ブラックホール直接観測の原理、方法と問題斉田浩見（大同大学） / saida@daido-it.ac.jp Earth light si gnal BH gas cloud BH 磁気圏研究会, 2014.3.3–5 at 熊本大学 1. 光による BH の直接観測 • これまでの「BH 候補天体」：ニュートン重力に基づいて推定 → 曲がった時空の効果を見ない限り「候補」のまま • BH を見るとは · · ·   定性的：     曲がった時空の効果の観測で BH 地平面の存在を確認すること  定量的：     曲がった時空の効果から質量・角運動量（・電荷）を測ること O ct gravity Black Hole (Trapped Region) RBH Grav. Doppler Light Cone Light Cone r Singularity Singularity ct O Trapped Region (Black Hole) RBH world sheet of a wave r source • どんな「曲がった時空の効果」を狙うか？ → 強い重力レンズ効果 Strong Gravitational Lensing (SGL) に注目 SGL の空間的情報（見た目の画像） → BH シャドー（右図は理論計算）幾何光学近似 ← （光の測地線）で描いた画像 → BH シャドーの「波動版」も計算されつつある（南部さん） SGL の時間的情報（電波の時間的な振動パターン） → 一つの電波望遠鏡で得る時系列データの中から BH の質量と角運動量を読み出すことを考える。今日の話はこの時間的情報の利用方法補足：現在の天文観測技術では，  電波による観測 → 光を電場の振動としてアンテナで捉える それ以外の観測 → 光をフォトンとして CCD で捉える → 光を波動として捉える天文観測は，現在の技術では電波観測のみ。 → 今回の提案では光の波動性が重要になるので，実際の応用は電波観測を想定。 2. 一つの望遠鏡による BH 直接測定の原理と方法 2.1 設定と基本原理 { 光源から同時に放射された 2 つの光線（瞬時的発光）に注目光源からみて同じ強度とスペクトルをもち，可干渉な 2 つの光線 W0 BH source xxx xxx xxx xxx W1 earth → BH の強い重力レンズ効果による最短距離を通る「0 巡光 W0 」と BH を巡る「1 巡光 W1 」の { 到達時間の差で『BH 直接観測（MBH, JBH 測定）』を狙う強度の比 2.2 時系列データから 0 巡光と 1 巡光を探し出す方法 ( Time Delay Self-interferometry , TDS 6= Tokyo Disney Sea) • この話のキーワードの一つ：火面 caustic → 光の「交差点」の集まり · · · 独立した一点のときは「焦点」幾何光学近似が破綻。波動性を考える必要あり。 BH caustic ex. non-rotating BH • 2 つの光 W = 0, 1 が，1 つの電波望遠鏡にどう表れるか？考察 1：正弦波の場合 E Oscillation of observed wave at ONE telescope Τ0 Τ 1 ∆E obs tobs W=0 W=1 ∆tobs   ：主に，BH の強い重力レンズで決まる ∆tobs → ∆Eobs ：主に，BH の強い重力レンズで決まる   T0 6= T1 ：光源の速度による運動論的ドップラー効果 ∗ 厳密には, ∆tobs と ∆Eobs も BH だけでなく光源運動にも依存。考察 2：ガウス型発光の場合（YouTube にシミュレーションを載せている人がいる） → 波形の変化に注意！ E0 1 0.8 0.6 W0 -0.5 0.4 0.2 0 oscillation of bserved wave at ONE telescope E __1 Hilbert Trans. of W 0 tobs − ∆tobs E0 E 0.4 0.2 1 0.5 t 0.5 obs -1.0 -0.5 -0.2 ∆tobs 4 2 -2 -4 source BH 1.0 W1 W0 10 20 W1 earth 参考文献（Zenginoglu and Galley PRD86(2012)064030）の波形だけ再現 → 波動光学の Gouy Phase Shift による波形変化火面では幾何光学近似が破たんするので，火面近傍であることを尊重した近似で波動方程式を解き直す。補足：任意の波動場 f (xµ) （例えば，f = 0 ）  [ ] µ µ  波動のアイコナール表現： f = A(x ) exp iΨ(x )  波数ベクトル dΨ ： kµ = dxµ → 幾何光学近似：Ψ ' kµxµ+ const. · · · 火面ではダメ ( → 火面近傍での評価：Ψ ' w xµxµ + kµxµ+ const. → 2 次の項を火面を通過する前と後で比べると · · · （火面での forcusing による重ね合わせを評価）波面の形で w= 決まる係数 ) ◦ 光線が火面 caustic を 1 回通過する毎に，  π  正の周波数成分：位相が − ずれる 2  負の周波数成分：位相が + π ずれる 2 → 数学的には，Hilbert 変換で表現することも可能。 ◦  f (t) ：火面通過前の時間変動とるすと， H[f ](t) ：火面通過後の時間変動 ∫ ∞ f (z) dz · · · 次頁に例 Hilbert 変換： H[f ](t) ∝ Re t−z −∞ { 数学的には f (t) を解析接続して複素積分で計算し，実部をとる。 ··· 実際の時系列データを Hilbert 変換する技術・装置があるらしい。 ◦ Hilber 変換の計算例 ∗ f (t) = cos(ωt) の場合（ = sign(ω) ） ( ( ) π) H[f ](t) = π cos ωt − = sin |ω| t 2 ∗ f (t) = sin(ωt) の場合 ( ( ) π) H[f ](t) = π sin ωt − = −sign(ω) cos |ω| t 2 ( t2 ) ∗ f (t) = exp − 2 の場合 σ ( t2 ) ( t ) H[f ](t) = π exp − 2 erfi σ σ ∫ ここで，erfi(x) = −i erf(ix) = −i 0 ix ( 2) dz exp −t ◦ 注意点： Gouy phase shift （Hilbert 変換）でスペクトルは不変 • 2 つの光（電波）W0 と W1 を如何にして同定するか？ → 同一光源が同時放射した 2 つの光 W = 0, 1 は coherent なはず。 → 自己干渉 “Self-interference” によって 2 つの光 W = 0, 1 を同定できるのでは？ → 一人時間差干渉（ Time Delay Self-interferometry , TDS ） E 手順 (1)：観測データを 2 つコピー（A, B） original data (A) 手順 (2)：データ B にヒルベルト変換，定数倍（E1/E0 に相当）， W0 W1 tobs 光源運動のドップラー効果の矯正を施す coherence 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 手順 (3)：元データ A と変調データ B の 0.2 3 W1 tobs W0 1 干渉部分を探す 2 2 3 modulated data (B) → W = 0, 1 が分かり，∆tobs , E1/E0 , T1/T0 を得る。 -0.2 • お試し計算：Gouy phase shift の偏光への影響は？ ( (in) (in) ) (in) ~ 火面通過の前の電場：E = Ex , E y y E (in) → 火面通過で偏光が変わるか？考察 1：正弦波（単色波）発光の場合  E (in) = f cos(ωt) x 例えば円偏光 Ey(in) = f sin(ωt) x caustic (out) E z (light propagation) π → Gouy Phase shift で位相が − だけずれる。（ ω > 0 ） 2  E (out) = f sin(ωt) x 火面通過の後の電場 Ey(out) = −f cos(ωt) → 円偏光に変化なし（左回りは左回りのまま）考察 2：ガウス型発光の場合（その 1） ( t2 ) (in) (in) Ex = Ey = exp − 2 σ → 火面通過の前後の “リサージュ図” を書くと 1.0 0.6 0.4 0.5 0.2 -1.0 0.5 -0.5 1.0 -0.6 -0.4 0.2 -0.2 -0.2 -0.5 -0.4 -0.6 -1.0 ~ (in) E =⇒ ~ (out) E 0.4 0.6 考察 3：ガウス型発光の場合（その 2）こんな発光の仕方はあり得ないかもしれないけど · · · [ (t − kσ)2 ] ( t2 ) (in) (in) Ex = exp − , Ey = exp − 2 2 σ σ 1.0 k = 2 での “リサージュ図” 0.6 0.4 0.5 0.2 -1.0 0.5 -0.5 1.0 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.2 0.4 0.6 -0.2 -0.5 -0.4 -1.0 1 k = での “リサージュ図” 2 ~ (in) E ~ (out) =⇒ E -0.6 1.0 0.6 0.4 0.5 0.2 -1.0 0.5 -0.5 1.0 -0.6 -0.4 -0.2 -0.2 -0.5 -0.4 -1.0 ~ (in) E ~ (out) =⇒ E -0.6 単色波でなければ，観測の時系列データから 0 巡光と 1 巡光を探す上で， { 波形の一人時間差干渉（メインの方法） Hilbert 変換を用いた偏光の一人時間差干渉（上の結果のチェック）の 2 つが考えられる。 ∗ 電波望遠鏡の受信機にも受信周波数に幅がある（∆frec ∼ 数 GHz） → 電波望遠鏡で受信される電波の波形は，バンド幅 ∆frec の範囲の重ね合わせ波形 → 「偏光の一人時間差干渉」で「波形の一人時間差干渉」の結果をチェックできるかも？ 2.3 「振幅比」と「時間差」の計算式 • 状況設定の確認 { 光源から同時に放射された 2 つの光線（瞬時的発光）に注目光源からみて同じ強度とスペクトルをもち，可干渉な 2 つの光線 → 時系列データから「振幅比」と「時間差」を一人時間差干渉の解析方法で読み取り， BH の質量 MBH と角運動量 JBH を得たい。 W0 BH source xxx xxx xxx xxx W1 earth 以後，背景時空は Kerr 計量を仮定：Boyer-Lindquist 座標 (t, r, θ, ϕ) ds2 = gtt dct2 + 2gtϕ dt dϕ + grr dr2 + gθθ dθ2 + gϕϕ dϕ2 • 一本の光線（ W0 や W1 ）をどう扱うか？ { 瞬時的な発光（継続的発光の場合は 1 周期）： ∆ts , ∆to GMBH/c 十分小さな光源（大きい場合はある一部分）： [光源サイズ] GMBH/c2 → 適当な代表的ヌル測地線 RNG (Representative Null Geodesic) に注目 ⇓ 伝播時間は RNG で評価 to − ts m a e b ts ∆ts observer · · · 強度は Specific Flux [J/s·m2·Hz] を採用する。計算は工夫が必要。 ce 強度は RNG からの「摂動」で評価 ∆to to sour · · · 測地線方程式を解けばよい。（ W0 と W1 で ts は同時刻とする。） time RNG space ヌル測地線の運動方程式： k α∇αk µ = 0 with k 2 = 0 → 放射事象 (ts, rs, θs, ϕs) と観測事象 (to, ro, θo, ϕo) を繋ぐ積分形： { ∫ ro ∫ θo εr = sign(k r ) εr εθ dr √ = dθ √ εθ = sign(k θ ) R(r) Θ(θ) rs θs ∫ ro ∫ θo εr a X(r) εθ Y (θ) cto − cts = dr √ − dθ 2 √ R(r) sin θ Θ(θ) rs θs ( JBH a= cMBH ) ∫ ro ∫ θo 2 2 εr (r + a ) X(r) εθ a Y (θ) √ ϕo − ϕs = dr − dθ √ R(r) Θ(θ) rs θs ( ) ∫ ro ∫ µ(λ) θo ε a2 sin2 θ Y (θ) εr r2 X(r) dx λo − λs = dr √ kµ = + dθ θ √ dλ R(r) Θ(θ) rs θs ここで，R(r) , X(r) , Y (θ) , Θ(θ)：衝突因子と r や θ の関数 • 光線 W0 と W1 の到達時間の差 µ → 放射事象 xs と観測位置 (ro, θo, ϕo) は共通，観測時間のみ異なる ] ∫ ro [ ε a X(r) ε a X(r) (W0) (W1) r r √ √ = dr − cto cto − R(r) W1 R(r) W0 rs ] ∫ θo [ εθ Y (θ) εθ Y (θ) √ √ − dθ − 2 2 sin θ Θ(θ) W1 sin θ Θ(θ) W0 θs 補足 1：被積分関数は，衝突因子が異なる項の差 (1) 補足 2：[r-積分の上限] → O as ro → ∞（遠方の観測者） ro • 一本の光線の Specific Flux 複数のヌル測地線が RNG と同時刻 to に b source m a e 望遠鏡上の一点 ~xo に入射： BH ΦW （図の ΦW は巻付き角 winding angle ） → 位置 ~xo で受ける Specific Flux は， ∫ Fo(νo) = d2no Io(νo, ~no) [J/s · m2 · Hz] ∆Ωo ∆Ωo Po ∆Σo  [W/Hz] ( ) c ∫  [Hz]：観測者が計る RNG の振動数 νo =   2x F λ   power: P = d o o o    望遠鏡上の点 ~xo から ∆Σo ∆Ωo [sr]：見た光源の立体角     望遠鏡面上の一点 ~xo から見た  2   Io(νo, ~no) [J/s · m · Hz · sr]： ~n (∈ ∆Ω ) 方向の Specific Intensity o o → [光源サイズ] GMBH/c2 より（ ~no 依存性は無視できる） ( ν )3 ( ) o Fo(νo) ' Is νs(νo) ∆Ωo [J/s · m2 · Hz] νs(νo) （νs [Hz]：光源の共動系で計る RNG の振動数） I(ν) 注意 1：ヌル測地線束が占める 4 次元領域の中で 3 はスカラー量 ν 注意 2：RNG の 4 元運動量 k µ µ µ → νo = −kµuo , νs = −kµus → νs(νo) の関数形を得る。 → 重力的ドップラー，運動論的ドップラー（ビーミング含む）など全てを含む。 → 立体角 ∆Ωo の積分変数を (1) → (2) → (3) と変換： (1) 天球（celestial sphere）内のスクリーン上の座標 (α, β) (2) 光の測地線の衝突因子 (b, q) · · · ”Toroidal”成分と”Poloidal”成分 (3) 光の運動量に垂直な断面 (η, ζ) · · · 光源の断面積 As [m2] ∫ ∆Ωo = ∂(α, β) ∂(b, q) ∂(α, β) ∂(b, q) As dη dζ ' ∂(b, q) ∂(η, ζ) ∂(b, q) ∂(η, ζ) image ∫ dα dβ = image (bo,qo) RNG ∆Ωo image (η,ζ) BH As source celestial sphere xo (α,β) → まとめて，一本の光線の Specific Flux は， ( ν )3 ( ) q ∂(b, q) o o 2 · Hz] √ Fo(νo) ' I ν (ν ) A [J/s · m s s o s νs(νo) ro2 sin2 θo Θo ∂(η, ζ)   ~xo = ( ro , θo , ϕo ) ：望遠鏡上の一点     )2 (   b o  2 − a sin θ −  Θ = q  o o o  sin θo      ∂(b, q) = ごちゃごちゃした積分で書ける ∂(η, ζ)    JBH   a= [m]：Kerr BH の回転パラメータ    MBHc   √    Kµν k µk ν k ϕ   [m] , q = [m] （K µν ：Killing tensor） b = −kt −kt • 光線 W0 と W1 の観測される電場の ”specific” な振幅比 v u (W1) (W1) u Fo Eo (νo) (νo) t ∝ (W0) (W0) Eo (νo) Fo (νo) v ⇓ u (W1) u Fo (W1) (W 0) t − to はと to (W0) Fo { BH のパラメータ：MBH , JBH の依存性を持つ。 µ µ 光源の運動： xs , us → TDS で MBH , JBH を精度よく得るには，光源運動の情報が不可欠。 3. 強い重力レンズに関する根本的な問題点 { BH シャドー → 光の不安定円軌道の影 • 厳密には TDS の光 → 光の不安定円軌道に巻きつく効果 ? → これらの強い重力レンズ効果 = BH 地平面の存在 · · · ？？？ → BH 地平面が存在すれば光の不安定円軌道も必ず存在するか？ BH shadow is associated with this ! Unstable Circular Orbit of Null ray (UCON) BH source Telescope 4. まとめ • BH を「見る」とは「曲がった時空の効果」を捉えること { 見た目の画像：BH シャドー → 強い重力レンズ効果に注目電波の時間変動：一人時間差干渉 TDS { M (∆tobs , E1/E0 , T0 , T1) • TDS の測定量と BH 質量・角運動量の関係： J(∆tobs , E1/E0 , T0 , T1) → この『対応表』を作る。（これから数値計算をする。） • Gouy phase shift による電波の波形変化の計算。 → Kerr 時空上の Caustic の把握と，Caustic を通過する回数の計算式。 • 重力理論の問題 · · · 肯定的な解決が得られたところ BH 地平面が存在すれば光の不安定円軌道も必ず存在するか？