Première S / Trigonométrie et repérage polaire

Première S / Trigonométrie et repérage polaire
A. Rappels :
Exercice 6038
C
On considère le triangle ABC
rectangle en B représenté cidessous :
’
α = CAB
9c
o
60
α
2. En déduire la mesure de
’ arrondie au
l’angle CDB
degré près.
D
A
’
; β = ABC
β
α
A
B
’ et CBA
’ sont deux angles
1. Justifier que les angles CAB
complémentaires.
m
8,
1. Déterminer la longueur
du segment [BC] arrondie au millimètre près.
C
On considère un triangle
ABC rectangle en C. On
note :
4 cm
2.
a. A l’aide des longueurs des côtés du triangle ABC,
exprimer les valeurs de cos α et sin β.
(π
)
b. En déduire l’égalité : cos α = sin
−α
2
3.
a. A l’aide des longueurs des côtés du triangle ABC,
exprimer les valeurs de tan α et tan β
(π
)
1
b. En déduire l’égalité : tan
−α =
2
tan α
B
Exercice 2182
4. Etablir l’égalité :
(
)2 (
)2
cos α + sin α = 1
B. Radians :
cutifs de chacun de ces polygones :
Exercice 2721
a. A
Ci-dessous sont [représentées
deux droites graduées représen]
tant l’intervalle 0 ; 2π . Compléter la graduation du bas (représentant une mesure d’angle en radian), puis compléter les
valeurs du haut représentant la conversion correspondante en
degré :
A
b.
A
c.
B
IB
O
I
O
I
O
120 o
C
B
D
C
d. B
e.
A
1.
B
f.
A
B
C
A
C
0
π
2
π
2π
C
I
O
ID
O
I
O
135 o
D
D
g. C
2.
E
B
h.
A
0
π
2
π
2π
E
F
E
C
B
i. D
C
B
A
D
A
D
E
IE
O
I
O
Exercice 2188
H
F
K
J
F
G
I
O
F
E
On a représenté ci-dessous les neufs premiers polygones réguliers inscrit dans le cercle trigonométrique. Donner la mesure,
en radians, de l’angle au centre séparant deux sommets consé-
G
F
G
G
H
H
Sauriez-vous les nommer ?
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J
D. Angles orientés :
Exercice 810
Dans
le
plan
muni
J
d’un repère orthonomal
C
M
(O ; I ; J), on considère
le cercle de centre O et
de rayon 1 appelé cercle
+
π
trigonométrique.
+ 3
Tout point M définit un
I
O
− π
’.
angle géométrique IOM
3
Le sens de parcours du
−
cercle trigonométrique permet de caractériser tout
point du cercle par son
M′
angle géométrique :
˜ est orienté dans le sens
l’angle est positif si l’arc IM
inverse des aiguilles d’une montre.
˜ est orienté dans le sens des
l’angle est négatif si l’arc IM
aiguilles d’une montre.
Dans la représentation
ci-dessus
:
Å
ã
−→ −−→
π
On a :
OI ; OM = + rad
3
( π)
Dans le cercle trigonométrique, on note M +
.
3
Å
ã
−→ −−−→′
π
On a :
OI ; OM = − rad
3
( π)
Dans le cercle trigonométrique, on note M ′ −
.
3
1. Dans la figure
ci-dessous, rajouter le signe
permettant de
repérer chaque
point
marqué
du cercle trigonométrique :
3π
4
2π
3
J
L
O
I
π
6
2π
3
π
4
K
M
I
M′
N
J′
′
P′
1. Donner la mesure des angles repérant les points M , N ,
P en radians.
2. Les points M ′ , N ′ , P ′ sont respectivements les symétriques des points M , N , P par rapport à l’axe (OI) :
ã
Å
ã Å
−→ −−→
−→ −−−→
a. Que peut-on dire de OI ; OM et OI ; OM ′ ?
b. Donner
la mesure
enÅ radians des
Å
ã
ã angles
Å suivants
ã:
−→ −−−→′
−→ −−→′
−→ −−→′
OI ; OM
;
OI ; ON
;
OI ; OP
a. Quelle
vérifie
Å relation
ã algébrique
Å
ã les deux angles :
−→ −−→
−→ −−−→
OI ; OM
;
OI ; OM ′′′
b. Donner
la mesure
Å
ã en Åradians desãanglesÅ suivants :ã
−→ −−−→
−→ −−−→
−→ −−→
′′′
OI ; OM
;
OI ; ON ′′
;
OI ; OP ′′
π
3
Exercice 5465
2. Dans le cercle trigonométrique ci-dessus, placer sur cette
figure les points M , N , P , Q, R, S réalisant les mesures
suivantes :
Å
ã
Å
ã
−→ −−→
−→ −−→
π
5π
a. OI ; ON = − rad
b. OI ; OP =
rad
4
6
Å
ã
Å
ã
−→ −−→
−−→ −−→
2π
π
c. OI ; OQ = −
d. OK ; OR = − rad
rad
3
4
Å
ã
Å
ã
−−→ −→
−→ −→
π
π
e. OK ; OS = rad
f.
OJ ; OT = − rad
6
4
Exercice 5464
N
4. Les points M ′′′ , N ′′′ et P ′′′ sont respectivements les symétriques des points M , N , P par rapport à l’axe (OJ) :
π
6
3π
4
P
b. Donner
la mesure
:
Å
ã enÅradians des
ã angles
Å suivants ã
−
−
−
→
−
−
→
−→ −−−→
−
→
−
→
OI ; OM ′′
;
OI ; ON ′′
;
OI ; OP ′′
π
4
5π
6
J
3. Les points M ′′ , N ′′ et P ′′ sont respectivements les symétriques des points M , N , P par rapport à l’axe (OJ) :
Å
ã Å
ã
−→ −−→
−→ −−−→
a. Que peut-on dire de OI ; OM et OI ; OM ′′ ?
π
3
5π
6
Dans (le plan muni
d’un reP ′′
)
N ′′
père O ; I ; J , on considère le cercle trigonomé- M ′′
trique représenté ci-dessous
sur lequel est placé plusieurs
points :
I′
Les points M , N , P vérifient
les mesures suivantes :
′′′
’ = 30o ; ION
’ = 45o M
IOM
N ′′′
‘ = 60o
IOP
P ′′′
On considère le quadrilatère ABCD représenté cidessous qui est constitué
de deux triangles ABC et
ACD respectivement équila- D
téral et isocèle rectangle en
D.
C
I
B
A
A l’aide des points de cette figure et pour chaque question,
donner un angle orienté réalisant les mesures suivantes :
π
π
π
7π
rad
rad
a.
b. − rad
c. − rad
d.
3
4
6
12
E. Angles associés :
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dans le cercle C .
Exercice 2179
On considère( le cercle) trigonométrique C dans le plan muni
d’un repère O ; I ; J
1.
a. Déterminer les coordonnées cartésienne du
point M .
b. Placer le point M ′ symétrique du point M
par la symétrie d’axe
(OJ). Donner les coordonnées cartésiennes
du point M ′ . Puis, donner l’angle repérant le
point M ′ dans le cercle
C.
J
N
M
π
3
O
π
6
I
1. Tracer un cercle trigonométrique et placer les points suivants dont le repérage par leur mesure principale :
( 2π )
( 3π )
( 5π )
a. A
b. B −
c. C
3
4
6
(π)
( π)
( π)
d. D
e. E −
f. F −
4
4
6
2. Préciser les valeurs du cosinus et du sinus associées à
chacun des angles repérant les points précédents.
Exercice 2153
c. Placer le point M ′′ symétrique du point M par la
symétrie d’axe (OI). Donner les coordonnées cartésiennes du point M ′′ . Puis, donner l’angle repérant le
point M ′′ dans le cercle C .
2.
Exercice 2871
a. Déterminer les coordonnées cartésienne du point N .
b. Placer le point N ′ symétrique du point N par la symétrie d’axe (OJ). Donner les coordonnées cartésiennes
du point N ′ . Puis, donner l’angle repérant le point N ′
dans le cercle C .
c. Placer le point N ′′ symétrique du point N par la symétrie d’axe (OI). Donner les coordonnées cartésiennes
du point N ′′ . Puis, donner l’angle repérant le point N ′′
J
On considère le cercle trigonométrique ci-dessous où est
inscrit un dodécagone (polygone régulier à 12 côtés)
A
1. DéterminerÅ la mesure
ã
−→ −→
de l’angle OI ; OA
2. Placer sur la figure cidessus les points M , N ,
P tels que :
Å
ã
−→ −−→
2π
a. OI ; OM =
rad
3
Å
ã
−→ −−→
π
c. OA ; OP = − rad
2
I
O
Å
ã
−→ −−→
π
b. OJ ; ON = − rad
6
Å
ã
−−→ −→
5π
c. OQ ; OJ =
rad
6
F. Angles associés et formule trigonométrique :
a. sin
Exercice 2235
1. Simplifier chacune des expressions suivantes :
( π)
(
)
a. cos x−π
b. sin x−
2
( π)
( π)
c. sin x+
d. cos x+
2
2
sin x
π
2. A l’aide de la relation : tan x=
, où x̸= +k·π, simcos x
2
plifier les expressions suivantes :
)
(π
(
)
−x
a. tan x+π
b. tan
2
Exercice 2230
1. Etablir l’égalité : cos
π
5π
+ cos
=0
6
6
2. Déterminer la valeur des coefficients α et β réalisant
l’égalité
:
( π ) suivante
( π)
8π
6π
π
π
2·cos − +3·cos −2·sin +sin − =α·cos +β·sin
7
7
7
7
7
7
Exercice 2304
1. Déterminer les valeurs exactes des expressions cidessous :
( 7π )
3
( 5π )
b. cos −
4
c. cos
( 5π )
6
2. Exprimer l’expression suivante à l’aide des rapports triπ
gonométriques de
:
5
4π
6π
3π
A = 2· cos
+ 3· sin
− 4· sin
5
5
10
Exercice 2244
1. On donne la
exacte ci-dessous :
√valeur
√
π
2+ 2
cos =
.
8
2
(
) (
)2
a. En utilisant la formule cos x + sin x =1, détermiπ
ner la valeur exacte de sin .
8
5π
b. En déduire la valeur exacte de cos
en justifiant
8
votre démarche.
√
π √
c. Etablir l’égalité : tan = 3 − 2 2 .
8
2. On considère l’expression suivante :
9π
5π
7π
A = cos
− 3· sin
+ 2· cos
8
8
8
Déterminer une écriture de l’expression de A en fonction
π
des rapports trigonométriques de l’angle .
8
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G. Mesures principales :
entier k réalisant cet encadrement.
Exercice 2738
On considère
( 20 la
) droite
(
points A
π ,B −
3
B
-5π -4π -3π -2π -π
1.
c. En déduire la mesure principale de l’angle α.
graduée ci-dessous
où sont placés les
( 43 )
17 )
et C
π .
5
8
C
A
0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π
a. Graphiquement, déterminer le nombre de fois dont
on doit enlever 2·π à l’abscisse du point A afin d’obtenir la mesure principale de ce nombre ?
20
b. En déduire la mesure principale de
.
3
2. De la même manière, déterminer la mesure principale des
angles suivants :
a. −
29
π
3
b. −
c.
70
π
9
Exercice 2799
1. Donner, sous forme de réunions d’intervalles, l’ensemble
formé par les mesures principales des angles repérant les
points surlignés du cercle trigonométrique :
J
J
a.
2. Déterminer la mesure principale des abscisses des points
B et C.
b.
Exercice 2201
O
Déterminer la mesure principale des angles orientés de mesure
suivante :
5π
9π
192π
a.
b.
c. −
4
6
4
33π
16π
52π
d. −
e.
f.
2
7
3
27
π
4
I
I
O
2. Pour chaque question, surligner l’ensemble des points
ayant pour angle orienté l’ensemble précisé sous le cercle
trigonométrique :
Exercice 2737
a.
1. On se propose, dans cette question, de déterminer la me73
sure principale de l’angle α =
π:
5
a. Soit k un entier relatif réalisant l’encadrement suivant :
73
−π <
π + 2·k·π ⩽ π
5
Réaliser un encadrement de k à l’aide de l’encadrement
ci-dessus.
J
b.
O
[ 13π 29π ]
;
3
6
b. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’unique nombre
I
J
O
I
[ π 8π ]
;
2 3
H. Angles oriéntés et algèbre :
Exercice 2233
On considère le carré ABCD.
Soit le point E extérieur au carré tel que BCE soit équilatéral.
Soit F le point intérieur au carré tel que le triangle ABF soit
équilatéral.
D
On souhaite montrer que les points D, F et E sont alignés.
1. a. Donner la mesure des deux angles orientés suivants :
Å
ã
Å
ã
−→ −−→
−−→ −−→
AF ; AD
;
DF ; DA
Å
ã
−−→ −−→
b. En déduire la mesure de l’angle orienté DC ; DF .
2.
C
F
Å
ã
−−→ −−→
a. Donner la mesure de l’angle orienté CD ; CE .
Å
ã
−−→ −−→
b. En déduire la mesure de l’angle orienté DC ; DE .
3. En déduire que les points D, F et E sont alignés.
E
Les questions suivantes ont pour objectif d’utiliser la relation
de Chasles.
A
B
4. Détermmminer la mesure des angles orientés :
Å
ã
Å
ã
−−→ −−→
−→ −−→
a. BE ; CF
b. AF ; CE
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I. Equations :
3. Résoudre dans
√ R, l’équation suivante :
3
cos x =
2
Exercice 5482
Dans (le plan )muni d’un repère O ; I ; J , on considère
le cercle trigonométrique représenté ci-dessous :
1.
√
3
2
√
2
2
Exercice 2624
1
2
√
-
2
2
√
2
2
a. Sur le cercle trigo√
√
1
1
3
- 23 - 2
2
nométrique, placer les
2
′
deux points M et M
- 12
√
ayant
pour
abscisse
√
- 22
√
3
2
- 2
.
−
2
b. Dans l’intervalle des mesures principales, résoudre
l’équation : √
2
cos x = −
2
2. Dans l’intervalle des mesures principales, résoudre les
équations suivantes :
√
1
1
3
a. sin x =
b. cos x =
c. sin x = −
2
2
2
Résoudre dans R les équations suivantes :
√
√
3
2
a. sin x =
b. cos x =
2
2
Exercice 2874
]
]
1. Résoudre dans l’ensemble − π ; π des mesures principales, les équations suivantes :
√
1
2
a. cos x =
b. sin x = −
2
2
√
3
1
c. sin x =
d. cos x = −
2
2
2. Résoudre dans R les équations suivantes :
√
√
3
2
a. cos x =
b. sin x = −
2
2
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