【2学年】「5章 時数 平行と合同」<全 16 時間> 学習内容(教科書 P) 本時の目標 本時の学習活動を支える主要問題と学習課題 1 1平行線と角(p.80 ~ 81) 0 ○扉 ◎「三角形の角(内角)の和は 180 °である」ことを 利用していろいろな多角形の角の和の求め方を考 えることができる。 【本時の主要問題】 ◆本時の学習で押さえたい基礎・基本 学習のまとめ ◆三角形の角の和は 180 ° ◆一直線は 180 ° ◆ 1 点の周りは 360 ° ① 正六角形の角の和を求めよう。(どんな方法?) ① ② どんな六角形の角の和も 720 °になるのだろうか? ② 2 1平行線と角(p.82 ~ 83) ①多角形の内角と外角 ◎ 表や図をもとに「n角形の内角の和は 180 °×(n -2)である」ことを導くことができる。 ○ 「180 °×(n-2)」を利用して,いろいろな 問題を解くことができる。 【本時の主要問題】 ・どの多角形も様々な方法で三角形に分 けることができる。 ・多角形の角の和は(1つの頂点から対 角線を引いた場合) 180 °×(三角形の数) で求めることができる。 ◆外角 ◆内角 ◆となり合う内外角の 和は 180 ° ◆多角形の内角の和 180 °×(n-2) 1つの頂点から出る対角線によって多角形をいくつか の三角形に分ける方法で角の和を求めよう。 図をかかないで角の和を求める方法はないだろうか? 3 1平行線と角(p.84 ~ 85) ①多角形の内角と外角 ◎「n角形の外角の和は 360 °である」ことを文字n を用いて導くことができる。 ○「多角形の外角の和は 360 °である」ことを利用し て,いろいろな問題を解くことができる。 【本時の主要問題】 左の三角形の3つの外角の和を求めよう。 どんな三角形の外角の和も 360 °になるのだろうか? 4 1平行線と角(p.86 ~ 87) ②平行線と角 【本時の主要問題】 ① 40 ° ② ③ ◎ 対頂角や同位角,錯角の意味について理解する ことができる。 ○ 対頂角の性質「対頂角は等しい」ことを筋道を 立てて説明することができる。 2直線を40°で交わらせたときにできた残りの角 ①~③を求めなさい。 n角形の内角の和は 180 °×(n-2) で求めることができ る。 ◆多角形の外角の和は 360 ° ①n角形の内外角の和 180 °×n= 180 n ②n角形の内角の和 180 °×(n-2) ①-②よりn角形の外角 の和は 360 °である。 (外角の和は一定である) ◆対頂角 ◆対頂角は等しい ◆同位角 ◆錯角 ・2直線が交わるとき,向かい合う 角を対頂角という。 ・対頂角は等しい d a c b 対頂角の大きさはいつでも等しいのだろうか? (∠ a =∠ c,∠ b =∠ d の説明) <同位角と錯角については角の位置関係として教師が説明する> ・同位角 ・錯角 ※ 図をかいて まとめる。 5 1平行線と角(p.88 ~ 89) ②平行線と角 【本時の主要問題】 n l a m ◎ 平行線と錯角の関係を,対頂角や平行線の同位 角の性質を用いて説明することができる。 ○ 対頂角や同位角・錯角の性質を用いて,角の大 きさを求めることができる。 三角定規を利用し,平行線を引いてみよう。 <平行線と同位角の関係については教師が説明する> b 同位角の性質から,錯角の性質を導くことはできないだ ろうか? (①∠ a =∠ b の説明)→ (②l//mの説明) 6 1平行線と角(p.90 ~ 91) ②平行線と角 【本時の主要問題】 A ◎ 三角形の内角と外角の性質を根拠をもとに説明 することができる。 ○ 三角形の内角と外角の性質を用いて,三角形の 内角や外角の大きさを求めることができる。 「三角形の内角の和は 180 °」であることを利用して 角を求めよう。 a E a b c B b C AB//CE D 7 ◆定着の確認 ・ 基本問題(p.92 ~ 93) 8 ∠ a +∠ b +∠ c =180°を平行線の性質をもと にして説明しよう。 【第1次】 ∠ a +∠ b +∠ c は何度になるか? A ∠ a は何度になるか? C B B a b a 60 80 A E c D C D 補助線をどのように引けばよいだろうか? A ② B a 100 C <指導の意図> 平行線に関する問題に習熟させながら, 補助線を引く力を高めていく。 D 【第2次】 【適用問題】 ∠χは何度になるか? A 30° 【平行線と角の関係(性質)】 ① 2直線が平行ならば,同位角,錯 角は等しい。 ② 同位角か錯角が等しければ,2直 線は平行である。 ◆証明 ◆三角形の外角は,そ れと隣り合わない 2 つの内角の和に等し い。 ◆補助線 (平行線・延長線) 【三角形のと内角と外角(性質)】 ① 三角形の内角の和は 180 °であ る。 ② 三角形の外角は,それととなり合 わない2つの内角の和に等しい。 ◎ 補助線を活用し,基本的な図形の性質を用いて ◆対頂角 様々な図形での角の問題を解決することができる。 ◆平行線の同位角 ○ 問題解決を通し,新たな図形の性質を導くこと ◆平行線の錯角 で興味・関心・意欲を高めることができる。 ◆同側内角の和は 【本時の主要問題】 【第1次】 ① ◆同位角が等しければ 2 直線は平行である ◆平行線の同位角は等しい ◆平行線の錯角は等しい ◆錯角が等しければ 2 直線は平行である ◆同側内角の和は 180 °になる 40° B D χ 50° C 補助線をどのように引けばよいだろう か? 180 ° ◆三角形の内角の和は 180° ◆三角形の外角は,そ れととなり合わない 2つの内角の和に等 しい。 ◆多角形の内角の和 180 °×(n-2) ◆多角形の外角の和は 360° 【第1次】 l//m ならば l a χ m b ∠ a +∠ b =∠χ 【第2次】 (凹四角形をさらに変形) 印の角の関係はどうなるか? <指導の意図> 図形を変形させた問題の解決を通して,図形の新しい見方・考え方を養わせ,既習 の性質を活用しようとする意欲を高めていく。 a χ b c ∠ a +∠ b +∠ c =∠χ 9 2合同な図形(p.94 ~ 95) ①合同な図形 ◎ 合同な図形の性質を理解し,対応する線分や角 について判断することができる。 ○ 合同な図形の意味を理解し,記号を用いて表す ことができる。 ◆合同 ◆合同な図形の性質 合同な図形では対応する線 分や角は等しい。 ◆≡ 【本時の主要問題】 四角形 ABCD ≡四角形 A'B'C'D'であるとき, 図2に頂点 A'~ D'を書き入れよう。 D A 図1 B 図2 合同な図形の性質を用いて,等しい辺や角を 式で表そう。 C 10 2合同な図形(p.96 ~ 97) ②三角形の合同条件 ◎ 三角形の合同条件を作図をもとにして理解する ことができる。 ○ 三角形の合同条件を理解し,合同な三角形を判 断することができる。 【合同な図形の性質】 合同な図形では対応する 線分や角は等しい。 ◆三角形の合同条件 ①3辺がそれぞれ等しい ②2辺とその間の角がそれぞれ等しい ③1辺とその両端の角がそれぞれ等しい 【本時の主要問題】 右の三角形 ABC と合同な 三角形 DEF を作図しなさい。 封筒の中にある三角形が1つ入 っている。その三角形は2辺が 5cm と 6cm で,1つの角が 50 ° である。 封筒の中を見ないで作図してみ よう。 【三角形の合同条件】 ①3辺がそれぞれ等しい ②2辺とその間の角がそれぞれ等しい ③1辺とその両端の角がそれぞれ等しい 2つの三角形が合同となるための条件は他にないだ ろうか? 11 2合同な図形(p.98 ~ 100) ②三角形の合同条件 ◎ 1図形の中から合同な三角形を見いだし,合同 条件を利用した証明ができる。 ○ 作図の方法が正しいことを三角形の合同条件に よって理解することができる。 【本時の主要問題】 ∠ XOY の二等分線 OC を作図しよう。 X のどれかが成り立てば,2つの三角形 は合同になる。 ◆共通な辺 ◆共通な角 ◆三角形の合同条件 ◆合同な図形の性質 (対応する角・辺は等 しい) ◆仮定 ◆結論 C A O なぜこの方法で角の二等分線が作図できるか を,三角形の合同条件を利用して説明しよう。 (△ OAC と△ OBC が合同になる条件につい て考えよう) B Y 12 2合同な図形(p.101 ~ 102) ③証明のすすめ方 【本時の主要問題】 A D ◎ 仮定と結論を明確にし,根拠を明らかにして図 形の性質を証明することができる。 ○ 証明の形式的な記述の仕方にしたがって,証明 を書くことができる。 右の図で,EA = EB,AD//CB となることを証明しよう。 辺や角が等しくなる根拠を考えながら,証明しよ う。(基本的な図形の性質を振り返ろう) B ◆仮定 ◆結論 ◆対頂角は等しい ◆平行線の錯角 ◆三角形の合同条件 ◆合同な図形の性質 ならば ED = EC E C 等しい辺や角を根拠をも とに明確にすることで、 使える「三角形の合同条 件」が判断できる。 「証明する」とは。仮定 と結論を明確にして、図 形の性質を根拠を明らか にして筋道を立てて説明 することである。 13 2合同な図形(p.103 ~ 106) ③証明のすすめ方 基本問題(p.106) 【本時の主要問題】 A D ① O ○ 仮定と結論を明確にし,根拠を明らかにして図 形の性質を証明することができる。 ◎ 証明の形式的な記述の仕方にしたがって,証明 を書くことができる。 C 証明問題①について,付箋を 使って友達と協力しながら証 明しよう。 ② A ◆仮定 ◆結論 ◆対頂角は等しい ◆共通の辺 ◆錯角が等しい ◆平行線の錯角 ◆三角形の合同条件 ◆合同な図形の性質 B D C D D A ③ 根拠を明らかにしながら証明 を書いてみよう。 ④ D A C B C 14 ◆定着の確認 章の問題(p.107 ~ 108) 証明では、 「仮定」と「図」 の両面から等しい辺や角 の関係を根拠をもとに判 断し、式や言葉で表すこ とが重要ある。 B ◎ 章の学習内容を振り返り。既習事項の定着を図 りながら,問題解決能力を高めることができる。 教科書の問題を解かせる 15 ◆発展学習 ・ 星形五角形 16 ◎ 星形五角形の先端の5つの角の和の求め方をい ろいろな方法で考えることができる。 ○ 星形五角形の先端の5つの角の和が 180 °であ ることを,根拠を明確にしながら図・式・言葉を 用いて説明することができる。 【本時の主要問題】 【第1次】 1本のゴムの輪を 五角形→星形五角形 に変形しよう。 (5人で挑戦!) ◆三角形の内角の和は 180 ° ◆一直線は 180 ° ◆ 1 点の周りは 360 ° ◆多角形の内角の和 ◆多角形の外角の和 など 【第1次】 星形五角形の5つの角の和の求め方を いろいろな 方法で考え よう。 補助線を工夫することで 「星形五角形の5つの角 の和は 180 °である」こ とを様々な方法で説明す ることができる。 【第2次】 【第2次】 星形五角形の先端の5つの角の和が 180° になることを内部に点Pをとって説明し よう。 <指導の意図> 説明に必要な補助線と式を提示する ことで、図や式を読む活動をもとに、 根拠を明確にしながら筋道を立てて説 明する力を高めていく。 星形五角形の内部に点を 取る補助線をによって様 々な図(8通り)ができ、 多角形の内角と外角、凹 四角形の性質をもとに5 つの角の和が 180 °であ ることが説明できる。 ※家庭学習との 接続 【レポート作成による学習のまとめ】 次の学習テーマから1つを選択し,レポートにまとめよう。 (※説明には,点Pと各頂点と結ぶ線分を 補助線の一部として必ず用いること。) ★ 星形多角形について テーマ1(Lv1) 星形五角形のまとめ テーマ2(Lv2) 星形六・七・八・・・角形に挑戦 テーマ3(Lv3) 星形n角形に挑戦
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