Thick subcategories of modules and characterizations of local

THICK SUBCATEGORIES OF MODULE CATEGORIES AND
CHARACTERIZATIONS OF LOCAL RINGS
HIROKI MATSUI
1. Introduction
本報告書は村田隼人氏との共同研究 [9] に基づくものである．
以下，常に (R, m, k) で唯一つの極大イデアル m を持ち，剰余体を k とする可換ネーター
局所環を意味するものとする．また，modR で有限生成 R 加群の成す圏を表す．
可換局所環は，可換環論において中心的な対象であり，代数幾何学においては多様体上
の関数の局所的な振る舞いを記述するものとして現れ，特異点の性質を特徴づけている．
例えば，可換局所環のクラスには以下のようなヒエラルキーがある．
正則 ⇒ 超曲面 ⇒ 完全交差 ⇒ Gorenstein ⇒ Cohen-Macaulay
ここで，正則性に着目すると，ネーター局所環 (R, m, k) について，以下のことが知ら
れている．
• (Serre) R : 正則局所環 ⇔ pdR k < ∞ ⇔ pdR M < ∞ (∀M ∈ modR).
• {M ∈ modR | pdR M < ∞} は modR の thick 部分圏．
従って，ネーター局所環 R が正則であるという性質は {M ∈ modR | pd M < ∞} という
modR の thick 部分圏に剰余体が入るという条件で特徴づけられる．さらにこの事実は上
に挙げた他のクラスの特異点にも一般化されていて，各特異点のクラスに対して対応する
次元が存在し，剰余体の次元の有限性でその特異点が特徴づけられる．従って，以下の問
を考えることは自然である．
問題 1.1. いつ modR の thick 部分圏に剰余体 k が入るか？
この報告書では，この問いに対する一つの解答を与え，それを用いることで [10] の結果
が復元できることを述べる．
2. Preliminaries
ここでは，この報告書で基本となるいくつかの概念を定義する．
定義 2.1. modR の充満部分圏 X が thick 部分圏であるとは，以下の条件を満たすときに
言う．
(1) X は加法部分圏，
(2) X は直和因子について閉じている，
(3) 短完全列 0 → X → Y → Z → 0 について，X, Y, Z の内 2 つが X に入れば，残り
の一つも X に入る．
加群圏の thick 部分圏の例としては，以下のようなものがある．
例 2.2.
(2) {M
(3) {M
(4) {M
(5) {M
(1) {M ∈ modR | pdR X < ∞}
∈ modR | idR X < ∞}
∈ modR | TorR
≫0 (X, M ) = 0}
∈ modR | Ext≫0
R (X, M ) = 0}
∈ modR | Ext≫0
R (M, X) = 0}
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(6) {M ∈ modR | sup{βnR (M )} < ∞}
ここで，βnR (M ) は M の n 番目の Betti 数を表す．
次に定義する generalized homological dimension は射影次元の持つ性質を取り出してき
たものである．
定義 2.3. 一般化ホモロジカル次元とは，写像
H-dimR : modR/ ∼
= → Z≥0 ∪ {±∞}
で以下の条件を満たすもの:
(1) M ∼
= 0 ⇔ H-dimR M = −∞.
(2) (Auslander-Buchsbaum formula)
H-dimR M < ∞ ならば，H-dimR M = depth R − depth M .
(3) {M ∈ modR | H-dimR M < ∞} は modR の thick 部分圏．
ここに現れる depth M については，第 3 節の初めで定義する．
以下に generalized homological dimension の例をいくつか挙げていく．
定義 2.4. [4] C を semidualizing module とする．つまり，C は有限生成 R 加群で R ∼
=
>0
EndR (C) かつ ExtR (C, C) = 0.
(1) 有限生成 R 加群 M が totally C-reflexive とは，
• 自然な射 M → HomR (HomR (M, C), C) が同型射．
• Ext>0
R (M, C) = 0.
(2) 0 でない有限生成 R 加群 M に対して，GC -dimR M を
{ }
完全列 0 → Xn → Xn−1 → · · · → X0 → M → 0 が存在し，
inf n 各 Xi は totally C-reflexive
で定める．また，GC -dimR 0 = −∞ で定める．
(3) 特に C として R を取ったとき，GC -dimR M を G-dimR M と書いて Gorenstein 次
元と呼ぶ．
定義 2.5. [6] 有限生成 R 加群 M に対して， lower complete intersection dimension
CI∗ -dimR M を
{
G-dimR M
(Betti 数 βnR (R) が n について多項式増大)
CI∗ -dimR M =
∞
(それ以外)
で定める．
命題 2.6. [4, 6, 10] 以下の次元は generalized homological dimension となる．
(1) 射影次元：pdR
(2) lower complete intersection dimension：CI∗ -dimR
(3) Gorenstein 次元：G-dimR
(4) GC -dim
剰余体の次元の有限性で以下のように局所環の特異点としての性質が特徴づけられる．
命題 2.7. [4, 6, 5, 10]
(1) pdR k < ∞ ⇔ R は正則
(2) CI∗ -dimR k < ∞ ⇔ R は完全交差
(3) G-dimR k < ∞ ⇔ R は Gorenstein
(4) GC -dimR k < ∞ ⇒ R は Cohen-Macaulay
(5) sup{βnR (k)} < ∞ ⇔ R は超曲面
THICK SUBCATEGORIES OF MODULES
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3. Main theorems and its applications
この節では，主定理を述べ，その応用をいくつか述べる．まずは，言葉の定義から始
める．
定義 3.1. M を有限生成 R 加群とする．このとき，R の元の列 x1 , . . . , xn が M 正則列であ
るとは，各整数 0 ≤ i ≤ n に対して，xi 倍写像 M/(x1 , · · · , xi−1 )M → M/(x1 , · · · , xi−1 )M
が単射となるときにいう．また，M 正則列で長さが極大であるものの長さは，列のとり
方によらず一定の値をとる．この長さを M の深さといい，depth M と書く．
定義 3.2. d を R の Krull 次元とする．このとき，R の元の列 x1 , . . . , xd が R のバラメータ
系であるとは，R/(x1 , · · · , xd ) が長さ有限の R 加群となるときにいう．また，R の元の列
x1 , . . . , xn が R のパラメータ系の一部となるとき，それを R の部分パラメータ系という．
以下の補題は正則列，パラメータ系について基本となる．詳しくは [3] を参照．
補題 3.3.
(1) R 正則列は常に R の部分パラメータ系となる．特に dim R ≥ depth R
が成り立つ．
（この等号が成り立つとき，R は Cohen-Macaulay であると言われる）
(2) R が Cohen-Macaulay のとき，R の部分パラメータ系は R 正則列となる．
次の定理が本報告書における主定理である．
定理 3.4. X を modR の thick 部分圏とする．次の 2 条件を満たす有限生成 R 加群 M が
存在するとき，X は剰余体 k を含む:
(1) depth R ≥ depth M + 1．
(2) 長さ depth M + 1 以下の任意の R 正則列 x に対して M/xM ∈ X ．
定理 3.5. X を modR の thick 部分圏とする．次の 2 条件を満たす有限生成 R 加群 M が
存在するとき，X は剰余体 k を含む:
(1) dim R ≥ depth M + 1．
(2) 長さ depth M + 1 以下の任意の部分パラメータ系 x に対して M/xM ∈ X ．
また，これらの主定理は次のように言い換えることができる．
定理 3.6. 有限生成 R 加群 M が depth R ≥ depth M + 1 を満たせば，
k ∈ thick{M/xM | x は長さ depth M + 1 以下の R 正則列 }.
ここで，有限生成 R 加群のクラス E に対して，thick E で E を含む最小の thick 部分圏を
表す．
定理 3.7. 有限生成 R 加群 M が dim R ≥ depth M + 1 を満たせば，
k ∈ thick{M/xM | x は長さ depth M + 1 以下の部分パラメータ系 }.
これらの主定理を用いることで，[10] における結果を復元することができる．
系 3.8. [10, Corollaries 4–8] Φ を pdR （resp．CI∗ -dimR , G-dimR , GC -dimR ）とする．M
を有限生成 R 加群で 0 ≤ t ≤ depth R とする．長さ depth R − t 以下の任意の R 正則列
x について Φ(M/xM ) < ∞ であると仮定する．このとき，Φ(M ) ≤ t または R は正則
（resp．完全交差，Gorenstein，Cohen-Macaulay）．
証明. X として Φ(X) < ∞ なる有限生成 R 加群 X のなす thick 部分圏とする．もし Φ(M ) >
t ならば，Auslander-Buchsbaum formula より，
depth R ≥ depth M + Φ(M ) > depth M
が成り立つ．ここで，thick 部分圏 X と有限生成 R 加群 M に対して定理 3.4 を用いること
で k ∈ X ，つまり Φ(k) < ∞ となり，命題 2.7 より R は正則（resp. 完全交差，Gorenstein，
Cohen-Macaulay）．
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系 3.9. [10, Corollary 10] 次は同値
(1) R は Cohen-Macaulay.
(2) 有限生成 R 加群 M が存在して，任意の部分パラメータ系 x に対して
GC -dimR (M/xM ) < ∞.
(3) 任意の部分パラメータ系 x に対して GC -dimR (R/(x)) < ∞.
証明. R が Cohen-Macaulay のとき，任意の部分パラメータ系が R 正則列となるので，
(1) ⇒ (3) ⇒ (2) が従う．よって，(2) ⇒ (1) を示せばよい．R が Cohen-Macaulay で
ないと仮定する．このとき，定義より dim R > depth R ≥ depth M . そこで，定理 3.5 を
thick 部分圏 X := {X ∈ modR | GC -dim X < ∞} と M に対して用いると，k ∈ X とな
る．すると，R が Cohen-Macaulay となり仮定に矛盾．
□
他にも以下のような応用がある．
系 3.10. Φ を pdR （resp．CI∗ -dimR , G-dimR ）とする．有限生成 R 加群 M が存在して，
Φ(M ) > 0 かつ任意の長さ depth M + 1 以下の部分パラメータ系 x に対して Φ(M/xM ) <
∞ とする．このとき，R は正則（resp．完全交差，Gorenstein）．
系 3.11. M を有限生成 R 加群で depth R > depth M とする．もし任意の長さ depth M +1
以下の R 正則列 x に対して sup{βnR (M/xM )} < ∞ ならば，R は超曲面．
系 3.12. M, N を有限生成 R 加群で depth R > depth M とする．もし任意の長さ depth M +
≫0
1 以下の R 正則列 x に対して TorR
≫0 (M/xM, N ) = 0（resp. ExtR (M/xM, N ) = 0）な
らば pdR N < ∞（resp. idR N < ∞）.
References
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[2] L．L．Avramov，Infinite free resolutions．Six lectures on commutative algebra，Progr．Math．166
（1998），1–118．
[3] W. Bruns and J. Herzog, Cohen–Macaulay rings, revised edition, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics, 39, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[4] L．W．Christensen，semi-dualizing complexes and their Auslander categories，Trans．Amer．Math．
Soc．353（2001），1839-1883．
[5] T．H．Gulliksen，On the derivations of a local ring，Math．Scand．47（1980），no．1，5–20．
[6] A．A．Gerko，On homological dimension，Mat．Sb．192（2001），79–94．
[7] H．Holm，Gorenstein homological dimensions，J．Pure Appl．Algebra．189 （2004），167–193．
[8] H. Matsui and H. Murata, Prethick subcategories of modules and characterizations of local rings,
Comm. Algebra (to appear), arXiv:1412.8047v2.
[9] S．Salarian，S．Sather-Wagstaﬀ，S．Yassemi，Characterizing local rings via homological dimensions
and regular sequences，J．Pure Appl．Algebra．207（2006），99–108．
Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Furocho, Chikusaku, Nagoya,
Aichi 464-8602, Japan
E-mail address: m14037f@math.nagoya-u.ac.jp

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