ゲーム分析 I：環境と公共経済
中山幹夫
1. 協力ゲームの基礎
1.0. 提携形のゲーム (N, v). 提携形のゲーム (N, v):
• N = {1, 2, . . . , n} ： プレイヤーの集合
• v(S) ：提携 S ⊆ N の提携値
優加法性: v(S) + v(T ) ≤ v(S ∪ T ), ∀S, T ⊆ N, S ∩ T = ∅
対称ゲーム: |S| = |T | =⇒ v(S) = v(T )
ゲーム (N, v) の配分 x = (x1 , . . . , xn ):
全体合理性: x1 + · · · + xn = v(N )
個人合理性: xi ≥ v({i}), i = 1, . . . , n.
1.1. 協力ゲームの解：仁，コアおよび安定集合.
1.1.1. 仁.
不満ベクトル θ(x):
θ(x) = (θ1 (x), θ2 (x), . . . , θ2n (x))
ただし，x は配分で，
• θk (x) = v(Sk ) − x(Sk );
• θk (x) ≥ θk+1 (x), k = 1, 2, . . . , 2n − 1.
ゲーム (N, v) の仁 (nucleolus) ν とは，不満ベクトル θ(x) を，辞書式
順序で最小化する配分をいう．すなわち，任意の配分 x に対して，
k = min{j| θj (ν) 6= θj (x)} =⇒ θk (ν) < θk (x)
• ゲーム (N, v) の仁はただひとつ存在する．
)
)
• 対称ゲームの仁は均等配分 ν = ( v(N
, . . . , v(N
) である．
n
n
1.1.2. コア.
ゲーム (N, v) のコア (core) C(N, v) とは
x(S) ≥ v(S), for all S ⊆ N
をみたす配分 x の集合である．
• C(N, v) 6= ∅ ならば ν ∈ C(N, v).
• (N, v) が対称ゲームならば，
C(N, v) 6= ∅ ⇐⇒
v(N )
v(S)
≤
, ∀S ⊆ N
|S|
n
Department of Economics, Keio University, 2-15-45 Mita, Tokyo 108-8345.
1
平衡集合族: 提携の集合 B で，
∑
wS = 1
S∈B,S3i
をみたす非負の重みベクトル (wS )S∈B が存在するものを平衡集
合族 (balanced collection) という．
平衡ゲーム: 任意の平衡集合族 B に対して，
∑
wS v(S) ≤ v(N )
S∈B
をみたすゲーム (N, v) を，平衡ゲーム (balanced game) とい
う．
定理: C(N, v) 6= ∅ ⇐⇒ (N, v) は平衡ゲーム
1.1.3. NM 解（安定集合）.
配分の支配: 配分 x が配分 y を支配するとは，ある提携 S につ
いて，
∑
v(S) ≥
xi , and xi > yi ∀i ∈ S
i∈S
となることをいう．
安定集合 (stable sets): 配分の集合 K が安定集合であるとは，次
の条件がともにみたされることをいう．
内部安定性: x, y ∈ K ならば x は y を支配しない．
外部安定性: z ∈
/ K ならば，ある配分 x ∈ K は z を支配
する．
• 配分の全体を A，また K ⊆ A とし，domK で K のある配分に
よって支配される配分の全体とする．このとき，
K は安定集合 ⇐⇒ K = A \ domK
2
2. 環境と公共経済
2.1. NM 解の応用.
2.1.1. 公共事業の談合入札.
• N = {A, B, C}
∗ A ：自治体（社会）
∗ B ：事業者
∗ C ：事業者
• a ：公共事業の社会的価値（金銭評価）
• b ：事業者 B の見積もり額
• c ：事業者 C の見積もり額
• 仮定 ：
a>b>c>0
• 提携値 v({A}) = v({B}) = v({C}) = 0
v({B, C}) = 0, v({A, B}) = a − b, v({A, C}) = a − c
v({A, B, C}) = a − c
2.1.2. NM 解（曲線 ADE）.
A
xB + xC
= v({B, C}) = 0
w
z”
p=b
w0 = (a − p, 0, p − c)
0
where b ≥ p ≥ c
D
w
d
z
z’
p=b+d
Y = (yA , yB , yC )
= (a − b − d, yB ,
b − c + [d − yB ])
where
a − b ≥ d ≥ yB
Y
B
F
E
xA + xB = v({A, B}) = a − b
C
xA + xC = v({A, C}) = a − c
3
2.2. ゴミ戦争.
2.2.1. ゴミ戦争ゲーム
{ ∑.
− j∈N −S tj if S ( N
∑
• v(S) =
− j∈N tj
if S = N
ただし，
∗ N = {1, . . . , n} はプレイヤーの集合
∗ n≥3
∗ tj はプレイヤー j のゴミ排出量
である．
• 自己完結的配分: x∗ = (−t1 , . . . , −tn ) は，
「各区のゴミは各区が
処理する」という配分．
• 命題：ゴミ戦争ゲーム (N, v) では
(1) x∗ = (x∗1 , ..., x∗n ) ∈
/ C(N, v)
(2) C(N, v) = ∅
2.2.2. ゴミ処理ゲーム.
∑
• v(S) = − j∈S tj − CS for all S ⊆ N
ただし，CS は S の排除費用で，
(1) |S| = |R| ⇒ CS = CR
(2) S ⊆ T ⇒ CS ≥ CT
(3) CN = 0
をみたす．
• 命題： ゴミ処理ゲーム (N, v) では
(1) C(N, v) 6= ∅
(2) x∗ = (x∗1 , ..., x∗n ) ∈ C(N, v)
(3) x∗ は仁である．
2.2.3. ゴミ処理ゲームの利得変換.
∑
• v0 (S) = v(S) − i∈S (−ti ) = −CS , for all S ⊆ N
で与えられるゲーム v0 は，ゲーム v と戦略上同等であるといわれる．
一般に，二つのゲーム v と v 0 が戦略上同等であるとは，ある a > 0
とある b = (b1 , . . . , bn ) について，
∑
v 0 (S) = av(S) +
bi ∀S ⊆ N
i∈S
となることをいう．
• x0i = axi + bi (∀i ∈ N ) とするとき，
x0 がゲーム v 0 の仁 ⇐⇒ x がゲーム v の仁
4
2.3. 補償ゲーム.
{
0
if 1 ∈
/S
• vI (S) =
max(0, |S|B − C)
if 1 ∈ S
• vII (S) = max(0, |S|B − C) for all S ⊆ N
ただし，
∗ B は，各プレイヤーの便益
∗ C は，処理場の建設費用
∗ nB > C
と仮定する．
2.3.1. 補償ゲームの仁.
• ゲーム vI の仁：x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n )
case 1: nB ≥ 2C のとき
1
1
∗ x∗1 = B + nB − C
2
2
1
∗
∗ xi = B, (i = 2, . . . , n)
2
case 2: nB < 2C のとき
1
∗ x∗i = B − C for all i ∈ N
n
• ゲーム vII の仁：yi∗ = (y1∗ , . . . , yn∗ )
1
∗ yi∗ = B − C for all i ∈ N
n
2.4. 排出量取引ゲーム.
ゲーム: v(S) = −p∑
· max(0, k(S) − t(S)),
∑ S⊆N
ただし，k(S) = i∈S ki ; t(S) = i∈S ti
• N = {1, . . . , n} = A ∪ B
A = {i ∈ N | ki ≥ ti } ; B = {i ∈ N | ki < ti }
• ki は企業 i ∈ N の実排出量
• ti は企業 i ∈ N に割り当てられた排出枠
• p > 0 は排出枠を超える実排出量 1 単位当たりの罰金
仮定: k(N ) > t(N ) , B 6= ∅
2.4.1. 排出量取引ゲームのコア. 配分 x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ), ただし，
x∗i = −p · (ki − ti ) , i = 1, . . . , n
を考える．このとき，
(1) 配分 x∗ はゲーム v のコアに属する．
(2) k(N ) − t(N ) ≥ ki − ti , (i = 1, . . . , n) ならば，配分 x∗ のみが，
ゲーム v のコアに属する．つまり，x∗ は仁である．
5
2.5. 共有地の悲劇.
• プレイヤーの集合: N = {1, . . . , n}
• 利得: ui (x) = v(x)xi for all i ∈ N
ここに，
∗ xi ∈ [0, b] はプレイヤー i の戦略．
（仮定：b > 0）
∗ x = (x1 , . . . , xn ), x(N ) = x1 + · · · + xn
∗ v(x) = a − x(N ), （仮定：a − nb ≥ 0）
である．
• ナッシュ均衡 x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) : ui (x∗ ) ≥ ui (xi , x∗−i )
for all xi ≥ 0 and i ∈ N. ただし，
x∗−i = (x∗1 , .., x∗i−1 , x∗i+1 , .., x∗n )
である．
• 結託耐性ナッシュ均衡（coalition-proof Nash equilibrium,
c.p.n.e.) : x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) が c.p.n.e. であるとは，x∗ におい
てどの提携 S ⊆ N も，credible deviation をもたないことを
いう．ここに，S が x で credible deviation y S をもつとは，
∗ y S は x における deviation，i.e., ui (y S , xN \S ) > ui (x), ∀i ∈
S, であり，
∗ (y S , xN \S ) において，どの提携 T ( S も credible deviation
をもたない
ことをいう（提携のサイズについての帰納的定義に注意）．
• 命題： 戦略形ゲーム G = (N, X) がナッシュ均衡をもち，任意
の空でない真部分集合 S と任意の xN \S ∈ X N \S に対して，サ
ブゲーム (S, X S |xN \S f ixed ) が唯一のナッシュ均衡をもつな
らば，ゲーム G は c.p.n.e. をもつ．
2.5.1. 共有地の悲劇のナッシュ均衡（結託耐性ナッシュ均衡）.
1
a,
結託耐性ナッシュ均衡: x∗i =
n+1
n
操業水準の総和: X ∗ =
a
n+1
n
利益の総和: π ∗ =
a2
(n + 1)2
2.5.2. 共有地の悲劇の TU コア.
6
for all i ∈ N
• 提携値：
v(S) = max min (a − x(S) − x(N \ S))x(S), ∀ S ⊆ N,
x(S) x(N \S)
where x(T ) =
∑
i∈T
xi , for all T ⊆ N .
共有地の悲劇の TU ゲーム (N, v) については，
(1) v(S) = (a − b(n − |S|))2 /4, ∀S ⊆ N
(2) コア C(N, v) 6= ∅
となる．
このコアを TUα− コアという．また，提携値が，次のように minimax
値で与えられる場合のコアを TUβ− コアという．
v(S) = min max(a − x(S) − x(N \ S))x(S), ∀ S ⊆ N,
x(N \S) x(S)
• 一般に，β− コア ⊆ α− コア，であるが，この場合はすべての
提携について，min max 値が max min 値に等しくなるので両コ
アは一致する．
2.5.3. 共有地の悲劇の TUγ-コア.
提携 S に対抗するために提携の外のプレイヤー達が一致して操業水
準を最大にするというのは，そのコストを考えれば必ずしも自然な反
応であるとはいえない．むしろ，提携の外でたんに個々に最適反応す
るだけという行動の方が現実的である．つまり，
• N \S の各プレイヤーは x(S) および，自分以外の xj , (j ∈ N \S)
に対して，最適反応する:
• S は xN \S に対して最適反応する．
このゲーム (N, v) のコアを γ− コアという．
(1) v(S) = (a2 /4)[2/(n − |S| + 2)]2 , ∀S ⊆ N
(2) γ − core 6= ∅
2.6. 公共財の供給.
2.6.1. 協力的公共財供給ゲーム.
(∑
)
• v(S) = maxy≥0
i∈S wi (y) − cy , ∀S ⊆ N
where
∗ wi (y)：公共財 y ≥ 0 の消費からえられるプレイヤー i の
便益
∗ c > 0：公共財 y １単位の供給費用（限界費用）
7
このゲームは，任意の i ∈ N を選んだとき，xi = v({i}) をみたす配分
がコアの中に必ず存在する，という意味で，大きいコアをもつ．
• ゲーム (N, v) が
v(S) + v(T ) ≤ v(S ∪ T ) + v(S ∩ T ) ∀S, T ⊆ N
をみたすとき，(N, v) を凸ゲーム (convex game) という．
∗ 凸ゲームのコアは，各 i ∈ N について
xi = v({1, ..., i − 1, i}) − v({1, ..., i − 1})
となる利得ベクトル x = (x1 , ..., xn ) を含む．
∗ (N, v) が凸 ⇐⇒ For all i ∈ N and all S ⊆ T ⊆ N \ {i},
v(S ∪ {i}) − v(S) ≤ v(T ∪ {i}) − v(T )
• 協力的公共財供給ゲーム (N, v) は凸である．
2.6.2. Clarke=Groves=Vickrey Mechanism.
• プレイヤーの集合 : N = {1, . . . , n}
• プレイヤー i の戦略 : wi ∈ Wi
ただし，Wi は公共財消費量 y に対する i の任意の評価関数 wi
の集合で，真の評価関数 Ui ∈ Wi である．
• 利得関数 : ui (w) = Ui (y(w)) + mi − ti (w), ここに，
∗ w = (w1 , . . . , wn ) ∑
∗ y(w) = arg maxy≥0 ( j∈N wj (y) − c(y))
∗ mi は i の初期所得
∗ ti (w) は i への課税額で，
∑
ti (w) = c(y(w)) −
wj (y(w)) + di (w−i ).
j6=i
ただし，di (w−i ) は，wi に依存しない関数であり，次の条
件をみたす．
∑
∑
条件:
i∈N di (w−i ) ≥ (n−1)(
i∈N wi (y(w))−c(y(w)))
∗ c(y) は，公共財の費用関数．
2.6.3. ＣＧＶメカニズムと弱支配戦略.
• CGV メカニズムでは，真の便益評価の報告が，各プレイヤーに
ついて，弱支配戦略となる．
8
Proof. 任意のプロファイル w = (w1 , ..., wn )，ただし wi = Ui ，
について，
ui (w) = Ui (y(w)) + mi − ti (w)
∑
= [Ui (y(w)) +
wj (y(w)) − c(y(w))] + mi − di (w−i )
j6=i
= max [Ui (y) +
y≥0
∑
wj (y) − c(y)] + mi − di (w−i )
j6=i
¤
• di (w−i ) が，
「条件」を満たす場合は，
∑
ti (w) ≥ c(y(w)) for all w,
i∈N
つまり，収支に欠損が生じることはない．
3. 福祉
3.1. 社会的選択ゲーム v とそのコア C(W ).
∑
• v(S) = max
ui (y) for all S ∈ W
y∈Y
i∈S
ただし，
∗ N = {1, . . . , n} は有権者の集合で，n ≥ 3
∗ Y は選択肢の集合
∗ W は「勝利提携」の集合で，W 6= ∅ であり，さらに
単調性: S ∈ W, S ⊆ T ⊆ N ⇒ T ∈ W をみたす．
• 社会的選択ゲーム v のコア C(W ) とは，
C(W ) = {x = (x1 , . . . , xn ) |
∑
∑
xi = v(N ),
xi ≥ v(S) for all S ∈ W }
i∈N
i∈S
3.1.1. 多数決のコア (Kaneko [?]).
• 配分 x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) が単純多数決 W m = {S ⊆ N | |S| > n/2}
での社会的選択ゲームのコア C(W m ) に属することと，次の 1,2
が成立することとは同値である．
N
i∈N
(1) x∗i = ui (y
∑ ) for all
(2) v(S) = j∈S uj (y N ) for all S ∈ W m
∑
(ただし y N ∈ Y は v(N ) = j∈N uj (y N ) をみたす選択肢
である)
9
3.1.2. 賄賂とコア (Nakayama [?]).
• 配分 x = (x1 , . . . , xn ) が, 単調性をみたす W のもとでのコア
C(W ) に属し，しかも，ある i∗ ∈ N について xi∗ > ui∗ (y N ) で
あるとする．このとき，
i∗ ∈ S for all S ∈ W.
つまり，プレイヤー i∗ をメンバーにもたない提携は勝利提携に
はなれない．
（このようなプレイヤー i∗ を拒否権者 (vetoer) と
いう．
）
3.2. 贈与ゲーム (Nakayama [?]).
• プレイヤーの集合： N = {1, . . . , n}
• プレイヤー i の戦略の集合：
∑
Xi = {xi = (xi1 , . . . , xin )|
xij = mi , xij ≥ 0 for all j ∈ N }
j∈N
ただし，mi > 0 はプレイヤー i の所得．
• プレイヤー i の利得関数： ui (y1 ,∑
. . . , yn ) ただし，ui は連続かつ準凹，yi = j∈N xji for all i ∈ N であ
り，y = (y1 , . . . , yn ) は，戦略プロファイル x = (x1 , . . . , xn ) に
よって実現する所得（再）分配である．
3.2.1. 贈与ゲームの弱パレート最適ナッシュ均衡.
• 戦略プロファイル x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) はナッシュ均衡であるとす
る．このとき，あるプレイヤー i ∈ N が存在して，すべてのプ
レイヤー k ∈ N について，
1: x∗ik > 0
あるいは，
∑
∗
2: x∗ik = 0 =⇒
j∈N xjk = 0
となるならば，x∗ は弱パレート最適である．
• N = {1, 2} ならば，ナッシュ均衡は弱パレート最適である．
3.3. 扶養ゲーム (Binmore [?]).
プレイヤー: 各世代 t ≥ 1 に娘 Dt と，その母 Mt の 2 人．Dt は
2 世代のみ生きる．Dt → Mt+1 ．
仮定: (1) Dt は労働によって 2 単位の消費財をえるが，これは次世代
まで貯蔵できない．
(2) Mt は老齢のため，労働できない．
娘の戦略: 姨捨: 稼いだ消費財を 2 単位とも独占する．(2, 0)
扶養: 稼いだ消費財の 1 単位を母に分け与える．(1, 1)
選好関係: 10
• どのプレイヤーも，生涯にできるだけ多く消費したい．
• 2 単位を 1 度に消費する (2, 0) よりは，娘のとき１単位，母
になって 1 単位消費する (1, 1) を選好する．
3.3.1. 均衡分析.
NE1: すべての娘が姨捨する．
（悲惨な老後）
Proof. 母を扶養しても，自分 Dt が母になったら娘 Dt+1 は姨捨す
るので，生涯に１単位しか消費できない．それゆえ，離反しない．□
NE2: 自分の母が娘時代に母を扶養したときに限り，自分も母を扶
養する．
（因果応報）
Proof. 娘 Dt だけが離反して姨捨したとしよう．娘 Dt+1 は均衡戦
略をとっているので，Dt が母 Mt+1 になったら，娘 Dt+1 は姨捨する．
それゆえ，Dt は 離反しない．□
注意. 娘 Dt+1 の姨捨は，信憑性があるか？姨捨した母を罰しなけれ
ば自分の娘に姨捨されることにはならないので，その母を罰する（姨
捨する）という行動は信憑性に欠ける．つまり，この均衡はサブゲー
ム完全均衡ではない．
SPE1: すべての娘について，過去すべての娘が母を扶養していると
きに限り，母を扶養する．
（永久懲罰）
Proof. 娘 Dt だけが姨捨へ離反したとしよう．すると娘 Dt+1 の均
衡戦略は姨捨なので，Dt は母 Mt+1 になったとき姨捨される．それゆ
え，どの娘も離反しないので，ナッシュ均衡である．離反が引き起こす
任意のサブゲームでは，すべての娘は姨捨する．これは上で述べたナッ
シュ均衡 NE1 である．ゆえにこの均衡はサブゲーム完全である．□
定義（遵奉者 conformist）遵奉者とは，母が遵奉者である限り母
を扶養し，そうでなければ姨捨するプレイヤーのことをいう．
注意 自己言及的定義であるが，問題はない．最初の世代の母は，母
が存在しないので，遵奉者である．したがって，その娘は，母を扶養
すれば遵奉者であり，姨捨すれば遵奉者ではない．以下，同様．
SPE2: すべてのプレイヤーが遵奉者となること．
（遵奉者）
Proof. 任意の 1 人のプレイヤーが遵奉者であることをやめれば，遵
奉者である娘に姨捨されるので，誰も離反しない．つまり，ナッシュ均
衡である．また，この離反が起きたとすると，そのサブゲームでは，自
分は姨捨されるだけですべてのプレイヤーは遵奉者であるから，ナッ
シュ均衡である．□
4. 情報の拡散停止集合
情報共有者が k 人のときの，１人当たりの利益を E(k) とし，この利
益は共有者の増加に伴い減少すると仮定する．ただし，最初の保有者
はプレイヤー１とする．
例１: N = {1, 2, 3}: E(1) = 30, E(2) = 16, E(3) = 9
この例では，
(1) E(1) < 2E(2)
11
(2) E(2) < 2E(3)
(3) E(1) ≥ 3E(3)，
また，3 と 2 より，
(4) E(1) ≥ 2E(3) + E(3) > E(2) + E(3).
３より，保有者は２人に売ることはできず，１より，１人だけに価格
E(2) で売ったとしても，２より，転売されるので，４より，利益は E(2)+
E(3) まで低下する．それゆえ，保有者は誰にも売ることはできない．
例２: N = {1, 2, 3, 4}: E(1) = 30, E(2) = 16, E(3) = 9, E(4) =
5
この例では
(1)
(2)
(3)
(4)
E(1) < 2E(2)
E(2) < 2E(3)
E(2) ≥ 3E(4)
E(3) < 2E(4)
また，3 と 4 より，
(5) E(2) ≥ 2E(4) + E(4) > E(3) + E(4).
• ２と３より，保有者が２人になった段階では，保有者の１人が
１人だけに転売すれば利益があがる．
• しかし，４より，保有者が３人になった段階では保有者の１人
が残る１人に転売すれば利益があがり，情報は全体に拡散する．
• しかし，５より，全体に拡散すると最初の転売者の利得は E(2)
より減少してしまう．
• こうして，保有者が２人の状態からの転売は最終的に利益をあ
げないので，その転売は起こらない．それゆえ，１より，最初
の保有者は１人に売って利益をあげることができる．
Definition 1. (拡散停止集合 M) Let M ⊆ N be any set with 1 ∈ M .
(1) If M = N , then we say M is dissemination-proof.
(2) Suppose the definition is completed for all M ⊆ N with n ≥
|M | > m ≥ 1. Then, for all M with |M | = m, we say M is
dissemination-proof if
E(|M |) ≥ (1 + |T |)E(|M ∪ T |)
for all T ⊆ N − M such that M ∪ T is dissemination-proof.
12
Theorem 1 (Nakayama et al [?]). Let M and M 0 be any two
dissemination-proof coalitions satisfying 1 ≤ |M | < |M 0 |. Then,
|M |E(|M |) ≥ |M 0 |E(|M 0 |)
where the inequality is strict iff |M | > 1.
13
References
[1] Binmore, K., Fun and Games, D.C.Heath and Company, 1992.
[2] Kaneko, M., ”Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of
Nonempty Core of a Majority Game,” International Journal of Game Theory
4 (1974), 215-219.
[3] Nakayama, M., ”Nash Equilibria and Pareto Optimal Income Redistribution,”
Econometrica, 48 (1980), 1257–1263.
[4] Nakayama,M., ”Note on the Core and Compensation in Collective Choice,”
Mathematical Social Sciences 2 (1982), 323-327.
[5] 中山幹夫 『社会的ゲームの理論』 近刊．
[6] Nakayama,M., L.Quintas, and S.Muto, ”Resale-Proof Trades of Information,”
The Economic Studies Quarterly 42 (1991), 292–302.
[7] 岡田 章 『ゲーム理論』有斐閣 １９９６年．
14
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