数 学 玉 手 箱 URL http://izumi-math.jp/sanae/ E-mail dzq99247@nn.em-net.ne.jp 円柱・円錐と球 小学校からおなじみの円柱・円錐と球。この3つの立体図形に秘められた関係があるのをご存知です か? 次の図のように,半径 r,高さ 2 r の3種類の立体図形を考えてみましょう。 そしてそれぞれの図形の体積を考えてみます。 図形 円錐 球 円柱 1 2 3 体積 比 3種類の図形の体積の比は見事に 1:2:3 となっていますね。見方を変えれば円錐と球を合わ せれば,円柱の体積になるともいえます。 今度は表面積を考えてみましょう。球の表面積はおな じみですが,円錐と円柱の面積は少し面倒です。 まずは円柱の表面積を求めてみましょう。円柱は側面 積と上下の2つに円の面積を足せばよいので, S=2r×2π r+2×π r 2 =4π r 2+2π r 2 =6π r 2 次に円錐の表面積を考えます。円錐の母線の長さは,三平方の r ですから, 定理より 2 r×2πr+πr S=1/2× 2 =( +1)πr 図形 表面積 ( 円錐 2 +1)πr 比 結局3種類の表面積の比は はなりませんでした。しかし,この :2:3 球 4πr 2 円柱 6π r 2 2 3 となり,残念ながら体積のときのようなきれいな値に という値,どこかでお目にかかっていませんか? 黄金比の値なのです。こんなところにも黄金比の値が顔をのぞかせていたのですね。 そうです,
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