Electromagnétisme

TD Electromagnétisme
(S2 2014)
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Sommaire
Travaux Dirigés
olivier.gallot-lavallee@g2elab.grenoble-inp.fr
http://iut-tice.ujf-grenoble.fr/tice-espaces/MPH/EP-gallotLava/
Electromagnétisme
et applications
Module : 2201 (coefficient 2)
Unité d’Etude : 22 « Physique appliquée aux matériaux »
(S2 2014)
Sommaire ................................................................................................................................... 2
TD 1. : Electrostatique: force, champ, potentiel et énergie électrostatique (3h00).................... 3
Exercice 1.1. : Câble coaxial : champ, potentiel, capacité et énergie (1h30)......................... 3
Exercice 1.2. : Jauge de niveau capacitive pour liquide isolant (0h30) ................................. 4
Exercice 1.3. : Perturbation à 50Hz par couplage capacitif (0h30)........................................ 4
Exercice 1.4. : Microscope électronique à balayage : fabrication d’un faisceau d’e- (0h30). 5
Exercice 1.5. : Condensateur plan (bonus) ............................................................................ 5
Exercice 1.6. : Microphone à condensateur (bonus) ............................................................. 6
Exercice 1.7. : Jauge de niveau capacitive pour liquide conducteur (bonus) ....................... 6
Exercice 1.8. : Voltmètre à force électrostatique (bonus)...................................................... 7
Exercice 1.9. : Principe d’un coulomb-mètre (bonus) ........................................................... 7
Exercice 1.10. : Principe du moulin à champ (bonus) ........................................................... 7
Exercice 1.11. : L'oscilloscope : force de déflection (bonus)................................................. 8
Exercice 1.12. : Champ, potentiel et capacité d'une sphère conductrice (bonus) ................. 9
Exercice 1.13. : Force électrostatique (bonus) ...................................................................... 9
Exercice 1.14. : Champ électrostatique crée par des charges (bonus).................................. 9
TD 2. : Magnétostatique: force, champ et travail magnétostatique (4h30).............................. 11
Exercice 2.1. : Câble coaxial : champ magnétique et inductance (1h30)............................. 11
Exercice 2.2. : Circuit magnétique: hystérésis et aimantation (1h30).................................. 12
Exercice 2.3. : Spectromètre de masse : force de Lorenz (1h30)......................................... 13
Exercice 2.4. : Cyclotron (bonus)......................................................................................... 15
Exercice 2.5. : Champ magnétique et force de Laplace: fil parcouru par 1A (bonus) ........ 15
TD 3. : Forces, induction et onde électromagnétique (4h00)................................................... 17
Exercice 3.1. : Induction d'une ligne haute tension (1h00) .................................................. 17
Exercice 3.2. : Pinces ampère métrique : passive et active (0h30) ...................................... 17
Exercice 3.3. : Induction et force électromagnétiques: principe d'un alternateur (1h00)..... 18
Exercice 3.4. : Capteur de proximité à reluctance variable (0h30) ...................................... 19
Exercice 3.5. : Débitmètre électromagnétique (sur fluide conducteur) (1h00).................... 19
Exercice 3.6. : Energie d'un champ d'induction magnétique: cas du tore (bonus).............. 20
Exercice 3.7. : Plaque à induction: courants de Foucault (bonus)...................................... 21
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TD 1. : Electrostatique: force, champ, potentiel et énergie électrostatique (3h00)
Exercice 1.1. : Câble coaxial : champ, potentiel, capacité et énergie (1h30)
On souhaite calculer la capacité d'un câble coaxiale de longueur l …
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Exercice 1.2. : Jauge de niveau capacitive pour liquide isolant (0h30)
Rb
or
θ
Va
ε
Electrode externe
•
oz
r
Rb’
Electrode interne
Ra
M
Ra
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11. Calculer les valeurs numérique de C, Qa et Ep (l'énergie électrostatique stockée) si l'on
applique une ddp de 1V, sur un coaxiale de 1m de long, de petit rayon Ra=1mm et grand
rayon Rb=5mm, le diélectrique étant l’air ?
oθ
Rb
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Air
h
Vb
x
Liquide
isolant
εr=2
1. A quelle condition (géométrique) peut on considérer que les conducteurs a (ie. l’âme
centrale) et b (la tresse de blindage) soient en influence totale ?
2. On applique dans ces conditions une tension Va-Vb>0, écrire la relation entre les densités
de charge linéiques λa et λb [C/m] condensées aux électrodes et préciser la polarité de λa.
3. A l'aide du théorème de Gauss, donner l'expression du champ créé en M, situé dans l'espace
inter électrode. Rappel méthodologique : (a) on applique le principe de Curie pour trouver
l’orientation et la dépendance du champ puis on représente les lignes champs ; (b) on fabrique
une surface fictive renfermant tout ou partie de l’objet, en étant normale et/ou tangent au
champ ; (c) on oriente le vecteur surface vers l’extérieur et de façon normale à cette surface ;
(c) on passe enfin au calcul en appliquant le th. de Gauss …
4. Retrouver ce résultat à la surface du conducteur, par le théorème de coulomb.
1. Exprimer la capacité de la jauge lorsque le réservoir est vide.
2. Exprimer la capacité de la jauge lorsque le réservoir est plein.
3. Exprimer la capacité de la jauge lorsque le réservoir est rempli jusqu’au niveau x.
4. Exprimer la sensibilité de cette jauge (S=dérivée de la grandeur de sortie - ie. la mesurepar rapport à la grandeur d’entrée - ie. le mesurande -). Conclure sur les deux conditions
cinequoinon d’application de ce type de capteur.
Exercice 1.3. : Perturbation à 50Hz par couplage capacitif (0h30)
Prise de terre
5. Déduire, l'expression du potentiel VM par rapport à Va et en déduire l’expression de Va-Vb.
Prise secteur (230V/50Hz)
6. Déduire, l'expression de la capacité électrique d'un coaxial de longueur l.
2P+T
Embase BNC
7. Que devient la capacité si l'on comble le vide inter électrode par une substance diélectrique
de permittivité relative εr=2.
Neutre
Phase
r
Oscilloscope
d’acquisition
8. Que se passe t'il si l’on soumet le coaxial à un champ électrique extérieur ?
Nb : c’est ce qui ce passe lorsque votre coaxial est dans le voisinage d’une ligne
d’alimentation ERDF 230V/50Hz… c'est-à-dire dans presque tous les cas !
g
Accéléromètre à base
piézoélectrique
m
Signal capteur typique g=100mV
9. Inversement, le câble coaxial rayonne t’il un champ électrique à l’extérieur ?
Terre
Nb : pour ce faire appliquer succinctement le théorème de gauss et la solution vous
apparaitra immédiatement…
10. Donner l'expression de Ep, l'énergie électrostatique stockée en fonction de la ddp U
appliquée et de la charge condensée Qa.
1. Représenter à l’aide d’un schéma électrique simplifié les différents conducteurs pouvant
influer sur le fil « r » en utilisant des capacités de couplage équivalentes (entre chaque
conducteur) et en regroupant les conducteurs équipotentiels.
2. Hors accélération, on relève à l’oscilloscope un signal 230mV/50Hz. En déduire le rapport
des deux principales capacités de couplages sous forme littérale puis numérique…
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Ce rapport de couplage semble rédhibitoire pour la mesure car le bruit parasite est
deux fois plus grand que le signal typique que l’on espère mesurer.
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A
Exercice 1.6. : Microphone à condensateur (bonus)
Un canon à émission de champ, est composé d’une pointe conductrice que l’on porte à
un potentiel négatif. Un champ électrique très intense permet alors d’extraire les électrons du
sommet de la pointe (par effet de champ). Ces électrons sont par la suite accélérés à l’aide
d’un champ uniforme, créé entre l’électrode d’extraction et l’électrode d’accélération. On
montre, que le champ maximal situé au sommet de la pointe a pour expression :
E max =
2.U
r. ln(4.d / r )
Dans un microphone à condensateur, la membrane n'est pas fixée à un bobinage, mais
est flottante, séparée d'une plaquette électriquement chargée par un isolant (air, vide...). La
face intérieure de la membrane étant saupoudrée d'une fine couche d'or, cela forme un
condensateur. Les vibrations de la membrane font varier l'épaisseur d'isolant entre les
armatures du condensateur, sa capacité varie d'autant, ce qui provoque un mouvement de
charges, c'est-à-dire un courant électrique qui, une fois passé dans une résistance calibrée, va
fournir une tension électrique image du signal…
Pointe
Zoom
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l'énergie électrostatique stockée We=f(C,U). Préciser la dimension des résultats [V,s,°,C…],
démontrer leur expression littérale et calculer leur valeur numérique quand cela est possible.
3. Dans quel sens doivent évoluer ces capacités de couplages et comment pourrait-on mettre
cela en pratique (ex. on souhaite descendre en dessous de 2,3% du signal hors bruit)?
Exercice 1.4. : Microscope électronique à balayage : fabrication d’un faisceau d’e(0h30)
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(1) Onde sonore
(2) Membrane avant
(3) Armature arrière
(4) Alimentation
(5) Résistance
(6) Signal électrique
U
d=1mm
Faisceau d’électrons
Pointe
(rayon de courbure r=1µm)
Principe du canon à émission de champ à cathode froide
1. Calculer le champ électrique d’émission.
1. Montrer que la capacité du condensateur (2) qui constitue ce microphone a pour
expression : C=ε.S/d. avec ε la permittivité du milieu inter électrode, S la surface des
électrodes et d la distance inter électrode (√S>>d).
2. Quel doit être le potentiel Ve de l’électrode d’extraction si l’on veut communiquer à
l’électron émis une énergie potentielle de 15k [eV] ? On considèrera la vitesse initiale de
l’électron v=0 à hauteur de l’électrode d’extraction.
2. En admettant que la tension aux bornes du condensateur reste constante, montrer que sa
charge varie avec la distance inter électrode et exprimer le courant alors produit. On considère
que d varie sinusoïdalement à la pulsation ω et avec une amplitude d0.
3. Quel doit être le signe du potentiel Ve pour que les charges s’écoulent de la pointe vers
l’électrode d’accélération ?
Exercice 1.7. : Jauge de niveau capacitive pour liquide conducteur (bonus)
Rb
4. Quel doit être le potentiel de la pointe par rapport à la masse ?
Ra
Résine isolante
εr=3
5. A quelle vitesse évolueront les électrons à hauteur de l’électrode d’accélération, sachant
que leur masse unitaire est de 9,31.10-31 [kg] , que 1 [eV] vaut 1,6.10-19 [J] et que l’énergie
cinétique Ec=1/2.m.v2? Conseil : appliquer le premier principe de la thermodynamique.
Exercice 1.5. : Condensateur plan (bonus)
Air
h
-1
2
Soit un condensateur formé de deux électrodes de surfaces planes A=1.10 [m ]
distantes l'une de l'autre de d=1.10-3 [m] et soumises à une ddp U=1 [V]. Exprimer le champ
électrique approché qui règne dans l'espace interélectrode E=f(σ,ε0) et E=f(U,d), la charge
accumulée sur une électrode Q=f(A,ε0,U,d), la capacité du condensateur C=f(A,ε0,d) et
x
Eau
minérale
Electrode interne
Contre électrode
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La contre électrode est suffisamment éloignée pour négliger tout couplage capacitif
avec l’électrode interne…
- - -
1. Exprimer la capacité de la jauge lorsque le réservoir est vide.
+
+ + +
2. Exprimer la capacité de la jauge lorsque le réservoir est rempli jusqu’au niveau x.
Cumulo-nimbus
E
Electrode inférieure fixe (à la masse)
Châssis (à la masse)
Terre
Va
Va
Electrode tournante (à la masse)
Electrode supérieure fixe de mesure
Balance
Électrode supérieure mobile
de surface S=10cm2
Va
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- - -
Exercice 1.8. : Voltmètre à force électrostatique (bonus)
Électrode supérieure fixe
(S2 2014)
+ + + +
x = 1 cm
Electrode tournante(à la masse)
Vb
Châssis (à la masse)
Électrode inférieure fixe
Vue de dessus
Vue en coupe
1. Exprimer la force électrostatique que subi l’électrode mobile Fe=f(ε0,S,Va,x)
Nb : Baser son raisonnement sur l’expression de l’énergie potentielle Ep=f(C,Va,Vb), de la
capacité C=f(ε0,S,x) de la ddp (Va-Vb)=f(E,x) puis rappeler que la force électrostatique
dérive de l’énergie potentielle…ou bien trouver un autre chemin encore plus court !
Electrode supérieure fixe de mesure
vue de dessus
1. Plaçons nous à l’instant où l’électrode tournante occupe la deuxième moitié du cercle, c'està-dire qu’elle n’abrite plus l’électrode supérieur de mesure. Sachant que le champ entre le bas
du nuage et la terre vaut E, que devient le champ dans l’espace inter électrode à l’équilibre
électrostatique (ie. entre supérieur et inferieur)?
2. Calculer la tension Va sachant que l’on mesure une force Fe=10 [N].
2. Exprimer alors E en fonction de d (la distance inter-électrode supposée connue) et U (la
ddp inter électrode que l’on mesure).
Exercice 1.9. : Principe d’un coulomb-mètre (bonus)
3. Pourquoi recourir à un obturateur de champ ?
Blindage
Plots
isolants
Coulomb-mètre
i
Q
Cage de faraday
Le champ électrique entre les plaques d’un oscilloscope cathodique est de 1.2*104
[V/m]. On souhaite calculer le déflection que subira un électron s’il entre à angle droit par
rapport au champ électrique avec une énergie cinétique de 2000 [eV] ? La longueur des
plaques est de x1=1.5 [cm].
Cf
i=0
V
Exercice 1.11. : L'oscilloscope : force de déflection (bonus)
A
Vo Q=Cf.Vo
Ceq=A.Cf
y
x
1. Représenter ce montage à l’aide d’un schéma électrique simplifié en utilisant des capacités.
On précise que le coulomb-mètre peut être remplacé par une capacité équivalente Ceq=A.Cf.
2. En supposant que Ceq>>C justifier que toute la charge se retrouve sur Cf et que l’on puisse
ainsi mesurer Q par l’intermédiaire de Vo (Cf étant supposé connu).
Exercice 1.10. : Principe du moulin à champ (bonus)
1. Donner l'expression de la force électrostatique que subit l'électron en fonction de E.
2. Ecrire la deuxième loi de Newton appliquée à l'électron dont on négligera le poids et non la
masse.
3. Exprimer l'accélération a de l'électron en fonction de q, E et m, puis calculer sa valeur
numérique (AN: q=1.6.10-19[C]; m=9.1.10-31[kg]).
4. Convertir en [J], l'énergie cinétique de l'électron entrant (AN: 1[eV]=1.6.10-19[J]).
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5. Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec de l'électron entrant en fonction de m et v.
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Quatre charges ponctuelles sont placées aux sommets d’un carré de côté a :
6. Exprimer la vitesse v de l'électron entrant en fonction de Ec et m, puis calculer sa valeur
numérique.
7. Exprimer le temps t qu'il faut à l'électron pour sortir de l'influence des plaques en fonction
de v et x1, puis calculer sa valeur numérique.
8. Exprimer le déplacement verticale γ subit par l'électron à la sortie des plaques en fonction
de a et t, puis calculer sa valeur numérique.
1. Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique régnant au centre du carré.
Application numérique : q = 1 nC et a = 5 cm..
Exercice 1.12. : Champ, potentiel et capacité d'une sphère conductrice (bonus)
On souhaite calculer la capacité d'une sphère conductrice de rayon R1
Qa
oz oy
ox
Vb ∞
Va
R1
1. A l'aide du théorème de Gauss, donner l'expression du champ créé à l'extérieur de la sphère
en fonction du rayon R1 et de la charge Qa portée par la sphère.
2. Déduire, l'expression du potentiel électrique créé à la surface de la sphère.
Exercice 1.13. : Force électrostatique (bonus)
Une sphère de masse m=0,1 [g] portant une charge q=3.10−10 [C] est attachée à
l’extrémité d’un fil de soie. L’autre extrémité du fil est attachée à une grande plaque (infini)
non conductrice verticale dont la densité surfacique de charge σ=25.10−6 [C/m²]. On donne la
permittivité électrique du vide ε0=8,85.10-12 [F/m] et l'accélération gravitationnelle
g=9,81[m/s] et on rappel que le poids P=m.g. Exprimer le tang(α)=f(P,Fc), le champ
électrique créé par la grande plaque chargée E=f(σ,ε0), la force de Coulomb subie par la boule
Fc=f(q,E) puis l’angle que fait le fil avec la verticale α =f(q,σ,ε0.m.g). Préciser la dimension
des résultats [V,s,°,C…], démontrer leur expression littérale et calculer leur valeur numérique
quand cela est possible..
Exercice 1.14. : Champ électrostatique crée par des charges (bonus)
E=
q
4πε 0 OM
2
OM
V
F
[en ] avec ε 0 = 8.854.10 −12 [en ]
m
OM
m
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TD 2. : Magnétostatique: force, champ et travail magnétostatique (4h30)
Exercice 2.2. : Circuit magnétique: hystérésis et aimantation (1h30)
Exercice 2.1. : Câble coaxial : champ magnétique et inductance (1h30)
On souhaite visualiser le cycle d'hystérésis d'un matériau dur. Pour cela on place le
matériau (R2) dans un circuit magnétique à faible réluctance (R1) et dont le niveau de
saturation ne sera pas atteint. On dispose d'une sonde exploratrice et d'un circuit intégrateur
permettant de mesurer le champ magnétique B passant par le tronçon en vertu d'un principe
d'induction tel que:
On souhaite calculer l’inductance d'un câble coaxiale de longueur l …
oθ
M
Rb
or
Ra
•
oz
r
θ
Rb’
+I
µ
B (t ) =
−τ
.V (t )
n.S 2
l2
-I
H2
1. Déterminer le sens et la direction du champ d'excitation magnétique H à l'aide du principe
de symétrie de Curie.
R2
2. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point Mab situé
dans l'espace inter-électrode.
3. Le câble coaxial rayonne t’il un champ magnétique à l’extérieur ?
4. Déduire des calculs précédents, l'expression du flux d'induction magnétique créé en dans
l’espace inter-électrode pour une longueur l du coaxial.
5. Déduire, l'expression de l'inductance d'un coaxial de longueur l.
6. Que devient l'inductance si l'isolant inter-électrode passe d’une perméabilité µr=1 à 100 ?
On rappel par le schéma suivant qu'en présence de matière le champ peut être dévié de
sa trajectoire normale:
R1
i(t)
S2
H1
Ф
S1
l1
1. Représenter le circuit magnétique équivalent (d’Opkinson) traversé par un flux Ф. Faire
apparaître NI ainsi que les relations entre H2l2 et R2Ф ainsi que H1l1 et R1Ф
2. Exprimer H2=f(N,I,R1,R2,l2)
3. Déduire l'expression de H2=f(N,I, µ 1, µ 2, l1,l2) avec S1=S2=S et sachant que R=l/(µS).
4. Montrer que l'on peut simplifier l'écriture de H2=f(N,I,l2) avec R2>>R1.
5. Dans ces conditions redessiner le circuit magnétique équivalent
Le relevé du courant image de H et de la tension image de B obtenu à partir d'un
oscilloscope en mode XY, est le suivant:
7. Que se passe t'il si l'on plonge ce coaxial dans un champ magnétique extérieur constant en
considérant que le conducteur est fait cuivre (diamagnétique) ?.
8. Un coax de petit rayon Ra=1mm et grand rayon Rb=5mm et de longueur l=1m est traversé
par un courant I=1A. Calculer les valeurs numériques de H(Ra), M(Ra), B(Ra) et de L pour
une perméabilité relative de l'espace inter-électrode µr=1.
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B (500mT/Div)
-V (0.2V/div)
Alnico
Br = 1,15T
Ba = 1,10T
I (0.5A/Div)
H (15kA.m-1/Div)
Hc = 5kA/m
Ha = 22kA/m
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La spectrométrie de masse est une technique physique d'analyse permettant de détecter
et d'identifier des molécules d’intérêt par mesure de leur masse mono-isotopique. De plus, la
spectrométrie de masse permet de caractériser la structure chimique des molécules en les
fragmentant. Son principe réside dans la séparation en phase gazeuse de molécules chargées
(ions) en fonction de leur rapport masse/charge (m/z). Lorsque les différents isotopes d'un
même élément sont introduits dans un spectromètre de masse, ils suivent différentes
trajectoires en fonction de leur masse, ce qui permet de les collecter séparément. La
spectrométrie de masse est utilisée dans pratiquement tous les domaines scientifiques :
physique, astrophysique, chimie en phase gazeuse, chimie organique, dosages, biologie,
médecine, géologie...
6. Convertir l'échelle des tension et courant respectivement en T et en A/m sachant que
N=500spires, l2=3cm, τ=0,1s, n=500, S2=0,8cm2.
7. Calculer l'énergie consommée par le circuit magnétique pour décrire un cycle et donner les
pertes correspondantes (ie. puissance) sachant que le cycle est décrit à f=50Hz.
8. Au bout d'un certain nombre de cycle on coupe le courant à l'instant Hmax Bmax. Quelle
est la valeur de B dans le circuit ? Comment s'appel ce champ ?
On souhaite à présent exploiter ce tronçon de fer dur aimanté. On le place dans un
circuit magnétique dont le niveau de saturation ne sera pas atteint et l'on souhaite connaître le
champ circulant dans l'entrefer d'épaisseur Le (1.10-3m) du circuit de longueur L1+L2 (avec
Le<<L1+L2). Les réluctances R1 et R2 sont négligeables devant Re.
Le
Figure 1: Schéma de la structure d’un spectromètre de masse : exemple d'un spectromètre de masse à
secteur magnétique associé à une source d'ionisation d'impact électronique
Un ion positif de masse m et de charge q+ est accéléré sous une différence de potentiel
U=Va+-Vk->0 entre les électrodes fendues A et K. Nous allons dans un premier temps
déterminer la vitesse vk de l'ion lorsqu'il arrive à l'électrode K sachant qu'il rentre par
l'électrode A à une vitesse proche de 0.
fer doux
He
Va+
Vk-
Re
L2
H2
R1
R2
Ion q+
H1 L1
Sa
va = va .ox
Ion q+
vk = vk .τ
oy
oz
ox
Ф
Ha Ba
fer dur
La
9. Représenter dans ces conditions le circuit magnétique équivalent (d’Opkinson).
1. Exprimer la variation d'énergie potentielle ∆Ep de l'ion lorsqu il passe de A à K.
2. Exprimer la variation d'énergie cinétique ∆Ec de l'ion lorsqu il passe de A à K.
3. En appliquant le principe fondamental de la thermodynamique, exprimer la vitesse vk de
l'ion en fonction de m, et U sachant qu'il n'y a aucun échange de travaux et de chaleur et que
l'énergie interne est inchangée.
10. Quel est le champ d'induction Ba et d'excitation Ha ?
11. Déduire le champ d'excitation He dans l’entrefer.
Exercice 2.3. : Spectromètre de masse : force de Lorenz (1h30)
4. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'ion animé d'une vitesse vk et pourvu
d'une charge q lorsqu'il passe sous influence du secteur magnétique B.
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Vk-
B = B.oz
Ion q+
vk = vk .τ
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Soit un segment (S1S2) considéré comme le tronçon d’un circuit filiforme parcouru par
une intensité I. On souhaite calculer le champ magnétostatique créé en M , point situé à la
distance r du tronçon, le tronçon étant vu depuis M sous les angles αa etαb.
oy
oz
r
b
ox
I
5. Récrire le principe en exprimant les vecteurs dans le repère intrinsèque (dit de Frenet) et
déduire que la courbure de la trajectoire est telle que son rayon de courbure r=(m.vk)/(q.B) et
conclure sur l'énergie cinétique d'un force magnétique.
6. En combinant l'expression du rayon de courbure r et de la vitesse vk, exprimer à présent le
rayon de courbure r2 en fonction de m, q, B et U.
7. Calculer U tel que le rayon de courbure de l'He+ (masse=4,002 602 x 1,66054.10-27 kg 9,109 382 6.10-31 kg masse électron), q+=1.6.10-19C) soit de 4 cm sous un champ B=1T.
Inversement calculer les rayons de courbures de He+ pour une ddp U telle que Ec=19.3keV
(En physique, l'électron-volt est une unité de mesure d'énergie. Sa valeur est définie comme
étant l'énergie cinétique d'un électron accéléré depuis le repos par une différence de potentiel
d'un volt. 1 [éV] est donc égal à environ 1,602 176 53.10-19 [J]. C'est une unité en dehors du
système international (SI)).
oz
r
α
h
O
dl = dz.oz
M
oθ
or
dB = dB.oθ
u
a
1. Exprimer le vecteur u en fonction des vecteurs cylindriques or et oz .
2. Calculer le produit vectoriel dl ∧ u et justifier ainsi que dB = dB.oθ
3. Exprimer OM2=f(cos2(α), r2)
4. Exprimer la dérivée de tan(α)=f(z, h, r) et déduire dz=f(cos2(α), r, dα)
Exercice 2.4. : Cyclotron (bonus)
Un cyclotron est destiné à accélérer des protons. Il est constitué de deux dés
horizontaux soumis à une induction magnétique uniforme et verticale B. Le champ
magnétique donne aux protons une trajectoire curviligne. Entre les deux dés, à chacun de leur
passage, les protons sont accélérés par un ddp V.
5. Déduire des trois dernières questions l'expression du champ B
6. Traiter le cas du fil infini.
7. A l'aide de la loi de Laplace, déterminer l'expression de la force linéique qui s'exerce entre
deux fils rectilignes infiniment longs, distants de 1m et parcourus par un courant continu I.
Bx
E
x B
E
+
1. Sachant que l’induction a une valeur fixe B=1,5T et que le rayon max. de la trajectoire est
de 0,6m, calculer la vitesse angulaire des protons dans le cyclotron et l’énergie en [eV] des
protons lorsque leur orbite correspond à R=0,6m. On note la vitesse angulaire Ω[rad/s], la
vitesse linéaire v[m/s], le rayon de courbure R[m] et leur relation Ω=v/R.
2. La ddp appliquée V=10kV. Calculer le nombre de tours fait par les protons dans le
cyclotron avant d’atteindre l’orbite de rayon R=0,6m. En déduire le temps passé dans le
cylotron par ces protons (on négligera le temps passé dans l’espace inter-électrode. La masse
d’un proton m=1,6.10-27kg.
Exercice 2.5. : Champ magnétique et force de Laplace: fil parcouru par 1A (bonus)
8. L’ampère est l’intensité d’un courant continu qui, maintenu dans deux fils distants de un
mètre, produit entre eux une force linéique de 2.10-7 [N/m]. Montrer que cette définition
conduit à poser µ0 = 4 π10-7 [H/m].
TD Electromagnétisme
(S2 2014)
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TD Electromagnétisme
(S2 2014)
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TD 3. : Forces, induction et onde électromagnétique (4h00)
1. Identifier sur le schéma le nombre de spires au primaire N1 et au secondaire N2.
Exercice 3.1. : Induction d'une ligne haute tension (1h00)
2. Dessiner le circuit magnétique équivalent de la pince.
Une ligne haute tension transporte un courant sinusoïdal de fréquence 50Hz et de
valeur efficace I=1kA. On approche suivant un plan appartenant à l'une des lignes et à une
distance d=30cm, une bobine carrée plate de coté a=2cm et comportant N spires. Cette bobine
d'inductance et de résistance négligeables, est fermée sur une ampoule qui s'éclaire si la
tension efficace à ses bornes est supérieure à 1,5V. On souhaite déterminer le nombre de
spires nécessaires pour que la lampe s'allume…
3. En déduire l’expression de i2=f(i1,N1 et N2) en considérant la réluctance du circuit
magnétique nulle et calculer le rapport instantané i2/i1. Par quelle astuce peut-on augmenter
la sensibilité de mesure ?
B
4. Sur quelle loi fondamentale repose cette pince ?
5. Est-il possible de faire des mesures de courant continu avec un tel instrument ?
6. Serait-il possible de faire des mesures de courant continu si l’on remplaçait la bobine
secondaire par un capteur à effet Hall ?
I
7. Retrouver dans les conditions illustrées ci-dessous la valeur du courant I.
I
Circuit magnétique
Longueur moyenne
L=0,1[m]
µr=1000
Capteur à effet Hall
Mesure l’excitation H[A/m]
oθ
I
I
•
Ligne
d
r
•
θ oz
or
d
a
Cadre bobiné (N spires)
Uh=k.B=10[V]
k=100[V/T]
a
Ampoule (1,5V)
Pince ampèremétrique active
a
vue de côté
vue de face
1. Déterminer l'expression du champ B créé par une des lignes.
2. Déduire l'expression du flux magnétique embrassé par le cadre bobiné (N spires).
Exercice 3.3. : Induction et force électromagnétiques: principe d'un alternateur (1h00)
Une bobine plate de N spires de section S tourne avec une vitesse angulaire constante
ω dans une région de l'espace où règne un champ magnétique Bext homogène uniforme et
normal à l'axe de rotation. Le champ créé par la bobine de résistance R est négligeable devant
Bext.
3. Déduire l'expression de la fém efficace susceptible d'apparaître dans le cadre bobiné.
4. Exprimer enfin le nombre de spires nécessaires à l'allumage de l'ampoule.
B
ω
B
Exercice 3.2. : Pinces ampère métrique : passive et active (0h30)
i
I1
I
N2
fém
I2
(secondaire)
1. Exprimer le flux embrassé par les N spires Ф=f(N,S,B, ω,t).
Mâchoires ferromagnétiques
Fil dont on veut mesurer le courant (primaire)
2. Déduire la fém induite par le mouvement de la bobine et calculer sa valeur max sachant que
N=300 spires, S=20cm2, ω=100rad/s et Bext=0.2T.
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3. Déduire le courant induit dans la bobine et calculer sa valeur max sachant que R=1Ω.
TD Electromagnétisme
Segment
conducteur
Electrode de mesure
4. Déterminer le moment C suivant l'axe oz qu'il faut exercer pour maintenir la rotation et
calculer sa valeur max.
Exercice 3.4. : Capteur de proximité à reluctance variable (0h30)
le
Φ
lf
µrf
I=f(R)
l
(S2 2014)
v
B
Segment
conducteur
S
•
B •
20/21
v
Electrode de mesure
Electrode de mesure
B
Vue de côté
Vue de dessus
1. Exprimer et représenter la force électro motrice induite e (f.é.m.) sur le segment conducteur
(on négligera le courant induit aux travers des électrodes). On pourra utiliser la notion de flux
coupé ou bien l’expression intégrale de la f.é.m. (cf. cours).
S
∆x
1. Représenter ce circuit magnétique à l’aide d’un schéma équivalent d’Opkinson. lf
représente la longueur moyenne des lignes de forces sur tout le circuit de perméabilité µrf et
de section S et le , la longueur moyenne sur un entrefer de même section S.
2. En déduire l’expression de l’inductance totale. Pour ce faire, on rappel que L=N2/R.
L’inductance devant être sensible qu’à la variation de l’entrefer on choisira le>>lf/µrf,
ce qui implique que L=µ 0.N2S/(2.le)…
3. Exprimer dans ces conditions l’inductance L+∆L correspondant à une variation ∆x d’un
entrefer.
2. Déduire de ce résultat le fonctionnement d’un débitmètre à fluide conducteur ainsi que la
sensibilité de ce débitmètre volumique en précisant les dimensions.
Nb : En pratique le champ (10-3 à 10-2T) est alternatif (30Hz) afin d’éviter tout
phénomène de polarisation d’électrode (accumulation de charge à l’interface liquide/isolant)
qui aurait pour effet de bloquer l’induction par une force électrostatique inverse. La buse est
en matériaux amagnétique et isolant afin que le champ pénètre bien dans le fluide et que la
tension induite soit mesurable à l’endroit des électrodes implantées. La tension induite est de
l’ordre du mV ce qui est faible et nécessite une « détection synchrone » (méthode d’extraction
d’un signal dont on connaît la fréquence au milieu d’un signal bruité, nous verrons cette
méthode en détail en fin cours de Capteurs & Conditionneurs). La conductivité mini du fluide
doit être de l’ordre du µS/cm afin que la résistance du fluide soit << devant la résistance du
voltmètre et pour limiter la constante de temps RC (C étant principalement due aux câbles de
liaisons). Exemple de débit mesurable pour un diamètre 10mm : de 0,28 à 2,8 m3/h.
4. En déduire l’expression de ∆L correspondant.
Exercice 3.6. : Energie d'un champ d'induction magnétique: cas du tore (bonus)
5. On rappel que le DL à l’ordre 1 au v0 de ax/(1+ax)=ax. Que devient alors ∆L lorsque
∆x<<le ?
6. Quelle est la sensibilité de ce capteur ?
Exercice 3.5. : Débitmètre électromagnétique (sur fluide conducteur) (1h00)
Soit une bobine torique circulaire comportant N spires alimentées par un courant I. On
désigne par R le rayon moyen du tore, par r le rayon de la section circulaire S (avec r<<R
pour que le champ B soit le même en tous points à l'intérieur de la bobine).
z
U
r
I
y
R
F
-+
F
1. Donner l'expression du champ créé en tout point de l’espace. On notera que le résultat est
valable pour toute bobine torique, indépendamment de la forme de sa section (circulaire,
carrée...).
2. Donner l'expression du flux magnétique vu par les bobines du tore.
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3. Donner l'expression de l'inductance du tore et calculer L sachant que N=1000spires ;
R=12.7 cm ; S =36 cm².
4. Donner l'expression de l'énergie magnétique maximum stockée dans le tore (ie. en tout
point ou règne un champ magnétique) sachant que le courant I=I0.cos(ωt) et calculer Epmax
sachant que N=1000spires ; R=12.7 cm ; S =36 cm², I0=0.5A:
Exercice 3.7. : Plaque à induction: courants de Foucault (bonus)
Soit un disque mince, conducteur, d'axe oz de rayon b et d'épaisseur e. Sa région
centrale de rayon a est plongé dans un champ magnétique uniforme B=Bm.co(ωt) orienté
suivant oz et nul en dehors de cette région. On néglige le champ induit B créé par le courant
induit.
B
oz
oy
ox
a
b
1. Dessiner la forme des lignes de courant.
2. Calculer le vecteur densité de courant j en tout point du disque. Pour cela procéder par
étape: exprimer le flux vu par une boucle de courant, puis exprimer la fém à l'aide de la loi de
Faraday, puis exprimer le résistance R d'une boucle en fonction de la conductivité de r et de e,
puis exprimer le courant élémentaire di,…
3. Déterminer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le disque; Faire le calcul
pour un disque de cuivre avec une conductivité γ=6.107S/m, e=2mm, a=2cm (a=b), Bm=0,1T
et f=50Hz.

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