Alg`
ebre lin´
eaire 1
MP
∗
9 octobre 2014
Table des mati`
eres
1 G´
en´
eralit´
es
3
2 Somme de deux sous-espaces suppl´
ementaires
2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Suppl´ementaires, projections et sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Suppl´ementaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
7
3 Applications lin´
eaires, quelques notions fondamentales
3.1 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Autour du th´eor`eme du rang . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Conservation du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Le groupe GL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Noyaux it´er´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Quelques exercices suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . .
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8
8
10
13
13
14
15
17
4 Sommes directes de plusieurs sous-espaces
4.1 D´efinition des sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
22
23
5 Matrices
5.1 Changements de bases, matrices semblables . . .
5.2 Op´erations sur les lignes et les colonnes, m´ethode
5.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Matrices par blocs, produits . . . . . . . . . . . .
5.5 Calcul matriciel, exercices divers . . . . . . . . .
23
23
24
27
28
33
∗
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de Gauss
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polycopi´e AlgebreLin1.pdf, disponible en ligne a
` l’adresse www.mpcezanne.fr ou sur www.univenligne.fr
1
´ ements propres, r´
6 El´
eduction
6.1 Notions de valeur propre, de sous-espace propre . . . . .
6.2 R´eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Endomorphismes diagonalisables, trigonalisables
6.2.2 Un crit`ere de trigonalisation . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Sommes directes et sous-espaces propres . . . . .
6.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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34
34
35
35
36
39
40
7 Polynˆ
omes d’endomorphismes, commutant d’un endomorphisme
44
7.1 L’alg`ebre K[f ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Le th´eor`eme de Cayley Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3 Commutant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Exercices
51
9 Les br`
eves
59
10 Quelques corrig´
es
61
2
1
G´
en´
eralit´
es
Rappelons tout d’abord que si E est un K−espace vectoriel,
– une partie G de E est une partie g´
en´
eratrice de E ssi pour tout ´el´ement x de E, il
existe une
famille
finie
(b
)
d’´
e
l´
e
ments
de G et une famille (λi )i d’´el´ements de K telles
i i
P
que x =
λi bi ;
– une partie de E est une famille libre ssi pour toute sous famille finie (bi )i et toute
famille (λi )i d’´el´ements de E,
X
λi bi = 0E ⇒ ∀i, λi = 0;
– une partie de E est une base de E ssi c’est une partie `a la fois libre et g´en´eratrice ;
Exercice
1 bases et familles libres infinies
1. base canonique de K[X] : (X n )n∈N ;
2. une famille de polynˆ
omes de K[X], non nuls et de degr´es distincts, est libre ;
3. une famille de polynˆ
omes de K[X] de degr´es ´echelonn´es et d´ecrivant N (c’est `a dire
une famille (Pk (X))k∈N , avec ∀k ∈ N, deg(P (x)) = k) est une base de K[X] ;
4. donner une base de l’ensemble des suites finies d’´el´ements du corps K (on appelle
ainsi les suites d’´el´ements de K dont tous les termes sont nuls `a partir d’un certain
rang).
Exercice 2 endomorphismes en dimension infinie
On consid`ere ici E = R[X].
1. Soit T l’endomorphisme de E d´efini par
T (P (X)) = XP (X).
– image des vecteurs de la base canonique ?
– montrer que T est injectif, non surjectif.
2. Soit L l’endomorphisme de E d´efini par
L(P (X)) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X).
– image de la base canonique ?
– montrer que L induit un isomorphisme de X 2 Rn [X] sur Rn [X], pour tout entier
n ≥ 1.
– montrer que L est surjectif, non injectif.
3. Montrer que U : P (X) → P 0 (X) − P (X) est un automorphisme de E. Donner son
expression ainsi que celle de son inverse dans la base canonique.
3
2
Somme de deux sous-espaces suppl´
ementaires
2.1
G´
en´
eralit´
es
D´
efinition 1 Soient E un espace vectoriel sur le corps K, et F et G deux sous-espaces
vectoriels de E.
– On appelle somme de F et de G le sous-espace engendr´e par F ∪ G, et on le note :
F + G = V ect(F ∪ G)
– On dit qu’une somme de deux sous-espaces est directe lorsque F ∩ G = {0}; on note
alors
F ⊕ G = F + G = vect(F ∪ G)
– On dit enfin que F et G sont suppl´ementaires dans E ssi E = F ⊕ G ce qui revient `a
dire que :
F ∩ G = {0}
∀x ∈ E, ∃ (x1 , x2 ) ∈ F × G, x = x1 + x2
(2.1)
Th´
eor`
eme 1
Soit E un espace vectoriel sur le corps K, deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont
suppl´ementaires dans E, ssi
∀ (x1 , x2 ) ∈ F × G, ∀ (x01 , x02 ) ∈ F × G, x1 + x2 = x01 + x02 ⇒ x1 = x01 et x2 = x02
∀x ∈ E, ∃ (x1 , x2 ) ∈ F × G, x = x1 + x2
Exercice
3 exemples de suppl´
ementaires .
1. On n’oubliera pas que dans tous les cas E = {0} ⊕ E = E ⊕ {0}.
2. Soit A(X) ∈ K[X], un polynˆ
ome de degr´e n + 1. On note I(A) le sous-espace des
multiples de A. Alors K[X] = I(A) ⊕ Kn [X]
3. Soit H un hyperplan d’un espace vectoriel E, noyau de φ ∈ L(E, K), forme lin´eaire
non nulle. Montrer qu’il admet un suppl´ementaire dans E.
rappel : un hyperplan de E est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle.
4. Monter la r´eciproque : si H est un sev de E qui admet une droite vectorielle
suppl´ementaire, alors H est un hyperplan de E.
5. Soit f : E → F une application lin´eaire ; montrer que si dim Im(f) est finie, Ker(f)
admet un suppl´ementaire dans E;
4
Th´
eor`
eme 2 caract´erisation des hyperplans en dimension quelconque
Soit H un sev de E. H est un hyperplan de E (`a savoir est le noyau d’une forme lin´eaire
non nulle) si et seulement s’il existe une droite vectorielle D telle que E = H ⊕ D.
Exercice
4 d’apr`es Mines PSI
1. Soit E = F(R, R) l’espace des fonctions de R dans lui mˆeme. Donner un suppl´ementaire
du sev des fonctions paires. Exprimer les projections associ´ees `a votre d´ecomposition.
2. Soit E = C ∞ (R, R) l’espace des fonctions de classe C ∞ de R dans lui-mˆeme.
On note F l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle y” + y 0 + y = 0.
(a) D´emontrer que F est un sev de E. Donner une base (f1 , f2 ) de F.
(b) D´eterminer une matrice A ∈ M2 (R) telle que, pour tout ´el´ement f ∈ F, le
vecteur
α
f (0)
=A 0
f (0)
β
soit le vecteur des coordonn´ees de f dans la base (f1 , f2 ).
(c) Montrer que le sev G des fonctions de E telles que g(0) = g 0 (0) = 0 est un
suppl´ementaire de F dans E.
2.2
Suppl´
ementaires, projections et sym´
etries
D´
efinition 2
Soit E un espace vectoriel et F, G deux sev suppl´ementaires dans E : F ⊕ G = E.
• On d´efinit la projection sur F parall`element `a G de la fa¸con suivante :
si x ∈ E se d´ecompose en x = x1 + x2 o`
u (x1 , x2 ) ∈ F × G, alors
p(x) = p(x1 + x2 ) = x1 .
• On d´efinit la sym´etrie par rapport `
a F parall`element `a G de la fa¸con suivante :
si x ∈ E se d´ecompose en x = x1 + x2 o`
u (x1 , x2 ) ∈ F × G, alors
σ(x) = σ(x1 + x2 ) = x1 − x2 .
Th´
eor`
eme 3 propri´et´es
Soit E un espace vectoriel et F, G tels que F ⊕ G = E.
• projections
– La projection p sur F parall`element `a G est une application lin´eaire ;
– F = Im(p)=Ker(p − idE ) et G = Ker(p)
– p◦p=p
• sym´etries
– La sym´etrie σ par rapport `
a F parall`element `a G est une application lin´eaire ;
5
–
–
•
–
–
–
F = Ker(σ − idE ) et G = Ker(σ + idE )
σ ◦ σ = idE
projections et sym´etries
q = idE − p est la projection sur G parall`element `a F ;
σ = 2p − idE ;
−σ est la sym´etrie par rapport `
a G parall`element `a F.
Th´
eor`
eme 4 caract´erisation des projecteurs et sym´etries parmi les applications lin´eaires
Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
• f est idempotent (ie : f ◦ f = f ) si et seulement si f est une projection ;
Dans ce cas
– Im(f ) et Ker(f ) sont suppl´ementaires et f est la projection sur Im(f ) parall`element `a
Ker(f )
– Les sev propres de f sont Im(f )=Ker(f − idE ) et Ker(f )
• f est involutive (ie : f ◦ f = idE ) si et seulement si f est une sym´etrie ;
Dans ce cas :
– Ker(f − idE ) et Ker(f + idE ) sont suppl´ementaires et f est la sym´etrie sur Ker(f − idE )
parall`element `
a Ker(f + idE )
– Les sev propres de f sont Ker(f − idE ) et Ker(f + idE )
Exercice
5 suppl´ementaires, sym´etries et projections
1. On consid`ere dans l’espace E = Mn (K) des matrices carr´ees `a coefficients dans K
les sev Sn (K) et An (K) des matrices sym´etriques et anti-sym´etriques.
D´emontrer que ces deux sev sont suppl´ementaires. D´eterminer leurs dimensions (on
fera apparaˆıtre une base de Sn (K) par exemple, `a partir de la d´ecomposition d’une
matrice sym´etrique quelconque dans la base canonique de Mn (K)).
2. On consid`ere dans l’espace E des fonctions de K dans K les sous espaces P et I des
fonctions paires et impaires. D´emontrer que E = P ⊕ I.
Exercice 6
Caract´eriser g´eom´etriquement les endomorphismes de Rn dont des matrices suivent :


1 1 1
1. f tel que M(f, B) = 1 1 1 .
1 1 1


1/2 1/2 0
2. g tel que M(g, B) = 1/2 1/2 0 .
0
0 1
Expliciter une matrice P telle que P −1 M P soit diagonale.
6
2.3
Suppl´
ementaires en dimension finie
R`egle du jeu : on red´emontre dans l’ordre les r´esultats suivant en prenant comme seuls
acquis les notions de partie libre, base et dimension. On est clairement en dimension finie.
Lemme 5
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
• si (a1 , ..., ap , ap+1 , ...ap+q ) est une famille libre de E, les sous-espaces F = vect(a1 , ..., ap )
et G = vect(ap+1 , ...ap+q ) sont en somme directe dans E.
• si (a1 , ..., ap , ap+1 , ...ap+q ) est une partie g´en´eratrice de E, la somme des sous-espaces
F = vect(a1 , ..., ap ) et G = vect(ap+1 , ...ap+q ) est ´egale `a E.
• si (a1 , ..., ap , ap+1 , ...ap+q ) est une base de E, les sous-espaces F = vect(a1 , ..., ap ) et
G = vect(ap+1 , ...ap+q ) sont suppl´ementaires dans E.
Th´
eor`
eme 6 suppl´ementaires et bases
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sev de E non r´eduits `a {0}.
– S’il existe une base de F et une base de G dont la r´eunion (ou la concat´en´ee) est une
base de E alors E = F ⊕ G.
– R´eciproquement, si E = F ⊕ G, alors la r´eunion (ou la concat´enation) d’une base
quelconque de F et d’une base quelconque de G est une base de E.
Th´
eor`
eme 7 caract´erisations des suppl´ementaires en dimension finie
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces de E, les
propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
– F et G sont suppl´ementaires
– dimF + dimG = dimE et F ∩ G = {0}.
D´
efinition 3 On dit qu’une base (ai )i de E est adapt´
ee `a la d´ecomposition E = F ⊕G,
lorsque (ai )1≤i≤p est une base de F et (aj )p+1≤j≤p+q est une base de G.
Th´
eor`
eme 8
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces de E,
dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G)
7
Exercice
7
1. On se place dans K4 . Montrer que les sev
F = vect([t (1, 1, 1, 1),t [1, 0, 2, 0]) et G = vect(t ([1, 2, 3, 4],t [1, −1, 1, −1]
sont suppl´ementaires. Expliciter la matrice de la projection de E sur F parall`element
`a G dans la base canonique.
2. On se place dans K5 . Donner un suppl´ementaire de
F = vect(t [1, 2, 0, 1, 3],t [−1, 1, 2, 1, 1],t [1, 0, −1, 1, 0]).
Exercice 8 suppl´ementaire commun `
a deux sev
On consid`ere un espace vectoriel E de dimension finie, et V1 , V2 deux sev de E.
1. Dans quel cas V1 ∪ V2 est il un sev de E?
2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que V1 et V2 admettent un
suppl´ementaire commun.
Th´
eor`
eme 9 existence de suppl´ementaires en dimension finie
– Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K. Tout sous-espace vectoriel
F de E admet au moins un suppl´ementaire.
– Soit E un espace vectoriel euclidien (`a savoir un espace de dimension finie sur R,
sur lequel est d´efini un produit scalaire). Pour tout sous-espace vectoriel F de E, le
sous-espace ⊥ F est un suppl´ementaire de F.
3
3.1
Applications lin´
eaires, quelques notions fondamentales
Stabilit´
e
D´
efinition 4 Soit E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E, et F un sous-espace
de E. On dit que F est stable par f ssi f (F ) ⊂ F.
Exemples (`
a reprendre ´
eventuellement apr`
es avoir vu les d´
efinitions des sev
propres)
– E lui-mˆeme et {0} sont stables par tous les endomorphismes de E;
– une droite vectorielle D est stable par f ssi il exsite λ ∈ K tel que pour tout x ∈ D,
f (x) = λx;
– une droite est stable par f ssi elle est contenue dans un sev propre de f ;
– l’image, le noyau et les sous-espaces propres de f sont stables par f.
– si p est une projection
sa matrice dans une base adapt´ee `a Im(p) ⊕ Ker(p) est de la
Ip Op,q
forme :
, sa trace est la dimension de Inv(p) = Im(p);
Oq,p Oq
– si s est une sym´
dans une base adapt´ee `a Ker(p − 1) ⊕ Ker(p + 1) est
etrie, sa matrice
Ip Op,q
de la forme :
Oq,p −Iq
8
– si s est une affinit´
e diff´erente de IdE , sa matrice dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition
E = Ker(s − 1) ⊕ Ker(s + k)
Ip
Op,q
Oq,p −kIq
– endomorphismes orthogonaux : si f ∈ O(E), alors ses valeurs propres sont dans {1, −1}
et les sous espaces Ker(f ± idE ) ,⊥Ker(f ± idE ) sont stables par f ;
est de la forme :
Exercice 9 premi`ere rencontre avec la stabilit´e
On consid`ere ici un espace E et deux de ses sous-espaces F et G tels que E = F ⊕ G.
On note p la projection sur F parall`element `a G et q = idE − p. On suppose F et G non
triviaux.
Pour (α, β) ∈ K2 , on pose f = αp + βq
1. Lorsque E est de dimension finie, donner la matrice de f dans une base adapt´ee `a
la d´ecomposition E = F ⊕ G. Donner des exemples et des contre-exemples de sousespaces stables par f. Par exemple, si F = vect(a1 , ..., ap ) et G = vect(b1 , ..., bq ),
consid´erer les sev V = vect(a1 , b1 ), V = vect(a1 + b1 ), V = vect(a1 , a2 , b1 )...
2. Caract´eriser les sous espaces V stables par f (ie tels que f (V ) ⊂ V ); on commencera
par prouver que si F1 est un sev de F et G1 un sev de G, alors V = F1 ⊕ G1 est
stable par f.
Pour la r´eciproque, on sera amen´e `a discuter selon α et β.
3. En d´eduire les sous-espaces que laisse stables une sym´etrie de E.
Corrig´
e 3.1 de l’exercice 9. f = αp + βq
1. Explorations faciles ( ?)
2. • Soient F1 un sev de F et G1 un sev de G, V = F1 ⊕ G1 est stable par f, puisqu’un
´el´ement de F ⊕ G s’´ecrit v = vF + vG et que l’on a
f (v) = αvF + βvG ∈ F ⊕ G.
• R´
eciproque :
- Lorsque α = β f = α(p + q) = αidE et tout sev est stable par f (car f (V ) = V ).
- Supposons α 6= β et supposons V stable part f.
Un ´el´ement quelconque de V est de la forme v = vF + vG (notations suppos´ees
´evidentes) ce qui ne signifie pas, attention, que vF ∈ V ni que vG ∈ V ).
(
v
= vF + vG ∈ V
Nous avons alors
ce qui entraˆıne que f (v) − αv = (β −
f (v) = αvF + βvG ∈ V
α) vG ∈ V.
De cela on d´eduit que vG ∈ V et de la mˆeme fa¸con on aura vF ∈ V.
Cons´equence qu’on laisse v´erifier, V = V ∩ F ⊕ V ∩ G.
9
3.2
Autour du th´
eor`
eme du rang
Th´
eor`
eme 10 suppl´ementaires du noyau
On consid`ere deux espaces vectoriels E et F et f ∈ L(E, F ). Si V est un suppl´ementaire
de Ker(f ) dans E, la restriction de f a` V, d´efinie par
f|V : x ∈ V → f|V (x) = f (x) ∈ Im(f ),
est un isomorphisme de V sur Im(f ).
Corollaire 11 th´
eor`
eme du rang
Soient E et F deux espaces vectoriels, E de dimension finie (F de dimension quelconque),,
et f ∈ L(E, F ). Alors
dimE = dimIm(f ) + dimKer(f ).
Corollaire 12 on d´eduit ´egalement du th´eor`eme 10 les r´esultats suivants
– Si G et H sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires de F dans E, ils sont
isomorphes.
– Une application lin´eaire de E dans F est un isomorphisme ssi
rg(f ) = dimE = dimF
(on rappelle que le rang de f est par d´efinition dimIm(f ).
– Dans le cas particulier o`
u dimE = dimF, les propositions suivantes sont ´equivalentes :
– f est injective
– f est surjective
– f est un isomorphisme
Remarque ce r´esultat est bien sˆ
ur faux en dimension infinie il faut y prendre garde (voir
les exemples donn´es dans l’exercice 2).
Exercice 10 `
a lier `
a l’exercice 3-3.
On suppose que E est un ev de dimension finie (n =dim E). Soit V un sev de E. Montrer
que V est un hyperplan de E ssi dim V = n-1.
Exercice 11 exemples de bases
Soit (a1 , a2 , ..., a2n+1 ), une suite de 2n+1 complexes. On lui associe la matrice Mn (a1 , a2 , ..., a2n+1 ),
de M2n+1 (C) not´ee aussi Mn , dont les seuls termes (´eventuellement) non nuls sont soit
10
sur la colonne n+1, soit sur la ligne n+1, avec :
Par exemple :

0

 0


M2 (a, b, c, d, e) := 
 a

 0

0
1. Quel est le rang de Mn ?
2. Donner une base du noyau de Mn .
11
mn+1,j = aj et mi,n+1 = ai .
0 a 0 0


0 b 0 0 


b c d e 
.

0 d 0 0 

0 e 0 0
Exercice
12 matrices ´equivalentes
. Question pr´eliminaire :
– Soit f un endomorphisme d’un ev E de dimension finie. On note A la matrice de f dans
une base (ai )i . Exprimer sa matrice dans une autre base (a0i )i de E.
– On consid`ere maintenant et dans la suite de l’exercice, une application lin´eaire g ∈
L(E, F ), E et F ´etant des K−ev de dimensions respectives m et n. Si (ai )j est une base
de E, (bj )j une base de F, on note B la matrice de g lorsque E et F sont rapport´es `a
ces bases. Comment exprime-t-on la matrice de g dans des bases (a0i )i et (b0j )j ?
Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe
des bases (ai )i et (bj )j de E et de F dans
Ip
Op,m−p
lesquelles la matrice de g est de la forme
∈ Mn,m (K).
On−p,p On−p,m−p
1. On suppose que g est injective. Montrer que si (ai )1≤i≤m
une base de F, (bj )1≤j≤n telle que

1 0
0 1



M at(g, (ai )1≤i≤m , (bj )1≤j≤n ) = 


 .. ..
. .
0 0
est une base de E, il existe
...
...
..
.

0
0


0
.
1

.. 
.
0
2. On suppose maintenant que g est de rang p ≥ 1 et que dim Ker(g) = q ≥ 1.
– Montrer qu’il existe une base de E, (a1 , ..., ap , ap+1 , ..., ap+q ), dans laquelle (ap+1 , ..., ap+q )
est une base de Ker(g).
– Montrer qu’alors (g(a1 ), ..., g(ap )) est une famille libre de F.
– En d´eduire qu’il existe une base (bj ) de F telle que M at(g, (ai )1≤i≤m , (bj )1≤j≤n )
soit de la forme annonc´ee.
4
3
3. Illustration : on consid`ere l’application lin´eaire g ∈ L(K
 , K ) dont la
 matrice dans
1 −1 0 0
les bases canoniques respectives de K4 et K3 est A = 2 3 5 10 .
0 1 1 2


1 0 0 0
Construire des matrices P et Q telles que P −1 A Q = 0 1 0 0 .
0 0 0 0
voir corrig´e en 10.1.
12
3.3
Conservation du rang
Th´
eor`
eme 13 Soient E, F, G, H des espaces vectoriels de dimensions finies sur un
mˆeme corps, et des applications lin´eaires
g
f
h .
E7−→F 7−→G7−→H
– si f est surjective, alors rg(g ◦ f ) = rg(g).
– si h est injective, alors rg(h ◦ g) = rg(g).
– et enfin, si a est un automorphisme de E, u un endomorphisme, alors u et a−1 ◦ u ◦ a
ont le mˆeme rang.
3.4
Le groupe GL(E)
D´
efinition 5 On dit que deux endomorphismes f et g de L(E) sont conjugu´es ssi il
existe h ∈ GL(E) tel que
f = h−1 ◦ g ◦ h.
Exercice 13 Montrer que si E est de dimension finie, deux ´el´ements f et g, de L(E)
sont conjugu´es ssi l’une des propri´et´es suivantes est v´erifi´ee :
– il existe une base dans laquelle leurs matrices sont semblables ;
– dans toute base leurs matrices sont semblables ;
– il existe deux bases B, B 0 , telles que leurs matrices M(f, B) et M at(g, B 0 ) dans ces bases
soient ´egales ;
Th´
eor`
eme 14 Soit E un espace vectoriel de dimension n et u ∈ GL(E).
– L’application v ∈ GL(E) → u−1 ◦ v ◦ u ∈ GL(E) est un automorphisme du groupe
GL(E).
D´
efinition 6 On dit que deux endomorphismes u et v de L(E) sont conjugu´es dans
GL(E) ssi il existe a ∈ GL(E) tel que
u = a−1 ◦ v ◦ a.
Remarque deux endomorphismes de E de dimension finie sont conjugu´es ssi leurs matrices dans une base donn´ee sont semblables.
13
3.5
Noyaux it´
er´
es
L’´etude suivante, extrˆemement classique, illustre les sections pr´ec´edentes, elle est fondamentale :
Exercice 14
Dans cet exercice, E est un ev de dimension finie, f un endomorphisme de E, on d´efinit
les it´er´ees de f en posant
(
f 0 = idE
f k+1 = f k ◦ f
et on note Nk et Ik le noyau et l’image de f k . D´emontrer les propri´et´es suivantes :
1. la suite des noyaux est croissante pour l’inclusion ;
2. la suite des images est d´ecroissante pour l’inclusion ;
3. il existe un indice k pour lequel Nk = Nk+1 et, dans ce cas Ik = Ik+1 ;
4. si k0 est le plus petit indice tel que Nk = Nk+1 , alors pour tout p ≥ 0, Nk0 = Nk0 +p
et Ik0 = Ik0 +p ;
5. d`es lors que Nk = Nk+1 on a
E = Nk ⊕ Ik
et la restriction de f `
a Nk induit un endomorphisme nilpotent d’ordre au
plus k de Nk (voir d´
efinition 7), alors que sa restriction `
a Ik induit un
automorphisme de Ik .
6. On suppose que Ker(f ) 6= E et que Ker(f ) 6= {0}. Montrer que dans une base
adapt´ee `
a la d´ecomposition E = Nk ⊕ Ik , la matrice de f est diagonale par blocs :
N Op,q
Oq,p A
avec p = dimNk , q = dimIk , A ∈ GLq (K) et N ∈ Mp (K) nilpotente.
7. Un exemple num´
erique : On consid`ere
canoniquement associ´e a
` la matrice

1 0 2

 1 1 0


A=
 1 0 0

 1 −1 1

1 0 0
maintenant f l’endomorphisme de K5
0
−3


−3 


−1 0 
.

0 −1 

1
0
−1
D´eterminer k0 , une base de Nk0 une base de Ik0 et ´ecrire la matrice de f dans la
base adapt´ee `
a la d´ecomposition E = Nk0 ⊕ Ik0 ainsi obtenue.
Remarque : ce r´esultat est `
a connaˆıtre ;
14
3.6
Endomorphismes nilpotents
De la mˆeme fa¸con il faut connaˆıtre les r´esultats suivants concernant les endomorphismes
nilpotents en dimension finie.
D´
efinition 7 Soit E un espace vectoriel, on dit qu’un endomorphisme de E est nilpotent
d’ordre p ssi f p = 0 et f p−1 6= 0.
Exercice 15
Donner des exemples en dimension 3, diversifier (triangulaires, non triangulaires, avec ou
sans z´eros...)
Exercice 16
Soit f un endomorphisme nilpotent d’ordre p de E, ev de dimension n ≥ 1.
1. En consid´erant x1 tel que f p−1 (x1 ) 6= 0 et ses images par les it´er´ees de f, montrer
que p − 1 ≤ rg(f ) < n.
2. On suppose que p = n.
– Quel est alors le rang de f ?
– Montrer que la famille (x1 , f (x1 ), ..., f (n−1) (x1 )) d´efinie ci-dessus est une base de
E
– et que la matrice M de f dans cette base est de la forme :


0 0 0 0 0
1 0 0 0 0


0 1 0 0 0 .


0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
Pr´eciser avec soins les termes mi,j dans le cas g´en´eral.
– Montrer que dans un espace de dimension n, tous les endomorphismes nilpotents
d’ordre n sont conjugu´es.
3. On explore le cas p < n. On consid`ere les endomorphismes de E de dimension 4,
dont les matrices dans une base B, sont




0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0



M1 = 
0 0 0 0 et M2 = 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
V´erifier qu’ils sont nilpotents d’ordre 2 et qu’ils ne sont pas conjugu´es (leurs matrices
ne sont pas semblables).
Exercice 17 nilpotents et inverses
Soit E un espace vectoriel de dimension n et f ∈ L(E), nilpotent d’ordre p.
1. Red´emontrez, la formule du cours de premi`ere :

n + 1
si q = 1,
n+1
Pn
1
−
q
 k=0 q k =
sinon.
1−q
15
2. Montrer que idE − f est inversible et calculer son inverse. Calculer le la mˆeme fa¸con
l’inverse de idE + αf
Exercice
18
1. Soit a un r´eel non nul. D´eterminer les matrices Q de GL3 (C) pour lesquelles on a
Q−1 N Q = aN, lorsque


0 1 0
N = 0 0 1 .
0 0 0
2. D´eterminer les matrices Q de GLp (C) pour lesquelles on a Q−1 N Q = aN, lorsque
N ∈ GLp (C) est la matrice telle que ni,i+1 = 1 et ni,j = 0 dans les autres cas :


0 1 ... 0

.
0 0 . . . .. 
.
N =
 .. .. . .

. .
. 1
0 0 ... 0
3. Montrer que si A Mn (C) est nilpotente d’ordre n, pour tout complexe λ non nul
A est semblable `
a λA.
4. R´eciproque (aborder cette question lorsque la notion de valeur propre sera connue) ?
Exercice 19
Soient E un espace de dimension n ≥ 2, et u un endomorphisme de E. On suppose que
u2 = 0 et que u 6= 0.
1. On se place
dans
le cas n = 2. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice
0 1
de u est
.
0 0
2. On aborde ici le cas g´en´eral : on note S un suppl´ementaire de Ker(u).
(a) Soit (a1 , ..., ap ) une base de S. Que dire de (a1 , u(a1 ), ..., ap , u(ap ))?
(b) Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de u est diagonale par
blocs.
16
3.7
Quelques exercices suppl´
ementaires
Exercice 20
Soit f un endomorphisme de R3 qui v´erifie la relation f 3 + f = 0.
1. Donner un exemple pour vous assurer que de tels endomorphismes existent.
2. Montrer que le noyau et l’image de f sont suppl´ementaires dans R3 .
3. Montrer que soit f =0, soit il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f
0 0 0



est B = 
 0 0 1 .
0 −1 0
A revoir, une fois les notions de valeurs propres et de polynˆ
omes d’endomorphisme connues.
voir corrig´e en 10.2.
Exercice
21

1 0 0

 0 1 0


Soient A5 = 
 0 0 1

 0 1 0

1 0 0

0 1

1 0 0 0 0 1

 0 1



1 0 

 0 0


0 0 
,
A
=

6

 0 0


1 0 


 0 1

0 1
1 0


0 0 1 0 


1 1 0 0 

.
1 1 0 0 


0 0 1 0 

0 0 0 1
´
1. Ecrire
un programme MAPLE qui permette de construire une telles matrices.
2. Pr´eciser le d´eterminant, le rang de ces deux matrices.
3. Pour chacune d’elles, pr´eciser une base du noyau et de l’image.
voir corrig´e en 10.4.
Exercice 22

0 a b 0


 a 0 0 b 


Soit A = 
.
 b 0 0 a 


0 b a 0
1. D´eterminer le rang de A en fonction de a et de b.
2. Calculer le d´eterminant de cette matrice. Cela confirme-t-il votre r´esultat pr´ec´edent ?
Calculer l’inverse de A lorsqu’elle existe.
3. Donner un base du noyau et de l’image de A.
voir corrig´e en 10.5.
Exercice
23
1. Donner la matrice de f dans la base canonique de Rn pour les endomorphismes f
suivants :
17
(a) f est la projection de R3 sur le plan d’´equation 2x + y − z = 0, de direction la
droite engendr´ee par le vecteur u = (2, 1, 0).
(b) f est la sym´etrie de R4 par rapport au sous espace engendr´e par u = (2, 1, 1, 2), v =
(−2, 1, 1, −2) et ayant pour direction le plan orthogonal au pr´ec´edent.
Expliciter tout d’abord une une base de R4 dans laquelle la matrice de f sera
diagonale.
2. Soient p une projection de Rn et s une sym´etrie. Donner des conditions sur Im(p),Ker(p),
Ker(s-id) et Ker(s+id) pour que p et s commutent (ie : s ◦ p = p ◦ s).
Voir corrig´e en 10.
Exercices du mˆ
eme type dans la banque CCP 2015 : n°
18
Exercice 24
On propose ici diff´erentes m´ethodes de r´esolution d’un syst`eme lin´eaire AX = b d’inconnue
X ∈ Rn , avec A ∈ Mn (R), b ∈ Rn .


 
1 3 −1
1


 et b = 2 .
2
1
2
1. On consid`ere, dans cette question, A = 


1
−1 1 5
(a) A l’aide des seules op´erations ´el´ementaires de la forme
Li ↔ Lj , Li ← Li + αLj , Li ← αLi
(avec i 6= j et α 6= 0), inverser la matrice A, r´esoudre le syst`eme AX = b.
On tiendra compte de la clart´
e de la pr´esentation, de la simplicit´
e de la
m´ethode mise en œuvre.
(b) D´eduire de ce qui pr´ec`ede un calcul du d´eterminant de A.
(c) Donner une majoration du nombre de transformations Li ← Li + αLj , Li ←
αLi n´ecessaires pour inverser une matrice carr´ee quelconque de n lignes.
2. On se propose d’´etudier une m´ethode de calcul approch´e des solutions du syst`eme
AX = b lorsque A est inversible. Pour cela on construit une suite de vecteurs de Rn
qui converge vers la solution du syst`eme.
Lorsque la diagonale de A ne contient pas de terme nul, on d´efinit par r´ecurrence
une suite de vecteurs de Rn , (Xm )m o`
u X0 ∈ Rn et Xm+1 a pour ii`eme coordonn´ee


n
X
1
(m)
(m+1)
bi −
ai,j xj  .
xi
=
ai,i
j=1,j6=i
(a) Lorsque A et b sont les matrice et vecteur de la question 1, X0 =t [1, 1, 1],
calculer la premier terme X1 de cette suite.
(b) On consid`ere dor´enavant A ∈ GLn (R) dont aucun terme diagonal n’est nul.
Justifier que si (Xm )m converge, sa limite est une solution de AX = b.
(c) On note D la matrice diagonale telle que di,i = ai,i pour i ∈ [1, n]. D´eterminer
une matrice E telle que quelque soit X0 ∈ Rn on ait X1 = D−1 (b − EX0 ).
(d) On dit qu’une matrice A ∈ Mn (R) est `a diagonale strictement dominante ssi
pour tout i ∈ [1, n] on a
n
X
|ai,i | >
|ai,j |.
j=1,j6=i
i. Montrer qu’une telle matrice est inversible.
ii. On d´efinit la fonction φ : Mn (R) → Mn (R) en posant : Φ(X) = D−1 (b −
EX). D´emontrer que la suite r´ecurrente (Xm )m d´efinie par Xm+1 = Φ(Xm )
converge quelque soit le terme X0 choisi si A est `a diagonale strictement
dominante.
Corrig´e en 10.3 page 64.
19
4
Sommes directes de plusieurs sous-espaces
4.1
D´
efinition des sommes directes
D´
efinition 8 Soient V1 ,P
V2 , ..., Vn des sous-espaces vectoriels de E.
P
– La somme des Vi , not´ee
Vi est le sous-espace form´e des vecteurs x = xi , o`
u xi ∈ Vi
pour 1 ≤ i ≤ n.
– On dit que la somme est directe lorsque, pour toute famille (xi )i de vecteurs de E tels
que xi ∈ Vi pour tout i,
n
X
xi = 0 ⇒ ∀i, xi = 0.
i=1
On note dans ce cas :
n
X
Vi =
i=1
n
M
Vi .
i=1
– On dit que les sous-espaces (Vi ) sont suppl´ementaires dans E lorsque
n
M
Vi = E.
i=1
Avertissement pour une raison ´etrange, certains croient, `a tort, empressons nous de le
dire, qu’il suffirait que les sous-espaces Vi v´erifient i 6= j ⇒ Vi ∩ Vj = 0, pour que la somme
soit directe. Pensez `
a 3 droites dans un plan et dessinez !
Figure 1 – Di ∩ Dj = {0} si i 6= j, mais...
P
Th´
eor`
eme 15 La somme de sous-espaces de E : ni=1 Vi , est une somme directe ssi
pour toutes familles (xi )i et (yi )i , d’´el´ements de V1 × V2 × ... × Vn ,
X
X
xi =
yi ⇒ ∀i, xi = yi .
i
i
20
D´
emonstration faaacile !
Exercice 25
Soient V1 , V2 , ..., Vn des sous-espaces de E. Montrer que si la somme des Vi est directe,
alors
P
– la somme 1≤i≤n−1 Vi est directe
– (⊕n−1
i=1 Vi ) ∩ Vn = {0}
R´eciproque ?
Th´
eor`
eme 16 sommes directes et bases
Soient V1 , V2 , ..., Vp des sous-espaces de E.
– S’il existe
P des bases de chacun des Vi dont la r´eunion est une famille libre, alors, la
somme
Vi est directe.
– S’il existe des bases des Vi dont la r´eunion est une base de E, alors les Vi sont suppl´ementaires
dans E.
D´
emonstration prendre soin des notations, bien choisir les indices.
D´
efinition 9 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On dit qu’une base de E
est adapt´ee `
a une d´ecomposition en sous-espaces suppl´ementaires ⊕Vi = E, lorsqu’elle est
la juxtaposition de bases des Vi .
Th´
eor`
eme 17 sommes directes et bases, r´eciproques
Soient V1 , V2 , ..., Vp des sous-espaces de E.
– Si les Vi sont en somme directe, une r´eunion de bases de chacun d’eux, est une famille
libre.
– Si les Vi sont suppl´ementaires
dans E, une r´eunion de bases de chacun d’eux, est une
P
base de E et dimE = dimVi .
Th´
eor`
eme 18 crit`eres pratiques
SoientPV1 , V2 , ..., Vp desP
sous-espaces de E.
– Si
Vi = E et si
dim(Vi ) = dimE, alors les (Vi ) forment une famille d’espaces
suppl´
E.
P ementaires dansP
– Si
Vi = ⊕Vi et si
dim(Vi ) = dimE, alors les (Vi ) forment une famille d’espaces
suppl´ementaires dans E.
21
4.2
Projecteurs
Th´
eor`
eme 19 projecteurs
Soit E un espace vectoriel et (Vi )1≤i≤p une famille de sous-espaces suppl´ementaires dans
E. Pour tout k ∈ [1, p], on d´esigne par Wk le sous-espace
M
Wk =
Vi .
i6=k
– pour tout i, Wi ⊕ Vi = E.
– si pi est le projecteur sur Vi parall`element `a Wi , on a :


pi ◦ pj = 0 si i 6= j,,
pi ◦ pi = pi pour tout i

P
pi = idE
On dira que (pi )i forme la famille des projecteurs associ´
ee `a la d´ecomposition ⊕Vi = E.
P
Exercice 26 Soit f =
αi pi o`
u les pi sont des projecteurs associ´es `a une famille de
suppl´ementaires (Vi )i , comme dans le th´eor`eme qui pr´ec`ede.
1. Calculer f n .
2. D´eterminer Ker(f ), Ker(f − αi ).
3. Quel est le spectre de f ?
Th´
eor`
eme 20 r´eciproque
Soit (pi )i une famille d’endomorphismes de E, v´erifiant
(
pi ◦ pj = 0
si i 6= j,,
P
pi = idE .
Alors, les sous-espaces Im(pi ) sont suppl´ementaires dans E et les pi sont les projections
sur Impi parall`element `
a ⊕k6=i Impk .
Voir l’exercice 81 pour plus de pr´ecisions
Th´
eor`
eme 21 somme directe d’endomorphismes
Soit E et F deux espaces vectoriels sur K et (Vi )i une famille de sous ev de E telle que
p
M
Vi = E.
i=1
Pour toute famille (ui )1≤i≤p dans laquelle chaque ui est une application lin´eaire de Vi dans
F, il existe une application lin´eaire f de E dans F et une seule telle que
∀i, ∀x ∈ Vi , f (x) = ui (x).
22
4.3
Exercices
Exercice 27 Soient A et B deux sous-espaces vectoriels de E de dimension finie. On
consid`ere
– A0 , un suppl´ementaire de A ∩ B dans A,
– B 0 , un suppl´ementaire de A ∩ B dans B.
Montrer que
A + B = A ∩ B ⊕ A0 ⊕ B 0 .
Exercice
28 Soit E un K−ev, p et q deux projecteurs d´efinis sur E.
1. On supose que p ◦ q = q ◦ p. Montrer que les sous-espaces Imp ∩ Imq, Imp ∩ kerq,
kerp ∩ Imq et kerp ∩ kerq, sont suppl´ementaires dans E.
2. R´eciproquement, on suppose qu’il existe des sous-espaces A, B, C, D, suppl´ementaires
dans E, tels que p soit la projection sur A+B parall`element `a C +D et q la projection
sur A + C parall`element `
a B + D. Montrer que p et q commutent.
Exercice
29 Soit F l’endomorphisme de R[X] d´efini par F (P (X)) = P (X + 1).
1. Montrer que F est un automorphisme qui laisse stable les sous espaces Rn [X]. On
note Fn l’automorphisme induit par F sur Rn [X].
2. Donner les matrices de Fn et de Fn−1 dans la base canonique de Rn [X].
3. En d´eduire que si j ≤ i,
j
X
j
(−1)k ki
k = 0.
k=i
5
Matrices
5.1
Changements de bases, matrices semblables
D´
efinition 10 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, n, et (ai )1≤i≤n , (bi)1≤i≤n ,
deux bases de E.
– On appelle matrice de passage de (ai ) vers (bi ) la matrice P dont les colonnes sont
les coordonn´ees, dans la base (ai ), des vecteurs de (bi ).
– Si x ∈ E, les vecteurs de coordonn´ees X = (xi ) et X 0 = (x0i ) de x dans les bases (ai ) et
(bi ) v´erifient P X 0 = X.
– Par ailleurs, pour tout endomorphisme f de E, les matrices A et A0 de f dans les bases
(ai ) et (bi ) v´erifient : A0 = P −1 AP.
– On dit enfin que deux matrices carr´
ees A et A0 sont semblables s’il existe une matrice
inversible P telle que A0 = P −1 AP.
Remarque : Pour ce qui est d’une application lin´eaire d’un espace dans un autre, un
changement de bases dans l’espace de d´
epart et dans l’espace d’arriv´
ee est
0
−1
1
gouvern´e par la formule A = P AQ
1. pour laquelle il ne devrait pas y avoir photo pour savoir de quoi on parle.
23
Exercice
30

28

1. Soit A = −8
∗
On suppose que

20 40
−7 −11  .
∗
∗
det(A − xI3 ) = −(x − 3)(x + 2)2 .


3 0
a
(a) Justifier qu’il existe une matrice inversible, P, telle que T = P −1 AP =  0 −2 b  .
0 0 −2


4
2 −3
(b) On suppose que P =  −1 −1 1  . Calculer a et b.
∗
∗
2


28
20
40
2. Soit A =  −8 −7 −11  .
−15 −10 −22
(a) Montrer que A est semblable `a une matrice triangulaire.
(b) Pr´eciser une matrice de passage permettant de calculer explicitement une telle
matrice semblable `
a A.
5.2
Op´
erations sur les lignes et les colonnes, m´
ethode de Gauss
Exercice
31 Soit A, une matrice `
a n ligne et m colonnes.
1. Par quelle matrice faut il multiplier `a ... pour r´ealiser l’op´eration
Li ←− αLi , α 6= 0,
ou l’op´eration
Ci ←− αCi , α 6= 0?
2. Par quelle matrice faut il multiplier `a ... pour r´ealiser l’op´eration
Li ←− Li + αLj , i 6= j,
ou l’op´eration
Ci ←− Ci + αCj , i 6= j?
3. Par quelle matrice faut il multiplier `a ... pour r´ealiser l’op´eration
Li ←→ Lj ,
ou l’op´eration
Ci ←→ Cj ?
D´
efinition 11 Soit A ∈ Mn,p (K). On appelle coefficient principal de la ligne i le
premier coefficient non nul de cette ligne. On dit que A est une matrice en ´
echelons si
– les coefficients principaux des lignes 1,2,...,n, sont rang´es dans des colonnes d’ordres
strictement croissants ;
24
– si une ligne est nulle, il en va de mˆeme pour les lignes suivantes.
exemple/illustration

1
0

0

0
0
?
0
0
0
0
?
1
0
0
0
25
?
?
1
0
0

?
?

?

1
0
M´
ethode de Gauss : description
Nous d´ecrivons la m´ethode de Gauss pour la r´esolution d’un syst`eme de n ´equations `
ap
inconnues M x = b, dans lequel :
M ∈ Mn,p (K), x ∈ Kp , b ∈ Kn .
Les m´ethodes de calcul de d´eterminant, d’inversion s’en d´eduisent facilement.
Pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire M x = b, ci-dessus par la m´ethode de Gauss, on commence par ”compl´eter” la matrice M en lui ajoutant la colonne b, on obtient ainsi une
nouvelle matrice A ∈ Mn,p+1 (K). On proc`ede de la fa¸con d´ecrite par l’algorithme cidessous pour obtenir une matrice en ´echelons comportant des 0 ou des 1 sur la diagonale.
La discussion et la r´esolution du syst`eme obtenu sont alors imm´ediates. 2 :
pour chaque indice j variant de 1 `
a p, faire :
– calculer l’indice pj (j i`eme pivot ) de la ligne d’indice sup´erieur ou ´egal `a j tel
que
|apj ,j | = sup |ai,j |.
i≥j
– si |apj ,j | > 0 alors, faire :
– Lpj ↔ Lj ;
1
– Lj ← −
Lj ;
aj,j
– pour chaque indice i variant de j + 1 `
a n, faire :
Li ← Li − ai,j Lj ;
fin faire
fin si
fin faire
pour chaque indice j variant de p `
a 2, faire :
pour chaque indice i variant de j − 1 `
a 1, faire :
Li ← Li − ai,j Lj ;
fin faire
fin faire
2. Attention : chaque op´eration d´ecrite affecte la matrice A
26
Exercice 32 exemple
Inverser la matrice

1
2






M =





1
1 −1
0
0
1
0
1
1
2
1
−1
1
−1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
−1 1
1
1
1
1


1 


0 


0 


0 

−1
tout en calculant son d´eterminant ; si vous utilisez MAPLE ou votre calculatrice, les seules
op´erations pr´eprogramm´ees autoris´ees (en dehors des instructions it´eratives) sont les trois
op´erations ´el´ementaires sur les lignes ci-dessus d´efinies.
Voir AlgLin1Gauss.mws
5.3
Matrices triangulaires
D´
efinition
Exercice
12 une matrice A est triangulaire sup´erieure ssi i > j ⇒ ai,j = 0
33 joujou pour se faire la main
1. Exprimer le produit D−1 T D, o`
u la matrice T est triangulaire sup´erieure et D diagonale telle que di,i = ai .
2. Montrer qu’il existe une suite de matrices semblables `a T dont la limite est une
matrice diagonale.
Exercice
34 matrices triangulaires
 nilpotentes

0 a12 a13 a14
0 0 a23 a24 

– Calculer M 2 , M 3 ... lorsque M = 
0 0
0 a34 
0 0
0
0
– Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une matrice triangulaire soit nilpotente.
voir corrig´e en 10.6
Th´
eor`
eme 22
Soit f un endomorphisme de E espace vectoriel de dimension finie. La matrice de f
dans une base (ei )i est triangulaire ssi le la famille de sous-espaces E1 , E2 , ... o`
u Ek =
vect(e1 , ..., ek ), est stable par f.
Th´
eor`
eme 23
– Une matrice triangulaire est inversible ssi les termes de sa diagonale sont non nuls, son
d´eterminant est le produit des termes diagonaux.
27
– L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures de Mn (K) est une sous-alg`ebre de
Mn (K)
– Les matrices triangulaires sup´erieures inversibles forment un sous-groupe de GLn (K).
Exercice
35 Soit, avec n entier sup´erieur `a 1, L l’endomorphisme de K[X] d´efini par
L(P (X)) = (X 2 − 1)P 0 (X) − (nX − 1)P (X).
1. Montrer que Kn [X] est stable par L. On notera Ln l’endomorphisme de Kn [X] induit
par L.
2. Calculer L((X − 1)p ), en d´eduire une base dans laquelle la matrice de Ln est triangulaire.
3. Pour quelles valeurs de n, Ln est il un automorphisme ?
Voir aussi le mini-probl`eme 38.
5.4
Matrices par blocs, produits
Th´
eor`
eme 24 produit par blocs
Soient M et N deux matrices de Mn (K) que l’on peut ´ecrire respectivement :




A
B
E
F
 N =
,
M =
C
D
G
H
avec A, E ∈ Mp (K), B, F ∈ Mp,q (K), C, G ∈ Mq,p (K) et D, H ∈ Mq,q (K).
Alors, le produit des matrices M et N est


AE + BG
AF + BH
.
MN = 
CE + DG
CF + DH
On dit que l’on effectue un produit par blocs.
Cas particulier remarquable : le produit de matrices diagonales (triangulaires)
par blocs est...

E1

Oq,p
Op,q

E2

H1
Oq,p
28
Op,q

 ...
H2
Exercice
36 d´eterminants par blocs d’apr`es CCP 2000 PC M1.


A
B
 , une matrice par blocs. Montrer `a l’aide de contre exemples
1. Soit M = 
C
D
simples que la formule


A
B
 = det (A) × det (D) − det (C) × det (B)
det 
C
D
soit n’a pas de sens, soit est
indications :

1 0 2
0 1 0
utiliser la matrice 
0 1 1
0 1 0
fausse.

0
1
 et une matrice carr´ee d’ordre 3...
0
1
2. Soit A ∈ M
 n (R), B ∈Mn,p (R), C ∈ Mp (R) et M la matrice de Mn+p (R), donn´ee
A
B
.
par M = 
Op,n
C
(a) Si A est non inversible, montrer sans recourir au d´eterminant, que M est non
inversible.


A
On,p
 . R´esoudre alors dans Mn (R)
(b) Si A est inversible, on pose P = 
Op,n
Ip
I’´equation matricielle XP = M.
(c) Retrouver le r´esultat : detM = detA × detC.
3. Soient u un endomorphisme de Rn , χu le polynˆome caract´eristique de u d´efini par
χu (X) = det(u − Xid).
Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de Rn stable par u (ce qui signifie
u(F ) ⊂ F ) et v l’endomorphisme induit par u sur F, alors χv divise χu .
29
Exercice 37
Il y a une forme de d´ecomposition par blocs fort utile, en particulier pour des d´emonstrations
par r´ecurrence : on ´ecrit M en 4 blocs, dont le scalaire m1,1 et un bloc carr´e de taille n−1,
en diagonale ; par exemple, si n = 3, on peut ´ecrire :

 

tY
m11 m12 m13
m11

M3 = m21 m22 m23  = 
m31 m32 m33
X
M2
exemples :


T
x
 , une matrice de taille n. Montrer que A est triangulaire
1. Soit A = 
0
ann
sup´erieure ssi T est triangulaire sup´erieure ; retrouver les r´esultats suivants en faisant
fructifier cette remarque :
(a) le produit de deux matrices triangulaires sup´erieures A et B est triangulaire
sup´erieure et ses termes diagonaux sont les produits des termes diagonaux de
A et B;
(b) une matrice triangulaire est inversible ssi ses termes diagonaux sont non nuls ;
(c) le d´eterminant d’une matrice triangulaire est ´egal au produit des termes diagonaux ;

 0

tY
tY 0
m
m


2. (a) Calculer le produit 
0
0
X
M
X
M


tY
m

 , en d´eduire une expression d’un d´eterminant
(b) Calculer le d´eterminant de
X
I2


t
m
Y
 , lorsque B est inversible.
de la forme 
X
B
30
Exercice
38 Mini-probl`
eme : d´
ecomposition L U
a b
1. Soit M =
, une matrice `
a coefficients r´eels. Donner une condition n´ecessaire
c d
et suffisante portant sur a, pour qu’il existe un couple de matrices `a coefficients r´eels
(L, U ), et un seul, dans lequel L et U sont respectivement triangulaire inf´erieure et
sup´erieure et v´erifient M = LU avec, pour 1 ≤ i ≤ n, `i,i = 1. On notera
1 0
λ µ
L=
, U=
,
α 1
0 ν
On se propose de g´en´eraliser ce r´esultat `a des matrices carr´ees de taille quelconque.
2. Soit M une matrice carr´ee de taille n + 1 que l’on ´ecrit en 4 blocs
M y
M= >
,
x m
o`
u M est une matrice carr´ee inversible, de taille n, x et y sont deux vecteurs de Rn ,
> x d´
esignant la ligne transpos´ee de x, `a savoir : > x = [x1 , x2 , ..., xn ]. On suppose
donn´ees deux matrices carr´ees de taille n, `a coefficients r´eels, L et U, respectivement
triangulaires inf´erieure et sup´erieure, telles que M = LU. Montrer qu’il existe un
couple de matrices carr´ees, de taille n + 1
L 0
U v
,
L= >
, U=
0 µ
w 1
telles que M = LU. Ecrire avec soin les relations d´eterminant les inconnues v, w et
µ.
3. Soit N ≥ 2, et M une matrice matrice carr´ee de taille N, on suppose que pour tout
n tel que 1 ≤ n ≤ N − 1, la sous-matrice compos´ee des termes d’indices de ligne et
de colonne i, j pour lesquels 1 ≤ i, j ≤ n, est inversible. D´emontrer qu’il existe alors
un couple (L, U), de matrices carr´ees de taille N, tel que
M = LU
avec U triangulaire sup´erieure, L triangulaire inf´erieure et de coefficients
´egaux `
a 1.

1
4. Application : En suivant cette m´
ethode d´ecomposer la matrice 1
0
31
diagonaux

1 0
3 2
2 5
Th´
eor`
eme 25 suppl´ementaires stables et matrices diagonales par blocs
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E, et (Vi )1≤i≤p ,
des sev suppl´ementaires de E.
– Les sous-espaces (Vi )i sont stables par f ssi la matrice de f dans une base B =
{B1 , ..., Bi , ...Bp }, adapt´ee `
a la d´ecomposition E = ⊕Vi est diagonale par blocs :

 A1 0 . . .
0
 0
A1 . . .
0 



 ..
..
.
.

 .
.
.
0
0
0
. . . Ap
– Dans un tel cas, la restriction de f `a Vi est un endomorphisme de Vi dont la matrice
dans la base Bi de Vi est Ai .
D´
emonstration :
Exemples : illustrer cela avec des matrices
affinit´es dans des bases adapt´ees :

1


1
0
0


  0
 0 cos (θ) − sin (θ)  , 

 
 0

0 sin (θ) cos (θ)
0
de rotations, sym´etries, projections et autres
32
0 0 0

 1 0 0 
I2 O

, etc...
=
O O
0 0 0 

0 0 0
5.5
Calcul matriciel, exercices divers
Exercice 39
D´eterminer les matrices carr´ees A ∈ Mn (K) qui commuttent avec toutes les autres.
voir indications ou corrig´e en 10.7
Exercice 40
On se propose d’expliciter les inverses de matrices obtenues en rempla¸cant la k i`eme colonne
de la matrice unit´e de Mn (K) par une colonne W =t [w1 , ...wn ].
1. On commence par un exemple avec (n = 5 et

1 0 w1
 0 1 w2

M =
 0 0 w3
 0 0 w4
0 0 w5
k = 3) :

0 0
0 0 

0 0 
.
1 0 
0 1
Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que cette matrice soit inversible.
2. On suppose que M est obtenue en rempla¸cant la premi`ere colonne de In par le
vecteur W. Calculer M −1 si elle existe.
3. Cas g´en´eral ?
33
6
6.1
´ ements propres, r´
El´
eduction
Notions de valeur propre, de sous-espace propre
D´
efinition 13 Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur le corps K.
– Un scalaire λ ∈ K, est une valeur propre de f ssi Ker(f − λidE ) 6= {0}.
– Si λ est une valeur propre de f, un vecteur propre de f associ´e `a λ est un vecteur
non nul tel que f (~v ) = λ~v .
– L’ensemble des valeurs propres de F est le spectre def, not´e Sp(f ).
– Le sous espace Ker(f − λidE ), lorsqu’il n’est pas de dimension 0, est le sous-espace
propre associ´e `
a λ.
Remarque : un vecteur propre est un vecteur non nul tel que f (x) et x sont colin´eaires.
D´
efinition 14
Lorsque f est un endomorphisme de E de dimension finie n on appelle polynˆ
ome caract´
eristique de f, le d´eterminant
χf (X) = det(f − XidE ).
On d´efinit de la mˆeme fa¸con le polynˆ
ome caract´eristique d’une matrice carr´ee :
χA (X) := det(A − Xidn ).
Exercice 41 Dans chaque en plus de la recherche des ´el´ements propres, on ´etudiera
l’existence d’une base de diagonalisation ou de trigonalisation .
1 1
2
´
1. El´ements propres de f ∈ L(R ) canoniquement associ´ee `a
.
1 1
´ ements propres de f ∈ L(C2 ) canoniquement associ´ee `a 1 3 .
2. El´
0 1
´ ements propres de f ∈ L(C2 ) canoniquement associ´ee `a 1 −1 .
3. El´
1 0
´ ements propres de f ∈ L(R2 ) canoniquement associ´ee `a cos θ − sin θ .
4. El´
sin θ cos θ
cos
θ
−
sin
θ
2
´ ements propres de f ∈ L(C ) canoniquement associ´ee `a
5. El´
.
sin θ cos θ
Th´
eor`
eme 26
Soit χf (X), le polynˆ
ome caract´eristique d’un endomorphisme f, d´efini sur E de dim n.
– les valeurs propres de f sont les racines de χf (X);
– si M est la matrice de f dans une base quelconque, les polynˆomes caract´eristiques de f
et de M sont ´egaux ;
– deg(χf (X)) = n et le coefficient du terme de plus haut degr´e est (−1)n ;
– χf (x) = (−1)n (X n − T r(f )X n−1 + ... + (−1)n det(f )).
34
– Deux endomorphismes conjugu´es (ou deux matrices semblables) ont le mˆeme polynˆome
caract´eristique et les mˆemes valeurs propres avec le mˆeme ordre de multiplicit´e.
Calculs pratique des valeurs propres : en petite dimension pour d´eterminer les
´el´ements propres d’une matrice, on peut calculer son polynˆome caract´eristique, rechercher
les racines et, pour chacune d’elles, r´esoudre le syst`eme (A − λ)X = 0.
Ce n’est ´evidemment pas comme cela que l’on proc`ede pour d´eterminer num´eriquement les
´el´ements propres des gros syst`emes que l’on rencontre dans les applications, ne serait ce que
parce qu’une erreur d’approximation minime des coefficients d’un polynˆome induit des tr`es
gros ´ecarts sur le calcul de ses racines, mais aussi parce que le calcul d’un d´eterminant est
fort coˆ
uteux. Nous verrons en probl`eme et en TP Maple des m´ethodes qui font intervenir
le cours d’analyse.
6.2
6.2.1
R´
eduction
Endomorphismes diagonalisables, trigonalisables
D´
efinition 15 r´eduction
Soit E de dimension finie, f ∈ L(E).
– On dit que f est diagonalisable ssi il existe une base dans laquelle sa matrice est une
matrice diagonale.
– On dit que f est trigonalisable ssi il existe une base dans laquelle sa matrice est une
matrice triangulaire.
Soit M ∈ Mn (K),
– On dit que M est diagonalisable dans Mn (K) ssi elle est semblable `a une matrice
diagonale. C’est `
a dire qu’il existe P ∈ GLn ((K) et D ∈ Mn (K), diagonale, telles que
D = P −1 AP.
– On dit que M est trigonalisable ssi elle est semblable `a une matrice triangulaire.
Remarque : On prendra garde au fait qu’une mˆeme matrice `a coefficients r´eels peut ˆetre
diagonalisable ou trigonalisable dans C, sans l’ˆetre dans R.
Th´
eor`
eme 27 une ´evidence ?
Un endomorphisme est diagonalisable (ou trigonalisable) ssi sa matrice dans une base
quelconque est diagonalisable (ou trigonalisable).
Th´
eor`
eme 28 valeurs propres des matrices triangulaires
Soit f un endomorphisme de E. On suppose que sa matrice M dans une base B est
triangulaire. Alors, les termes de la diagonale de M sont les valeurs propres de f compt´ees
avec leurs ordres de multiplicit´e.
Illustration
35
Pour les matrices suivantes, dire avec le moins de calculs possible si elles sont diagonalisables, trigonalisables, d’abord dans Mn (R), ensuite dans Mn (C).




1 a b
1 2 4
"
#
1 −2







A=
 0 2 c  , B =  0 1 −3  , C =
2 1
0 0 3
0 0 1
Exercice 42
Soit f un endomorphisme de E, K − ev de dimension 3. On suppose qu’il existe une base
dans laquelle la matrice de f est de la forme :


λ a b
0 µ c 
0 0 ν
1. Quel est le polynˆ
ome caract´eristique de f ?
2. On suppose les termes diagonaux sont tous distincts. Montrer qu’il existe une base
dans laquelle la matrice de f est diagonale.
3. On suppose
 que λ 6= µ = ν. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice
λ 0 0
de f est  0 µ ∗ 
0 0 µ
4. Que peut on dire si λ = µ = ν?
6.2.2
Un crit`
ere de trigonalisation
Observons tout d’abord que si f ∈ L(E) (EK − ev) est trigonalisable, il existe une base
dans laquelle la matrice de f est


α1 ∗ . . . ∗
 0 α2 . . . ∗ 


mat(f ) =  .
.
.. . .
 ..
.
.
∗
0
0 . . . αi
Q
De fa¸con imm´ediate χf (x) = det(f − xidE ) = (αi − x) : le polynˆome caract´eristique de
f est scind´e sur K.
Th´
eor`
eme 29 trigonalisation
Soit f un endomorphisme de E, K − ev de dimension n. Si le polynˆome caract´eristique est
scind´e sur le corps K, 3 alors :
– il existe une base de trigonalisation pour f,
– dans une telle base, les termes diagonaux de la matrice repr´esentative de f sont ses
valeurs propres compt´ees avec leur multiplicit´e en tant que racines du polynˆome caract´eristique.
3. ce qui est toujours le cas dans C, mais pas dans R
36
D´
emonstration : Par r´ecurrence en initialisant avec n = 2.
– le cas n = 2.
On suppose que det(f − xidE ) = (x − α)(x − β) est scind´e dans K[X].
– Si α 6= β, il existe u et v tels que f (u) = αu et f (v) = βv. D’apr`es le th´eor`eme ??,
ces vecteurs forment une base de E, et
α 0
mat(f, (u, v)) =
0 β
– Si α = β, il existe u tel que f (u) = αu. Dans une base (u, v) on a :
α ∗
mat(f, (u, v)) =
0 t
Comme les termes de la diagonales sont des valeurs propres, t = α.
Le r´esultat est prouv´e.
– on suppose le r´esultat ´etabli pour un certain n;
consid´erons f ∈ L(E 0 ), o`
u E 0 est de dimension n + 1, dont le polynˆome caract´eristique
est scind´e sur K :
n+1
Y
det(f − xidE ) =
(αi − x).
i=1
Il existe u1 non nul tel que f (u1 ) = α1 u1 . Dans une base compl´et´ee (ui ), on a
α tY
A = mat(f, (ui )) = ~
,
0 M
avec M carr´ee de taille n, t Y = [∗, ..., ∗], etc...
On sait que le determinant de A − xI3 est
det(A − xIn+1 ) = (α1 − x)det(M − xIn ).
Q
Par identification, le polynˆ
ome caract´eristique de M est ni=1 (αi − x). Il existe donc
une matrice inversible de taille n telle que P −1 M P soit triangulaire. Alors :
tY P
α tY 1 0
1
0
α
=
0 P −1 ~0 M 0 P
0 P −1 M P
Cette matrice est triangulaire sup´erieure. Le th´eor`eme est prouv´e.
Corollaire 30
Soit f un endomorphisme de E, K espace vectoriel avec K = R ou C. La dimension du sev
propre associ´e `
a une valeur propre λ est inf´erieure ou ´egale `a l’ordre de multiplicit´e de λ.
D´
emonstration
Notons A ∈ Mn (K) ⊂ Mn (C) la matrice de f dans une base quelconque. A est semblable,
37
dans Mn (C) `
a une matrice triangulaire T = P −1 AP. Les rangs de f − λidE , A − λIn et
T − λIn sont ´egaux (que l’on travaille dans K ou C).
Le rang de T − λIn est celui d’une matrice ´
echelonn´
ee dont les termes diagonaux de
la forme µ − λ sont non nuls. Cela se lit comme le nez au milieu du visage dans l’exemple
ci-dessous :




0 ∗ ∗
∗
∗
∗
λ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗




 0 λ ∗ ∗ ∗ ∗ 
 0 0 ∗

∗
∗
∗








 0 0 λ ∗ ∗ ∗ 
 0 0 0

∗
∗
∗




T =
 , T − λIn = 
.
 0 0 0 µ ∗ ∗ 
 0 0 0 µ−λ

∗
∗








 0 0 0 0 µ ∗ 
 0 0 0

0
µ
−
λ
∗




0 0 0 0 0 ν
0 0 0
0
0
ν−λ
Exercice
43 exemple calculatoire

1
5
3



.
0
−1
2
Soit g un endomorphisme de E = R3 de matrice M = 


0 2 −1
1. Justifier que g est trigonalisable ;

−3 0 0

2. Peut on trouver une base de E dans laquelle la matrice de g soit A = 
 0
0
Exercice


1 1 
?
0 1
44 Soit M ∈ Mn (K), K = R ou C.
1. D´eterminer des relations entre la trace, le d´eterminant de M et ses valeurs propres.
Exprimer la trace de M 2 en fonction des valeurs propres.
2. Donner une d´efinition pr´ecise et d´eterminer

1 1 1
1 0 0


M =  ... ...

1 0 0
1 1 1
lorsque n ≥ 3. Sont elles r´eelles ?
38
les valeurs propres de

... 1 1
. . . 0 0

.. .. 
. .

. . . 0 0
... 1 1
6.2.3
Sommes directes et sous-espaces propres
Nous donnons dans ce paragraphe une premi`ere CNS de diagonalisation.
Th´
eor`
eme 31 Si f est un endomorphisme de E, les sous-espaces propres de f sont en
somme directe (ce qui ne signifie pas qu’ils sont suppl´ementaires)
M
X
Ker(f − λIdE ).
Ker(f − λIdE ) =
λ∈Sp(f )
λ∈Sp(f )
Exercice 45 D´
emonstration 1
1. Montrer que des vecteurs propres v1 et v2 associ´es `a des valeurs propres distinctes
v´erifient :
v1 + v2 = 0 ⇒ v1 = v2 = 0.
2. G´en´eraliser `
a 3 vecteurs propres associ´es `a 3 valeurs propres distinctes.
3. G´en´eraliser par r´ecurrence, ce qui est facile si vous avez bien g´er´e le 2°.
D´
emonstration 2, plus alg´
ebrique
Notons (λi )i la suite des valeurs propres de f. Il suffit, pour ´etablir le r´esultat, de d´emontrer
que pour toute famille de vecteurs (vi )i avec ∀i, vi ∈ Ker(f − λi IdE ), on a :
X
vi = 0 ⇒ ∀i, vi = 0.
Observons tout d’abord que pour deux indices i et j, distincts
– Ker(f − λi ) ∩ Ker(f − λj ) = {0}
– les ui commutent
– la restriction de ui = (f − λi ) `
a Vi = Ker(f − λj ) est un automorphisme de Vj .
En effet, Vj est stable par ui car f et ui commutent, d’autre part dire que vj ∈ Vj et
ui (vj ) = 0, c’est dire que
– ui (vj ) = f (vj ) − λi (vj ) = 0,
– f (vj ) − λj (vj ) = 0.
On en d´eduit vj = 0.
P
Consid´erons alors
Q une famille de vecteurs tels que pour chaque indice i, vi ∈ Vi , et vi = 0.
En appliquant k6=i0 uk `
a cette somme il vient :


X Y

uk  vi = 0.
i
k6=i0
Tous les termes de cette somme pour i 6= i0 sont nuls. Il reste donc


Y

uk  vi0 = 0
k6=i0
Mais les uk pour k 6= i0 sont des automorphismes sur Vi0 ...
39
Corollaire 32 R´esultat fondamental en pratique :
Si f est un endomorphisme de E, K−ev de dimension finie, les propositions suivantes
sont ´equivalentes :
– f est diagonalisable (il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale)
– il existe une bas form´ee de vecteurs propres de f
– les sous-espaces propres de f sont suppl´ementaires dans E :
M
Ker(f − λIdE ) = E.
λ∈Sp(f )
– la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est ´egale `a la dimension de E :
X
dim Ker(f − λIdE ) = dimE.
λ∈Sp(f )
– le polynˆome caract´eristique de f est scind´e sur K et pour chaque valeur propre, λ, dim
ker(f − λidE ) est ´egale `
a l’ordre de multiplicit´e de λ comme racine de χf .
D´
emonstration
- (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1);
- (2) ⇒ (5)
- (5) ⇒ (4)
Corollaire 33 une condition suffisante
Soit f un endomorphisme de E, ev de dimension n sur K. Si f admet n valeurs propres
distinctes sur K, alors
– f est diagonalisable ;
– ses sev propres sont des droites vectorielles ;
D´
emonstration
6.2.4
Exercices
Exercice
46 de l’huile de coude

−5 6
3

5
1. Soit f l’endomorphisme de R canoniquement associ´e `a la matrice A = 2
2 −2
(a) D´eterminer les ´el´ements propres de f. Est diagonalisable, trigonalisable ?

5 0
(b) Existe-t-il une base de R3 dans laquelle la matrice de f serait A0 = 0 1
0 0

−3 6
7
2. Soit g l’endomorphisme de R3 canoniquement associ´e `a la matrice B =  2
2 −2
40

−18
6 .
7

0
1?
1

−18
6 .
9
(a) D´eterminer les ´el´ements propres de g. Est diagonalisable, trigonalisable ?

7 0
(b) Existe-t-il une base de R3 dans laquelle la matrice de g serait B 0 = 0 3
0 0

5 6
3. Soit h l’endomorphisme de R3 canoniquement associ´e `a la matrice C = 2 12
1 −2

0
1?
3

−9
6 .
11
(a) D´eterminer les ´el´ements propres de h. Est diagonalisable, trigonalisable ?


12 0 0
(b) Existe-t-il une base de R3 dans laquelle la matrice de h serait C 0 =  0 8 1?
0 0 8
Exercice 47
15

 3

Soit A = 
 −13

7
5
5




.
−5
1
−15 

−13 −17 −15 −3
Quels sont ses ´el´ements propres ? Est elle trigonalisable dans Mn (R)?
7
1
5
Exercice 48
Soit f l’endomorphisme de C3 dont la matrice dans la base canonique est


1 −c1 −c2
1
0 .
A = c1
c2
0
1
1. Calculer le polynˆ
ome caract´eristique de f.
2. Dire si f est diagonalisable.
Exercice 49 On se propose ici de montrer que les matrices sym´etriques r´eelles de taille
2 sont diagonalisables (ce qui sera repris dans un chapitre ult´erieur).
a b
1. Soit M =
∈ M2 (R).
b d
(a) Montrer que M est diagonalisable et que ses valeurs propres sont r´eelles.
(b) Comparer les produits scalaires < X|M Y > et < M X|Y > . Montrer que
les sous espaces propres de M associ´es `a deux valeurs propres distinctes sont
orthogonaux.
(c) Montrer qu’il existe P ∈ O2 (R) telles que
t
P M P = P −1 M P
soit diagonale.
2. Donner un exemple de matrice sym´etrique `a coefficients complexes non diagonalisable.
41
a b
3. On consid`ere maintenant M = ¯
∈ M2 (C), avec a et d r´eels.
b d
– V´erifier que les matrices sym´etriques r´eelles sont de cette forme ;
– Montrer que ces matrices sont diagonalisables dans M2 (C) avec des valeurs propres
r´eelles.
Exercice
50
On admettra le r´esultat suivant, d´emontr´e dans l’exercice pr´ec´edent pour n = 2 :
Une matrice sym´etrique r´eelle est diagonalisable, ses sous-espaces propres sont orthogonaux 2 `
a 2 et il existe une matrice orthogonale P ∈ On (R) telle que tP M P = P −1 M P
soit diagonale.
On consid`ere l’endomorphisme de Rn canoniquement associ´e `a la matrice An telle que
ai,j = (−1)i+j si i = 1 ou n, si j = 1 ou n et ai,j = 0 sinon. Par exemple


1 −1 1 −1 1 −1


 −1 0
0
0
0
1 




 1
0
0
0
0 −1 


A6 = 
.
 −1 0
0
0
0
1 




 1
0
0
0
0 −1 


−1
1
−1
1
−1
1
.
1. Dire ce qui peut ˆetre rapidement dit quant aux ´el´ements propres de cet endomorphisme.
2. Calculer A2n , en d´eduire les valeurs propres de f.
3. Calculer Apn .
Exercice
51 Des br`eves ; r´epondre rapidement et sans calcul si possible...
1.
1 3
2. la matrice
est elle diagonalisable ?
0 2
1 3
3. la matrice
est elle diagonalisable ?
0 1
4. Soit A ∈ Mn (C). Que peut on dire de la somme de ses valeurs propres (avec leur
ordre de multiplicit´e), du produit des valeurs propres, de la somme de leurs carr´es ?


1 5 5
5. la matrice 1 5 5 est elle diagonalisable ? Quelles sont ses valeurs propres ?
1 5 5


2 1
5
6. la matrice 1 5 15 admet elle une valeur propre r´eelle ?
1 −5 5
42
Exercice
52 d’apr`es Mines PSI


3 −4 8
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est 5 −6 10 .
1 −1 1
1. Montrer que f est diagonalisable.
2. Montrer que le plan P d’´equation x − y + z = 0 est stable par f.
3. D´eterminer un sev suppl´ementaire de P stable par f.
4. Soit E un R−ev de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer l’´equivalence
entre
– f est diagonalisable
– tout sev de E admet un sev stable par f.
voir aussi les exercices 9 et 8 qui pr´esentent des techniques analogues.
Exercice 53
On consid`ere l’endomorphisme de Cn dont la matrice dans la base canonique est d´efinie
par
a1,1 = a, a1,j = aj,1 = 1 si 2 ≤ j ≤ n
tous les autres termes ´etant nuls. Par exemple,

a 1 1

 1 0 0


 1 0 0

A6 = 
 1 0 0


 1 0 0

1 1 1


0 0 0 


0 0 0 

.
0 0 0 


0 0 0 

1 0 0 0 0 0
1. D´eterminer son rang, en d´eduire la forme de son polynˆome caract´eristique.
2. Dire si f est diagonalisable.
3. Donner explicitement une base dans laquelle la matrice de f est diagonalisable ou,
`a d´efaut, trigonalisable.
43
7
Polynˆ
omes d’endomorphismes, commutant d’un endomorphisme
7.1
L’alg`
ebre K[f ].
A tout polynˆ
ome P ∈ K[X], et tout endomorphisme u ∈ L(E), on associe
P (u) =
n
X
ai ui ∈ L(E).
i=0
On dit que P (u) est un polynˆ
ome en u.
Th´
eor`
eme 34 Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E.
– L’ensemble des polynˆ
omes en u forme une sous-alg`ebre de L(E), not´ee K[u].
– L’application P ∈ K[X] → P (u) ∈ L(E), est un homomorphisme d’alg`ebre. On note
K[u] son image.
Proposition 35 Soit u un endomorphisme de E.
– si w = v −1 ◦ u ◦ v, alors, pour tout polynˆome P,
X
X
P (w) =
ak wk = v −1 ◦
ak uk ◦ v = v −1 ◦ P (u) ◦ v,
en particulier, pour tout entier n, wn = v −1 ◦ un ◦ v.
– si λ ∈ Sp(u), P (λ) ∈ Sp(P (u)) et pour tout x ∈ E,
u(x) = λx ⇒ P (u)(x) = P (λ).x.
– en particulier, si P est un polynˆ
ome annulateur de u, toute valeur propre de
u est racine de P
SpK (u) ⊂ P −1 ({0}).
Exercice
54
1. Soit f un endomorphisme nilpotent de E, K−espace vectoriel (K = R ou C).. Que
peut on dire de ses valeurs propres ?
2. Pr´eciser son polynˆ
ome caract´eristique.
3. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de f est triangulaire sup´erieure
stricte.
Exercice 55 CCP-2009
Soit u un endomorphisme de E, R-ev et P un polynˆome `a coefficients r´eels.
1. Si λ est valeur propre de u, montrer que P (λ) est valeur propre de P (u).
2. On suppose que P (u) = 0.
44
(a) Montrer que toute valeur propre de u est racine de P.
(b) R´eciproque ?
3. On suppose que la dimension de E est impaire et que u v´erifie :
u3 − u2 + u − idE = 0.
Quel est le spectre de u?
Exercice 56 un calcul de polynˆ
ome de matrice
On se propose de calculer F (A) o`
u
F (X) =
N
X
4
ak X k
k=0
est un polynˆ
ome et A la matrice triangulaire


λ a b


 0 µ c .


0 0 ν
1. On suppose dans cette question que λ = µ = ν.
(a) Calculer An .
(b) Exprimer F (A) en fonction de F (λ), F 0 (λ) et F ”(λ).
2. On suppose que λ = µ 6= ν, et on pose

| b

T U
T | c

A= >
=
− − − −
O ν
0 0 | ν

o`
u T est une matrice triangulaire de taille 2.
(a) Calculer T n puis exprimer F (T ) en fonction de F (λ), F 0 (λ) et de a.
(b) Exprimer An en fonction de T, de ν et des T j U.
(c) Calculer F (A).
3. On suppose enfin λ, µ, ν distincts deux `a deux. Comment calcule-t-on F (A)?
4. Similaire a
` l’exercice 58
45
7.2
Le th´
eor`
eme de Cayley Hamilton
Th´
eor`
eme 36 Cayley Hamilton
Soit f un endomorphisme de E de dimension finie (n = 2, 3, ...), et χf son polynˆome
caract´eristique. Alors χf (f ) = 0, le polynˆome caract´eristique est annulateur de f.
D´
emonstration HP, voir les 2 exercices qui suivent...
Exercice 57 d´emonstration 1
On consid`ere un endomorphisme f de E de dimension finie. On se propose de montrer
que, si χf (X) est le polynˆ
ome caract´eristique de u, χf (f ) = 0 ∈ L(E).
1. Soit F un sev stable par f et u l’endomorphisme induit par f sur F. Prouver que
χu divise χf .
2. Consid´erons x ∈ E, non nul. Le but est χf (f )(x) = 0.
On note F (f, x) := {P (f )x; P ∈ K[X]}.
(a) Montrer que F (f, x) est un sev de E stable par f ;
(b) Montrer qu’il existe un plus petit entier q tel que (x, f (x), ..., f q (x)) soit li´ee.
(c) Montrer que (x, f (x), ..., f q−1 (x)) est une base de F (f, x).
3. On note u la restriction de f `
a F (f, x). On a ui (x) = f i (x); puisque (x, u(x), ..., uq (x))
est li´ee, il existe des scalaires (ai ) tels que
a0 x + a1 u(x) + ... + aq uq (x) = 0.
(a) Montrer que le polynˆ
ome caract´eristique de u s’exprime simplement en fonction
de ces coefficients ;
(b) Conclure.
Exercice 58 calculs de polynˆ
omes de matrices ; une autre d´emonstration du th´eor`eme
de Cayley Hamilton 5
Soit E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E. On suppose que le corps de base est
R ou C, sans pr´ejuger de l’existence de racines r´eelles du polynˆome caract´eristique lorsque
le corps est R.
1. Soit F ∈ K[X]. V´erifier que F (f ) = 0 ssi sa matrice A dans une base quelconque
v´erifie F (A) = 0.
2. V´erifier que F (A) = 0 ssi pour toute matrice B, semblable `a A dans Mn (C), on a
F (B) = 0.
3. Etude du cas n= 2
λ 0
(a) Soit A =
, calculer ses puissances ainsi que F (A) lorsque F est un
0 µ
polynˆ
ome.
5. Similaire a
` l’exercice 56
46
(b) Soit A =
λ a
. Calculer F (A) : on fera apparaˆıtre F (λ) et F 0 (λ)...
0 λ
(c) Expliquer avec soin pourquoi, lorsque f est un endomorphisme de E, de polynˆ
ome caract´eristique P, on a P (f ) = 0. Attention au corps de base, au nombre
de racines etc...
4. Etude du cas n=3


λ 0 0
(a) Calculer F (A) lorsque A =  0 µ 0 ,
0 0 ν


λ 0 b
F (λ) − F (µ)
(b) puis quand A =  0 µ c  . Faire apparaˆıtre F (λ), F 0 (λ) et
(avec
λ−µ
0 0 µ
λ 6= µ).


λ a b
(c) et enfin quand A =  0 λ c  . Faire apparaˆıtre F (λ), F 0 (λ), F ”(λ).
0 0 λ
(d) Conclure.
Exercice
59
1. Soit f l’endomorphisme de E de matrice


1
2 3


.
−1
2
0
A=


1 −1 1
Calculer son polynˆ
ome caract´eristique, en d´eduire que A est inversible et que A−1
est un polynˆ
ome en A.
2. G´en´eraliser.
Exercice 60 coefficients du polynˆ
ome caract´eristique
Soit f un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.
1. On suppose n = 2. Exprimer le polynˆome caract´eristique de f en fonction de la trace
et du d´eterminant de f.
2. On suppose maintenant que n = 3.
(a) Soient (λi )1≤i≤3 , une famille d’´el´ements de C. On note, comme `a l’accoutum´ee
σ1 =
3
X
λi , σ2 =
i=1
X
i1 <i2
λi1 λi2 S2 =
3
X
i=1
Exprimer σ2 en fonction de σ1 et de S2 .
(b) En d´eduire une expression du polynˆome caract´eristique.
47
λ2i .
Exercice
61 g´en´eralisation de l’exercice pr´ec´edent...
On d´esigne ici par Pk (Λ), l’ensemble des k-parties de Λ = {λ1 , . . . , λn }, pour 1 ≤ k ≤
n, et des variables formelles λ1 , . . . , λn . On d´efinit comme `a l’accoutum´ee les fonctions
sym´etriques
n
X
X
λki .
λν1 . . . λνk et Sk =
σk =
i=1
ν∈Pk (Λ)
1. Exprimer pour n=2, les relations entre σ1 , σ2 et S1 , S2 . Exprimer, lorsque n = 4,
σ1 , σ2 , σ3 en fonction des Si , 1 ≤ i ≤ 3.
2. Soit A une matrice carr´ee d’ordre 4, `a coefficients complexes, on d´efinit une suite
(Xk )k en posant :

X0 = A 1
Xk+1 = A Xk −
Tr(Xk )I4 .
k+1
Montrer que la suite est stationnaire (ie : constante `a partir d’un certain rang) et
montrer que l’on peut exprimer le polynˆome caract´eristique de A en fonction des
premiers termes de la suite (Xk )k .
Que dire de σ4 ?


1 2 1 1


 2 2 0 0 


3. On donne A = 
 , calculer son polynˆome caract´eristique sans utiliser
 1 0 0 −1 


1 1 1 1
de formule directe de calcul de d´eterminant. On ´ecrira une fonction MAPLE ou TIphone pour le calcul des it´er´ees...
Voir corrig´e en section 10
48
7.3
Commutant d’un endomorphisme
D´
efinition 16 Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. On appelle
commutant de u l’ensemble des endomorphismes v de E tels que u ◦ u = u ◦ v.
Th´
eor`
eme 37 Le commutant d’un endomorphisme est une sous alg`ebre de Mn (K) qui
contient les polynˆ
omes en f.
Th´
eor`
eme 38 stabilit´e et endomorphismes qui commutent
– si u ◦ v = v ◦ u, alors Im(u) est stable par v.
– si u ◦ v = v ◦ u, alors les sous-espaces propres de u sont stables par v.
– si u ◦ v = v ◦ u, alors les sous-espaces propres de tout polynˆome en u sont stables par v.
En particulier v(Ker(P (u)) ⊂ (Ker(P (u)).
Exercice
62
1. question pr´eliminaire :
Quelles sont les solutions de l’´equation matricielle M 2 = I3 dans M3 (C).


−1 0 0
2. R´esoudre dans M3 (C) l’´equation matricielle M 2 =  0 i 0 .
0 0 2
Exercice 63 illustration fondamentale du th´eor`eme pr´ec´edent
Soit f un endomorphisme dont la matrice dans une base (ei )i de E, espace vectoriel de
dimension 4 sur le corps K est :


a u 0 0
 0 a 0 0

A=
0 0 b 0
0 0 0 b
avec a et b distincts, u 6= 0.
1. Reconnaˆıtre Ker(f − a), Ker(f − a)2 .
2. D´eterminer les endomorphismes qui commutent avec f.
3. Sont ils des polynˆ
omes en f ?
4. R´esoudre g 2 = f.
Exercice 64
E d´esigne un K−espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E.
49
1. On suppose u diagonalisable, ce qui ´equivaut `a
M
Ker(u − λIdE ) = E.
λ∈Sp(u)
Ecrire la matrice de u dans une base adapt´ee, en d´eduire la sous-alg`ebre des commutants de U, pr´eciser sa dimension.
2. Justifier que dim(K[u]) ≤ n.
3. Donner une condition n´ecessaire est suffisante pour que Com(u) = K[u].
voir corrig´e en section 10
Exercice
65 Soit f l’endomorphisme de Kn dont

0 0 0 0
0 0 1 0

M =
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
la matrice dans la base canonique est

0
0

0
.
1
0
1. Montrer que f est nilpotent. D´eterminez une base de Ker(f ) et une base de Im(f ).
2. D´eterminer un vecteur x1 dont les images it´er´ees par f, `a savoir, x1 , f (x1 ), ...f k (x1 ), ...,
engendrent Im(f ).
3. Soit u un endomorphisme qui commute avec f. V´erifier qu’il laisse Ker(f k ) et Im(f k )
stables. En d´eduire les matrices qui commutent avec M.
4. Comparer les dimensions du commutant de f et de l’espace des polynˆomes en f.
voir corrig´e en section10
Exercice 66 Que pensez vous de la phrase suivante :
”si f et g commutent, tout sev stable par g est stable par f ”
6?
Exercice 67
D´eterminer les matrices qui commutent avec la matrice A de M (n, C) et dire si ce sont
des polynˆomes en A dans les cas suivants :
1.




λ 1 0
λ 1 0
A =  0 λ 1  ou A =  0 λ 0 
0 0 λ
0 0 λ
2.

a
0

A=
0
0
0
1
a
0
0
0
0
1
a
0
0
0
0
0
b
0


0
a
0
0



0
 ou A = 0
0

1
0
b
6. c’est une grosse absurdit´e
50
0
a
0
0
0
1
0
a
0
0
0
0
0
b
0

0
0

0

1
b
Exercice
68 Etudier dans M at(3, C) l’´equation M 2 = A dans les trois cas suivants :






1 0 0
−2 0 0
−2 8 0
A =  0 4 0  , A =  0 2 0 , A =  0 2 0 .
−1 0 −1
2 0 2
2 0 2
Vous pouvez/devez faire usage de vos calculatrices, `
a condition ne n’entreprendre aucun
calcul inutile.
nom du fichier MAPLE : EquationM2EgaleA.mws
Exercice 69 Mines 2014
Soit A une matrice `
a coefficients r´eels. On suppose que A tA =t A A et que A est nilpotente
d’ordre p. Montrer que A tA = 0.
8
Exercices
Exercice
70 une ´equation matricielle pour d´ebutants 7
1. Montrer qu’une matrice de rotation plane
cos(θ) − sin(θ)
r(θ) =
,
sin(θ) cos(θ)
est diagonalisable dans M2 (C). Pr´eciser une matrice de passage ind´ependante de θ.
Dans la suite de l’exercice, M d´esigne une matrice de M3 (R) telle que M 3 = I3 .
2. Que peut on dire des valeurs propres r´eelles et complexes de cette matrice ? Montrer
que 1 est valeur propre de M.
3. On suppose que Sp C (M ) = {1}.
(a) Justifiez que M est trigonalisable dans M3 (R).
(b) Soit P une matrice de la forme P = I3 + N, o`
u N est nilpotente. Montrer que
3
P = I3 ssi N = 0.
(c) En d´eduire que M = I3 .
4. On suppose que 1 n’est pas la seule valeur propre complexe de M.
(a) Montrer que M est diagonalisable dans M3 (C).
(b) Montrer que M est semblable dans M3 (C) `a une matrice `a coefficients r´eels,
diagonale par blocs D, que l’on pr´ecisera.
(c) Justifier que M est semblable `a D dans M3 (R).
Reprendre ce mˆ
eme exercice apr`
es le chapitre sur les polynˆ
omes annulateurs
Exercice 71 En vous inspirant de la d´emonstration du th´eor`eme 31, montrer que si f
est un endomorphisme de E, la somme des noyaux it´er´es Ker((f − λi )ki ) est directe.
7. ( :-)
51
Exercice


1 1 0
72 La matrice suivante est elle diagonalisable 2 0 1 ?
3 0 0
Exercice 73 Puissances d’une matrice.
Soit E un C−espace vectoriel de dimension
matrice dans la base B est :

2
M = 0
1
3, de base B et f l’endomorphisme dont la

1 −1
3 1
3 1
1. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs.
2. Donner une expression de f n .
Exercice
74 d´enombrement et suites r´ecurrentes 0 1
1. Calculer la puissance
de la matrice A =
.
1 1
2. En d´eduire le nombre des suites finies `a n ´el´ements ne comportant que des 0 et des
1 sans que deux termes cons´ecutifs ne soient ´egaux `a 0.
nieme
voir corrig´e en 10
Exercice
 75 
1 1 1

Soit M 1 0 1 M3 (R).
1 1 1
1. D´eterminer deux matrices A et B telles que
√
√
M n = (1 + 3)n A + (1 − 3)n B, n N.
2. Quelle est la dimension de l’espace des matrices de M3 (R) qui commutent avec M ?
3. Trouver les solutions de l’´equation W 2 = M.

29
 9


 −4
Exercice 76 Soit la matrice de M3 (R), A = 
 9


 5
8
9
29
9

2
9


5
.
9


23 
2
9
9
−1
1. Montrer qu’il existe une matrice P telle que P A P = 3I3 +N o`
u N est une matrice
triangulaire sup´erieure et nilpotente.
9
2. Montrer que l’on peut construire une matrice Q orthogonale v´erifiant cette mˆeme
propri´et´e.
3. R´esoudre l’´equation M 3 =t P A P. En d´eduire toutes les solutions de R3 = A.
Exercice 77 Fondamental, disques de Gerschg¨
orin
Soit M M at(n, C) une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients complexes.
52
1. Montrer que toute valeur propre de M appartient `a la r´eunion des disques :




X
Di = z C/|z − Mi,i | ≤
|Mi,j |


j6=i
Indication : consid´erer un vp X associ´e a
` une valeur propre λ, ´ecrire la la ligne i de
l’´equation M X = λX et choisir judicieusement l’indice i.


3 1 1
Dessiner ces disques lorsque M = 0 2 1 .
1 −2 3
2. En d´eduire que si M estPune matrice r´eelle `a diagonale strictement dominante,
ie : pour tout i, Mi,i > j6=i |Mi,j |, elle est inversible.
Rappel : quand on est bon, on dessine...
Exercice 78 A tout entier n ∈ N, et
Mat2n (R) :

a b
b 0

a 0

b 0

 .. ..
. .

a 0
b a
tout couple de r´eels (a, b) on associe la matrice de

b
a

b

a

.. 
.

0 0 . . . 0 b
b a ... b a
a
0
0
0
..
.
b
0
0
0
..
.
...
...
...
...
..
.
a
0
0
0
..
.
1. Quel est le rang de A ?
2. D´eterminer les valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres.
Exercice
79
1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f, g deux endomorphismes de E.
Montrer que si f et g commutent, le noyau, les sous-espaces propres, l’image de l’un
sont stables par l’autre.


8 −1 −5


 une matrice de M3 (R), canoniquement associ´ee `a f ∈
−2
3
1
2. Soit A = 


4 −1 −1
L(R3 )
(a) Donner les ´el´ements propres de f.
(b) Montrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f est `a la fois
triangulaire et diagonale par blocs.
(c) En d´
eduire les matrices qui commutent avec A. R´esoudre l’´equation matricielle
M 2 = A.
53
Exercice 80
Soient E un espace de dimension n ≥ 3, et u un endomorphisme de E. On suppose que
u3 = 0, u2 6= 0.
On recherche une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire sup´erieure, tridiagonale
avec des 0 et des 1 pour seuls termes. Penser `a une matrice diagonale par blocs, de la forme


0


..


.




0




0 1
U =



0
0



0 1 0 



0 0 1 
0 0 0
1. Soit H un suppl´ementaire de Ker(u2 ) dans E, et (a1 , a2 , ..., ap ) une base de H.
Montrer que (a1 , u(a1 ), u2 (a1 ), a2 , u(a2 ), u2 (a2 ), ..., ap , u(ap ), u2 (ap )) est une famille
libre de E;
2. V´erifier que vect((u(ai ))1≤i≤p ) ∩ Ker(u) = {0}; montrer qu’il existe des vecteurs
(b1 , ..., bq ) tels que vect(u(a1 ), ..., u(ap ), b1 , ...bq ) ⊕ Ker(u) = Ker(u2 ).
Montrer que la famille
(a1 , u(a1 ), u2 (a1 ), ..., ap , u(ap ), u2 (ap ), b1 , u(b1 ), ..., bq , u(bq ))
est libre.
3. Conclure. Exprimer la dimension de E en fonction de la dimension de H, de q, de la
codimension de vect(u2 (a1 ), ..., u2 (ap ), u(b1 ), ..., u(bq )) dans Ker(u).
voir corrig´e en 10
Exercice 81
Soit (fi )1≤i≤p , une famille d’endomorphismes de Cn telle que
p
X
fi = id et i 6= j ⇒ fi ◦ fj = 0.
i=1
On pose pour des αi distincts,
f=
p
X
αi fi .
i=1
1. Montrer que les fi sont les projecteurs sur les sous-espaces propres de f.
2. Calculer f k pour k = 0, ..., p et montrer que chaque fi est

0 −1
3. Soit f de matrice dans la base canonique : A = −1 0
2
1
Exprimer les projecteurs sur les sous-espaces propres de f
f.
54
un polynˆome en f.

2
1 .
0
comme des polynˆomes en
Exercice
82 du classique
1. En introduisant le polynˆ
ome P (x) = V (a0 , a1 , ..., an−1 , x), montrer que le d´eterminant
de la matrice de Vandermonde d´efinie par


1
1
1
...
1
 a0
a1
a2 . . . an−1 


2
 a2
a1
a22 . . . a2n−1 

,
0
M V (a0 , a1 , ..., an−1 ) = 
..
..
..
.. 
 ...
.
.
.
. 


..
n−1
n−1
n−1
n−1
a0
a1
a2
. an−1
est ´egal au produit :
Y
(aj − ai ).
0≤i<j≤n−1
2. Soit ω = e2iπ/n . On consid`ere la matrice circulante

a3 . . . . . . an
a2 . . . . . . an−1 

a1 . . . . . . an−2 

,
..
..

.
.


..
..
..

.
.
.
a3 . . . an−1 an
a1


1
 ω 


 2 
(a) Soit ω une racine ni`eme de l’unit´e et W =  ω  . Montrer que W est vecteur
 .. 
 . 
ω n−1
propre de Γ(a
P1 , ..., an ). Exprimer la valeur propre qui lui est associ´ee en fonction
de P (X) = ai X i−1 .

a1
 an

an−1

Γ(a1 , ..., an ) = 




a2
a2
a1
an
..
.
(b) En d´eduire qu’une matrice circulante est diagonalisable et montrer que son
d´eterminant est
n−1
Y
det(Γ(a1 , ..., an ) =
P (ω j ).
j=0
55
Exercice
83
a b
1. La matrice A2 =
est-elle diagonalisable dans M2 (C)? Donner ses ´el´ements
b a
propres.
2. On consid`ere la matrice `
a coefficients complexes

a b c

A3 = 
 c a b
b c a


.

(a) V´erifier qu’elle admet t [1, 1, 1], t [1, j, j 2 ] et t [1, j 2 , j] comme vecteurs propres.
(b) A est elle diagonalisable ? Pr´eciser le cas ´ech´eant, une matrice de passage.
(c) Calculer son polynˆ
ome

0 1 0 0

 0 0 1 0


3. On pose F = 
 0 0 0 1

 0 0 0 0

1 0 0 0
caract´eristique.

0

0 


0 
.

1 

0
(a) Calculer les puissances de F. V´erifier que F 5 = I5 . En d´
eduire que les valeurs
propres de F sont des racines cinqui`emes de l’unit´e dans C.
(b) R´eciproquement, montrer que toute racine cinqui`eme de l’unit´e est valeur propre
de F. Pour cela, on pourra v´erifier que les vecteurs t [1, u, u2 , u3 , u4 ] sont des vecteurs propres de F.
(c) On note A l’ensemble des combinaisons lin´eaires des puissances de F (ce sont
en fait les polynˆ
omes en F ). Montrer que A est une sous-alg`ebre de M5 (C);
d´eterminer sa dimension.
(d) Montrer que les puissances de F ont des vecteurs propres communs et que toute
matrice de A est diagonalisable.


a0 a1 a2 a3 a4


 a4 a0 a1 a2 a3 





4. Consid´erons la matrice `
a coefficients complexes A5 =  a3 a4 a0 a1 a2 
.


 a2 a3 a4 a0 a1 


a1 a2 a3 a4 a0
(a) En vous inspirant des questions pr´ec´edentes donner une base de C5 form´ee de
vecteurs propres de A5 . En d´eduire ses valeurs propres.
2iπ
(b) On notera w = e 5 . Expliciter en fonction de w et le plus simplement possible,
une matrice P ∈ GL5 (C) telle que P −1 A P soit diagonale.
56
Exercice 84 d´eterminants par blocs et d´emonstration du th´eor`eme de Cayley-Hamilton
CCP 2000 PC M1
Attention : on se propose ici de d´emontrer le th´eor`eme de Cayley-Hamilton ; il serait mal
venu de l’utiliser en cours de d´emonstration.
1. Soit A ∈ M
 n (R), B ∈Mn,p (R), C ∈ Mp (R) et M la matrice de Mn+p (R), donn´ee
A
B

.
par M =
Op,n
C
(a) Si A est non inversible, montrer sans recourir au d´eterminant, que M est non
inversible.


A
On,p
 . R´esoudre alors dans Mn (R)
(b) Si A est inversible, on pose P = 
Op,n
Ip
l’´equation matricielle XP = M.
(c) Retrouver le r´esultat : detM = detA × detC.
Dans toute la suite u d´esigne un endomorphisme de Rn . χu est le polynˆome caract´eristique de u d´efini par χu (X) = det(u − Xid).
2. Soit F un sous-espace vectoriel de Rn stable par u (ce qui signifie u(F ) ⊂ F ). Si v
d´esigne l’endomorphisme induit par u sur F, montrer que χv divise χu .
3. Pour tout x ´el´ement de Rn , on d´efinit l’ensemble Fu (x) par :
Fu (x) = {y ∈ Rn | ∃P ∈ R[X], y = P (u)(x)}.
Montrer que Fu (x) est un sous-espace vectoriel de Rn stable par u.
4. Dans cette question, on suppose que x est un ´el´ement non nul de Rn
(a) Montrer l’existence d’un plus petit entier naturel q pour lequel la famille de
vecteurs (x, u(x), ..., uq (x)) est li´ee.
(b) Soit (a0 , a1 , ..., aq ) une famille de nombres r´eels non tous nuls telle que
q
X
aj uj (x) = 0.
j=0
Montrer que aq est non nul et que (x, u(x), ..., uq−1 (x)) est une base de Fu (x).
ai
et on note u0 l’endomorphisme
(c) Pour tout i ∈ {0, 1, ..., q}, on pose αi =
aq
induit par u sur Fu (x). Montrer que
q
χu0 (X) = (−1)
q
X
αi X i .
i=0
Donner la valeur de χu0 (u)(x) et en d´eduire que le polynˆome caract´eristique de
u est un polynˆ
ome annulateur de u.
57
58
9
Les br`
eves
1. Soit E un espace vectoriel et F, G, V trois sev de E : Peut on affirmer
(E = F ⊕ G) ⇒ (V = V ∩ F ⊕ V ∩ G)?
2. Soit f un endomorphisme de E, K−espace vectoriel de dim finie (avec K = R ou C).
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses ?
(a) Si P est un polynˆ
ome annulateur de f, les valeurs propres de f sont les racines
de P dans C;
(b) Si P est un polynˆ
ome annulateur de f, les valeurs propres de f sont les racines
de P dans K;
(c) Si P est un polynˆ
ome annulateur de f, les valeurs propres de f sont des racines
de P dans K;
(d) Quelle formule retiendrez vous avec SpK (f ), RacK (P ), RacC (P )?
3. Soit f ∈ L(Rn ), telle que f 2 + f + id = 0. Que peut on dire de f, de son polynˆome
caract´eristique, de l’entier n?
4. Pourquoi un endomorphisme de R3 admet il une valeur propre r´eelle au moins ?
5. Soit A un ensemble muni de certaines lois qui lui conf`erent une structure alg´ebrique
(groupe, anneau, espace vectoriel, alg`ebre etc...). Soit B ⊂ A.
(a) On suppose que (A, ∗) est un groupe commutatif. Les propri´et´es suivantes sont
elles toujours vraies ?
– Pour tout couple (b, b0 ) d’´el´ements de B, b ∗ b0 = b0 ∗ b;
– Pour tout triplet (b, b0 , b”) d’´el´ements de B, (b ∗ b0 ) ∗ b” = b ∗ (b0 ∗ b”);
– la loi * est interne sur B;
– si la loi est interne et B non vide, (B, ∗) est un sous groupe.
(b) On suppose que (A, +, ∗) est un anneau. Les propri´et´es suivantes sont elles
toujours vraies ?
– Pour tout couple (b, b0 ) d’´el´ements de B, b + b0 = b0 + b;
– si B est un sous-groupe et si la loi * est interne pour B, B est un sous-anneau ;
– si (A, +, ∗) est un anneau commutatif et si B est un sous-anneau, (B, +, ∗)
est un anneau commutatif ?
6.
59
Les mˆ
emes avec les r´
eponses
1. Soit E un espace vectoriel et F, G, V trois sev de E : Peut on affirmer
(E = F ⊕ G) ⇒ (V = V ∩ F ⊕ V ∩ G)?
2. Soit f un endomorphisme de E K−espace vectoriel de dim finie (avec K = R ou C).
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses ?
(a) Si P est un polynˆ
ome annulateur de f, les valeurs propres de f sont les racines
de P dans C;
(b) Si P est un polynˆ
ome annulateur de f, les valeurs propres de f sont les racines
de P dans K;
(c) Si P est un polynˆ
ome annulateur de f, les valeurs propres de f sont des racines
de P dans K;
(d) Quelle formule retiendrez vous avec SpK (f ), RacK (P ), RacC (P )?
60
10
Quelques corrig´
es
Corrig´
e 10.1 -corrig´
e de l’exercice 12.
Question pr´
eliminaire : Si B est la matrice de g dans les bases (ai )j de E, et (bj )j de
F, la matrice de g dans (a0i )i et (b0j )j est donn´ee par B 0 = Q−1 B P o`
u P ∈ Mn (K) est la
0
matrice dont les colonnes sont les coordonn´ees des aj dans la base (ai )i , et Q ∈ Mm (K)
est la matrice dont les colonnes sont les coordonn´ees des b0j dans la base (bj )j .
Ip
Op,m−p
∈ Mn,m (K).
On−p,p On−p,m−p
1. On suppose que g est injective et on consid`ere (ai )1≤i≤m une base de E.
Comme g est injective, rg(g) ≤ dimF, (g(ai ))1≤i≤m est libre dans F. On note bi =
g(ai ) pour 1 ≤ i ≤ m et on compl`ete cette partie libre en une base (b1 , ..., bm , bm+1 , ...bn ),
de F. La matrice de g dans ces bases est :


1 0 ... 0
0 1 . . . 0




..


.
0
.
M at(g, (ai )1≤i≤m , (bj )1≤j≤n ) = 

1


 .. ..
.. 
. .
.
0 0
0
2. On suppose maintenant que g est de rang p ≥ 1 et que dim Ker(g) = q ≥ 1.
– Puisque dim Ker(f ) = q et dim E = p + q, on peut considerer une base de Ker(f )
num´erot´ee (ap+1 , ..., ap+q ) que l’on compl`ete en une base de E : (a1 , ..., ap , ap+1 , ..., ap+q ).
– (g(a1 ), ..., g(ap )) est une famille libre de F :
!
p
p
p
X
X
X
αi g(ai ) = 0 ⇒ g
αi ai = 0 ⇒
αi ai ∈ Ker(g) ∩ Vect(ai )1≤i≤p = {0}.
i=1
i=1
i=1
– On consid`ere alors une base de F, (bj ) dans laquelle, pour j ∈ [1, p], bj = g(aj ).
La matrice M at(g, (ai )1≤i≤m , (bj )1≤j≤n ) est alors de la forme annonc´ee :
Ip
Op,m−p
∈ Mn,m (K).
On−p,p On−p,m−p
3. On consid`ere l’application lin´eaire g ∈ L(K4 , K3 ) dont la matrice dans les bases
1 −1 0 0
4
3

canoniques respectives de K et K est A = 2 3 5 10 . Construisons P et Q
0 1 1 2
en suivant la m´ethode d´evelopp´ee pr´ec´edemment avec MAPLE :
61
Ce qui est ici fait avec un logiciel de calcul formel peut ˆetre repris avec les outils que vous
avez forg´es Scilab ou les packages numpy, scipy de Python
restart;
with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
A:=matrix(3,4,[[1,-1,0,0],[2,3,5,10],[0,1,1,2]]);
K:=kernel(A);


1 −1 0 0
2 3 5 10
0 1 1 2
{[−1, −1, 1, 0], [−2, −2, 0, 1]}
a3:=op(1,K):
a4:=op(2,K):
a1:=vector([1,0,0,0]):
a2:=vector([0,1,0,0]):
Q:=augment(a1,a2,a3,a4);

1
0

0
0

0 −1 −2
1 −1 −2

0 1
0
0 0
1
b1:=evalm(A&*a1):
b2:=evalm(A&*a2):
b3:=vector([0,1,0]):
P:=augment(b1,b2,b3);
evalm(P^(-1)&*A&*Q);

1
2
0

1
0
0

−1 0
3 1
1 0

0 0 0
1 0 0
0 0 0
62
Corrig´
e 10.2 – corrig´
e de l’exercice 20
Soit f un endomorphisme de R3 qui v´erifie la relation f 3 + f = 0.
1. Exemples : f = 0, f canoniquement attach´e `a la matrice de la question 3...
2. R3 = Ker(f ) ⊕ Im(f ).
- Ker(f ) ∩ Im(f ) = {0} :
si x ∈ Ker(f ) ⊕ Im(f ) = {0}, f (x) = 0 et il existe t tel que x = f (t). Ainsi,
x = f (t) = −f 3 (t) = −f 2 (x) = 0.
- Montrons que Ker(f ) ⊕ Im(f ) = R3 :
un ´el´ement x ∈ R3 s’´ecrit x = (f 2 (x) + x) − f 2 (x). Or (f 2 (x) + x) ∈ Ker(f ) et
−f 2 (x) = f (−f (x)) ∈ Im(f ).
3. Recherche de bases particuli`eres.
• M´
ethode 1 : on discute selon la dimension du noyau de f.
– cas o`
u dimKer(f) = 3 : f est alors nulle, sa matrice aussi (et c’est une solution
de f 3 + f = 0);
– cas o`
u dimKer(f) = 2 et rgf = 1 : consid´erons une base (a1 , a2 , a3 ) adapt´ee `a
la d´ecomposition R3 := Ker(f
 ) ⊕ Im(f ). Dans une telle base la matrice de f est
0 0 0


3

de la forme A = 
 0 0 0  . Elle v´erifie donc l’´equation A + A = 0 ce qui se
0 0 a
3
traduit par a + a = 0. La seule racine r´eelle de cette ´equation est a = 0, ce qui
contredit l’hypoth`ese sur le rang de f ;
Il n’y a donc pas de solution de rang 1.
– cas o`
u dimKer(f) = 1 et rgf = 2 : nous cherchons une base (u, v) de Im(f ) telle
que f (u) = −v et f (v) = −f 2 (u) = u.
Pour cela remarquons que f 3 + f = (f 2 + id) ◦ f = 0. Consid´erons alors u = f (t) ∈
Im(f ), non nul et posons v = −f (u). Ces deux vecteurs sont dans Im(f ) sur lequel
f 2 + id = 0.
Si la famille (u, v) est libre, c’est une base de Im(f ) qui est de dimension 2.
Dans
une base
ur : mat(f, (a, u, v)) =

 (a, u, v) a ∈ Ker(f ), nous aurons bien sˆ
0 0 0


 0 0 1  . Il reste `
a montrer que (u, v) est libre :


0 −1 0
si αu + βv = 0 (1) en appliquant f il vient : αf (u) + βf (v) = −αv + βu = 0. (2).
En combinant (1) et (2) on obtient α2 + β 2 = 0...
– cas o`
u dimKer(f) = 0 et rgf = 3 : il n’y a pas de solution car f 3 = f entraˆıne
det (f 3 ) = (det f )3 = det (−f ) = (−1)3 det f et l’´equation a3 + a = 0 n’admet pas
de solution non nulle dans R.
Il n’y a donc pas de solution de rang 3.
• M´
ethode 2 : on reprendra cet exercice avec des m´
ethodes du chapitre
suivant sur les polynˆ
omes annulateurs.
63
Corrig´
e 10.3 Indication ou corrig´
e 24
1. Si la suite des vecteurs converge, les suites de coordonn´ees convergent. On note `i la
(m)
limite de (xi )m .
De


X
1
(m+1)
(m)
bi,i −
=
xi
ai,j xj 
ai,i
j6=i
on passe `
a

`i =

1 
bi,i −
ai,i
X
ai,j `j 
j6=i
On multiplie par ai,i il vient :
ai,i `i +
X
ai,j `j = bi,i .
j6=i
2. On observe en effet que

(m+1)
xi
=
1 
bi,i −
ai,i

X
(m) 
ai,j xj
j6=i
est la ii`eme ligne de l’´equation matricielle Xm+1 = D−1 (b − (A − D)Xm ), ce qui peut
simplifier la programmation (mais pas son efficacit´
e !) :
avec Maple (Ex1AlgLin254Jacobi.mws)
avec Mathematica (ExAlgLinJacobi.nb)
J:=proc(A,b,X)
local n, d,e, k;
n:=rowdim(A);
d:=diag(seq(A[k,k],k=1..n));
e:=evalm(A-d);
evalm(d^(-1)&*(b-e&*X));
end:
J[A_, b_, X_] := Module[{n, D, E},
n = First[Dimensions[A]];
D = DiagonalMatrix[
Table[A[[i, i]], {i, 1, n}]];
E = A - D;
for k from 1 to 12 do
X:= map(evalf,J(A,b,X));
od;
For[i = 0, i < 12, i++,
X = J[A, b, X];
Print[X]]
(Inverse[D].(b - E.X))
]
A:=matrix(4,4,[[-1,2,3,4],[2,3,4,5], A = {{12, 1, 1, 1}, {1, 12, 1, 1},
[3,4,5,6],[4,5,6,-7]]);
{1, 1, 12, 1}, {1, 1, 1, 12}}
b:=vector([1,2,1,2]);
b := {1, 1, 1, 1}
X:=vector([1,1,2,1]);
X = {0, 0, 0, 3.}
64
Remarque de bons sens : Un jour d’oral, on peut aller plus vite avec une programmation ad hoc. Par exemple : n :=rowdim(A) remplac´e par n :=4 pour
aller vite et ne pas chercher si on ne se souvient plus du nom des fonctions, ou placer
n en argument. Idem pour le map(evalf,...) : il suffit d’envoyer des flottants en
arguments)
3. Une id´ee ´el´ementaire pour les suites r´ecurrentes sert ici. On va ´ecrire lorsque J(X ∗ ) =
X∗ :
Xn+1 − X ∗ = J(Xn ) − J(X ∗ ).
L’´equation AX = b s’´ecrit aussi DX = b − (A − D)X ou encore
X = D−1 (b − (A − D)X) = J(X).
• Si A est inversible et si X ∗ est la solution, il vient donc
Xm+1 − X ∗ = D−1 (b − EXm ) − D−1 (b − EX ∗ ) = D−1 E(Xm − X ∗ ).
Xm − X ∗ = J m (X0 − X ∗ ) o`
u J = D−1 E.
(10.1)
• Si de plus A est `
a diagonale strictement dominante la matrice J v´erifie

Ji,i
=0







ai,j

 Ji,j
si i 6= j
=
ai,i



P



P
j6=i |ai,j |


<1

j |Ji,j | ≤
|ai,i |
Pour un vecteur Y quelconque
n
n
X
X
|[JY ]i | = Ji,j yj ≤
|Ji,j ||yj |
j=1
j=1
Posons α = supi
P
|J
|
, on montre alors (r´ecurrence) que
i,j
j
||J n (X − X ∗ )||∞ ≤ Ctse × αn → 0.
• Si l’on sait ou d´emontre ou conjecture qu’une matrice `a diagonale dominante est
inversible (ce qui n’est pas du cours) la deuxi`eme hypoth`ese seule suffit. Il n’y a pas
de raison de le savoir a priori.
65
Corrig´
e 10.4 – corrig´
e de l’exercice 21
1. Matrice de f dans la base canonique de Rn
(a) lorsque f est la projection sur le plan d’´equation 2x + y − z = 0 de direction la
droite engendr´ee par le vecteur u = (2, 1, 0).
(b) lorsque f est la sym´etrie de R4 par rapport au sous espace engendr´e par
u = (2, 1, 1, 2), v = (−2, 1, 1, −2) et ayant pour direction le plan orthogonal
au pr´ec´edent. Expliciter une base dans laquelle la matrice de f sera diagonale.
2. Soient p une projection de Rn et s une sym´etrie. Donner des conditions sur Im(p),Ker(p),
Ker(s-id) et Ker(s+id) pour que p et s commutent (ie : s ◦ p = p ◦ s).
66
Corrig´
e 10.5 – corrig´
e de l’exercice 22
1. Pout d´eterminer le rang de A, le plus simple est de r´esoudre la syst`eme AX = 0 :
#" # " #
"



a b y
0
0 a b 0    


=

0

 x

0
 b a z
 a 0 0 b    


 y  0
AX = 
=
⇔ et

"
#" # " #
 b 0 0 a   z  0





a
b
x
0


t
0

=

0 b a 0
b a t
0
• si a2 − b2 6= 0, Ker(f ) = {0} et A est de rang 4 ;
• si a2 − b2 = 0, deux sous cas se pr´esentent :
- a = b = 0 et A = 0;
- a = ±b 6= 0 et A est de rang 2.
2. Calculer le d´eterminant de cette
0 a
a 0
det(A) = b 0
0 b
matrice.
b 0
a 0 b a 0 b 0 b
b 0 a + b b 0 a
=
−a
0 a
0 a 0
0 b 0
a 0
= −a2 (a2 − b2 ) + b2 (a2 − b2 ) = −(a2 − b2 )2 .
Cela confirme notre r´esultat pr´ec´edent quant au rang de A.
On suppose a2 6= b2 . A est donc inversible et on obtient son inverse par pivotage en
´ecrivant la matrice augment´
ee :


0 a b 0 | 1 0 0 0
a 0 0 b | 0 1 0 0


 b 0 0 a | 0 0 1 0
0 b a 0 | 0 0 0 1
Voir feuille Maple (pour la pr´esentation). On obtient (en distinguant a 6= 0 et b 6= 0
en cours de calculs) :

A−1

0 −a b
0
−a 0
1
0
b 


= 2

2
b
0
0 −a
b −a
0
b −a 0
3. Noyau et de l’image de A.
• a = b = 0, pour m´emoire Ker(A) = K4 ; Im(A) = {0}.
• a = b 6= 0, Ker(A) = Vect(t [1, 0, 0, −1],[ 0, 1, −1, 0]); Im(A)= Vect(t [1, 0, 0, 1],[ 0, 1, 1, 0]).
• a = −b 6= 0, Ker(A) = Vect(t [1, 0, 0, 1],[ 0, 1, 1, 0]); Im(A)= Vect(t [1, 0, 0, −1],[ 0, 1, −1, 0]).
• Enfin le cas g´en´erique a2 − b2 6= 0 : la matrice est de rang 4, son noyau est {0},
son image K4 .
67
Corrig´
e 10.6 – corrig´
e de l’exercice 34

0 0 a1,2 a2,3 a1,2 a2,4 + a1,3 a3,4

 0 0
0
a2,3 a3,4

1. Posons M = 
 0 0
0
0

0 0

0
0
a2,3 a3,4
0
0
0
0
Remarque : pour
– lorsque i = j, ai,j
– lorsque j = i + 1,
– lorsque j = i + 2,



 . Nous avons alors


0
0 0 a1,2 a2,3 a1,2 a2,4 + a1,3 a3,4

 0 0

M2 = 
 0 0

0 0



0 0 0 a1,2 a2,3 a3,4



 0 0 0


 , M3 = 

 0 0 0


0 0 0
0
0




 et M 4 = 0.


0
la suite de l’exercice, observons que
est sur la diagonale,
ai,j est au-dessus ou `a droite de la diagonale,
ai,j est deux cases au-dessus ou `a droite de la diagonale...
2. Soit A une matrice triangulaire sup´erieure. Montrons que A est nilpotente ssi sa
diagonale est nulle.
⇐ Si A est nilpotente, ses termes diagonaux sont nuls :
On sait que (An )i,j = ani,j . Ainsi, ∃i, ai,i 6= 0 ⇒ ∀n ∈ N, ani,i 6= 0, A n’est pas
nilpotente si un de ses termes diagonaux est non nul.
⇒ Montrons que si les termes diagonaux sont nuls, A est nilpotente. Ce r´esultat
est d´emontr´e pour n = 4 par le calcul explicite de la premi`ere question. G´en´eralisons
(`a voir comme un exercice d’entraˆınement aux techniques de d´emonstration).
Montrons par r´ecurrence sur p que les coefficients de Ap v´erifient
(p)
P(p) := {j ≤ i + p − 1 ⇒ ai,j = 0}.
• pour p = 1, cela se traduit par j ≤ i ⇒ ai,j = 0, ce qui est la propri´et´e suppos´ee
de A (triangulaire sup´erieure `
a diagonale nulle)
• Supposons P(p) v´erifi´ee. Exprimons les coefficients de Ap+1 = Ap ×A en ne gardant
que les termes qui sont peut ˆetre non nuls et en faisant la convention qu’une somme
dont l’ensemble des indices est vide est nulle :
(p+1)
ai,j
=
n
X
k=1
n
X
(p)
ai,k ak,j =
HR
k=i+p
(p)
ai,k ak,j =
X
A
(p)
ai,k ak,j
k≥i+p
j>k
Cette somme est bien nulle d`es lors que j ≤ i + p = i + (p + 1) − 1 puisqu’on ne peut
avoir d’indice k tq i + p ≤ k < j.
68
Corrig´
e 10.7 – corrig´
e de l’exercice 39.
L’article d´
efini nous alerte : il nous faut une CNS.
⇒ Observons que si A = λIn , A commute avec toute matrice.
⇐ Montrons la r´eciproque. Pour cela, consid´erons une matrice A = [ai,j ]1≤i,j≤n et supposons que A commute avec toutes les matrices.
Pour toute matrice M = [mi,j ]1≤i,j≤n et tout couple d’indices (i, j), nous avons :
n
X
ai,k mk,j =
k=1
n
X
mi,k ak,j .
k=1
Choisissons alors la matrice M = Eα,β de la base canonique et regardons ces n2 ´equations :
n
X
ai,k Eα,β k,j =
k=1
n
X
Eα,β i,k ak,j .
k=1
• si α 6= i et β 6= j c’est sans int´erˆet (cela donne 0=0) ;
• consid´erons alors (i, j) = (α, β) il vient, en rempla¸cant :
n
X
aα,k Eα,β k,β =
k=1
n
X
Eα,β α,k ak,β
k=1
a` gauche comme `
a droite tous les termes sont nuls sauf un et il reste aα,α = aβ,β ; comme
α et β sont arbitraires, les termes diagonaux sont tous ´egaux ;
• consid´erons enfin i = α et j 6= β :
n
X
aα,k Eα,β k,j =
k=1
n
X
Eα,β α,k ak,j
k=1
`a gauche tous les termes sont nuls puisque α 6= β, `a droite il reste un terme non nul : aβ,j .
Nous avons prouv´e que les termes non diagonaux sont nuls. Corrig´
e de l’exercice 23
1.
2.
3.
69
Corrig´
e de l’exercice 61
1. Pour n = 2, nous avons σ1 = S1 , σ2 = ab, S2 = a2 + b2 , soit :
1
(a + b)2 = S2 + 2σ2 , σ2 = (S12 − S2 ).
2
Pour n = 4, nous avons :
(a + b + c + d)2 = S2 + 2σ2 ,
1
σ2 = (S12 − S2 ).
2
(a + b + c + d)3 = S3 + 3a2 (b + c + d) + ... + 3d2 (a + b + c) + 6σ3
= S3 + 3a2 (S1 − a) + ... + 3d2 (S1 − d) + 6σ3
= S3 + 3S2 S1 − 3S3 + 6σ3
1
1
1
σ3 = S3 − S2 S1 + S13
3
2
6
(a + b + c + d)4 = S4 +4 (a3 b + a3 c + a3 d + b3 a + ...)
+6 (a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + ...)
+12 (a2 bc + a2 bd + a2 cd + b2 ac + ...)
+24 abcd
Ce qui, en rempla¸cant chaque ligne donne :
S14 = S4 +4 (a3 (S1 − a) + ... + d3 (S1 − d)
1
+6 (S22 − S4 )
2
+12 (a2 (σ2 − a(S1 − a)) + ... + d2 (σ2 − d(S1 − d)))
+24 σ4 ,
D’o`
u, enfin :
S14 = S4 + 4(S3 S1 − S4 ) + 3(S22 − S4 ) + 12(S2 σ2 − S3 S1 + S4 ) + 24σ4 ,
σ4 = −1/4 S4 + 1/3 S3 S1 + 1/8 S2 2 − 1/4 S2 S1 2 + 1/24 S1 4
2. Soient (λi )i , la suite des valeurs propres de A. On v´erifie, en triangularisant A
´eventuellement, que pour tout k, Sk = Tr(Ak ). On observe que :
X1 = A(A − Tr(A)) = A2 − S1 A, Tr(X1 ) = S2 − S12 = −2σ2
X2 = A3 − σ1 A2 + σ2 A
4
3
Tr(X2 ) = S3 − S1 S2 + σ2 S1 = 3σ3
2
X3 = A − σ1 A + σ2 A − σ3 A
Tr(X2 ) = S4 − S1 S3 + σ2 S2 − σ3 S3 = −4σ4
X4 = AχA (A) = 0
70
3. Les calculs donnent :




X1 = 



1 2 1
1



 2 2 0 0 


X0 = A = 
,
 1 0 0 −1 


1 1 1 1



3 −1 −2 −3
−4 1
0
2



 2 −2 0 −2 
−2 0
2
2 



 , X2 = 
,
 2 −2 0
−4 1
0
4 
0 



1
1 −2 −3
−2 1 −2 0




2 0 0 0
0 0 0 0




 0 2 0 0 
 0 0 0 0 




X3 
 , X4 = 
];
 0 0 2 0 
 0 0 0 0 




0 0 0 2
0 0 0 0
le reste suit...
σ1 = Tr(A) = 4, σ2 =
1
−1
−1
Tr(X1 ) =, σ3 = Tr(X2 ) = −19, σ4 =
Tr(X3 ) =,
2
3
4
dont on d´eduit :χA = X 4 − ∗ X 3 − ∗ X 2 + ∗ X + ∗.
Maple : SouriauFadeev.mws
SouriauFadeev:=proc(A)
local X,n,In, k;
X:=[evalm(A)];
n:=rowdim(A):
In:=diag(1$n);
for k from 1 to n do
X:=[op(X), evalm(A&*(
od;
X;
end:
X[k]- trace(X[k])/k*In))];
A:=matrix(4,4,[[1,2,1,1],[2,2,0,0],[1,0,0,-1],[1,1,1,1]]);
SouriauFadeev(A);
71


1
2
1

 2 2 0


 1 0 0

1 1 1
1
 
3
2
1

 2

A := 
 1

1
2
0
0
0
1
1
−1
−2
0
2
1
0
1
−2
 

0 
  −2
,

−1 
  −4
1
1
1
−3
 
−4
 

2 
  2
,

4 
  2
−2
−3
1


0 


−1 

1
1
0
−2
0
−2
0
1
−2
 
 
0
0
0
0
0
0
0
 

−2 
  0
,

0 
  0
2
0
0
0
0
2
 

0 
  0
,

0 
  0
0
0
0
0
0
0
0
0


0 



0 

0
0
2
Corrig´
e de l’exercice 64
1. On suppose u diagonalisable, on note {λ1 , λ2 , ..., λk } ses
dimKer(u − λi ). Dans une base adapt´ee, la matrice de u
avec

λ1 Ip1
O
...
 O
λ
I
...
2
p
2

A := mat(u, B) =  .
.
..
 ..
O
O
valeurs propres et pi =
est diagonale par blocs,

O
O 

.
O 
λk Ipk
Recherchons les endomorphismes qui commutent avec u.
Analyse : si v commute avec u les sous-espaces propres de u sont stables par v. Ainsi,
dans la mˆeme base adapt´ee, la matrice de v est diagonale par blocs, de la forme :


M1 O ... O
 O M2 ... O 


M :=  .
,
..
 ..
. O
O
O
Mk
chaque matrice Mi est une matrice carr´ee de pi lignes et colonnes ;
Synth`ese : soit v asoci´e `
a une telle matrice. v commute avec u car en effectuant
les produits par blocs AM et M A, on constate que pour chaque bloc diagonal
Mi λi Ipi = λi Ipi Mi (matrices scalaires...).
Bilan : v commute avec u ssi les sev de u sont stables par v; en cons´equence l’alg`ebre
des commutants ayant mˆeme dimension que l’alg`ebre des matrices qui commutent
avec A, on a
!2
X
X
dimCom(A) =
p2i ≤
pi
= n2 .
i
i
L’in´egalit´e est toujours stricte sauf si k = 1 (nombre de vp).
P
2. K[u] d´esigne l’alg`ebre des endomorphismes, P (u) =
ai ui , P ∈ K[X]. Elle est
engendr´ee par (u0 = idE , u, u2 , ..., un−1 ).
En effet, par le th´eor`eme de Cayley-Hamilton,
χu (u) = (−1)n (un + a1 un−1 + ... + an idE ) = 0.
72

2
2
Nous en d´eduisons que un est CL de (u0 = idE , u, u2 , ..., un−1 ), puis par une r´ecurrence
que nous laissons `
a la lectrice (ou au lecteur), que un+p est CL de (u0 = idE , u, u2 , ..., un−1 ).
En cons´equence dimK[u] ≤ n.
3. CNS d’´egalit´e : on sait que tout polynˆome enPu commute avec u. On a donc K[u] ⊂
Com(u). L’´egalit´e des dimensions s’exprime
p2i = dimK[u] ≤ n;
Observons que pour des entiers p2 ≥ p, donc
X
X
pi = n ≤
p2i = dimK[u] ≤ n
P 2
impose en particulier
pi = n, d’o`
u pour tout i, pi = 1.
Il n’y a ´egalit´e que si u admet n vp distinctes.
Corrig´
e de l’exercice 65

0
0

M =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1. Les calculs donnent (en calculant par blocs)



0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 1 0



 , M 3 = 0
0
0
0
0
1
M2 = 



0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0

0
0

0
.
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
1

4
0
 , M = 0.
0
0
f est donc nilpotente d’ordre 4.
f est de rang 3, Ker(f ) = vect(e1 , e2 ), Im(f ) = vect(e2 , e3 , e4 ).
2. Im(f ) = vect(e4 , e3 , e2 ) = vect(e4 , e3 = f (e4 ), e2 = f 2 (e4 ).
3. Analyse Si un endomorphisme g commute avec f, il commute aussi avec f k .
– Il laisse donc stable Im(f 3 ) = vect(e2 ), donc g(e2 ) ∈ vect(e2 ) ;
– il laisse donc stable Im(f 2 ) = vect(e2 , e3 ), donc g(e3 ) ∈ vect(e2 , e3 );
– il laisse donc stable Im(f ) = vect(e2 , e3 , e4 ), donc g(e4 ) ∈ vect(e2 , e3 , e4 );
– il laisse stable Ker(f ) = vect(e1 , e2 ), donc g(e1 ) ∈ vect(e1 , e2 ) ;
La matrice de g dans la mˆeme base est donc

 

a 0 0 0 i
∗ 0 0 0 ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗  b c d f j 

 


 
C=
0 0 ∗ ∗ ∗ = 0 0 e g k  .
0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 h l 
0 0 0 0 ∗
0 0 0 0 m
Que faire de plus ? Calculer M C et CM et comparer.La diff´erence
73

0 0
0
0
0

 0 0 e−c g−d k−f


0
h−e l−g
M C − CM = 
 0 0

 0 0
0
0
m−h

0 0
0
0
0
Ce qui nous donne la CNS

a

 b


C=
 0

 0

0





.




:
0 0 0
i


a 0 0 0
i

 



j 
  b c d f j 
 



0 e g k 
= 0 0 c d f 
 



0 0 h l 
  0 0 0 c d 
0 0 0 m
0 0 0 0 c
c d f
Voir le fichier MAPLE : Alglin1ExNilpCom.mws.
Il est facile de mettre en ´evidence une base de com(f) qui est de dimension 7 (´ecrire la
matrice g´en´erique ci-dessus comme combinaison lin´eaire aC1 + bC2 + CC3 + ... + iC7 et
v´erifier que les (Ci ) forment une famille libre...)
Les polynˆomes en f forment une alg`ebre de dimension 4 engendr´ee par (id, f, f 2 , f 3 ).
corrig´
e de l’exercice 74.
Notons un le nombre des n-uplets de 0 et de 1 ne comportant pas deux 0 cons´ecutifs. On
´etablit la relation de r´ecurrence
un+2 = un+1 + un
en observant que l’on peut construire les suites de cette forme ayant n+2 termes,
(i) en posant a1 = 1 et en prolongeant de un+1 fa¸cons
(ii) en posant a1 = 0 , puis, n´ecessairement a2 = 1 et en prolongeant de un fa¸cons.
La suite (un )n v´erifie la relation de r´ecurrence ci-dessus et les conditions initiales u1 = 2
et u2 = 3, et l’on a :
n 0 1
u1
0 1
un
un+1
=
=
1 1
u2
1 1 un+1
un+2
On obtient le terme u10 en calculant A8 par exemple...
74
Corrig´
e de l’exercice 80
Consid´erons u ∈ L(E), tel que u3 = 0, u2 6= 0.
1. Soit H un suppl´ementaire de Ker(u2 ) dans E, et (a1 , a2 , ..., ap ) une base de H.
Consid´erons une combinaison lin´eaire de la famille (a1 , u(a1 ), u2 (a1 ), a2 , ..., ap , u(ap ), u2 (ap ))
et supposons la nulle :
p
X
λi ai +
i=1
p
X
µj u(aj ) +
j=1
p
X
νk u2 (ak ) = 0.
(10.2)
k=1
L’id´ee est bien entendu d’appliquer u2 puis u `a cette expression. On commence donc
par d´eterminer l’image par u2 de ce qui pr´ec`ede :
p
X
λi u2 (ai ) +
i=1
p
X
µj u3 (aj ) +
j=1
p
X
νk u4 (ak ) =
p
X
λi u2 (ai ) = 0.
(10.3)
i=1
k=1
P
P
Nous observons
que pi=1 λi u2 (ai ) = u2 ( pi=1 λi ai ) = 0.
Pp
Ainsi, i=1 λi ai ∈ H ∩Ker(u2 ) = {0}. Comme la famille (ai ) est libre, les coefficients
λi sont tous nuls.
L’´equation 10.2 se simplifie alors en :
p
X
µj u(aj ) +
j=1
p
X
νk u2 (ak ) = 0.
(10.4)
k=1
On applique u `
a cette expression, ce qui donne :
p
X
j=1
2
µj u (aj ) +
p
X
3
νk u (ak ) =
p
X
µj u2 (aj ) = 0.
j=1
k=1
P
P
p
De la mˆeme fa¸con nous avons u2
µ
a
= 0 et pj=1 µj aj ∈ H ∩ Keru2 = {0}.
j
j
j=1
Comme les (a
une partie libre les (µj )j sont nuls eux aussi et il ne reste
Pjp)j forment
2
de 10.2 que k=1 νk u (ak ) = 0. On conclut de la mˆeme fa¸con que dans les deux cas
pr´ec´edent que les (νk )k sont nuls.
Conclusion : la famille de 3p ´el´ements ci-dessus est libre.
P
P
2. Soit pj=1 µj u(aj ) ∈ vect(u(ai )); cet ´el´ement appartient `a Keru ssi pj=1 µj u2 (aj ) =
P
P
0. Comme pr´ec´edemment, on montre que si pj=1 µj u2 (aj ) = 0, alors pj=1 µj aj ∈
H ∩ Keru2 et les µj sont nuls. On a donc montr´e que vect(u(ai )) ∩ Ker(u) = {0};
Les sev vect(u(ai )) et Ker(u) sont donc en somme directe et comme u3 = 0, les
´el´ements u2 (ai ) sont dans Keru2 ; ainsi vect(u(ai ))⊕Ker(u) = {0} ⊂ Keru2 . L’espace
vect(u(ai )) ⊕ Ker(u) admet donc un suppl´ementaire dans Keru2 . Il existe donc des
vecteurs (b1 , ..., bq ) tels que
vect(u(a1 ), ..., u(ap )) ⊕ vect(b1 , ...bq ) ⊕ Ker(u) = Ker(u2 ).
75
Consid´erons alors la famille
(a1 , u(a1 ), u2 (a1 ), ..., ap , u(ap ), u2 (ap ), b1 , u(b1 ), ..., bq , u(bq )).
Une combinaison lin´eaire nulle des ´el´ements de cette famille s’´ecrit
p
X
λ i ai +
i=1
p
X
µj u(aj ) +
j=1
p
X
2
νk u (ak ) +
k=1
q
X
α` b` +
q
X
βm u(bm ) = 0.
(10.5)
m=1
`=1
On applique u2 ce qui permet de montrer que les λi sont nuls, puis u, ce qui donne :




p
q
p
q
X
X
X
X
u
µj u(aj ) +
α` b`  = 0 ou 
µj u(aj ) +
α` b`  ∈ Keru.
j=1
j=1
`=1
(10.6)
`=1
Comme la famille des (u(ai )i , (bj )j ) est libre les coefficients µj et α` sont nuls eux
aussi. Il ne reste plus alors dans 10.5 que :
u
p
X
νk u(ak ) +
q
X
!
βm bm
= 0,
(10.7)
m=1
k=1
et la conclusion est imm´ediate puisque vect(u(a1 ), ..., u(ap ))⊕vect(b1 , ...bq ) et Ker(u)sont
en somme directe...
3. Rassemblant les deux questions pr´ec´edentes :
E = Keru2 ⊕ H, une base de H est vect(ai ), une base de Keru2 est la r´eunion de
(u(ai ))i , (bj )j et d’une base de Keru que l’on obtient en compl´etant la famille libre
form´ee des ´el´ements de la forme u2 (ai ) et u(bj ) qui sont dans le noyau de u, une
base de Keru :
Notons (c1 , c2 , ..., cr , u(a1 ), ..., u(ap ), b1 , ..., bq ).
La r´eunion de ces familles forme une base de E que l’on peut r´eordonner pour obtenir
la base :
(c1 , ..., cr , u(b1 ), b1 , ..., u(bq ), bq , u2 (a1 ), u(a1 ), a1 , ..., u2 (ap ), u(ap ), ap )
dans laquelle la matrice de u sera :


0

 ..


.




0




0
1




0 0
M at(u, ...) = 



..


.



0 1 0



0 0 1
0 0 0
avec dimE = r + 2q + 3p.
76

TP n 10 – Systèmes linéaires et pivot de Gauss

Exercices

Transformations de Householder

DS n°7 - MPSI

Document 5414113

Document 5414552

Bac blanc obligatoire – Spécialité . TS2. Lycée Moissan

Le théorème de la baguette magique de A. Eskin et M. Mirzakhani, A

format PDF - ORDI

MP 2014