TD-SP9 - s.o.s.Ryko

TD : Oscillateurs amortis / circuits du 2nd ordre
esolution num´
erique
SP9-Q1 R´
Extrait du programme : « À l’aide d’un outil de résolution numérique, mettre en évidence le
rôle du facteur de qualité pour l’étude de la résonance en élongation ».
ecr´
ement logarithmique et coefficient de frottement fluide
SP9-E1 D´
Une masse m est attachée à un ressort de raideur k = 10 N.m−1 et
de longueur à vide l0 = 10 cm fixé
au point O.
En plus de son poids et de la force
élastique du ressort, la masse est
soumise à une force de frottement
→
−
→
fluide F = −h−
v.
Un capteur fournit l’évolution de l’abscisse u(t) de la masse par rapport à sa position d’équilibre
au cours du temps.
1) Établir l’équation d’évolution de l’abscisse z(t) de la masse. Quelle est la position d’équilibre ?
En déduire une équation satisfaite par u(t) = z(t) − zéq .
2) Exprimer la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q en fonction des données du
problème.
2π
et
3) Résoudre l’équation différentielle. Exprimer la pseudo-période T en fonction de T0 =
ω0
de Q.
u(t)
4) Montrer que le décrément logarithmique δ défini par δ = ln
est indépendant du
u(t + T )
temps et l’exprimer en fonction du facteur de qualité.
5) En utilisant les positions de la masse à chaque passage au maximum, comparer les données
expérimentales à la modélisation précédente.
6) Commenter les résultats obtenus.
7) Estimer à l’aide des données expérimentales le facteur de qualité Q et la pseudo-pulsation ω.
8) En déduire la valeur m de la masse et le coefficient h de frottement fluide.
SP9-E2
Portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti
On considère le portrait de phase d’un oscillateur
amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à
une force de rappel élastique (ressort de raideur k)
→
→
et à une force de frottement fluide −λ−
v (−
v étant la
vitesse de la masse m et x est l’écart à la position
d’équilibre). – L’étude est réalisée dans le référentiel
du laboratoire, supposé galiléen.
1) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.
2) Déterminer par lecture graphique :
◦ la valeur initiale de la position x0 ;
◦ la valeur finale de la position xf ;
◦ la pseudo-période Ta ;
◦ le décrément logarithmique.
3) En déduire le facteur de qualité Q de l’oscillateur, sa période propre ω0 , la raideur k du ressort
et le cœfficient de frottement fluide λ. Applications numériques pour ces quatre grandeurs.
Rép : 2) δ = ln
Q=
r
x(t)
: choisir la date t qui permet de déterminer à la fois x(t) et x(t + Ta ), δ ≃ 0, 628 ; 3)
x(t + Ta )
π2
1
+ ; k s’exprime en fonction de m et de ω0 ; λ s’exprime en fonction de m, ω0 et de Q.
δ2
4
PTSI | Exercices – Oscillateurs amortis et circuits lin´eaires du second ordre
2014-2015
SP9-E3
Oscillateur amorti
On considère un oscillateur harmonique amorti de pulsation propre ω0 = 100 rad.s−1 et de
facteur de qualité Q = 10 ; la masse m = 100 g de cet oscillateur est lâchée avec un écart à la
position d’équilibre de x0 = 10 cm sans vitesse initiale.
1) Calculer : a) la pseudo-période ; b) le décrément logarithmique ; c) l’amplitude des oscillations au bout de 2, 5 et 10 pseudo-périodes ; d) l’énergie mécanique initiale ; e) l’énergie
mécanique au bout de 2, 5 et 10 pseudo-périodes.
2) Déterminer le nombre de pseudo-périodes au bout desquelles l’amplitude des oscillations est
divisées par 17.
Rép : 1.a) T ≃ 62, 9 ms ; 1.b) δ ≃ 0, 314 ; 1.c) x2 ≃ 5, 34 cm, x5 ≃ 2, 08 cm, x10 ≃ 0, 43 cm ; 1.d)
Em (t = 0) = 5 J ; 1.e) Em (t = 2T ) ≃ 1, 42 J, Em (t = 5T ) ≃ 0, 22 J, Em (t = 10T ) ≃ 0, 01 J ; 2) n = 9.
SP9-E4 Portrait de phase
1) Le portrait de phase ci-contre est celui de la tension uC
aux bornes du condensateur de capacité C d’un circuit RLC
série.
De quel type de régime s’agit-il ? Représenter l’allure de uC (t)
et la forme de e(t), la force électromotrice qui alimente le circuit.
2) Quel est l’ordre de grandeur du facteur de qualité Q du
circuit ?
Calculer précisément ce facteur de qualité sachant que le circuit est constitué de C = 33 nF , L = 560 mH et R = 3 kΩ.
egime transitoire ap´
eriodique (*)
SP9-E5 R´
À t = 0− , les condensateurs sont déchargés. On ferme alors
l’interrupteur K.
1) Établir l’équation différentielle en i1 .
di1 +
2) Déterminer les conditions initiales i1 (0+ ) et
(0 ).
dt
3) Exprimer i1 (t).
Rép : 1) i1 vérifie l’équation canonique d’ordre 2 avec ω0 =
3) i1 (t) =
E
C
A
i1
R
i
i2
C
R
K
B
1
E
di1 +
2E
1
et Q = ; 2) i1 (0+ ) =
et
(0 ) = −
;
2
RC
3
R
dt
CR
√
√
E
1
3t
5
5
t − √ .sh
t exp −
ch
R
2RC
2RC
2RC
5
eels en s´
erie (*)
SP9-E6 Bobine et condensateur r´
Le montage ci-contre modélise une bobine réelle (L, R)
en série avec un condensateur réel (C, R) initialement déchargé. On ferme l’interrupteur K à la date t = 0
L
On impose la relation suivante : τ =
= RC.
R
−
−
Initialement : i(0 ) = 0 et u(0 ) = 0.
C
R
L
i
u
E
R
K
du +
(0 )
dt
2) Établir l’équation différentielle régissant u(t) — tension aux bornes du condensateur lorsque
le circuit est branché, à t = 0, sur un générateur de tension E — sous la forme :
1) Déterminer
2
E
d2 u 2 du
+
+ 2u = 2
dt2
τ dt
τ
τ
3) Déterminer u(t) pour t ≥ 0.
4) Déterminer i(t), intensité circulant dans la bobine. Représentation graphique de i(t).
2
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jpqadri@gmail.com
Exercices – Oscillateurs amortis et circuits lin´eaires du second ordre | PTSI
2014-2015
5) Peut-on prévoir le régime permanent sans calcul ? Si oui, déterminer U , tension aux bornes
du condensateur, et I, courant dans la bobine, en régime permanent.
6) Déterminer le facteur de qualité Q de ce circuit. vérifier que sa valeur est en accord avec la
nature du régime transitoire.
du
. Conclure ; 3) u(t) =
dt
E
E
t
t
t
t
E
t
t
−
cos + sin
exp −
; 4) i(t) =
1 + − cos + sin
exp −
; 5) Faire un schéma
2
2
τ
τ
τ
2R
τ
τ
τ
E
1
E
1
et U =
; 6) Q = √ > ,
équivalent du montage lorsque le régime permanent continu est atteint : I =
2R
2
2
2
donc régime transitoire pseudo-périodique.
Rép : 1) Exprimer u = uC , u = uR et la loi des nœuds en fonction de i, u et
SP9-E7
ele
Circuit RLC parall`
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par i en fonction de :
1
ω0 = √LC
et Q0 = RCω0 .
1
.
2) On pose λ =
2Q0
Déterminer i(t) sachant que i(t = 0) = i0 6= 0 et u(t = 0) = 0.
On distinguera trois cas : a) λ = 1, b) λ > 1 et c) λ < 1.
3) Une fois le régime établi, on branche en parallèle un générateur de Thévenin, de f.é.m. E
constante et de résistance interne r. Pour t < 0 le condensateur est donc déchargé et la bobine
idéale n’est parcourue par aucun courant.
Déterminer par un raisonnement direct les valeurs initiale (en 0+ ) et asymptotiques (t → +∞)
de la tension u et des intensités dans les quatre branches.
4) Établir l’équation différentielle vérifiée par iR intensité traversant la résistance R en posant :
Rr
RrCω0
1
=
et
Q=
ω0 = √
R+r
(R + r)Lω0
LC
5) Donner la relation entre R, r, L et C pour qe le régime soit de type pseudopériodique et
exprimer iR dans ce cas.
R
ω0 di
1
d2 i
et Q = RCω0 =
+
+ ω02 i = 0 avec ω0 = √
;
dt2
Q dt
Lω0
LC
√
i0
2.a) λ > 1 : i(t) =
−r2 er1 t + r1 er2 t avec r1/2 = −λω0 ∓ ω0 λ2 − 1 ; 2.b) λ = 0 : i(t) = i0 (1 +
r1 − r2
√
t
1
sin ωt
) exp −
et ω = ω0 1 − λ2 .
avec τ =
λω0 t)e−λω0 t ; 2.c) λ < 1 : i(t) = i0 (cos ωt +
τω
τ
λω0
Rép : 1)
SP9-E8
Amortissement critique d’un oscillateur
Un système de suspension de véhicule est décrit par une grandeur vibratoire x(t) dont l’évolution est régie par une équation du second
ordre.
Phase de simulation : Lors de la phase de simulation réalisée en l’absence d’amortisseur, la trajectoire de phase est une ellipse qui passe par
les points P0 (x0 , 0) et P1 (0, vl ), dans le plan de phase de coordonnées
(x, x).
˙
1) Quel est ce comportement ?
2) Déterminer la pulsation ω0 en fonction des seules valeurs x0 et v1 , puis la loi horaire x(t).
3) S’il s’agit d’un oscillateur mécanique de masse m et d’élongation x(t), quelle loi de force
→
−
f (x) est en jeu ?
Réglage de l’amortissement : Les concepteurs choisissent d’installer un amortisseur, qui met
en jeu un frottement visqueux, ajusté de manière telle que : x
¨ + 2ω0 x˙ + ω02 x = 0
4) Partant des conditions initiales x(0) = x0 et z0 = 0, quelles sont les lois d’évolution x(t) et
x(t)
˙ ?
5) En déduire la trajectoire de phase correspondante, dont on précisera le point extremum en
vitesse.
6) Quelles raisons ont conduit les concepteurs à choisir ce type de régime ?
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3

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