検索エンジンとページランク（11月22日）

計算機科学的意思決定論
第７回
システム情報科学研究院・情報学部門
瀧本英二
http://www.i.kyushu-u.ac.jp/~eiji
ウェブページの重要性
検索エンジンの形式化
入力：キーワード
出力：ウェブページへのリンクの系列．
ただし，各リンク先は入力キーワードを
含む．重要なページほど上位に表示する．
このままでは，解の品質に関する基準が
与えられていないので，問題の形式化としては不十分
ウェブページの重要性を表す指標が必要
ウェブページの重要性
Google の場合： PageRank
（200以上ある指標の１つ）
PageRank の考え方
• ウェブ全体のリンク構造だけで決める
• 重要なページからたくさんリンクを張られて
いるページは重要
P2
P3
P1
P5
P4
どのページが
最も重要？
PageRank の定義 (ver 0.1)
r(P) =
Q2L(→P) r(Q) / |L(Q→)|
r(P) = ページ P のランク
L(Q→) = ページ Q から出ているリンク先の集合
L(→P) = ページ P にリンクを出しているページの集合
計算例（P2 のランク）：
L(→P2) = {P1, P5}
L(P1→) = {P2, P3, P5}
L(P5→) = {P1, P2}
r(P2) = r(P1)/3 + r(P5)/2
P2
P1
P3
P5
P4
PageRank の定義 (ver 0.1)
r(P) =
Q2L(→P) r(Q) / |L(Q→)|
r(P) = ページ P のランク
L(Q→) = ページ Q から出ているリンク先の集合
L(→P) = ページ P にリンクを出しているページの集合
計算例（P2 のランク）：
L(→P2) = {P1, P5}
L(P1→) = {P2, P3, P5}
L(P5→) = {P1, P2}
r(P2) = r(P1)/3 + r(P5)/2
P2
P1
P3
P5
P4
PageRank の行列表現
r(P1)
r(P2)
0
0
0
0 1/2
1/3 0
0
0 1/2
r(P3) = 1/3 1/2 0 1/2 0
r(P4)
r(P5)
0 1/2 0
1/3 0
0
0
1 1/2 0
r(P1)
P2
r(P2)
r(P3)
r(P4)
r(P5)
P1
P3
P5
P4
状態遷移確率行列
(i, j)成分 = ランダムにリンク先をたどったとき，
Pj から Pi に遷移する確率
PageRank の行列表現
r(P1)
r(P2)
0
0
0
0 1/2
1/3 0
0
0 1/2
r(P3) = 1/3 1/2 0 1/2 0
r(P4)
r(P5)
0 1/2 0
1/3 0
0
0
1 1/2 0
r(P1)
P2
r(P2)
r(P3)
r(P4)
r(P5)
P1
P3
P5
P4
状態遷移確率行列の固有値 1 に対する固有ベクトル
= 行列が既約で非周期的なら，定常確率分布
（マルコフ過程の理論）
ランダムサーフモデルによる解釈
r(P) = 「ランダムにリンクをたどる遷移を十分な
回数行った後，ページ Pにいる確率」
（既約で非周期的の場合）
P2
P3
P1
P5
P4
ランダムサーフモデルによる解釈
r(P) = 「ランダムにリンクをたどる遷移を十分な
回数行った後，ページ Pにいる確率」
（既約で非周期的の場合）
P2
P3
P1
P5
P4
ランダムサーフモデルによる解釈
r(P) = 「ランダムにリンクをたどる遷移を十分な
回数行った後，ページ Pにいる確率」
（既約で非周期的の場合）
P2
P3
P1
P5
P4
これを無限に繰り返す
例：
r(P1)
r(P2)
0
0
0
0 1/2
1/3 0
0
0 1/2
r(P3) = 1/3 1/2 0 1/2 0
r(P4)
r(P5)
0 1/2 0
1/3 0
0
0
1 1/2 0
r(P1)
r(P2)
r(P3)
r(P4)
r(P5)
の解は，(3/19, 4/19, 4/19, 2/19, 6/19)T
4/19
P2
3/19
4/19
P1
P3
P5
6/19
P4
2/19
練習
P1
P2
P3
このネットワークの PageRank
(r(P1), r(P2), r(P3))T
を求めよ
練習
P1
このネットワークの PageRank
(r(P1), r(P2), r(P3))T
を求めよ
P2
P3
r(P1)
r(P2) =
r(P3)
0 1/2 1
1
0
r(P1)
0 r(P2)
0 1/2 0 r(P3)
を解けばよい
ただし，r(P1) + r(P2) + r(P3) = 1
答え： (2/5, 2/5, 1/5)T
既約でない場合？
定義：状態遷移行列（マルコフ過程）が既約
任意のページ P から任意のページ Q に到達可能
既約でない例：
P2
P1
P7
P3
P4
P5
P6
ランダムウォークの初期ページが
P2
P5
定常分布は
(0, 2/5, 2/5, 1/5, 0, 0, 0)T
定常分布は
(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/4, 1/4)T
PageRank が一意に定まらない！
既約でない場合？
既約でない例２：
P1
P2
定常分布が定義できない！
P3
既約でない例３：
P1
P2
P3
定常分布は (0, 1, 0)T
リンク先がないページのランクが
最大となってしまう！
周期的な場合？
周期的な例：
P1
P2
P3
定常分布に収束しない！
現実のインターネットは既約でなく，
周期的（な部分ネットワークを含む）に違いない
どう解決する？
PageRank の改良
PageRankの定義（ver 0.9)
r(P) = 「確率  でランダムにリンクをたどり，
確率 1- でランダムに任意のページに移る
という遷移を十分な回数行った後，
ページ P にいる確率」
P2

P2
P1
P3
P5
P4
+ (1-)
P1
P3
P5
P4
PageRank (ver 0.9) の解釈
P2

P2
P1
P3
P5
P4
+ (1-)
P1
P3
P5
P4
確率 ® でリンクをたどり，確率 (1 - ®) で
任意のサイトに（直接 URL を打ち込むこと
によって）移動することを十分な回数行った後，
ページ P にいる確率
行列表現
PageRankの定義（ver 0.9）
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
A
オリジナル
=  の遷移確率 + (1-)
行列
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
(r(P1), r(P2), ... )T = 行列Aの固有値 1 に対する
固有ベクトル
行列Aは，必ず既約・非周期的となる！
さまざまな問題点
スポンサーリンクや他人のblog のコメント
欄に書いたバックリンクによって，人為的に
PageRank が上がってしまう
どう解決する？
現在の解決法：nofollow オプションの導入
例： <a href="http://www.example.com/"
rel="nofollow">discount drugs</a>
とすると，www.example.com へのリンクは
ないものとされる
さまざまな問題点
有料リンク問題
リンクを高い値段で販売する業者の出現
無料アクセスカウンタ提供による大量リンク
獲得
アクセスカウンタに，隠しリンクを記述
どう解決する？
さまざまな指標によるランクの統合
PageRank 以外に，200以上の指標が
使われているらしい
これらの指標は，それぞれページにランクを
つける
どう統合する？
ランクの統合
サイト１サイト２サイト３サイト４
指標Ａ
１
３
２
４
指標Ｂ
２
１
４
３
指標Ｃ
２
４
１
３
すべての指標が同じいくらい重要とするとき，
どのように統合するのが良いか？
cf. 選挙・・・有権者が各候補者に順位をつける場合
レポート課題（締め切り 11/28）
PageRank の改良の余地はないだろうか？
ページの重要性を表す指標について，適当と
思うものをいくつか考案せよ．
電子メールで，eiji@inf.kyushu-u.ac.jp まで！

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