2015 年度（平成 27 年度） 入 試 問 題 保健医療学部 診療放射線技術学科 （推薦入試・一般入試（前期）） 大阪物療大学 Butsuryo College of Osaka 集 目次 問題 頁 ○推薦入試 ◇基礎学力検査（数学 I）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 ○一般入試（前期） ◇筆記試験（数学 I・II）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 5 2015 年度 推薦入試 基礎学力検査（数学 I）（70 分） 【問 1】次の計算をしなさい。なお ，解答は解答用紙の問題に対応した解答欄 にマ ー ク し なさい。 1. 19992 − 1999 × 2001 − 2 = 2001 − 1 2. (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4)(𝑥 + 5) = 𝑥4 + 1 3. 1− 1 √2 ウエ 𝑥3 + の整数部分は 小数部分は√ シ オカ サ ス − アイ 𝑥2 + キク 𝑥+ ケコ ， である。 4. |5√3 − 4√5| + |3√5 − 4√3| = 5. tan 30° + cos 130° + sin 140° + tan 150° = 6. 1 − sin(90° − 𝜃) = 1 + cos(180° − 𝜃) セ √ テ －1－ ソ ツ − タ √ チ 【問 2】次の空欄を埋めなさい。なお ，解答は解答用紙の問題に対応した解答 欄に マ ー ク しなさい。 1. (𝑥 2 + 6)2 − 12(𝑥 2 + 6)𝑥 + 35𝑥 2 を因数分解すると， ア (𝑥 − ただし， 2. イ ) (𝑥 − ア ＜ イ 𝑥= 1 ，𝑦 = 3 − √5 𝑥−𝑦 = 4. カ 1 3 + √5 √5 キ ウ sin 𝜃 の値は エ ＜ エ ) である。 とする。 である。 のとき， ク √5 ，𝑥 3 +𝑦 3 = ケ である。 コ cos 𝜃 − sin 𝜃 = 3 − 2√2 のとき， cos 𝜃 + sin 𝜃 √ サ シ √ tan 𝜃 の値は オ 𝑥 𝑦 ， − = 𝑦 𝑥 0° < 𝜃 < 90° とする。 √ 5. ＜ ) (𝑥 − 𝑥 + 𝑦 = 10，𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2 = 20 のとき， 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦 + 3𝑦 2 の値は 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 3. ウ ) (𝑥 − ， cos 𝜃 の値は ス ， セ ソ である。 タ 2 種類の食塩水 A，B がある。A 50 g と B 100 g を混ぜると 12% の 食塩水ができ，A 200 g と B 160 g を混ぜると 14% の食塩水ができる。 この食塩水 A の濃度は チツ %である。 －2－ 【問 3】次の空欄を埋めなさい。なお ，解答は解答用紙の問題に対応した解答 欄に マ ー ク しなさい。 1. 同一平面上に点 A，B，C，P がある。AP と BP と CP の長さが等しく， AB = 3，∠CAB = 55°，∠ABC = 80° のとき，CP の長さは ア √ イ となる。 ウ 2. 0° ≦ 𝜃 ≦ 90° とする。0 ≦ tan2𝜃 ≦ √3 を満たす 𝜃 の最大値は， エオ 3. °である。 A さんと B さん合わせて 100 個のボールを持っている。A さんのボールの ちょうど 3 分の 1 を B さんに渡しても，A さんの方が多かった。 さらに，A さんが B さんにボールを 3 個渡すと，B さんの方が多くなった。 はじめに A さんが持っていたボールは 4. カキ 個である。 2km 離れた標高が同じ 2 地点 P，Q において，ある山の山頂 T を 見上げたところ，P からは真北の方向から東へ 30°の方向に仰角 45°， Q からは真東の方向から北へ 30°の方向に仰角 60°に山頂 T が見えた。 P，Q からのこの山の高さを BT とすると，∠PBQ は クケ また，この山の高さ BT は，小数第 2 位を四捨五入すると， およそ 5. コ . サ km となる。 3 辺の長さが 𝑥 − 3，𝑥， 𝑥 + 3 となる鈍角三角形がある。 𝑥 の値の範囲は， シ <𝑥< スセ －3－ となる。 °となる。 【問 4】次の空欄を埋めなさい。なお ，解答は解答用紙の問題に対応した解答 欄に マ ー ク しなさい。 2 次関数 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 のグラフが下図で与えられる。以下の問いに答えよ。 (1) このグラフの頂点の座標は，𝑥 = (2) この 2 次関数のそれぞれの係数は， 𝑎= (3) ，𝑏 = カキ ，𝑐 = ，𝑦 = クケ ウ である。 である。 このグラフを，原点に対して対称移動したグラフの 2 次関数は， 𝑦= (4) エオ アイ コ 𝑥2 + サシ 𝑥+ ス となる。 この 2 次関数を 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 とおく。𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 7 とし， どんな 𝑥 に対しても 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) が成り立つような定数 𝑝 の範囲は， セソタ (5) チ < 𝑝< である。 (4)の 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) について，どんな 𝑥1 ，𝑥2 に対しても 𝑓(𝑥1 ) < 𝑔(𝑥2 ) が成り立つような定数 𝑝 の範囲は， ツテ (6) < 𝑝< ト である。 2 次関数 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑞𝑥 + 𝑞 2 + 𝑞 + 3 の頂点と， 図で与えられた 2 次関数 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 の頂点との距離が 最小になるのは， 𝑞 = ナ のときである。 －4－ 2015 年度 一般入試（前期） 数学 I・II （90 分） 【問 題 1】次の計算をしなさい。なお ，解答は解答用紙の問題に対応した解答 欄に マ ー ク しなさい。 ア 1. 𝑎2 (𝑎 − 2𝑏) ( + 𝑎𝑏 + 2𝑏 2 ) = 2 2. 4𝑥2 (2𝑥 + 9𝑦) + 9𝑦2 (6𝑥 + 3𝑦) = ( 3. 3 + 𝑖 1 − 3𝑖 − = 1 − 𝑖 1 + 2𝑖 4. |3√5 − 4√3| + |9√3 − 7√5| = 5. log 3 30 − log 3 5 + log 3 54 − log 3 4 = 6. 2−4 × √8 × (√2) ÷ √32 = 7. (sin 20° + cos 160°)2 + (cos 20° + sin 160°)2 = 8. 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 + 12 を因数分解すると， 7 9 (𝑥 + ク ツ ただし， ) (𝑥 + ツ < イ ケ + 𝑎3 − ウ ( オ キ カ 𝑥+ 𝑏3 ) エ 𝑦) 𝑖 コ √ サ √ シ − ス セ ソ 6 タ チ テ ) (𝑥 − ト ) (𝑥 − テ ， < ナ ト －5－ ナ ) である。 とする。 【問 題 2】次の空欄を埋めなさい。なお ， 解答は解答用紙の問題に対応した解 答欄 に マ ー クしなさい。 1. 数列 𝑎𝑛 = 3𝑛𝑛−2 − 𝑎𝑛−1 (𝑛 ≧ 2)の第5項は アイウ である。 ただし𝑎1 = 1 とする。 2. 𝑥= −1 + √3𝑖 −1 − √3𝑖 ，𝑦 = のとき， 2 2 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 3. エオ cos𝜃 + sin𝜃 = √2 + 1 のとき，tan𝜃 = √ cos𝜃 − sin𝜃 +√ ケ 2 − ク ， コ 池 の メダカの数を推定するのに， 31 匹をすくい取って，その全部に印を つけて池に戻した。5 分後，再びメダカをすくい取ると 45 匹いて， そのうち印のついたものが 4 匹いた。池のメダカはおおよそ × 102 匹 い る と 推 定 で き る 。 た だ し ， メ ダ カ の 分 布 は 3 点 ， A（1, 1）， B（3, 4），C（𝑥 , 𝑦 ）を頂点とする三角形 ABC がある 。 この三角形の重心 G の座標が（2,2）のとき， 𝑥= セ ，𝑦 = ソ である。 また，この三角形の面積は， 6. キ である。 サ シ . ス 均等とする。 5. カ である。 2cos 𝜃 = 4. ，𝑥 3 − 𝑦 3 = タ チ である。 5%の食塩水 200g と 18%の食塩水 50g を混合すると， ツ . テ %の食塩水ができる。 －6－ 【 問 題 3】最 近 ，日 本 人 による iPS 細 胞 のノーベル賞 受 賞 によって「細 胞 」の概 念 が広 く一 般 人 にも知 られるようになってきた。人 体 を構 成 する 細 胞 は体 外 に取 り出 して培 養 すると，細 胞 増 殖 が可 能 となるが，これを 数 学 的 な観 点 から捉 えることができる。次 の ア ～ セ に当 てはま る数 字 をマークシートから一 つずつ選 んで該 当 マークを塗 りつぶしなさい。 (1) 細 胞 が増 殖 して 2 倍 の数 に増 えるのに要 する時 間 は「倍 加 時 間 」 と呼 ばれる。培 養 中 のある時 間 に，8 万 細 胞 あった細 胞 が， 24 時 間 後 に 32 万 細 胞 ，48 時 間 後 に 128 万 細 胞 に増 殖 した と仮 定 すると，この細 胞 の倍 加 時 間 は (2) アイ 時 間 と計 算 される。 倍 加 時 間 24 時 間 の細 胞 に細 胞 増 加 分 を本 来 の倍 加 時 間 あたり 5 0 % に 抑 制 する 薬 剤 を 培 養 当 初 に 投 与 す る と， 細 胞 数 が 96 時 間 後 に ウエ %に抑 えられることになる。小 数 点 第 1 位 を 四 捨 五 入 せよ。 (3) 倍 加 時 間 が 48 時 間 の正 常 細 胞 が癌 化 （がんか）して，がん細 胞 の倍 加 時 間 が 16 時 間 に短 縮 したと仮 定 すると，96 時 間 後 に， 正 常 細 胞 が到 達 する細 胞 数 よりも，がん細 胞 は オカ 倍 多 い ことになる。 (4) 直 径 1mm の球 状 のがん組 織 が直 径 2mm に成 長 するのに， 1 年 間 要 したと仮 定 する。直 径 2mm の後 に直 径 10mm に増 大 するには，さらに“ キ . ク 年 間 ”（小 数 点 第 2 位 を四 捨 五 入 する）を要 すると計 算 される。ただし，「細 胞 数 」と「細 胞 の占 める 容 積 」は比 例 すると見 なし，がん細 胞 の倍 加 時 間 は一 定 と仮 定 す る 。 log10 2 = 0.3010 と す る 。 －7－ (5) ある細 胞 の増 殖 には，G1（時 間 不 定 ）→S（7 時 間 ）→G2（4 時 間 ） →M（1 時 間 ）→G1（時 間 不 定 ）→S（7 時 間 ）→G2（4 時 間 ） →M（1 時 間 ）→……という細 胞 状 態 4 種 類 のサイクルをこの順 序 と 所 要 時 間 で進 行 し繰 り返 す。すべての細 胞 が 1 サイクルを経 ると， 細 胞 数 は 2 倍 に増 える。G1 の所 要 時 間 だけが変 動 しやすく，薬 剤 なしの自 然 状 態 で 8 時 間 だった G1（1 サイクルは 20 時 間 となる） が薬 剤 投 与 で ケコ 時 間 に長 引 くと，倍 加 時 間 は当 初 の 2 倍 に延 長 される。 (6) 前 記 (5) で １ サ イ ク ル 2 0 時 間 と し て ， 自 然 状 態 の 細 胞 で は ， 4 種 類 の細 胞 状 態 の中 で， 7 時 間 の S という細 胞 状 態 でだけ遺 伝 子 が合 成 され，S の時 間 中 ，常 に一 定 速 度 で遺 伝 子 合 成 されると仮 定 する。遺 伝 子 合 成 している細 胞 の数 はすべての細 胞 の数 の中 で (7) サシ %を占 めることになる。 前 記 (5) の 自 然 状 態 の 細 胞 に 対 し て ， G 1 か ら S へ 進 む 移 行 だ け を 選 択 的 に阻 止 する薬 剤 を投 与 すると，8 時 間 を要 する G1 では， その“出 口 ”にある細 胞 は，S の“入 口 ”に入 れず，G1 の出 口 で停 止 する。他 の細 胞 状 態 はそのまま順 調 に進 行 する。この場 合 ，この 薬 剤 を 2 時 間 ，投 与 すると，全 細 胞 数 の 40%を占 めていた G1 状 態 の細 胞 が G1 の出 口 にて停 滞 するため 50%に増 加 する。この 薬 剤 を 5 時 間 投 与 すると，G1 状 態 の細 胞 は， することになる。 －8－ スセ %に増 加 【問題 4】記数法について以下の問いに答えよ。小数の場合は，小数点以下第 5 桁 目 を 四 捨 五 入 す る こ と 。な お ，解 答 は 解 答 用 紙 の 問 題 に 対 応 し た 解 答 欄 に マークしなさい。 (1) 「 記 数 法 」 と は ， 適 当 な 文 字 や 記 号 と 一 定 の 規 則 を 用 い て 数 を 表 現 する 方 法 で あ る 。 普 段 使 っ て い る 十 倍 ご と に 位 を と る 表 記 法 を 「 十 進 法 」， その数を「十進数」といい，0 から 9 までの 10 個の数字を使って表現し， 1，2，3，4，5，6，7，8，9 と順に増え，9 の次は位が増えて 10 になる。 このように十進法では，1，10，100，1000，10000…と位が繰り上がって いく。1 は 10 の 0 乗（100），10 は 10 の 1 乗（101），100 は 10 の 2 乗（102）， 1000 は 10 の 3 乗（10 3 ）…と表記することができる。例えば十進数で 1234(10)という数は， 1234(10) = 1 × 103 + 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1 と表記できる。十進法の他に，十六進法，八進法および二進法などの 記数法がある。ある進数で示された数値を，別の進数における数値へと 変換することを基数変換と言う。 今 N 進数 1101 (N)を十進数に基数変換すると， 1101(N) = 1 × N3 + 1 × N2 + 0 × N1 + 1 × N0 となる。七進数 1234(7)を十進数に基数変換すると 二進数 10111011(2)を十進数に基数変換すると －9－ アイウ エオカ ， となる。 (2) 十 進 数 M ( 1 0 ) を N 進 数 に 基 数変 換 する場 合 ， M を N で 割っ た 時 の 商 を M 1 余りを A1，M 1 を N で割った時の商を M 2 余りを A2，M2 を N で割った 時の商を M3(< N)余りを A3 とすると， M(10) = M3 × N3 + A3 × N2 + A2 × N1 + A1 × N0 と表記できる。十進数 123(10)を七進数に基数変換すると 十進数で 13 (10)は二進数に直すと (3) コサシス キクケ ， となる。 十進法での小数の表現を考える。例えば，0.4321(10)は 0.4321(10) = 4 × 10−1 + 3 × 10−2 + 2 × 10−3 + 1 × 10−4 1 1 1 1 = 4× +3× +2× +1× 10 100 1000 10000 となり，整数の場合と同じである。N 進数で 0.1101(N)を同様に表記すると 0.1101(N) = 1 × N−1 + 1 × N−2 + 0 × N −3 + 1 × N−4 となる。 七進数で 0.321(7)を十進数に直すと 0． 二進数で 0.10101 (2)を十進数に直すと 0． (4) セソタチ ツテトナ ， となる。 𝑥 = 1213 であるとき，十進法での表記を考える。𝑥 の桁数は ニヌ 桁で 1 ある。また， は小数第 ネノ 位にはじめて 0 でない数字が現れる。 𝑥 ただし，log 𝑒 2 = 0.6931 ，log 𝑒 3 = 1.0986 ，log 𝑒 10 = 2.3025 とする。 －10－ 【問 題 5】次の空欄を埋めなさい。なお ， 解答は解答用紙の問題に対応した解 答欄 に マ ー クしなさい。 𝑥 を km（ キロメートル）で表したスタート地点から の走行距離，𝑦 を m（メー トル）で表した標高として，10km のあるマラソンコースの勾配を調べたところ， 𝑦= 1 3 14 2 49 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 5 5 5 という関係式で表すことができた。以下の問いに答えよ。 ゴール地点の標高は， (2) 最も急な下り勾配となるのは，スタート地点からの走行距離が， ウエ km の地点である。 オ (3) この曲線上のスタート地点とゴール地点を結ぶ直線は， 𝑦= (4) アイ m となる。 (1) カ キ 𝑥 と表すことができる。 この曲線と，この曲線上のスタート地点とゴール地点を結ぶ直線とで 囲まれた 2 つの図形のうち，面積が小さな方の図形の面積は， クケコ サシ (5) となる。 この曲線と，直線 𝑦 = 5𝑥 との交点のうち，スタート地点からの走行距離 が最も遠い地点における 𝑥 の値と 𝑦 の値の和 𝑥 + 𝑦 は， －11－ スセ となる。 大阪物療大学 入試課 〒593-8328 大阪府堺市西区鳳北町 3-33 TEL：072-260-0096 E-mail：nyushi@butsuryo.ac.jp
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