
= lim (h + 6) = 6
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
lim
Dunque la funzione è derivabile in a = 3 e risulta f 0 (3) = 6. Ne possiamo dare l’interpretazione grafica riportata nella figura 39.
4.1.3 Continuità e derivabilità
Un risultato importante è che la derivabilità implica la continuità, come espresso dalla
seguente proposizione.
Proposizione 5. Se f è una funzione derivabile in a, allora f è continua in a.
La proposizione precedente non è invertibile: non è vero cioè che se una funzione è
continua in a allora è ivi derivabile.
87
88
derivate
y
x
O
Figura 40: Non esiste alcuna retta tangente al grafico della funzione f(x) = |x| nell’origine
Esercizio 124. Prova che la funzione f(x) = |x| è continua ma non derivabile in x = 0.
Soluzione. La funzione f(x) = |x| è continua in tutto R, quindi in particolare in x = 0.
Tuttavia non è derivabile in 0; infatti:
f(0 + h) − f(0)
|h| − 0
|h|
= lim
= lim
h→0
h→0
h→0 h
h
h
lim
e quest’ultimo limite non esiste perché
lim
h→0+
h
|h|
= lim+ = 1
h
h→0 h
mentre
lim
h→0−
|h|
−h
= lim−
= −1
h
h
h→0
Vedi la figura 40.
In generale, se una funzione è derivabile in un punto, allora esiste la retta tangente al
grafico della funzione in quel punto.
4.1.4 Funzione derivata
Definizione 21. Data una funzione f, possiamo definire una nuova funzione f 0 detta
funzione derivata (prima) di f, che associa a ogni punto in cui f è derivabile la sua
derivata.
Esercizio 125. Calcola la derivata della funzione costante f(x) = c, con c ∈ R, con la
definizione.
Soluzione.
c−c
f(x + h) − f(x)
= lim
= lim 0 = 0
h→0
h→0 h
h→0
h
f 0 (x) = lim
Quindi la derivata della funzione costante è 0 per ogni x ∈ R.
Potevamo intuire il risultato precedente dal significato geometrico della derivata: la retta
tangente al grafico di una funzione costante coincide in ogni punto con il grafico stesso,
quindi ha coefficiente angolare uguale a 0, dunque f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ R (figura 41a).
4.1 concetto di derivata
y
y
f(x) = x
f(x) = c
x
x
(a) La derivata di una funzione costante
f(x) = c è f 0 (x) = 0
(b) La derivata della funzione f(x) = x è
f 0 (x) = 1
Figura 41: Retta tangente a una curva in un punto
Esercizio 126. Calcola la derivata della funzione f(x) = x con la definizione.
Soluzione.
f 0 (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
(x + h) − x
h
= lim
= lim = lim 1 = 1
h→0
h→0
h
h
h h→0
Quindi la derivata della funzione f(x) = x è 1 per ogni x ∈ R.
Anche questa volta potevamo intuire il risultato precedente dal significato geometrico
della derivata: la retta tangente al grafico della funzione f(x) = x coincide in ogni punto
con il grafico stesso, quindi ha coefficiente angolare uguale a 1, dunque f 0 (x) = 1 per
ogni x ∈ R (figura 41b).
Esercizio 127. Calcola la derivata della funzione f(x) = x2 con la definizione.
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione f nel generico punto di ascissa x ∈ R.
Abbiamo:
(x + h)2 − x2
f(x + h) − f(x)
= lim
h→0
h→0
h
h
2
x + h2 + 2hx − x2
= lim
h→0
h
2
h + 2hx
= lim
h→0
h
= lim (h + 2x)
lim
h→0
= 2x
Dunque la funzione e derivabile per ogni x ∈ R e risulta: f 0 (x) = 2x.
89
90
derivate
Tabella 6: Derivate di funzioni elementari
(a) Formule generali
(b) Alcuni casi particolari
Funzione
Derivata
Funzione
Derivata
c (costante), c ∈ R
xn , n intero
√
x
0
nxn−1
1
√
2 x
ex
1
x
1
x
x2
x3
x4
1
x
0
1
2x
3x2
4x3
1
− 2
x
ex
ln x
4.1.5 Derivate successive
Una volta calcolata la funzione f 0 , derivata di una funzione f, possiamo determinare
l’insieme dove f 0 è a sua volta derivabile e determinare la derivata di f 0 , che si chiama
derivata seconda di f e che indicheremo con il simbolo f 00 . Una funzione si dice derivabile due
volte in a se f e f 0 sono derivabili in a.
4.2
derivate delle funzioni elementari
In pratica, il calcolo delle derivate non viene effettuato tramite la definizione (come limite
del rapporto incrementale), perché sarebbe troppo laborioso. Si ricorre invece alla tabella
delle derivate delle funzioni elementari e ad alcune regole di derivazione, che saranno
oggetto del prossimo paragrafo.
La derivata delle funzioni potenza
La funzione potenza f(x) = xn è derivabile per ogni x ∈ R e per ogni n intero. Risulta:
f 0 (x) = nxn−1
Per esempio:
• la derivata di f(x) = x2 è f 0 (x) = 2x2−1 , cioè f 0 (x) = 2x;
• la derivata di f(x) = x3 è f 0 (x) = 3x3−1 , cioè f 0 (x) = 3x2 ;
• la derivata di f(x) = x4 è f 0 (x) = 4x4−1 , cioè f 0 (x) = 4x3 .
La tabella 6a riporta le derivate delle funzioni elementari più usate, mentre la tabella 6b
mette in evidenza alcuni casi particolari che si usano di frequente.
Esercizio 128. Calcola la derivata della funzione f(x) = x10 .
Soluzione.
f 0 (x) = 10x10−1 = 10x9
4.3 algebra delle derivate
4.3
algebra delle derivate
In questo paragrafo esaminiamo le relazioni tra l’operazione di derivazione e le operazioni algebriche tra funzioni. L’obiettivo sarà quello di stabilire delle regole di derivazione che,
note le derivate di due funzioni f e g, ci consentano di dedurre le derivate delle funzioni:
f±g
f·g
f
g
4.3.1 Linearità della derivata
L’operazione di derivazione si comporta “bene” rispetto all’addizione di due funzioni e
alla moltiplicazione per una costante. Valgono infatti le seguenti proposizioni.
Proposizione 6. Siano f e g due funzioni derivabili in x; allora anche la funzione f + g
è derivabile in x e vale la formula:
D[f(x) ± g(x)] = f 0 (x) ± g 0 (x)
Proposizione 7. Sia f una funzione derivabile in x, e sia c una costante; allora anche
la funzione c · f è derivabile in x e risulta:
D[c · f(x)] = c · f 0 (x)
Ciò si esprime dicendo che l’operazione di derivazione è lineare.
Esercizio 129. Calcola la derivata di f(x) = x2 + x3 .
Soluzione. Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proposizione 6.
f 0 (x) = D(x2 + x3 ) = D(x2 ) + D(x3 ) = 2x + 3x2
Esercizio 130. Calcola la derivata di f(x) = 3x2 .
Soluzione. Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proposizione 7.
f 0 (x) = D(3x2 ) = 3 · D(x2 ) = 3 · 2x = 6x
Esercizio 131. Calcola la derivata di f(x) = 2x3 + 3x2 .
Soluzione. Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proprietà di
linearità della derivata.
D(2x3 + 3x2 ) = D(2x3 ) + D(3x2 ) = 2 · D(x3 ) + 3 · D(x2 ) = 2 · 3x2 + 3 · 2x = 6x2 + 6x
91
92
derivate
4.3.2 Derivata del prodotto di due funzioni
Rispetto al prodotto di funzioni l’operazione di derivazione non si comporta bene come
rispetto alla somma: la derivata del prodotto di due funzioni, infatti, non è il prodotto delle
derivate dei due fattori, come ci si può rendere conto considerando le due funzioni f(x) =
g(x) = x. Abbiamo infatti f(x) · g(x) = x2 , quindi
D[f(x) · g(x)] = D(x2 ) = 2x
mentre
f 0 (x) · g 0 (x) = 1 · 1 = 1
Il legame fra la derivata del prodotto e le derivate dei fattori è espresso nella seguente
proposizione.
Proposizione 8. Siano f e g due funzioni derivabili in x; allora la funzione f · g è
derivabile in x e vale la formula:
D[f(x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f(x) · g 0 (x)
Nella pratica la proposizione precedente si usa secondo il seguente “slogan”: «la derivata
del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per
la seconda, più la prima funzione moltiplicata per la derivata della seconda».
Esercizio 132. Calcola la derivata di f(x) = x3 ln x.
Soluzione.
1
f 0 (x) = (x3 ) 0 · ln x + x3 · (ln x) 0 = (3x2 ) · ln x + x3 · ( ) = 3x2 ln x + x2
x
4.3.3 Derivata del quoziente di due funzioni
Anche la derivata del quoziente di due funzioni non è il quoziente delle derivate (sai
trovare un controesempio?).
f
Il legame tra le derivate di f e di g e la derivata di è espresso nella prossima proposig
zione.
Proposizione 9. Siano f e g due funzioni derivabili in x e sia g(x) 6= 0; allora la
f
funzione è derivabile in x e risulta:
g
f(x)
f 0 (x) · g(x) − f(x) · g 0 (x)
D
=
g(x)
[g(x)]2
Esercizio 133. Calcola la derivata di f(x) =
x
.
x−1
Soluzione.
f 0 (x) =
(x) 0 · (x − 1) − x · (x − 1) 0
1 · (x − 1) − x · 1
x−1−x
1
=
=
=−
2
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)2
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
Tabella 7: Riepilogo sulle derivate
(b) Principali regole di derivazione
(a) Derivate fondamentali
Funzione
Derivata
Funzione
Derivata
c (costante), c ∈ R
xn , n intero
√
x
0
nxn−1
1
√
2 x
ex
1
x
f(x) + g(x)
c · f(x)
f(x) · g(x)
f 0 (x) + g 0 (x)
c · f 0 (x)
f 0 (x) · g(x) + f(x) · g 0 (x)
f(x)
g(x)
f 0 (x) · g(x) − f(x) · g 0 (x)
[g(x)]2
[f(x)]n
n · [f(x)]n−1 · f 0 (x)
ex
ln x
4.3.4 Derivata della potenza di una funzione
Consideriamo la funzione:
y = (x3 + 1)4
Le regole di derivazione che abbiamo imparato finora non permettono di calcolarne la derivata in modo semplice. Per calcolare la derivata è utile la seguente formula, che generalizza
la regola di derivazione di una potenza nel caso in cui la base è diversa da x:
D[f(x)]n = n · [f(x)]n−1 · f 0 (x)
La derivata della funzione si calcola dunque nel modo seguente:
D[(x3 + 1)4 ]
|
{z
}
derivata della
potenza di una funzione
=
4 · (x3 + 1)3
|
{z
}
derivata della potenza
valutata nella base
· |{z}
3x2 = 12x2 (x3 + 1)3
derivata
della base
Esercizio 134. Calcola la derivata della funzione f(x) = (x2 + 1)3 .
Soluzione.
D[(x2 + 1)3 ] = 3 · (x2 + 1)2 · (x2 + 1) 0 = 3 · (x2 + 1)2 · 2x = 6x(x2 + 1)2
4.3.5 Riepilogo
Con la regole di derivazione della potenza di una funzione abbiamo concluso la presentazione delle regole di calcolo delle derivate. La tabella 7 riassume tutte le formule e le
regole di derivazione che abbiamo incontrato.
4.4
funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
Questo paragrafo mette in luce alcune relazioni che legano le proprietà della derivata
prima di una funzione alle caratteristiche del grafico della funzione.
93
94
derivate
y
y
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
x
a
x
b
a
(a) Una funzione crescente: per ogni a < b
risulta che f(a) < f(b)
b
(b) Una funzione decrescente: per ogni a < b
risulta che f(a) > f(b)
Figura 42: Funzioni crescenti e decrescenti
Definizione 22. Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y = f(x):
• f si dice crescente in I se a < b implica f(a) < f(b) per ogni a, b ∈ I;
• f si dice decrescente in I se a < b implica f(a) > f(b) per ogni a, b ∈ I.
Vedi la figura 42. Cominciamo a evidenziare un legame tra il segno della derivata di una
funzione e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce.
Proposizione 10. Sia f una funzione derivabile in un intervallo I:
• se f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ I, allora f è crescente in I;
• se f 0 (x) < 0 per ogni x ∈ I, allora f è decrescente in I.
La proposizione precedente è lo strumento comunemente impiegato per individuare gli
intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente: basta calcolare la derivata prima e
studiarne il segno, risolvendo la disequazione f 0 (x) > 0.
Esercizio 135. Data la funzione f(x) = x3 − 3x determina gli intervalli in cui è
crescente e quelli in cui è decrescente.
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 3x2 − 3
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
3x2 − 3 > 0
Si tratta di una disequazione di secondo grado. Risolviamo l’equazione associata:
√
3x2 − 3 = 0
=⇒
3x2 = 3
=⇒
x2 = 1
=⇒
x = ± 1 = ±1
Disegniamo la parabola associata.
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
y
f(a)
y
max
f(x)
f(x)
min
f(a)
x
a
x
x
a
(a) La funzione ha un massimo in a
x
(b) La funzione ha un minimo in a
Figura 43: Massimi e minimi
−1
x
1
Costruiamo la tabella dei segni della derivata:
−1
f0
+
1
−
+
x
f
dove abbiamo indicato con una freccia rivolta verso l’alto gli intervalli in cui la funzione è
crescente e con una freccia rivolta verso il basso l’intervallo in cui la funzione è decrescente.
Pertanto la funzione:
• cresce se x < 1 ∨ x > 1;
• decresce se −1 < x < 1.
Vedi la figura 44d.
Definizione 23.
• Si dice che una funzione ha un massimo in un punto a del proprio dominio se
in un intorno I di a si ha che f(a) > (x) per ogni x ∈ I.
• Si dice che una funzione ha un minimo in un punto a del proprio dominio se
in un intorno I di a si ha che f(a) 6 f(x) per ogni x ∈ I.
Vedi la figura 43. Dalla proposizione 10 segue un importante criterio per la ricerca dei
massimi e dei minimi di una funzione.
Proposizione 11. Sia f una funzione derivabile in un intorno di a:
• se esistono un intorno sinistro di a in cui f 0 > 0 e un intorno destro in cui f 0 < 0,
95
96
derivate
allora a è un punto di massimo per f;
• se esistono un intorno sinistro di a in cui f 0 < 0 e un intorno destro in cui f 0 > 0,
allora a è un punto di minimo per f.
Esercizio 136. Determina i massimi e i minimi della funzione f(x) = x3 − 3x.
Soluzione. Riprendiamo l’esercizio 135 e la tabella dei segni della derivata: Per la proposizione precedente, si ha che −1 è un punto di massimo, mentre 1 è un punto di minimo per
la funzione.
−1
f0
+
max
1
−
min
+
x
f
Calcoliamo l’ordinata dei punti di massimo e del punto di minimo:
f(−1) = (−1)3 − 3 · (−1) = −1 + 3 = 2
f(1) = 13 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2
La figura 44d riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 137. Data la funzione f(x) = 2x − 4 determina gli intervalli in cui è
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
2>0
che è sempre verificata.
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
f0
+
x
f
Pertanto la funzione è sempre crescente e non ci sono né massimi ne minimi (figura 44a).
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
Esercizio 138. Data la funzione f(x) = x2 − 4x + 3 determina gli intervalli in cui è
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 2x − 4
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
=⇒
2x − 4 > 0
=⇒
2x > 4
x>2
2
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
2
f0
−
min
x
+
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < 2;
• cresce se x > 2;
• ha un minimo in x = 2.
Calcoliamo l’ordinata del punto di minimo:
f(2) = 22 − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
La figura 44b riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 139. Data la funzione f(x) = x3 determina gli intervalli in cui è crescente
e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 3x2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
3x2 > 0
x2 > 0
=⇒
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
0
f0
f
Pertanto la funzione:
+
+
x
97
98
derivate
y
y
3
x
2
−4
x
1
−1
2
3
min
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
max
2
x
x
√
− 3
−1
1
−2
(c) y = x3
√
3
min
(d) y = x3 − 3x
y
y
max
min
x
√
− 2 −1
min
(e) y =
x4
x
1
−1
(f) y =
min
x4
Figura 44: Massimi e minimi di alcune funzioni intere
− 2x2
√
2
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
y
y
4
x
2
x
1
(a) y =
1
x
(b) y =
2
2x − 4
x−1
y
y
max
1
4
min
max
y = x+1
x
1
2
x
(c) y =
x2
1
+1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
min
1
−2
−1
x
1
(e) y =
x2 − 4
x2 − 1
2
x
−1
(f) y =
1
x
x2 − 1
Figura 45: Massimi e minimi di alcune funzioni fratte
99
100
derivate
• cresce se x < 0 ∨ x >
0;
• non ha né massimi né
minimi.
Vedi la figura 44c.
Esercizio 140. Data la funzione f(x) = x3 − 3x determina gli intervalli in cui è
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Soluzione. Vedi gli esercizi 135 e 136, e la figura 44d.
Esercizio 141. Data la funzione f(x) = x4 determina gli intervalli in cui è crescente
e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 4x3
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
4x3 > 0
=⇒
x3 > 0
=⇒
=⇒
x>0
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
0
f0
−
min
+
x
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < 0;
• cresce se x > 0;
• ha un minimo in x = 0.
Calcoliamo l’ordinata del punto di minimo:
f(0) = 04 = 0
La figura 44e riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 142. Data la funzione f(x) = x4 − 2x2 determina gli intervalli in cui è
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 4x3 − 4x
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
4x3 − 4x > 0
=⇒
=⇒
x3 − x > 0
Si tratta di una disequazione di grado superiore al secondo. Scomponendo in fattori il
polinomio al primo membro la disequazione dventa:
x(x − 1)(x + 1) > 0
Studiamo il segno di ciascun fattore.
• Primo fattore: F1 = x
=⇒
F1 > 0
x>0
0
x
• Secondo fattore: F2 = x − 1
F2 > 0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
x>1
1
x
• Terzo fattore: F3 = x + 1
F3 > 0
=⇒
x+1 > 0
=⇒
x > −1
−1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
−1
F1
F2
F3
−
−
−
f0
−
0
−
−
+
min
+
1
+
−
+
max
−
+
+
+
min
x
+
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < −1 ∨ 0 < x < 1;
• cresce se −1 < x < 0 ∨ x > 1;
• ha due minimi, uno in x = −1 e l’altro in x = 1;
• ha un massimo in x = 0.
Calcoliamo l’ordinata dei punti di minimo e del punto di massimo:
f(±1) = (±1)4 − 2 · (±1)2 = 1 − 2 = −1
f(0) = 04 − 2 · 02 = 0
La figura 44f riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
101
102
derivate
1
determina gli intervalli in cui è crescente e
x
quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Esercizio 143. Data la funzione f(x) =
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
1
0·x−1·1
=− 2
2
x
x
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
−
1
>0
x2
−1
>0
x2
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = −1
N>0
=⇒
−1 > 0
x
• Denominatore: D = x2
x2 > 0
=⇒
D>0
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
1
N
D
−
+
−
+
f0
−
−
x
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < 1 ∨ x > 1;
• non è definita se x = 1.
La figura 45a riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
2x − 4
determina gli intervalli in cui è
x−1
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Esercizio 144. Data la funzione f(x) =
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
2 · (x − 1) − (2x − 4) · 1
2x − 2 − 2x + 4
2
=
=
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)2
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
2
>0
(x − 1)2
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 2
=⇒
N>0
2>0
x
• Denominatore: D = (x − 1)2
D>0
(x − 1)2 > 0
=⇒
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
1
N
D
+
+
+
+
f0
+
+
x
f
Pertanto la funzione:
• cresce se x < 1 ∨ x > 1;
• non è definita in x = 1;
La figura 45b riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
1
determina gli intervalli in cui è
+1
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Esercizio 145. Data la funzione f(x) =
x2
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
0 · (x2 + 1) − 1 · (2x)
2x
=− 2
2
2
(x + 1)
(x + 1)2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
−
2x
>0
(x2 + 1)2
=⇒
−2x
>0
(x2 + 1)2
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = −2x
N>0
=⇒
−2x > 0
=⇒
x60
103
104
derivate
x
• Denominatore: D = (x2 + 1)2
(x2 + 1)2 > 0
=⇒
D>0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
0
N
D
+
+
f0
+
x
−
+
−
max
f
Pertanto la funzione:
• cresce se x < 0;
• decresce se x > 0;
• ha un massimo in x =
0.
Calcoliamo l’ordinata del punto di massimo:
f(0) =
02
1
=1
+1
La figura 45c riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
x2
determina gli intervalli in cui è crescente
x−1
e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Esercizio 146. Data la funzione f(x) =
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
2x · (x − 1) − x2 · 1
2x2 − 2x − x2
x2 − 2x
=
=
(x − 1)2
(x − 1)2
(x − 1)2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
x2 − 2x
>0
(x − 1)2
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = x2 − 2x
N>0
=⇒
x2 − 2x > 0
Si tratta di una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 2x = 0
=⇒
x(x − 2) = 0
4.4 funzioni crescenti e decrescenti. massimi e minimi
da cui
∨
x=0
x=2
Disegniamo la parabola associata.
0
2
x
• Denominatore: D = (x − 1)2
(x − 1)2 > 0
=⇒
D>0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
0
N
D
+
+
f0
+
max
1
2
−
+
−
+
−
−
+
+
min
x
+
f
Pertanto la funzione:
• cresce se x < 0 ∨ x > 2;
• ha un minimo in x = 2;
• decresce se 0 < x < 1 ∨ 1 < x < 2;
• ha un massimo in x = 0;
• non è definita in x = 1.
Calcoliamo l’ordinata del punto di massimo e del punto di minimo:
f(0) =
02
=0
0−1
f(2) =
22
=4
2−1
La figura 45d riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
x2 − 4
determina gli intervalli in cui è
x2 − 1
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Esercizio 147. Data la funzione f(x) =
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
2x · (x2 − 1) − (x2 − 4) · 2x
2x3 − 2x − 2x3 + 8x
6x
=
= 2
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2
(x − 1)2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
(x2
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
6x
>0
− 1)2
105
106
derivate
• Numeratore: N = 6x
N>0
=⇒
6x > 0
=⇒
x>0
0
x
• Denominatore: D = (x2 − 1)2
D>0
(x2 − 1)2 > 0
=⇒
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
−1
0
N
D
−
+
−
+
f0
−
−
1
min
+
+
+
+
+
+
x
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < −1 ∨ −1 < x < 0;
• ha un minimo in x = 0;
• cresce se 0 < x < 1 ∨ x > 1;
• non è definita in x = ±1.
Calcoliamo l’ordinata del punto di minimo:
f(0) =
02 − 4
−4
=
=4
02 − 1
−1
La figura 45e riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
x
determina gli intervalli in cui è
x2 − 1
crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.
Esercizio 148. Data la funzione f(x) =
Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
1 · (x2 − 1) − x · 2x
x2 − 1 − 2x2
−x2 − 1
x2 + 1
=
=
=
−
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
−x2 − 1
>0
(x2 − 1)2
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
• Numeratore: N = −x2 − 1
N>0
−x2 − 1 > 0
=⇒
=⇒
x2 + 1 6 0
x
• Denominatore: D = (x2 − 1)2
D>0
=⇒
(x2 − 1)2 > 0
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
−1
1
N
D
−
+
−
+
−
+
f0
−
−
−
x
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < −1 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 1;
• non ha né massimi né minimi;
• non è definita in x = ±1.
Vedi la figura 45f.
4.5
funzioni convesse e concave. flessi
Nel paragrafo precedente abbiamo visto quali legami sussistono tra il grafico di una
funzione e la sua derivata prima. In questo paragrafo mostreremo i legami tra il grafico di
una funzione e la sua derivata seconda.
Introduciamo innanzitutto le seguenti definizioni.
Definizione 24. Una funzione si dice convessa (o con la concavità rivolta verso l’alto)
in un intervallo I se per ogni coppia di punti a, b ∈ I il segmento che congiunge i
punti (a, f(a)) e (b, f(b)) è al di sopra del grafico di f.
107
108
derivate
y
y
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
x
x
a
a
b
(a) Una funzione convessa
b
(b) Una funzione concava
Figura 46: Funzioni concave e convesse
Definizione 25. Una funzione si dice concava (o con la concavità rivolta verso il basso)
in un intervallo I se per ogni coppia di punti a, b ∈ I il segmento che congiunge i
punti (a, f(a)) e (b, f(b)) è al di sotto del grafico di f.
Vedi la figura 46. Le definizioni precedenti sono del tutto generali, nel senso che valgono
per qualsiasi funzione. Tuttavia sono poco operative. Per ottenere delle regole di calcolo
pratiche per stabilire gli intervalli dove una funzione è concava o convessa, dobbiamo
limitarci a funzioni sufficientemente regolari. Richiedendo che la funzione f sia derivabile
due volte, si può dimostrare la validità della seguente proposizione.
Proposizione 12. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo I:
• se f 00 (x) > 0 per ogni x ∈ I, allora f è convessa in I;
• se f 00 (x) < 0 per ogni x ∈ I, allora f è concava in I.
Esercizio 149. Data la funzione y = x3 − 3x, determina gli intervalli in cui è convessa
o concava.
Soluzione. La funzione è derivabile infinite volte nell’insieme dove è definita, quindi possiamo usare il criterio espresso dalla proposizione precedente. Calcoliamo la derivata
seconda:
f 0 (x) = 3x2 − 3
f 00 (x) = 6x
Poiché
f 00 (x) > 0
=⇒
6x > 0
=⇒
x>0
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda:
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
y
y
flex
flex
x
(a)
x
(b)
Figura 47: Le funzioni hanno entrambe un flesso nell’origine
0
f 00
−
+
x
dove abbiamo indicato con una parabola con la concavità rivolta verso l’alto l’intervallo
in cui la funzione è convessa e con una parabola con la concavità rivolta verso il basso
l’intervallo in cui la funzione è concava. Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < 0;
• volge la concavità verso l’alto se x > 0.
Vedi la figura 48d.
I concetti di funzione convessa e concava appena introdotti permettono di definire la
nozione di flesso.
Definizione 26. Si dice che una funzione ha un flesso in un punto a del proprio
dominio se esiste un intorno destro di a in cui f è convessa (concava) e un intorno
sinistro di a in cui f è concava (convessa).
In altre parole, i flessi di una funzione sono i punti in cui il grafico cambia la concavità
(figura 47).
Dalla proposizione 12 segue un importante criterio per la ricerca dei flessi di una funzione.
Proposizione 13. Se a è un punto in cui f 00 cambia segno, allora a è un punto di
flesso.
In pratica, per trovare i flessi di una funzione si calcola la derivata seconda, si studia il
segno di f 00 risolvendo la disequazione f 00 (x) > 0 e si determinano gli intervalli in cui la
funzione f è convessa e quelli in cui è concava. Gli eventuali punti di flesso si trovano tra
gli zeri di f 00 : se in corrispondenza di uno di questi zeri f 00 cambia segno, allora tale zero è
un punto di flesso.
109
110
derivate
y
y
3
x
2
−4
x
1
2
−1
3
min
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
max
flex
2
flex
x
√
− 3
x
−1
1
−2
(c) y = x3
√
3
min
(d) y = x3 − 3x
y
y
max
min
x
√
− 2 −1 flex
−1
min
(e) y =
x4
x
flex
(f) y =
Figura 48: Flessi di alcune funzioni intere
1
min
x4
− 2x2
√
2
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
y
y
4
x
2
x
1
(a) y =
1
x
(b) y =
2x − 4
x−1
y
y
max
1
flex
2
4
min
y = x+1
flex
max
x
1
2
x
√
− 33
(c) y =
√
3
3
x2
1
+1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
min
1
−2
−1
(e) y =
flex
x
1
x2 − 4
x2 − 1
2
−1
(f) y =
Figura 49: Flessi di alcune funzioni fratte
x
1
x
x2 − 1
111
112
derivate
Esercizio 150. Determina gli eventuali flessi della funzione f(x) = x3 − 3x.
Soluzione. Riprendiamo l’esercizio 149 e la tabella dei segni della derivata seconda.
0
f 00
−
flex
x
+
f
Per la proposizione precedente, si ha che 0 è un punto di flesso per la funzione. Calcoliamo
l’ordinata del flesso:
f(0) = 03 − 3 · 0 = 0
La figura 48d riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 151. Data la funzione y = 2x − 4, determina gli intervalli in cui è convessa
o concava, e gli eventuali flessi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f0 = 2
f 00 = 0
Poiché la derivata seconda è sempre uguale a zero, ne segue che la funzione non è né
concava né convessa, e non ha flessi (figura 48a).
Esercizio 152. Data la funzione y = x2 − 4x + 3, determina gli intervalli in cui è
convessa o concava, e gli eventuali flessi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f 0 = 2x − 4
f 00 = 2
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
=⇒
2>0
che è sempre verificata.
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
f 00
f
Pertanto la funzione:
+
x
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
• volge sempre la concavità verso l’alto;
• non ha flessi.
Vedi la figura 48b.
Esercizio 153. Data la funzione y = x3 , determina gli intervalli in cui è convessa o
concava, e gli eventuali flessi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f 0 = 3x2
f 00 = 6x
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
=⇒
=⇒
6x > 0
x>0
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
0
f 00
−
flex
+
x
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < 0;
• volge la concavità verso l’alto se x > 0;
• ha un flesso in x = 0;
Calcoliamo l’ordinata del flesso:
f(0) = 03 = 0
La figura 48c riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 154. Data la funzione y = x3 − 3x, determina gli intervalli in cui è convessa
o concava, e gli eventuali flessi.
Soluzione. Vedi gli esercizi 149 e 150, e la figura 48d.
113
114
derivate
Esercizio 155. Data la funzione y = x4 , determina gli intervalli in cui è convessa o
concava, e gli eventuali flessi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f 0 = 4x3
f 00 = 12x2
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
12x2 > 0
=⇒
x2 > 0
=⇒
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
0
f 00
+
x
+
f
Pertanto la funzione:
• volge sempre la concavità verso l’alto;
• non ha flessi.
Vedi la figura 48e.
Esercizio 156. Data la funzione y = x4 − 2x2 , determina gli intervalli in cui è
convessa o concava, e gli eventuali flessi.
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f 0 = 4x3 − 4x
f 00 = 12x2 − 4
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
12x2 − 4 > 0
=⇒
=⇒
3x2 − 1 > 0
Scriviamo l’equazione associata:
2
3x − 1 = 0
=⇒
1
x =
3
2
r
=⇒
x=±
Disegniamo la parabola associata.
−
√
3
3
√
3
3
x
√
1
1
3
= ±√ = ±
3
3
3
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
−
f 00
+
√
3
3
√
3
3
−
flex
+
flex
x
f
Pertanto la funzione:
√
√
3
3
∨x>
;
• volge la concavità verso l’alto se x < −
3
3
√
√
3
3
• volge la concavità verso il basso se −
<x<
;
3
3
√
√
3
3
• ha due flessi, uno in −
e l’altro in
.
3
3
Calcoliamo l’ordinata dei flessi:
√ 1
1 4
1 2 1
1
1−6
5
3
f ±
− 2 · ±√
= −2· =
= f ±√
= ±√
=−
3
9
3
9
9
3
3
3
La figura 48f riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 157. Data la funzione y =
concava, e gli eventuali flessi.
1
, determina gli intervalli in cui è convessa o
x
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f0 = −
1
x2
f 00 = −
(vedi l’esercizio 143)
0 · x2 − 1 · 2x
−2x
2
=− 4 = 3
4
x
x
x
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
=⇒
2
>0
x3
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 2
=⇒
N>0
2>0
x
• Denominatore: D = x3
D>0
x3 > 0
=⇒
=⇒
x>0
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
115
116
derivate
0
N
D
+
−
+
+
f 00
−
+
x
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < 0;
• volge la concavità verso l’alto se x > 0;
• non ha flessi.
Vedi la figura 49a.
Esercizio 158. Data la funzione y =
o concava, e gli eventuali flessi.
2x − 4
, determina gli intervalli in cui è convessa
x−1
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
2
(vedi l’esercizio 144)
(x − 1)2
−4(x − 1)
−4
0 · (x − 1)2 − 2 · 2(x − 1)
=
=
f 00 =
4
4
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)3
f0 =
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
=⇒
−4
>0
(x − 1)3
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = −4
=⇒
N>0
−4 > 0
x
• Denominatore: D = (x − 1)3
D>0
=⇒
(x − 1)3 > 0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
x>1
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
1
N
D
−
−
−
+
f 00
+
−
x
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso l’alto se x < 1;
• volge la concavità verso il basso se x > 1;
• non ha flessi.
Vedi la figura 49b.
Esercizio 159. Data la funzione y =
x2
o concava, e gli eventuali flessi.
1
, determina gli intervalli in cui è convessa
+1
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f0 =
f 00 =
−2x
+ 1)2
(x2
(vedi l’esercizio 145)
−2 · (x2 + 1)2 − (−2x) · 2(x2 + 1)2x
−2(x2 + 1)2 + 8x2 (x2 + 1)
=
(x2 + 1)4
(x2 + 1)4
2
2
2
2
(x + 1)[−2(x + 1) + 8x ]
−2(x + 1) + 8x2
−2x2 − 2 + 8x2
6x2 − 2
=
=
=
=
(x2 + 1)4
(x2 + 1)3
(x2 + 1)3
(x2 + 1)3
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
=⇒
6x2 − 2
>0
(x2 + 1)3
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 6x2 − 2
N>0
6x2 − 2 > 0
=⇒
=⇒
3x2 − 1 > 0
Scriviamo l’equazione associata:
2
3x − 1 = 0
=⇒
1
x =
3
2
r
=⇒
x=±
Disegniamo la parabola associata.
−
√
3
3
√
3
3
x
√
1
1
3
= ±√ = ±
3
3
3
117
118
derivate
• Denominatore: D = (x2 + 1)3
D>0
(x2 + 1)3 > 0
=⇒
=⇒
x2 + 1 > 0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
−
N
D
+
+
f 00
+
√
3
3
√
3
3
−
+
flex
−
+
+
flex
x
+
f
Pertanto la funzione:
√
√
3
3
• volge la concavità verso l’alto se x < −
∨x>
;
3
3
√
√
3
3
• volge la concavità verso il basso se −
<x<
;
3
3
√
√
3
3
e l’altro in
.
• ha due flessi, uno in −
3
3
Calcoliamo l’ordinata dei flessi:
√ 1
3
1
3
1
√
=
=f ±
f ±
=
=
2
1
3
4
3
1
+1
+1
±√
3
3
La figura 49c riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
Esercizio 160. Data la funzione y =
o concava, e gli eventuali flessi.
x2
, determina gli intervalli in cui è convessa
x−1
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f0 =
f 00 =
x2 − 2x
(x − 1)2
(vedi l’esercizio 146)
(2x − 2) · (x − 1)2 − (x2 − 2x) · 2(x − 1)
2(x − 1) · (x − 1)2 − (x2 − 2x) · 2(x − 1)
=
(x − 1)4
(x − 1)4
2(x − 1)[(x − 1)2 − (x2 − 2x)]
2(x − 1)(x2 − 2x + 1 − x2 + 2x)
=
=
(x − 1)4
(x − 1)4
=
+ 1 − x2 + 2(x − 1)(x2 − 2x
2x)
2(x − 1)
2
(x
−
1)
2
=
=
=
4
4
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)3
(x − 1)4 3
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
2
>0
(x − 1)3
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 2
=⇒
N>0
2>0
x
• Denominatore: D = (x − 1)3
D>0
=⇒
(x − 1)3 > 0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
x>1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
1
N
D
+
−
+
+
f 00
−
+
x
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < 1;
• volge la concavità verso l’alto se x > 1;
• non ha flessi.
Vedi la figura 49d.
Esercizio 161. Data la funzione y =
o concava, e gli eventuali flessi.
x2 − 4
, determina gli intervalli in cui è convessa
x2 − 1
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f0 =
f 00 =
(x2
6x
− 1)2
(vedi l’esercizio 147)
6 · (x2 − 1)2 − 6x · 2(x2 − 1)2x
6(x2 − 1)2 − 24x2 (x2 − 1)
=
(x2 − 1)4
(x2 − 1)4
2
2
2
2
1)[6(x − 1) − 24x ]
(x−
6(x − 1) − 24x2
6x2 − 6 − 24x2
−18x2 − 6
=
=
=
=
(x2 − 1)3
(x2 − 1)3
(x2 − 1)3
(x2 − 1)4 3
119
120
derivate
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
−18x2 − 6
>0
(x2 − 1)3
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = −18x2 − 6
−18x2 − 6 > 0
=⇒
18x2 + 6 6 0
3x2 + 1 6 0
=⇒
Disegniamo la parabola associata.
x
• Denominatore: D = (x2 − 1)3
D>0
=⇒
(x2 − 1)3 > 0
=⇒
x2 − 1 > 0
Disegniamo la parabola associata.
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
−1
1
N
D
−
+
−
−
−
+
f 00
−
+
−
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < −1 ∨ x > 1;
• volge la concavità verso l’alto se −1 < x < 1;
• non è definita se x = ±1;
• non ha flessi.
Vedi la figura 49e.
x
4.5 funzioni convesse e concave. flessi
Esercizio 162. Data la funzione y =
o concava, e gli eventuali flessi.
x
, determina gli intervalli in cui è convessa
x2 − 1
Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda:
f0 =
f 00 =
−x2 − 1
(x2 − 1)2
(vedi l’esercizio 148)
−2x · (x2 − 1)2 − (−x2 − 1) · 2(x2 − 1)2x
−2x(x2 − 1)2 + 4x(x2 + 1)(x2 − 1)
=
(x2 − 1)4
(x2 − 1)4
2−
1)[−(x2 − 1) + 2(x2 + 1)]
2x
(x
2x[−(x2 − 1) + 2(x2 + 1)]
=
=
(x2 − 1)3
(x2 − 1)4 3
2x(x2 + 3)
2x(−x2 + 1 + 2x2 + 2)
=
=
(x2 − 1)3
(x2 − 1)3
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
2x(x2 + 3)
>0
(x2 − 1)3
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 2x(x2 + 3)
2x(x2 + 3) > 0
=⇒
2 2x
(x
+ 3) > 0
=⇒
x>0
0
x
• Denominatore: D = (x2 − 1)3
D>0
=⇒
(x2 − 1)3 > 0
=⇒
x2 − 1 > 0
Disegniamo la parabola associata.
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
−1
0
N
D
−
+
−
−
f 00
−
+
f
flex
1
+
−
+
+
−
+
x
121
122
derivate
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < −1 ∨ 0 < x < 1;
• volge la concavità verso l’alto se −1 < x < 0 ∨ x > 1;
• ha un flesso in x = 0;
• non è definita se x = ±1.
Calcoliamo l’ordinata del flesso:
f(0) =
02
0
=0
−1
La figura 49f riporta il grafico della funzione con le informazioni appena trovate.
4.6
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 163. Vero o falso?
1. in ogni punto in cui la funzione è definita
esiste la derivata
V F
2. la derivata di una funzione in un punto, se
esiste, è un numero reale
V F
3. la derivata di una funzione in un punto
non può essere zero
V F
4. se una funzione è continua in a, allora è
derivabile in a
V F
5. se una funzione è derivabile in a, allora è
continua in a
V F
6. se una funzione è discontinua in a, allora
non è derivabile in a
V F
7. la derivata di una funzione f in un punto a
si indica con il simbolo f 0 (a)
V F
8. la derivata di una funzione in un punto
rappresenta il coefficiente angolare della
retta tangente al grafico della funzione in
quel punto
V F
[4 affermazioni vere e 4 false]
Esercizio 164. Indica la risposta corretta.
1. Per calcolare in base alla definizione la derivata della funzione y = f(x) nel punto a = 2,
quale dei seguenti limiti occorre calcolare?
f(2 + h) − f(h)
f(2 − h) − f(2)
f(h)
f(−h)
A lim
B lim
C lim
D lim
h
h
h
h→0
h→0
h→0 h
h→0
2. Per calcolare in base alla definizione la derivata della funzione y = f(x) nel punto a = 0,
quale dei seguenti limiti occorre calcolare?
f(h) + f(0)
f(h) − f(0)
f(h)
f(−h)
A lim
B lim
C lim
D lim
h
h
h
h→0
h→0
h→0 h
h→0
3. Per calcolare in base alla definizione la derivata della funzione y = x2 nel punto a = −2,
quale dei seguenti limiti occorre calcolare?
h2 + 4
h
h→0
A lim
(−2 + h)2 + 4
h
h→0
B lim
(−2 + h)2 − 4
h
h→0
C lim
h2 − 4
h
h→0
D lim
4.6 esercizi
Esercizio 165. Ciascuno dei limiti riportati nella prima colonna rappresenta la derivata di una
funzione f in un punto a indicato. Fai le associazioni corrette.
(2 + h)3 − 8
h
h→0
(−2 + h)3 + 8
b. lim
h
h→0
(4 + h)2 − 16
c. lim
h
h→0
(−4 + h)2 − 16
d. lim
h
h→0
a. lim
A. f(x) = x2 , a = 4
B. f(x) = x2 , a = −4
C. f(x) = x3 , a = 2
D. f(x) = x3 , a = −2
Esercizio 166. Vero o falso?
1. la derivata di f(x) = x2 è 2x
V
F
5. la derivata di f(x) = 2 è 0
2. la derivata di f(x) = 5x è 5
V
F
6. la derivata di f(x) =
3. la derivata di f(x) = 5 è 5x
V
F
4. la derivata di f(x) = 2x è x2
V
F
V
F
1
1
V F
è 2
x x
√
1
7. la derivata di f(x) = x è √
V F
2x
[2 affermazioni vere e 4 false]
Esercizio 167. Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la proprietà di linearità della
derivata.
2
2
x
2
x
1. y = x3 + 1
3x
6. y = x − 2 ln x + e
2x − + e
x
[1 + 2x]
2. y = x + x2
3. y = −3x2 + x4
−6x + 4x3
3 − 2 ln x
2− 2
7.
y
=
x
3x
x
12x2 − 6x
4. y = 4x3 − 3x2
1
1
x
x
5. y = ln x + x
+1
8. y = e − ln x
e −
x
x
Esercizio 168. Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la formula della derivata del
prodotto.
1. y = (x2 + 1)(x + 1)
2. y = (x2 − 1)(x2 + 3)
3. y = (x + 2)(x2 − 1)
4. y = (2x + 1)ex
5. y = (x − x2 ) ln x
3x2 + 2x + 1
3
4x + 4x
2
3x + 4x − 1
8. y = x ln x
[(2x + 3)ex ]
9. y = x2 ex
[(1 − 2x) ln x − x + 1]
6. y = x2 ln x
[x(2 ln x + 1)]
7. y = xex
10. y = ex (x2 − 2x + 3)
[(x + 1)ex ]
[ln x + 1]
(x2 + 2x)ex
x 2
e (x + 1)
Esercizio 169. Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la formula della derivata del
quoziente.
2 2
2
x+1
x3
x (x + 3)
−
1. y =
5.
y
=
−
x−1
(x − 1)2
x2 + 1
(x2 + 1)2
x
2
7
2x − 1
2. y =
−
6.
y
=
x−2
(x − 2)2
x+3
(x + 3)2
2
x2
x + 6x
x2 + 1
10x
7.
y
=
3. y = 2
− 2
x+3
(x + 3)2
x −4
(x − 4)2
3
1
2x
x3 + 1
2x − 6x2 − 1
4. y = 2
8.
y
=
− 2
x−2
x +1
(x + 1)2
(x − 2)2
123
124
derivate
2x2 − 3
9. y = 2
3x − 1
14x
(3x2 − 1)2
4
2x + 6x2
(x2 + 1)2
1 − 3 ln x
x4
2x3
10. y = 2
x +1
ln x
11. y = 3
x
ex
− x
(e − 1)2
x2 − xex (x − 2)
(x + ex )2
ex (x ln x − x − 1)
x(ln x − 1)2
ex
12. y = x
e −1
x2
13. y =
x + ex
ex
14. y =
ln x − 1
Esercizio 170. Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la formula della derivata della
potenza di una funzione.
1. y = (x2 + 3)2
2. y = (3x2 − 1)2
4x(x2 + 3)
3. y = (x3 + 1)3
12x(3x2 − 1)
4. y = (3x2 − 1)5
9x2 (x3 + 1)2
30x(3x2 − 1)4
Esercizio 171. Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1. y = 3x2 (x3 + 1)
2. y =
3x − 1
2x + 5
x2
3. y =
2x − 1
x3 + 1
4. y = 3
x −1
5. y = (x − 1)2 (x + 1)
6. y = (1 − ex )x2
7. y =
ln x + 1
x2
8. y = xex + x2
15x4 + 6x
17
(2x + 5)2
2
2x − 2x
(2x − 1)2
6x2
− 3
(x − 1)2
2
3x − 2x − 1
9. y =
ex
x2 + 1
10. y = x2 (x3 + 1)
11. y =
x2 + x3
x4
12. y = ex (x2 + 2x + 1)
13. y =
ln x
x2
[2x − xex (x + 2)]
1 + 2 ln x
−
x3
14. y =
x2
2x + 1
[ex (x + 1) + 2x]
16. y =
15. y = x3 (x2 + 2)
x3 + 1
2x
ex (x − 1)2
(x2 + 1)2
4
5x + 2x
x+2
− 3
x
[ex (x + 1)(x + 3)]
1 − 2 ln x
x
2
2x + 2x
(2x + 1)2
4
5x + 6x2
3
2x − 1
2x2
Esercizio 172. Determina gli intervalli dove le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti e gli
eventuali massimi e minimi (nelle risposte sono indicati gli intervalli in cui la funzione è crescente
e le ascisse di eventuali massimi e minimi).
3
3
2
1. y = x − 3x + 2
x > ; minimo per x =
2
2
[x < −1 ∨ x > 1; massimo per x = −1 e minimo per x = 1]
2. y = x3 − 3x
3. y = x4 − 2x2
[−1 < x < 0 ∨ x > 1; minimi per x = ±1, massimo per x = 0]
4. y = 2x3 + 3x2 + 6x
5. y =
2 3 1 2
x − x −x
3
2
6. y = −x4 − 2x2
7. y =
1 4 4 3 3 2
x − x + x
4
3
2
[crescente per ogni x ∈ R]
1
1
x < − ∨ x > 1; massimo per x = − e minimo per x = 1
2
2
[x < 0; massimo per x = 0]
[0 < x < 1 ∨ x > 3; minimo per x = 0 ∨ x = 3, massimo per x = 1]
8. y = 4x3 − x4
[x < 3; massimo per x = 3]
9. y = x3 − 3x2 + 3x
[crescente per ogni x ∈ R]
10. y =
1 4
x − 2x2
4
[−2 < x < 0 ∨ x > 2; minimi per x = ±2, massimo per x = 0]
4.6 esercizi
125
11. y =
x3
x2 − 4
h
√
√
√ i
√
x < −2 3 ∨ x > 2 3; massimo per x = −2 3, minimo per x = 2 3
12. y =
x2 − 1
x2 + 1
[x > 0; minimo per x = 0]
13. y =
x2 − 4
x2 − 1
[x > 0, con x 6= 1; minimo per x = 0]
h √
√
√
√ i
−2 3 < x < 2 3, con x 6= 0; minimo per x = −2 3, massimo per x = 2 3
3
3
x < 0 ∨ 0 < x < ; massimo per x =
2
2
h
√
√
√
√ i
x < − 3 ∨ x > 3; massimo per x = − 3, minimo per x = 3
x2 − 4
x3
1
15. y = 2
x − 3x
14. y =
1 − x2
x3
x
17. y = 2
x +9
2x + 3
18. y = 2
x +4
16. y =
[−3 < x < −3; massimo per x = 3, minimo per x = −3]
[−4 < x < 1; minimo per x = −4, massimo per x = 1]
5 − 4x
19. y = 2
x −1
20. y =
x2 − 4
(x + 1)2
21. y =
x3
x2 − 1
1
1
x < −1 ∨ −1 < x < ∨ x > 2; massimo per x = , minimo per x = 2
2
2
[x < −4 ∨ x > −1; massimo per x = −4]
h
√
√
√
√ i
x < − 3 ∨ x > 3; massimo per x = − 3, minimo per x = 3
22. y = x4 − 4x3
23. y =
[x > 3; minimo per x = 3]
(x − 1)2
[1 < x < 5; minimo per x = 1; massimo per x = 5]
(x + 1)3
x
24. y = 2
x +4
25. y =
[−2 < x < 2; massimo per x = 2; minimo per x = −2]
x2
x+3
[x < −6 ∨ x > 0; minimo per x = 0; massimo per x = −6]
1
1
x < ∨ x > 1; massimo per x = , minimo per x = 1
3
3
3
3
x > ; minimo per x =
4
4
26. y = x(x − 1)2
27. y = x3 (x − 1)
Esercizio 173. Studia la concavità delle seguenti funzioni e determinane gli eventuali flessi (nelle
risposte sono indicati gli intervalli in cui la funzione è convessa e le ascisse degli eventuali punti di
flesso).
1. y = x3 − 3x2
[x > 1; flesso per x = 1]
x3
[x > 0; flesso per x = 0]
2. y =
+ 2x + 1
3. y = x3 − 6x2
4. y =
6x2
[x > 2; flesso per x = 2]
− x4
5. y = x(x − 1)3
[x < 0 ∨ x > 2; flessi per x = 0 ∨ x = 2]
6. y = x4 − 4x3
+ 5x4
[−1 < x < 1; flessi per x = ±1]
1
1
x < − ∨ x > 1; flessi per x = ∨ x = 1
2
2
7. y =
3x5
− 20x3
8. y =
1 4 1 3 1 2
x − x + x
12
3
2
[−2 < x < 0 ∨ x > 1; flessi per x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 1]
[convessa per ogni x ∈ R]
126
derivate
" √
√
√ #
3
3
3
−
<x<
; flessi per x = ±
3
3
3
x2 − 1
9. y = 2
x +1
[x < −1 ∨ x > 1; flessi per x = ±1]
10. y = x4 − 6x2
11. y = x3 + 3x2 − 1
[x > −1; flesso per x = −1]
h
√
√
√ i
x < − 2 ∨ x > 2; flessi per x = ± 2
12. y = x4 − 12x2
13. y = (x − 2)3
14. y =
[x > 2; flesso per x = 2]
x2 − 1
2x
[x < 0; non ci sono flessi]
Esercizio 174. Data la funzione y = x3 + x2 + x + 1, verifica che è crescente e che ammetteun flesso,
1
che devi determinare.
x=−
3
x
, verifica che è decrescente nei due intervalli (−∞, 2)
x−2
[convessa per x > 2; non ha flessi]
e (2, +∞), studiane la concavità e stabilisci se esistono flessi.
Esercizio 175. Data la funzione y =
Esercizio 176. Indica la risposta corretta.
1. Quale dei seguenti è un punto di massimo per la funzione y = 3x − 2x2 ?
3
4
3
4
B x=
C x=−
D x=−
A x=
4
3
4
3
2. La funzione y =
x2 + 2
presenta per x = 0 un punto di
x2 − 4
A massimo
B minimo
C flesso
D nessuna delle precedenti
1
3. Quale dei seguenti è un punto di flesso per la funzione y = 2x2 − x3 ?
3
A x=0
B x=1
C x=2
D la funzione non ha flessi
4. Quale dei seguenti è un punto di flesso per la funzione y = x4 + 6x2 ?
A x = −1
B x=0
C x=1
D la funzione non ha flessi
5. Sia f una funzione derivabile due volte in R. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A se la funzione è decrescente in R, non può essere positiva in tutto R
B se la derivata prima è positiva in R, la funzione è crescente in R
C se in un punto si annulla la derivata prima, allora quel punto può essere di flesso
D se la derivata seconda è negativa in R, la funzione è concava in R
Esercizio 177. Vero o falso?
1. la funzione f(x) = −x2 è sempre concava
in R
V F
2. la funzione f(x) = x2 ha un minimo
per x = 0
V F
3. la funzione f(x) = x3 è sempre crescente
in R
V F
4. la funzione f(x) = x3 è sempre convessa
in R
V F
5. la funzione f(x) = x3 + x2 ha un massimo
per x = 0
V F
[3 affermazioni vere e 2 false]
5
STUDIO DI FUNZIONE
Tutto il nostro corso di matematica si è sviluppato attorno al concetto di funzione. Abbiamo introdotto varie classi di funzioni — algebriche (intere, fratte, irrazionali) e trascendenti — e ci siamo via via occupati di alcuni aspetti che riguardano lo studio di una funzione:
la determinazione del dominio, la determinazione di eventuali punti di intersezione con
gli assi, lo studio del segno e il riconoscimento di eventuali simmetrie (nel capitolo 2); lo
studio del comportamento di una funzione agli estremi del dominio e la ricerca degli asintoti (nel capitolo 3); la ricerca degli intervalli dove una funzione cresce o decresce e degli
intervalli dove è concava o convessa (nel capitolo 4).
È ora venuto il momento di organizzare in un quadro unitario tutto quanto abbiamo
appreso: in questo capitolo, dunque, non introdurremo nuovi concetti ma vedremo come
gli strumenti che abbiamo acquisito ci consentono di effettuare uno studio completo di una
funzione.
Mettiamo in pratica lo schema illustrato poc’anzi applicandolo allo studio di alcune
funzioni, focalizzando la nostra attenzione sulle funzioni algebriche intere e fratte.
Esercizio 178. Studia la funzione y = x3 − 3x.
Dominio
Si tratta di una funzione intera, quindi il suo dominio è R. Vedi la figura 50a.
Intersezioni con gli assi
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x3 − 3x = 0
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro l’equazione diventa:
x(x2 − 3) = 0
Per la legge dell’annullamento del prodotto si ottiene:
x=0
∨
x2 − 3 = 0
Risolvendo l’equazione di secondo grado x2 − 3 = 0 si ha:
x2 − 3 = 0
=⇒
x2 = 3
L’equazione data ha dunque tre soluzioni:
√
x=− 3 ∨ x=0
=⇒
∨
x=
√
x=± 3
√
3
per cui il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
√
√
(− 3, 0) (0, 0) ( 3, 0)
127
128
studio di funzione
y
y
x
x
√
− 3
√
3
(a)
(b)
y
y
x
√
− 3
√
3
x
√
− 3
√
3
(c)
(d)
y
max
y
max
2
2
flex
x
√
− 3
−1
1
−2
√
3
√
− 3
−1
min
(e)
1
−2
min
(f)
Figura 50: La funzione y = x3 − 3x
x
√
3
studio di funzione
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 03 − 3 · 0 = 0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 50b.
Segno
Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione:
x3 − 3x > 0
x(x2 − 3) > 0
=⇒
Studiamo il segno di ciascun fattore.
• Primo fattore: F1 = x
=⇒
F1 > 0
x>0
0
x
• Secondo fattore: F2 = x2 − 3
=⇒
F2 > 0
x2 − 3 > 0
Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 3 = 0
=⇒
√
√
x=− 3 ∨ x= 3
Disegniamo la parabola associata.
√ x
3
√
− 3
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
√
− 3
F1
F2
−
+
−
−
+
−
+
+
f
−
+
−
+
Quindi la funzione:
√
√
• è positiva se − 3 < x < 0 ∨ x > 3;
√
√
• è nulla se x = − 3 ∨ x = 0 ∨ x = 3;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 50c.
√
3
0
x
129
130
studio di funzione
Simmetrie
Sostituiamo −x al posto di x in f(x).
f(−x) = (−x)3 − 3(−x) = −x3 + 3x = −(x3 − 3x) = −f(x)
Concludiamo che la funzione assegnata è dispari.
Asintoti e grafico probabile
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim (x3 − 3x) = lim x3 = ±∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x3 − 3x
= lim
= lim (x2 − 3) = lim x2 = +∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x→±∞
x
lim
Poiché tale limite è infinito, non ci sono asintoti obliqui.
Vedi la figura 50d.
Massimi e minimi
Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 3x2 − 3
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
3x2 − 3 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
3x2 − 3 = 0
=⇒
x2 = 1
√
x = ± 1 = ±1
=⇒
Disegniamo la parabola associata.
−1
Costruiamo la tabella dei segni della derivata:
1
x
studio di funzione
−1
f0
+
1
−
max
x
+
min
f
Pertanto la funzione:
• cresce se x < 1 ∨ x > 1;
• decresce se −1 < x < 1;
• ha un massimo se x = 1;
• ha un minimo se x = 1.
Calcoliamo l’ordinata del punto di massimo e del punto di minimo:
f(−1) = (−1)3 − 3 · (−1) = −1 + 3 = 2
f(1) = 13 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2
Vedi la figura 50e.
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
f 0 (x) = 3x2 − 3
f 00 (x) = 6x
Si ha
f 00 (x) > 0
=⇒
=⇒
6x > 0
x>0
0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
0
f 00
−
flex
+
x
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < 0;
• volge la concavità verso l’alto se x > 0;
• ha un flesso se x = 0.
Calcoliamo l’ordinata del flesso:
f(0) = 03 − 3 · 0 = 0
Le figure 50f e 51 riportano il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate.
131
132
studio di funzione
y
max
2
flex
√
− 3
x
−1
1
−2
min
Figura 51: La funzione y = x3 − 3x
√
3
studio di funzione
Esercizio 179. Studia la funzione y = x4 − 2x2 .
Dominio
Si tratta di una funzione intera, quindi il suo dominio è R. Vedi la figura 52a.
Intersezioni con gli assi
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x4 − 2x2 = 0
x2 (x2 − 2) = 0
=⇒
da cui
x2 = 0
∨
x2 − 2 = 0
La prima equazione è risolta solo se x = 0. Risolviamo la seconda equazione:
x2 − 2 = 0
x2 = 2
=⇒
=⇒
√
x=± 2
L’equazione data ha dunque tre soluzioni:
√
x=− 2
∨
x=0
∨
x=
√
2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
√
(− 2, 0)
(0, 0)
√
( 2, 0)
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) = 04 − 2 · 02 = 0
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 52b.
Segno
Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione:
x4 − 2x2 > 0
x2 (x2 − 2) > 0
=⇒
Studiamo il segno di ciascun fattore.
• Primo fattore: F1 = x2
F1 > 0
=⇒
x2 > 0
0
x
133
134
studio di funzione
y
y
x
x
√
− 2
√
2
(a)
(b)
y
y
x
√
− 2
√
2
x
√
− 2
√
2
(c)
(d)
y
y
max
√
− 2 −1
min
1
−1
max
x
min
√
2
√
− 2 −1 flex
min
(e)
−1
1
min
(f)
Figura 52: La funzione y = x4 − 2x2
x
flex
√
2
studio di funzione
• Secondo fattore: F2 = x2 − 2
=⇒
F2 > 0
x2 − 2 > 0
Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 2 = 0
=⇒
√
√
x=− 2 ∨ x= 2
Disegniamo la parabola associata.
√
− 2
√ x
2
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
√
− 2
√
2
0
F1
F2
+
+
+
−
+
−
+
+
f
+
−
−
+
x
Quindi la funzione:
√
√
• è positiva se x < − 2 ∨ x > 2;
√
√
• è nulla se x = − 2 ∨ x = 0 ∨ x = 2;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 52c.
Simmetrie
Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f(x)
Concludiamo che la funzione assegnata è pari.
Asintoti e grafico probabile
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
lim (x4 − 2x2 ) = lim x4 = +∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
135
136
studio di funzione
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x4 − 2x2
= lim
= lim (x3 − 2x) = lim x3 = ±∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x→±∞
x
lim
Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui.
Vedi la figura 52d.
Massimi e minimi
Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) = 4x3 − 4x
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
4x3 − 4x > 0
=⇒
x3 − x > 0
=⇒
=⇒
x(x − 1)(x + 1) > 0
Studiamo il segno di ciascun fattore.
• Primo fattore: F1 = x
=⇒
F1 > 0
x>0
0
x
• Secondo fattore: F2 = x − 1
F2 > 0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
x>1
1
x
• Terzo fattore: F3 = x + 1
F3 > 0
=⇒
x+1 > 0
=⇒
x > −1
−1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
−1
F1
F2
F3
−
−
−
f0
−
f
Pertanto la funzione:
0
−
−
+
min
+
1
+
−
+
max
−
+
+
+
min
+
x
studio di funzione
• decresce se x < −1 ∨ 0 < x < 1;
• cresce se −1 < x < 0 ∨ x > 1;
• ha due minimi, uno in x = −1 e l’altro in x = 1;
• ha un massimo in x = 0.
Calcoliamo l’ordinata dei punti di minimo e del punto di massimo:
f(±1) = (±1)4 − 2 · (±1)2 = 1 − 2 = −1
f(0) = 04 − 2 · 02 = 0
Vedi la figura 52e.
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
f 0 = 4x3 − 4x
f 00 = 12x2 − 4
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
12x2 − 4 > 0
=⇒
3x2 − 1 > 0
=⇒
Scriviamo l’equazione associata:
2
1
x =
3
2
=⇒
3x − 1 = 0
r
=⇒
x=±
√
1
3
1
= ±√ = ±
3
3
3
Disegniamo la parabola associata.
−
√
3
3
√
3
3
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
−
f 00
+
√
3
3
flex
√
3
3
−
flex
+
x
f
Pertanto la funzione:
√
√
3
3
• volge la concavità verso l’alto se x < −
∨x>
;
3
3
√
√
3
3
• volge la concavità verso il basso se −
<x<
;
3
3
√
√
3
3
• ha due flessi, uno in −
e l’altro in
.
3
3
Calcoliamo l’ordinata dei flessi:
√ 3
1 4
1
1−6
5
1
1 2 1
− 2 · ±√
= −2· =
f ±
= f ±√
= ±√
=−
3
9
3
9
9
3
3
3
Le figure 52f e 53 riportano il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate.
137
138
studio di funzione
y
max
√
− 2
−1
flex
min
x
√
3
3
√
− 33
− 59
1
flex
−1
Figura 53: La funzione y = x4 − 2x2
min
√
2
studio di funzione
Esercizio 180. Studia la funzione y =
x2
.
x−1
Dominio
Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero:
x − 1 6= 0
=⇒
x 6= 1
Il dominio della funzione è perciò
dom f = R \ { 1 }
Vedi la figura 54a.
Intersezioni con gli assi
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2
=0
x−1
da cui, eliminando il denominatore,
x2 = 0
=⇒
x=0
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico
della funzione interseca l’asse x nel punto (0, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
0
02
=
=0
0−1
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 54b.
Segno
Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione:
x2
>0
x−1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = x2
x2 > 0
0
x
139
140
studio di funzione
y
y
x
x
1
1
(a)
(b)
y
y
4
y = x+1
x
x
1
1
(c)
2
(d)
y
y
4
min
max
4
y = x+1
max
x
1
2
(f)
x2
x−1
y = x+1
x
1
(e)
Figura 54: La funzione y =
min
2
studio di funzione
• Denominatore: D = x − 1
D>0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
x>1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
0
1
N
D
+
−
+
−
+
+
f
−
−
+
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x > 1;
• è nulla se x = 0;
• non è definita se x = 1;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 54c.
Limiti e asintoti abliqui
Il dominio della funzione è R \ { 1 }, quindi essendo inferiormente e superiormente illimitato ha senso indagare sul comportamento della funzione sia per x → −∞ sia per x → +∞.
Abbiamo che:
x2
x2
lim
= lim
= lim x = ±∞
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
x→±∞
quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x2
x
x
= lim
= lim
= lim
=1
x→±∞ x(x − 1)
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
x→±∞ x
lim
=⇒
m=1
Poiché tale limite è finito, ha senso continuare:
lim [f(x) − mx] = lim [f(x) − 1 · x]
x→±∞
2
x
= lim
−x
x→±∞ x − 1
x2 − x(x − 1)
= lim
x→±∞
x−1
x2 − x2 + x
= lim
x→±∞
x−1
x
= lim
x→±∞ x − 1
x
= lim
=1
=⇒
x→±∞ x
x→±∞
q=1
Concludiamo che l’asintoto obliquo esiste e ha equazione y = x + 1. Vedi la figura 54d.
141
142
studio di funzione
Massimi e minimi
Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
2x · (x − 1) − x2 · 1
2x2 − 2x − x2
x2 − 2x
=
=
(x − 1)2
(x − 1)2
(x − 1)2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
x2 − 2x
>0
(x − 1)2
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = x2 − 2x
x2 − 2x > 0
=⇒
N>0
Si tratta di una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
x2 − 2x = 0
=⇒
x(x − 2) = 0
da cui
∨
x=0
x=2
Disegniamo la parabola associata.
0
2
x
• Denominatore: D = (x − 1)2
D>0
=⇒
(x − 1)2 > 0
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
0
N
D
+
+
f0
+
max
1
−
+
−
+
−
−
f
Pertanto la funzione:
• cresce se x < 0 ∨ x > 2;
• decresce se 0 < x < 1 ∨ 1 < x < 2;
• ha un massimo in x = 0;
2
+
+
min
+
x
studio di funzione
• ha un minimo in x = 2;
• non è definita in x = 1.
Calcoliamo l’ordinata del punto di massimo e del punto di minimo:
f(0) =
02
=0
0−1
f(2) =
22
=4
2−1
La figura 54e riporta il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate.
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
f0 =
f 00 =
x2 − 2x
(x − 1)2
2(x − 1) · (x − 1)2 − (x2 − 2x) · 2(x − 1)
(2x − 2) · (x − 1)2 − (x2 − 2x) · 2(x − 1)
=
(x − 1)4
(x − 1)4
2(x − 1)[(x − 1)2 − (x2 − 2x)]
2(x − 1)(x2 − 2x + 1 − x2 + 2x)
=
=
(x − 1)4
(x − 1)4
=
+ 1 − x2 + 2(x − 1)
2
(x
−
1)
2
2(x − 1)(x2 − 2x
2x)
=
=
=
4
4
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)3
(x − 1)4 3
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
2
>0
(x − 1)3
=⇒
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 2
=⇒
N>0
2>0
x
• Denominatore: D = (x − 1)3
D>0
=⇒
(x − 1)3 > 0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
1
N
D
+
−
+
+
f 00
−
+
f
x
x>1
143
144
studio di funzione
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < 1;
• volge la concavità verso l’alto se x > 1;
• non ha flessi.
Vedi le figure 54f e 55.
x2 − 4
.
x2 − 1
Esercizio 181. Studia la funzione y =
Dominio
Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero:
x2 − 1 6= 0
da cui
x 6= −1 ∧ x 6= 1
Il dominio delle due funzioni è perciò
dom f = R \ { −1, 1 }
Vedi la figura 56a.
Intersezioni con gli assi
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2 − 4
=0
x2 − 1
da cui, eliminando il denominatore,
x2 − 4 = 0
x2 = 4
=⇒
=⇒
√
x = ± 4 = ±2
valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione. Quindi
il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
(−2; 0)
(2; 0)
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
−4
02 − 4
=
=4
2
0 −1
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 4).
Vedi la figura 56b.
studio di funzione
y
y = x+1
4
min
max
x
1
Figura 55: La funzione y =
2
x2
x−1
145
146
studio di funzione
y
y
4
x
−1
1
x
−2
−1
1
(a)
(b)
y
y
4
4
1
x
−2
−1
1
2
−2
x
−1
1
(c)
y
y
4
min
4
min
1
x
−1
2
(d)
1
−2
2
1
2
−2
(e)
x
−1
1
(f)
Figura 56: La funzione y =
x2 − 4
x2 − 1
2
studio di funzione
Segno
Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione:
x2 − 4
>0
x2 − 1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore: N = x2 − 4
N>0
=⇒
x2 − 4 > 0
È una disequazione di secondo grado. Risolviamo l’equazione associata:
√
x2 − 4 = 0
=⇒
x2 = 4
=⇒
x = ± 4 = ±2
Disegniamo la parabola associata.
−2
2
x
• Denominatore: D = x2 − 1
D>0
=⇒
x2 − 1 > 0
È una disequazione di secondo grado. Scriviamo l’equazione associata:
√
x2 = 1
=⇒
x = ± 1 = ±1
Disegniamo la parabola associata.
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
−2
−1
1
2
N
D
+
+
−
+
−
−
−
+
+
+
f
+
−
+
−
+
Quindi la funzione:
• è positiva se x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2;
• è nulla se x = −2 ∨ x = 2;
• non è definita se x = −1 ∨ x = 1;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 56c.
x
147
148
studio di funzione
Asintoti e grafico probabile
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi,
dobbiamo calcolare i limiti per x → 1 e per x → −1.
lim+
x→1
−3
x2 − 4
= + = −∞ e
2
x −1
0
lim +
x2 − 4
−3
= − = +∞ e
2
x −1
0
e
x→−1
lim−
x→1
−3
x2 − 4
= − = +∞
2
x −1
0
lim −
x→−1
x2 − 4
−3
= + = −∞
2
x −1
0
quindi x = 1 e x = −1 sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione
per x → ±∞.
x2 − 4
x2
lim 2
= lim 2 = 1
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
quindi y = 1 è un asintoto orizzontale.
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono asintoti
obliqui.
La figura 56d mostra le nuove informazioni raccolte.
Massimi e minimi
Calcoliamo la derivata della funzione:
f 0 (x) =
2x · (x2 − 1) − (x2 − 4) · 2x
2x3 − 2x − 2x3 + 8x
6x
=
= 2
2
2
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)2
Studiamo il segno della derivata:
f 0 (x) > 0
=⇒
(x2
6x
>0
− 1)2
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = 6x
N>0
=⇒
6x > 0
=⇒
x>0
0
x
• Denominatore: D = (x2 − 1)2
D>0
−1
=⇒
(x2 − 1)2 > 0
1
x
studio di funzione
Costruiamo la tabella dei segni della derivata.
−1
0
N
D
−
+
−
+
f0
−
−
1
min
+
+
+
+
+
+
x
f
Pertanto la funzione:
• decresce se x < −1 ∨ −1 < x < 0;
• cresce se 0 < x < 1 ∨ x > 1;
• ha un minimo in x = 0;
• non è definita in x = ±1.
Calcoliamo l’ordinata del punto di minimo:
f(0) =
02 − 4
−4
=
=4
2
0 −1
−1
La figura 56e riporta il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate.
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
f0 =
f 00 =
(x2
6x
− 1)2
6 · (x2 − 1)2 − 6x · 2(x2 − 1)2x
6(x2 − 1)2 − 24x2 (x2 − 1)
=
(x2 − 1)4
(x2 − 1)4
2−
2 − 1) − 24x2 ]
1)[6(x
(x
6(x2 − 1) − 24x2
6x2 − 6 − 24x2
−18x2 − 6
=
=
=
=
(x2 − 1)3
(x2 − 1)3
(x2 − 1)3
(x2 − 1)4 3
Studiamo il segno della derivata seconda:
f 00 > 0
=⇒
−18x2 − 6
>0
(x2 − 1)3
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
• Numeratore: N = −18x2 − 6
−18x2 − 6 > 0
=⇒
Disegniamo la parabola associata.
18x2 + 6 6 0
=⇒
3x2 + 1 6 0
149
150
studio di funzione
y
4
min
1
x
−2
−1
Figura 57: La funzione y =
1
x2 − 4
x2 − 1
2
5.1 esercizi
x
• Denominatore: D = (x2 − 1)3
D>0
=⇒
(x2 − 1)3 > 0
=⇒
x2 − 1 > 0
Disegniamo la parabola associata.
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.
−1
1
N
D
−
+
−
−
−
+
f 00
+
−
+
x
f
Pertanto la funzione:
• volge la concavità verso il basso se x < −1 ∨ x > 1;
• volge la concavità verso l’alto se −1 < x < 1;
• non è definita se x = ±1;
• non ha flessi.
Le figure 56f e 57 riportano il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate.
5.1
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 182. Traccia, se possibile, il grafico di una funzione che soddisfi le seguenti proprietà:
151
152
studio di funzione
y
y
x
y
x
(a)
x
(b)
y
(c)
y
x
y
x
(d)
x
(e)
(f)
Figura 58: Approccio grafico allo studio di funzione
• è definita in R \ { −1, 1 };
• ha come asintoto orizzontale y = 3;
• ha come asintoti verticali x = ±1;
• ha un minimo di coordinate (0, 2).
Esercizio 183. Traccia, se possibile, il grafico di una funzione che soddisfi le seguenti proprietà:
• è definita in R \ { 0 };
• è concava e decrescente per x < 0;
• interseca l’asse x in (−1, 0);
• ha come asintoto obliquo y = x.
Esercizio 184. Studia le seguenti funzioni.
• y = x(x − 2)3
• y=
(x2 − 1)2
x3
• y=
1 − x2
x2 + 1
• y = 3x3 − 9x
• y = 9x(x − 1)2
• y=
x2 − 4
(x + 1)2
1 27
,−
, flessi: (2, 0) e (1, −1)
2 16
√
4√
asintoti: x = 0, y = x, max(−1, 0), min(1, 0), flessi: ± 3, ±
3
9
"
√
#
3 1
asintoti: y = −1, max(0, 1), flessi: ±
,
3 2
min
[max = (−1, 6), min = (1, −6), flesso: (0, 0)]
1 4
2 2
max ,
, min(1, 0), flesso:
,
3 3
3 3
4
11 35
asintoti: x = −1, y = 1, max −4,
, flesso: max − ,
3
2 27
5.1 esercizi
Esercizio 185. In relazione a ciascuna della funzioni il cui grafico è mostrato nella figura 58,
stabilisci:
• il dominio della funzione;
• gli intervalli dove la funzione è positiva;
• gli intervalli dove la funzione è negativa;
• i punti in cui il grafico della funzione interseca l’asse x;
• i punti in cui il grafico della funzione interseca l’asse y;
• le equazioni degli asintoti;
• gli intervalli dove la funzione è crescente;
• gli intervalli dove la funzione è decrescente;
• gli intervalli dove la funzione è convessa;
• gli intervalli dove la funzione è concava;
• le coordinate di eventuali massimi e minimi;
• le coordinate di eventuali flessi.
153

www.matefilia.it PNI 2014 – SESSIONE STRAORDINARIA

50- 53 - Chi ha paura della matematica

Tema 2 - Dipartimento di Matematica

x2 − 4

Tutorato di AM120 - Dipartimento di Matematica

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