DÉPARTEMENT
GÉNIE THERMIQUE ET ÉNERGIE
TRAVAUX PRATIQUES
Transferts de Chaleur
S2 - 2013/2014
SOMMAIRE
Nom
p.
Rappels : conduction 1D en régime permanent
1
Conduction 1D - Barres métalliques
7
Conduction 1D – Murs plans
11
Conduction Barre
15
Identification de conductivité thermique
23
Etude du rayonnement d’un corps noir
31
Conduction 2D
45
ROTATION DES BINOMES
Séance 1
Séance 2
Séance 3
Séance 4
Séance 5
Séance 6
Binôme n° 1 Binôme n° 2 Binôme n° 3 Binôme n° 4 Binôme n° 5 Binôme n° 6
TP 1
TP 2
TP 3
TP 4
TP 5
TP 6
TP 2
TP 3
TP 4
TP 5
TP 6
TP 1
TP 3
TP 4
TP 5
TP 6
TP 1
TP 2
TP 4
TP 5
TP 6
TP 1
TP 2
TP 3
TP 5
TP 6
TP 1
TP 2
TP 3
TP 4
TP 6
TP 1
TP 2
TP 3
TP 4
TP 5
Les travaux pratiques (TP) sont des développements des enseignements
et en permettent une meilleure compréhension. Ils doivent aussi être
considérés comme une initiation à l'activité dans l'entreprise :
méthodologie, précision de la mesure, attitude d'analyse et de critique.
Préparation avant la séance
Lire l'énoncé et savoir répondre aux questions :
-
quel est le principe étudié (entrée, sortie, fonction principale, …) et ses principaux
constituants ?
-
que mesure-t-on ? avec quels moyens ? comment ?
-
quelle modélisation utilise-t-on et quelles sont les conclusions attendues ?
Amener le cours et les TD correspondant aux thèmes abordés.
Déroulement des séances
Les TP durent 3 h pendant lesquelles :
-
vous êtes susceptibles d'être interrogés sur votre préparation (l'enseignant vous
questionne et vous note en début de séance),
-
vous devez manipuler pour répondre aux questions de l'énoncé,
-
vous devez rendre à la fin de la séance un compte-rendu qui sera noté.
Pour les TP n°1 à n°4, un travail préparatoire rédigé avant la séance doit apparaître sur
votre compte-rendu. Des points seront systématiquement enlevés si cela n'est pas fait.
Quelques conseils de rédaction
-
Quelques lignes d'introduction (ne pas recopier l'énoncé dans son intégralité).
-
Soigner les tableaux de mesures et les graphiques.
-
Penser aux unités des quantités étudiées.
-
Conclure.
La présentation compte pour beaucoup dans la note.
CONDUCTION 1D, REGIME PERMANENT
RAPPELS POUR LES TP 1, 2 et 4
1 DEFINITION
Si, à l'intérieur d'un corps, il existe une différence de température (gradient de température)
ou si plusieurs corps de températures différentes sont mis en présence, on constate qu'il se
produit des échanges de chaleur tendant à une égalisation des températures (principe zéro). Ce
transfert de chaleur de proche en proche dans la matière par excitation moléculaire ou
atomique caractérise le phénomène de conduction de la chaleur.
2 LOI DE FOURIER
2-1 Loi de Fourier à une dimension
Entre deux éléments dS de deux surfaces isothermes T et T + dT , distantes de dx (fig. 1),
la quantité de chaleur échangée pendant l'intervalle de temps dt s'écrit :
dT
d 2 Q = −λ.dS.
.dt
dx
Fig. 1 : Géométrie quelconque
Si l'échange est permanent, la loi de Fourier peut s'écrire :
d 2Q
dT
dΦ =
= −λ.dS.
dt
dx
-1 -1
où λ est le coefficient de conductivité thermique (W.m .K ).
La conductivité thermique est une caractéristique du milieu qui dépend de sa nature et,
également, d'autres paramètres physiques (T, …) (cf. annexe TP n°2).
2-2 Densité de flux
La densité de flux de chaleur est le flux de chaleur traversant l'unité de surface :
dΦ
dT
= −λ.
q=
dS
dx
Elle s'exprime en W.m-2.
Conduction 1D - Rappels
1
(1)
3 PROFIL DE TEMPERATURE EN REGIME PERMANENT : Φ = CONSTANTE
3-1 Mur plan
Un mur plan d'épaisseur L a ses deux faces extérieures respectivement aux températures T1
et T2 (fig. 2).
Fig. 2 : Mur plan
Considérons le flux de chaleur à travers un élément de surface ∆S :
∆Φ
dT
q=
= −λ.
∆S
dx
que l'on peut écrire :
q
dT = − dx
λ
Par intégration de cette équation différentielle, nous obtenons :
q
T = − x + cte
λ
(2)
(3)
Comme condition à la limite, nous prenons : T (x = 0) = T1 .
En reportant dans l'équation (3), nous en déduisons la valeur de la constante d'intégration :
cte = T1
L'équation (3) s'écrit alors :
q
x + T1
λ
qui est l'équation d'une droite.
T=−
(4)
Remarque
Nous avons comme deuxième condition à la limite T (x = L ) = T2 . Nous en déduisons :
T1 − T2 q
=
(5)
L
λ
En reportant dans l'équation (4), nous obtenons l'évolution des températures à l'intérieur du
mur plan (fig. 3) :
T − T2
T=− 1
x + T1
(6)
L
Conduction 1D - Rappels
2
Fig. 3 : Variation linéaire de la température en mur plan
Les plans isothermes sont parallèles aux parois externes.
3-2 Géométrie cylindrique
Considérons un cylindre de conductivité λ et d'épaisseur e. Sa surface extérieure de rayon R2
est à la température T2 et une surface interne de rayon R1 est à la température T1 (fig. 4).
Fig. 4 : Géométrie cylindrique
L'équation (1) s'écrit alors :
dT
dr
et représente la densité de flux de chaleur entre deux surfaces de rayon r et r + dr portées aux
températures T et T + dT .
q = −λ.
L'élément de surface étant ∆S = 2πre , le flux de chaleur traversant cette surface s'écrit :
dT
dT
Φ = −λ. .∆S = −λ. .2π r e
dr
dr
Soit dT = −
Φ dr
.
λ.2π e r
(7)
Φ
. ln(r ) + A
λ.2π e
Comme condition à la limite, nous prenons : T (r = R 1 ) = T1 (fig. 5).
Par intégration, nous obtenons : T = −
Conduction 1D - Rappels
3
(8)
Fig. 5 : Conditions aux limites
L'équation (8) s'écrit alors : T = −
⎛ r ⎞
Φ
. ln⎜⎜ ⎟⎟ + T1
λ.2π e ⎝ R 1 ⎠
(9)
La deuxième condition aux limites donne : T(r = R 2 ) = T2 (fig. 5). On en déduit :
T − T2
Φ
= 1
(10)
R2
λ.2π e
R1
En reportant dans l'équation (9), nous obtenons :
⎛ r ⎞
⎛ r
T2 . ln⎜⎜ ⎟⎟ − T1 . ln⎜⎜
⎝ R1 ⎠
⎝ R2
T=
⎛R ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ R1 ⎠
⎞
⎟⎟
⎠
(11)
4 RESISTANCE THERMIQUE
La résistance thermique d'une paroi se définit par :
T1 − T2 = R th .Φ
avec la résistance thermique exprimée en °C.W-1.
Soit
R th =
T1 − T2
Φ
(12)
4-1 Mur plan
L'équation (5) peut s'écrire : q =
T − T2
Φ
.
=λ 1
S
L
La résistance thermique du mur plan est alors définie par : R th =
Conduction 1D - Rappels
4
L
λS
(13)
4-2 Paroi cylindrique
L'équation (10) peut s'écrire : Φ =
T1 − T2
⎛R
1
. ln⎜⎜ 2
λ.2π e ⎝ R 1
⎞
⎟⎟
⎠
.
La résistance thermique d'une paroi cylindrique est alors définie par :
R th =
⎛R
1
. ln⎜⎜ 2
λ.2π e ⎝ R 1
⎞
⎟⎟
⎠
(14)
4-3 Association des résistances thermiques
En régime permanent, le flux de chaleur est constant à travers les deux corps de
conductivités λ1 et λ2 (fig. 6). Si les températures des deux parois extérieures sont T1 et T3,
nous pouvons admettre que les isothermes sont des plans parallèles aux parois externes, donc
que la surface de contact entre les deux corps est une isotherme de valeur T2.
Fig. 6 : Mur composite
L'écart de température dans le mur peut s'écrire :
T1 − T3 = (T1 − T2 ) + (T2 − T3 )
(15)
En écrivant la conservation du flux Φ, on a :
Φe1
Φe 2
et T2 − T3 =
T1 − T2 =
λ 1S
λ 2S
Si on reporte dans l'équation (15), on obtient :
⎛ e
e ⎞
T1 − T3 = Φ.⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ = Φ.(R th + R th )
⎝ λ 1S λ 2 S ⎠
1
2
La résistance thermique équivalente est donc : R th = R th + R th
1
Conduction 1D - Rappels
5
2
Conduction 1D - Rappels
6
TP n° 1 CONDUC
T
C
CTION 1D
D
BARRES
S METAL
LLIQUES
S
Au courrs de cette séance, on se proposee d'étudier le
l transfert de chaleurr par conduction au
travers d'une barree dont la paroi
p
latéralle est isoléée (pas de perte
p
de chhaleur latérrale). La
tempéraature d'une extrémité
e
est fixée à T0 grâce à un
n collier chhauffant réguulé en temp
pérature.
Un échaangeur de chaleur situéé à la deuxièème extrém
mité permet d'évacuer laa chaleur traansférée
le long de la barree. On considère deux barres
b
de matériau
m
diffférent : aluuminium ou
u cuivre,
soumisees aux mêm
mes contrainttes thermiquues.
1 PRESE
ENTATION DU
D DISPOSIT
TIF EXPERIM
MENTAL
Pour chhacune des barres connsidérées (A
A pour le cuivre, B pour l'alum
minium, fig
g. 1), le
montagee est constittué des appaareils suivannts :
-
-
uun thermom
mètre indiquuant les temppératures en
n différents points du m
montage grââce à un
s
sélecteur
dee position,
u régulatiion de l'alim
une
mentation duu collier chaauffant,
u interruptteur "Marchhe"/"Arrêt" du
un
d collier ch
hauffant,
u rotamètree mesurant le débit d'eaau traversan
un
nt l'échangeeur.
Le schééma de princcipe de la manipulation
m
n est présentté figure 1.
Montage A : barre en cuuivre
Montaage B : barre en aluminium
m
F 1 : Schém
Fig.
ma du montagee expérimentaal,
d barres, les
l deux mo
ontages A ett B sont ideentiques.
Si on exxcepte les dimensions des
Conductionn 1D - Barres métalliques
7
2 PRINCIPE DE MANIPULATION
Chaque dispositif (montages A et B) comporte un collier chauffant dont la température est
maintenue constante grâce à une régulation. Ce collier chauffant maintient à température
constante une extrémité de la barre. L'autre extrémité de la barre comporte un échangeur à
eau permettant d'évacuer le flux de chaleur apporté par le collier chauffant et transmis par la
barre. Comme la partie chaude, la température de cette extrémité est supposée constante.
Des thermocouples sont disposés régulièrement sur les barres : ils permettent d'observer la
répartition des températures le long des barres (montage A, thermocouples 1 à 10 ; montage
B, thermocouples 1 à 6).
Un rotamètre permet la mesure du débit d'eau traversant l'échangeur et deux
thermocouples indiquent les températures de l'eau en entrée et en sortie de l'échangeur
(montage A, thermocouples 11 et 12 ; montage B, thermocouples 7 et 8).
3 TRAVAIL PREPARATOIRE
Ce travail préparatoire doit apparaître clairement sur le compte-rendu.
Penser à laisser un espace libre avant ce travail préparatoire pour rédiger l'introduction.
a. Faire un schéma soigné et simplifié du dispositif.
b. Exprimer les hypothèses de travail : régime, configuration géométrique, présence ou
non de source volumique de chaleur, propriété(s) du matériau.
c. Exprimer les conditions aux limites du problème.
d. Exprimer le flux de chaleur Φ transféré par conduction le long d'une barre en fonction
des températures des extrémités de la barre, de la surface d'échange S, de la longueur
L et de la conductivité thermique λ de la barre.
e. En déduire l'expression de la résistance thermique.
f. Indiquer les valeurs théoriques des conductivités thermiques de l'aluminium et du
cuivre lorsque les matériaux sont à la température ambiante.
g. Revoir les calculs d'incertitude d'une mesure (cours de Mesures, S1).
Conduction 1D - Barres métalliques
8
4 MANIPULATION
Remarque
L’exploitation des mesures sera réalisée sous Excel. Tableaux de mesures et graphiques
seront imprimés et joints au compte-rendu.
La température de consigne des deux barres est fixée à 250 °C et le débit d'eau à 50 l/h.
Vérifier que le régime permanent est atteint avant toute mesure !!!
a. Relever les températures le long des barres.
b. Relever les températures en entrée et en sortie de l'échangeur à eau pour chacun des
montages.
c. Tracer l'évolution de la température le long de chaque barre en fonction de la position.
d. Commenter ce graphique. Est-il conforme à ce que donne la théorie ?
e. Déterminer la puissance calorifique évacuée par l'échangeur pour chacun des
montages.
f. A partir de la question précédente, déduire pour chaque barre :
la valeur de sa résistance thermique Rth,
- la valeur de sa conductivité thermique λ.
g. Comparer les valeurs obtenues à celles fournies lors du travail préparatoire.
h. Calculer l’incertitude sur la mesure de la conductivité des métaux.
i. Conclure.
-
Conduction 1D - Barres métalliques
9
ANNEXES
T (K)
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
T (°C)
2
7
12
17
22
27
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
v (10-3m3/kg)
1.000
1.000
1.000
1.001
1.002
1.003
1.005
1.007
1.009
1.011
1.013
1.016
1.018
1.021
1.024
1.027
1.03
1.034
1.038
1.041
ρ (kg/m3)
1000.0
1000.0
1000.0
999.0
998.0
997.0
995.0
993.0
991.1
989.1
987.2
984.3
982.3
979.4
976.6
973.7
970.9
967.1
963.4
960.6
Cp (J/kg°C)
4211
4198
4189
4184
4181
4179
4178
4178
4179
4180
4182
4184
4186
4188
4191
4195
4199
4203
4209
4214
µ (10-6 Pa.s)
1652
1422
1225
1080
959
855
769
695
631
577
528
489
453
420
389
365
343
324
306
289
λ (W/mK)
0.574
0.582
0.590
0.598
0.606
0.613
0.620
0.628
0.634
0.640
0.645
0.650
0.656
0.660
0.668
0.671
0.674
0.677
0.679
Pr
12.12
10.26
8.70
7.56
6.62
5.83
5.18
4.62
4.16
3.77
3.42
3.15
2.89
2.67
2.44
2.29
2.15
2.02
1.90
1.79
Tableau des propriétés thermophysiques de l’eau de 275 à 370 K.
ρ (kg.m-3)
C (J.kg-1K-1)
λ (W.m-1.K-1)
argent
10500
235
429
cuivre
8933
385
401
aluminium
2702
903
237
acier
7854
434
60.5
acier inox
7900
477
14.9
matériau
Tableau des propriétés thermophysiques de quelques métaux à 300 K.
Conduction 1D - Barres métalliques
10
TP n° 2 CONDUCTION 1D
MURS PLANS
Au cours de cette séance, on se propose d'étudier les transferts de chaleur à travers les
parois composites d'une enceinte chauffée (fig. 1). Le chauffage de l'enceinte est assuré par
une résistance chauffante située à l'intérieur de la boîte.
L'enceinte proposée se compose de six parois composites dont une est amovible. Les
dimensions de la boîte sont données dans le tableau 1.
Fig. 1 : Schéma de la boîte composite et implantation des thermocouples 1 à 6
extérieur
hauteur (m)
largeur (m)
0.6
0.43
intérieur boîte
fermée
0.418
0.248
intérieur boîte
ouverte
0.418
0.248
paroi essai
0.418
0.248
Tab. 1 : Dimensions intérieures et extérieures de la boîte
Les parois composites sont constituées de trois couches de matériaux différents :
- tôle d'aluminium,
- polystyrène extrudé,
- contre-plaqué.
Une des parois composites est instrumentée par cinq thermocouples de type K de 3/10e de
diamètre, numérotés de 2 à 6, positionnés tels que sur la figure 1.
La paroi amovible peut être remplacée par une paroi en plexiglas. Cette deuxième paroi est
formée de deux plaques de polyméthacrylate de méthyle (plexiglas), chacune d'épaisseur de 5
Conduction 1D - Murs plans
11
mm, collées entre elles. Trois thermocouples de 2/10e de diamètre, numérotés de 8 à 10, sont
disposés sur chaque face et à l'interface des deux plaques (fig. 1).
Le thermocouple n° 1 mesure la température de l'air ambiant à l'intérieur de la boîte. Le
thermocouple n° 7 mesure la température de l'air ambiant à l'extérieur de la boîte.
Les épaisseurs des différentes couches de matériaux et leurs conductivités thermiques sont
fournies dans le tableau 2.
épaisseur
(mm)
conductivité thermique
(W.m-1K-1)
- tôle d'aluminium
1
237
- polystyrène extrudé
80
0.29
- contre-plaqué
10
0.15
- plexiglas
10
0.19
matériau
Tab. 2 : Epaisseurs et conductivités thermiques des matériaux utilisés
Au début de la séance, l'enceinte, munie de la paroi composite, est en équilibre thermique.
Dans cette configuration, on supposera les déperditions homogènes sur toute la surface
intérieure. Le chauffage de l'enceinte est assuré avec les réglages suivants de l'alimentation :
U = 27 V et I = 0,5 A
Conduction 1D - Murs plans
12
1 TRAVAIL PREPARATOIRE
Ce travail préparatoire doit apparaître clairement sur le compte-rendu.
Pensez à laisser un espace libre avant ce travail préparatoire pour rédiger l'introduction.
On considère la boîte composite.
a. Faire un schéma soigné et simplifié du dispositif.
b. Faire apparaître sur le schéma les différents processus d'échange de chaleur.
c. Exprimer les hypothèses de travail : régime, configuration géométrique, propriété(s)
des matériaux.
d. Faire le schéma électrique équivalent du système.
2 CONDUCTANCE GLOBALE DE LA PAROI COMPOSITE
La conductance globale surfacique k0 (exprimée en W.m-2.K-1) est une caractéristique
thermique importante qui permet de qualifier thermiquement une paroi et de la comparer à
d'autres parois en tenant compte de tous les échanges thermiques. Elle est reliée au flux de
chaleur perdu par l'enceinte par la relation :
Φ = k 0 .Sint .(T1 − T7 )
où Sint est la surface intérieure totale de la boîte.
a. Relever toutes les températures.
Remarque : préparation du dispositif pour la 2e série de mesures
Avant d’exploiter la première série de mesures, démonter la face avant de la
boîte et la remplacer par la paroi en plexiglas.
Ajuster la puissance électrique U = 38 V et I = 0,7 A de façon à tenir compte
des nouvelles conditions de déperditions.
b.
Déterminer la conductance globale surfacique k0 de la paroi composite.
c.
En déduire la résistance thermique d’un m² de ce type de paroi composite.
d.
Tracer l'évolution de la température en fonction de la position à travers la paroi de
l'air intérieur vers l'air ambiant.
e.
Commenter la courbe obtenue.
Conduction 1D - Murs plans
13
3 CONDUCTANCE GLOBALE DE LA PAROI DE PLEXIGLAS
La face amovible ayant été remplacée par la paroi en plexiglas, attendre l'obtention du
régime permanent (au moins 90 mn). Dans cette nouvelle configuration, les déperditions ne
sont plus homogènes à l'intérieur de l'enceinte.
a.
Donner l'expression littérale de k, la conductance globale surfacique de la paroi de
plexiglas, en fonction de :
• Sint la surface intérieure de la boîte précédemment calculée,
•
•
•
•
S la surface de la paroi de plexiglas,
k0 la conductance globale surfacique de la paroi composite,
P la puissance électrique dissipée dans l'enceinte,
∆Τ la différence de températures entre l'intérieur et l'extérieur.
b. Effectuer un relevé complet des températures.
c. En déduire la conductance globale surfacique k de la paroi.
d. En déduire la résistance thermique d’un m² de cette paroi.
4 DETERMINATION DES COEFFICIENTS hi, he ET λ POUR LA PAROI EN PLEXIGLAS
On souhaite maintenant étudier les différents modes de transfert de chaleur séparément. On
utilisera pour cela le relevé complet des températures du paragraphe 3.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Tracer l'évolution de la température en fonction de la position à travers la paroi de
plexiglas de l'air intérieur vers l'air ambiant.
Commenter la courbe obtenue.
Calculer les valeurs des coefficients d'échange convectif interne hi et externe he pour
cette paroi.
Evaluer la valeur de la conductivité thermique λ du plexiglas.
En déduire la résistance thermique associée à la paroi de plexiglas.
Recalculer la conductance globale surfacique k.
Comparer cette nouvelle valeur de k avec celle trouvée au paragraphe 3 et
commenter.
Conduction 1D - Murs plans
14
TP n° 3 CONDUCTION BARRE
Il s’agit d’étudier l’évacuation de la chaleur depuis une source vers l’atmosphère, par
l’intermédiaire de surfaces d’échange. Les modalités de calcul dépendent essentiellement de
la géométrie de ces surfaces.
Remarque
L’exploitation des mesures sera réalisée sous Excel.
Tableaux de mesures et graphiques seront imprimés et joints au compte-rendu.
1 ECHANGES THERMIQUES LE LONG D'UNE BARRE CYLINDRIQUE
Le dispositif expérimental est présenté figure 1. L'extrémité en x = 0 est maintenue à
température constante T0 et l'extrémité en x = L est laissée libre.
Fig. 1 : Dispositif expérimental ; résistance électrique = 480 Ω
L’équation générale reliant les différents paramètres autour d’un élément de barre cylindrique
en régime permanent (fig. 2) est la suivante :
d 2 T 2h
=
(Tx − Ta ) .
dx 2 λR
Fig. 2 : Bilan thermique sur un élément de barre cylindrique
Cette équation admet des solutions de la forme :
Tx − Ta = C1e
mx
+ C2e
avec :
Conduction Barre
15
− mx
•
•
•
•
•
•
•
h le coefficient d’échange superficiel
λ la conductivité de la barre
R le rayon de la barre
Tx la température de la barre en x ; Tx = T ( x )
T0 la température de la barre en x = 0 ; T0 = T( x = 0)
(W.m-2.K-1),
(λcuivre = 380 W.m-1.K-1),
(m),
(K),
(K),
Ta la température ambiante
2h
m=
.
λR
(K),
Les conditions aux limites (a, b ou c) à l'extrémité libre de la barre vont permettre de
déterminer les coefficients C1 et C2.
a : Barre de longueur infinie
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta ) e − mx
(1)
b : Barre de longueur L, sans échange à l’extrémité
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta ) ch[m(L − x )]
ch (mL )
(2)
ou encore
⎛
e mx
e − mx
+
2 mL
1 + e − 2 mL
⎝1+ e
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta )⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
(2')
c : Barre de longueur L, avec échanges à l’extrémité
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta ) ch[m(L − x )] + α.sh[m(L − x )]
ch (mL) + α.sh (mL)
où α =
(3)
h
(coefficient constant)
mλ
Dans tous les cas, on peut exprimer la puissance calorifique échangée P à l'aide de la loi de
Fourier :
⎛ dT ⎞
P = −λS⎜ ⎟
(4)
⎝ dx ⎠ x =0
Conduction Barre
16
2 TRAVAIL PREPARATOIRE
Ce travail préparatoire doit apparaître clairement sur le compte-rendu.
Pensez à laisser un espace libre avant ce travail préparatoire pour rédiger l'introduction.
a. Pour la barre présentée en figure 1, quelle est la condition aux limites applicable à
l'extrémité libre ?
b. Donner l'expression de la répartition de température associée à cette condition.
c. Exprimer le paramètre m apparaissant dans l'équation (3) uniquement en fonction de R
et α.
d. Remplacer m par son expression dans l'équation (3). On utilisera cette nouvelle
expression de (3) au cours du TP.
3 MANIPULATIONS
En début de séance, la barre est en régime permanent (4 heures).
Mesures
a. Relever les températures le long de la barre.
b. Tracer le graphe ln (Tx − Ta ) en fonction de la position x sur la barre en prenant pour
origine x = 0 le milieu de la zone de chauffage.
c. Déterminer la température T0 en x = 0 par extrapolation de la partie rectiligne de ce
graphe.
d. Tracer le graphe (Tx − Ta ) en fonction de x. Compléter ce graphe à l'aide du point (0,
T0) déterminé précédemment.
Détermination du coefficient d'échange de chaleur par convection h.
e. Choisir une position de mesure xm située vers le milieu de la barre et relever la
température Tm correspondante.
f. A partir du travail préparatoire, donner l'expression littérale la température
Tm = T( x m ) en fonction de la position xm, de la longueur L de la barre, du coefficient
α et des températures T0 et Ta. On obtient ainsi une expression de la température Tm
explicitement en fonction de α.
g. A partir de Tm, on va calculer α à la position xm.
i. Sous Excel, entrer l'expression Tm obtenue en f..
Conduction Barre
17
ii. Déterminer α à partir de cette expression et de la valeur mesurée de
température en xm à l'aide du solveur d'Excel.
Demander à l'enseignant en charge de la séance une
explication sur le fonctionnement du solveur.
h. En déduire une valeur locale de h.
Remarque
Ce calcul est complexe et ne porte que sur un point de la barre. Il faudrait
recommencer l'opération en différentes abscisses de façon à avoir une valeur
moyenne de α et donc de h.
Hypothèses simplificatrices.
i. En comparant la puissance électrique fournie et la puissance calorifique cédée par
convection à travers la section extrême de la barre, montrer que l'on peut en fait
utiliser l'équation (2) ou (2').
j. En comparant maintenant l'importance respective des termes
e mx
e − mx
et
1 + e 2 mL
1 + e − 2 mL
vers le milieu de la barre, montrer que l'on ne fait pas une grosse erreur en décidant
d'utiliser l'équation (1).
k. Justifier l'alignement des points du premier graphe ln(Tx − Ta ) en fonction de x. Les
différentes hypothèses précédentes permettent-elles d'expliquer le comportement des
derniers points ?
Déduire de la pente du graphe une valeur moyenne de h.
l. Autre méthode de détermination de h
A partir de l'équation (1), on peut écrire h sous la forme :
h x , x + ∆x
λR ⎡ 1 ⎛ Tx − Ta
=
⎢ ln⎜
2 ⎣ ∆x ⎜⎝ Tx + ∆x − Ta
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦
2
(5)
Donner une valeur moyenne de h à partir des résultats issus des mesures sur les quatre
premières paires de points (1,2), (2,3), (3,4) et (4,5).
Chaleur évacuée par la barre
m. Calculer la puissance calorifique théoriquement évacuée par la barre (relation 4).
n. En déduire l'efficacité de la barre.
Conduction Barre
18
ANNEXES
1. BARRE NON CALORIFUGEE EN REGIME PERMANENT
Caractéristiques géométriques
rayon
r (m)
longueur
L (m)
0<L<∞
Caractéristiques des matériaux
coefficient latéral de passage
conductivité thermique
capacité calorifique volumique
masse volumique
h (W.m-2.K-1)
λ (W.m-1.K-1)
C (J.m-3.K-1)
ρ (kg.m-3)
Températures
température ambiante
température courante
température en x = 0
Ta
Tx
T0
Equation indéfinie de la chaleur
∂ 2 T 2h
(Tx − Ta ) + Cρ (Tx − Ta )
=
2
λr
λ
∂x
En régime permanent
section de la barre
s = πr 2 (m2)
périmètre de la barre p = 2πr (m)
∂ 2 T 2h
(Tx − Ta ) = hp (Tx − Ta )
=
2
λr
λs
∂x
Si on suppose que la température est constante dans toute section droite de la barre (i.e. la
température ne dépend que de x) :
d 2 T hp
(Tx − Ta )
=
dx 2 λs
Cette équation différentielle admet pour intégrale générale :
(Tx − Ta ) = Ae
−
hp
x
λs
+ Be
Conduction Barre
19
hp
x
λs
Posons pour la suite : m =
hp
, une constante d'espace. On peut alors écrire :
λs
(Tx − Ta ) = Ae − mx + Be mx
La détermination des constantes A et B dépend d'hypothèses supplémentaires sur la longueur
de la barre et les conditions physiques aux limites.
a. Barre de longueur infinie
La température n'est pas infinie pour x → ∞ ⇒ B = 0.
D'où A = T0 − Ta
Par conséquent :
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta ) .e − mx
La puissance calorifique évacuée par la barre est alors :
∞
h
⎛ dT ⎞
P = −λS⎜ ⎟ = − ∫ hp(Tx − Ta )dx = −2πr (T0 − Ta )
0
m
⎝ dx ⎠ x =0
b. Barre de longueur L finie
Première hypothèse : on néglige les pertes de chaleur à travers la section extrême de la barre
(x = L).
x=0
x=L
Tx = T0
dT
=0
dx
A = (T0 − Ta )
T0 − Ta = A + B
− Ae − mL + Be mL = 0
e mL
e mL + e − mL
B = (T0 − Ta )
Par conséquent :
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta ) ch[m(L − x )]
ch (mL )
La puissance calorifique évacuée par la barre est alors :
⎛ dT ⎞
P = −λS⎜ ⎟ = phλs (T0 − Ta ).th (mL )
⎝ dx ⎠ x =0
Conduction Barre
20
e − mL
e mL + e − mL
Deuxième hypothèse : on ne néglige pas les pertes de chaleur à travers la section extrême de
la barre (x = L).
x=0
Tx = T0
x=L
⎛ dT ⎞
− λ⎜ ⎟
= h (TL − T0 )
⎝ dx ⎠ x = L
avec TL = T(x = L )
On obtient alors les constantes A et B à partir du système suivant :
(
P(x = L ) = λ Ame − mx − Bme mx
T0 − Ta = A + B
)
x =L
= h (TL − Ta )
On en déduit :
(Tx − Ta ) = (T0 − Ta )
ch[m(L − x )] +
h
.sh[m(L − x )]
mλ
h
ch (mL ) +
.sh (mL )
mλ
La puissance calorifique évacuée par la barre est alors :
h
sh (mL) +
.ch (mL )
m
λ
P = phλs .(T0 − Ta )
h
ch (mL ) +
.sh (mL )
mλ
Conduction Barre
21
Conduction Barre
22
TP n° 4 IDENTIFICATION DE
CONDUCTIVITE THERMIQUE
1 INTRODUCTION
La conductivité thermique λ, exprimée en W.m-1.K-1, est une propriété importante d'un
matériau. Elle caractérise sa capacité à transférer de la chaleur par diffusion. La connaissance
de la conductivité thermique est indispensable pour :
•
pouvoir améliorer les caractéristiques d'un nouveau matériau ;
•
être capable d'étudier des systèmes thermiques et leurs performances.
La caractérisation des matériaux constitue une part importante en métrologie thermique.
Le portrait du matériau idéal du point de vue de l'identification de paramètres serait le
suivant :
-
un solide, pour éliminer les transferts de masse et donc, par suite, la convection,
opaque, pour éviter les transferts par rayonnement,
homogène, pour caractériser la conduction par une loi de Fourier,
pas forcément isotrope, mais la connaissance des axes principaux d'anisotropie est
indispensable pour créer des transferts unidirectionnels.
Pour un tel matériau, le transfert se limite à la conduction pure définie par les deux grandeurs
scalaires :
- λ la conductivité thermique suivant la direction principale,
- α la diffusivité thermique suivant la même direction.
De manière très générale, la détermination d'une grandeur thermophysique nécessite :
- le développement d'un modèle thermocinétique (modèle direct) de l'expérience prenant
en compte l'échantillon et l'environnement,
- la mesure des grandeurs fondamentales : températures et/ou flux,
- la mise en œuvre d'une méthode d'identification de paramètres (modèle inverse ou
comparaison modèle-expérience).
Le schéma présenté à la figure 1 résume la démarche. Il faut préciser que le modèle
thermocinétique n'est pas unique pour une installation ; il peut être plus ou moins approché,
en particulier sur le choix des conditions aux limites ou la prise en compte plus ou moins
précise de l'environnement.
Identification de conductivité thermique
23
On peut distinguer deux grandes sortes de méthodes :
- les méthodes en régime permanent,
- les méthodes en régimes variables.
Dans les premières, celles que nous utiliserons ici, le temps n'intervient pas. Elles permettent
d'atteindre uniquement la conductivité thermique.
Dans les secondes, les mesures sont effectuées en fonction du temps et permettent
l'identification de plusieurs paramètres : conductivité, diffusivité, effusivité ou d'autres
groupements de λ, α et C. Les méthodes en régime variable sont actuellement les plus
utilisées (cf. TP S3).
Grandeur directement
mesurable
Grandeur non
directement
mesurable
Pénomène physique
permettant la détection
Grandeur annexe
directement
mesurable
Grandeur annexe
directement
mesurable
Mesure, acquisition,
traitement ...
Mesure, acquisition,
traitement ...
Détecteur
Convertisseur
Modèle
Mesure, acquisition,
traitement ...
Comparaison mesure / modèle
Identification des paramètres
Fig. 1 : Schématisation de la différence de traitement entre les grandeurs.
Identification de conductivité thermique
24
2 GENERALITES SUR LES METHODES D'IDENTIFICATION EN REGIME PERMANENT
Les méthodes d'identification en régime permanent se caractérisent par la mesure
simultanée d'un flux de chaleur traversant l'échantillon et d'une différence de température.
Elles permettent d'évaluer la résistance thermique de l'échantillon.
Le modèle et la méthode d'identification sont élémentaires puisque basés sur le transfert
unidirectionnel linéaire en régime permanent, soit en coordonnées cartésiennes :
d 2θ
=0
(1)
dx 2
avec
• θ la température en °C
• x la variable d'espace en m.
L'équation (1) doit être associée à la loi de Fourier, soit :
dθ
q = −λ
dx
avec
• q la densité de flux de chaleur,
dθ
•
la dérivée de la température par rapport à x.
dx
Si l'échantillon est un échantillon idéal, on en déduit la relation :
qe
λ=
(θ1 − θ 2 )
(2)
(3)
avec
•
•
e l'épaisseur du système,
(θ1 − θ 2 ) la différence de température mesurée.
Dans ce type de méthode d'identification, les problèmes rencontrés sont d'ordre expérimental.
Il faut avant tout :
obtenir un flux unidirectionnel dans l'échantillon,
mesurer le flux et les températures avec précision.
Il existe deux grandes classes de méthode qui dépendent de la conductivité thermique du
matériau :
-
pour les isolants : la plaque chaude,
-
pour les conducteurs : la méthode de la barre.
Identification de conductivité thermique
25
2-1 Méthode de la plaque chaude
Pour les isolants, la bonne géométrie d'échantillon est constituée par une plaque de faible
épaisseur par rapport à ses dimensions transverses. Le flux de chaleur est généré par un
élément chauffant constitué d'une résistance chauffante collée sur une plaque d'aluminium.
Dans la plaque chaude gardée, on utilise une garde active pour minimiser les pertes de
chaleur.
Dans les deux cas, le système est symétrique par rapport à l'élément chauffant : deux
échantillons et deux sources froides identiques. Le flux de chaleur est alors obtenu
directement par la mesure de la puissance dégagée par l'élément chauffant (cf. figure 2).
θ7
θ6
Elément chauffant
P = U.I
Echantillon
e
Φ
Source froide
surface
Fig. 2 : Schéma de principe de la plaque chaude.
L'utilisation d'un fluxmètre directement au contact de l'échantillon permettrait une mesure
directe du flux de chaleur. Ce type de montage a l'avantage de supprimer la garde active.
Le dispositif de la plaque chaude peut fonctionner dans des gammes de températures assez
variées qui vont d'environ 90 K à 2000 K. Pour les conductivités thermiques, la limite est
fixée par la précision de la mesure de la différence de température aux bornes de l'échantillon.
De façon classique, on doit avoir λ < 0.3 W.m-1.K-1. La mise en œuvre expérimentale est,
dans tous les cas, délicate.
Identification de conductivité thermique
26
2-2 Méthode de la barre
Pour les bons conducteurs, une méthode ancienne consiste à choisir un échantillon
d'épaisseur grande devant les dimensions transverses. Dans ce cas, les pertes latérales ne
peuvent plus être négligées ; la prise en compte de ces pertes nécessite de changer le modèle.
La méthode étant réservée aux bons conducteurs, l'hypothèse de l'ailette est toujours vérifiée,
soit :
d 2 θ h.p
−
(θ − θ ∞ ) = 0
(4)
dx 2 λ.S
avec
• p le périmètre de l'ailette,
• S la section de l'ailette,
• θ∞ la température extérieure,
•
h le coefficient d'échange avec le milieu extérieur.
h et λ sont généralement inconnus et plusieurs mesures de températures sont nécessaires, ainsi
que la connaissance du flux sur une section de la barre. Ce dernier étant difficile à mesurer, on
procède en général par comparaison en associant deux échantillons dont l'un est connu,
notamment sa conductivité thermique. Le deuxième échantillon sert alors de fluxmètre.
2-3 Méthode de la barre modifiée
Afin de limiter les problèmes d'échange avec le milieu extérieur, une manipulation de type
barre sous atmosphère raréfiée a été mise au point. L'appareil proposé permet de limiter
considérablement les échanges avec le milieu extérieur selon deux procédés avec :
-
une limitation des pertes convectives par raréfaction de l'air ambiant,
une limitation des pertes par rayonnement par utilisation de métaux polis de faible
émissivité.
Le montage expérimental proposé est schématisé en figure 3. Il se compose d'un sandwich de
diamètre 52 mm comprenant :
- une boîte chaude où circule de l'eau provenant d'un bain thermostaté,
- un échantillon étalon, ou fluxmètre, d'épaisseur efl = 10 mm, permettant la mesure du
flux de chaleur, de conductivité thermique connue λfl = 0.17 W.m-1.K-1,
- un échantillon d'épaisseur e = 40 mm dont on recherche la conductivité thermique λ,
- une boîte froide où circule de l'eau de ville.
L'ensemble est maintenu en contact par une barre métallique coulissant entre deux tiges
filetées. Le bon contact thermique est assuré par l'introduction de graisse conductrice entre les
différents barreaux.
Identification de conductivité thermique
27
Les thermocouples sont disposés entre chaque échantillon comme indiqué sur la figure 3.
Le thermocouple n° 5 fournit la température de l'ambiance.
θ4
Fig. 3 : Schéma du montage de la barre modifiée.
3 TRAVAIL PREPARATOIRE
Ce travail préparatoire doit apparaître clairement sur le compte-rendu.
Pensez à laisser un espace libre avant ce travail préparatoire pour rédiger l'introduction.
On utilisera les notations suivantes :
•
•
•
•
•
Φ le flux de chaleur,
q la densité de flux de chaleur,
θi la température n° i,
S la surface d'échange,
e l'épaisseur.
a. Faire un schéma soigné et simplifié des deux dispositifs.
b. Résoudre l'équation de la chaleur (1) pour les deux systèmes.
c. Donner l'expression du flux de chaleur transféré par conduction dans l'échantillon
considéré pour les deux systèmes.
d. Mettre en évidence l'équation permettant d'identifier la conductivité thermique λiso en
fonction des paramètres connus pour la méthode de la plaque chaude.
e. Mettre en évidence l'équation permettant d'identifier la conductivité thermique λmétal
en fonction des paramètres connus pour la méthode de la barre modifiée.
f. Revoir les calculs d'incertitude d'une mesure (cours de Mesures, S1).
Identification de conductivité thermique
28
4 Manipulations
4-1 Préparation de la séance
En arrivant en salle, les étudiants devront :
- placer sous tension l'alimentation stabilisée de la plaque chaude (U = 20 V) ;
- alimenter en eau les boîtes à eau de la manipulation de la plaque chaude ;
- mettre en marche le bain thermostaté à une température de consigne de 70 °C ;
- se familiariser avec la manipulation des vannes associées à la pompe à vide ;
- mesurer les épaisseurs des divers échantillons et les identifier.
NB
Ne pas ouvrir en grand les robinets, la pression risquerait d'endommager les
montages.
4-2 Identification de la conductivité thermique d’un conducteur sous cloche
Pour l’échantillon donné, effectuer une mesure en régime permanent sous atmosphère
raréfiée. Pour le premier essai, on relèvera la température à la boîte froide (thermocouple 3)
en fonction du temps afin d'évaluer le temps de stabilisation du système.
NB n° 1
Lors de la mise en place de l'échantillon, on prendra garde à la manipulation
des différents fils de thermocouples ; on veillera également à ne pas ouvrir
trop grand la vanne d'alimentation de la boîte froide.
NB n° 2
Ne pas enlever la graisse conductrice de la surface des échantillons SVP.
Au cours de la manipulation, il est indispensable de contrôler la pression dans l'enceinte. Si
celle-ci dépasse 50 mbar, il faut refaire un vide partiel.
a.
b.
c.
d.
Effectuer un relevé complet des températures.
Calculer le flux de chaleur transmis par conduction.
Calculer la conductivité thermique de l'échantillon.
Calculer l'incertitude de mesure associée (on prendra comme incertitude de
mesure de la température δθ = 0.5 °C).
e. Conclure sur la précision de la méthode.
Identification de conductivité thermique
29
4-3 Identification de la conductivité thermique d'un isolant
a. Mesurer la puissance UI, l'épaisseur et la surface des plaques échantillons
proposées.
b. Calculer la conductivité thermique de l'échantillon.
c. Evaluer son incertitude.
d. Cette conductivité serait-elle la même si elle était mesurée selon un autre
axe ?
e. Quelles améliorations de conception proposeriez-vous pour augmenter la
précision de l'identification ?
Identification de conductivité thermique
30
TP n° 5 ETUD
DE DU RAY
YONNEME
ENT D’UN CORPS NO
OIR
1 ELEEMENTS DE THHEORIE
nement électromagnétiq
que
1--1 Le rayonn
Un rayonnem
ment électrom
magnétique désigne unee perturbatioon des cham
mps électriqque et
magnnétique provooquée par l’aagitation élecctronique. Le rayonnemennt électromaggnétique a coomme
vecteeur le photoon, particulee dépourvue de massse. L'énergiee des phottons d'une onde
électrromagnétiquee se conserve lors de la traverséée de différeents milieux transparentts. Le
rayonnnement élecctromagnétiqque permet le transport d’énergie saans support matériel. Daans le
vide, le rayonnem
ment électrom
magnétique see déplace à la
l vitesse de 299 792 4588 m/s.
o
Laa lumière esst un rayonnement électrromagnétique visible parr l'œil humaiin mais les ondes
radio, les micro-oondes, les innfrarouges, lees ultra-violeets, les rayonns X et γ soont égalemennt des
rayonnnements éleectromagnétiques qui se distinguent
d
par
p leurs longgueurs d’ondee (fig. 1).
Figg 1 : Spectre duu rayonnement électromagnétiique
Toout corps à une tempérrature supérrieure à 0 K (zéro absoolu, soit -2733,15 °C) ém
met un
rayonnnement élecctromagnétique.
Rayonnnement d'un co
orps noir
31
Un corps qui reçoit un rayonnement électromagnétique peut en réfléchir une partie et
absorber le reste. L'énergie absorbée est convertie en énergie thermique et contribue à
l'augmentation de la température de ce corps. Il en résulte que le rayonnement
électromagnétique des corps réels se compose, pour partie, de la portion réfléchie du
rayonnement reçu et, pour partie, de son rayonnement propre dépendant de sa température (fig.
2).
Fig 2 : Rayonnement d'un corps
1-2 La photométrie énergétique
En photométrie énergétique, les grandeurs qui permettent la caractérisation énergétique du
rayonnement propre sont l’émittance et la luminance, celle du rayonnement reçu, l’éclairement et
celle du rayonnement total qui quitte le corps, la radiosité.
L’éclairement, noté E, est la puissance totale reçue de toutes les directions, par unité de
surface. L’éclairement est mesuré en W/m².
L'émittance (ou exitance) d’une source étendue rayonnante est la puissance propre totale
rayonnée dans toutes les directions, par unité de surface de l’émetteur. On appelle émittance
totale M, la grandeur correspondant au rayonnement sur tout le spectre des longueurs d'ondes.
Elle est également mesurée en W/m².
La luminance d’une source étendue rayonnante est la puissance émise, par unité de surface
émettrice et par unité d’espace (nous reviendrons un peu plus loin sur la notion d’unité d’espace)
dans lequel cette source rayonne. C'est en quelque sorte la puissance rayonnée dans une
direction donnée.
Comme pour l’émittance, on définit la luminance totale, de symbole L, qui correspond à un
rayonnement sur tout le spectre des longueurs d'ondes, et se mesure en W/(m².sr).
1-3 Le corps noir
On définit le corps noir comme étant un objet idéal qui absorbe toute l'énergie
électromagnétique qu'il reçoit, sans en réfléchir ni en transmettre. Le physicien allemand Gustav
Robert Kirchhoff formula une loi en 1859, au cours de ses recherches sur la spectroscopie, qui
permet d’établir qu’aucun corps ne peut rayonner (rayonnement propre) davantage qu'un corps
noir de même température. Même si cet objet idéal n’existe pas, de nombreux corps réels
peuvent s’en approcher, tout au moins pour une partie du spectre.
Rayonnement d'un corps noir
32
1--4 L'angle so
olide
Suupposons quue l'œil soit placé
p
au som
mmet O d'un cône
c
(fig. 3). Même si leuurs formes ett leurs
aires peuvent êtree très différentes, toutes les surfaces telles que S1, S2, S3 qui s'appuient sur
s les
génératrices du cône
c
occupennt la même portion
p
du chhamp visuel. On peut diree que, du pooint de
vue de
d l’observaateur, elles occupent
o
la même portiion d’espacee. Cette porrtion d’espacce est
mesuurée par l'anggle solide Ω. L’unité d’anggle solide estt le stéradian (sr).
Fig 3 : Notion d'anglee solide
Poour calculer l'angle solidde sous lequuel on voit un objet à partir
p
d'un ppoint O donnné, on
projettte, comme indiqué sur laa figure 4, l'oobjet sur une sphère de raayon R quelcconque centrrée en
ce pooint.
Fig 4 : Définition de l'anngle solide
Si la surface que cette projecttion fait sur la sphère estt S, l'angle solide sous leequel l'observvateur
voit l'objet est, par définition :
Ω=
S
R2
avec Ω en sr, S en
e m2 et R enn m.
Rayonnnement d'un co
orps noir
33
Remarques
− La mesure de l’angle solide est indépendante du rayon R de la sphère choisie car S est
proportionnelle à R².
− A l’instar de l’angle plan, l’angle solide est une grandeur sans dimension.
− L’espace total autour du point O mesure 4π sr.
− La surface S (portion de sphère, fig. 5) est assimilable à une surface plane à condition
que ses dimensions soient petites par rapport à la taille de la sphère, donc petites par
rapport à la distance entre le point d’observation et cette surface.
Fig 5 : Portion de sphère interceptée par l'angle solide
Dans ce cas, on peut faire un calcul approché très pratique de l’angle solide sous lequel
on voit la surface par :
Ω≈
S plane
d2
1-5 Loi de Stefan-Boltzmann
La loi de Stefan-Boltzmann a été découverte expérimentalement par Joseph Stefan (18351893) en 1879 à partir des données expérimentales de John Tyndall (1820-1893). Les fondations
théoriques ont été posées dans le cadre de la thermodynamique par un étudiant en doctorat de
Stefan, Ludwig Boltzmann (1844-1906) en 1884. La loi de Stefan-Boltzmann, ou de Stefan,
établit que l’émittance totale du corps noir s'exprime par la formule :
M 0 = σ .T 4
Où σ est la constante de Stefan-Boltzmann.
σ = 5,67.10−8W .m−2 .K −4
Et
T
la température du corps noir exprimée en Kelvin
Rayonnement d'un corps noir
34
1--6 Relation entre
e
luminaance et émitttance dans le cas d'unee émission ddiffuse
On dit que l’ém
mission est diffuse (ou isootrope) si la luminance
l
esst indépendannte de la direection.
La soource émettrice obéit alors à la loi de Lambert.
L
Un corps noir esst un corps laambertien.
Soit dΦ
d ray la puisssance rayonnnée dans le demi-espacee par l'élémeent de surfacee dS (fig. 6).
Figg. 6 : Rayonnem
ment d'un élém
ment de surface dS
Cettee puissance s'exprime
s
à partir
p
de la lum
minance du corps
c
noir :
dΦ ray
=
r
∫ L .dσ .dΩ =
0
demi−espace
∫ L .(dSS. cosθ ).dΩ
0
dem
mi−espace
c θ .dΩ
∫ cos
dΦ ray
= L0 .dS
d
r
demi−esppace
Introdduisons mainntenant l'émitttance
M 0 = L0
M 0 = dΦ ray dS .
∫ cosθ .dΩ
demi−espace
On déémontre mais on admettrra ce résultatt
c θ .dΩ = π .
∫ cos
demi −esp
pace
En coonséquence, on a la relattion suivante entre l'émittaance et la lum
minance d'unn corps noir :
M 0 = π .L
L0
σT 4
⇔ L0 = π
Rayonnnement d'un co
orps noir
35
1-7 Echanges radiatifs entre corps noirs
Dans ce paragraphe, nous allons calculer les flux échangés par deux surfaces qui seront
supposées avoir, dans le domaine d’émission considéré, un comportement de corps noir.
La 1e surface est un élément de surface dS1 de très petites dimensions, à la température T1.
La 2e surface est un rectangle S2 dont la température est supposée uniforme et égale à T2.
1-7-a Rayonnement de dS1 vers l'élément de surface dS2 de S2
Fig. 7 : Rayonnement de dS1 vers dS2
L'élément dS2 n’est pas en face de dS1 mais est décalé d'un angle θ. C’est donc la surface
apparente dS1 . cos θ qui rayonne vers dS2. En outre, dS2 est vu depuis dS1 sous l’angle solide
dΩ.
Il en résulte que :
d 2Φ1 = (dS1. cosθ ).L1.dΩ
où
d 2 Φ1 est le flux rayonné par dS1 vers dS2 (W),
dS1 . cosθ est la surface apparente émettrice,
L1 est la luminance de la surface émettrice,
dΩ est l'angle solide sous lequel on voit dS2 depuis dS1.
Rayonnement d'un corps noir
36
1-7-b Rayonnement de dS1 vers S2
On calcule maintenant le flux de chaleur rayonné dΦ1 par l'élément de surface dS1 vers la
surface S2 (fig. 8) :
dΦ 1 = ∫ d 2 Φ 1 =
S2
∫ (dS . cos θ ).L .dΩ
1
1
S2
Fig. 8 : Rayonnement de dS1 vers S2
Remarque
Si l’angle solide Ω (sous lequel on voit la totalité de la surface S2 depuis dS1) est
suffisamment petit, l’angle θ reste lui aussi petit et son cosinus est voisin de 1.
On peut alors écrire
dΦ1 ≈ ∫ dS1.L1.dΩ = dS1.L1. ∫ dΩ
S2
Or
S2
∫ dΩ = Ω .
S2
Et, par conséquent
dΦ1 ≈ L1.Ω.dS1 .
Soit ϕ1 la densité de flux rayonné par dS1 (W.m-2), qui est le rapport du flux émis (W) à la
surface émettrice (m2) :
ϕ1 =
Alors
dΦ1
dS1
ϕ1 = L1.Ω =
σ .Ω 4
T
π 1
Rayonnement d'un corps noir
37
1-7-c Rayonnement de S2 vers dS1
Le sens de parcours du rayonnement n’a pas d’influence sur les calculs essentiellement
géométriques que nous avons menés jusque là. Il en résulte une expression de dΦ 2 tout à fait
semblable à dΦ1 .
Soit dΦ 2 le flux reçu par dS1 en provenance de S2 (fig. 9) :
dΦ 2 ≈ L2 .Ω.dS1
que l'on peut donc écrire de la manière suivante :
σ .T24
dΦ 2 =
Ω.dS1
π
Fig. 9 : Rayonnement de S2 vers dS1
Soit ϕ2 la densité de flux reçu par dS1 (W.m-2), qui est le rapport du flux reçu (W) à la surface
réceptrice (m2) :
ϕ2 =
Alors
dΦ 2
dS1
ϕ 2 = L2 .Ω =
σ .Ω 4
T
π 2
Rayonnement d'un corps noir
38
1-7-d Bilan de l'échange du point de vue de dS1
Le bilan de l’échange nous donne la densité de flux net échangé en comptant positivement la
puissance reçue et négativement la puissance cédée :
ϕ net =
dΦ 2 dΦ1
−
= (L2 − L1 ).Ω
dS1 dS1
On obtient ainsi le résultat important :
ϕ net =
(
σ .Ω 4
4
T2 − T1
π
)
Remarques
− Si les deux éléments sont à la même température, la densité de flux net échangé est
nulle.
− En conséquence, l’élément dS1 placé devant S2 à la température T2, mais dans un
environnement à la température T1, n’échange de chaleur qu’avec S2.
Fig. 10 : Echange radiatif entre dS1 et S2
Rayonnement d'un corps noir
39
2 MATERIEL
2-1 L'émetteur
Fig. 11 : Photo de l'émetteur et de l'armoire électrique
L'émetteur est un radiateur qui comporte une plaque chauffante (par effet Joule), de dimensions 0.27
m de hauteur par 0.64 m de largeur sous une grille, qui pourra être assimilée à un corps noir dans le
domaine des infrarouges. Le radiateur est alimenté à partir de l’armoire électrique contenant un triac
(vanne de courant) qui permet de faire varier la puissance électrique d’alimentation et, par conséquent, la
température de l’élément chauffant.
La position du centre de l’élément rayonnant est repérée verticalement sur le pied de l’émetteur
(feutre rouge).
2-2 La caméra infrarouge
Le fonctionnement de la caméra de thermographie infrarouge sera expliqué en salle. L’image qu’elle
renvoie (fig. 12) permet de mesurer une valeur moyenne de la température de l’élément chauffant.
Fig. 12 : Image thermique de l'émetteur
Rayonnement d'un corps noir
40
2-3 Le capteur
Le capteur
Le capteur (fig. 13) mesure une densité de flux net
échangé par la surface sensible avec son environnement.
Relié au multimètre, il délivre une tension proportionnelle à
cette densité de flux net.
Le coefficient de proportionnalité est de 38.8 mV pour
1000 W/m².
Le capteur est monté sur un pied qui permet de le
positionner précisément par rapport à l’émetteur.
Fig. 13 : Photo du capteur de flux
2-4 Les grandeurs
Emetteur
Température
Surface émettrice
Luminance
Emittance
Te
Se
Le
Me
Capteur
Coefficient 38.8 µV/(W/m²)
Tension
Distance au centre de l’émetteur
Angle solide sous lequel on voit l’émetteur
Luminance
Coeff
V
d
Ω
Lc
Divers
Température ambiante
Fig. 14 : Dimensions caractéristiques
Rayonnement d'un corps noir
41
Ta
3 MANIPULATIONS
3-1 Influence de la température de l'émetteur
3-1-a Manipulation
Positionner le capteur face à l’émetteur à une distance fixe égale à 1 m.
Faire varier la tension d’alimentation. On prendra 6 positions du potentiomètre (20 ; 35 ;
45 ; 55 ; 70 ; 100).
A chaque étape, après mise en régime, relever la température moyenne de l’émetteur Te
(à l’aide de la caméra) et la tension délivrée par le capteur V. Relever la température
ambiante.
On fait l’hypothèse que le capteur est à température ambiante. On peut donc faire un calcul
théorique approché de la densité de flux net échangée :

ϕ net = (Le − Lc ).Ω
Ω=
Une valeur approchée de l'angle solide est
On a alors
Se
d2
.
ϕ net calculé =
A partir de V, on peut déterminer la densité de flux net mesurée.
(
)
σ 4
4 S
Te − Tc . e2
π
d
ϕ net mesuré
3-1-b Exploitation
Construire un tableau sur une feuille Excel du type :
Sur un même graphique, tracer la courbe
de flux net mesurée
ϕnet calculé
et les points correspondant à la densité
ϕ net mesuré en fonction de la température de l’émetteur.
Sur un autre graphique, construire les points :
ϕ net mesuré
⎛ Te 4 − Ta 4
⎞
= f ⎜⎜
.Ω.10 −8 ⎟⎟
π
⎝
⎠
Tracer une courbe de tendance et afficher son équation.
En déduire une valeur mesurée de la constante de Stefan-Boltzman.
Commenter.
Rayonnement d'un corps noir
42
3-2 Influence de la distance d entre capteur et émetteur
3-2-a Manipulation
L’émetteur est maintenant alimenté à pleine puissance (potentiomètre sur 100). Le capteur
reste dans l’axe de l’émetteur (da = 0) et on fait varier la distance d.
Relever les températures Te et Tc=Ta, puis pour les distance d = 0.25 ; 0.5 ; 0.75 ; 1 ; 1.5 et 2 m,
la tension V délivrée par le capteur.
3-2-b Exploitation
Construire un tableau sur une feuille Excel du type :
Tracer sur un même graphique la courbe
ϕnet calculé ainsi que les points correspondants aux
ϕ net mesuré en fonction de la distance d.
Tracer un graphique donnant le rapport
ϕ net mesuré / ϕ net calculé
en fonction de la distance
d.
Justifier le choix de la distance d = 1 m pour la manipulation de la première partie.
Si on explique l’augmentation de l’erreur mesure / calcul par une perte du signal quand la
distance augmente, comment peut-on expliquer la forte chute du rapport de comparaison
ϕ net mesuré / ϕ net calculé
quand la distance d devient faible ?
Rayonnement d'un corps noir
43
Rayonnement d'un corps noir
44
TP n° 6 CONDUCTION 2D
1 LE TRANSFERT DE CHALEUR EN 2D ET L'ANALOGIE ELECTRIQUE
Il est possible d’établir une analogie entre les lois de transfert de chaleur dans le cas 1D stationnaire
sans dissipation volumique de chaleur et la loi d’Ohm en électricité.
Fig. 1 : Analogie électrique
1-1 Coefficient dimensionnel
Utilisons un papier conducteur pour réaliser une
résistance électrique.
-
Longueur
Largeur
Epaisseur du papier
Section du conducteur
Etablissons l’analogie dimensionnelle avec une
partie de mur
Le
le
ep
Se = le . ep
-
La résistance thermique s’écrit :
La résistance électrique s’écrit :
Re  
Epaisseur du mur
Lth
Hauteur
lth
Dimension dans la 3e direction
eth
Section de passage de la chaleur
Sth = lth.eth
Le
e p .l e
Rth 
Conduction 2D
45
Lth
.lth .eth
Dans les deux cas, les résistances peuvent se mettre sous une forme : R  cst .
L
.
l
Il apparaît une analogie entre les dimensions du papier conducteur et les dimensions de la partie du
mur étudiée.
On définit le rapport dimensionnel :
Lth lth
  kL
Le le
1-2 Coefficient électrique
On définit également une relation entre les différences de potentiels électrique et thermique :
T  1 .U
avec 1 le rapport des potentiels en °C/V.
1-3 Analogie rhéoélectrique
1-3-a Analogie dimensionnelle
Outre les éléments de similitude mis en place précédemment, on peut remarquer qu’il existe une
analogie entre les lignes de courant électriques et thermiques et, donc, entre les surfaces
équipotentielles perpendiculaires aux lignes de courants, équipotentielles électriques et équipotentielles
thermiques, c'est-à-dire les isothermes.
Cette remarque apparaît évidente pour les géométries simples que sont la géométrie plane et la
géométrie cylindrique. Rappelons que seules les géométries dont la dimension dans la troisième
direction n’intervient pas dans le problème peuvent être étudiées par cette méthode.
Fig. 2 : Lignes de courant et équipotentielles électriques
en géométrie plane
Fig. 3 : Lignes de courant et équipotentielles (isothermes)
thermiques en géométrie plane
Conduction 2D
46
Fig. 4 : Lignes de courant et équipotentielles électriques
en géométrie cylindrique
Fig. 5 : Lignes de courant et équipotentielles (isothermes)
thermiques en géométrie cylindrique
1-3-b Détermination de la puissance
Poussons plus loin et déterminons, par analogie, le flux thermique qui traverse la section de mur
étudiée.
U
T
I
 th 
Rth
Re
Lth
L
Rth 
Re   e
.lth .e th
e p .l e
 th 
 th 
T
Lth .S th 
 1 .U ..S th
Lth
avec S th  lth .eth

 1 .I .Re ..lth .eth
Lth
On remplace Re par son expression ci-dessus.
 th 
 th 
 1 .I ..lth .eth
Lth

ep
.
Le
 . 1 .I ..lth .eth .Le  . 1 ..eth .I Le lth


. .
e p .l e
Lth .e p .l e
ep
Lth l e
eth . 1 ..I
Pour déterminer expérimentalement la constante

caractéristique du papier, on travaille sur un
ep
échantillon témoin dont on mesure la résistance électrique : Ro 
Conduction 2D
47
 Lo
. .
e p lo
On obtient donc :

ep
 Ro
lo
 Ko .
Lo
Il en résulte :
 th  K o .eth .1..I
1-4 Simulation d'une résistance thermique surfacique
(Échange convectif radiatif)
D’une manière générale, les surfaces des éléments, lieux de transfert conductif, ne sont pas des
isothermes mais le siège d’un échange thermique de type radiatif et/ou convectif avec l’environnement
caractérisable par la loi de Newton :
 s  h.S th .T
1
de résistance thermique associée Rths 
.
h.S th
Nous allons, comme pour la résistance thermique conductive, établir l’analogie électrique entre cette
nouvelle résistance thermique et Res.
Re  Ko
Le
le
R es  K o
Les
l es
Avec les  le :
Les 
.Le
Res Les Rths
1 .S th



.
Re
Le
Rth h.S th Lth
h.Lth

Les 

h.k L
et évidemment
h

Les .k L
Par ailleurs, pour des géométries plus complexes, afin de
s’assurer que, quelle que soit la direction des lignes de courant
dans la partie "conduction", celles-ci rencontreront la même
résistance, donc la même longueur de papier dans la partie
"convection rayonnement", il est nécessaire de pratiquer des
découpes au cutter dans le papier comme indiqué sur le
schéma ci-contre.
Conduction 2D
48
Enfin, dans certaines configurations, pour des
considérations pratiques de réalisation des
modèles, il peut être nécessaire d’incliner ces
lamelles d’un certain angle (schéma ci-contre).
Dans ce cas, le chemin pris par le courant est plus
long et les résistances deviennent :
Conduction
Re  Ko
Le
le
Les / cos 
Les
 Ko
le . cos 
le . cos2 
R es  K o
Res
Les
R


 ths 
2
Re
h.Lth
Le . cos  Rth
Les 

h.k L
. cos2 
h

Les .k L
. cos2 
1-5 Calcul du flux thermique dans le cas général
Re  totale  Re  Res
Rth totale  Rth  Rths
Res Rths

Re
Rth
I
U
Re  Res
th 
th 
1.I .(Re  Res )
Rth  Rths

1.I .Re .(1  Res / Re )
Rth .(1  Rths / Rth )
Conduction 2D
49

T
Rth  Rths
1.I .Re
Rth
On retrouve la même expression qu’au §1-3 :
 th  K o .eth .1..I
2 EXEMPLES D'EXPLOITATION
Une fois l’analogie mise en place, on peut dire qu’on est en mesure de déterminer expérimentalement,
d’une part, la puissance échangée et, d’autre part, l’allure des équipotentielles dans une configuration à
deux dimensions de forme quelconque. Nous allons développer dans ce paragraphe deux exemples
d’applications.
2-1 Angle de parois avec températures de paroi imposées
Réalisons le montage représenté sur la figure cicontre.
La découpe du papier conducteur prend la forme
d’un angle de deux parois. Les bords du papier sont
maintenus à un potentiel électrique grâce à des
barrettes en cuivre et un générateur non représenté
avec lequel on fixe la tension, et on relève l’intensité
pour le calcul de la puissance.
La mesure du potentiel en un point du papier se fait avec un
voltmètre en pointant directement sur le papier conducteur. Les
résultats sont reportés dans un tableur, ce qui va nous permettre de
tracer la cartographie des équipotentielles, et donc des isothermes.
Conduction 2D
50
2-2 Angle de parois avec coefficients d’échange surfaciques imposés
Comme on peut le constater sur la figure ci-dessous, dans cette configuration, l’expérience permet de
modéliser un angle de deux parois avec échanges convectifs.
La cartographie des isothermes fait apparaître une variation notable à la surface des parois qui ne sont
évidemment plus isothermes.
3 MANIPULATIONS
L'analogie précédemment exposée va être appliquée à différents éléments de murs (mur droit, angle de
mur, ailette) dont les faces sont exposées à deux types de conditions aux limites : température imposée
ou flux de chaleur convectif. On prendra comme coefficient dimensionnel : kL = 1. Les murs considérés
peuvent être en béton (béton = 1 W.m-1.K-1) ou en bois (bois = 0.12 W.m-1.K-1). On considèrera une
différence de température T = 26 °C entre l'intérieur et l'extérieur.
La différence de potentiel, imposée entre les barrettes de fixation de l'élément, est fixée par un
générateur à U = 26 V. Deux afficheurs sont à disposition pour mesurer l'intensité du courant
traversant l'élément de mur et les tensions en différents points de cet élément.
Remarque importante
Le papier conducteur étant très fragile, faites très attention à ne
pas l'endommager lors de vos relevés de tension.
Conduction 2D
51
3-1 Mesure de la résistance Ro de l'échantillon témoin
La mesure de la résistance de l'échantillon témoin permet d'obtenir la résistance de référence Ro et de
déterminer la constante Ko (début du §1.3).
3-2 Relevé des tensions sur les éléments de mur
Cinq éléments de mur sont à votre disposition :
- un mur droit dont les faces sont exposées à un flux de chaleur convectif.
- un angle de mur dont les faces sont isothermes.
- un angle de mur dont les faces sont exposées à un flux de chaleur convectif.
- un pont thermique court (type petite avancée de façade) avec des conditions aux limites de
-
type convectif pour l’extérieur.
Une ailette.
Pour les deux éléments suivants :
- Angle de mur dont les faces sont exposées à un flux de chaleur convectif.
- Ailette.
Mesurez ses dimensions.
Relevez l’intensité électrique I (mA) le traversant.
Effectuez un relevé des tensions tous les 2 cm.
« Pensez aux symétries »
Reportez ces valeurs sur le fichier Excel à disposition (TP-TCh2012 2D doc étudiants.xls) que vous
aurez pris soin de renommer.
Remarques
Pensez à sauvegarder régulièrement votre fichier sur le bureau.
Ne déplacer jamais des cellules Excel.
4 EXPLOITATION DES RESULTATS
Remarques
On considèrera pour la suite (sauf indication § 4-2/2) que le matériau
est du béton béton = 1 W.m-1.K-1.
Utilisez votre fichier Excel pour les calculs.
4-1 Calculs préliminaires
1. Calculez le rapport des potentiels 1 (§1.2).
2. Quand c'est nécessaire, calculez les coefficients d'échange de chaleur par convection à
l'extérieur hext et à l'intérieur hint (§1.4).
3. Sur la feuille "Calcul" du fichier Excel déterminer le flux de chaleur dissipé à travers les deux
éléments, grâce à l'analogie (§1.5).
Conduction 2D
52
4-2 Mur droit
1. Calculez le flux de chaleur théorique dissipé à travers l'élément de mur et le comparer au
résultat obtenu par analogie électrique. (sur Excel)
2. Répétez l’opération (de même pour le calcul par analogie), en considérant que le matériau est
du bois bois = 0.12 W.m-1.K-1.
3. Sans les tracer, quelle serait la forme des isothermes dans le mur droit ?
4-3 Angle de mur dont les faces sont exposées à un flux de chaleur convectif
1. Imprimez à partir d’Excel la cartographie des isothermes et commentez.
2. Tracez l’allure des les lignes de courant.
3.
3.1) A l'aide du résultat obtenu pour le mur simple, déterminez quelle serait la valeur
théorique du flux dissipé à travers un angle de mur dont on néglige le sommet (fig. cidessous) ?
Angle de mur dont le sommet est évidé.
Se comporte comme deux murs plans.
3.2) Comparez le résultat à celui obtenu, par analogie, pour l'angle plein.
3.3) Déterminez le rapport des flux avec et sans le coin et commentez.
4-4 Etude de l’ailette.
1. Imprimez à partir d’Excel la courbe d’évolution de la
température le long de l’ailette.
2. L’équation générale reliant les différents paramètres autour
d’un élément d’ailette est la suivante (cf. TP3) :
d 2T h. p

(Tx  Ta )
dx 2 .S
-h coefficient d’échange de l’ailette avec le milieu extérieur.
-λ conductivité.
-p périmètre de l’élément en contact avec l’environnement.
-Tx température de l’ailette en x (T0 en x=0).
-Ta température ambiante.
Conduction 2D
53
h. p
joue un rôle important dans la résolution de l’équation. En fonction de
.S
sa valeur l’ailette ou la barre pourra être considérée comme infinie en longueur, ou non. On
admet qu’elle pourra être considérée comme infinie si sa longueur L est supérieure à 5 fois
1/ m .
Calculez le terme 1 / m et commentez.
Le terme m 
3. Exploitation de la courbe d’évolution de la température dans l’ailette.
On rappel que l’on peut exprimer le flux de chaleur à travers une surface par la loi de Fourier :
P   .S .
dT
dx
La connaissance de la pente de la tangente à la courbe en L=0 permet de déterminer Po,
puissance qui traverse la base de l’ailette, donc qui est évacuée par l’ailette.
 dT 
P0  .S .

 dx  L 0
Déterminez de cette manière la puissance dissipée par l’ailette. Comparez votre résultat à la
valeur déterminée par analogie et à la valeur théorique.
On démontre que la tangente à l’origine coupe l’axe des abscisses à L  1 / m .
Déterminez m par cette méthode et commentez.
4. Tracez avec Excel et imprimez la cartographie des isothermes. Commentez.
4-5 Conclusion
Synthétisez les principaux résultats obtenus sur votre copie et concluez.
Remarque
Imprimez les feuilles Excel nécessaires à l’analyse.
Aucun fichier ne sera conservé !!!
Conduction 2D
54

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