第 27 回数値流体力学シンポジウム 講演番号 D08-3 T 型混合部を有するマイクロ流体デバイス内の 液滴形成に関する数値シミュレーション Numerical Simulation of Formation of Liquid Droplets in Microfluidic Device with T-junction ○ 高田 尚樹, 産総研, 〒305-8564 茨城県つくば市並木 1-2-1, E-mail: naoki-takada@aist.go.jp 松本 純一, 産総研, 〒305-8564 茨城県つくば市並木 1-2-1 松本 壮平, 産総研, 〒305-8564 茨城県つくば市並木 1-2-1 三鬼 陽美, 筑波大院, 〒305-8573 茨城県つくば市天王台 1-1-1 金子 暁子, 筑波大, 〒305-8573 茨城県つくば市天王台 1-1-1 阿部 豊 , 筑波大, 〒305-8573 茨城県つくば市天王台 1-1-1 Naoki Takada, AIST, 1-2-1 Namiki, Tsukuba, Ibaraki 305-8564, Japan Junichi Matsumoto, AIST, 1-2-1 Namiki, Tsukuba, Ibaraki 305-8564, Japan Sohei Matsumoto, AIST, 1-2-1 Namiki, Tsukuba, Ibaraki 305-8564, Japan Youmi Miki, Univ. Tsukuba, 1-1-1 Tennodai, Tsukuba, Ibaraki 305-8573, Japan Akiko Kaneko, Univ. Tsukuba, 1-1-1 Tennodai, Tsukuba, Ibaraki 305-8573, Japan Yutaka Abe, Univ. Tsukuba, 1-1-1 Tennodai, Tsukuba, Ibaraki 305-8573, Japan For developing a novel micro-fabrication process of flexible thin-film display MEMS device, liquid-liquid two-phase slug droplets formation in T-junction microchannel with square cross section is investigated through computational fluid dynamics (CFD) simulation using a diffuse-interface tracking method based on lattice-Boltzmann model plus conservation-modified Allen-Cahn advection equation. The volumetric flow rate ratio is fixed at 1.0 within low Reynolds, capillary and Weber numbers for silicone oil-pure water system or oil-SDS aqueous solution system with hydraulic diameter of 100 m, kinematic viscosity of 1.0 cSt. and interfacial tension of 41.6 mN/m or 9.4mN/m. The major findings are as follows: (1) The continuous and dispersed-phase slugs become shorter at nearly-constant length difference between them as their flow rates are increased; (2) Their lengths in the simulation agree well with experimental data; (3) The dispersed-phase volume fraction are well predicted in comparison with experimental and one-dimensional two-fluid model CFD simulation results. (16) 及び実験(4)の両結果からマイクロ液滴形成の特徴を示す. 1.緒 言 マイクロスケール流路内の気液・液液混相流は,層流状態でか つ重力よりも粘性,表面・界面張力及び流路壁面濡れ性の効果に 支配されて乱れ難い(1),(2).この特徴から均一性の高い気泡・液滴 を形成・保持し易い上記混相流はエマルション化や固体ビーズ作 成技術等に活用されている.著者らは,柔軟で薄型の大面積表示 デバイスの実現に向けて,T 字型マイクロ混合流路で連続的に生 成した砲弾形状(スラグ)気泡・液滴を利用して中空繊維状基材 内に規則的セル状構造を作成する新しい製造プロセスを開発して いる(3).この流路では支流側の分散相が主流側の連続相へ垂直に 合流することにより連続・分散各相のスラグが連続的に形成され る.上記プロセスによる高品位デバイス製造には,スラグ長と形 成周期の均一化制御は不可欠であり,スラグ形成機構の理解と予 測が重要である.そこで著者らは,連続相が水,分散相が空気ま たはシリコーンオイルのスラグ形状・移動速度及び分散相圧力の 界面を自律的に形成できるPhase-field モデル (PFM) 実験計測(4)や, (5)-(7) に基づく有限要素法(8),(9)による気液二相流シミュレーション を通して,スラグ長に対する物性,流量の絶対値及び比の影響を 検討してきた. 本報では,上記プロセスを含め様々なマイクロ二相流体挙動の 簡易かつ高精度の予測を目指して著者らが提案する,格子ボルツ マン法(Lattice Boltzmann Method, LBM)(10)-(13)の陽解数値スキー ムを用いて PFM(5)に基づく新しい界面移流方程式(14)を解く数値流 体力学シミュレーション法(15)(16)を述べる.そして,親水性壁面を 持つT 字型マイクロ流路内のシリコーンオイル-水液液二相系ス ラグ液滴の連続形成に関する本法による数値シミュレーション 2.基礎方程式 本研究では,連続体近似が成り立つ非圧縮・非混和・等温二相 流体を対象とし,空間座標 x で時刻 t の流速 u,圧力 p 及び界面 形状を表す秩序変数 の時間発展を得るため,以下の連続の式(1), 運動方程式(2)及び修正保存形 Allen-Cahn(AC) 界面移流方程式 (保 存形レベルセット移流方程式)(3) (14),(17)-(19)を解く(15)(16). (1) u 0 F u p u u 2u S t (2) u D0 j t (3) は密度, は動粘性係数,D0 は各相内のの拡散係数を表す. 二相は各々,(x,t)=0,1 の領域に相当し,界面は 0<(x,t)<1 の有 限体積領域としてモデル化される(14)-(16).式(2)右辺の FS は界面張 式(3)右辺のj はに関する以下の拡散流束を表す. 力 による力, FS 6 ( 2 ) j D0 (1 ) (4) (5) は界面幅に関するパラメータ( =4)である.は, 逆の場合 ||>(1-)/の場合は式(3)右辺の正の拡散により増加し, 1 Copyright © 2013 by JSFM 第 27 回数値流体力学シンポジウム 講演番号 D08-3 式(16)は a = 0 の静止粒子(e 0 =0)に対する関数,は静止平衡時 の静止粒子と運動粒子の存在率を調整する係数である. 質量・運動量保存方程式(1)および(2)は fa の時間発展方程式(12) 及び(13)から,界面移流方程式(3)は ga の時間発展式(14)から, Chapman-Enskog 展開や漸近理論展開等(3)-(5)により低 Mach 数条件 下で導かれる.p, 及び D0 は次式で与えられる(15),(16). は負の拡散により減少する.その結果,右辺が消える平衡状態で は||=(1-)/を満たす =一定の界面領域が形成される.本計算 法のは, の 4 階微分の拡散項を持つ Cahn-Hilliard(CH)型方 程式を採用する手法(6)-(9),(11),(13)同様,空間分割セル数個分相当に設 定される.後述の計算では = 1 とした. 修正保存形 AC 方程式(3)は,従来の CH 型方程式よりも階数の 少ない微分を行い且つ界面曲率依存性を排した拡散項を持つ(14). この特徴により,式(3)を採用する本シミュレーション法では,界 面形成・移流演算負荷が低減できるとともに,体積保存性が向上 しつつ界面張力効果が移流方程式から取り除かれるため流体現象 予測の高精度化も可能と考えられる(15),(16). p cS2 fa f 1 ea f a FS a f t ea f a ga 1 g g aeq e a g a g a t f aeq (7) 下付添字 a は粒子並進速度方向指標,f 及びg は fa,ga 各々が粒子 間相互作用(衝突)により局所平衡状態 faeq,gaeq に至るまでの緩 和時間を表す. 流体の変数は分布関数を使って次式で定義される. a f a a f aeq (8) u a f aea a f aeqea (9) a ga a gaeq (10) u j a gaeqea (11) t (12) f (x, t ) f aeq f a f a (x, t t ) f a (x, t ') wa g a (x ea t , t t ) g a (x, t ) ea FS (x, t ')t cS2 (13) t (14) g (x, t ) g aeq g a t は時間進行幅,t' は並進演算後の中間時刻,cS は音速,wa は重 み係数を表す.上式は,粒子がt の並進後に ea の方向に隣接する 空間セルの中心位置に到着することを意味する.平衡分布 faeq 及 び gaeq は次式で与えた(15),(16). ReW (20) UW w , W CaW W W UW , U2w WeW W W (21),(22),(23) 流路壁面は,の法線方向勾配条件(7)により連続相で完全に濡れる とした(15),(16). Fig. 1 に,各流量条件におけるスラグ流動の本数値シミュレー ション結果を示す.同図中,液液界面は秩序変数 の中間値 0.5 の等値面として描かれている.流量の増加とともに分散相スラグ 液滴はより短く且つより速く形成され,分散相の下部流路壁への 付着地点と分裂地点がT 字部から下流側へ移動してスラグ形成機 構が Squeezing 型からShearing 型へ遷移することが確認できる (1) . 2 f aeq wa 1 cS2 e a u cS1 ea u u u / 2 (15) g 0eq 1 (1 w0 ) w0 cS2 u u / 2 t D0 cS2 g 2 4.数値シミュレーション 本研究(16)では,実験(4)同様,一辺 w = 100m の正方断面の直線 状流路が T 字状に交差する流体混合流路内の,動粘度 1cSt のシリ コーンオイルと純水の二相系( = 41.6mN/m)または界面活性剤 SDS(ドデシル硫酸ナトリウム)0.3%水溶液の系( = 9.4mN/m) を設定した.ただし,解析の簡素化と流動特性の基礎的把握のた め,慣性と浮力の効果はマイクロスケールでは粘性や界面の効果 よりも非常に小さいことから,混合部に水平流入する主流側連続 相と垂直流入する支流側分散相の密度の差は無視し,動粘性も 同一と見なした.連続・分散各相は一定体積流量 QW 及び QO にて 断面一様速度で流入し,一定圧力開放端より流出した.計算領域 は,3 次元デカルト座標系(x, y, z)で,単位立方体セルで一様に離 散化し,流路断面は 2020 セル分割した.水平流路長は 23w また は43wとした. 対象を特徴付ける無次元数として, 流量比QO/QW=1 (分散相流量率 = QO /(QO+QW)= 0.5)の他,連続相の流入速度 UW Capillary = QW /w2 と物性W 及びW に基づく以下のReynolds数ReW, 数 CaW 及び Weber 数 WeW = ReW CaW を定義した. 空間分割セル中心点x上に時刻tで分布するa方向のfa(x,t)とga(x,t) を計算するため,式(6)及び(7)を次のような空間・時間 2 次精度の セミ・ラグランジュ形式に離散化した(10)-(13). f a (x ea t , t ') f a (x, t ) (19) 本研究では,3 次元デカルト座標系空間を幅x=y=z=1 の立方セ ルで等分割し,15 種類の ea の粒子モデル(w0 = 2/9,wa = 1/9(a = ,cS = 3- 0.5x/t)とt = 1 を採用した. 1~6) ,wa = 1/72(a = 7~14) また,式(20)では,数値拡散誤差が最小になるよう緩和時間g を 決定する(10),(15)とともに,D0 に基づく拡散が移流の代表速さと同等 になるようの値を調整した(15). 流れ場に置かれる滑りの無い固体境界では,その境界面上に入射 した速度 ea の粒子(分布関数)を逆方向-ea に変更する Bounce-back 条件が適用される. LBM の特徴は,上述のように微視的仮想粒子集合体の単純な衝 突・並進運動の反復に基づくボトムアップ的陽解アプローチでマクロ な連続体現象を再現する点にある.この利点として,(1) 流れ場内の 複雑形状物体境界の容易な再現,(2) 計算コードの容易な作成,(3) 質量・運動量等保存性と空間等方性に同時に優れた移流スキーム, (4) 並列化効率の高い計算の実現等が挙げられる(10)-(13). (6) t 2 cS2 f 3.計算スキーム 本法は,連続体を構成する微視的仮想粒子集合の統計力学的挙 動を記述する LBM(10)-(13)を式(1)~(3)の数値解法に採用し,等方的 並進速度 ea 毎の粒子存在率(数密度)を表す離散速度分布関数 fa(x,t)及び ga(x,t)に関する次の時間発展式を解く(15),(16). (18) (16) 2 g aeq wa cS2 e a (u j) cS1 e a u u u / 2 (17) ( for a 0) 2 Copyright © 2013 by JSFM LW LO CaW = 8.46e-5, WeW = 2.96e-5 (Q w = 2ul/min, UW =3.51mm/s) Dimensionless Slug Lengths LO/w and LW/w CaW = 1.01e-3, WeW = 4.26e-3 (Qw = 24ul/min, UW = 42.1mm/s) CaW = 1.52e-3, WeW = 9.59e-3 (Qw = 36ul/min) CaW = 2.02e-3, WeW = 1.70e-2 (Qw = 48ul/min) 1.6 5 ( LO LW ) / w LO LW Simulation: 4.5 Experiment: LO LW 1.4 4 2 OhW 1.55 10 3.5 1.2 QO / QW 1 3 1 2.5 2 0.8 1.5 1 0.6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Continuous-phase Reynolds Number ReW Dimensionless Slug Lengths LO/w and LW/w (Qw = 60ul/min) CaW = 3.04e-3, WeW = 3.84e-2 (Qw = 72ul/min) CaW = 3.54e-3, WeW = 5.22e-2 (Qw = 84ul/min) CaW = 4.05e-3, WeW = 6.82e-2 (Q w = 96ul/min , U W = 0.168m/s) CaW = 4.55e-3, WeW = 8.63e-2 5 1.6 ( LO LW ) / w LO LW Simulation: 4.5 Experiment: LO LW 1.4 4 OhW 1.55 102 3.5 QO / QW 1 1.2 3 2.5 1 2 0.8 1.5 1 0.6 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 Continuous-phase Capillary Number CaW Slug-length difference ( LO-LW)/w (a) Variations in length for Reynolds number at = 41.6mN/m. CaW = 2.53e-3, WeW = 2.66e-2 (b) Variations in length for capillary number at = 41.6mN/m. Dimensionless Slug Lengths LO/w and LW/w (Qw = 108ul/min, U W = 0.189m/s) Fig. 1 Two-phase slug flow patterns in T-junction at QO/QW = 1. Fig. 2 には,ReW,CaW,WeW に対する分散相スラグ長 LO 及びスラ グ間隔(連続相長)LW の変化を示す.同図(d)は界面張力がより弱 いオイル-SDS 水溶液系の結果である.本数値結果の傾向は実験結 果と良好に一致するとともに,スラグ長は ReW,CaW(及び WeW) 等から予測可能であることが確認できる. オイル-純水系の QO = QW = 6l/min.及び 24l/min.で各時刻の分 散相の流路断面占有率(x, t)(Fig. 3 は 6l/min.の場合)から流路 内体積率 (t)(Fig. 4)を算出し,その時間平均値を実験及び 1 次 元二流体モデル数値解析(20)の結果と比較すると両者に良好な一 致が見られた(Fig. 5) .これは,スラグ長だけではなく,スラグ の前後部分の鈍頭形状や流路の四隅に残留する連続相も含めたス ラグ全体の形状が実際と比較して良好に再現されていることを意 味している.本計算では流路平坦部でスラグ液滴が密着して連続 相の液膜は観察されなかった.実現象では流路平坦部に空間解像 度(x = 5m 相当)未満の厚さで液膜が残留する可能性があるが, 上述の数値結果を踏まえると,今回の流動条件範囲では液膜は非 常に薄くスラグ形成に大きく影響していないことが推測される. Fig. 6 は,T 字部より上流側での連続相及び分散相の圧力変動 p(流出境界の一定値 p0 を基準)の時間履歴を示す.各時刻のス ラグ形状と照合すると,各相が交互に流路を占有・閉塞する間, 界面の変形・分裂に伴う曲率変化に応じて各相の圧力が時間的に 変動することが確認される.なお,本シミュレーション法が Laplace 則に従った界面張力による液滴内部の圧力増加を適切に 予測できることを,静止液相中に浮遊する球形液滴の形成計算で . 別途確認している (16)(Fig. 7) 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 Simulation: Experiment: LO LW LO LW ( LO LW ) / w 1.6 1.4 OhW 1.55 10 2 1.2 QO / QW 1 1 0.8 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Continuous-phase Weber Number WeW 0.6 Slug-length difference ( LO-LW)/w Qo Qw Slug-length difference ( LO-LW)/w 第 27 回数値流体力学シンポジウム 講演番号 D08-3 (c) Variations in length for Weber number at = 41.6mN/m. Dimensionless Slug LengthsLength LO/w and LW/w 5 Simul. LO :Exp.: LO 4 LW LW 3 2 1 -5 10 10 -4 -3 10 WeW 10 -2 -1 10 (d) Variations in length for Weber number at = 9.4mN/m. Fig. 2 Slug-droplet length variations at flow rate ratio QO /QW = 1. 3 Copyright © 2013 by JSFM 1.85 0.8 0.6 0.4 t = 0.229 s 0 0 1 2 3 X-axis coordinate x [mm] 4 Fig. 3 Dispersed-phase cross-sectional area fraction distribution at t = 0.229s for ReW=1.05 and CaW=2.510-4 (QO=QW=6l/min., = 41.6mN/m). Dispersed-phase volume fraction (t)[-] 0.52 1.8 (F) 0.8 (B) 0.6 (C) (E) 0.4 pO 1.7 (a) 0.09 0.1 Time t [s] (b) 0.11 (a) (B) (E) (b) (C) (F) (A) (D) (c) (c) 0.12 Fig. 6 Time history of pressure variations in liquid slug formation. 0.5 Dimensionless pressure increase P/P0 0.485 0.48 0.46 0.24 0.26 0.28 0.3 Time t [s] 0.32 0.34 Dispersed-phase volume fraction (t)[-] (a) ReW=1.05 and CaW=2.510-4 (QO=QW=6l/min.). 0.5 0.4 0.008 0.006 0.004 t1 = 0.0357s t2 = 0.143s 0.3 Numerical results by using LBM Theoretical predictions (Laplace pressure) P 2 R 0.002 0 0 0.47 0.02 0.04 0.06 0.08 Curvature of interface x/R 0.1 Fig. 7 Laplace pressure of spherical droplet with radius R. 0.2 5.結 言 本報では,正方断面 T 型マイクロ流路内液液系二相流の3次元 数値シミュレーションで以下の知見を得た. (1) 連続相で完全に濡れる壁面の流路では分散相スラグ液 滴が安定に形成される. (2) 流量比を一定にして流量を増加させると分散相の壁面 付着地点と分裂地点は下流へ移動する(Squeezing 型か ら Shearing 型への液滴形成機構の遷移が生じる)ととも に,スラグ長が減少し且つ形成周期が短くなる. (3) スラグ液滴の形状及び分散相体積率は,実験結果及び一 次元二流体モデル数値解析結果と良好に一致する. (4) 流量によるスラグ液滴長の変動は,We 数等の無次元数 で予測できる. (5) 圧力時間変動はスラグ液滴形成に関係する.分散相の圧 力は分裂直前に急増し,連続相の圧力は分裂直前後に急 減する.分散相の圧力は界面曲率変化に応じて増減する. (6) 無次元数 ReW<20,CaW<510-3,WeW<0.1 の流動条件で, 連続相は流路の四隅に残存するが,流路平坦部の連続相 液膜は非常に薄くスラグ液滴形状に強く寄与しない. また,数値結果と実験結果との比較を通して,本数値流体力学 シミュレーション法(15),(16)のマイクロ二相流問題への良好な適用 性も同時に確認した. 0.1 0 0 0.05 0.1 Time t [s] (b) ReW=4.21 and CaW=1.0110-3 (QO=QW=24l/min.). Fig. 4 Time history of dispersed-phase volume fraction (t) for silicone oil-pure water system ( = 41.6mN/m). 1 Dispersed-phase volume fraction [-] (D) pW 1.75 0.2 1 (A) Continuous-phase pressure increase pW = pW - p0 [kPa] 1 Dispersed-phase pressure increase pO = pO - p0 [kPa] Area fraction (x) = AO /(wh) [-] 第 27 回数値流体力学シンポジウム 講演番号 D08-3 0.8 Experimental results: (a) Slug length ratio LO / ( LO LW ) (b) Hemispherical shape (c) Hemispherical & circular-cylindrical jO / uO jO QO / w 2 1D numerical results: 0.6 for C0 1.016 3D numerical results: LO / ( LO LW ) 0.4 0.2 0.8333 0.03 0.5 1 0.97 0.5 謝 辞 本研究で使用した計算手法は,総合科学技術会議が制度設計し 独立行政法人日本学術振興会が助成する最先端研究開発支援プロ グラム(FIRST)課題「マイクロシステム融合研究開発」 (江刺プ ロジェクト)の成果である.また,数値シミュレーション結果は 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Volume flow rate ratio jO / jO jW [-] Fig. 5 Dispersed-phase volume fraction for total flow ratio . 4 Copyright © 2013 by JSFM 独立行政法人新エネルギー・産業技術総合開発機構(NEDO)の 「異分野融合型次世代デバイス製造技術開発プロジェクト (BEANS Project) 」で得られたものである.関係者各位への謝意 をここに表します. (14) 参考文献 (1) Garstecki, P., Fuerstman, M. J., Stone, H. A. and Whitesides, G. M., “Formation of droplets and bubbles in a microfluidic T-junction scaling and mechanism of break-up,” Lab. Chip, Vol. 6 (2006), pp. 437–446 (DOI: 10.1039/b510841a). (2) Kawahara, A., Sadatomi, M., Shimokawa, S. and Kusumaningsih, H., “Single-phase and two-phase pressure drops over return bend in rectangular microchannel,” Japanese Journal of Multiphase Flow, Vol. 26 (2013), pp. 595–602 (DOI: 10.3811/jjmf.26.595). (3) Matsumoto, S., Takada, N. and Matsumoto, J., “Microfabrication process of cellular structures in hollow fiber-shaped substrates,” Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers Series C, Vol. 76 (2010), pp. 1911–1913 (http://ci.nii.ac.jp/naid/110007685434/). (4) Miki, Y., Matsumoto, S., Kaneko, A. and Abe, Y., “Formation behavior of two-phase slug flow and pressure fluctuation in a microchannel T-junction,” Japanese Journal of Multiphase Flow, Vol. 26 (2013), pp. 587–594 (DOI: 10.3811/jjmf.26.587). (5) Anderson, D. M., McFadden, G. B. and Wheeler, A. A., “Diffuseinterface methods in fluid mechanics,” Annu. Rev. Fluid Mech., Vol. 30 (1998), pp. 139–165 (DOI: 10.1146/annurev.fluid.30. 1.139). (6) Takada, N. and Tomiyama, A., “A numerical method for two-phase flow based on a phase-field model,” JSME Int. J. Ser. B Fluids Therm. Eng., Vol. 49 (2006), pp. 636–644 (DOI: 10.1299/jsmeb.49. 636). (7) Takada, N., Matsumoto, J., Matsumoto, S. and Ichikawa, N., “Application of a phase-field method to the numerical analysis of motions of a two-phase fluid with high density ratio on a solid surface,” Journal of Computational Science and Technology, Vol. 2 (2008), pp. 318–329 (DOI:10.1299/jcst.2.318). (8) Matsumoto, J. and Takada, N., “Two-phase flow analysis based on a phase-field model using orthogonal basis bubble function finite element method,” Int. J. Comput. Fluid Dyn., Vol. 22 (2008), pp. 555–568 (DOI:10.1080/10618560802238226). (9) Matsumoto, J., Takada, N. and Matsumoto, S., “One hundred million degree of freedom two-phase flow finite element method analysis using phase-field model,” Proceedings of the National Congress of Theoretical and Applied Mechanics (NCTAM), Japan, Vol. 60 (2011), Session ID: GS03-04 (https://www.jstage.jst.go.jp/article/japannctam/60/0/60_0_251/_arti cle/). (10) Hirabayashi, M., Chen, Y., and Ohashi, H., “The lattice BGK model for the Poisson equation,” JSME Int. J. Ser. B Fluids Therm. Eng., Vol. 44 (2001), pp. 45–52 (DOI: 10.1299/jsmeb.44.45). (11) Inamuro, T., Ogata, T., Tajima, S., and Konishi, N., "A lattice Boltzmann method for incompressible two-phase flows with large density differences," J. Comput. Phys., Vol. 198 (2004), pp. 628–644 (DOI: 10.1016/j.jcp.2004.01.019). (12) Seta, T. and Okui, K., “The single component thermal lattice Boltzmann simulation of pool boiling in two dimensions,” Journal of Thermal Science and Technology, Vol. 1 (2006), pp. 125–137 (DOI: 10.1299/ jtst.1.125). (13) Yoshino, M., Kobayashi, Y. and Tanaka, Y., “Numerical Simulation (15) (16) (17) (18) (19) (20) 5 第 27 回数値流体力学シンポジウム 講演番号 D08-3 of Liquid Penetration through spherical bodies with various types of wettability,” Japanese Journal of Multiphase Flow, Vol. 26 (2013), pp. 499–506 (DOI: 10.3811/jjmf.26.499). Chiu, P.-H. and Lin, Y.-T., “A conservative phase field method for solving incompressible two-phase flows,” J. Comput. Phys., Vol. 230 (2011), pp. 185–204 (DOI: 10.1016/j.jcp.2010.09.021). Takada, N., Matsumoto, J. and Matsumoto, S., “Phase-field model-based simulation of motions of a two-phase fluid on solid surface,” Journal of Computational Science and Technology, Vol. 7 (2013), pp. 322–337 (DOI: 10.1299/jcst.7.322). Takada, N., Matsumoto, J. and Matsumoto, S., “A diffuse-interface tracking method for the numerical simulation of motions of a two-phase fluid on a solid surface,” Proceedings of the 8th International Conference on Multiphase Flow (2013), Paper ID: ICMF2013-599. Olsson, E. and Kreiss, G., “A conservative level set method for two phase flow,” J. Comput. Phys., Vol. 210 (2005), pp. 225–246 (DOI: 10.1016/j.jcp.2005.04.007). Tan, N., Aoki, T., Inoue, K. and Yoshitani, K., “Numerical simulation of two-phase flow driven by rotating object,” Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series B, Vol. 77 (2011), pp. 1699–1714 (DOI: 10.1299/kikaib.77.1699). Sato, Y. and Niceno, B., “A new contact line treatment for a conservative level set method,” J. Comput. Phys., Vol. 231 (2012), pp. 3887–3895 (DOI: 10.1016/j.jcp.2012.01.034). Takada, N., Matsumoto, J. and Matsumoto, S., “Application of a one-dimensional numerical analysis model to two-phase fluid flow in microchannel,” Proceedings of the National Congress of Theoretical and Applied Mechanics (NCTAM), Japan, Vol. 61 (2012), Session ID: GS02-03 (https://www.jstage.jst.go.jp/article/japannctam/61/0/61_0_193/_arti cle). Copyright © 2013 by JSFM
© Copyright 2024 Paperzz