同値関係 - 電気通信大学

今日の概要
この講義の目標
離散数学第 10 回
関係 (2)：同値関係
I
語学としての数学，コミュニケーションとしての数学
今日の目標
岡本吉央
okamotoy@uec.ac.jp
I
同値関係と分割の関係を理解する
I
I
電気通信大学
I
分割とは？
分割から同値関係へ
同値関係から分割へ
• 同値分割と商集合
2014 年 7 月 15 日
最終更新：2014 年 7 月 14 日
岡本吉央 (電通大)
10:19
離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
岡本吉央 (電通大)
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離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
同値関係
同値関係を表す記号
集合 A と A 上の関係 R
同値関係を表すために，R ではなくて，特別な記号を使うことが多い
同値関係とは？
I
R は反射性を持つ
I
R は対称性を持つ
I
R は推移性を持つ
I
反射性：任意の x ∈ A に対して，x R x
I
対称性：任意の x, y ∈ A に対して，x R y ならば y R x
I
推移性：任意の x, y , z ∈ A に対して，x R y かつ y R z ならば x R z
岡本吉央 (電通大)
その否定を表す記号の例
I 6=
同値関係を表す記号の例
I =
R が同値関係であるとは，次を満たすこと
離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
I
≡
I
6≡
I
∼
I
6∼
I
'
I
6'
I
≈
I
6≈
I
...
I
...
状況に応じて，使い分けられたりする
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同値関係をグラフで描くとき...
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離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
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2014 年 7 月 15 日
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同値関係が与える「かたまり」への分割
これが同値関係を表すグラフだとすると？
a
b
a
f
b
e
c
f
a
c
b
f
d
a
a
b
c
e
e
d
c
f
b
e
c
d
f
e
d
d
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離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
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離散数学 (10)
分割
今日の目標
目次
今から行うこと
次を証明する
I
「同値関係」から「『かたまり』への分割」が得られること
I
「『かたまり』への分割」から「同値関係」が得られること
つまり，
「同値関係」と「分割」は同じものを別の方法で表現している
a
b
c
a
f
b
e
c
d
岡本吉央 (電通大)
1
分割
2
分割から同値関係へ
3
同値関係から分割へ
4
今日のまとめ
f
e
d
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離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
10 / 31
分割
分割
集合の分割
分割とは？
：例 (続き)
分割とは？
次の 4 つはどれも {1, 2, 3, 4, 5, 6} の分割
集合 A の分割とは次を満たすような集合 P のこと
I
任意の X ∈ P に対して，X ⊆ A かつ X 6= ∅
I
任意の X , Y ∈ P に対して，X 6= Y ならば X ∩ Y = ∅
I
任意の x ∈ A に対して，ある X ∈ P が存在して，x ∈ X
{{1, 2}, {3, 4, 5, 6}}
(非空性)
2
6
2
(被覆性)
3
5
3
1
6
3
5
1
(素性)
例：A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} のとき，{{1, 2}, {3, 4, 5, 6}} は A の分割
2
{{1, 4, 5}, {2, 3, 6}}
1
6
5
4
4
{{1, 2, 3}, {4, 6}, {5}}
{{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}
1
4
1
2
6
2
3
5
3
6
5
4
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離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
4
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離散数学 (10)
分割
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分割
分割の例 1：日本の八地方区分
分割の例 2：カレンダー
1ヵ月の 31 日をいろいろな方法で分割している
日
月
火
水
木
金
土
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
I
1 日 1 日で分割 (31 個の集合へ分割)
I
週ごとに分割 (5 個の集合へ分割)
I
曜日ことに分割 (7 個の集合へ分割)
I
...
http://www.craftmap.box-i.net/
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離散数学 (10)
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離散数学 (10)
分割から同値関係へ
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分割から同値関係へ
目次
分割から同値関係へ
集合 A の分割 P を考える
1
分割から同値関係へ
分割
I
2
A 上の関係 R を，任意の x, y ∈ A に対して x R y であることを
ある X ∈ P が存在して，
x ∈ X かつ y ∈ X である
分割から同値関係へ
こととして定義する
3
同値関係から分割へ
4
今日のまとめ
I
このとき，R は A 上の同値関係である
1
1
2
6
2
3
5
3
4
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離散数学 (10)
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分割から同値関係へ
6
5
4
離散数学 (10)
2014 年 7 月 15 日
分割から同値関係へ
分割から同値関係へ：証明 (反射性)
分割から同値関係へ：証明 (対称性)
証明すべきこと (1)：反射性
証明すべきこと (2)：対称性
任意の x ∈ A に対して，x R x
任意の x, y ∈ A に対して，x R y ならば y R x
定義に立ち戻って書きなおす
定義に立ち戻って書きなおす
任意の x ∈ A に対して，ある X ∈ P が存在して，x ∈ X かつ x ∈ X
任意の x, y ∈ A に対して，
「ある X ∈ P が存在して，x ∈ X かつ y ∈ X 」ならば
「ある X ∈ P が存在して，y ∈ X かつ x ∈ X 」
証明：任意に x ∈ A を選ぶ．
I
P は A の分割なので，分割の被覆性から，ある X ∈ P が存在して，
x ∈ X．
I
したがって，ある X ∈ P が存在して x ∈ X かつ x ∈ X ．
I
R の定義から，ある X ∈ P が存在して，x ∈ X かつ y ∈ X ．
I
したがって，x R x ．
I
すなわち，ある X ∈ P が存在して，y ∈ X かつ x ∈ X ．
I
したがって，y R x ．
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離散数学 (10)
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2014 年 7 月 15 日
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証明：任意に x, y ∈ A を選び，x R y と仮定する．
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離散数学 (10)
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分割から同値関係へ
同値関係から分割へ
分割から同値関係へ：証明 (推移性)
目次
証明すべきこと (3)：推移性
任意の x, y , z ∈ A に対して，x R y かつ y R z ならば x R z
1
分割
2
分割から同値関係へ
3
同値関係から分割へ
4
今日のまとめ
証明：任意に x, y , z ∈ A を選び，x R y かつ y R z と仮定する．
I
R の定義から，ある X ∈ P が存在して，x ∈ X かつ y ∈ X ．
I
同様に，ある X 0 ∈ P が存在して，y ∈ X 0 かつ z ∈ X 0 ．
I
y ∈ X と y ∈ X 0 から，y ∈ X ∩ X 0 ．
I
特に，X ∩ X 0 6= ∅．
X 0．
I
分割の素性から，X =
I
したがって，x ∈ X かつ z ∈ X ．
I
したがって，x R z ．
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同値関係から分割へ
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2014 年 7 月 15 日
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同値関係から分割へ
同値類
商集合
集合 A 上の同値関係 R を考える
商集合とは？
同値類とは？
集合 A 上の同値関係 R に対して，
同値関係 R における要素 a ∈ A の同値類とは
A / R = {[a]R | a ∈ A}
{x | x ∈ A かつ x R a}
を R に関する A の商集合と呼ぶ．
という集合のことであり，これを [a]R とも書く
1
a
b
f
c
e
d
1
I
[a]R = {a, b, c, d}
2
6
2
I
[b]R = {a, b, c, d}
3
5
3
I
[c]R = {a, b, c, d}
I
[d]R = {a, b, c, d}
I
[e]R = {e, f }
I
[f ]R = {e, f }
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4
6
5
4
A / R = {{1, 2}, {3, 4, 5, 6}}
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同値関係から分割へ
離散数学 (10)
同値関係から分割へ
同値関係から分割へ
同値関係から分割へ：証明 (非空性)
集合 A 上の同値関係 R を考える
証明すべきこと (1)：非空性
同値関係から分割へ
任意の X ∈ A / R に対して，X ⊆ A かつ X 6= ∅
商集合 A / R は A の分割である
証明：任意に X ∈ A / R を選ぶ．
これゆえ，R に関する A の商集合のことを，R に関する A の同値分割と
も呼ぶ
1
1
I
商集合の定義から，ある a ∈ A が存在して，X = [a]R ．
I
同値類の定義から，[a]R ⊆ A．
I
したがって，X ⊆ A．
2
6
2
6
I
同値関係の反射性から，a R a．
3
5
3
5
I
同値類の定義から，a ∈ [a]R ．
I
したがって，[a]R 6= ∅．
I
したがって，X 6= ∅．
4
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4
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同値関係から分割へ
離散数学 (10)
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同値関係から分割へ
同値関係から分割へ：証明 (素性)
同値関係から分割へ：証明 (被覆性)
証明すべきこと (2)：素性
証明すべきこと (3)：被覆性
任意の X , Y ∈ A / R に対して，X 6= Y ならば X ∩ Y = ∅．
任意の x ∈ A に対して，ある X ∈ A / R が存在して，x ∈ X
証明：任意に X , Y ∈ A / R を選ぶ．
I 対偶を証明するために，X ∩ Y 6= ∅ を仮定する． . . . . . . . . . . . . . . . (1)
I 商集合の定義から，ある a ∈ A が存在して，X = [a]R ．
I 同様に，ある a0 ∈ A が存在して，Y = [a0 ]R ．
I 仮定 (1) より，ある a00 ∈ A が存在して，a00 ∈ X かつ a00 ∈ Y ．
I すなわち，a00 ∈ [a]R かつ a00 ∈ [a0 ]R ．
I 同値類の定義から，a00 R a かつ a00 R a0 ．
I a00 R a と同値関係の対称性から，a R a00 ．
I a R a00 ，a00 R a0 と同値関係の推移性から，a R a0 ．
I a R a0 から，[a]R = [a0 ]R ．
(演習問題)
I したがって，X = Y ．
I したがって，X 6= Y ならば X ∩ Y = ∅．
証明：任意に x ∈ A を選ぶ．
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離散数学 (10)
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I
X = [x]R とする．
I
反射性から，x R x ．
I
同値類の定義から，x ∈ [x]R ．
I
したがって，x ∈ X ．
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離散数学 (10)
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26 / 31
今日のまとめ
今日のまとめ
目次
今日のまとめ
この講義の目標
1
分割
2
分割から同値関係へ
I
語学としての数学，コミュニケーションとしての数学
今日の目標
I
同値関係と分割の関係を理解する
I
I
3
同値関係から分割へ
4
今日のまとめ
I
分割とは？
分割から同値関係へ
同値関係から分割へ
• 同値分割と商集合
格言
本質的に同一であるものが，異なる表現を持つことはよくある
同値関係
局所的 (local)
微視的 (micro)
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離散数学 (10)
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27 / 31
岡本吉央 (電通大)
分割
大域的 (global)
巨視的 (macro)
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