和算講座第 35 回米光丁はじめに今回も「精要 - 和算への旅

和算講座第 35 回
米光
丁
はじめに
今回も「精要算法」巻之下(藤田定資著)より問題を選んで解答してみます。皆様のご
指導、ご教示をお願いします。
問題 35.原文
- 1 -
問題.35
今図の如く、三角形内に全円及び大中小
円がが内接している。
小
大円径が 9 寸、中円径 4 寸、小円径 1 寸、
円
のとき全円の直径はいくらか。
答曰く全円 11 寸
全
術曰中径を置き小径を掛けて、之を開
円
平し寄位とする。中径と小径を併せ
大
て寄位 2 倍して加え、之に大径
中
円
を掛けて開平したものに寄位を加え
円
ると全円径に合問。
術
寄位＝中径×小径＝ 4×1＝2
全径＝ (2×2＋中径＋小径)大径＋寄位＝ (2×2＋4＋1)9＋2＝11
全径＝11 寸
(和算家の解)
A
小
小
全－大
2
較
O
大
小
大円の直径＝大,全円の直径＝全とすると
較
周知のとおり子＝大・全である。
全
大
較
較
大
B
子
大較
中
中較
全円
大円
子
C
B
- 2 -
C
全径＝全,
大径＝大,
中径＝中, 小径＝小、各辺と全円の接する距離を
図のようにそれぞれ大較、中較、小較とする
右図より子＝全・大
また比例により
全－大全
:
＝子 : 大較
2
2
全全・大
大較＝
全－大
同様にして
全全・中
中較＝
全－中
,
全全・小
小較＝
全－小
△ABC の面積 S は
全
S＝ {(大較＋中較)＋(大較＋小較)＋(小較＋中較)}
4
全
S＝ (大較＋中較＋小較)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)
2
全全全・大全全・中全全・小
＋
＋
)
S＝ (
全－大
全－中
全－小
2
またヘロンの公式より
S＝ (大較＋中較＋小較)・大較・中較・小較・・・・・・・・・・・・・(2)
(1)＝(2)とすると
全
(大較＋中較＋小較)＝ (大較＋中較＋小較)・大較・中較・小較
2
両辺を平方して整理すると
全2
(大較＋中較＋小較)＝大較・中較・小較
4
全 3(
全・大
全・中
全・小
全・大
全・中
全・小
＋
＋
)＝4 全 3(
・
・
)
全－大
全－中
全－小
全－大
全－中
全－小
大
中
小
全大・中・小
＋
＋
＝4
全－大全－中全－小 (全－大)( 全－中)( 全－小)
分母を払って
大(全－中)(全－小)＋中(全－大)(全－小)＋小(全－大)(全－中)
＝4 全大・中・小
全についてまとめると
全 2( 大＋中＋小)－全(4 大・中・小＋大小＋大中＋中大＋中小)＋小
大中＋大中小＋中大小＝0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)
ここで
- 3 -
大・中＋大・小＋中・小＝甲 , 大＋中＋小＝乙 ,
大・中・小＝丙
と置くと
甲・乙＝( 大＋中＋小)( 大・中＋大・小＋中・小)
＝大中＋大小＋大・中・小＋中大＋大・中・小＋中小
＋大・中・小＋小大＋小中
甲・丙＝大・中・小( 大・中＋大・小＋中・小)
＝小大中＋中大小＋大中小
となるから
(3)の式は
全 2 乙－(甲乙＋丙)全＋甲丙＝0
となり因数分解すると
(全乙－丙)(全－甲)＝0
全＝甲
乙
, 全＝
丙
ここで問題の数値を代入すると
大径＝9 寸 ,
中径＝4 寸,
小径＝1 寸だから
乙＝大＋中＋小＝3＋2＋1＝6 寸
丙＝大・中・小＝3×2×1＝6 寸
乙
全＝＝1 寸(不適)となる。
丙
全＝甲＝大・中＋大・小＋中・小＝6＋3＋2＝11 寸となる。
となり公式としても使用されていたようである。
答え全円の直径は 11 寸となる。
(参考)
『算法新書』千葉胤秀著 1830 年 26
『算法天生法指南の問題の解説』藤井康生著 1997 年 p.157
『滋賀の算額』桑原秀夫・山口正・吉田柳二著昭和 52 年 p.19
などに同じ問題がある。
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