電子ガスの基本的性質 - rabbit.mns.kyutech.ac.jp

物性基礎特論ノート自由電子ガスについての雑記
担当：岸根順一郎
このノートでは授業の中で十分扱いきれなかった自由電子の基礎理論
というには細かい？についてまとめておきますあまり系統だっていな
いし尻切れトンボに終わっていますより進んで勉強したい人は専門書に
あたって下さい
目次
誘電関数と分極関数
関数
振動
静電ポテンシャルのフーリエ変換振動
比熱と磁性
個別励起と集団励起
誘電関数と分極関数
自由電子ガス中に外から電荷分布
がつくる静電ポテンシャルを持ち込むこの外部電荷分布
はポアソン方程式
で決まる
が持ち込まれたことによって周囲の電子ガスが分極を起こすこ
の結果誘導電荷分布
が生じこれらを込みにした静電ポテンシャ
ル繰り込まれた静電ポテンシャルは
£ たとえば高田康民『多体問題』
となると
は非局所的に結ばれるはすで
と書けるこれをフーリエ変換すると
つまり
が得られるは誘電関数と呼ばれる外から持ち込まれた電荷分布に
よる静電ポテンシャル裸の静電ポテンシャルは分極によってだけ弱められる
外から電荷を持ち込むと電子ガスは分極して裸の静電ポテンシャルを
弱めようとするこのプロセスは弱められた繰り込まれた静電ポテン
シャルと分極がうまくつりあった時点で終了する最終的な分極電荷分
布と繰り込まれた静電ポテンシャルの関係を
と書こうフーリエ変換すると
となるは分極関数と呼ばれる
誘電関数と分極関数を関連付けようポアソン方程式より
これにを代入すると
なので
が得られる
静電ポテンシャル中に置かれた電子はシュレーディンガー方程式
に従うここでがはフェルミ波数に比べて緩やかに変
化すると仮定するこの仮定は実際正しいこの場合イメージとして電
子はゆるやかな地形を波として滑走するので場所場所での波数はきちんと
定義できるその波数をとすると
である場所
での電子密度はフェルミ分布関数を用いて
と書ける外部電荷がない場合は
となるこれより分極電荷は
すなわち
となるここで
を導入した
これより誘電関数が
£
Æ
と得られる
さて電子ガス中に点電荷をおく場合裸の静電ポテンシャルのフー
リエ変換は
であるこよれり繰り込まれた静電ポテンシャルは
となるこれをフーリエ変換して実空間に戻すと
からになった
最後の変形によってについての積分区間が
ちょっ
としたトリックであるがこれによって上記の積分がうまく複素積分の形
に持ち込める
Im
C
ik0
Re
より
となる
が原子距離程度より小さいことがわかる
を上図の経路に沿って積分しでの留数を拾えば
関数
授業で示したように
次の摂動論を使うと自由電子ガスの分極関数は
と書ける（因子はスピン自由度から来る）
次元の等方的電子ガスの場
合について分極関数を計算してみよう
単純積分計算だから
絶対零度ではここに出て来たのが関数
である
1
Kohn anomaly
1
関数は 2
x
で連続であるが微分係数は発散するこの発
散に起因する異常を異常と呼ぶ
異常は
振動
!"
相互作用フォノンモードのくぼみなどなどあちこちに顔を出す
振動
のフーリエ変換を計算しよう
上半平面で正則な複素関数
を考えるこの関数はに対数分岐点を持つので下図の様に切断
カットを入れる
Im
C
C2
C1
Re
+1+iδ
−1+iδ
カットの両端をはう経路からの寄与はキャンセルしないのですると
#
ブランチの両端からの寄与は
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
$ Æ
Æ
$ これより
かくして
を得る分極関数は実空間では波数で振動することがわかる自由電
子を媒介とする局在スピン間の相互作用はに比例するので振動する
これが !" 振動である
問題上記の積分を下記の経路カットの入れ方が違うに沿って実行し
同じ結果が得られることを確認せよ
Im
KǸ
-1
+1
静電ポテンシャルのフーリエ変換振動
繰り込まれた静電ポテンシャルを波数空間で書くと
となるこいつのフーリエ変換を計算しよう計算すべきは
$
Re
である先ほどの繰り返しになるが丁寧に行こう
所望の積分
を遂行するため複素関数
を定義する
これよりまず虚軸の対数分岐を調べるためと極形式で書くと
上では対数項が消え虚軸上にの単純極
が存在することがわかるこの極が %&
る寄与を与える次に対数的な分岐を考える下図の様に
近似によ
Æ Æ は正
の無限小量から虚軸に沿って上半平面に走る２本の分岐を入れることが
できるこれらはもちろん対数分岐線である
Im
C
C2
Thomas-Fermi pole
i/2α

C1
+1+iδ
−1+iδ
Re
Æ から走る分岐線の両岸 ! にそった積分を考えよう ! の
右岸に対して左岸は対数の偏角がずれているよって
まず
右岸
Æ
Æ
Æ
左岸
" " " " と置けば被積分関数にダンピング項が
現れるこのため積分への寄与としては Æ 付近が優勢となりのが
! に沿って大きいところは効かないすると
" と近似できるこれより
Æ
Æ
" " " Æ
$ $ 同様に ! の両岸の寄与を考えると
さらに
$ $ の寄与を忘れずに拾い上げると
%& 以上の結果より電子ガス中に持ち込まれた点電荷が周囲に作る電場は振
動項を含むことが判ったこれはフェルミ面の差し渡しに
起因する振動なので広く振動と呼ばれる伝導電子の分極を介した局
在スピン間相互作用の形として知られる
!"!'&((&
糟谷&
芳田相互作用も典型的な振動である
比熱と磁性
平面波波動関数とエネルギー
金属電子の最も単純なモデルとして長さ # の立方体状の系の自由電子
平面波を考えよう．波動関数とエネルギーは
$
%
& ここで系に周期的境界条件を課すこれは巨視的体系の一部を取り出し
たとき表面近傍でない限り
頭の中でどこで区画してもその性質は同一
であるとの期待に基づく取り扱いである．このように表面効果によらな
い性質をバルクの性質と呼ぶ．周期的境界条件はバルクの性質を調べる
上で簡便な処方である．このとき電子に許される波数はを整数
として
% % #
エネルギー & と & & の間にある状態数 '&& によって状態密度 '& を
定義すると (
をスピンによる縮重度として
'& (
Æ &
Æ &
& ($
が空間次元に対応する．
&
次元の場合にこの積分を実行
すれば
'
&
' & '
&
($ &%
($
%
($ &
%
を得る．
フェルミ分布関数
有限温度での系の挙動を調べるため量子統計の基礎に立ち戻ろう．系
の統計力学を調べるためにカノニカル分布に戻って分配関数を計算しよう
とするととたんに行き詰まる．
) で指定されるエネルギー準位を陣取る電子数をとしよう波数表
示では ) % * ．このとき系の全エネルギーは & % であ
る + は数分布のセットを指定するインデックスなのでシンボリッ
クに + と書いて混乱はないだろう．全粒子数は , であるから
, という拘束条件がつく．この拘束条件をつねに満たしながら
カノニカル分配関数
- % $% , を計算するのは至難である．そこでグランドカノニカル分布
の導入が必要になる．粒子数 , についての拘束条件を開放して
やり異なる粒子数を含む系のコピーカノニカルコピー系たくさん用意
するのである．対応するグランド分配関数日本語では大分配関数とも呼
ぶは
% $% , - % $% , %
となる．は粒子数 , でエネルギーに系を見出す相対確率と
解釈できる．
のご利益は
それが系の固有状態 )
% % % からの寄与の積に因
数分解できてしまう点である．つまり
% $% , & & & & & & & & & についての和は，各々の ) について独立にとることができる．
フェルミオンの場合 % ボゾンの場合 % % % だから
% $% & %
# # となる．グランドポテンシャル自由エネルギーは
% $% )
% $% & %
化学ポテンシャルが与えられたときの粒子数の平均は
, )% $% & &
となる．粒子状態 ) を占める粒子数の平均値としてフェルミ分布
関数
& &
が現れた．
(
&
%
%
ところでグランドカノニカル分布での粒子数の偏差の自乗平均は
, , , , $ なので , , , $
% $% $% で
一方 ,
である．体積 $ は巨視的な量だか
らこの右辺はほとんどゼロつまりグランド・カノニカル分布では粒子数
の揺らぎがあるもののその平均値からのズレは巨視的系では問題になら
ずカノニカル分布から出てくる結果と一致するということになる．グラ
ンド・カノニカル分布は粒子数が変わるので気持が悪いという人がいるが
そういう人はカノニカルサンプリングを粒子数に対応する膨大な数だけ実
行せねばならない．これは無為な努力である．粒子数についての拘束条件
を緩くしておいて巨視系で同じ結果を与える確率分布を考えるところが
グランド・カノニカルのミソである．
フェルミ球
絶対零度の極限でフェルミ分布関数は階段関数になる*
&
&
, 個の自由電子ガスの基底状態は空間の格子点の各々を上向き下向き
スピンの二つの電子がエネルギーの低いほうから順に詰まった状態であ
る．つまり半径の球フェルミ球内の点を電子が占める．フェルミ
波数と電子の最大運動エネルギーであるフェルミエネルギーは
,$
#
%
%
となる．全エネルギーは電子個あたりのフェルミエネルギーの +
倍になる．つまり
例えば
,'
&'&& , +
の場合結晶の原子配置から計算された自由電子密度は
# # -. を用いると / 温度に換算して
# またフェルミ波数は # の程度となる．
ゾンマーフェルト展開
有限温度での計算にはゾンマーフェルト展開が有用である．
&
&
!
! !
!
%
が
の極限でデルタ関数になることおよび &
とに注意し関数 & ! . を導入すると
の偶関数であるこ
#
&. & & & &&
&. & & 0
& !
&
& & ! 0
&
&
& &
& & ! 0
&
&
&
&
. & &
!
ここで
で / 0
/
はリーマンのツェータ関数．
/ %
/ に注意すると低温の熱力学諸量が計算できる．
化学ポテンシャル
状態密度を '&
"$
&%
と有限温度の場合の式
"
"
"
"
&&
& & &
と書いておく．絶対零度
" %
の辺々を割ると
これより
$
&
&& エネルギーと比熱
同様にエネルギーは
+
, +
%
比熱が
!
,
0
と求まる．
ところで温度に比例する比熱も次に述べる温度によらないパウリ常磁
性磁化率もフェルミ温度という有限でしかも万度という高温堅牢な
エネルギースケールが存在することからの自然な帰結である．つまり熱
によって電子は程度のエネルギーをもらうがこれによって熱擾乱を
受けるのはフェルミ球を構成する電子の全“人口”のうち程度に過
ぎない．よって外界の温度上昇による電子系のエネルギーの増加は
1
' %
である．これより直ちに温度に比例する低温電子比熱が得られる．外界か
らの擾乱に対してフェルミ面は電子系フェルミオン系社会の防波堤役
を果たしていると表現してもよい．しかしおいおい見るようにこの防波
堤付近の人口密度が急増するとフェルミ面はもはや防波堤の役目を果たさ
なくなる．フェルミ面が崩壊の憂き目に合うという自体が実際にあり得る
のだ．この曖昧な例えがゆくゆく体感できるようになるだろう．
パウリ常磁性
電子ガスに弱い静磁場 . をかける．電子の粒子エネルギーは
& とゼーマン分裂する．
& .
1 23 #
4%
はボーア磁子で
ある．このズレは化学ポテンシャルのズレに吸収できるのでゼロ磁場で
のグランドポテンシャルを ) % $% として
)
% $% % . % $% . ) % $% .
)
) % $% % $% %
) . となる．これより磁化は
2
) % $% .
)% $% % . .
2
.
.
,
磁化率は
,
' %
と求まる．
ところでここでも数ファクターを別にすれば上の結果はもっと直感的に
出せる．スピン 3 の独立粒子ガスの常磁性磁化率が高温 ( .
でキュリー型
, 3 3 ( %
$
であったことを思い出そう．縮退フェルミガス系では磁場による擾乱を
受けるのはフェルミ球を構成する電子の全“人口”のうち程度に過
ぎない．よって
(
となる．
ランダウ反磁性
電子ガスへの磁場効果としては上で見たゼーマン相互作用起源のパウ
リ常磁性の他に電子がローレンツ力を受けて軌道運動することに由来す
る反磁性がある．これがランダウ反磁性である．
量子力学で習うように軸方向を向いた磁場 . を受けた電子のハミル
トニアンはゼーマン項を除くと
.
4 と書ける．ここで
5
"
1
4 5% 4 "
1
4
%
" % 4 " %
1
1
を作るとこれらの交換関係は
4 % " 4 % " 1
"
1
"
.
1
ここで
4 % を使った．これより %
1. とおけば
% 5 %
となってと 5 は共役となりハミルトニアンは
.
. 4
5 %
1
と書ける．第項は調和振動子型なので固有値は直ちに
&
.
1
4
. 4
%
と決まる．つまり磁場に垂直な面面積 6 内の環状エネルギー帯
. ≦
4
4 ≦ .%
内のすべての連続準位がひとつのランダウ準位に束ねられる．ひとつのラ
ンダウ準位当たりの縮重度は
(#
6
$ ≦
% % ≦ 6.
6
. %
1
. の円と半径
4 4
. の円には
さまれた領域の面積を考えればよいだけ．よって方向 4 と 4 4 間
の状態数は方向のサイズを # 6# $ として
である半径
$
(# #
4
$ .
4 %
1
である．これよりグランド・ポテンシャルは
$ . . 4 ) 1 $ . 1 . 4
ここでオイラー・マクローリンの公式
( ( ( #%
を適用すると
$ .
) 1 . )
)
5
. . ゆえにランダウ反磁性磁化率は
)
,
%
とパウリ常磁性のの大きさを持つ．
結局ゼーマン効果と軌道効果をともに考慮した電子ガスの磁化率は
%
となる．
個別励起と集団励起
バンドを決定することは，電子の個別運動個別励起を記述することである．結晶内電子の個々の状態はバンド
指数結晶波数スピン * で指定される電子状態
% % *%
で指定され，多電子系の基底状態としてバンドの底からフェルミ準位まで
満ちたフェルミ海が構成される．しかし，現実の金属電子達は長距離クー
ロン相互作用を及ぼしあいながらお互い避けあって運動している．金属結
晶を構成する原子は価電子を放出してイオン化しているため，イオン間に
もクーロン相互作用が働く．
多体系の相互作用効果として基本的で重要な現象が集団励起の発現である．一般に低エネルギーの個別励起と集団励起を合わ
せて素励起と呼ぶ．系の外場に対する応答を
議論するうえで，低エネルギー素励起の全貌を明らかにする必要がある．
また，一般に個別励起と集団励起は人間社会現象と同様互いに結合し，
互いの様相を変貌させる．これが多体問題の中心課題である．
格子振動
価電子を放出してイオン化した金属結晶中の原子は格子点に強く束縛さ
れてその周りを微小振動することしかできない．だから結晶内を自由に動
き回る個別運動することは不可能である．このため，互いのクーロン斥
力の為に生じる集団運動格子振動が素励起となる．
格子振動を議論する最も簡単なモデルとして，質量 2 2& の質点がバ
ネ定数 7 のバネでつながれた次元系を考える．
ハミルト二アンは
.
が奇数なら 2'
'
5'
2'
7
8'
2 が偶数なら 2'
2 8
6
' 7 9' 9'
2& 96' 7 8' 8'
8'
2& 運動方程式は
8' %
9' 8' 9' はそれぞれ 2 2& の平衡点からの変位である．波数振動数 :
で集団運動するサザナミを取り出すためにフーリエ成分
8'
'( 8 % 9'
を運動方程式に代入すれば
2 : 8
(
(
9 79 7 8 7 2 : 7 7 7
2& : に帰着され，固有振動数として
:
'
78 7 9 %
2& : 9
これより固有値問題は
7
2 2&
#
%
!
%
ωoptical(q)
m=1
M =2
K=1
ωacoustic(q)
−π/a
−π/2a
π/2a
0
π/a
q
図格子振動の固有モード音響モードと光学モード
が得られる．
2 2& は換算質量．これを図示すると図の
ようになる．
: に対応するモードは隣り合う
種の原子が同じ方向に変位する
モードで，長波長で粗密波つまり音波になる．このため音響モードと呼ば
れる．: に対応するモードは隣り合う種の原子が重心周りで相対運
動するモードで，種の原子がそれぞれ正負に帯電していれば電気双極子
モーメントが生じて光学活性となる．このため光学モードと呼ばれる．
電子間クーロン相互作用
次元空間に置かれた孤立点電荷が作る電場を考えよう．電荷を次元球面 6 で囲ってガウスの定理を適用する．
)
球対称性からは動径距離のみに依存し点電荷を湧き出し吸い込み
として球対称に分布するので
ここで ) は )
6
) 次元の全立体角次元単位球の表面積で
)
7
これより直ちに
7 %
が得られる．対応するポテンシャルは
%
% %
%
%
7
; プラズマ振動
つぎは金属中を動き回る電子の集団運動を古典論で考えよう．次元電
子ガスにクーロン相互作用を入れよう．ハミルト二アンは
.
%
運動方程式は
6
フーリエ変換
%
$ に注意すると，
6
ここで，電子密度
$
%
を導入した．
6 $
8
6 %
だから，運動方程式は
¼ ¼
$ ¼ 6 $
となる．さて，の第項は異なる波数と 8
%
の密度波が結合す
ることを意味している．電子の分布はデタラメだから位相の揃わない密度
波同士は干渉しあって消えてしまうだろう．そこで位相の揃った密度波
の干渉のみを取り出せばコヒーレントな集団運動が取り出せること
になる．この近似，つまり乱雑な位相を捨てる近似を乱雑位相近似と呼ぶ．これは時間に依存する平均場近似と同等であり，多体問題にお
ける近似法のなかで最も基本的なものである．
!9:
を施した結果，電子の集団運動は運動方程式
)
6 $
8
%
に従うことになる．長波長小さなを考えて第
8
項
*
を落とせば，電子密度は振動数
%
) ,$ で集団的な調和振動をすることになる．この振動数をプラズ
マ振動数呼び，これを量子化したものがプラズモンになる．
ここで，の第
項を落としたことを思い出そう．この項があるとプ
ラズマ振動のコヒーレンスが壊れる．第項と第項が拮抗する条件は，
)%
である．
8
< 8
%
< はフェルミ面上の電子の速さと平均化す
るとこの条件は
)%
<
+ =
%
となる．波数が増大して ; + となるとプラズモンは電子の個別励起の連
続スペクトルに重なり減衰する．= はトーマス・フェルミの遮蔽距離と呼
ばれる．,' のような典型的な金属で )
#/
のオーダーになる．
#
として =
#
基準座標と自由度の分離：朝永の方法
最後に陽イオンを背景に動き回る電子ガスの問題を考え，自由度の分離
問題を量子論的に考えよう図．体積 $ 中に電荷質量 2 の , 個の
陽イオンとそれをちょうど中和する ,
, 個の電子からなる次元系
を考える．
図陽イオンを背景に動き回る電子ガス
系のハミルトニアンは電子，イオン，電子イオン相互作用の項からなり，
.
.
!
.
.
!
.
! . .
! %
'
'
2
'
'
'
'
%
%
である．ここから出発して集団励起と個別励起に分離していこう最も直
感的で気持ちのよい議論が朝永流の発見法的議論である．
背景の陽イオンは自由に動き回れないので長波長縦波集団モード密度
波だけが生きていると考えてよいこの調和振動は
.
!
4 4 : の形にまとまるはずである．まず
'
に注意して基準座標
%
$
2 %
, '
を導入すると
'
'
:
となって基準振動の“位置エネルギー”部分が得られる．ここで
:
2
,$ はイオンのプラズマ振動数である．次に基準座標 4 に共役な
運動量を“発見”するため，4 は 8 であることが多いという経験から
ハイゼンベルク方程式および
'
%
' % % '
Æ' %
を使って
4
'
%
' 2
8 % '
2, '
"
#
' % ' % ' '
2, '
2,
' '
'
を作ってみるそれから改めて % 4¼ を計算すると
¼ % 4¼ , '
Æ¼ , となるので , の大きな極限で確かにと 4 は共役な座標と運動量となっ
ていることが判るさらに
'
2
'
4 4
はもはや 4 を含まずのみの関数であることが証明できる
かくして .
! .
! は
, .
! .
!
4 4 : $
2
%
と書けることが判った
つぎに電子の方を考えよう電子は自由に動き回れるので個別運動と集
団運動プラズマ振動を両方考慮しなくてはならない既に見たようにプ
ラズマ振動は長波長でのみ可能なので臨界波数を + とし電子の基準座
標として
, 5
%
を導入すれば
> + %
;
,
' %
% 5 , +
5
を使うと電子間クーロン相互作用項は
) %
, となり，長波長のプラズマ振動と，これを差し引くことによって残った遮
蔽されたクーロン相互作用
$! , = に分離される．より，
=
<
)
< + であったことを思い出そう．
#
で遮蔽距離はオングストロー
ムのオーダーであり，平均の電子間距離程度の非常に短い距離であること
がわかる．
; =
の距離で眺めれば，正孔の雲をまとった電子が電気的に中性な粒子として
自由に振舞って見えることになる．電子間の強いクーロン相互作用が隠れ
てしまうわけである．
0.8
0.6
0.4
1/2r
exp[−r/λTF]
2r
0.2
2
4
6
8
Vscreened(r)
r/λTF
10
図長距離クーロン力の遮蔽
結局は
.
$
+
, 5 5 ) ,
'
)
:
44 : %
3
となる．ここで
) ) はプラズマ振動の分散を与える．
+ 5
はフェルミエネルギー
で，電子の運動量の乗をフェルミ分布を使って平均化したために現れる
この段階ではまだ電子のプラズマ振動とフォノンは結合しているが，線形
変換を施してこれら二つの集団運動を分離することができるこうしても
2
だから分離後の集団運動は依然イオンのプラズマ振動と電子の
プラズマ振動の性質を色濃く反映したものとなる．しかし遅いイオン振動
のほうは素早い電子振動によって著しく遮蔽され，振動数が大きく変化す
る．これを具体的に見よう．
=
: )
) を導入すれば 3 は
.
, 5 5 ) =
=
: +
, ) '
$
となる．変化したイオンの振動数は
:
:
= ) ) ? " 2 となって #
)
) )
44 :
= :
)
+ 5
の長波長極限でゼロとなる．?
? %
"
# >
となるが，これは実測値と近い．
最後に残った
,
,
$
の第
項が電子格子相互作用に対応する．
とすれば
.#
$
+
$
+
(
,
: )
? 2, $ :
= + ?
$
'
:
= となる．ここで，電子格子相互作用定数を
(
$
2,
で定義した．?
2 だから ( は 2 によらない定数である．
かくして系のハミルトニアンは
.
,
$ = 5 5 ) = ( := $ 44 :
= となり，自由度は電子の個別運動遮蔽されたクーロン力プラズマ振動
格子振動
電子格子相互作用に分離できたことになる．
得られたハミルトニアンを最後にまとめて生成消滅演算子で表しておこ
う．格子振動の量子フォノンとプラズマ振動の量子プラズモンの生
成消滅演算子を
$
%
%
&
@ @ %
:
= ) " "
%
4
5
:
= @
"
"
) @
%
%
で定義すれば，
.
'
電子の運動エネルギー
'
:
= @ @ (
()
フォノン
*
$ ,
' () *
()
*
$
@ ()
) " "
'
遮蔽されたクーロン相互作用
:
= ' ()
プラズモン
@
%
*
電子・フォノン相互作用
となる．これが次元金属電子系のモデルハミルトニアンである．
つづく
*

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