離散数学パズル - iMetrics.co.jp

Daemon on the Prop 4
プロペラに棲む魔物シリーズ
billiards’ theorem
Discrete Math Puzzles and Diversions
ビリアードの定理
離散数学パズル
iMetrics Academy Press
Copyright 2012 Saige’s All Rights reserved
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data:
Author Saige Kusafusa.
Billiard theorem - Discrete Math Puzzles and Diversions
ISBN978-4-99053238-3
Printed in Japan
iMetrics Academy Press,
iMetrics Inc.
2
はじめに
サイエンティストでジェネアビパイロットが書いた、数学と遊びの
エッセイです。
だれが読んでも、どこを読んでも、どこから読んでも読者の自由です。
この巻では、離散数学パズルを書いてみました。
パズルの解法は、いくとおりもあります。
パズルだけ読んでも、パズルと解答を併せて読んでも自由です。
パズルに隠された、数えることのひみつを少し見つけだしてください。
さあ、肩の力を抜いて、もっとレイドバックして挑戦してみてください。
読まれた方の前頭葉を少しだけ刺激できたら幸いです。
注意；
数学をまったく知らない方にも本書を楽しんでいただけるように、数学の定義や数学的な
説明は避け、直感的に理解できるような、おおまかなものにとどめています。
そのため、厳密的には数学的に不十分であり誤りとみなされる記述もあろうかと思います。
また使用する数学用語や物理学の用語が、まだ十分統一されていないものもあります。
専門書で無い本書には、こういった曖昧さがありますが、読者の宥恕と理解を願う次第です。
3
Discrete mathematics, group theory,
and other mathematical journey
Copyright 2012
iMetrics Academy Press
4
CONTETS
はじめに ...............................................................................................................................3
A 数学パズル (Mental gymnastics)..................................................................................... 9
1. 数字の並びに規則性を見つけて追加せよ................................................................ 9
2. 数字の並びに規則性を見つけて追加せよ(その 2) ................................................... 9
3.
367,121 を 3 で割った余りを求めよ ....................................................................... 9
4. 電文“R olev wrhxivgv nzgs kfaaov”を解読せよ ..................................................... 9
5. “epcspwpscpe”を解読し、回文となることを示せ................................................. 9
6. 次の暗号を解読せよ.............................................................................................. 10
7. 数列の性質を調べよ.............................................................................................. 10
8. 次のように 2 桁数字の乗算がなされた. 解法を説明せよ ..................................... 10
9.
魔方陣を次の規則で生めよ ................................................................................... 10
10.
3 桁の平方数で埋めよ ......................................................................................... 10
11.
素数クロスワードパズルを解け .......................................................................... 11
12. 縦と横の長さの比率が 8 対 5 のビリアード台がある ........................................... 12
13. コーナーの一端からボールを突いて半分のクッション回数で ............................. 12
14. 目盛りの無い 3 ㍑と 5 ㍑計量カップが 2 個ある .................................................. 12
15. さらに、3 ㍑と 7 ㍑と 10 ㍑の目盛りの無い計量カップを用いて、 .................... 12
16.
1 年を 354 日、閏年を 355 日とし 30 年周期で繰り返す暦がある ..................... 13
17. 点 A、B の傍らに A-C-B で直角 3 角形となる点 C を置く .................................. 13
18.
円周上に無作為に 2 点 P, Q を置き弦 PQ を描く................................................ 14
19.
任意の楕円の内側に、互い独立で無作為な点 P、Q、R を置く ......................... 14
20.
円形ピザに n 本の直線カットを入れたとき、最大何切れに切り分け ................ 14
21.
平面内で 4 つの円が交わってつくる領域の最大個数は？ .................................. 15
22,
n 本のカットで同じ大きさの P(n)のピースはできない ...................................... 15
23.
3 角形の 1 つの角を 3 等分した 2 本の分割線と、他方の角を............................ 15
24.
5 角形の果樹園の面積を求めよ........................................................................... 16
25.
1 ドルを、クォータ、ニッケル、ダイムで両替する方法は何通り？ ................. 16
26.
5 セント切手と 8 セント切手で、27 セントのハガキを出せるか？.................... 16
27.
1 クラスの子供を 5 人のチームに分けるとき、4 人の子供が余る...................... 16
5
28.
(1, 4) (2, 2) (3, 1) (4, 2) の置換をあみだくじで示せ ........................................... 17
29.
あみだくじの結果(1, 2, 3, 4, 5)が、(4, 3, 1, 5, 2)と並ぶように、....................... 17
30
あみだくじ A、B を連結すると、どのようなあみだくじになるか？ .................. 17
31.
2 つのあみだくじの一方を逆につなげると、どのようなあみだくじ ................. 17
32.
3 x 3 x 3 ルービックキューブのピース A と B を置換する................................. 18
33.
各キューブの 3 角形 ABC の角度を求めよ ......................................................... 18
34.
3 x 3 x 3 キューブの B と C を含む面を回転させて面取りしたとき .................. 19
35.
目の前にあるカレンダーの中から、3 x 3 の隣り合う数字を............................. 20
36.
カレンダーの中から、3 x 3 の隣り合う数字を平行四辺形の枠で ..................... 20
37.
カレンダーから 4 x 4 と 4 x 2,の隣り合う数字を抜き取り、 ............................. 20
38.
今日が木曜日ならば、100 日後は何曜日か?....................................................... 20
39.
3 で割った余りが同じなら同じ数とする ............................................................ 21
40.
35 の 3 の桁から 2 を引き、5 の桁に 2 を足すと 17 になる ............................... 21
41.
9 を法とする 2^9 - 2, すなわち 2 の 9 乗引く 2 を 9 で割った余り.................... 21
42.
7 x 2 = 16、7 x 7 = 61 は誤りではない. なぜ正しいのかを示せ ........................ 21
43．平方を与えられた素数で割るとき、0 でない余りは ........................................... 21
44.
整数 v が与えられた素数 p を法とする平方剰余であるときの ........................... 22
45.
どのような素数 p に対して、与えられた整数 v は p を法とする ....................... 22
46.
8 は 47 を法とする平方剰余である. なぜなら、 ................................................ 22
47.
49 を 2 で割った結果に偶数があれば、85 に 2 を掛けた行を削除する.............. 22
48.
単位時間当たり空港へ着陸できる飛行機数を計算せよ ...................................... 23
49.
9 つの空港 a, b, c, …i を巡る順路を一筆画書き可能か ..................................... 23
50.
航空機 p1, p2, p3 による離島への最大進出問題を解け ...................................... 24
51.
飛行機が A 空港から B 空港に向けて飛び、A 空港に戻ってくる ...................... 24
52.
1 万人に 1 人の割合で罹患する難病がある......................................................... 25
53.
テーブル上にマッチ棒を積み重ねて複数のブロックをつくる ........................... 25
54. 回転するプロペラをデジタルカメラで撮影したら、5 本のブレード ................. 25
6
B ソリューションと解説 (Solutions and descriptions) ........................................................... 28
1. 回文と暗号で遊ぶ (Palindromes and encryption) ..................................................... 28
(1) 数字根 (digital root) ............................................................................................. 28
(2) 回文と暗号 (Palindromes and encryption).......................................................... 31
(3) タプルと直積 (Tuple and Products ).................................................................... 33
(4) 数字クロスワード (Number square).................................................................... 34
2．ビリアードで遊ぶ (Playing billiards game) ................................................................. 36
(1) ビリアードの定理 (Rectangular block theorem) ................................................. 36
(2) 三角ネットトワークのビリアード台 (Parallelogram blocks) .............................. 40
(3) 計量カップのアルゴリズム (Measuring cup algorithm) ..................................... 41
(4) 等差配列 (Arithmetical array, Arithmetics)........................................................ 43
3．コンピュータグラフィックスで遊ぶ (Playing computer graphics) ......................................... 46
(1) コンピュータで直線を引く (Drawing slant line) ................................................ 46
(2) 等差配列と閏年 (Diophantine approximation).......................................................... 48
(3) ディオファントス近似 (Diophantine approximation) ............................................... 49
(4) 最短パスのパラドックス (A novice pilot’s paradox) ................................................. 50
4．分け前を考える (Dividing a pizza hopefully) ............................................................. 51
(1) ランダムな弦 (Random Chords) .......................................................................... 51
(2) ランダムに切ってできる 3 角形の面積比） .......................................................... 53
(3) 3 等分角で分ける (Dividing with s trisected at two points)................................ 54
(4) ピザ切り分け定理 (Dividing a cut hopefully)...................................................... 55
(５) 不公平な分け前の定理 (The unfair theorem)..................................................... 57
5．数えて面積を求める (Reckoning the size of land) ...................................................... 58
(1) 格子点で面積を求める (Pick's planimetry).......................................................... 58
(2) 両替問題
(Changing money) .............................................................................. 59
(3) 切手問題 (Post stamp problems) ......................................................................... 60
(4) 縮小等差配列 (arithemetics) ................................................................................ 62
6. あみだくじで遊ぶ (Playing a ghostleg lots) ................................................................ 63
(1) 置換とあみだくじ (Permutation with a ghost lots) ............................................ 63
(2) 互換の積とパリティ則 (Compatibility and Parity theorem) .............................. 65
(3) あみだくじの演算 (Product and Inverted ghostleg lots)..................................... 67
7
(4) 置換と積 (Permutation and products) ................................................................ 69
7. キューブで遊ぶ (Playing permutation puzzles)....................................................... 70
(1) ルービックキューブ群 (The group of Rubik’s cube)............................................ 70
(2) キューブのパリティ則 (Cubies’ Parity theorem) ................................................ 71
(3) 交換子マクロ(commutator) .................................................................................. 73
(4) 面取り (Planing off the corner)............................................................................ 75
8. 整数論とフェルマーの合同式（Number theory）........................................................... 77
(1) 暦の中の魔方陣 (A magic square in calendar) .................................................... 77
(2) 九は魔法数ではない (“Nine” isn’t the magic number) ........................................ 79
(3) オセロ型計算機 (Othello like binary calculator)................................................. 81
(4) 合同式 (Modular equation) .................................................................................. 84
(5) フェルマーの小定理 (Fermat's little theorem).................................................... 85
(6) 平方剰余 (Quadratic redidue) .................................................................................. 87
9. アルゴリズムを楽しむ (Enjoying algorithms) .............................................................. 89
(1) 待ち行列でスループットを評価する (Waiting queue theory) ............................. 89
(2) エンルートの選択 (Seven Bridges of Königsberg) .............................................. 91
(3) 最大進出問題 (Island hopping) ............................................................................ 93
(4) 向風・追風のパラドックス (Headwind tailwind paradox) ................................. 94
(5) 難病の罹患率 (An incurable disease rate)........................................................... 95
(6) 決して負けないゲーム (The game in which it never loses) ................................ 96
(7) 回転数を測る (Measuring cycles) ........................................................................ 98
(8) アルゴリズムの演算 (Algorithm operation) ...................................................... 100
References:....................................................................................................................... 103
あとがき ........................................................................................................................... 104
8
A数学パズル (Mental gymnastics)
1.
数字の並びに規則性を見つけて追加せよ
63
83
2.
9
25.
38 33. 32. 18
16. 18. 15. x. 5
数字の並びに規則性を見つけて追加せよ(その 2)
34 32 36
46 64 75
50
35
34
16 18 14
22 x
40
35
15
20
12
3. 367,121 を 3 で割った余りを求めよ
4.
電文“R olev wrhxivgv nzgs kfaaov”を解読せよ
5. “epcspwpscpe”を解読し、回文となることを示せ
9
6.
次の暗号を解読せよ
“Yowjw Zywdligd ah e joewbj epxlhsohluxer lthsuwhvig ob hkw siwfxshh
epxlhsohluh erg icasmiiv viwsqu” (置換コードは 9 桁)
7.
数列の性質を調べよ
20, 23, 5, 14, 20, 25, 20, 23, 5, 14, 20, 25, 20, 8, 18, 5, 5, 6, 9, 22, 5, 6, 15, 21,
18, 20, 5, 5, 14, 20, 23, …..
8.
次のように 2 桁数字の乗算がなされた. 解法を説明せよ
12
x 13
15
6
156
9.
14
x 15
19
20
210
14
x 17
21
28
238
魔方陣を次の規則で生めよ
・ ABC と CBD : 素数
A
C
E
・ BBC と CDF : 平方
・ ACE と ECF : 立方
10.
B
B
C
C
D
F
3 桁の平方数で埋めよ
8.
9
9
10
11.
素数クロスワードパズルを解け
p q r s は奇素数、 x, y > 1
DOWN (縦)
ACROSS (横)
1.
完全数
3.
5.
7.
8.
10.
p^x
x^2
p^q
p^2・q
p^p・q
11.
14.
15.
16.
18.
p^x x>2
x^5
pqrs、回文
奇数
p^q・q
19.
21.
x^3
2^p・p^2・q
22.
24.
25.
x^2
横15のpqrsの一つ
横24で割り切れる
1.
2.
3.
4.
2p
pqr
p^2
フィボナッチp
6. 2pq
7. = 11 (mode 13)
9. 回文
10. 最初の6桁
12. 素数
13. p
16. 2^x・p^y
17. x^3 偶数
18. pq
20. x^2
21. p
23. 横8最左桁と同じ数字
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 1「回文と暗号で遊ぶ」を参
11
12. 縦と横の長さの比率が 8 対 5 のビリアード台がある
一端のコーナーから 45 度の角度でボールを突いた時、別コーナーのポケット
に入るまでに何回クッションを繰り返すか？
13. コーナーの一端からボールを突いて半分のクッション回数で
別なコーナーに到達するビリアード台の縦横比を示せ
14. 目盛りの無い 3 ㍑と 5 ㍑計量カップが 2 個ある
これを用いて、樽の中の水から 4 ㍑を求めよ. また 4 ㍑になるまでの回数とそ
の手順を示せ.
15. さらに、3 ㍑と 7 ㍑と 10 ㍑の目盛りの無い計量カップを用いて、
15 ㍑の水を測り求める回数と手順を示せ.
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 2「ビリアードで遊ぶ」を参照
12
16.
1 年を 354 日、閏年を 355 日とし 30 年周期で繰り返す暦がある
閏年となる年を図示して示せ
17. 点A、Bの傍らにA-C-Bで直角 3 角形となる点Cを置く
A から B に等差階段をつくる. このときの折れ線を L1 とする. L1 は、AC と、
CB を 1 とすると 2 である. 階段の数を L2, L3, L4, … Ln と増やしていくと、
折れ線の長さは√2 になるか？
.
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 3「コンピュータグラフィックスで遊ぶ」を参照
13
18.
円周上に無作為に 2 点P, Qを置き弦PQを描く
同様に 2 点 R, S を置き弦 RS を描く. 2 本の弦が円の内側で交点を結ぶ確率
はどれほどか.
19.
任意の楕円の内側に、互い独立で無作為な点P、Q、Rを置く
図中でハッシュした領域の合計の面積の期待値は、3 角形 PQR の面積の期待
値の 3 倍であることを示せ.
20.
円形ピザにn本の直線カットを入れたとき、最大何切れに切り分け
られるか？
14
21.
平面内で 4 つの円が交わってつくる領域の最大個数は？
22,
n本のカットで同じ大きさのP(n)のピースはできない
3 カット以上入れると、何人かの子供たちのピザは他の子供たちのピザ
よりも大きくなるのはなぜか？
23.
3 角形の 1 つの角を 3 等分した 2 本の分割線と、他方の角を
3 等分した 2 本の分割線で囲まれた四角形 TUVW の面積の期待値を求めよ.
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 4「分け前を考える」を参照
15
24.
5 角形の果樹園の面積を求めよ
25.
1 ドルを、クォータ、ニッケル、ダイムで両替する方法は何通り？
26.
5 セント切手と 8 セント切手で、27 セントのハガキを出せるか？
27.
1 クラスの子供を 5 人のチームに分けるとき、4 人の子供が余る
8 人のチームに分けると 2 人の子供が余る. このとき、このクラスの子供は
何人か？
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 5「数えて面積を求める」を参照
16
28.
(1, 4) (2, 2) (3, 1) (4, 2) の置換をあみだくじで示せ
少なくとも何本の横棒を入れる必要があるか？
29.
あみだくじの結果(1, 2, 3, 4, 5)が、(4, 3, 1, 5, 2)と並ぶように、
適当に横棒を付け加えよ. 答えは 1 つではない. 横棒の最小本数は何本か？
30 あみだくじA、Bを連結すると、どのようなあみだくじになるか？
31.
2 つのあみだくじの一方を逆につなげると、どのようなあみだくじ
になるか？
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 6「あみだくじで遊ぶ」を参照
17
32. 3 x 3 x 3 ルービックキューブのピースAとBを置換する
シーケンスを示せ.
時計回りは大文字、反時計回りは小文字とする. 記述例：FRUrufU
33.
各キューブの 3 角形ABCの角度を求めよ
18
34. 3 x 3 x 3 キューブのBとCを含む面を回転させて面取りしたとき
3 角形の面積と内角の角度を求めよ.
回転の種類は、.r、R, f
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 7「キューブで遊ぶ」を参照
19
35.
目の前にあるカレンダーの中から、3 x 3 の隣り合う数字を
四角形の枠で任意に抜き取り合計せよ.
36.
カレンダーの中から、3 x 3 の隣り合う数字を平行四辺形の枠で
任意に抜き取り、一括で合計を求める規則を示せ.
37.
カレンダーから 4 x 4 と 4 x 2,の隣り合う数字を抜き取り、
それらの数字の合計を一括で求める方法を示せ.
38.
今日が木曜日ならば、100 日後は何曜日か?
20
39.
3 で割った余りが同じなら同じ数とする
1 + 1 = 2, 1 + 2 = 0, 1 + 0 = 1,
2 + 2 2 x 2 はどんな数になるか？
40. 35 の 3 の桁から 2 を引き、5 の桁に 2 を足すと 17 になる
これは何を意味しているか.
41.
合同式で示せ.
9 を法とする 2^9 - 2, すなわち 2 の 9 乗引く 2 を 9 で割った余り
を簡素化する方法にモジュラー演算がある. 2^9 - 2 ≡ ……
≡ 6 (mod 9)
この合同式の …… を補完せよ.
42. 7 x 2 = 16、7 x 7 = 61 は誤りではない. なぜ正しいのかを示せ
また、16 と 61 と同じ数字が順序を変えて表示されるのはなぜか？
43．平方を与えられた素数で割るとき、0 でない余りは
どのようなものか？
21
44.
整数vが与えられた素数pを法とする平方剰余であるときの
平方合同式を示せ.
45.
どのような素数pに対して、与えられた整数vはpを法とする
平方剰余となるか？
46.
8 は 47 を法とする平方剰余である. なぜなら、
(8|47 ) = (2 x 4 |47) = (2|47) (4|47) = (49 | 47) (4|47) = 1 x 1 = 1
同様に、27 は 47 を法とする平方剰余である. その理由を示せ
47. 49 を 2 で割った結果に偶数があれば、85 に 2 を掛けた行を削除する
削除した列を合算すると掛け算の答えになる理由を示せ.
2 で割る
49
24
12
6
3
1
2 を掛ける
85
170
340
680
1360
2720
416
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 8「整数とフェルマーの合同式」を参照
22
48.
単位時間当たり空港へ着陸できる飛行機数を計算せよ
待ち行列モデルを単純化し[ M / M / 1 ]、街到着分布はランダム到着とする.
サービス時間分布、つまり着陸に要する時間は一定とし、サービス窓口(滑走
路)は 1 本. 待ち行列の長さに制限無し(∞)、サービスは先着順とする.
49.
9 つの空港a, b, c, …iを巡る順路を一筆画書き可能か
ある空港を起点に離陸し空港間のエンルートをすべて網羅する. 空港上空は何
度も通過できるが、同じルートは飛べない. 起点と終点空港を決定せよ.
空港間を連結するルート数は以下の表の通り.
空港
航空路
a
3
b
4
c
5
d
4
e
2
23
f
4
g
4
h
2
i
2
50.
航空機p1, p2, p3 による離島への最大進出問題を解け
速度と燃料消費率は一定. 航続距離は同じ. 少なくとも 1 機が到達できる遠の
到達距離を求めよ. まず全機 p1, p2, p3 が 1/3 の距離を飛ぶ. p3 は戻りの燃料
を除き、燃料を p1, p2 に与えて戻る. p2 は次の地点で燃料を p1 に分け 1 /3
中継点まで戻る. p1 は P2 が帰投の間 4/3 飛べる.
Britten-Norman Islander
51.
飛行機がA空港からB空港に向けて飛び、A空港に戻ってくる
速度を 100 ノット、空港間の距離を 200 マイルとする. 途中ストップオーバ
ーすることがなければ全航程に要する時間は 4 時間となる. さて、A 空港から
B 空港に掛けて、絶えず強い風が吹いているとする. 飛行機は 4 時間で A 空
港に戻ることができるか.
24
52.
1 万人に 1 人の割合で罹患する難病がある
この難病の検査精度は 99%であり、1%の誤診がある。もし、あなたが検査で
陽性となった場合の罹患確率はどの位か。
53.
テーブル上にマッチ棒を積み重ねて複数のブロックをつくる
ゲームの参加者は、A と B とする. B に好きな 1 つのブロックからマッチ棒
を何本でも好きなだけとらせる. つぎに A が別のブロックからマッチ棒をと
る. 交代にマッチ棒をとり続け、最後のマッチ棒をつまんだ者が負けとするゲ
ームとするが、A が負けないアルゴリズムを示せ.
54.
回転するプロペラをデジタルカメラで撮影したら、5 本のブレード
が写った．ラインスキャン速度を 2.7ms として、このプロペラの回転数を
求めよ。
ここまでの解答は、ソリューションと解説編 9「アルゴリズムを楽しむ」を参照
25
26
27
Bソリューションと解説 (Solutions and descriptions)
1. 回文と暗号で遊ぶ (Palindromes and encryption)
(1) 数字根 (digital root)
ある数値を表す数字をすべて足し、結果の数値の数字をすべて足すという操作
を繰り返し、最終的に得られる一桁の数字を指す。
例題 1
数字の並びに規則性を見つけて追加せよ。
63 9 38 33 32. 18
83 25 16 18 15 x 5
一見、階差として x = 17 と答えがちだが、正解は x = 11 である。
隣り合う数字の桁の数字根を合算していることに気づく。
例題 2
数字の並びに規則性を見つけて追加せよ。
34
16
32 36
46 64 75
50
35
34
18 14
22 x
40
35
15
20
12
x = 4 x 6 + 2 x 2 = 28
28
例題 3
65536 の数字根を求めよ。
数字根とは、各桁の数字を足し合わせ、得られた数字の各桁を同じように足し
合わせて得られる数字である。
6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25 = 2 + 5 = 7
例題 4
367121 を 3 で割った余りを求めよ。
367121 の数字根は、3 + 6 + 7 + 1 + 2 + 1 ＝ 20
20 を 3 で割ると、余りは 2。
数字根の法則
平方数の数字根は、1、4、7、9。
立方数の数字根は、1、8、9
素数の数字根は、1、2、4、5、7、8 (3 を除く)
2 の冪の数字根は、1、2、4、5、7、8
9 のゼロ以外の倍数の数字根は、9
3 のゼロ以外の倍数の数字根は、3、6、9
6 以上の階乗の数字根は、9
29
例題 5
数字根を使った検算(九去法)を、検証せよ。
1234
567
+
89
1890
⇒ 1
⇒ 5+6+7 = 18 ⇒ 1+8 ⇒ 9
⇒ 8 1+8=9
⇒ 0
9 および足して 9 になる数字を消去する。残った数字を足し合わせ、9 になる
数字を消去する。最終的に一桁の数字になるまで繰り返す。総和結果について
も同じことを行い一桁の数字を得る。それらが等しいかを確認する。九去法は、
エラーを見つけることはできても、正しさの証明にはならない。
例題 6
次のように 2 桁数字の掛け算がなされた。論理を説明せよ。
12
x 13
15
6
156
14
x 15
19
20
210
14
x 17
21
28
238
計算の順序は、12 x 13 = 156 は、2 + 13 = 15、 1 桁同士の掛け算 2 x 3 =6 を
右に 1 桁ずらして 156 とする。14 x 17 = 238 は、4 + 17 = 21、4 x 7 = 21、∴
238 とする。
この計算の根拠は、12 x 13 = (3 + 12 ) x 10 + (2 x 3) による。
計算の対象を拡大して、23 x 21 は、(3 + 21) x2 =48、3 x 1 = 3、∴483
23 x 21 = (3 + 21) x 20 + (2 x 1) = 23 x 20 + 2 = 483
32 x 33 = (2 + 33) x 30 + (2 x 3) = 35 x 30 + 6 = 1056
91 x 93 = (1 + 94) x 90 + (1 x 3) = 94 x 90 + 3 = 8463
Q.E.D
桁数が異なる場合、上位桁の数字が異なる場合には、利用価値が無い。
30
(2) 回文と暗号 (Palindromes and encryption)
レジスターにセットされた文字列を左右にシフトすることで、文字列操作が始
まる。コード定義配列を循環シフトするだけで、簡便な暗号ができる。
例題 7
電文”URYYB”を解読せよ。
ROT13 で解読すると、”HELLO”となる。
例題 8
”R olev wrhxivgv nzgs kfaaov”
“X adkt sxhrgtit bpiw ejooat”
暗号を解読した結果は、どちらも、I love discrete math puzzle.
前者は Atash cipher、後者は Caesar shift cipher といい、よく知られた暗号で
ある。しかし、決して同じ電文を暗号化し並べて送信してはならい。古代エジ
プトの文字ヒエログリフの文法を知らない現代人がこれを解読できたのは、ギ
リシャ文字と併記されていたからに他ならない。
31
例題 9
次の電文“epcspwpscpe”を解読せよ
これを Caesar shift で解読すると、”pandahadnap”
これを回文(palindome)という。
例
god / dog
star / rat
s diaper / repaid
smart / trams
spit / tips
stop / pots
日本語での回文の例をあげると、“かいぶんととんぶいか(怪聞と飛ぶ烏賊)”
“かるいるか(軽い海豚)” “しんぶんし(新聞紙)”
例題 10
次の数列を調べよ。
20, 23, 5, 14, 20, 25, 20, 23, 5, 14, 20, 25, 20, 8, 18, 5, 5, 6, 9, 22, 5, 6, 15, 21,
18, 20, 5, 5, 14, 20, 23, …..
ピッチ(階差や階比)を調べ始めると混乱してくる。ここはパズルなので、頭を柔
らかにして数字を眺める。
この範囲で現われる数字が、アルファベットと 1 対 1 に対応するかもしれない
と気づく。先ずは、1 = a, 2 = b, 3 = c,…..の規則で置換する。そこに意味論
(semantics)が見出せれば、正解である。
Twenty twenty three five four teen tw….
32
(3) タプルと直積 (Tuple and Products )
4 つのタプル(a, b, a, c) に繰り返し循環シフトを連続的に適用してみると、
(c, a, b, a)、(a, c, a, b)、(b, a, c, a)、(a, b, a, c)になる。タプルが順序づけられて
いるということは、2 つの n-タプル (a1, a2, ..., an) と (b1, b2, ..., bn) の対応す
る位置の要素がすべて等しいとき、すなわち (a1 = b1) ∧ (a2 = b2) ∧ ... ∧
(an = bn) であるとき、かつそのときに限ることを意味する。タプルは、直積集
合に密接な関係がある。直積集合とは、集合の集まり(集合族)に対して各集合か
ら 1 つずつ元を取りだして組にしたもの(元の族)を元として持つ新たな集合の
ことである。一般に、何らかの集合 A1、A2、…、An があるとき、n-組の i 番目
の対象が集合 Ai の要素とみなされるならば、n 組は直積集合 A1 x A2 x... x An
の要素であるという。
A、B、C を集合とするとき、(A x B) x C と A x (B x C)、A x B x C は集合とし
てすべて異なる。しかしこれらの間には、タプル((a, b), c)と(a, (b,c)と(a, b, c)
に、一対一対応(全単射、bijection)が存在するので、全て同一視して考えている
ことが多い。項目の並びを変えずに、括弧だけを外してみると、直積が集合間
の演算として結合法則を満したものとみなされたことを意味していることがわ
かる。この概念は、リレーショナルデータベース(RDB)理論など、ソフトウェア
サイエンスに役立っている。
例題 11
電文 “Yowjw Zywdligd ah e joewbj epxlhsohluxer lthsuwhvig ob hkw
siwfxshh epxlhsohluh erg icasmiiv viwsqu”を解読せよ。
置換コードを見つけなさい、なお置換コードは 9 桁である。
この電文は、ヴィジュネル暗号(Vigenere cipher)である。
文字を数字とすると（a=0、b=1、……z=25）次の式が成り立つ。
ただし、Pi は平文の i 文字目、Ki は置換コードの i 文字目、Ci は暗号文の i 文
字目とするろ、Ci = (pi + ki) mod 26
したがって、求める平文は、Pi = (Ci - Ki + 26) mod 26
※ 本題の解読は読者にゆだねる
ただし置換コードは、”goodspeed”
33
(4) 数字クロスワード (Number square)
例題 12
魔方陣を次の規則で埋めよ。
数字根に直接関連が無い問題だが、素数への直感を養え。
・ABC と CBD : 素数
5
4
1
・BBC と CDF : 平方
1
4
9
・ACF と ECF : 立方
2
1
6
例題 13
3 桁の平方数で埋めよ。
8
4
1
8
1
4
4
6
4
9
6
1
2
例題 14
素数クロスワードの解答
34
2
5
6
2
7
5
7
6
2
1
9
6
上のクロスワードには、素数の性質に係わる部分が多い。
素数を議論する際、互に素な数と平方数の和の性質を知っておくとよい。
互に素な数
もしもある数 B が 2 つの数の積を割り切り、しかもこの 2 つの因数の 1 つと互
に素ならば、B は他の因数を割り切る。
この定理は一般化すると、
もしもある数が n 子の積を割り切り、これらの因数のうち n-1 個と互に素なら
ば、この数は n 番目の数を割り切る。
フェルマの小定理
p を任意の素数、a を p で割り切れない整数とするとき、差(a^p-1)-1 は p で割
り切れる
この性質の応用は、後節で再掲する
平方数の和
2 つの平方数の和で表される 2 つの数の積は、また 2 つの平方数の和である
この定理は、代数方程式から直接出てくる結果である
(a^2 + b^2) (α^2 + β^2) = (aα + bβ)^2 + (aβ – bα)^2
もしも互に素な 2 つの数の平方の和が、ある 1 つの素数で割り切れるならば、
その素数自身がまた 2 つの平方数の和である
a^2 + b^2 = mp
35
2．ビリアードで遊ぶ (Playing billiards game)
(1) ビリアードの定理 (Rectangular block theorem)
n 本の縦のグリッド、m 本の横のグリッドが描かれた矩形ブロックがある。
これをビリアード台とし、ボールを突いたときのクッション回数を数える。
前提として、n ≠ m
n, m がお互いに素である。
互に素であるとは、v と w が
ある。
vx + wy = 1 を満たす整数 x, y が存在することで
定理 1
(n, m)上で、コーナーから射ち出し(projection)、別のコーナーに入射(incidence)
するまでのクッション回数は、n + m - 1
例題 1
黄金比に近い 8 x 5 の矩形ブロックで検証せよ。
クッション回数は、5 + 8 -1 =12、
すべてのグリッドを通過する。
12 回で端の頂点に収束する。このとき、
36
定理 2
n、m がお互いに素である場合、すべてのグリッドを通過する
n, m が互に素でない場合は、問題である。n は m の約数の場合、または双方と
も偶数の場合、すべてのグリッドを通過できない。
例題 2
互に素でない、6 x 8 矩形ブロックで検証せよ。
6 x 8 の約数(factor)をとると、3 x 4 の互に素なブロックに等しい。したがって、
6 回 ( = 3 + 4 -1 )のクッションでコーナーに入射する。
定理 2 (その 2)
このとき、通過するグリッド数は、それぞれ n と m の最大公約数(H,C,F)で除
した数になる。
37
互いに素なブロックになる分布を白抜きでつぎに図示する。定理 1 と定理 2 を
満たすブロックは、さほど密ではない。
定理 1,2 を満たすグリッド数
定理 3
互いに素なブロックで、座標 n – p から長辺に向かってボールを突いたときの
クッション回数は、m + p - 1
証明 ( n + m -1 ) - ( n – p ) = m + p - 1
38
Q.E.D
実際のスリークッション競技用ビリアード台のサイズは、12 フィート x 6 フ
ィート、10 フィート x 5 フィートと縦横比(aspect ratio)はそれぞれ 2.0 であ
り、命題に適合しない。このビリアードの定理は、整数倍のグリッド数が対象
であって、グリッドが正四角形である必要はない。
ビリアードの定理は、プロペラに棲む魔物 3 でも紹介した。これが、シーケン
スのアルゴリズム記述に利用できること、また、後に紹介する等差配列に密接
に関連することを示そう。そのために、新しい、三角ネットワークのビリアー
ド台を紹介する。
39
(2) 三角ネットトワークのビリアード台 (Parallelogram blocks)
台の形状が斜めに圧し潰ぶされた平行四辺形(parallelogram)のビリアード台であ
る。ボールの経路をグリッドでなく 3 角形ネットワークで示す。入射反射角度
は同じ角度にならないことに意味がある。コーナーから突かれたボールのクッ
ションは、他端のコーナーに入射することで終了する。
(3, 5)
定理 4
互いに素な、n x m のビリアード台のコーナーから発射したボールのクッション
回数は、n x m - 1
定理 5
互いに素な n x m において、すべての三角ネットワークの格子を通過できる。
40
(3) 計量カップのアルゴリズム (Measuring cup algorithm)
前記の定理を使って、水汲みのアルゴリズムを記述してみよう。
いま、目盛りの無い互いに素な v ㍑と w ㍑の容器で、水を汲む計量問題がある。
容器の容量 v, w は、求める水の容量と同じく整数とする。
n = 1, 2, …、 0 ≦n ≦v+w、v + w -1 に対し、n 単位の容量を測る。
・(v, w)斜めビリアードは、容器に水を注ぐシーケンスを示す
・たかだか、v +w -1 回の注水が必要である
例題 3
3 ㍑と 5 ㍑の容器を用いて、4 ㍑の水を測れ。
[0|0] ～ [3|0] ～ [0|3] ～ [3|3] ～ [1|5]
～ [1|0] ～ [0|1] ～ [3|1] ～ [0|4]
4 ㍑の水を測るのに、シーケンスは 8 回となる。これを 3 角形ネットワークのブ
ロック上にプロットする。
ここで、状態[a|b]を、計量器の容量 a 計量器 b の容量である。その合計値 a+b
をあらため整数で表し、重複を削除する。
0 ～ 3 ～ 6 ～ 1 ～ 4 ～ 7
41
[3|0]にいたる完全なシーケンスを記述すると、
[0|0] ～
～
～
～
[3|0]
[1|0]
[3|4]
[3|2]
～
～
～
～
[0|3] ～ [3|3] ～ [1|5]
[0|1] ～ [3|1] ～ [0|4]
[2|5] ～ [2|0] ～ [0|2]
[0|5]
短縮形では、0 ～ 3 ～ 6 ～ 1 ～ 4 ～ 7 ～ 2 ～ 5 ～ 0
また、別の解として、
[0|0] ～ [0|5] ～ [3|2] ～ [0|2] ～ [2|0]
～ [2|5] ～ [3|4] ～ [0|4]
4 ㍑の水を測るのに、シーケンスは 7 回となる。
[0|0] ～ [0|5] ～ [3|2] ～ [0|2] ～ [2|0]
～ [2|5] ～ [3|4] ～ [0|4] ～ [3|1] ～ [0|1]
～ [1|0] ～ [1|5] ～ [3|3] ～ [0|3] ～ [3|0]
ここで、状態[a|b]を、計量器の容量 a 計量器 b の容量である。その合計値 a+b
をあらため整数で表し、重複を削除する。
0 ～ 5 ～ 2 ～ 7 ～ 4 ～ 1 ～ 6 ～ 3
42
(4) 等差配列 (Arithmetical array, Arithmetics)
例 2 で、[3|0]にいたる完全なシーケンスを短縮形では、0 ～ 3 ～ 6 ～ 1 ～ 4
～ 7 ～ 2 ～ 5 ～ 0 と表されたが、これを A(3, -5)の等差配列で表現してみ
よう。なお、この後、等差配列 A(v,-w)は、本巻のいたるところで使用する。
例題 4
5 ㍑と 8 ㍑の容器を用いた場合の解
0 ～ 5 ～ 10 ～ 2 ～ 7 ～ 12 ～ 4 ～ 9 ～ 1 ～ 6
～ 3 ～ 8 ～ 0
A(5, -8)
43
例題 5
3 ㍑と 7 ㍑と 10 ㍑の容器を用いて、15 ㍑の水を測る。
[0|0] ～ [0|10] ～ [7|3] ～ [0|3] ～ [3|0]
～ [3|10] ～ [7|6] ～ [0|6] ～ [6|0] ～ [6|10]
～ [7|9] ～ [0|9] ～ [7|2] ～ [0|2] ～ [2|0]
～ [2|10] ～ [7|5] ～ [0|5] ～ [5|0] ～ [5|10]
19 回のクッションで[5,10]、つまり 15 単位にいたる。ここで、短縮形にし重複
を削除する。重複を削除し、残ったシーケンスを数えると 9 回となる。
0 ～ 10 ～ 3 ～ 13 ～ 6 ～ 16 ～ 9 ～ 2 ～ 12 ～ 5 ～ 15
これは、コンピュータのアルゴリズムで使われる状態遷移に等しい。この表示
は、アルゴリズムを記述しており、数式を使わない証明になりうる。このアル
ゴリズムを等差配列 A(10 , -7)に書き直す。
44
45
3．コンピュータグラフィックスで遊ぶ (Playing computer graphics)
(1) コンピュータで直線を引く (Drawing slant line)
コンピュータで斜めに直線を引くということは、画素(pixel)の明暗で表現してい
るので、直線の滑らかさは画素数に依存する。画素数が少ないと、斜めに引い
た直線は階段状になる。そこで、アンチェイリアス処理(Anti-aliasing)といって、
階段の周囲の画素に濃淡を付けて滑らかな線にみえる加工をしている。ペイン
ト(Paint)などの画像編集ソフトウェアで画像を拡大すると、斜めの直線はギザ
ギザとしていて、しかも濃淡が広がっているので、編集境界が不鮮明である。
その境界を自然に見えるように手作業で編集加工するのは容易ではない。さて、
直線の勾配は、一般に整数または有理数にならない。画素のメッシュは固定な
ので、有理数に近似しないと限られた画素では操作対象を特定できない。そこ
で、この近似処理をディオファントス近似(diophantine approximation)といい、
コンピュータグラフィックス(C.G)にとっては基本的な技術となっている。
例題 1
9 x 14 画素のディスプレィに、斜めの直線(slant line)を引け。
また、そのとき、画素に明暗をつけよ。
一般に、0 < v ≦ w ならば、(0, 0)から(v, w)を結ぶ線分は、画素
(x, y) = ( x, round [(v/w)・x] ) x = 0, 1, 2, …., w)
46
(0, 0)と(13, 8)を結ぶ線分を表す画素を選ぶ。中心が(x, y)の画素から線分までの
距離は、d = |18x 13y| / 13
次の等差配列 A(,8 -13)は、画素を選ぶのに役立つ。
47
(2) 等差配列と閏年 (Diophantine approximation)
現行の太陽暦であるグレゴリオ暦は、ローマ時代のユリウス暦を改良して制定
された。他にイスラム世界で使われるヒジュラ暦がある。ヒジュラ暦はイスラ
ム暦とも呼ばれ、1 年を平年 354 日、閏年はこれに 1 日足した 355 日を数学的
規則にのみしたがって定めている。平年は 30 暦日の月と 29 暦日の月を交互に
設置することになっている。太陰年は正確には 1 年＝354.36705 日であり、端
数に 30 を乗じるとほぼ 11 日（11.011 日）となるため、30 年に 11 回の割合で
閏日を置く。イスラムの暦法では 30 年周サイクルのどの年に閏日を割り振るか
が重要な課題となる。閏日が置かれる場合は、平年では 29 日であるズル・ヒッ
ジャ(12 番目の月)が 30 日となる。数学的規則に従って閏年を設定する。なお、
イスラム暦の 1 年は太陽暦の 1 年よりも 11 日程短い。
例題 2
この等差暦は 30 年サイクルであり、2, 5, 7, 13, 16, 21, 24, 26,29 年に閏年にな
る。イスラム暦の等差配列を書け。
これは、画素(0, 0)から(30, 11)の間に直線を引く問題に等しい。
48
(3) ディオファントス近似 (Diophantine approximation)
ディオファンタス近似とは、実数 u の場合、単純さと精密さの双方の目的を果
たすために選ばれる有理数(分数) y/x のことである。
数学的な近似でよく知られているものには、π (= 3.14…)がある。
π ～ 22 / 7 π ～ 3.14
|x –( 22/7) | = 0.001264……
|x - 3.14| = 0.001592…..
| u – (y/x)| が 0 に近い分数を見つける必要がある。
ここで、ディオファンタス近似の分母ｘは、予め与えられている。 1 / x の倍
数は、数直線上の等間隔の点である。
実数 u を与えたとき、u は、1 / x のもっとも近い倍数の 1 /2x 以内になければな
らない。
| u – (y/x) | ≦ 1 / 2x である分数
有理数のディオファンタス近似は、u = v / w を
とする。このとき、絶対値の誤差が
0 < v < w を満たす既約分数
| u – y/x| ≦ 1 / (2x^2) で、分母 x が、たかだか w / 2 であるデォファンタス
近似 u ～ y / x をもつ。
49
(4) 最短パスのパラドックス (A novice pilot’s paradox)
例題 3
A から B に等差配列でグリッドをつくる。このときの折れ線を L1 とする。L1
は AC と CB を 1 とすると 2 である。
階段数を 2 倍にしたときの折れ線を L2, L3,
L4, … Ln と増やしていくと、折れ線の極限は√2 になるのは本当か。
折れ線の数を増やしても√2 にならない。折れ線にどんなパスを選択しても A
から B に至るまでに移動した距離は 2 である。
a1 + b1 + a2 + b2 + ...... an + bn
= a1 + a2 + a3 ... an + b1 + b2 + .... bn = 2
等差配列(n,m)の階差を可能な限り細かにしていくと、A から B へ向かう経路は
直線に近くなる。直線とすると AB^2 = AC^2 + CB^2 だが、有限に分割された
区間では、√AB^2 ≠ Ln である。
50
4．分け前を考える (Dividing a pizza hopefully)
(1) ランダムな弦 (Random Chords)
例題 1
円周上に 2 つの点 P, Q を無作為に取り、弦 PQ を描く。同円周上に同様に R,S
を取り弦 RS を描く。2 本の弦が円の内側で交点を結ぶ確率は？
交点が円の内側にある確率は、1 / 3
P, Q, R, S は、円周上に独立にかつ無作為に取られた点である。取る順位は確率
に影響はない。先に 4 点をとり、それらに無作為に P, Q, R, S の名前をつけても
よい。その際、点 R が、点 P の右隣りになるか、左隣になるか、どちらでもな
いか、ゆえに、それぞれの確率は、1/3 である。
Q.E.D
51
4 個のすべての任意の点が最初に選ばれると仮定し、これらの 4 点を通して 1
組の弦を引くために、3 つの方法がある。
1 つの方法は図の中で示されるような円の内部でそれらを交差させる。
上記の問題を、解析的に解いておこう。
52
(2) ランダムに切ってできる 3 角形の面積比）
例題 2
任意の楕円の内側に、互い独立で無作為な点 P、Q、R をとる。図中でハッシュ
した領域の合計の面積の期待値は、3 角形 PQR の面積の期待値の 3 倍であるこ
とを示せ。
4 点の凸包が 3 角形になる事象 T の確率は、
P(T) = 4 x P (S が 3 角形 PQR の内側にある) = 4 x E [3 角形 PQR の面積] / 楕
円の面積
ここで、
P(T) = E [3 角形 PQR の面積 + メッシュされた部分の面積] / 楕円の面積
したがって、
4 x E[3 角形 PQR の面積] = E [3 角形 PQR の面積 + メッシュ部分の面積]
が成り立つ。
ここから、
E [メッシュ部分の面積 ] = 3 x E [3 角形 PQR の面積]
53
Q.E.D
(3) 3 等分角で分ける (Dividing with s trisected at two points)
例題 3
2 頂点の角を 3 等分し、各々の分割線で囲まれるＴＷＵＶの面積を求める。
三等分角の性質を失うことなく、ＴＷＵＶの座標位置を得られるよう変形する。
短辺 1 の二等辺 3 角形の線分 WT, VU, TU, WV は、それぞれ、
y = -3 x + 1 , y = - 3x / 2 + 1 , 3y = - x + 1 , 1.5 y = - x + 1 だから、TWU の
座標位置は、
T ; (1/4, 1/4),W ; (1/7, 4/7),V ; (2/5, 2/5)
座標をアフィン変換して計算を容易にする。
(0,0) (x,y) (a,b) の三点の 3 角形の場合は、S= 1/2 | xb - ay |
ＴＷＶの面積は、座標から、 TUW = |(T - W) x (T - V)| = 9 / 140
したがって、TUVW = 9 / 70 = 0.12855142857…
もとの 3 角形に対する面積比は、1 / 2 : 9 / 70 = 70 : 18, たかだか 3.8888…
54
(4) ピザ切り分け定理 (Dividing a cut hopefully)
円形ピザに n 本の直線カットをいれたとき、最大何枚まで切り分けられるかを
考える。
n
P(n)
ピザに n 本カットをいれたときの最大何枚数
0
1
2
3
4
5
6
1
2
4
7
11
16
22
7
29
最大化原理
どのカットも他のすべてのカットと交わり、しかし、どの 3 本のカットライン
も 1 点で交わらないときのピザの枚数は最大になる。
ピザ切り分けの公式は、 p(n) = (n^2 + n + 2 ) / 2
平面グラフでのオイラーの公式
10 個の頂点 v、12 本の辺 e、4 個の面 f なら、v – e + f = 2
さらに、切り方を直線から円に変えて考える。
4 つの円が 14 個の領域を作り出す、
55
円による分割定理
円で分割したときの分け前は、 p(n)
=
n^2 - n + 2
最大値は、どの組の円も 2 点で交わるが、どの 3 つの円も共通の点を通らない
ときに限られる。n ≧ 2 のとき、頂点 v = n (n – 1), 辺の数 e = 2n (n - 1)本、
f = e - v + 2 = n^2 - n + 2
56
(５) 不公平な分け前の定理 (The unfair theorem)
例題 4
n 本のカットで同じ大きさの P(n)個のピースができるか？
この答えは、｛NO｝
3 カット以上入れると、何人かの子供たちのピザは他の子供たちのピザよりも大
きくなる。実際、カット数が多いと近似的にも同じサイズには切り分けられな
い。
定理
円形ピザを n 本のカットで、 ( n^2 + n + 2 ) / 2 個のピースに分けるとき、
少なくとも 1 つのピースは公正な分け前の大きさよりも n / 8 倍大きい。
証明
ここで、n は、8 本以上
16 本のとき、ある子供は他の子供と倍の差が生じ、争いが深刻化する。
単位円のピザの面積 = π^2
平均面積 = ピザの面積 / 分割数
割数
=( n^2 +n + 1) / n
< 2π/ n^2
半径 1 の円形ピザを n 本のカットにより、( n^2 + n + 2 ) / 2 個のピースに分け
るとき、最大のピースは、π/ 4 よりも大きくなる。
最大面積
/
平均面積
= (π/ 4) / 2π/ n^2
57
=
n/8
Q,.E..D
5．数えて面積を求める (Reckoning the size of land)
(1) 格子点で面積を求める (Pick's planimetry)
例題 1
下図のような 5 角形の果樹園の面積を求めよ。
(ピックの公式)
L =内部と境界上にある格子点全体の数
B = 境界上にある格子点の数
多角形の面積は = L – (1/2)・B – 1
=
27
- (1/2)・8- 1 = 24
ピックの公式の補遺
全ての頂点が格子点上にある格子正多角形は、正 4 角形以外には存在しない。
一辺が a の正 3 角形の場合、面積 S は、s ={ (√3) /4 } a^2 である。a^2 は、格
子点間の距離の自乗で整数である。ピックの公式から、 √3 が無理数であること
から、面積 S は無理数。しかしピックの定理から S は有理数(この場合は整数
または半整数)なので矛盾。
正 4 角形以外の正多角形の面積は無理数になるので、正五 5 角形以上の格子正
多角形もピックの公式に反する。
58
(2) 両替問題
(Changing money)
例題 2
1 ドルを、クォータ、ニッケル、ダイムで両替する方法は何通りあるか。
代数的に記述すると、25q + 10d + 5n = 100 これを満たす、整数の 3 つの組の
個数を数える。
両替の定理
クォータ、ニッケル、ダイムで両替する方法は、20D^2 - 8D + 1 通り。
59
(3) 切手問題 (Post stamp problems)
例題 3
5 セント切手と 8 セント切手で、27 セントのハガキを正確にだせるか。
答えは NO
n = 5x + 8y を満たす非負の整数は、27 よりも小さいいくつかの数を見つけることは
でない。
互に素な v, w の切手で、この種類では実現できない vw より小さい郵便料金は
いくつあるか。
V = 5, w = 8 のとき、加法表は、以下の通り。
0=5x0+8x0
5=5x1+8x0
8=5x0+8x1
↓
26 = 5 x 2 + 8 x 2
28 = 5 x 4 + 8 x 1
29 =5 x 1 + 8 x 3
↓
25 = 5 x 5 + 8 x 0
39 =5 x 3 + 8 x 3
加法表を、等差配列で表現する。40 より小さな実現可能な数
実現可能な数の組み合わせの和は 80
公式
v と w が互に素のならば、v, w より小さい実現不可能な数の個数は、
(v – 1)(w - 1) / 2
w が互に素のとき、等差配列 A(v, w)のグレーの部分の実現可能な数はどれも 2
回以上は出現せず、1 度だけ生じる。
60
切手の定理
切手の金額 v と w とは、互に素で、かつ 1 より大きいとすうと、
最大の実現不可能な数は、U = vw –v - w
実現不可能な数の個数は、
N = (v - 1)(w - 1) / 2 = (U + 1) / 2
61
(4) 縮小等差配列 (arithemetics)
例題 4
1 クラスの子供を 5 人のチームに分けるとき、4 人の子供が余る、8 人のチーム
に分けると 2 人の子供が余る。このとき、このクラスの子供は何人か？
問題の行の各元は、5 の倍数よりも 4 大きい数であり問題の各元は、8 の倍数よ
りも 2 大きい数である。その条件を満たす交わった点 34 が答えである。
また、34 +40 も答えになる。
62
6. あみだくじで遊ぶ (Playing a ghostleg lots)
(1) 置換とあみだくじ (Permutation with a ghost lots)
あみだくじは、置換を表現するよいツールである。海外ではあみだくじを
Ghostleg lots といい、日本だけのゲームではない。
4 x 4 の置換(permutation)を σ とする；
例題 1
(1, 4) (2, 2) (3, 1) (4, 2)の置換をあみだくじで示すと、下図のようになる。この
ときに必要な横棒は、また最低何本の横棒を入れる必要があるか？
右図の交点の数が 4 本であることから、横棒の数は 4 本．
63
すべての順列は、n! / r! (n - r) であるから、置換は r = 2 とすると、
定理 1
すべて順列を生み出すには、最低 n・(n－1) / 2 本の横棒が必要
円形あみだくじ(Circular Ghost legs’ Lots)は、より数学的で興味深い。現代で
は殆ど遊ばれていないが、あみだくじは、阿弥陀仏の後光に起源がるといわれ
ている。円形あみだくじは、中心から外側になぞって遊ぶのが普通である。
※ あみだくじの起源は、阿弥陀仏の後光
64
(2) 互換の積とパリティ則 (Compatibility and Parity theorem)
置換は互換の積で表すことができる。あみだくじを破線で部分に切り分け，各
部分 1～5 は 1 つの H 路だけを含むようにする。
定理 2
置換は隣り合う文字の互換の積で表される。
与えられた置換に対して、あみだくじにはパリティ則がある。互換の積は、横
棒で分割でき、偶数本なら偶置換、奇数本なら奇置換となる。
定理 3
置換を 1 つ定めて互換の積で表すとき，掛け合わせる互換の数は選び方によら
ず偶数か奇数に定まる。
例題 2
恒等置換のあみだくじの例を示せ。
65
恒等置換を作る置換例は、何通りもある。また、横棒の数、位置が上下で対称
であることに気付け。
定理 3
互換の積が鏡像対象かつ遇置換であるとき、恒等置換になる。
例題 3
偶置換と奇置換の例を示す。
66
(3) あみだくじの演算 (Product and Inverted ghostleg lots)
互換の積は、横棒で分割されたあみだくじの連結(concatenate)で表すことがで
きる。置換は必ず互換の積で表される。各横線が互換に相当する。あみだくじ
を利用すると、1 つの置換を分解して他の置換の積で表すことができるというこ
とを意味する。
例題 4
あみだくじ A にあみだくじ B をつなげると、どのようなあみだくじになるか？
ここで、あみだくじを連結することを、掛ける(Multiplication)という。
足すことと、掛けることが、加算群では同じ概念に捉えられる。
67
逆あみだくじ(Inverted ghostleg lottery)を作り、連結することを除算(division)
という。
定理 5
すべての順列をつくるに必要な最小数の横棒で、逆順列を作ることができる
68
(4) 置換と積 (Permutation and products)
n 文字の置換は集合 {1; 2; · · · ; n} から自分自身への全単射写像である。
置換全体の集合 Sn は n! 個の要素からなる．置換には、満たすべき 3 つの性
質がある。
ρ(τσ)置換の積はまた置換であり，積についての結合法則が成り立つ。
S n の任意の要素 σ、τ に対して τ・σ = τ ・σ ∈ τ Sn
に対して ρ(τσ) = (ρτ)σ
S n の任意の要素 σに対して、ρι = ιρ=σとなる恒等置換 ι が存在する。
どの置換にも逆置換がある。
ρρ^-1 = σ^1 ρ=ι
69
7. キューブで遊ぶ (Playing permutation puzzles)
(1) ルービックキューブ群 (The group of Rubik’s cube)
3 x 3 x 3 個のピース(cubies)で構成されるルービックキューブ群の可能な組み
合わせは、(8!・3^8・12!・2^12) / (3・2・2) = 4.3252・10^19 通り考えられる。
ピースの順列と置換( (permutation)は、グループの理論で記述できる。
ピースの操作は単位操作(各面上の 90 度回転)で 48 文字の置換とみなし、それ
らで生成された部分群とする。
ルービックキューブ群を以下のエッジピース(Edge-cubie)とコーナーピース
(Corner cubie) に分けて考える。中央のピース(Center cubie)は不動であり無視
する。なお、幾何学的には、エッジピースは 2 面体(dihedral)であり、コーナー
ピースは 3 面体(trihedral)でもある。本解説書では Cubie をあえてピースと読
み替える。
群とは：
・集合 G の要素間に一意的な演算が成立し、演算に関して集合が閉じている
・その演算に対して、結合則が成り立つ
・演算には単位元 e が存在する
・演算には逆元が存在する
70
(2) キューブのパリティ則 (Cubies’ Parity theorem)
ルービックキューブ群 H^3 の位置と向きに対する定理が知られている。
1) コーナーピースの位置のずれとエッジピースの位置のずれとのパリティ則
(偶奇性)は一致する
すなわち、一方が偶置換(奇置換)ならば他方も偶置換(奇置換)となる。
3 x 3 x 3 ルービックキューブには、偶置換を 2-cycle 奇置換を 3-cycle と呼ぶ。
2) 反対の向きになっているエッジピースの個数は、偶数個である
3) 時計回りと反時計回りにずれているコーナーピースの個数は、等しいかまた
は 3 を法として合同である
本パズルの解説書では、プログラムで解法のためのアルゴリズムに興味がある。
そのためのシーケンスの表現とマクロの準備について考える。
下図は、F によって生成されたサブグループのためのケーリーグラフ(Cayley
graph)とする。
オペレーション φ=FF および ρ=RR は、次のグラフ(φ^2=ρ^2=1)を生成する。
71
例えば、シーケンス FFRR は L が正面にあるように RRBB と同じ置換になる。
もし、異なる 2 つのグループが同じグラフを描く場合、同型と呼び同じ位数を
もつ。
ピースの順列が常に偶数パリティをもつことは、2 つの組のピースが置換される
ことを意味し、奇数個のピース置換はありえない。
面回転によって作成された順列の例は、書き直しができる。
F = (FL FU FR FD)(FUL FUR FDR FDL)
= (FL FU)(FL FR)(FL FD)(FUL FUR)(FUL FDR)(FUL FDL)
72
(3) 交換子マクロ(commutator)
交換子(commutator)は、操作マクロとして有用である。解決された初期状態か
ら 1 つのシーケンスが連続的に実行された場合、ピースは初期状態に戻れる。
・FUDLLUUDDRU は、トップ面の１つのエッジピースを移動する
・rDRFDf は、面上の 1 ピースを回転する
・FF は、側面スライス中のエッジピースを置換する
・rDR は、3 つのコーナーピースを回転する
例題
上段と中段のピースを置換するシーケンス例は、URurFrfR、ulULfLFl
このシーケンスは、鏡像対称となる
73
例題
上面のキューブを時計回り、反時計回りで置換するシーケンスは、次の通り。
このマクロは、最終段階の 6 面を揃える有用である。
ただし、x = rD^2R
＊
すべてエッジピースが正しい位置でかつ反転しているような配置(Super bridge)の解法は、
2007 年から 2010 年にかけての研究で解決したようだ。このシーケンス数は、神の数字(God’s
number)と呼ばれていた。
74
(4) 面取り (Planing off the corner)
グループの理論から離れて、立方体コーナーの面取りを幾何学で考える。
例題
各キューブの 3 角形 ABC の角度を求めよ
キューブのコーナーを面取りしたときの斜度と 3 角形の内角は、1-キューブの
場合、正 3 角形なので 60°. 4 つの面取りした 3 角錐の体積は、どれもキュー
ブの 1 / 6 である。
2 x 2 キューブの場合、正 6 角形の一部の 2 等辺 3 角形 120°、30°、30°とな
る。3 x 3 キューブの場合、A = 3/7、C = 3/28
例題
さて、このキューブがルービックキューブのように 90°面を回転できるものと
する。このときの 3 角形の面積を求めよ。
75
.r
.R
1.73271 -> 2.81699 -> 1.11794
->
.U
1.99968
点 ABC をピース中央にとり、ピックの公式を 3 次元に拡張し格子点数を数えて
体積を考える。
角錐の体積 = 切断した 3 角形の面積 x 高さ / 3
回転前の面取りした体積は、 (1.73271 x 2√2 ) /3 = 1.636 ≒ 端を通る格子点
の数 5 /3
76
8. 整数論とフェルマーの合同式（Number theory）
(1) 暦の中の魔方陣 (A magic square in calendar)
カレンダーの数字の並びで、魔方陣ができる。1 ヶ月カレンダーのなかから、任
意で 3 x 3 の数字を切り取り、その数の総和を求めるパズルである。例題を下記
に示したので、賢い計算法を見出せ。
例題 1
対角線の数字を合計すると、すべて同じ数字になる。
(36 x 4 )– (12 x 3 ) = (12 x 12 ) - ( 12 x 3 )
つまり、魔方陣の中心の数に3 x 3 行列の9を掛けることで総和が求まる。カレ
ンダーは7曜でも6曜でも8曜でも同じ結果になる。つまり、3列の数字を切り取
るとき、平行四辺形で切り取っても結果は同じである。これは等差配列の問題
と考えると容易に理解できる。
77
次の 3 x 3 の配列は、等差 1 の配列だから、配列の回転という定理が利用でき
る。
3 x 3 = 9 だから、中心に 9 を乗じる。
例題2
さらに、n 行ｍ列での一般解を考えよ。
4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25 なら、それぞれ 16, 25 を重心(回転の中心)の数に乗じれば
よい。等差配列が、4 x 3 = 12 なら、重心は、数のように 2 数の平均となる。4
x 4 =16 の場合は、重心の数は 4 数の平均となる。平均数は有理数なので、この
数に 16 を乗じると整数に戻る。
4 x 4 = 16
4 x 3 = 12
(12 + 13 + 19 + 20) / 4 = 16
(14 + 15) / 2 = 14.5
16 x 16 = 256
14.5 x 12 = 174
78
(2) 九は魔法数ではない (“Nine” isn’t the magic number)
9 という数字には、9 去法とか 9 の段の九九とか、なにかと面白い数字といわれ
る。
例えば、九九の 9 の段では、
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 9 = 81
9 x 8 = 72
9 x 7 = 63
9 x 6 = 54
同じ数字が順序を変えて現われる。その桁の数字を足すと 9 になる(数字根)。
そこで、9 を魔法数とか、特別な数としているが、それは 10 進数での話である。
10 進数は特別なものではなく。3 進法でも 5 進法でも、計算はできる。人類は
たまたま 10 本の指を使って 10 進数を使い始めた。指が 6 本、7 本という生物
がいれば別の進法が一般的になっていたことだろう。もし、4 本指の知的生物な
ら、8 進数を標準にしているかもしれない。そして、彼らは、人類が 10 進数で
9 という数字に魔法のような不思議さを感じたように、以下の理由で 7 を特別な
数と思うに違いない。
7 x 2 = 16
7 x 3 = 25
7 x 4 = 34
7 x 7 = 61
7 x 6 = 52
7 x 4 = 43
なぜ n 進法の n-1 の数字が、このような結果になるのか考えてみる。
すべての 10 進数での九九の結果の数字根を求めて表にしてみると答えが見える。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
23456789
46813579
69369369
83726159
16273849
39639639
53186429
76543219
99999999
79
9 番目の行と列の数字根はすべて 9 になる。
ちなみに、9 行 9 列を除いたものは、
半群 {J/(9), X} になる。J/(9) とは、9 を法とする剰余類で分けられた整数の集
合であり、X はこの半群(semigroup)上の元の間の抽象乗算を意味する。a と b
が、 {J/(9), X} の元であるとき、a x b は mod 9 となる。
80
(3) オセロ型計算機 (Othello like binary calculator)
乗算は加算で除算は減算である。乗算はオペランドを入れ替えても答えが変わ
らないので可換群(アベール群)である。除算は可換群ではない。可換群の演算子
がよく使われる。その理由はこのことによるが、ここでは特殊な記号
には、
は使わずxで記述する。
2x2=2+2
2x3=2+2+2
2x4=2+2+2+2
2 x 2 = 2 + 2 を2進数では、 0010 x 0010 = 0010 + 0010 と表記する。
0010
+ 0010
00100
算術における乗算とは、倍数(times)の数だけ同じ数を繰り返し加算することで
ある。
例題3
7 x 2 = 14 を 0111 x 0010 = 1110
また、2のべき乗は、左へシフトすることである。
・ある数に2をかけるとは、左へ1桁シフト
・2を2回かける( 2^2 = 4 )とは、左へ2桁シフト
・2 を 3 回かける(2^3 = 8 )とは、左へ 3 桁シフト
したがって、オペランド(operand)にシフトを有効に使うと、
例題4
3 x 9 = 3 x (8 + 1)
= (3 x 2^3 )+ (3 x 1) → 0011000 + 0011 = 0011011
0011(3)を 9 回足さずに 3 桁左にシフトした後、3 を足すだけで結果が得られる。
2 のベキ乗シフト方式は、演算時間に直接影響を与えることができる。
81
2 のベキ乗による割り算は、シフトの方向が右に変わる。シフト方向が異なるこ
とが、掛け算と割り算の本質的な違いである。ただし、除算では、除数(分母)
が多項式の場合しふと方式を利用できない。
2 進数計算機を模倣して下に示す。〇がゼロで、●が 1 とする。また、2 進数の
加算は、以下の通り。
○○ + ○○ = ○○
0+0=0
○○ + ○● = ○●
0+1=1
○● + ○● = ●○
1+1=2
●○ – ○● = ○●
2–1=1
減算は可換群ではない。補数(complement)を加算する。
A – B = A + (-B)
この目的に、コンピュータのアセンブリ言語には、全ビットを反転する命令が
ある。補数での加算では+1 ずれる。これを 2 の補数という。
10 – 3 = 7
0000 1010 – 0000 0011 = 0000 1010 +’1111 1100’ +1 = 0000 0111
例題 5
49 x 85 = 4165
2 で割る
2 を掛ける
49
24
12
85
170
340
6
3
1
680
1360
2720
4165
82
49 x 85
= (1 x 2^5 + 1 x 2^4 + 0 x 2^3 + 0 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0) x 85
= (32 +16 + 0+0+0+1) x 85
= 2720 + 1360 + 0 + 0 +0 +85
= 4165
49 を 2 進数であらわすと、2^3, 2^2, 2^1 が表れる。したがって、85 に 2^3 を
掛けた 680、2^2 を掛けた 34、2^1 を掛けた 170 を右の行で加える必要がない。
例題 6
3 で割った余りが同じなら同じ数とする。
1 + 1 = 2,
2 + 2 = 1,
1 + 0 = 1,
2x2=1
1+2=0
83
(4) 合同式 (Modular equation)
整数 a,b,p について、a を p で割った余りと b を p で割った余りが等しいとき、
a ≡ b (mod p) と書き、a と b は p を法として合同という。
命題 a,b,c,d,p,k を整数とすると、次が成り立つ。
a ≡ a (mod p) (反射律)
a ≡ b (mod p) ⇒ b ≡ a (mod p) (対称律)
a ≡ b (mod p), b ≡ c, (mod p), a ≡ c, (mod p) ⇒(推移律)
例題 7
今日が木曜日ならば 100 日後は 100 ≡ 2 (mod 7)であるから、土曜日である。
例題 8
9 を法とする 2^9 – 2, すなわち、2 の 9 乗引く 2 を 9 で割った余りを
簡素化する方法にモジュラー演算がある。
2^9 – 2 ≡ (2^3)^3 – 2 ≡ ( - 1)^3 – 2 ≡ -3 ≡ 6 (mod 9)
例題 9
35 の上位桁 3 から 2 を引き、下の桁 5 に 2 を足すと 17 になる。
時間は 12 あるいは 24 を法とする、分と秒は 60 を法とする合同式になる。
方位は、36 またを法とする合同式になる。合同式とはあたかも法 n を周期と
して循環あるいは回転しているともいえる。反方位計算(上位の桁から 2 を取っ
て下の桁にその 2 を加える計算またはそ逆)は、a ≡ b (mod 18)と記述できる。
84
(5) フェルマーの小定理 (Fermat's little theorem)
整数論とフェルマーの合同式、いわゆる小定理として知られた問題である。
1^3 -1, 2^3 - 2, 3^3 - 3, 4^3 - 4, 5^3 - 5, . . . は、すべて 3 で割り切れる
1^5 -1, 2^5 - 2, 3^5 - 3, 4^5 - 4, 5^5 - 5, . . . は、〃 5 で
〃
1^7 -1, 2^7 - 2, 3^7 - 3, 4^7 - 4, 5^7 - 5, . . . は、〃 7 で
〃
↓
1^p - 1, 2^p - 2, 3^p - 3, 4^p - 4, 5^p - 5 . . . は、すべて p で割り切れる
P は、素数(prime number)であり、この証明は、通常、二項定理による。
a ≡ b (mod p)
例題 10
9 を法とする 2^9 - 2, すなわち、2 の 9 乗引く 2 を 9 で割ったあまりで簡素化
する直接的な方法がある。
2^3 ≡ 8 ≡ -1 (mod 9)
より、
2^9 - 2 ≡ (2^3)^3 - 2 ≡ (-1)^3 -2 ≡ -3 ≡ 6 (mod 9)
フェルマーの合同式
v^p ≡ v
(Fermat’s congruence)
(mod p)
これを等差配列で考えてみる。どの整数も p を法として 0, 1, …. p-1 の 1 つと
合同となるから、v = 0, 1, . . . p-1 に対してフェルマーの合同式を証明すれば
よい。
ここでは vx – py の等差配列 A (v, -p)の性質に依存する。
その配列内の数、
1, 2, , . .p-1 に焦点をあわせて、
v = 4, p =7 の場合
n = 1, 2, …, p-1 に対し、n は列 xn, 行 yn で生じるとする。
このとき、列 x1, x2, …,xp-1 は、1, 2, … p-1 から選ばれる。
85
2 つのリスト
X1, X2, …Xp-1 と VX1, VX2, … VXp-1 内の数は共に p を法として、1, 2, …,
p-1 を並び替えたものである。なぜなら、p-1 個の連続した数 1, 2, …, p-1 のど
の 2 つも、A(v, -p) の同じ列には生じない。それは、どの列も公差が-p の等差
数列をなしているからである。
5 x 8 の等差配列 A (v, -p)
A (4. -7)
-28
-21
-14
-7
0
-24 -20 -16
-17 -13 -9
-10 -6
-2
-3
1
5
4
8
12
-12 -8 -4
-5 -1 3
2
6 10
9 13 17
16 20 24
n = VXn – PYn ≡ VXn (mod p)
(VX1) (VX2) … (VXp-1) ≡ X1 X2…..Xp-1 (mod p)
したがって、
v^(p-1) X1 X2 … Xp-1 ≡ X1 X2….Xp-1 (mod p)
すなわｔ、 v^(p-1) ≡ 1 (mod p)
両辺に v をかけると
v^p ≡ v (mod p)
- Q.E.D.
つまり、この合同式が、フェルマーの小定理である。
86
0
7
14
21
28
(6) 平方剰余 (Quadratic redidue)
平方剰余は、与えられた素数を法とする平方数と合同な 0 でない数である。
V が素数 p を法とする平方剰余であるとは、v は p で割り切れず、さらに、ある
整数 v に対して平方合同式 x2 ≡ v (mod p) を満たす整数をいう。
例題 11
平方を与えられた素数で割るとき、0 でない余りはどのようなものか示す。
負でない整数を正の素数で割るとき、余りは 0, 1, 2, ….p1 のいずれかになる。
ｎが平方で p が素数のときは、余りは 0, 1, 2, ….p1 の中のいくつかの数に限定
される。
平方数 0, 1, 4, 9 を 11 で割ると、余りは順に、0, 1 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, 0, 1 4,
9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, ．
．．と 11 のブロックとなる。
ゼロでない余りは, 2, 4, 5, 9 のみ。この 5 つの数が 11 を法とする平方剰余であ
る。
例題 12
a. 数 1 はすべての素数に対し、素数を法とする平方剰余である。
なぜなら、x^2 ≡ 1 (mod 9) は明らかに解 x = ±1 をもつため。
b.
p = 2 を法とする平方剰余は、1 のみ。
奇数の素数を法とする平方剰余を対象
c.
11 を法とする 5 つの平方剰余は、1, 3, 4, 5, 9 のみ。
d. 下表は、13 を法とする 6 個の平方剰余は 1, 3, 4, 9, 10, 12 を示す。
x
^2
1
1
2
4
3
9
4
3
5
12
6
10
7
10
8
12
※左右向きを逆にした鏡像関係
87
9
3
10
9
11
4
12
1
[奇数の素数 p を法とする平方剰余を見つける方法]
p を法とする(p-1) / 2 個の平方 1^2, 2^2, ……,{(p - 1) / 2)}^2 を計算
合同 (p - x)^2 ≡ p^2 – 2px + x^2 ≡ x^2 (mod p)
平方は、1, 2, 3,…., (p-1)/2 の平方を、p を法として順序を逆にしたものである。
・数 - 1 は、p ≡ 1 (mod 4)のときのみ p を法とする平方剰余
p-1 ≡ -1 (mod p)ゆえに p-1 を-1 とする。
・数 2 は、p ≡ ±1 (mod 8)のときのみ p を法とする平方剰余
88
9. アルゴリズムを楽しむ (Enjoying algorithms)
(1) 待ち行列でスループットを評価する (Waiting queue theory)
処理能力をスループット(throughput)という。単位時間あたりのサービス件数
と、サービスあたりの処理時間を待ち行列理論で解く。
[M/M/1]モデルの解法
平均到着率
λ (件数/sec)
単位時間当たりに到着する機数
パラメータ
M
D
G
Ek
到着分布の種類
ポアソン分布 (ランダム到着)
等間隔到着
一般分布到着
k 次のアーラン分布到着
サービス時間分布の種類
指数分布サービス
一定時間サービス
一般分布サービス
－
例題 1
ある空港に、１時間当たり平均 15 機の航空機が到着する。
λ = 15 / 3600 = 0.0042
平均到着間隔は、 Ta = 1 / λ とすると、4 分間隔で 1 機の到着がある。
平均サービス時間 Tｓ (sec/ 件)
窓口において要求されたサービス１件を処理するのにかかる時間
飛行機が着陸許可を要求した時点を、待ち行列への登録時間とする。
この間は、何機でも受け入れる。
管制圏に入ってから着陸までを 3 分とする。
これを、1 つのスロット（ランウェイ）での処理時間とする。
平均利用率
ρ
(無次元数)
窓口がどれだけ利用されているかの評価を ρ = λ x ｔｓとする。
M/M/1 の場合、平均サービス時間が 3 分の場合を考える。
λ = 15 / 3600 = 0.0042、したがって、ρ = λ x ｔｓ = 0.0042 x 3 x 60 = 0.75
ちなみに、ρ は、１より小さい。
89
もし、ρ ≧１の場合には、到着間隔より処理時間が長い、すなわち待ち行列が減
ることなく滞留する一方な状態を意味する。
平均待ち時間 Tw (sec)
待ち行列にスタックされてからサービス処理が開始されるまでの待ち時間は、
Tｗ = ρ / （１－ ρ ） x Tｓ
= 0.75 / (１ - 0.75) x 3 x 60 (sec)
= 540 (sec)
=9 分
トータルサービス時間 Total (sec)
待ち行列に並んで、サービス処理が終了するまでの時間 (Total) は
Total = 平均待ち時間(Tw) + 平均サービス時間(Ts)
=9分 +3分
= 12 分
90
(2) エンルートの選択 (Seven Bridges of Königsberg)
例題 2
9 つの空港 a, b, c, d, e, f, g を巡る順路を以下の条件で一筆画書きせよ。
ある空港を起点に離陸し、下図にある空港間のエンルートをすべて網羅する。
空港上空は何度通過してもかまわないが、一度通過したエンルートは 2 度通過
できない。一筆画書き可能な起点空港と終点空港を決定せよ。
各空港に連結する航空路の本数は以下の表の通りである。
空港
航空路
a
3
b
4
c
5
d
4
e
2
f
4
g
4
h
2
i
2
出発また終了の奇数ノードが存在するので、オイラー閉路(ループ)にはならない。
ノードから出発し, 次の規則に従う限り、自由に辺をたどればオイラー経路が得
られる。たどった辺は除去し, 孤立点が生じた場合にはそれも除去する。
オイラーの小道を辿った結果、出発位数奇数である仙台空港か福島空港となる。
91
空港
航空路
a
4
b
4
c
4
d
4
e
4
f
4
g
4
h
4
i
2
各空港に連結する航空路の本数はすべてが偶数本とすると、オイラー閉路にな
り、起点終点をもたない。
92
(3) 最大進出問題 (Island hopping)
例題 3
3 機の航空機 p1, p2, p3 による離島への最大進出問題である。時間単位をタンク
の 1/18 とする。
先ず P1, P2, P3 は、1/4 の距離 x1 に至り、P3 機が帰投する。P2 が帰投する地
点を x2、P3 と会合する地点を x3 とする。P1 は、P2 が帰投する間 4/3 飛行で
き目的地に到達する。P1 は x1 で P2 と P3 から給油され、x2 で P2 から給油さ
れる、P3 は、P2 と P3 の帰路燃料分を運んで x3 で会合する。いま、x2 を最大
にする条件のなかで、x1= 1 / 4 (= 4.5 / 18), x3 = 1 / 3 (= 6 / 18), x2 = 10.5
(= 11 / 18) -> 18 / 18 ∴最大進出距離 X dest = (4,5 + 6 + 18) / 18 ～ 29 / 18
= 1.611111….
この問題を本巻のテーマである縮小等差配列で解くと、2 – 2 (x2-x1) ⇒ 30
30 より小さい配列の中で最大値 29 を得る。
93
(4) 向風・追風のパラドックス (Headwind tailwind paradox)
速度の平均を求める問題である。往路の速度が 80、復路の速度が 100 とすると、
平均は、(80 + 90) /2 = 90 と簡単に計算されるが、よくある誤りである。
例題 4
飛行機が A 空港から B 空港に向けて飛び、A 空港に戻ってくる。速度を 100 ノ
ット、空港間の距離を 200 マイルとする。途中ストップオーバーすることがな
ければ全航程に要する時間は 4 時間となる。さて、A 空港から B 空港に掛けて、
絶えず強い風が吹いているとする。飛行機は 4 時間で A 空港に戻ることができ
るか。
答えは、NO
B に向かうときは追い風で速度を速め、A に向かうときは向かい風で同じだけ
速度を遅くするという推定は誤りである。風速を 50 ノットとしてみると、B 空
港に向かうときの速度は、100 + 50 = 150 ノットである。A に向かうときの速
度は 100 –50 = 50 ノットである。
それゆえ、行きと帰りの時間は、それぞれ、200 / 150 = 4/3(時間), 200 / 50 =
4(時間)。
したがって、往復に要する時間は、4/3 + 4 = 5(1/2)時間であるから、飛行機の平
均速度は、
距離の合計 / 時間の合計 = 400 / (4/3 + 4) = 400 / (16/3) = (400 x 3) / 16 = 75
例題 5
94
(5) 難病の罹患率 (An incurable disease rate)
例題
1 万人に 1 人の割合で罹患する難病がある。この難病の検査精度は 99%であり、
1%の誤診がある。もし、あなたが検査で陽性となった場合の罹患確率はどの位
か。
答えは、1%である。
例えば、100 万人の都市を考える。この都市には、100 人病気にかかっている人
がいる。つまり陽性の人が 100 人、陰性の人が 99 万 9,900 人いる。
検査の精度は 99%であるから、陽性の人 100 人のうち、99 人は陽性と判断され、
1 人は陰性と誤診されてしまう。
また、陰性の人 99 万 9,900 人のうち、1%に相当する 9,999 人は陽性と診断さ
れ、残りの 98 万 9,901 人は陰性と判断される。
したがって、その集団の中で陽性と診断される人は 99 + 9,999 = 10,098 人で、
そのうち本当に陽性である確率は、99 ÷ 10098 = 0.0097…、約 1%である。
比率を考える際、母集団を同じにして議論しなくてはならない。
これは、文章の読解力を問う問題である。99%という数字の響きに惑わされて
はならない。また、比率を考える際、母集団を誤ってはならない。
95
(6) 決して負けないゲーム (The game in which it never loses)
2 進数は、ゲームの勝利に貢献することを次のゲームで示そう。
例題 6
テーブル上にマッチ棒を積み重ねて複数のブロックをつくる。ゲームの参加
は、A と B とする。B に好きな 1 つのブロックからマッチ棒を何本でも好きな
だけとらせる。つぎに A が別のブロックからマッチ棒をとる。交代にマッチ棒
をとり続け、最後のマッチ棒をつまんだ者が負けとするゲームとするが、A が
負けないアルゴリズムがある。
ケース 1
ブロック 1
ブロック 2
ブロック 3
ブロック 4
//
//
ケース 2
///
///
ケース 3
///
//
/
ケース 4
//
//
/
/
ケース 1、B が第 1 のブロックでマッチを 1 本とれば、A は第 2 のブロックのマ
ッチを全部とるので、最後の 1 本は B に残る。B が第 1 のブロックのマッチを
全部とれば、A は第 2 のブロックからマッチを 1 本取るから、やはり最後の 1
本は B がつかむことになる。ケース 2、ケース 3、ケース 4 とシミュレーション
をすると、見通しが見えてくる。この 4 つのケースでは、すべて A が勝てる。
ここでマッチの本数を 2 進数に表現する。
ブロック 1
ブロック 2
ブロック 3
ブロック 4
合計
ケース 1
ケース 2
ケース 3
ケース 4
10
10
11
11
11
10
1
20
22
22
10
10
1
1
22
各行の合計を行の下におく。2 進数を合計するのには 10 進数とみなす。合計す
るとすべてが奇数にならない。これがゲームの秘密である。
4 個のブロックがあり、左からブロック 1、ブロック 2、ブロック 3、ブロック
4 とし、マッチ本数が、それぞれ、6 本、5 本、5 本、3 本とする。110 + 101 + 101
96
+ 011 = 323 -> 2 のべき乗の係数に対応させると、3 x 2^2 + 2 x 2^1 + 3 x 2^0
2^0 と 2^2 の係数は奇数だから、
A は、第 1 のブロックから 3 本のマッチをとると、残りの配列は、011 + 101 + 101
+ 011 = 224 -> ２のべき乗の係数はすべてが偶数となる。
B が第 2 のブロックからマッチ 4 本とれば、011 + 001 + 101 + 011 = 124
つぎに A がブロック 3 からマッチ 4 本とると、011 + 001 +001 +011 = 24
今度は、B がブロック 1 からすべてのマッチをとれば、残りは、000 + 001 + 001
+ 011 = 13
さて、A がブロック 4 のマッチ２本とると、A は勝利することになる。
B1
//////
6
110
B2
/////
5
101
B3
/////
5
101
B4
///
3
011
A が B1 から 3 本とる
////
3
011
B が B2 から 4 本とる
/////
5
101
/////
5
101
///
3
011
224
/
1
001
/////
5
101
///
3
011
124
///
/
3
1
011
001
B が B1 からすべてをとる
/
1
001
///
3
011
024
/
1
001
///
3
011
13
///
3
011
A が B3 から 4 本とる
/
000
001
判定
323
判定欄をながめながらゲームをすすめると、殆どの場合 A が勝者となる。
97
(7) 回転数を測る (Measuring cycles)
スマートフォーンで回転するプロペラを撮影すると、飛び立つような映像が得
られる。回転と整数倍を考える。
例題 7
回転するプロペラをデジタルカメラで撮影したら、5 本のブレードが写った。ラ
インスキャン速度を 2.7ms として、このプロペラの回転数を求めよ。
答え、2200 r/m
スキャン速度からストロボスコープの回転数 R s は、1 / 0.0027 = 366.7 r/s =
22002.2 r/m
観測される回転体の回転数 R p は、ストロボスコープの回転数 R s を観測され
たマークの本数 n で割ることで得られる。
5 本のブレードが見えたので、対象の回転数は、22002.2 / 5 = 4400 r/m
2 枚ブレードのプロペラとすると、実際の回転数は 4400 / 2 = 2200 r/m
この原理は、普及型デジタルカメラが、1 ラインのスキャン毎に CCD に光量を
集積して 1 枚の画像を作ることによる。このラインスキャンをストロボスコー
プの発光(撮影)として利用して回転数が計測できる。
回転体の同心円上に、複数枚のマークをつける。プロペラの場合には、マーク
となるブレードの位置は、180°120°90°位相がすれる。180°位相をすらし
た 2 枚ブレードを 2 面体(dihedral)、120°ずらした 3 枚ブレードを 3 面体
(trihedral)といい、見かけ上の回転数はそれぞれ 2 倍、3 倍になる。
98
通常は、1 箇所にマークした回転体の回転数を 3000 r/m 一定にし、ストロボス
コープの回転数を変化させて計測する。
スコープ回転数
マーク本数
15000
5
12000
4
9000
3
6000
2
3000
1
1000
1
さらにスコープ回転数を下げていき、3000 / n ただし、n = 2, 3, 4,・・・整数
分の１の場合、マークはすべて 1 本に見える。したがって、回転体の回転数の
計測は、かならず高回転から低回転にして行われる。
また、動画で撮影し、1 本の線が回転方向に運動を示す場合は、回転数に対して
スコープ回転数が少ない。同様に 1 本の線が反回転方向に運動を示す場合は、
回転数に対してスコープ回転数が多い。
スコープ回転数を 15000r/m 一定にして、観測する回転体の回転数を変化させた
場合
回転体の回転数
マーク本数
4500
3
4000
3
99
3500
4
3000
5
2500
6
(8) アルゴリズムの演算 (Algorithm operation)
P 重グラフのマトリックス表示を以下に示す。状態遷移表をマトリックスで表し、
簡単なアルゴリズムの自動演算を可能にする。
例題 8
下の状態遷移図を有効グラフとし、状態遷移表を描け。
答えを下記に示す。
１重グラフの場合、ブール行列という。
ブール代数により、積と和が演算できる。
100
アルゴリズムを表す有効グラフをマトリックス表示できると、自動演算ができ
る例を下に示す。
101
102
References:
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Inc. 2011
T. S. Michael, How to guard an art gallery and Other Discrete Mathematical
Adventures, The Johns Hopkins University Press, 2009
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Puzzle, SP268 MIT, March 17, 2009
G. R. Grimmet and D. R. Strizaker, One Thoud Exercise in Probability, Oxford
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John Allen Paulos, A Mathematician Reads the Newspaper, Making Sense of the
Numbers in the Headlines (Penguin science) 1997
Pick G., Geometricshe zur Zahlenlehre., Sitzungsberichte Lotos (Prag)
Naturewissenschaflichen-Medizinschen Verreines fur Bohen 19 1989
Hermann Hesse, The Glass Bead Game (Magister Ludi), An Owl Book Henry Holt
Company, 1990
プロペラに棲む魔物 1-3, 草房誠二郎, iMetrics Academy Press, iMetrics Inc. 2010-2012
人生を変える数学そして音楽、中島さち子, 講談社 2012
Eugene P. Northrop, Riddles in mathematics, a book of paradoxes, 1944, 不思議な数学
松井訳みすず書房 1968
Emile Borel, Les NombersPremiers, Press Universitarires de France1951
素数芹沢正三、白水社 1958
103
あとがき
科学を話題にしたエッセイを書き綴ることに終わりはありません。シリーズの
前巻（プロペラに棲む魔物３）では、回転（渦度）と循環そして対称性をテー
マに書き綴りました。自然界、特に航空宇宙分野には回転と対称の話題が豊富
にありましたし、まだまだ書き足らないテーマです。そんななかに、ビリアー
ドやルービックキューブの定理、さらにオセロ型計算機によるデータのシフト
や配列の回転などのアイデアを掲載したところ、読者の方からの反響がありま
した。ビリアードやオセロといってもゲームのルールや遊び方のことではあり
ません。数学的なアイデアの話です。少年の頃、長い病床にいたとき、天井板
のグリッド模様を眼で追うように数えていてビリアードの定理を思いつきまし
た。ビリアードが互に素な整数の理解に役立つだけでなく、アルゴリズム記述
にも利用しています。本巻の最大のテーマは、等差配列です。素数の理解にも
役立っています。配列表に回転や対称性という概念も加えてみました。等差配
列とその回転の概念は、ソフトウェア分野での有効性が窺がえます。数学には
いろいろな分野があります。なかでも離散数学には、ゲ－ムの理論、グラフの
理論、順列組み合わせ、確率、グループの理論、計算や言語の理論そして暗号
理論など多様です。また、離散数学のすべてがソフトウェアサイエンスに密接
に関連していて有用なことを意味しています。
この巻の目的は、身近な離散数学の面白さと有用性を一般読者の方に伝えるこ
とです。そのため、数学パズル集とその解説という形式に編集しました。離散
数学パズルの発想は、どこにでもあります。創作パズルに加え、斬新なアイデ
アや視点を変える解法などを集めました。賢明な読者の方々の共感を引き続き
得られることを期待します。
2012 秋
-
104
草房誠二郎
著者紹介
Montreal
草房誠二郎
数学者でプロフェッショナルパイロット
日本ソフトウェア科学会正会員
日本航空機操縦士協会正会員(事業用操縦士)
キッズ航空宇宙教室主宰
科学博物舘でボランティア解説員
元物理学講師、コンピュータ技術者、国際ビジネスコンサルタントなど経験し
リタイア後は、航空と科学教育に係わるボランティア活動に専念
著書紹介
Opinion & Objection (Mathematician critiques news stories)
How to write technical materials clearly
英文技術マニュアルレビューハンドブック
The Aviation Seminar for owners and weekend pilots
プロペラに棲む魔物全 3 巻（サイエンスエッセイシリーズ）
105
プロペラに棲む魔物シリーズ
ビリアードの定理 - 離散数学パズル -
2012 年 11 月 1 日第 1 版 1 刷発行
発行人
草房誠二郎
発行所
iMetrics Academy Press
〒300-2642 つくば市高野 1197-67
電話 029-895-8819 振替 00120-5-789654
http://imetrics/co.jp/academy
Printed in Japan
ISBN978-4-99053238-3
106
C1041 PE01000
iMetrics Academy Press
ISBN978-4-99053238-3 C1041 PE01000
107

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