グラフとネットワーク(第9回)

グラフとネットワーク (第 9 回)
安藤和敏
ando@sys.eng.shizuoka.ac.jp
静岡大学工学部
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.1/25
第 2 章ネットワーク
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.2/25
2.1.1 最小木問題
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.3/25
木
b
16
a
h
31
d
22
21
b
32
23
15
(a)
k
a
d
25
32
21
g 12
20
35
f
22
18
g 12
29
20
h
k
35
f
25
(b)
(a) グラフ G と w: A → R; (b) G の木 T (太字
の枝)
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.4/25
木の重み
グラフ G = (V, A) と枝の重み w: A → R が与
えられているとする. G の木 T に対して,
w(T ) =
w(a)
(2.1)
a∈T
を木 T の重みという.
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.5/25
木の重み (例)
b
16
22
d
21
a
b
h
31
32
23
15
18
g 12
29
20
35
16
22
d
21
a
重み= 155
32
23
15
18
g 12
29
k
20
k
35
25
f
h
31
25
f
重み= 112
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.6/25
最小木問題
最小木問題とは, 重みが最小である木を見付け
る問題である.
最小木問題を解くためのアルゴリズムには, 貪欲
アルゴリズムとヤルニーク-プリムのアルゴリズ
ムが良く知られている.
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.7/25
貪欲アルゴリズム
(クラスカルのアルゴリズム)
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.8/25
Step 1 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.9/25
1 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.10/25
2 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.11/25
3 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.12/25
4 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.13/25
5 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.14/25
6 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.15/25
基本サーキット
グラフ g = (V, A) の木 T と枝 a ∈ A \ T に対し
て, T ∪ {a} はちょうど一つの閉路を含む. この
閉路を C(T |a) と表し, T と a に関連する基本
サーキットと呼ぶ.
b
16
22
d
23
15
18
g 12
29
20
35
16
h
31
32
21
a
b
h
31
22
d
32
21
a
23
18
g 12
29
k
15
20
k
35
25
25
f
f
(a)
(b)
グラフ G の木 T
T と a = (f, k) に関連
する基本サーキット
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.16/25
定理 2.2
グラフ G = (V, A) の木 T ⊆ A が重み
w: A → R に関する最小木であるための必要十
分条件は, 各 a ∈ A \ T とそれに関連する基本
サーキット C(T |a) 上の任意の枝 a に対して
w(a ) ≤ w(a)
(2.5)
が成り立つことである.
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.17/25
ヤルニーク-プリムのアルゴリズム
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.18/25
Step 1 終了時
b
16
31
22
d
21
a
U
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.19/25
1 回目の Step 3 終了時
b
U
16
22
d
21
a
h
31
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.20/25
2 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
g 12
29
20
U
15
18
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.21/25
3 回目の Step 3 終了時
b
16
22
d
21
a
h
31
32
23
g 12
29
20
U
15
18
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.22/25
4 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
g 12
29
20
U
15
18
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.23/25
5 回目の Step 3 終了時
b
16
31
22
d
21
a
h
32
23
15
18
g 12
29
20
k
35
25
f
U
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.24/25
6 回目の Step 3 終了時
b
16
22
d
21
a
32
23
15
18
g 12
29
20
U
h
31
k
35
25
f
グラフとネットワーク (第 9 回) – p.25/25

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