数理科学 2007 年 12 月 06 日 (15:50) 版 渕野 昌 (中部大学，fuchino@math.cs.kitami-it.ac.jp) 2007 年度 秋学期 中部大学にて開講の講義 2007 年 12 月 06 日（第 10 回目） 本 講 義 に 関 す る 資 料 や ，講 義 で 用 い た ス ラ イ ド は 以 下 の ペ ー ジ に 順 次 リ ン ク し ま す: http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/chubu/index.html 1 行列の応用の続き — 前回の復習 マルコフ過程 Andrei Andreyevich Markov 1856 - 1922 2 前回の講義からのマルコフ過程の例 都 会 と 田 舎 の 間 の 人 の 移 動 の 次 の よ う な 状 況 を 考 え る: 毎 年 ，都 会 に 住 む 人 口 の 5% は 田 舎 に 移 住 す る（95% は そ の ま ま ） 田 舎 に 住 む 人 の 3% は 都 会 に 移 住 す る（97% は そ の ま ま ） 3% 95% 都会 田舎 97% 5% 都 会 に 住 む 人 が 全à 人 口 の α!% で 田 舎 に 住 む 人 が 全 人 口 の β % の と α/100 き ，こ の 状 況 を ， というベクトルで表現することにする． à ! β/100 0.6 たとえば， は ，都 会 に 住 む 人 が 全 人 口 の 60% で あ る よ う な 状 0.4 態をあらわしている． 3 xk を ，あ る 年 か ら k 年 目 の ，前 ペ ー ジ の 意 味 で の 人 口 の 分 布 を あ ら わすベクトルとするとき， 3% 都会 田舎 95% 97% 5% は， à A= 0.95 0.03 0.05 0.97 として， xk+1 = Axk とあらわされる． 4 ! ここでのポイント xk は 各 グ ル ー プ の 割 合（ ま た は 確 率 ）を あ ら わ す ベ ク ト ル で 成 分の和は 1 である． A は 確 率 の 遷 移 を 惹 き 起 こ す 行 列 で ，そ れ ぞ れ の 列 の 成 分 の 和 は 1 である． 成 分 の 和 が 1 に な る よ う な ベ ク ト ル を 確 率 ベ ク ト ル (probability vector) と 呼 ぶ ．そ れ ぞ れ の 列 の 成 分 の 和 が 1 と な る よ う な n × n-行 列 を 確 率 行 列 (stocastic matrix) と 呼 ぶ ． 確 率 ベ ク ト ル x0, x1, x2, . . . が ，あ る 確 率 行 列 A に よ り，xk+1 = Axk に と し て 与 え ら れ て い る と き ，ベ ク ト ル の 列 x0, x1, x2, . . . を マ ル コ フ 連 鎖 (Markov chain) と 呼 ぶ ．マ ル コ フ 連 鎖 で 表 現 さ れ る 確 率 （ ま た は 割 合 の 分 布 ）の 推 移 は マ ル コ フ 過 程 (Markov process) と よ ば れ る も の の ひ と つ に なって い る ． 5 A を確率行列とするるときベクトル q が A の 定常状態ベクトル (steady-state vector) と は ，q が Aq = q と な る よ う な 確 率 ベ ク ト ル と なるときであるとする． 定 理 1 確 率 行 列 A が 正 則（ つ ま り 逆 行 列 を 持 つ ）な ら ，A は ちょう ど 一 つ の 定 常 状 態 ベ ク ト ル を 持 つ ．こ の と き ，q を A の 定 常 状 態 ベ ク ト ル と す る と ，ど の 確 率 ベ ク ト ル x0 か ら 出 発 し て も ，xk+1 = Axk , k = 0, 1, 2, . . . と す る と き ，x0, x1, x2,. . . は k を 大 き く す る に つ れ て q に 近 づ く． 線 型 代 数 の 講 義 を 聞 い た こ と の あ る 人 の た め の 注 意: 正 方 行 列 が 正 則 で あ る こ と と ，そ の 行 列 の 行 列 式 が 6= 0 で あ る³こ と は 同´値 で あ る ． 例 え ば ，都 会 と 田 舎 の モ デ ル で の 確 率 行 列 A = ¯ ¯ 0.03 は ，¯¯ 0.95 0.05 0.97 ¯ ¯ ¯ = 0.95 × 0.97 − 0.03 × 0.05 6= 0 ¯ 0.95 0.03 0.05 0.97 の行列式 だ か ら ，こ の 確 率 行 列 は 正 則 で あ る ． 6 都会と田舎のモデルでの確率行列 µ ¶ 0.95 0.03 A= 0.05 0.97 では， µ 0.95 0.03 0.05 0.97 ¶µ a b ¶ µ = a b ¶ , a+b=1 を 解 く と ，a = 0.375, b = 0.625 が 得 ら れ る ．し た がって ， µ 0.375 0.625 ¶ が こ の 確 率 行 列 の 定 常 状 態 ベ ク ト ル で あ る ．定 理 1 を 応 用 す る と: 都 会 と 田 舎 の モ デ ル で は ，ど の 人 口 比 か ら 出 発 し て も ，都 会 に 住 む 人 と 田 舎 に 住 む 人 の 人 口 比 は 年 が す す む に つ れ て 0.375 : 0.625 に 近 づ く． 7 マーケットシェアに関する例 簡 単 の た め ，M 社 の 車 と T 社 の 車 が 自 動 車 の シェア を 二 分 し て い る よ う な 世 界 を 考 え る ．M 社 を 持って い る 人 の 90% は 次 の 買 い か え の と き に ふ た た び M 社 の 車 を 買 い ，残 り の 10% は T 社 の 車 を 買 う．ま た T 社 の 車 を 持って い る 人 の 60% は ふ た た び T 社 の 車 を 買 う が ，40% の人は M社の車に買いかえる． k 回 買 い か え の 時 期 を 経 た と き の M 社 の 車 を 持って いà る 人! の比率を αk αk , T 社 の 車 を 持って い る 人 の 比 率 を βk と し て ，xk = とする à ! βk 0.9 0.4 と き ，遷 移 行 列 は ， こ の 行 列 は 正 則 で ，定 常 状 態 ベ ク ト à ! 0.1 0.6 0.8 ルは で あ る ．し た がって ，M 社 と T 社 の 車 の シェア は ど の シェ 0.2 ア の 比 率 か ら 出 発 し て も 80% : 20% に 近 づ く． 8
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