数学と無限 — 無限のパラドックス
渕野 昌（中部大学，fuchino@isc.chubu.ac.jp）
2006 年 12 月 02 日（ 土 ）／ 09 日（ 土 ）【05 日（ 火 ）:静 岡 大 学 数 学 科 に て 】
中 部 大 学 2006 年 秋 学 期 開 講 数学の考え方 の 補 講【 静 岡 大 学 で の 講 演 の 第 一 部 】
数 学 で は ，自 然 数 の 全 体 ，実 数 の 全 体 な ど 無 限 に 要 素 を 持 つ 対 象 が 積 極 的 に
考 察 さ れ ま す．無 限 を 考 察 の 対 象 と し て 積 極 的 に 扱 か う，と い う の が 現 代 数
学 の 一 つ の 特 徴 と 言って も い い く ら い で す．
「 無 限 」を 扱 か う 数 学 は 大 き な 成 功 を 収 め て い ま す．そ の 一 方 で ，有 限 の ア
ナ ロ ジ ー（ 類 推 ）で 無 限 を 考 え て ゆ く と ，ひ ど く 奇 妙 な 現 象 に ぶ つ かって し
ま う こ と が あ り ま す．そ う いった 奇 妙 な 現 象 の 例 や ，そ れ ら が 何 を 意 味 し て
い る の か に つ い て 考 察 し て み た い と 思 い ま す．
1
初等数学に現われる無限
定 理 1 (三 平 方 の 定 理 — ピ タ ゴ ラ ス の 定 理) 直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む 二 辺 の
それぞれの長さの２乗の和は他の辺の長さの２乗に等しい．
ピタゴラス
紀 元 前 569 年（？）イ オ ニ ア の サ モ ス 島 生 — 紀 元 前 475 年（？）没
無 限 個 の 異 な る 直 角 三 角 形 が 存 在 す る：
""
"
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"
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ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 は ，無 限 に 存 在 す る 色々な 直 三 角 形 す べ て に 対 し て「 直 角 三
角形の直角をはさむ二辺のそれぞれの長さの２乗の和は他の辺の長さの２乗の
和 に 等 し い 」と い う 性 質 が 成 り 立 つ こ と を 主 張 し て い る ．
2
初等数学に現われる無限
定 理 2 (素 数 の 存 在 定 理 — ユ ー ク リッド)
素数は 無限 に存在する．
ユ ー ク リッド
（ 紀 元 前 325 年（？）生 — 紀 元 前 265 年（？）ア レ ク サ ン ド リ ア 没 ）
2 以 上 の 自 然 数 （2, 3, 4 . . . ）の う ち ，1 と そ の 数 自 身 以 外 の 自 然 数 で
割 切 れ な い よ う な も の を 素 数 と い う．2, 3, 5, 7, 11, 13 . . . は 素 数 だ が ，
たとえば 8 = 2 × 4 だから 8 は素数でない．
3
初等数学に現われる無限
定 理 2 (素 数 の 存 在 定 理 — ユ ー ク リッド)
素数は 無限 に存在する．
証 明 も し ，素 数 が 有 限 個 し か な かった と す る と ，そ れ ら を
p1, p2,. . . , pn と し て ，
q = p1 · p2 · · · · · pn + 1
という数が考えられる．
q を p1, p2,. . . , pn の ど れ で 割って も 1 が あ ま る ．し た がって ，q 自 身 が
素 数 で あ る か ，あ る い は ，q は p1 , p2 ,. . . , pn の ど れ と も 異 な る 素 数 で
割 れ る か の ど ち ら か で あ る ．い ず れ の 場 合 も p1, p2,. . . , pn が 素 数 の す
べてであるという仮定に矛盾する．
（証明終り）
4
無 限 の パ ラ ドック ス: 部 分 は 全 体 よ り 小 さ い？
2 つ の 物 の 集 ま り（ 集 合 ）の 要 素 の 間 に 一 対 一 の 対 応 が つ く と き ，
こ れ ら の 集 合 は 同 じ 個 数 の 要 素 を 持 つ（ あ る い は濃 度 が 等 し い ）と
い う．
た と え ば ，集 合 {1, 2, 3, 4, 5} と 集 合 {2, 4, 6, 8, 10} は ，
1 2 3 4 5
↑
↓ ↑
↓ ↑
↓ ↑
↓ ↑
↓
2 4 6 8 10
という対応から同じ個数の要素を持つことが確かめられる．
一 方 ，有 限 の 個 数 の 物 の あ つ ま り の 要 素 は ，そ の（ 真 の ）部 分 の 要 素 と は
一 対 一 に 対 応 づ け る こ と が で き な い：
1 2 3
↑
↓ ↑
↓ ↑
↓
1 2 3
5
4
5
無 限 の パ ラ ドック ス: 部 分 は 全 体 よ り 小 さ い？
N で 自 然 数 の 全 体 を あ ら わ す． N = {0, 1, 2, 3, . . .} で あ る ．
E を 偶 数 の 全 体 と す る ，つ ま り E = {0, 2, 4, 6, 8, . . .} で あ る ．E は N の
真の部分だが，
0 1 2 3 4 5 6 ···
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
0 2 4 6 8 10 12 · · ·
と い う 対 応 か ら 同 じ 個 数 の 要 素 を 持 つ（ 濃 度 が 等 し い ）こ と が 確 か
め ら れ る！
6
無 限 の パ ラ ドック ス: 部 分 は 全 体 よ り 小 さ い？
ガ リ レ オ・ガ リ レ イ
（1564 年 ピ サ（ 現 在 の イ タ リ ア ）生
— 1642 年 フ ロ レ ン ス 近 郊（ 現 在 の イ タ リ ア ）没 ）
ガ リ レ オ は ，1638 年 の 論 文 で 上 の よ う な「 逆 理 」（ パ ラ ドック ス ）を
とりあげて，
『 無 限 の 大 き さ を 比 較 す る 議 論 は 無 意 味 だ 』と 結 論 し て
いる．
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無 限 の パ ラ ドック ス: 部 分 は 全 体 よ り 小 さ い？
ゲ オ ル グ・カ ン ト ル
1845 年 ペ テ ル ス ブ ル ク（ 現 在 ロ シ ア ）生
— 1918 年 ハ レ（ ド イ ツ ）没
19 世 紀 末 に は 無 限 を よ り 積 極 的 に 考 察 に 取 り こ ん だ 数 学 の 可 能 性 や 必 要 性 が よ
り 感 じ ら れ る よ う に なった ．カ ン ト ル は 無 限に 関 連 し た 研 究 を 積 極 的 に 行 い ，現
在 で は集 合 論 と 呼 ば れ て い る 数 学 の 分 野 を 確 立 し た が ，無 限 を 研 究 す る こ と を
擁 護 し て 次 の 言 葉 を 残 し て い る:
『... こ れ に 対 し ，必 要 以 上 の 研 究 領 域 の 制 限 は よ り 大 き な 危 険 を は ら ん で い る
よ う に 思 え る ．特 に ，こ の 学 問 の 本 質 か ら ，そ の よ う な 制 限 に 対 し て 何 の 正 当
性 も 結 論 で き な い の で あ る か ら な お さ ら で あ る； つ ま り，数 学 の 本 質 は そ の 自
由 に あ る か ら で あ る ．』
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無 限 の パ ラ ドック ス: 部 分 は 全 体 よ り 小 さ い？
ゲ オ ル グ・カ ン ト ル
1845 年 ペ テ ル ス ブ ル ク（ 現 在 ロ シ ア ）生
— 1918 年 ハ レ（ ド イ ツ ）没
上 の ガ リ レ オ の 逆 理 に 関 し て は ，カ ン ト ル は ，全 体 と 部 分 が 同 じ 大
き さ に な り え る ，と い う ま さ に そ の こ と が ，無 限 の 本 質 的 な 性 質 の
１ つ で あ る ，と 読 み か え て ，無 限 の 研 究 を さ ら に 進 め た ．
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無 限 の パ ラ ドック ス: ヒ ル ベ ル ト ホ テ ル
M.Aigner G.Ziegler 著: “Proofs from THE
BOOK” の K.H.Hoffmann に よ る 挿 絵
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無 限 の パ ラ ドック ス: ヒ ル ベ ル ト ホ テ ル
ダ ー フィト・ヒ ル ベ ル ト
バ ー ト ラ ン ド・ラッセ ル
1862 年 ケ ー ニ ヒ ス ベ ル ク（ 現 在 の ロ シ ア ）
1872 年 ウェー ル ズ（ イ ギ リ ス ）生
生 — 1943 年 ゲッチ ン ゲ ン（ ド イ ツ ）没
— 1970 年 ウェー ル ズ 没
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無 限 の パ ラ ドック ス: ヒ ル ベ ル ト ホ テ ル
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無 限 の パ ラ ドック ス: ラッセ ル の パ ラ ドック ス
「 自 分 自 身 を 要 素 と し て 含 ま な い 」と い う 集 合 の 性 質 を 考 え る ．
集 合 x が こ の 性 質 を 持 つ こ と は ，x 6∈ x と い う 式 で 表 現 で き る ．
今 ，こ の 性 質 を 持 つ 集 合 を 全 部 集 め て で き る 集 合 A を 考 え る
A = {x : x 6∈ x}
である．
も し A が A の 要 素 だ と す る と ，こ れ は A ∈ A と あ ら わ せ る ．A の 定
義 か ら A 6∈ A と な り 矛 盾 で あ る ．
も し A が A の 要 素 で な い と す る と ，こ れ は A 6∈ A と あ ら わ せ る が ，
こ の こ と か ら A の 定 義 か ら A ∈ A と なって し ま い ，や は り 矛 盾 で
ある．
13
無 限 の パ ラ ドック ス: ラッセ ル の パ ラ ドック ス
A = {x : x 6∈ x} は x の範囲が限定されていない
ため，集合にならない．
新しい集合を作るときの作りかたをきちんと規
定する（公理的集合論）ことで，この種のパラド
ックスは回避できる．
14
無 限 の パ ラ ドック ス: バ ナッハ=タ ル ス キ ー の 定 理
定 理 （S. バ ナッハ ，A. タ ル ス キ ー ， 1924 — 大 正 13 年)
三次元空間での球の有限個の集合への分割 P で P の要素を適当に
回 転 ，移 動 す る こ と で 同 じ 半 径 の 球 2 つ に 再 構 成 で き る よ う な も の
が存在する．
バ ナッハ=タ ル ス キ ー の 定 理 は ，そ こ で 存 在 の 保 証 さ れ て い る 分 割
P が 物 理 的 に 実 現 可 能 な も の で あ る と は 言って い な い ．数 学 の 一 般
性 が 物 理 的 な 世 界 で の 直 観 を 越 え る も の だった と し て も ，そ の こ と
は直に数学が矛盾していることの証明とはならない．
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数 学 は 本 当 に 矛 盾 し な い の か?
初 等 幾 何 学 は 矛 盾 し な い （A. タ ル ス キ ー ）
帰納法を含まない数学は矛盾しない
（ フォン・ノ イ マ ン ，小 野 勝 次 etc.）
不 完 全 性 定 理 （K. ゲ ー デ ル 1931） 帰 納 法 を 含 む 数 学 が 矛 盾 し な い
こ と は 証 明 で き な い（ こ と が 証 明 で き る ）．
ほ と ん ど の 数 学 理 論 は 矛 盾 し な い こ と が ，上 の ゲ ー デ ル の 定 理 の 仮
定している立場を弱めると証明できる
（K. ゲ ン ツェン ，竹 内 外 史 etc. ）
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参考文献
[1] 渕 野 昌 ，数 学 の 中 の 無 限 (2004)
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/˜fuchino/chubu/infinity-LN.pdf
[2] 渕 野 昌 ，ゲ ー デ ル 以 降 の 数 学 と 数 学 基 礎 論 ，
数 学 の た の し み ， 2006 年 秋 号 (2006).
[3] 玉 野 研 一 ，なっと く す る 無 限 の 話 ，講 談 社 (2004).
[4] こ の ス ラ イ ド:
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/˜fuchino/chubu/method-math-WS06-hoko-inf.pdf
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